1.- MATRIZ.

1.-1.  Introducción.

El desarrollo inicial de la teoría de matrices se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos,...

Las matrices son de suma importancia en el trabajo con nuestra ciencia, su uso es cada vez más frecuente en la modelación matemática de innumerables problemas.

El trabajo con las matrices se va haciendo más útil desde el momento mismo que su aplicación en la ciencia de la computación se ha venido perfeccionando, la programación estructurada y la forma bidimensional de entrada de los datos le da a las matrices un lugar privilegiado dentro de esta rama.

1.- 2. Matriz. Definición.

Una matriz de m x n, es un arreglo rectangular de m x n números reales colocados en m filas y n columnas

De manera general la representamos de la siguiente forma:

A =  

Con la notación a i j queremos decir el elemento de la matriz A que ocupa el lugar perteneciente a la fila i y a la columna j, i = 1... m y  j = 1 ... n.

El orden o tipo de la matriz  A  es  "m  por n",  donde  m es el número de filas y n es el número de columnas. Por ejemplo, sea la matriz M:

- Observación: Se dice que una matriz m x n tiene tamaño m x n.

Matriz cuadrada:

Las matrices en las que coincide el número de filas con el número de columnas se les llaman matrices cuadradas, o sea que si A es de orden m x n con m=n y se dice que la matriz A es cuadrada de orden n o sea A n.

A la diagonal que está formada por los elementos a 11, a22,..., a m n se le denomina diagonal principal y a la otra diagonal se le llama diagonal no principal. 

Ejemplo:

     La matriz A es una matriz cuadrada de orden 3.

1.- 3. Igualdad de matrices.

Sean las matrices:

Decimos que A = B si y sólo si aij = bij, eso quiere decir que dos matrices son iguales cuando cada elemento de la matriz A es igual al elemento de la matriz B que ocupa su misma posición.  

Ejemplo: 

Sean las matrices A y B:

Las matrices A y B son iguales ya que cada elemento aij = bij.

1.- 3. Operaciones con matrices

 a) Adición y sustracción de matrices.

Sean A y B matrices de m × n con elementos reales, donde A = (aij) y B = (bij), se define la matriz suma C = A + B donde cij = aij+ bij

Expresado de otra manera:

 

Análogamente se realiza la sustracción, siempre teniendo en cuenta los signos que tienen cada uno de los elementos de las respectivas matrices.

Ejemplo: Dadas las matrices , obtenga

A+B y A - B. 

Propiedades de la suma de matrices:

Sean A, B y la matriz nula 0, del mismo orden:

A + (B + C) = (A + B) + C → Propiedad asociativa A + B = B + A → Propiedad conmutativa A + O = A → O es la matriz nula A + (-A) = O → Siendo (-A) la matriz opuesta de A y se obtiene

cambiando el signo de todos los elementos de A.

Ejercicio:

Calcule: B+A

¿Es conmutativa la suma de A y B?

b) Multiplicación de matrices por un escalar.

Sea A una matriz de m × n con elementos reales definiremos

.

Ejemplo: 

Con λ = 2 y la matriz

se obtiene:

Propiedades del producto de matrices por un escalar.

Sean A y B del mismo orden y un número real:

λ (A + B) = λA + λB (λ + φ) A = λA + φA λ (φA) = (λφ)A

c) Multiplicación de matrices .

Sean A = (a i j ) de orden m x n y B = (b i j ) de orden n x p. Definimos el producto A.B como una nueva matriz C = ( c i j ) de orden m x p, donde i= 1,2…….m y j = 1,2…….p.

c i j = (renglón i de A) . (columna j de B) o sea:

c i j = ai 1 b1 j + ai 2 b2 j+……… +ai n bn j .

Esta suma se puede abreviar con la notación sumatoria ( )

La componente cij del producto A.B queda: .

Observación: 

Para poder efectuar la multiplicación de dos matrices tienen que estar enlazadas, esto significa que el número de columnas de la primera tiene que ser igual al número de filas de la segunda. La matriz resultante tendrá tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda.

Ejemplos: 

1.- Efectúe si es posible, las multiplicaciones siguientes.

 

Estas matrices no se pueden multiplicar!

2.-  Dadas las matrices 

Obtenga el elemento c23 sabiendo que la matriz C se obtiene de multiplicar AB.

Para resolver este ejercicio no se necesita efectuar la multiplicación de las dos matrices, como se ha visto anteriormente para obtener un elemento de una matriz, en este caso particularmente el elemento c23 es el resultado de multiplicar la segunda fila de la primera matriz por la tercera columna de la segunda matriz.

Propiedades del producto de matrices.

- Sean las matrices A p x q, B p x q y C q x n, el producto de matrices es Asociativo, A (BC) = (AB) C .

- Sean las matrices A m x p , B p x q , en la multiplicación A. B ≠ B . A , vemos que q m, entonces: “El producto de matrices por lo general no es conmutativo” .

- Sean las matrices A m x p y B p x n , C p x n A (B + C) = AB + AC.

- Sean las matrices A m x p y B p x n , k R (k. A). B = k (A. B)= A(k. B)

Ejercicio:

Calcule el producto de las matrices A y B:

1.- 4. Matrices Especiales.

Tipos de matrices.

1.-  Matriz nula: es aquella que todos sus elementos son ceros. La matriz A es una matriz nula de orden 2.

2 -  Matriz fila: Es una matriz de orden 1 x n ,es aquella matriz que tiene una sola fila y cualquier cantidad de columnas, A = ( a 1, a2….an ).

Ejemplo: .

3 .-  Matriz columna: Es una matriz de orden m x 1que tiene una sola columna

y cualquier cantidad de filas. Ejemplo:

Tipos de Matrices Cuadradas

1.-  Matriz identidad o unitaria: Es una matriz cuadrada cuyos elementos son tales que a ii = 1 y a ij = 0 si i es distinto de j .

Ejemplo: Matriz identidad ( I ) de orden 3.

2.-  Matriz Escalar: Es una matriz cuadrada cuyos elementos son tales que aii = k ( k 0) y a ij = 0 si i j

3.- Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal principal pueden tomar cualquier valor real y el resto de los elementos son ceros.

  matriz diagonal de orden 4.

4 .-  Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por A , a la matriz que se obtiene intercambiando ordenadamente filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de A , la segunda fila de A es la segunda columna de A , etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m × n, entonces A es de orden n × m.

 

Propiedades: Sean A y B matrices ( cuyos tamaños son de tal modo que las operaciones indicadas puedan ser realizadas) y sea k un escalar. Entonces:

i) (A t) t = A ii) (A + B) t = At + Bt .

iii) (A B) t = B t A t iv ) (k A) t = k ( A t)

v) Si A es invertible, entonces At es invertible y ( A t) -1 = ( A -1) t.

5.-  Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = A , es decir, si a i j = a i j

t = a j i. Es decir A es simétrica sii los elementos ubicados simétricamente respecto de la diagonal principal son iguales.

Ejercicio:

a) Calcule el producto de dos matrices simétricas: AB y BA

¿Es conmutativo el producto de matrices simétricas?

b) Dada la matriz A = determinar x para que A sea simétrica.

6.- Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada A es antisimétrica si A= - A . Es decir si A es antisimétrica sii a i j = - a t

i j = - a j i para todo i, j.

Observación:

- Si i = j , a i i = - a i i entonces i = j es aii = 0.

- Si i j , a t i j = a j i = - a i j .

- En una matriz antisimétrica los elementos ubicados en la diagonal son nulos.

Ejemplo:

7.-  Matriz triangular: Superior e inferior las matrices triangulares son todas aquellas matrices que sean cuadradas y que los elementos por encima o por debajo de la diagonal principal sean ceros. Es triangular superior cuando los ceros están por debajo de la diagonal principal y

triangular inferior cuando los ceros están por encima de la diagonal superior.

Definiciones Útiles

1.- 5. Rango de una matriz.

  Definición de rango de una matriz.

El rango de una matriz A es el número máximo de filas, o de columnas, linealmente independiente de A.

- Combinación Lineal de Filas de una Matriz : Dada la matriz A de orden m x n, se dice que la fila i de la matriz A es una combinación lineal de las filas p y q con coeficientes α y β números reales, si se cumple que:

a i 1 = α . a p 1 + β a q 1 ; a i 2 = α . a p 2 + β a q 2 ; ……… a i n = α . a p n + β a q n .

Definición de dependencia lineal entre las filas o columnas de una matriz.

n filas de una matriz A son linealmente dependientes, si al menos una de ellas se puede expresar como combinación lineal de las demás.

Teniendo en cuenta la definición anterior, entenderemos que el número máximo de filas o columnas linealmente independientes de una matriz A sea k, esto quiere decir, que existen k filas en A linealmente independientes y que cualquiera k +1 filas o columnas de A, son linealmente dependientes.

El rango de una matriz A se denota r(A). 

Operaciones Elementales de Fila de Matrices.

Definición

En este haremos referencia a las transformaciones elementales que se pueden realizar en una matriz para poder determinar su rango.

Las transformaciones elementales no alteran ni el orden, ni el rango de una matriz.

¿Cuáles pueden ser estas transformaciones?

Teorema: Sea A una matriz de orden m x n , llamaremos operaciones elementales de filas de A, a algunas de las siguientes operaciones:

i) Multiplicar todos los elementos de una fila de la matriz por un número diferente de cero.

ii) Intercambiar o permutar dos filas de A.

iii) Sumar a una fila otra multiplicada por un escalar ( es lo mismo que decir: sustituir una fila de la matriz por el resultado de una combinación lineal de esa fila con otra fila, con coeficientes α y β números reales diferentes de cero) .

Las transformaciones anteriores se emplean en el cálculo del rango de una matriz para transformarla en una matriz triangular superior. En ocasiones este proceso del cálculo del rango de una matriz no da como resultado una matriz triangular superior porque se ha anulado la última fila o las últimas filas. A una matriz con esas características se le denomina matriz escalón, matriz de forma escalonada.

Nuestro trabajo lo centraremos en el estudio de la matriz escalón y veremos un método para determinar el rango de este tipo de matrices.

A continuación presentaremos un teorema que nos permite determinar el rango de las matrices escalón.

Definición de Matriz Escalón

Se dice que una matriz A es una matriz escalón o tiene forma de escalón, si en cada fila es mayor el Nº de ceros que precede al primer elemento no nulo de la fila; es decir, si existen elementos no nulos.

Teorema

Sea una matriz A de orden m × n en la que son ceros todos los elementos de las k últimas filas, entonces: r(A) = m – k

Observación:

- El rango de una matriz escalón es igual al número de filas con elementos no nulos.

- Mediante transformaciones elementales es posible transformar una matriz en una matriz escalón, equivalente a la dada.

- Nos preguntamos: ¿ El rango de una matriz A y el de una matriz escalón equivalente a A será el mismo?. ¿Las transformaciones elementales alteran el rango de una matriz?

Ejemplos:

     El rango de A es 4.

Teorema: Las transformaciones elementales no alteran ni el orden, ni el rango de una matriz.

Propiedad: Dos matrices equivalentes tienen el mismo orden y el mismo rango

     El rango de B es 2.

     El rango de C es 4.

¿Cómo proceder en caso de que la matriz no esté en la forma trapezoidal o no se pueda determinar el rango directamente? Lo primero que se hace es llevar la matriz a la forma triangular superior.

1.- 6. Matriz inversa

 Comenzaremos definiendo el concepto de matriz regular.

En el apartado anterior aprendimos a calcular el rango de una matriz y también sabemos cómo determinar el orden de una matriz, con estos elementos claros, podemos definir entonces matriz regular.

Ejemplo: 

Determine cuáles de las siguientes matrices son regulares:

Recordemos que para determinar el rango de esta matriz nos

hace falta llevarla a la forma trapezoidal.

Definición:

Se llaman matrices regulares, a las matrices cuadradas cuyo orden es igual al rango(r) de la matriz.

Observación : Dijimos que el producto de matrices por lo general no es conmutativo, pero algunas matrices cuadradas conmutan. Estas matrices no solo conmutan sino que su resultado es la matriz identidad. En este caso se dice que ambas matrices son inversibles.

Ejemplo:

La matriz A= es inversible porque existe una matriz tal que:

1 era Definición de matriz inversible

Una matriz cuadrada A es inversible, si existe otra matriz cuadrada B que conmuta con A y que cumple: A. B  = B. A  = I

2 da Definición de matriz inversible

Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n x n. Suponga que

A. B  = B. A  = I. Entonces B se llama inversa de A y se denota

A-1, entonces se tiene: A . A-1 = A-1 . A = I

Si A tiene inversa, entonces se dice que A es inversible.

A.B = y B.A =

Observaciones.

- Podemos decir que es lo mismo designar a la matriz cuadrada como : inversible regular no singular

- lEl concepto de singular, no singular y de matriz adjunta lo estudiaremos con mas detalles con el concepto de determinantes .

Para demostrar este teorema, supongamos que las matrices cuadradas B1 y B2 son ambas la matriz inversa de A; entonces por la definición de matrz inversa :A.B1 = B1.A = I y A.B2 = B2.A =I, utilizando estas expresiones y la propiedad A. I =A, obtenemos: B1 = B1. I =B1. (A. B2) = (B1. A). B2= I. B2= B2 , con lo que queda demostrado.

Propiedades de la matriz inversa:

1) Si A es una matriz inversible (o no singular), entonces A -1 es inversible y se cumple:

(A-1)-1= A

2) Si A y B son inversibles ( o no singulares), entonces A.B sin inversibles y se cumple:

(A.B)-1= B-1. A-1

3) Si A es inversible( o no singular) entonces At es inversible y se verifica:

(At) -1 = (A-1) t

4) Si A es una matriz inversible (o no singular), y k un escalar se verifica:

(k. A)-1 = A-1.

Teorema 1: Una condición necesaria y suficiente para que una matriz A sea inversible es que A sea no singular.

Teorema 3: Si una matriz cuadrada A de orden n es inversible, entonces el rango de A es n

Teorema 2: La matriz inversa de una matriz cuadrada si existe es única.

Importante!

Como sabemos resolver un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 y expresarlo en forma matricial, veremos este importante caso :

Consideremos tener un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, expresado como una ecuación matricial A. X = B y suponemos que A es inversible, entonces:

A-1. A .X = A-1.B (multiplicando por izquierda por A-1)

I . X = A-1.B ( por ser A-1. A= I )

X = A-1.B ( por ser I. X = X ), esta es la solución del sistema porque se verifica:

A. X = A (A-1.B) = (A-1. A ).B = I . B = B, de esto podemos decir:

Método de resolución de ecuaciones para determinar la inversa de una matriz.

Determine la inversa de la siguiente matriz.

a)

3x -5z = 1 ; 3y – 5t = 0 resolviendo estos sistemas obtenemos:

-x + 2z =0 -y +2t =1 x = 2 ; y = 5 ; t = 3 ; z = 1

Luego, . El alumno puede comprobar fácilmente que A. A -1 = I.

Método de Gauss- Jordan para determinar la inversa de esta matriz.

El método llamado de Gauss- Jordan, consiste en ubicar la matriz a la cual se le quiere hallar la inversa en una tabla, ocupando la posición de la izquierda y la matriz identidad en la derecha y realizar transformaciones elementales hasta obtener en la izquierda la matriz identidad y la matriz que se obtenga en la derecha será la matriz inversa. Veremos el método a partir del propio ejemplo anterior.

A I

I A-1

Si A es inversible, el sistema A. X = B, tiene una solución única X = A-1.B.

Veamos cómo hemos obtenido en la columna de la izquierda la matriz identidad y en la columna de la derecha la matriz inversa.

A continuación aplicaremos el método a una matriz de orden 3.

1.- 7. Ejercicios resueltos

  1.-  Sean las matrices:

                 

a) Calcule A + D , A - D, A B, B E.

 

b) Calcule 3A - ½ D + 2 I.

 

c) Determine el rango de las matrices A, B, C, D  y diga si son regulares o no.  

Es regular porque el orden (3) es igual al rango (3).

  

No es regular porque no es cuadrada.

    

No es regular porque no es cuadrada.

Es regular porque el orden (3) es igual al rango (3).

d) Obtenga el elemento f 21 de F, si F = A D.

Para obtener el elemento f 21 no es necesario multiplicar las dos matrices, basta con trabajar con la fila 2 de A y la columna 1 de D.

Respuesta: El elemento f 21 es el -6.

2.- Encuentre los elementos de la matriz A = (a ij) si A es de orden 3× 2 y

aij = 2i + j.

3.-  Si pruebe que

Basta para realizar esta demostración con la multiplicación de A · A-1 = I.

4.-  Calcule, si es posible la inversa de P, si  p es regular?

 

DETERMINANTES

Introducción.

 

Hasta aquí hemos formulado la definición de matriz y reconocido los distintos tipos de matrices, definido y efectuado las operaciones con matrices y enunciado e interpretado el significado de las propiedades. En todos los casos nos arrojaron de resultado otra matriz.

En esta unidad abordaremos un concepto importante y muy particular, el de determinante de una matriz, con el cual resolveremos muchos problemas. Este concepto nos permitirá hallar otra forma de llegar a la inversa de una matriz y aprenderemos un nuevo método para resolver sistemas de ecuaciones utilizando los coeficientes del sistema y los términos independientes. La particularidad de este concepto es que a diferencia de las operaciones de matrices, que nos da de resultado otra matriz, éste no da un número.

Determinante de orden 1, 2 y 3.

  A cada matriz n-cuadrada A=(aij) se le asigna un número real particular denominado determinante de A, denotado por det (A), ó |A|, sea que:

- Una tabla ordenada n n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada determinante de orden n, no es una matriz.   - La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. 

Definición: Determinante de orden n es toda función que asigna a la matriz A nxn

un número que es el determinante de |A|, es decir: f: A nxn |A|

Definiciones:  1.- El determinante de orden uno o de una matriz 1 × 1, A = (a11) es el propio escalar a11, es decir: det (A) = |a11| = a11 ó | a11 | = a11   Ejemplos: Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos: det (24) = 24,   det (-3) = -3, det (3x+5) = 3x+5.

2.- El determinante de orden dos o de una matriz 2 x 2, A = ( a 22), se calcula multiplicando los elementos de la diagonal principal y restándolos al producto de los elementos de la diagonal no principal.

 

Ejemplos:

a) = 3 × 5 – 1 × 2 = 15 – 2 = 13

b) = 2 × (-3) – 1 × (-4) = -6 + 4

= -2

3.- El determinante de orden tres o de una matriz 3 × 3, o arbitraria A = (aij).

El determinante de A se define como sigue:

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 – a13 a22 a31 – a 1 2 a21 a 33 – a 11 a32 a 23

Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos:

a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13

– a13 a22 a31 – a 12 a 21 a 33 – a32a23a11

Regla de SARRUS ( Otra forma de resolver determinantes)

Podemos calcular un determinante de orden tres, a través de un esquema rectangular como se muestra a continuación:

Se añade las dos primeras columnas después de la tercera y luego se suman los productos en diagonal hacia abajo y restando los productos de las diagonales hacia arriba. (De manera análoga puede hacerse agregando, después de la tercera fila, las dos primeras filas).

Observación:

- Esta regla solo vale para determinantes de orden n 3.

- Para n > 3, usaremos otros métodos.

Ejemplos:

= 1·0·4 + 2·1·(-2) + 3·3 ·(-1) – (-1) ·(-2) ·0 - 3·2·4 - 3·1·1

= 0 – 4 – 9 – 0 – 24 – 3 = -16 – 24 = - 40

Definiciones:

Antes de definir un determinante de orden n, vamos a realizar las siguientes definiciones:

Menor: Sea A una matriz cuadrada de orden n x n y Mij la matriz de orden

(n-1) x (n-1) obtenida de A, suprimiendo la fila i y la columna j . La submatriz Mij recibe el nombre de menor del elemento i j de A.

 

Dada la matriz

La menor de la matriz An x n del elemento a11 es la matriz M 11que resulta de suprimir la fila 1 y la columna 1.

Ejemplo: Calculo de dos menores de una matriz 3 x 3.

Sea encuentre M 13 y M 32.

Eliminando la 1ª fila y la 3ª columna de A se obtiene: M 13=

Si se elimina el 3 er renglón y la 2 da columna: M 32=

Cofactor: Sea una matriz n x n. El cofactor i j de A, denotado por A ij está dado por : A ij = (-1) i+j ( también se le llama adjunto de aij) . El cofactor ij de A se obtiene tomando el determinante del menor ij y multiplicando por (-1) i+j.

(-1) i+j = 1 si i+j es par

-1 si i+j es impar

Ejemplo: Cálculo de dos cofactores de una matriz 4x4.

Definición: Determinante de orden nxn.

Sea A una matriz de nxn. El determinante de A, denotado por det(A) o |A|, esta dado por:

- Aquí se define el determinante mediante la expansión por cofactores en el primer renglón de A

- En otras palabras el determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna por sus respectivos cofactores.

- Por ejemplo, si desarrollamos un determinante de orden n por los adjuntos de la primera fila se tiene:

 Ejemplo: En este caso se va a suprimir la primera fila

| A | =

= (-2) |A11| + 1 |A12| + 1 |A13| + 0 |A14|

(-2)(-1)1+1 |A11| + 1 (-1)1+2 |A12| + 1 (-1)1+3 |A13|

 (-2)(-1)1+1 + 1 (-1)1+2 + 1 (-1)1+3

(-2)(1)(-17) + (1)(-1)(15) + (1)(1)(2) = 34 – 15 + 2 = 21

 

det (A) = |A|= a11 A11+ a 12 A 12 + a 13 A 13 + …..+ a 1n A 1n =

Propiedades de los determinantes.

Ejemplo:

Ejemplo: Sea la matriz B que resulta de intercambiar la columna 3 por la columna 1 de la matriz A:

Ejemplo: Sea la matriz B obtenida de multiplicar la segunda fila (f (2)) de la matriz A por el número 2:

Propiedad 1.- El determinante de una matriz y de su transpuesta son iguales. | A | = | At |.  

Propiedad 2.- Si en una matriz se intercambian de posición dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.  

Propiedad 3.- Si se multiplican todos los elementos de una fila (o de una columna) por un número, el determinante queda multiplicado por ese número.  

Ejemplo: Sea la matriz A, donde la columna 1 es igual a la columna 3:

Ejemplo: Sea la matriz A, donde f (2) = 2 f (3):

Ejemplo: Sea la matriz A:

Propiedad 4.- Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son iguales, el determinante es cero.  

Propiedad 5.- Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son proporcionales, el determinante es cero.  

Propiedad 6.- Si descomponemos en dos sumandos cada número de una fila (o de una columna) de una matriz, la suma de los determinantes de las dos matrices obtenidas con la descomposición en sumandos, es igual al determinante de la matriz original.  

Propiedad 7.- Si una fila (o columna) es combinación lineal de las otras filas (o columnas) de una matriz, el determinante es cero.  

Ejemplo: Sea la matriz A:

Ejemplo: Sea la matriz A, y la matriz B obtenida de sumarle a la tercera columna de A la primera columna de A multiplicada por (-2):

Ejemplo: Sea la matriz A triangular superior:

Ejemplo: Sean las matrices  A y B

Propiedad 8.- Si cambiamos una fila (o una columna) por la obtenida por la suma de esa fila más el producto de otra fila (o columna) por una constante, el determinante no varía.  

Propiedad 9.- El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los números de la diagonal principal.  

Propiedad 10.- El determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes |A·B| = |A| · |B|  

adj (A) = Ct = A* =

:

Cálculo de la inversa de una matriz mediante determinantes.

 Como habíamos dicho anteriormente una matriz cuadrada A es inversible si existe otra matriz B que conmuta con A y se cumple que AB = BA = I

 En este apartado trabajaremos un nuevo método para determinar la inversa de una matriz, no lo habíamos introducido antes ya que no teníamos la herramienta del cálculo de determinantes.

Para comenzar daremos una ccondición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada tenga inversa

¿Cuándo estaremos en presencia de una matriz singular o no?

Una matriz es singular si su determinante es igual a cero, por lo tanto es no singular cuando su determinante sea diferente de cero.

Observación: Si la inversa de una matriz existe es única. En lugar de matriz no singular también se dice matriz regular.

Antes de comenzar explicando el método para encontrar la matriz inversa por determinantes, daremos la definición de matriz adjunta.

Definición de matriz adjunta. Sea A una matriz nxn y C la matriz de sus cofactores. Entonces la adjunta A, escrito adj (A), es la traspuesta de la matriz de los cofactores C de orden nxn.

Es decir que la siguiente matriz se la puede expresar

Teorema Importante: Una matriz A es inversible si y solo si el det (A) 0

donde cij son los cofactores de los elementos aij de la matriz A.  

Ejemplo:

 Calcular la matriz adjunta de la matriz

c11= = 11; c12 =

= - 9; c13 =

= 3

c21 =  = 1 c22 = = - 7 c23 = - = 2

c31 = = -5 c32 = - = 11 c33 = = - 10

Llamemos C a la matriz de los cofactores y A* o ( adjA) a la traspuesta de C :

C= ; Adj (A)= A* =

Propiedades de la matriz adjunta

1.- (KA) = K n – 1 A* (n : orden de A),

2.- (AB)* = B * A *

3.- AA * = A *A = | A | I

 De propiedad 3, deducimos que | A | ≠ 0, por lo tanto se puede dividir toda la expresión por | A | y se obtiene:

.  De la definición de inversa sabemos que: A A-1 = A-1 A = I

Entonces: obtuvimos una nueva forma de determinar la inversa.

Ayuda:  Pasos a seguir para calcular la inversa de una matriz cuadrada regular

a)  Se encuentra la matriz de los cofactores

b) Se halla la matriz transpuesta de la matriz de los cofactores (adjunta).c) Se calcula el determinante de la matriz. d) Se divide cada elemento de la matriz resultante por el determinante (nº). e) Todos los elementos resultantes serán los elementos de la matriz

inversa.

Ejemplo 1: Determine la matriz inversa de la matriz A.

, a) la matriz de los cofactores es:

b) su traspuesta:;

c) El determinante es :

Como |A| = 10 entonces A es inversible.

d) y e)  

Ejemplo 2 :

A=

c)

verificación :

A-1. A =

Resolución de Sistemas de Ecuaciones. Sistema Crameriano.

  El método que a continuación se presenta solo es aplicable a los sistemas, cuyas matrices del sistema sean cuadradas ( A nxn), o sea aquellos que tengan igual número de ecuaciones que de variables, y además el determinante de dicha matriz sea distinto de cero ( )

Este método también recibe el nombre de Regla de Cramer.

Dado el sistema de ecuaciones lineales:  

Obtengamos las soluciones del mismo escalonando la matriz ampliada:

Formando el sistema

(a12 a21 – a22 a11) x2 = b1 a21 – b2 a11 (1)

a11x1 + a12 x2 = b1 (2)

 Despejando x2 en (1)

Sustituyendo x2 en (1) y despejando x1, obtenemos  

En ambas expresiones aparecen números reales tanto en el numerador como en el denominador, notemos también que ambos denominadores son iguales, otra forma de escribir estas expresiones es la siguiente:

              

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes:

1. Hallar la matriz ampliada (A¦b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.

2. Calcular el determinante de A.

3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:

a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes;   b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita;   c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas.  

Ejemplo:   Sistema 2 x 2.Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:    

 Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer.   Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A¦ b asociada al sistema de ecuaciones lineales:         

 

  El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues:   |A|  = 3 · 5 + 2 · 1 = 17 Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:

Nótese que no hemos obtenido otra cosa que el cálculo de tres determinantes de orden dos, digo tres porque los denominadores son iguales.

Sistema 3 x3. Para el caso de los sistemas de tres ecuaciones con tres variables, la fórmula quedaría de la siguiente forma:

Dado un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables  

La fórmula de Cramer será:

                                 

Ejemplo:

Resuelve el siguiente sistema aplicando la regla de Cramer:

 

Realiza los Ejercicios Propuestos

  1.- Calcule los siguientes determinantes:

 

2.- Determina los valores de K para los cuales:

     

                           

3.- Calcula los siguientes determinantes:

4.- Sean:

Halle la matriz X  tal que A.X = B      

        

5.- Resuelve los siguientes sistemas aplicando la regla de Cramer.

6.- Si A es una matriz de orden 3 y se conoce que |A| = 18. Calcule |B| en cada uno de los siguientes casos:

a) La matriz B se obtiene al multiplicar por 1/3 la tercera fila de la matriz A.

b) La matriz B se obtiene sumando las columnas uno y dos de la matriz A y colocando el resultado en la columna uno.

7.- Determine, sin efectuar los cálculos, cuáles de los siguientes determinantes son nulos:

 

Autoexamen.

  1.- Complete las siguientes proposiciones de forma tal que se obtenga una formulación correcta

a) El determinante de una matriz cuadrada es cero en cualquiera de los siguientes casos:

------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------

b) Si se multiplican todos los elementos de una fila o --------------------- de un determinante por un número, el determinante queda ---------------------- por ------------------ número.

c) Si se intercambian entre sí dos filas o ------------------- de un determinante, este ---------------------- de signo.

d) El determinante de una matriz ------------- es igual al producto de los elementos de la ------------   ---------------.

2.- Calcule los siguientes determinantes aplicando las propiedades estudiadas

                

3.- Resuelva el siguiente sistema de

ecuaciones aplicando la regla de

Cramer:

4.-Resuelva el siguiente

sistema usando el método de

Gauss matricial

              

                 

5.- Diga si son Verdaderas o Falsas las afirmaciones siguientes:

a) La matriz 

es una solución de AX = B.

donde

b) La matriz

cumple con lo siguiente:

= - 2 La matriz P se llama matriz identidad.

6.- Sea la matriz

a)    Si f (x) = x2 – x hallar f (M)

b)    Calcular M-1