1995年全国硕士研究生入学统一考试

经济数四试题详解及评析

一、 填空题

（1） 设1lim( )

aax t

x

x te dtx −∞→∞

+= ∫ 则常数 a = __________________.

【答】 2

【详解】 左边1lim[(1 ) ] ,x

xe

xα α

→∞= + =

右边 ,t t t tte dt tde te e dt e eα α αα α αα

−∞−∞ −∞ −∞= = = − = −∫ ∫ ∫

由左边=右边,得 ,e e eα α αα= − 解得 2.α =

（2）设 , ( )yz xyf f ux

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

可导，则 x yxz yz′ ′+ = ____________________.

【答】 2z 【详解】 因为

2

2 ,xy y y y y yz yf xy f yf fx x x x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′= + ⋅ ⋅ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 ,yy y y yz xf xy f xf yfx x x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′= + ⋅ ⋅ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

于是

2 2x y

y y y yxz yz xyf y f xyf y fx x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′ ′+ = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2yxyf zx

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

（3）设 ( )ln 1 ,f x x′ = + 则 ( )f x = ______________________.

【答】 xx e C+ +

【详解】 令

ln ,x t= 则 ,tx e=

于是由题设有

( ) 1 ,tf t e′ = + 即 ( ) 1 ,xf x e′ = +

故

( )( ) 1 .x xf x e dx x e C= + = + +∫

（4）设

1 0 02 2 0 ,3 4 5

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A A 是 A的伴随矩阵，则 ( ) 1−∗ =A ________________.

【答】

1 0 0101 1 0 .5 53 2 1

10 5 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

【详解】因为 ,∗ =AA A E 从而

( ) ( )1 1

1 0 010

1 1 1 1 1 0 .10 5 5

3 2 110 5 2

− −∗

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A A A = A =A A

（ 5）设 X 是一个随机变量，其概率密度为1 1 0

( ) 1 0 10

x xf x x x

+ − ≤ ≤⎧⎪ − < ≤⎨⎪⎩

若

若

其他

，则方差

( ) ________ .=D X

【答】 16

【详解】 0 1

1 0( ) ( ) ( ) (1 ) 0,X xf x dx xf x dx x x dx

+∞

−∞ −= = + − =∫ ∫ ∫E

2 2( ) ( ) ( )X X x f x dx+∞

−∞= = ∫D E

0 12 2

1 0

1(1 ) (1 ) .6

x x dx x x dx−

= + + − =∫ ∫

二、选择题

（1）设 ( )f x 为可导函数，且满足条件0

(1) (1 )lim 1,2x

f f xx→

− −= − 则曲线 ( )y f x= 在点

( )1, (1)f 处的切线斜率为

( ) ( ) ( ) ( )12. 1. . 2. 2

A B C D− −

【答】 应选 ( )D .

【详解】 本题实际上是要求 ( )1 ,f ′ 由题设

0 0

(1) (1 ) 1 (1 ) (1)lim lim2 2x x

f f x f x fx x→ →

− − − −=

−

( )1 1 1,2

f ′= = −

得

( )1 2.f ′ = −

（2）下列广义积分发散的是

( ) ( )1 1

21 1

1 1. .sin 1

A dx B dxx x− − −

∫ ∫

( ) ( )2

20 2

1. .ln

xC e dx D dxx x

+∞ ∞−∫ ∫

【答】 应选 ( )A .

【详解】 由于 0x = 是1

sin x的间断点，且

0

1sinlim 1,1x

x

x→

= 根据极限判敛法便知

1

1

1sin

dxx−∫ 发散.

(3)设 n维列向量 1 1,0, ,0,2 2

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

α ，矩阵T TA = E -αα,B = E + 2αα其中E是 n阶单位

矩阵，则 AB等于

( )A 0. （B）—E （C）E (D) TE α α+

【答】 (C)

【详解】 T T T T TAB E E Eα α α α α α α α α α =( - )( + 2 )= + 2 - - 2

T T TE α α α αα α= + - 2 ( )

12 .2

T T= + − =iE Eα α α α

（4）设矩阵 m n×A 的秩为 ( ) , mR m n= <A E 为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是

( )A A的任意m个列向量必线性无关.

( )B A的任意m阶子式不等于零.

( )C A通过初等行变换，必可以化为 ( ),mE O 的形式.

(D) 非齐次线性方程组 Ax b= 一定有无穷多组解.

【答】 应选 ( )D .

【详解】 对于 ,m n×A 若 ( ) ,r m=A 则每个行向量添加一个分量后得 ( ),A b 其秩序仍为

m ,即 ( ) ( ), ,r A r= A b

所以 Ax = b一定有解,又 ,m n< 故有无穷多解.

( ) ( )A B、 中“任意”应改为“存在”；

( )C 中若改为通过初等变换（包括行、列变换），则必可化为 ( ),mE O 的形式.

只有 ( )D 为正确答案.

（5）设随机变量 X 服从正态分布 ( )2,µ σN ，则随σ 的增大，概率 { }µ σ− <P X

( )A 单调增大. ( )B 单调减小. ( )C 保持不变 ( )D 增减不定

【答】 应选 ( )C .

【详解】由于 ( )2~ ,µ σX N ，则

( )~ 0,1 ,µσ−

=XY N

{ } { }1 .µ σ− < = <P X P Y

可知此概率不随σ 和µ的变化而改变.

三、(本题满分 6分)

设

( )2

2

0

2 1 cos , 0,

( ) 1, 0,1 cos , 0.

x

x xx

f x x

t dt xx

⎧ − <⎪⎪

= =⎨⎪⎪ >⎩ ∫

试讨论 ( )f x 在 0x = 处的连续性和可导性.

【详解】 （1）由

( )20 0

2 sinlim 1 cos lim 1,x x

xxx x− −→ →

− = =

22

00 0

1 coslim cos lim 1,1

x

x x

xt dtx+ +→ →

= =∫

可知0

lim ( ) 1 (0).x

f x f→

= =

于是，函数 ( )f x 在 0x = 处连续,

（2）分别求 ( )f x 在 0x = 处的左、右导数.

( )20

2 1 cos1(0) lim 1x

xf

x x−−→

−⎡ ⎤′ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) 2

3 20 0

2 1 cos 2sin 2lim lim3x x

x x x xx x− −→ →

− − −= =

0 0

2cos 2 sin lim lim 0,6 3x x

x xx− −→ →

− −= = =

2

00

1 1(0) lim cos 1x

xf t dt

x x++→

⎛ ⎞′ = −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

22

020 0

1 cos cos 1 lim lim2

x

x x

t dt x xxx x+ +→ →

− −= =

∫

2

0

2 sinlim 02x

x x+→

−= =

由于左、右导数都等于 0，可见 ( )f x 在 0x = 处可导，且 ( )0 0.f ′ =

四、(本题满分 6分)

求不定积分2(arcsin ) .x dx∫

【详解】 方法一:

2 2

2

2 arcsin(arcsin ) (arcsin ) .1

x xx dx x x dxx

= −−

∫ ∫

2 2

2

arcsin(arcsin ) (1 )1

xx x d xx

= + −−

∫

2 2(arcsin ) 2 1 arcsin 2x x x x dx= + − − ∫

2 2(arcsin ) 2 1 arcsin 2 .x x x x x C= + − − +

方法二:

令 arcsin ,u x= 则 sin , cos .x u dx udu= =

2 2 2(arcsin ) cos sinx dx u udu u d u= =∫ ∫ ∫

2 sin 2 cos 2 cosu u u u udu= + − ∫

2 sin 2 cos 2sinu u u u u C= + − +

2 2(arcsin ) 2 1 arcsin 2 .x x x x x C= + − − +

五、(本题满分 7分)

设 ( ) ( )f x g x、 在区间[ ]( ), 0a a a− > 上连续， ( )g x 为偶函数，且 ( )f x 满足条件

( ) ( )f x f x A+ − = （ A为常数）.

（1）证明 ( ) ( ) ( )0

;a a

af x g x dx A g x dx

−=∫ ∫

（2）利用（1）的结论计算定积分 2

2

sin arctan .xx e dxπ

π−∫

【详解】

（1） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0,

a a

a af x g x dx f x g x dx f x g x dx

− −= +∫ ∫ ∫

( ) ( )0

af x g x dx

−∫ x t= − ( ) ( ) ( ) ( )0

0.

a

af t g t dt f x g x dx− − − = −∫ ∫

于是

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

a a a

af x g x dx f x g x dx f x g x dx

−= − +∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )0 0

.a a

f x f x g x dx A g x dx= + − =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫

（2） 取 ( ) ( )arctan , sin , .2

xf x e g x x a π= = = 则 ( ) ( )f x g x、 在 ,

2 2π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

上连续

( )g x 为偶函数，由于

( )arctan arctan 0,x xe e− ′+ =

可见 arctan arctan ,x xe e A−+ =

令 0x = ，得2arctan ,xe A=

故 .2

A π= 即 ( ) ( ) .

2f x f x π

+ − =

于是，有

( )2 20

2

sin arctan sin cos .22 2 20

xx e dx x dx xπ π

π

ππ π π

−= = − =∫ ∫

六、(本题满分 6分)

设某产品的需求函数为 ( ) ,=Q Q P 收益函数为 ,=R PQ 其中 P 为产品价格，Q为需求量

（产品的产量）， ( )Q P 是单调减函数.如果当价格为 0P 对应产量为 0Q 时，边际收益

0

0,d aQ Qd

= >=

RQ

，收益对价格的边际效应0

0,d cP Pd

= <=

RP

需求对价格的弹性为

1.P b= >E 求 0P 和 0Q .

【详解】 由收益函数 ,=R PQ 对Q求导，有

( ) 11 ,p

dd d

dd d

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎛ ⎞

= + = + − − = −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

PR P PP Q P P PQQ Q E

Q

00

11 ,d aQ Qd b

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟= ⎝ ⎠R PQ

得 0 .1

abb

=−

P

由收益函数 ,=R PQ 对 P 求导，有

( ) ( )1 ,p

dd d

dd d= + = − − = −

QR Q QQ P Q Q Q EPP P

P

( )00

1 ,d b cP Pd

= − ==

R QP

于是 0 .1

cb

=−

Q

七、(本题满分 5分)

设 ( )f x 在区间[ , ]a b 上连续，在 ( , )a b 可导，证明：在 ( , )a b 内至少存在一点ξ，使

'( ) ( ) ( ) ( )bf b af a f fb a

ξ ξ ξ−= +

−.

【详解】 方法一:

作辅助函数 ( ) ( ),F x xf x= 则 ( )f x 在[ , ]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,从而在

( , )a b 内存在一点ξ ,使

'( ) ( ) ( ),F b F a Fb a

ξ−=

−

由于''( ) ( ) ( )F x f x xf x= + ,

可见 '( ) ( ) ( ) ( )bf b af a f fb a

ξ ξ ξ−= +

−.

方法二:

改ξ为 x ,得

'( ) ( ) ( ) ( ),bf b af a f x xf xb a

−= +

−

即 ( ) ( ) ' [ ( )]' 0.bf b af a x xf x

b a−

− =−

积分得辅助函数为

( ) ( )( ) ( ).bf b af aF x x xf x

b a−

= −−

则 ( )F x 在[ , ]a b 上连续,在 ( , )a b 内可导,且 ( ) ( ) 0,F a F b= =

由罗尔定理知,存在 ( , ),a bξ ∈ 使得' ( ) 0,F ξ = 即

'( ) ( ) ( ) ( )bf b af a f fb a

ξ ξ ξ−= +

−.

八、(本题满分 9分)

求二元函数2( , ) (4 )z f x y x y x y= = − − 在由直线 6x y+ = ， x轴和 y轴所围城的闭区域

D的极值、最大值、最小值.

【详解】

由方程组 ' 2

' 2 2

( , ) 2 (4 ) 0

( , ) (4 ) 0x

y

f x y xy x y x y

f x y x x y x y

⎧ = − − − =⎪⎨

= − − − =⎪⎩

得 0, (0 6)x y= ≤ ≤ 及点 (4,0), (2,1).

点(4,0)及线段 0(0 6)x y= ≤ ≤ 在D的边界上.只有点 (2,1)是可能的极值点

2" 8 6 2 ,xxf y xy y= − −

2" 8 3 4 ,xyf x x xy= − −

2" 2 ,yyf x= −

在点(2,1)处

221

" 8 6 2 6 0,xxxy

A f y xy y ==

= = − − = − <

221

" 8 3 4 4,xxyy

B f x x xy ==

= = − − = −

221

" 2 8,xyyy

C f x ==

= = − = −

2 16 48 32 0,B AC− = − = − <

因此点 (2,1)是极大值点,极大值为 (2,1) 4f = ,

在边界 0(0 6)x y= ≤ ≤ 和 0(0 6)y y= ≤ ≤ 上 ( , ) 0f x y = ,

在边界 6x y+ = 上, 6 ,y x= − 代入 ( , )f x y 中得

3 22 12 , (0 6),z x x x= − ≤ ≤

由 2' 6 24 0z x x= − = 得 0, 4x x= = .

4 4

" 12 24 24 0,x x

z x= =

= − = >

所以点(4,2)是边界上的极小值点,极小值为 (4,2) 64f = − .

经比较得最大值为 (2,1) 4,f = 最小值为 (4,2) 64.f = −

九、(本题满分 8分)

对于线性方程组

1 2 3

1 2 3

1 2 3

32

2

x x xx x xx x x

λ λλ+ + = −⎧

⎪ + + = −⎨⎪ + + = −⎩

讨论λ取何值时，方程组无解，有唯一解和无穷多解，在方程组有无穷多解时，试用其导出

组的基础解系表示全部解.

【详解】 对方程组的增广矩阵施以初等行变换:

2

1 1 3 1 1 21 1 2 0 1 1 01 1 2 0 1 1 3( 1)

Aλ λ λ

λ λ λλ λ λ λ

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − → − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1 20 1 1 0 .0 0 ( 2)( 1) 3( 1)

λλ λ

λ λ λ

−⎡ ⎤⎢ ⎥→ − −⎢ ⎥⎢ ⎥− + − −⎣ ⎦

i. 当 2λ ≠ − 且 1λ ≠ 时, ( ) ( ) 3,r A r A= = 从而方程组有唯一解.

ii. 当 2λ = − 时, ( ) 3, ( ) 2,r A r A= = 由于 ( ) ( )r A r A≠ ,方程组无解.

iii. 当 1λ = 时,有

1 1 1 20 0 0 0 .0 0 0 0

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥→ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

可见, ( ) ( ) 1 3r A r A≠ = < ,故方程组有无穷多解.

又由此可得与原方程组同解的方程组为

1 2 32 ,x x x= − − −

令 2 3 0,x x= = 得其特解 0 ( 2,0,0)Tu = −

与原方程组的导出组同解的方程组为

1 2 3 ,x x x= − −

由此可得基础解系为

1 2( 1,1,0) , ( 1,1,0) .T Tv v= − = −

于是,原方程组的全部解为

0 1 1 2 2 1 2

2 1 10 1 0 ,0 0 1

x u c v c v c c− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + + = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

其中 1 2,c c 是任意常数.

十、(本题满分 8分)

设三阶矩阵 A满足 ( 1,2,3)i ii i= =Aα α ，其中列向量 1 2(1,2,2) , (2, 2,1)T T= = −α α

3 ( 2, 1,2)T= − −α 试求矩阵 A

【详解】由 ( 1,2,3)i ii i= =Aα α 可得

1 2 3 1 2 3( , , ) ( , 2 ,3 ),=A α α α α α α

上式可写为 ,=AP B 因为

1 2 3

1 2 2, , 2 2 1 27 0,

2 1 2P α α α

−⎡ ⎤⎢ ⎥= = − − = − ≠⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

所以矩阵 P 可逆,由此可得 1,−=A BP

而 1

1 2 21 2 2 1 ,9

2 1 2

−

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

P

所以

7 203 31 4 6 1 2 2

1 5 22 4 3 2 2 1 0 .9 3 3

2 2 6 2 1 2 2 2 23 3

⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

A

十一、(本题满分 8分)

假如一厂家生产的每台仪器，以概率 0.70可以直接出厂；以概率 0.30需进一步调试，

经调试后以概率 0.80可以出厂；以概率 0.20定为不合格不能出厂.现该厂新生产了 ( )2n n ≥

台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求：

（1）全部能出厂的概率 ;α

（2）其中恰好有两件不能出厂的概率 ;β

（3）其中至少有两件不能出厂的概率 .θ

【详解】 对于新生产的每台仪器，引进事件：

{ } { }A B= =仪器需进一步调试 ， 仪器能出厂 ，则

{ } { }.A AB= =仪器能直接出厂 ， 仪器经调试后能出厂

由条件知， ,B A AB= +

( ) ( )0.30, | 0.80,P A P B A= =

( ) ( ) ( )| 0.30 0.80 0.24.P AB P A P B A= = × =

( ) ( ) ( ) 0.70 0.24 0.94.P B P A P AB= + = + =

设 X 为所生产的 n台仪器中能出厂的台数，则 X 作为 n次独立试验成功（仪器能出厂）

的次数，服从参数为 ( ),0.94n 的二项分布，

因此

{ } 0.94 ,nP X nα = = =

{ } 2 2 22 0.94 0.06 ,nnP X n Cβ −= = − = ⋅ ⋅

{ } { } { }2 1 1P X n P X n P X nθ = ≤ − = − = − − =

11 0.94 0.06 0.94 .n nn −= − × × −

十二、(本题满分 7分)

假设随机变量 X 服从参数为 2的指数分部.证明： 21 XY e−= − 在区间 (0,1)上服从均匀

分布.

【证明】 X 的分布函数21 , 0,

( )0, 0,

xe xF X

x

−⎧ − >= ⎨

≤⎩

21 2 xy −= − 是单调增函数,其反函数

ln(1 ) ,

2yx −

= −

设 ( )G y 是Y 的分布函数,则

2( ) { } {1 },xG y P Y y P e y−= ≤ = − ≤

0, 0,1{ ln(1 )},0 1,2

1, 1,

y

P X y y

y

≤⎧⎪⎪= ≤ − − < <⎨⎪

≥⎪⎩

0, 0,,0 1,

1, 1.

yy y

y

≤⎧⎪= < <⎨⎪ ≥⎩

于是,Y 在 (0,1)服从均匀分布.

1996年全国硕士研究生入学统一考试

经济数学四试题详解及评析

二、 填空题

（1） 设方程 yx y= 确定 y是 x的函数，则dy = _____________________.

【答】 ( )1 ln

dxx x+

【详解】 先取对数 ln ln ,x y y=

等式两边对 x求导，得 1 1ln ,y y y yx y

′ ′= + ⋅ ⋅

解得( )

1 ,1 ln

yx x

′ =+

故( )

.1 ln

dxdy y dxx x

′= =+

（2） 设 ( ) arcsin ,xf x dx x C= +∫ 则( )1 dx

f x=∫ ________________.

【答】 ( )321 13

x C− − +

【详解】 ( ) arcsin ,xf x dx x C= +∫

两边对 x求导，得 ( )2

1 ,1

f xx x

=−

故

( ) ( ) ( ) ( )1 32 2 2 221 1 11 1 1 1 .

2 3dx x x dx x d x x C

f x= − = − − − = − − +∫ ∫ ∫

（3） 设 2 '''3

ln( 1 ), _______ .x

y x x y=

= + + =则

【答】 5

32

【详解】 由于

2 2 2

1 2 1' (1 ) ,1 2 1 1

xyx x x x

= + =+ + + +

i

32 2

2 3

1" (1 ) 2 ,2 (1 )

xy x xx

−= − + = −

+i

3 5 52 2 2 22 2 23"' (1 ) (1 ) 2 (1 ) (2 1),

2y x x x x x x

− − −= − + + + = + −i

于是 '''3

5 .32x

y=

=

（4） 五阶行列式

1 0 0 01 1 0 0

______ .0 1 1 00 0 1 10 0 0 1 1

a aa a

D a aa a

a

−− −

= =− −− −

− −

【答】 2 3 4 51 .a a a a a− + − + −

【详解】 .按第一行展开,得递推关系式

5 4 3 3 2 3(1 ) (1 )[(1 ) ]D a D aD a a D aD aD= − + = − − + +

23 2[(1 ) ] (1 )a a D a a D= − + + −

22 2(1 )[(1 ) (1 )] (1 )a a a D a a a a D= − + − + − + −

2 2 2(1 )[(1 )(1 ) (1 )] (1 )(1 )a a a a a a a a a a a= − + − − + + − + − − +

2 3 4 51 .a a a a a= − + − + −

（5）一实习生用同一台机器独立连接地制造 3个同种零件，第 i个零件是不合格的概率1 ( 1,2,3)

1ip ii

= =+

，以 X 表示 3个零件中合格的个数，则 { 2}P X = = ___________.

【答】 1124

【详解】 若以 iA表示，第 i个零件是否合格品,则

1 2 3 1 2 3 1 1 3{ 2} ( ) ( ) ( )P X P A A A P A A A P A A A= = + +

1 2 1 1 1 3 1 2 3 11 .2 3 4 2 3 4 2 3 4 24

= + + =i i i i i i

二、选择题

（1）设 ' '' ''0 0 0( ) ( ) 0, ( ) 0f x f x f x= = > 则下列选项正确的是

（A） '0( )f x 是

' ( )f x 的极大值

（B） 0( )f x 是 ( )f x 的极大值

（C） 0( )f x 是 ( )f x 的极小值

（D） 0 0( , ( ))x f x 是曲线 ( )y f x= 的拐点

【答】 应选(D)

【详解】 （A）（B）(C）可用反例 30( ) , 0f x x x= = 说明均不成立,故只有(D)为正确选

项.事实上,由定义

0 0

00

0

"( ) "( ) "( )"( ) lim lim 0,0x x x x

f x f x f xf xx x x→ →

−= = >

→ −

于是存在 0x 的某邻域,在此邻域内有 0

"( ) 0f xx x

>−

.

可见，在 0x 的左侧 "( ) 0f x < ,曲线下凹;在 0x 的右侧 "( ) 0f x > ,曲线上凹,

因此 0 0( , ( ))x f x 是曲线 ( )y f x= 的拐点

(2) 设 ( )f x 处处可导，则

( )A 'lim ( )x

f x→+∞

= +∞时，必有. lim ( )x

f x→+∞

= +∞

( )B lim ( )x

f x→+∞

= +∞时，必有 'lim ( )x

f x→+∞

= +∞

( )C 'lim ( )x

f x→−∞

= −∞时，必有 lim ( )x

f x→−∞

= −∞ .

( )D lim ( )x

f x→−∞

= −∞时，必有 'lim ( )x

f x→−∞

= −∞ .

【答】 应选(A)

【详解】 令 ( )f x x= ,则 lim ( )x

f x→±∞

= ±∞ ,但 '( ) 1f x = ,可见(B),(D)均不正确.

令 ( ) xf x e−= ,则 'lim ( ) lim ,x

x xf x e−

→+∞ →−∞= − = −∞ 但 lim ( ) lim ,x

x xf x e−

→−∞ →−∞= = +∞

故(C) 也不正确,因而只有(A)是正确选项.

(3) 设n阶矩阵 A非奇异 ( )2 ,n ∗≥ A 是矩阵 A的伴随矩阵,则

( )( ) ( )( )1 1 n nA B∗ ∗− +∗ ∗A = A A. A = A A.

( )( ) ( )( )2 2 n nC D∗ ∗− +∗ ∗A = A A. A = A A.

【答】 应选 ( )C

【详解】 涉及伴随矩阵 ∗A ,首先想到公式 ∗ ∗=AA A A = A E.

1,∗ −=A A A

于是

( ) ( ) ( )1 1 1∗ ∗∗ − − −= ⋅A = A A A A A A

( ) 1 21 11 n n− −− −= ⋅ ⋅ =A A A A A.A

(4) 设有任意两个 n 维向量组 1, , mα α 和 1, , mβ β ,若存在两组不全为零的数

1, , mλ λ 和 1, , ,mk k ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1m m mk k kλ λ λ+ + + + + − +α α β

( ) ,m m mkλ+ − = 0β 则

( )A 1, , mα α 和 1, , mβ β 都线性相关.

( )B 1, , mα α 和 1, , mβ β 都线性无关.

( )C 1 1 1 1, , , , ,m m m m+ +α β α β α − β α − β 线性无关.

( )D 1 1 1 1, , , , ,m m m m+ +α β α β α − β α − β 线性相关.

【答】 应选 ( )D

【详解】 由题意知,

1, , mλ λ 和 1, , ,mk k 两组数均不全为零,将已知条件整理后得

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1m m m m m mk kλ λ+ + + + + + + = 0α β α β α − β α − β

由向量组的线性相关性定义知

1 1 1 1, , , , ,m m m m+ +α β α β α − β α − β 线性相关.

(5) 已知 ,A B为任意两个事件且 , ( ) 0A B P B⊂ > ，则下列选项必然成立的是

（A） ( ) ( )P A P A B< （B） ( ) ( )P A P A B≤

（C） ( ) ( )P A P A B> （C） ( ) ( )P A P A B≥

【答】 应选(B)

【详解】 由 , ( ) 0A B P B⊂ > 知

( ) ( )( | ) ( ),( ) ( )

P AB P AP A B P AP B P B

= = ≥

故(B)为正确选项.

三、(本题满分 6分)

设 ( )( ) , 0 ,

0, 0

xg x exf x xx

−⎧ −≠⎪= ⎨

⎪ =⎩

其中 ( )g x 由二阶连续导数,且 ( ) ( )0 0 1.g g′= = −

(1) 求 ( );f x′

(2) 讨论 ( )f x′ 在 ( ),−∞ +∞ 上的连续性.

【详解】 (1) 当 0x ≠ 时,有

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1;

x x xx g x e g x e xg x g x x ef x

x x

− − −′⎡ ⎤+ − + ′ − + +⎣ ⎦′ = =

当 0x = 时,由导数定义,有

( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 0 0

0 10 lim lim lim .

2 2 2

x x x

x x x

g x e g x e g x e gf

x x

− − −

→ → →

′ ′′ ′′− + − −′ = = = =

所以

( )( ) ( ) ( )

( )2

1, 0,

0 1, 0.

2

xxg x g x x ex

xf xg

x

−′⎧ − + +≠⎪⎪′ = ⎨

′′ −⎪ =⎪⎩

(2) 因为在 0x = 处,有

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )20 0

0

1lim lim

1 lim

2

x

x x

x x

x

xg x g x x ef x

xg x xg x g x e x e

x

−

→ →

− −

→

′ − + +′ =

′ ′′ ′+ − + − +=

( ) ( )0

lim 0 .2

x

x

g x ef

−

→

′′ −′= =

而 ( )f x′ 在 0x ≠ 处是连续函数,所以 ( )f x′ 在 ( ),−∞ +∞ 上为连续函数.

四、(本题满分 7分)

设2

0( , ) ,

xy tf x y e dt−= ∫ 设2 2 2

2 22f fx f x

y x x y y y∂ ∂ ∂

− +∂ ∂ ∂ ∂

【详解】 2 2 2 2x y x yf fye xe

x y− −∂ ∂

= =∂ ∂

2 2 2 22 2

3 32 22 2x y x yf fxy e x ye

x x− −∂ ∂

= − = −∂ ∂

2 22

2 2(1 2 ) x yf x y ex y

−∂= −

∂ ∂

于是

2 2

2 2 2

2 22 2f f

x yx f x ey x x y y y

−∂ ∂ ∂− + = −

∂ ∂ ∂ ∂.

五、(本题满分 6分)

计算

( )20.

1

x

x

xe dxe

−+∞

−+∫

【详解 1】

( ) ( )2 20 0 0

0 0

111 1

1 1 .01 1 1

x x

xx x

x x x

xe xedx dx xdee e

x dx dxe e e

−+∞ +∞ +∞

−

+∞ +∞

−⎛ ⎞= = ⎜ ⎟+⎝ ⎠+ +

+∞= − + =

+ + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

令xe t= ,则

1ln , .x t dx dtt

= = 于是

( ) ( )20 1

111

x

x

xe dx dtt te

−+∞ +∞

−=

++∫ ∫

1

1 1 ln ln 211 1

tdtt t t

+∞ +∞⎛ ⎞= − = =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫

【详解 2】 因为

( )

( )

21 1

1 1 11

ln 1 .1 1 1

x

x x xx

x xx

x x x

xe xdx xd dxe e ee

x e xedx e Ce e e

−

− − −−

−

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠+

= − = − + ++ + +

∫ ∫ ∫

∫

所以

( )( )20

lim ln 1 ln 2.11

x xx

xxx

xe xedx eee

−+∞

→+∞−

⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥+⎣ ⎦+

∫

其中

( ) ( )lim ln 1 lim ln 1 .1 1

x xx x

x xx x

xe xee x x ee e→+∞ →+∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + = − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

lim ln 0 0 01 1

x

x xx

x ee e→+∞

⎡ ⎤= − + = + =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

所以

( )200 ln 2 ln 2.

1

x

x

xe dxe

−+∞

−= + =

+∫

六、(本题满分 7分)

设某种商品的单价为 p时，售出的商品数量Q可以表示成 ,aQ cp b

= −+

其中 a b c、 、

均为整数，且 a bc> .

（1） 求 p在何范围变化时，使相应销售额增加或减少.

（2） 要使销售额最大，商品单价 p应取何值？最大销售额是多少？

【详解】 （1）设售出商品的销售额为R，则

,aR PQ p cp b

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟+⎝ ⎠

( )( )

2

2 .ab c p b

Rp b

− +′ =

+

令 0R′ = ，得 ( )0 0.ab bp b a bcc c

= − = − >

当 ( )0 bp a bcc

< < − 时，有 0,R′ >

所以随单价 p的增加，相应的销售额也将增加.

当 ( )bp a bcc

> − 时，有 0,R′ <

所以随单价 p的增加，相应的销售额将减少.

（2） 由（1）可知，当 ( )bp a bcc

= − 时，销售额 R取得最大值，最大销售额为

( )2

max .ab aR b c a bcc ab

c

⎡ ⎤⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥= − − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

七、(本题满分 9分)

已知一抛物线通过 x轴上的两点 (1,0), (3,0)A B

（1）求证：两坐标轴与该抛物线所围成图形的面积等于 x轴与该抛物线所围成图形的

面积；

（2）计算上述两个平面图形绕. x轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比；

【详解】（1）设过 ,A B两点的抛物线方程为 ( 1)( 3)y a x x= − −

则抛物线与两坐标轴所围图形的面积为

1 1 2

1 0 0

4( 1)( 3) ( 4 3)3

S a x x dx a x x dx a= − − = − + =∫ ∫

抛物线与 x轴所围成图形的面积为

3 1 2

2 1 0

4( 1)( 3) (4 3)3

S a x x dx a x x dx a= − − = − − =∫ ∫

所以 1 2S S=

（2）抛物线与两坐标轴所围成图形绕 x轴旋转所得旋转体体积为

1 2 21 0

[( 1)( 3)]V a x x dxπ= − −∫

12 2 4 3 2

0[( 1) 4( 1) 4( 1) ]a a x x x dxπ= − − − + −∫

52 4 3 1 2

0( 1) 4 38[ ( 1) ( 1) ]

5 3 15xa x x aπ π−

= − − + − =

抛物线与 x轴所围图形绕 x轴旋转所得旋转体体积为

3 2 22 1

[( 1)( 3)]V a x x dxπ= − −∫

32 2 4 3 2

1[( 1) 4( 1) 4( 1) ]a a x x x dxπ= − − − + −∫

y

1S A B

O 2S x

5

2 4 3 3 21

( 1) 4 16[ ( 1) ( 1) ]5 3 15

xa x x aπ π−= − − + − =

所以

1

2

198

VV

=

八、(本题满分 5分)

设 ( )f x 在[ , ]a b 上连续，在 ( , )a b 内可导，且 1 ( ) ( )b

af x dx f b

b a=

− ∫ ，求证，在 ( , )a b

内至少存在一点ξ，使 ' ( ) 0f ξ = .

【详解】 因为 ( )f x 在[ , ]a b 上连续，由积分中值定理可知，在 ( , )a b 内至少存在一

点 c，使得 ( ) ( )( )b

af x dx f x b a= −∫ ，

即1( ) ( ) ( )

b

af c f x dx f b

b a= =

− ∫

因为 ( )f x 在[ , ]c b 上连续，则 ( , )c b 内可导，

故，由罗尔定理，在 ( , )c b 内至少存在一点ξ，

使 ' ( ) 0f ξ = ，其中 ( , ) ( , )c b a bξ ∈ ⊂ .

九 、(本题满分 9分)

已知线形方程组

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 02 6 4 13 2 7 1

6

x x x xx x x xx x px x

x x x x t

+ − + =⎧⎪ + − + = −⎪⎨ + + + = −⎪⎪ − − − =⎩

讨论参数 ,p t取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系

表示通解。

【详解】方程组系数矩阵 A的增广矩阵为

1 1 2 3 0 1 0 4 1 12 1 6 4 1 0 1 2 2 13 2 7 1 0 0 8 0 01 1 6 1 0 0 0 0 2

Ap p

t t

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟= →⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− − − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

（1）当 2t ≠ 时，秩 ( ) ( )A A≠秩 ，方程组无解；

（2）当 2t = − 时，秩 ( ) ( )A A=秩 ，方程组有解；

（a）若 8p = − 得通解

1 2 1 2

1 4 11 2 2

( , )0 1 00 0 1

x c c c c

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

为任意常数

（b） 8p ≠ − 时得通解

1 11 2

( )0 00 1

x c c

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

为任意常数

十、(本题满分 7分)

设有 4阶方阵 A满足条件 2 0, 2 , 0T+ = = <E A AA E A ，其中E是 4阶单位阵，

求方阵 A的伴随矩阵 *A 的一个特征值.

【详解】由 ,* *AA = A A = A E 知 * -1A = A A .

设λ为 A的一个特征值,题设 0<A ,所以 0λ ≠ ,

且设有 , 0.Ax x xλ= ≠

则* 1 1 ,

xx x x

λ λ−= = =i

AA A A A 即

*A 有一特征值为Aλ

,

因此,本题关键在于计算 A 及 A的一个特征值,而这由已知条件均很容易得到.

由 2E + A = A - 2E = 0,

得 A的一个特征值 2λ = −

由条件有

42 16=TAA = 2E = E

2 16= =TA A A

于是 4= −A

由于 A <0,知 A可逆，设 A对应于特征值 2λ = − 的特征向量为α ，则

2= −Aα α ，由此得：

1 1( 2)− −= −A A Aα α

由于1 1

2− = −A α α ，知 1

2− 是

1−A 的特征值。

因为* 1 1( 4)( ) 2 2

2A A−= = − − =A α α α α ，

所以*A 有特征值 2 2

十一、(本题满分 7分)

假设一部机器在一天那发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周

有 5个工作日里无故障，可获利润 10万元；发生一次故障仍可获得利润 5万元发生二次故

障所获利润 0元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2万元.求一周那期望利润是多少？

【详解】 以 X 表示一周 5 天那机器发生故障的天数，则 X 服从参数为 ( )5,0.2 的二

项分布：

{ } ( )55 0.2 0.8 0,1, 2,3, 4,5 ,k k kP X k C k−= = ⋅ =

{ } 50 0.8 0.328,P X = = =

{ } 1 1 451 0.2 0.8 0.410,P X C= = ⋅ =

{ } 2 2 352 0.2 0.8 0.205,P X C= = ⋅ =

{ } { } { } { }3 1 0 1 2 0.057.P X P X P X P X≥ = − = − = − = =

以Y 表示所获利润，则

( )

10, 0,5, 1,0, 2,

2, 3.

XX

Y f xXX

=⎧⎪ =⎪= = ⎨ =⎪⎪− ≥⎩

( ) ( )10 0.328 5 0.410 0 0.205 2 0.057 5.216 .E Y = × + × + × − × = 万元

十二、(本题满分 7分)

假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参

数 0λ > 的指数分部，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，

试求电路正常工作的时间 T的概率分部。.

【详解】 以 ( 1,2,3)iX i = 表示第 i格电气元件无故障工作时间，则 1 2 3, ,X X X 相互独

立且同分布，其分布函数为

1 , 0( )

0, 0

xe xF x

x

λ−⎧ − >= ⎨

≤⎩

若

若

设 ( )G t 是T 的分布函数，当 0t ≤ 时 ( ) 0G t = ，当 0t > 时有

1 2 3( ) { } 1 { } 1 { , , }G t P T t P T t P X t X t X t= ≤ = − > = − > > >

1 2 31 { } { } { }P X t P X t P X t= − > > >i i

31 [1 ( )]F t= − −

31 .te λ−= −

最后得

31 , 0( )

0, 0

te tG t

t

λ−⎧ − >= ⎨

≤⎩

若

若

于是，T 服从参数为3λ的指数分布.