UNIFACS – Universidade SalvadorCurso: EngenhariasDisciplina: Equações Diferenciais e Séries 2014.2

1a Lista de Exercícios

1) Através da seqüência das somas parciais analise a convergência das seguintes séries:

a) ( Escreva )

b) ( sn = 1 + 2 + 3 + ...+ n = é a soma dos n primeiros termos de uma P.A);

c) ( Escreva an = ln n ln ( n+1 ) )

d) e)

2) Utilizando séries geométricas, expresse as decimais não finitas, a seguir, como uma fração:

a) 0,444... b) 5, 1373737.... c) 0,159159159...

3) Uma bola é derrubada de uma altura de 9m. Cada vez que ela toca o chão sobe novamente, verticalmente, a uma altura que é 2/3 da distância da qual ela caiu. Determine a distância total percorrida pela bola até parar.

4) A figura ao lado mostra uma “escada infinita”. Ache o volume total da escada sabendo que o maior cubo tem lado 1 e cada cubo tem sucessivamente um lado cujo tamanho é a metade do lado do cubo precedente.

5)

6) Encontre o valor de b para o qual

1

A figura ao lado mostra os 5 primeiros quadrados de uma seqüência infinita formada da seguinte maneira: O quadrado externo tem lado igual a 2. Cada um dos outros quadrados é obtido ligando-se os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Calcule:

a) a soma dos perímetros de todos os quadrados da seqüência.

b) a soma das áreas de todos os quadrados da seqüência.

7) Encontre os valores de x para os quais a série converge e a soma da série para esses

valores.

8) Através da série geométrica calcule as seguintes somas:

a) ; b) ; c) ; d)

e) f)

9) Verifique que as séries a seguir são convergentes pelo Critério de Leibniz. Calcule a soma sn e o erro cometido quando a soma S da série é aproximada por sn.

a) ; s4: b) ; s3

10) Calcule quantos termos precisamos adicionar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada

a) ( erro < 0,01); b) ( erro < 0,001 )

11) Mostre que a série alternada converge por Leibniz e calcule a soma da série com

precisão de 3 casas decimais.

12) Utilizando os critérios e propriedades vistos analise o comportamento das seguintes séries quanto à convergência

a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j) k) l)

m) n)

o) p)

13) Mostre, usando o critério da razão, que as seguintes séries são convergentes para todo x real.

a) ; b) ; c)

Observação: As séries acima são respectivamente as séries de f(x) = ex, f(x) = cosx e f(x) = senx

2

14) Encontre o raio e o domínio de convergência ( a menos dos extremos) das seguintes séries

b)d) e)

15) A partir da série geométrica ; dê a representação em série das

seguintes funções, indicando a região de convergência.

a) b) c) d)

16) A partir da série , e usando derivação ou integração, mostre que

a)

b)

c)

17) A partir das séries , cosx = R e

senx = R; dê a representação em série das seguintes funções, indicando a

região de convergência.

a) b) c) f(x) = xsen2x d) f(x) = x2 cosx

18) Encontre os quatro primeiros termos da série de MacLauren para as

seguintes funções:

a) ; b)

19) Usando a série de MacLauren encontre

a) Um polinômio de grau 2 para aproximar a função

b) Um polinômio de grau 3 para aproximar a função

3

20) A partir da série da função f(x) = ex; encontre uma série de potências de x para a função

. Use a série encontrada para encontrar a expansão em série da integral e

calcule o valor da soma parcial s5. (Observe que a série encontrada converge por Leibniz e que portanto a soma s5 tem erro menor que a6 ). Calcule o erro.

21) “Se é o erro de uma aproximação, então esta terá precisão de k casas decimais se .” .Usando este resultado, calcule:

a) , com precisão de três casas decimais.

b) , com precisão de cinco casas decimais.

c) , com precisão de quatro casas decimais.

22) Use a série do exercício 16 b) para encontrar ln(1,1) com precisão de três casas decimais

23) Use séries de potências para provar a fórmula de Euler

24) Com relação à convergência de séries, analise as seguintes afirmações

I. Se a série é convergente, então

II. A série é divergente

III. Se o raio de convergência da série é 3, então uma possível região de

convergência é .

IV. Se a série converge para valores de x tais que , então o raio

de convergência da série é 2/3.É correto apenas o que se afirma em

A) I e IIB) I e IIIC) III e IVD) I, II e IVE) II, III, IV

4

25)A força da gravidade em um objeto de massa m a uma altura h acima da superfície da Terra é

, onde R é o raio da Terra e g a aceleração da gravidade. Fazendo pode-se

escrever F em função de H,

. A série de potências em H de F mostra que se aproximarmos F pelo primeiro termo

da série obtemos a expressão que é a expressão usada quando h é muito menor que R, ou seja

A série de potências em H de F é dada por

A)B)C)D)E)

26)

Na teoria da relatividade de Einstein, a massa de um objeto se movendo a uma velocidade

v é dada pela expressão , onde m0 é a massa do objeto em repouso e c é

a velocidade da luz. A energia cinética relativística K do objeto é a diferença entre sua energia total e sua energia em repouso e é dada por

O desenvolvimento em série de Maclaurin da função K mostra que se considerarmos v muito menor que c, então a energia relativística é praticamente igual à energia newtoniana. O coeficiente do termo em v2 do desenvolvimento em série de potências de v da energia K é dado por

A) ; B) ; C) ; D) ; E)

Respostas:

1) a) Converge a ; b) Diverge; c) Diverge; d) Converge a 1; e) Converge a 1

2) a) ; b) ; c) 3) 45m; 4) ; 5) a) m ; b) 8 m2 6) b = ln(8/9)

7) A série converge para e sua soma é

5

8 a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f)

9) a) . O erro absoluto cometido é menor que a5 = 0,008

b) . O erro absoluto cometido é menor que a4 = 0,0000248

10) a) 9; b) 5 ; 11)

12) São divergentes: c); d); f); j); l); m) e o) As demais convergem.

14) a) Dc = ]1, 1[; r = 1; b) Dc = ]4/3, 2/3[ ; r = 1/3; c) Dc = ] 1, 5 [; r = 2 ; d) Dc = R , r =

e) Dc= ]1, 5[, r = 3

15) a) ; b) ; c)

d)

17) a) ; b) ; c)

; d)

18) a) ; b)

19) a) ; b)

20) ; . O erro é menor que

21) a) ; b) ; c)

22) = 0,095; 24) D) 25) E; 26) A

6