1994_dybjer
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8/13/2019 1994_Dybjer
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I n d u c t i v e D e n i t i o n s a n d T y p e T h e o r y
a n I n t r o d u c t i o n
T h i e r r y C o q u a n d
P r e l i m i n a r y d r a f t f o r t h e T Y P E S S u m m e r S c h o o l , A u g u s t 1 9 9 9
I n t r o d u c t i o n
M a r t i n - L o f ' s t y p e t h e o r y c a n b e d e s c r i b e d a s a n i n t u i t i o n i s t i c t h e o r y o f i t e r a t e d i n d u c t i v e d e n i t i o n s
d e v e l o p e d i n a f r a m e w o r k o f d e p e n d e n t t y p e s . I t w a s o r i g i n a l l y i n t e n d e d t o b e a f u l l - s c a l e s y s t e m
f o r t h e f o r m a l i z a t i o n o f c o n s t r u c t i v e m a t h e m a t i c s , b u t h a s a l s o p r o v e d t o b e a p o w e r f u l f r a m e w o r k
f o r p r o g r a m m i n g . T h e t h e o r y i n t e g r a t e s a n e x p r e s s i v e s p e c i c a t i o n l a n g u a g e ( i t s t y p e s y s t e m ) a n d
a f u n c t i o n a l p r o g r a m m i n g l a n g u a g e ( w h e r e a l l p r o g r a m s t e r m i n a t e ) . T h e r e n o w e x i s t s e v e r a l p r o o f -
a s s i s t a n t s b a s e d o n t y p e t h e o r y , a n d n o n - t r i v i a l e x a m p l e s f r o m p r o g r a m m i n g , c o m p u t e r s c i e n c e ,
l o g i c , a n d m a t h e m a t i c s h a v e b e e n i m p l e m e n t e d u s i n g t h e s e .
T h i s n o t e c o n t a i n s f o u r p a r t s . T h e r s t o n e i s a n ( s t i l l p r e l i m i n a r y ) h i s t o r i c a l p r e s e n t a t i o n o f
s o m e h i s t o r i c a l r o o t s o f T y p e T h e o r y , w r i t t e n w i t h P e t e r D y b j e r . T h e s e c o n d p a r t p r e s e n t s s o m e
b a s i c e x a m p l e s o f i n d u c t i v e d e n i t i o n i n t y p e t h e o r y . T h i s s h o w s h o w t o u s e t h e e l e g a n t n o t a t i o n s
d e s i g n e d i n f u n c t i o n a l p r o g r a m m i n g f o r r e p r e s e n t i n g a n d c h e c k i n g i n d u c t i v e p r o o f s . T h e t h i r d p a r t
p r e s e n t s t h e n o t i o n o f i n d u c t i v e d e n i t i o n i n t h e s e t t i n g o f r u l e s e t 1 ] a n d s h o w h o w t h i s n o t i o n c a n
b e r e p r e s e n t e d i n t y p e t h e o r y . T h e f o u r t h p a r t e x p l a i n s w h y i n d u c t i v e d e n i t i o n s p l a y a n i m p o r t a n t
r o l e i n p r o o f t h e o r y 4 ] .
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1 S o m e H i s t o r i c a l R o o t s
W h e n l o o k i n g f o r t h e r o o t s o f I n t u i t i o n i s t i c T y p e T h e o r y w e m u s t t r a c e b o t h m a i n c o m p o n e n t s : a
f u n c t i o n a l c o m p o n e n t , b a s e d o n - c a l c u l u s , a n d a n i n d u c t i v e c o m p o n e n t . T h i s s e p a r a t i o n i s q u i t e
s i m i l a r i n a p r o g r a m m i n g l a n g u a g e l i k e M L , t h a t i n c o r p o r a t e s b o t h h i g h e r - o r d e r f u n c t i o n s a n d
c o n c r e t e d a t a t y p e s .
1 . 1 P r e h i s t o r y
1 . 1 . 1 I n d u c t i o n o n t h e n a t u r a l n u m b e r s
R e a s o n i n g b y i n d u c t i o n o n t h e n a t u r a l n u m b e r s , t h o u g h i t h a d b e e n u s e d u n c o n s c i o u s l y f o r a l o n g
t i m e , s e e m s r s t t o h a v e b e e n m a d e e x p l i c i t i n t h e X V I I t h c e n t u r y , i n t w o d i e r e n t f o r m s , b y P a s c a l
a n d F e r m a t . A s f o r m u l a t e d b y P a s c a l a n d u s e d f o r p r o v i n g p r o p e r t i e s o f n u m b e r s i n h i s \ t r i a n g l e " ,
t o p r o v e t h a t a p r o p e r t y P h o l d s f o r a l l n a t u r a l n u m b e r s , i t i s e n o u g h t o p r o v e t h a t i t h o l d s f o r 1 ;
a n d t h a t i t h o l d s f o r n + 1 w h e n e v e r i t h o l d s f o r n : F e r m a t f o r m u l a t e d i t a s a p r i n c i p l e o f \ i n n i t e
d e s c e n t " f o r e s t a b l i s h i n g t h a t a p r o p e r t y i s u n i v e r s a l l y f a l s e : i f a p r o p e r t y P i s s u c h t h a t P ( x )
i m p l i e s t h a t t h e r e e x i s t s y < x s u c h t h a t P ( y ) ; t h e n P ( x ) n e v e r h o l d s .
T h e s e t w o f o r m u l a t i o n s c a n b e f o u n d a l s o f o r m o r e c o m p l i c a t e d c a s e s . T h e f a c t t h a t a r e l a t i o n
> i s w e l l - f o u n d e d c a n b e e x p r e s s e d i n t w o a p r i o r i d i e r e n t f o r m s : t h e f a c t t h a t t h e r e i s n o i n n i t e
d e c r e a s i n g c h a i n x
0
> x
1
> : : : o r t h e f a c t t h a t t h e f o l l o w i n g i n d u c t i o n s c h e m a ( n o e t h e r i a n i n d u c t i o n
p r i n c i p l e ) i s v a l i d
( ( 8 z ) ( ( 8 y < z ) ( y ) ) ! ( z ) ) ! ( x ) :
1 . 1 . 2 T r a n s n i t e i n d u c t i o n
A c o m p l e t e l y n e w k i n d o f i n d u c t i o n , t r a n s n i t e i n d u c t i o n , w a s d i s c o v e r e d b y C a n t o r . H e w a s r s t
m o t i v a t e d b y h i s a n a l y s i s o f F o u r i e r s e r i e s : n d i n g s e t s A s u c h t h a t i f ( a
n
c o s n x + b
n
s i n n x )
c o n v e r g e s t o 0 f o r a l l x i n A t h e n a
n
= b
n
= 0 : A r s t u s e o f o r d i n a l s i s i n t h e d e n i t i o n o f t h e
C a n t o r - B e n d i x s o n i n d e x o f a s u b s e t o f t h e r e a l s : d e n e r s t t h e d e r i v a t i v e X
0
o f a s e t X a s t h e s e t
o f n o n i s o l a t e d p o i n t o f X ( i n a n y i n t e r v a l c o n t a i n i n g a p o i n t o f X
0
t h e r e i s a n o t h e r p o i n t o f X ) .
W e c a n t h e n d e n e X
0 0
a s t h e d e r i v a t i v e o f X
0
a n d X
( n + 1 )
a s t h e d e r i v a t i v e o f X
( n )
: T h e n e w s t e p
i s t h a t w e c a n d e n e X
( ! )
a s b e i n g
T
X
( n )
a n d t h e n X
( ! + 1 )
a s b e i n g t h e d e r i v a t i v e o f X
( ! )
; : : : .
O n e i s t h e n l e a d t o i n t r o d u c e a r b i t r a r y o r d i n a l s a n d t o d e n e X
( )
b y t r a n s n i t e i n d u c t i o n . T h i s
w a s u s e d f o r i n s t a n c e t o p r o v e t h a t a c l o s e d s u b s e t i s e i t h e r c o u n t a b l e o r h a s t h e c a r d i n a l i t y o f t h e
c o n t i n u u m ( a p a r t i c u l a r c a s e o f t h e c o n t i n u u m h y p o t h e s i s )
1
.
T r a n s n i t e i n d u c t i o n g a v e r i s e t o t h e i d e a o f w e l l - f o u n d e d s t r u c t u r e s . T h e r e a r e e x a m p l e s , s u c h
a s P a r i s - H a r r i n g t o n ' s v e r s i o n o f R a m s e y ' s t h e o r e m , o r t h e p r o o f o f t h e a c c e s s i b i l i t y o f
0
w h i c h s h o w
t h a t i t i s a n e w p r i n c i p l e , n o t p r o v a b l e i n P e a n o a r i t h m e t i c s . T h e n o t i o n o f w e l l - f o u n d e d i n d u c t i o n
a p p e a r e d l a t e r i n a l g e b r a i n t h e f o r m o f n o e t h e r i a n r i n g s , a n d i t i s n o t a c o i n c i d e n c e t h a t o n e o f
t h e r s t n o n e e c t i v e p r o o f , b y H i l b e r t , w a s a b o u t n o e t h e r i a n r i n g s .
T h e s e t - t h e o r e t i c n o t i o n o f t r a n s n i t e i n d u c t i o n a p p e a r s i n t y p e t h e o r y a s g e n e r a l i z e d i n d u c -
t i o n ( a s o p p o s e d t o n i t a r y i n d u c t i o n ) . I n t h e f r a m e w o r k o f A c z e l ' s r u l e s e t s 1 ] , t h e y a p p e a r a s
\ i n n i t a r y " r u l e s , t h a t a r e r u l e s w i t h a n i n n i t e n u m b e r o f p r e m i s s e s .
T h e b o o k 4 ] c o n t a i n s a n i c e h i s t o r i c a l i n t r o d u c t i o n t o t h e n o t i o n o f i n d u c t i v e d e n i t i o n s .
1
L e t u s r e c a l l t h a t , b y a n e x t e n s i o n o f t h i s m e t h o d , i t i s p o s s i b l e t o v e r i f y t h e c o n t i n u u m h y p o t h e s i s a s w e l l f o r
B o r e l s e t s , a n d f o r a n a l y t i c s e t s .
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1 . 1 . 3 F r e g e ' s a n d D e d e k i n d ' s a n a l y s i s
F r e g e a n d D e d e k i n d i n d e p e n d e n t l y d i s c o v e r e d h o w i n d u c t i v e d e n i t i o n s c a n b e e x p l a i n e d i n ( i m -
p r e d i c a t i v e ) s e t t h e o r y . T h i s e x p l a n a t i o n i s t h e o n e c u r r e n t l y u s e d i n m a t h e m a t i c s . F o r i n s t a n c e
t h e s u b g r o u p o f a g r o u p G g e n e r a t e d b y a s u b s e t A i s d e n e d a s t h e i n t e r s e c t i o n o f a l l s u b g r o u p s
o f G c o n t a i n i n g A .
S k o l e m s h o w e d t h a t a l a r g e p a r t o f m a t h e m a t i c s c a n b e d e v e l o p e d w i t h o u t q u a n t i c a t i o n o v e r
i n n i t e s e t s . H e e s s e n t i a l l y u s e d w h a t l a t e r c a m e t o b e c a l l e d p r i m i t i v e r e c u r s i v e a r i t h m e t i c , w h e r e
i n d u c t i o n i s o n l y o v e r n o n - q u a n t i e d f o r m u l a e .
T h e p o s s i b i l i t y o f t a k i n g a s p r i m i t i v e t h e n o t i o n o f i n d u c t i v e d e n i t i o n t o g e t h e r w i t h a n i n t u -
i t i o n i s t i c l o g i c i s s u g g e s t e d i n A c z e l ' s s u r v e y p a p e r 1 ] .
1 . 1 . 4 D e s c r i p t i v e S e t T h e o r y a n d M e a s u r e T h e o r y
A f t e r C a n t o r , a n i m p o r t a n t u s e o f t r a n s n i t e i n d u c t i o n o c c u r s i n m e a s u r e t h e o r y i n t h e w o r k o f
B o r e l , i n h i s d e n i t i o n o f B o r e l s e t s o f r e a l n u m b e r s ( t o s i m p l i f y i n ( 0 ; 1 ) ) . A n o p e n i n t e r v a l ( r ; s )
i s a B o r e l s e t a n d i t s m e a s u r e ( r ; s ) i s s r : I f w e h a v e a d i s j o i n t c o l l e c t i o n o f B o r e l s e t s A
n
i t s
u n i o n A i s a B o r e l s e t s , a n d ( A ) = ( A
n
) : A n d n a l l y i f A B a r e t w o B o r e l s e t s , t h e n t h e
d i e r e n c e B A i s a B o r e l s e t , a n d ( B A ) = ( B ) ( A ) : T h i s i s a g o o d e x a m p l e o f a g e n e r a l i s e d
i n d u c t i o n d e n i t i o n , a n d o f a d e n i t i o n o f a f u n c t i o n b y r e c u r s i o n .
2
A l i t t l e l a t e r , S u s l i n m a d e t w o r e m a r k a b l e d i s c o v e r y a b o u t s u b s e t s o f r e a l n u m b e r s : r s t t h e r e
a r e
1
1
s e t s o f r e a l s ( p r o j e c t i o n o f a p l a n e B o r e l s e t o n t h e l i n e ) t h a t a r e n o t B o r e l s e t s , s e c o n d i f
a s e t a n d i t s c o m p l e m e n t a r e
1
1
t h e n t h i s s e t i s a B o r e l s e t . T h i s t h e o r e m i s c l o s e l y c o n n e c t e d t o
B r o u w e r ' s b a r i n d u c t i o n .
1 . 2 I n t u i t i o n i s m a n d P r o o f T h e o r y
H i s t o r i c a l l y , t h e n e x t i m p o r t a n t s t e p i s t h e w o r k o f B r o u w e r , w h o , i n h i s i n t u i t i o n i s t i c a n a l y s i s o f
t o p o l o g i c a l n o t i o n s , f o r m u l a t e d t h e r s t e x a m p l e s o f g e n e r a l i z e d i n d u c t i v e d e n i t i o n s . F o r i n s t a n c e ,
a c o u n t a b l e o r d i n a l i s s e e n a s a n i n d u c t i v e l y g e n e r a t e d o b j e c t o f t h r e e p o s s i b l e f o r m s :
t h e i n i t i a l 1 o r d i n a l ,
a s u c c e s s o r o r d i n a l x + 1
a l i m i t o r d i n a l x
1
+ x
2
+ : : : , w h e r e ( x
n
) i s a s e q u e n c e o f o r d i n a l s .
T h e p r i n c i p l e o f i n d u c t i o n o v e r t h i s k i n d o f o b j e c t s w a s a l s o e x p l i c i t e l y f o r m u l a t e d a n d c o n s i d -
e r e d t o b e p r i m i t i v e . T o p r o v e t h a t P ( x ) h o l d s f o r a n y o r d i n a l x ; i t i s s u c i e n t t o s h o w t h a t P ( 1 )
h o l d s , t h a t P ( x + 1 ) h o l d s i f P ( x ) h o l d s , a n d t h a t P ( x
1
+ x
2
+ : : : ) h o l d s w h e n e v e r P ( x
n
) h o l d s f o r
a l l n : T h e r e p r e s e n t a t i o n i n t y p e t h e o r y o f s u c h o r d i n a l s i s e s p e c i a l l y n a t u r a l .
B r o u w e r m a d e a l s o a n i m p o r t a n t u s e o f i n d u c t i v e d e n i t i o n s i n h i s d i r e c t c h a r a c t e r i s a t i o n o f
t h e t o p o l o g y o f t h e B a i r e s p a c e , t h a t i s t h e s p a c e o f a l l i n n i t e s e q u e n c e s o f i n t e g e r s . T h i s s p a c e
h a s f o r b a s i c o p e n t h e s e t U
o f a l l s e q u e n c e s s t a r t i n g b y a g i v e n n i t e s e q u e n c e = n
0
: : : n
k
A n
o p e n i n g e n e r a l i s g i v e n b y a f a m i l y U
i
o f b a s i c o p e n a n d B r o u w e r n o t i c e d t h a t w e c a n d e s c r i b e
d i r e c t l y w h e n w e h a v e U
i
U
i
w i t h o u t e v e r t a l k i n g a b o u t i n n i t e s e q u e n c e s : t h i s i s t h e c a s e i
e i t h e r e x t e n d s o n e
i
o r , i n d u c t i v e l y , a l l d i r e c t e x t e n s i o n s n a r e s u c h t h a t U
n
i
U
i
:
2
O f c o u r s e i n t h e d e n i t i o n o f t h e m e a s u r e , o n e s h o u l d c h e c k t h a t t h e m e a s u r e d o e s n o t d e p e n d o n t h e p r e s e n t a t i o n
o f t h e s e t .
3
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1 . 2 . 1 P o s t C a n o n i c a l S y s t e m s
T h e c a n o n i c a l s y s t e m s w e r e i n v e n t e d b y P o s t 3 2 ] i n a n a t t e m p t t o n d t h e m o s t g e n e r a l f o r m
o f a f o r m a l s y s t e m . A n e c o n o m i c a l p r e s e n t a t i o n i s g i v e n i n M a r t i n - L o f ' s n o t e s o n c o n s t r u c t i v e
m a t h e m a t i c s 2 1 ] . A s s h o w n f o r i n s t a n c e i n L o r e n z e n ' s o f M a r t i n - L o f ' s b o o k 2 0 , 2 1 ] , t h e u s e o f
c a n o n i c a l P o s t s y s t e m s a l l o w s f o r a s h o r t a n d e l e g a n t p r e s e n t a t i o n o f t h e b a s i c n o t i o n s o f r e c u r s i v i t y .
1 . 2 . 2 T a r s k i ' s T r u t h D e n i t i o n
N a t u r a l e x a m p l e s o f i n d u c t i v e d e n i t i o n s a p p e a r e d i n T a r s k i ' s w o r k o n t r u t h d e n i t i o n s . F i r s t ,
o n e n e e d e d t o g i v e a p r e c i s e d e n i t i o n o f t h e s y n t a x o f t h e l a n g u a g e . I t i s i n t e r e s t i n g t h a t T a r s k i
p r e s e n t e d i t a s d i r e c t l y j u s t i e d ( t h o u g h h e p o i n t s o u t t h a t o n e m a y d e n e i t u s i n g a n i m p r e d i c a t i v e
d e n i t i o n s i m i l a r t o t h e o n e s u s e d i n P r i n c i p i a M a t h e m a t i c a ) . S e c o n d , t h e t r u t h d e n i t i o n w a s a
c o m p l e x e x a m p l e o f a r e c u r s i v e l y d e n e d f u n c t i o n o v e r t h i s s y n t a x : t h e t r u t h o f ( 8 x ) ( x ) i s d e n e d
a s t h e t r u t h o f a l l i n s t a n c e s ( n ) f o r n = 0 ; 1 ; : : : T a r s k i s h o w e d t h a t t h i s i n d u c t i v e d e n i t i o n c a n n o t
b e r e d u c e d t o a n i t a r y i n d u c t i o n d e n i t i o n .
1 . 2 . 3 F u n c t i o n a l S y s t e m s
H i l b e r t , i n h i s s t u d y o f t h e i n n i t e , f o r m u l a t e d t h e n o t i o n o f h i g h e r - t y p e p r i m i t i v e r e c u r s i o n ( o r
p r i m i t i v e r e c u r s i v e f u n c t i o n a l ) . I t w a s c o n j e c t u r e d b y H i l b e r t a n d s h o w n b y A c k e r m a n n t h a t t h i s
g i v e s a s t r i c t h i e r a r c h y o f f u n c t i o n s i n d e x e d b y t h e c o m p l e x i t y o f t h e t y p e s : A c k e r m a n n ' s f u n c t i o n
c a n b e d e n e d b y h i g h e r - t y p e p r i m i t i v e r e c u r s i o n , b u t i s n o t p r i m i t i v e r e c u r s i v e .
C l o s e l y c o n n e c t e d t o t h e c o n s i d e r a t i o n o f t h e s e f u n c t i o n a l s y s t e m s i s t h e p r e s e n t a t i o n o f a r i t h -
m e t i c g i v e n b y H e r b r a n d 1 2 ] . T h i s p r e s e n t a t i o n , w h i c h i n s p i r e d t h e \ H e r b r a n d - G o d e l " n o t i o n o f
g e n e r a l r e c u r s i v e f u n c t i o n s , i s q u i t e i n t e r e s t i n g i n t h e l i g h t o f M a r t i n - L o f ' s t y p e t h e o r y . I n d e e d ,
H e r b r a n d ' s p r e s e n t a t i o n o f a r i t h m e t i c a s a n o p e n s y s t e m i s s i m i l a r t o o u r u n d e r s t a n d i n g o f t y p e
t h e o r y : h e a l l o w s t h e a d d i t i o n o f n e w f u n c t i o n s y m b o l s a n d n e w c o m p u t a t i o n r u l e s , p r o v i d e d i t i s
p o s s i b l e \ t o p r o v e i n t u i t i o n i s t i c a l l y " t h a t t h e s e c o m p u t a t i o n r u l e s a r e t o t a l . H i s s y s t e m m a y b e
s e e n a s a p r e c u r s o r o f t h e u s u a l p r e s e n t a t i o n o f P e a n o a r i t h m e t i c a s a r s t - o r d e r t h e o r y , b u t i n s u c h
a p r e s e n t a t i o n , t h e \ o p e n c h a r a c t e r " o f t h e s y s t e m h a s b e e n l o s t .
T h i s n o t i o n o f p r i m i t i v e r e c u r s i v e f u n c t i o n a l w a s u s e d i n G o d e l ' s D i a l e c t i c a i n t e r p r e t a t i o n 9 ] .
T h e g o a l w a s t o g i v e a c o n s i s t e n c y p r o o f f o r a r i t h m e t i c b a s e d o n t h i s n o t i o n . S p e c t o r e x t e n d e d t h i s
t o a c o n s i s t e n c y p r o o f o f s e c o n d - o r d e r a r i t h m e t i c , b y i n t r o d u c i n g t h e n o t i o n o f b a r - r e c u r s i o n .
T h e a n a l y s i s o f t h e s e s y s t e m s s e e n a s f u n c t i o n a l s y s t e m s , a n d i n p a r t i c u l a r , a m e t a - t h e o r e t i c a l
p r o o f t h a t a l l t h e f u n c t i o n s d e n e d i n t h e s e s y s t e m s a r e t o t a l , b y T a i t a n d H o w a r d 3 4 , 1 4 ] , h a s
b e e n h i s t o r i c a l l y a n i m p o r t a n t s t e p i n t h e d i s c o v e r y o f t h e d e e p a n a l o g y b e t w e e n f u n c t i o n a l s y s t e m s
a n d p r o o f s y s t e m s . O n e g o a l w a s t o s e e i f i t w a s p o s s i b l e t o u n d e r s t a n d S p e c t o r ' s c o n s i s t e n c y p r o o f
u s i n g o n l y i n d u c t i v e d e n i t i o n s ( w i t h i n t u i t i o n i s t i c l o g i c ) . T h e s e a t t e m p t s a r e d e s c r i b e d i n 4 ] . O n e
r s t p o s i t i v e r e s u l t w a s t h e r e d u c t i o n o f s o m e f o r m o f i m p r e d i c a t i v e q u a n t i c a t i o n t o i n d u c t i v e l y
d e n e d o b j e c t s b y T a k e u t i . W e d e s c r i b e b e l o w a s i m p l i e d v e r s i o n o f s u c h a r e d u c t i o n .
1 . 2 . 4 R e a l i z a b i l i t y
R e c u r s i v e r e a l i z a b i l i t y w a s i n t r o d u c e d b y K l e e n e 1 6 ] i n o r d e r t o r e l a t e p r e c i s e l y t w o q u i t e d i e r e n t
a p p r o a c h t o t h e n o t i o n o f e e c t i v e p r o c e s s e s : t h e c o n s t r u c t i v e f u n c t i o n s i n i n t u i t i o n i s m , a n d t h e
n o t i o n o f r e c u r s i v e f u n c t i o n s . M o d i e d r e a l i z a b i l i t y w a s i n t r o d u c e d b y K r e i s e l i n 1 7 ] , a s a t o o l
t o s h o w t h e n o n d e r i v a b i l i t y o f M a r k o v ' s p r i n c i p l e i n H e y t i n g ' s a r i t h m e t i c . T h e m a i n d i e r e n c e i s
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t h a t e x t r a c t e d c o m p u t a t i o n s a r e p r o g r a m s o f a p r o g r a m m i n g l a n g u a g e t h a t h a s t h e n o r m a l i s a t i o n
p r o p e r t y .
( M o d i e d ) r e a l i z a b i l i t y c a n b e s e e n a s a n a t u r a l p r o j e c t i o n o p e r a t i o n o n f o r m u l a e ( t h a t b e c o m e
t y p e s ) a n d p r o o f s . T h i s i s e x p l a i n e d i n 2 9 ] .
W h a t i s i m p o r t a n t h e r e i s t h a t r e a l i z a b i l i t y s u g g e s t s s t r o n g l y a n e l e g a n t a p p r o a c h t o r i g o u r o u s
p r o g r a m m i n g : t o p r o v e ( c o n s t r u c t i v e l y ) a p r o p o s i t i o n c a n b e s e e n a s a w a y t o a c h i e v e t h e \ h a n d - i n -
h a n d " d e v e l o p m e n t o f p r o g r a m s t o g e t h e r w i t h p r o o f s t h a t t h e y s a t i s f y t h e i r s p e c i c a t i o n , a d v o c a t e d
b y D i j k s t r a o r G r i e s 7 ]
3
. T h e b o o k 2 ] c o n t a i n s a d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f r e a l i z a b i l i t y a n d o f i t s
p o t e n t i a l i n t e r e s t f o r c o m p u t e r s c i e n c e .
1 . 2 . 5 N a t u r a l D e d u c t i o n
M a r t i n - L o f ' s t y p e t h e o r y i s f o r m u l a t e d i n t h e n a t u r a l d e d u c t i o n s t y l e i n t r o d u c e d b y G e n t z e n .
R e d u c t i o n r u l e s f o r n a t u r a l d e d u c t i o n p r o o f s w e r e s t u d i e d b y P r a w i t z .
A g e n e r a l t h e o r y o f i n d u c t i v e d e n i t i o n s i n p r e d i c a t e l o g i c i n p r e d i c a t e l o g i c w a s f o r m u l a t e d b y
M a r t i n - L o f 2 2 ] . H e a l s o p r o v e d a n o r m a l i z a t i o n t h e o r e m . T h i s t h e o r y w a s a n i m m e d i a t e p r e c u r s o r
t o i n t u i t i o n i s t i c t y p e t h e o r y t h e r s t v e r s i o n o f w h i c h a p p e a r e d s h o r t l y a f t e r w a r d s .
1 . 3 P r o g r a m m i n g L a n g u a g e s
I n d u c t i v e l y d e n e d n o t i o n s a r e p e r m e a t e t h e o r e t i c a l c o m p u t e r s c i e n c e t o o . O n e f u n d a m e n t a l e x -
a m p l e i s t h e n o t i o n o f a l a n g u a g e i n t h e s e n s e o f f o r m a l l a n g u a g e t h e o r y . B u t w e s h a l l f o c u s o n t w o
a s p e c t s o f p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s h e r e : i n d u c t i v e p r o g r a m m i n g l a n g u a g e c o n s t r u c t s a n d i n d u c t i v e
c o n s t r u c t s f o r r e a s o n i n g a b o u t p r o g r a m s .
1 . 3 . 1 D a t a t y p e s , C o n s t r u c t o r s , S t r u c t u r a l I n d u c t i o n
T h e d e n i t i o n o f d a t a t y p e s i n t e r m s o f t h e i r c o n s t r u c t o r s w a s p r e s e n t e d b y B u r s t a l l 5 ] , w h o
i n t r o d u c e d i n t h i s p a p e r a l s o t h e q u i t e e l e g a n t c a s e n o t a t i o n f o r t h e d e n i t i o n o f f u n c t i o n s o v e r
d a t a t y p e s . H e a l s o d i s c u s s e d t h e g e n e r a l m e t h o d o f s t r u c t u r a l i n d u c t i o n f o r p r o v i n g p r o p e r t i e s
o f p r o g r a m s w h i c h m a n i p u l a t e s u c h d a t a t y p e s . T h i s w a s f u r t h e r a n a l y z e d i n H o a r e ' s p a p e r o n
r e c u r s i v e d a t a s t r u c t u r e s 1 3 ] . E a r l i e r , M c C a r t h y a n d P a i n t e r 2 7 ] h a d u s e d s t r u c t u r a l i n d u c t i o n
f o r p r o v i n g t h e c o r r e c t n e s s o f a c o m p i l e r f o r a r i t h m e t i c e x p r e s s i o n s .
1 . 3 . 2 I n i t i a l A l g e b r a s
I n c a t e g o r y t h e o r y i n d u c t i v e d e n i t i o n s a r e m o d e l l e d b y i n i t i a l a l g e b r a s . T h i s i s t h e b a s i s f o r t h e
a l g e b r a i c a p p r o a c h t o t h e s e m a n t i c s o f d a t a t y p e s , w h e r e b y o n e c o n s i d e r s t h e i n i t i a l a l g e b r a o n a
s i g n a t u r e o f c o n s t r u c t o r o p e r a t i o n s 1 0 ] . T h e s e i d e a s a l s o i n u e n c e d t h e d e s i g n o f p r o g r a m m i n g
l a n g u a g e s s u c h a s O B J , N P L , H o p e , a n d S t a n d a r d M L , w h e r e d a t a t y p e s a r e d e n e d b y l i s t i n g t h e
c o n s t r u c t o r s w i t h t h e i r t y p e s .
1 . 3 . 3 O p e r a t i o n a l a n d N a t u r a l S e m a n t i c s
N a t u r a l S e m a n t i c s 1 5 , 6 ] , i n s p i r e d f r o m p r e v i o u s w o r k s b y P l o t k i n 3 1 ] a n d b y M a r t i n - L o f 2 5 ] , c a n
b e s e e n a s a n i l l u s t r a t i o n o f t h e u s e o f i n d u c t i v e d e n i t i o n s i n c o m p u t e r s c i e n c e . T h e p r o g r a m s a r e
3
L e t u s c i t e G r i e s 1 1 ] . \ T h e s t u d y o f p r o g r a m c o r r e c t n e s s p r o o f s h a s l e d t o t h e d i s c o v e r y a n d e l u c i d a t i o n o f
m e t h o d s o f d e v e l o p i n g p r o g r a m s . B a s i c a l l y , o n e a t t e m p t s t o d e v e l o p a p r o g r a m a n d i t s p r o o f h a n d - i n - h a n d , w i t h t h e
p r o o f i d e a s l e a d i n g t h e w a y . "
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s e e n a s i n d u c t i v e l y d e n e d r e l a t i o n s b e t w e e n i n d u c t i v e l y d e n e d o b j e c t s , a n d t h e p r o o f s a r e d o n e
b y s t r u c t u r a l i n d u c t i o n 6 ] .
1 . 4 T h e C u r r y - H o w a r d C o r r e s p o n d e n c e
I n t h e 6 0 s , p e o p l e s t a r t e d t o r e a l i z e t h e d e e p a n a l o g i e s b e t w e e n f u n c t i o n a l s y s t e m s a n d p r o o f
t h e o r e t i c a l s y s t e m s . F o r i n s t a n c e , t h e t e c h n i q u e s d e v e l o p p e d b y T a i t f o r p r o v i n g t h e t o t a l i t y o f
f u n c t i o n s d e n e d i n G o d e l ' s s y s t e m T ; c o u l d b e u s e d e s s e n t i a l l y t o p r o v e t h e n o r m a l i s a t i o n p r o p e r t y
o f s y s t e m s o f n a t u r a l d e d u c t i o n . A t y p i c a l e x a m p l e o f t h i s s i t u a t i o n w a s t h e n o r m a l i s a t i o n p r o p e r t y
f o r s y s t e m F . T h o u g h i t w a s f o u n d h a v i n g i n m i n d a t e r m i n a t i o n t h e o r e m f o r a f u n c t i o n a l s y s t e m ,
i t w a s l a t e r r e a l i z e d t h a t i t c a n b e a p p l i e d , a s b y m a g i c , t o g i v e a p r o o f o f T a k e u t i ' s c o n j e c t u r e ,
t h a t w a s a c o n j e c t u r e a b o u t c u t - e l i m i n a t i o n i n a s e q u e n t c a l c u l u s o f s e c o n d - o r d e r a r i t h m e t i c .
T h e s e a n a l o g y w e r e u s e d b y P r a w i t z i n h i s s t u d y o f \ v a l i d i t y " o f p r o o f s . A t a b o u t t h e s a m e t i m e ,
d e B r u i j n , S c o t t , a n d M a r t i n - L o f s h o w e d t h a t t h e s e a n a l o g y c o u l d b e g i v e n a c o m m o n e x p r e s s i o n i n
a g e n e r a l t y p e t h e o r y w i t h d e p e n d e n t t y p e s , u n i f y i n g f o r i n s t a n c e t h e n o t i o n o f p r o o f s b y i n d u c t i o n
a n d f u n c t i o n s d e n e d b y i n d u c t i o n .
I d e a s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e C u r r y - H o w a r d c o r r e s p o n d e n c e h a d a l s o a p p e a r e d e a r l i e r i n L a w v e r e ' s
w o r k o n c a t e g o r i c a l l o g i c f r o m t h e 6 0 s . H i s h y p e r d o c t r i n e s 1 8 ] , w h i c h a r e c a t e g o r i c a l m o d e l s o f
r s t o r d e r p r e d i c a t e l o g i c , m o d e l p r o p o s i t i o n s a s o b j e c t s a n d p r o o f s a s m o r p h i s m s , a n d h a s a q u i t e
s i m i l a r s t r u c t u r e t o t y p e t h e o r y .
T h e n o t i o n s o f c o n s t r u c t o r a n d c o n c r e t e d a t a t y p e t u r n e d o u t t o b e s i m i l a r t o t h e n o t i o n s o f
i n t r o d u c t i o n r u l e a n d l o g i c a l c o n n e c t i v e r e s p e c t i v e l y . T h u s t h e c l o s e c o n n e c t i o n b e t w e e n f u n c t i o n a l
s y s t e m s s t u d i e d i n m e t a m a t h e m a t i c s a n d p r o o f t h e o r y c o u l d b e e x t e n d e d t o a c o n n e c t i o n t o f u n c -
t i o n a l p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s . T h e n o t i o n o f a d m i s s i b l e r u l e c o r r e s p o n d s c l o s e l y t o t h e n o t i o n o f
r e c u r s i v e l y d e n e d f u n c t i o n s . I t s h o u l d b e n o t e d f o r i n s t a n c e t h a t t h e i n t r o d u c t i o n o f d a t a t y p e s
s u c h a s p r o d u c t o r d i s j o i n t u n i o n , w h i c h s e e m s s o n a t u r a l i n a f u n c t i o n a l p r o g r a m m i n g l a n g u a g e ,
d i d n o t a p p e a r i n t h e l i t e r a t u r e o f f u n c t i o n a l s y s t e m s b e f o r e t h e 7 0 s .
1 . 5 R e r e a d i n g t h e h i s t o r y f r o m a t y p e - t h e o r e t i c p e r s p e c t i v e
I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s w e h a v e p o i n t e d t o s e v e r a l t r a d i t i o n s w h i c h h a v e b e e n b r o u g h t t o g e t h e r b y
t h e C u r r y - H o w a r d i s o m o r p h i s m . I t i s i n t e r e s t i n g t o r e r e a d t h i s h i s t o r y i n t h e l i g h t o f t h e s t r u c t u r e
o f t y p e - t h e o r y . W e n o t e f o r e x a m p l e t h a t t h e r e a r e s e v e r a l d i e r e n t l e v e l s o f c o m p l e x i t y o f i n d u c t i v e
d e n i t i o n s i n t y p e t h e o r y :
F i r s t o r d e r d a t a t y p e s a n d t y p e c o n s t r u c t o r s .
{ S i m p l e t y p e c o n s t r u c t o r s s u c h a s d i s j o i n t u n i o n a n d c a r t e s i a n p r o d u c t , a n d t h e i r l o g i c a l
a n a l o g u e s c o n j u n c t i o n a n d d i s j u n c t i o n .
{ N a t u r a l n u m b e r s .
{ O t h e r s i m p l e d a t a t y p e s s u c h a s l i s t s a n d b i n a r y t r e e s .
H i g h e r t y p e c o n s t r u c t o r s a n d t r a n s n i t e t y p e s .
{ T h e f u n c t i o n s p a c e c o n s t r u c t i o n a n d i m p l i c a t i o n .
{ B r o u w e r o r d i n a l s .
D e p e n d e n t t y p e s .
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{ D i s j o i n t u n i o n a n d c a r t e s i a n p r o d u c t o f a f a m i l y o f t y p e s a n d t h e i r l o g i c a l a n a l o g u e s t h e
q u a n t i e r s .
{ T h e e q u a l i t y r e l a t i o n .
{ O t h e r i n d u c t i v e l y d e n e d r e l a t i o n s , s u c h a s t h e t r a n s i t i v e c l o s u r e o f a r e l a t i o n . I n d u c -
t i v e l y d e n e d f a m i l i e s o f t y p e s s u c h a s v e c t o r s ( l i s t s o f a c e r t a i n l e n g t h ) .
U n i v e r s e s . M e t a m a t h e m a t i c a l r e e c t i o n .
T h e r e i s a l s o a n o t h e r k i n d o f s t r a t i c a t i o n c o m i n g f r o m t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n o r d i n a r y p r i m i t i v e
r e c u r s i v e d e n i t i o n s a n d p r i m i t i v e r e c u r s i v e f u n c t i o n a l s .
W e m a y t h e n s t r u c t u r e t h e h i s t o r y b y a s k i n g f o r s o m e p a r t i c u l a r c o n c e p t :
W h e r e d o e s i t c o m e f r o m ? H o w h a s i t b e e n u s e d i n f o r m a l l y ?
H o w w a s i t e x p l a i n e d / j u s t i e d m a t h e m a t i c a l l y ?
W h e n d o i t s r u l e s a p p e a r a s p a r t o f a f o r m a l s y s t e m ?
I n e a c h c a s e w e h a v e t o l o o k a t b o t h s i d e s o f t h e C u r r y - H o w a r d i s o m o r p h i s m :
L o g i c a l s y s t e m s , i n d u c t i o n p r i n c i p l e s .
P r o g r a m m i n g l a n g u a g e s a n d t y p e s y s t e m s , d e n i t i o n b y r e c u r s i o n .
F o r e x a m p l e , a n a l y s i n g a n d t h i s w a y , w e n o t e t h a t t h e c a r t e s i a n p r o d u c t a n d d i s j o i n t u n i o n
o f a f a m i l y o f s e t s a r e w e l l - k n o w n m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s w i t h a c l e a r s e t - t h e o r e t i c d e n i t i o n . T h e
f o r m a l t y p e - t h e o r e t i c r u l e s f o r a n d w e r e u s e d b y S c o t t 3 3 ] w h o g i v e s t h e f o l l o w i n g b a c k g r o u n d
3 3 ] p 2 4 0 ] : \ N e x t d e B r u i j n m a d e g o o d u s e o f c a r t e s i a n p r o d u c t s o f s p e c i e s ( f o r m a t i o n o f f u n c t i o n
s p a c e s ) i n c o n n e c t i o n w i t h t h e u n i v e r s a l q u a n t i e r - a n i d e a a l s o f a m i l i a r t o L a w v e r e a n d t o a
c e r t a i n e x t e n t t o L a u c h l i - a n d t h e a u t h o r t o o k t h i s a t o n c e . N o w d u a l t o p r o d u c t s ( a s L a w v e r e
k n o w s ) a r e d i s j o i n t s u m s w h i c h m u s t b e u s e d f o r t h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e e x i s t e n t i a l q u a n t i e r ( c f .
K r e i s e l - G o o d m a n ) . T h e s e s u m s w e r e n o t e m p l o y e d b y d e B r u i j n , b u t i t w o u l d b e e a s y t o a d d
t h e m t o h i s s y s t e m . " . L a t e r M a r t i n - L o f i n t r o d u c e d t h e e l i m i n a t o r s s p l i t 2 4 ] a n d f u n s p l i t 2 6 ] .
O n t h e l o g i c a l s i d e w e r s t h a v e H e y t i n g ' s a n d K o l m o g o r o v ' s e x p l a n a t i o n s o f t h e l o g i c a l c o n -
s t a n t s i n t e r m s o f p r o o f s a n d p r o b l e m s r e s p e c t i v e l y . F o r e x a m p l e , a c c o r d i n g t o H e y t i n g , a p r o o f
o f 8 x : P x ] i s a f u n c t i o n t h a t g i v e n a n a r b i t r a r y e l e m e n t a r e t u r n s a p r o o f o f P a ] , a n d a p r o o f
o f 9 x : P x ] i s a p a i r c o n s i s t i n g o f a n e l e m e n t a a n d a p r o o f o f P a ] . T h e s e e x p l a n a t i o n s a n d a l s o
G e n t z e n ' s i d e a t h a t l o g i c a l c o n s t a n t s a r e d e n e d b y t h e i r i n t r o d u c t i o n r u l e s c a n b e r e a d a s s a y i n g
t h a t t h e l o g i c a l c o n s t a n t s a r e i n d u c t i v e l y d e n e d s e t s o f p r o o f s . G e n t z e n a l s o f o r m u l a t e d t h e s y s t e m
N J o f n a t u r a l d e d u c t i o n i n i n t u i t i o n i s t i c l o g i c . R u l e s f o r r e d u c t i o n o f p r o o f s i n t h i s s y s t e m w e r e
g i v e n b y P r a w i t z .
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E x e r c i c e : D e n e t h e a d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n o f o r d i n a l s . D e n e t h e n t h e o p e r a t i o n ! !
a n d u s e t h i s t o d e n e a n e l e m e n t
0
: O r d w h i c h r e p r e s e n t s t h e l i m i t o f t h e s e q u e n c e s u
0
= 0 ; u
n + 1
=
!
u
n
:
T r y t h e n t o d e n e s u c h a n e l e m e n t w i t h o u t u s i n g t h e e l i m i n a t i o n r u l e o v e r o r d i n a l s . T h i s i s
p o s s i b l e , b u t m u c h m o r e d i c u l t .
T h i s e x e r c i c e g i v e s a g o o d e x a m p l e o f h o w t h e u s e o f c o m p l e x n o t i o n s ( e l i m i n a t i o n r u l e s ) c a n
s i m p l i f y a c o n s t r u c t i o n .
2 . 3 A c c e s s i b i l i t y
W e h a v e a t l e a s t t w o w a y s o f r e p r e s e n t i n g a t r a n s i t i o n s y s t e m ( s e t w i t h a b i n a r y r e l a t i o n ) i n t y p e
t h e o r y . T h e r s t w a y i s t o g i v e a s e t A w i t h a b i n a r y r e l a t i o n R : A ! A ! S e t : T h e s e c o n d w a y
i s t o g i v e a d e p e n d e n t t y p e B : A ! S e t w i t h a f u n c t i o n d : ( x : A ) B x ! A : I n t u i t i v e l y , B a
r e p r e s e n t s t h e p o s s i b l e t r a n s i t i o n f r o m a : A a n d d a b : A t h e r e s u l t o f a p p l y i n g t r a n s i t i o n b : B a
t o a :
W e s h o w h o w t o e x p r e s s i n t y p e t h e o r y t h a t , i n t u i t i v e l y , t h e r e i s n o i n n i t e t r a n s i t i o n s t a r t i n g
f r o m a : T h e p a r a m e t e r s a r e A : S e t ; B : A ! S e t ; d : ( x : A ) B x ! A : W e i n t r o d u c e A c c : A ! S e t
w i t h a c o n s t a n t s u p : ( a : A ) ( ( b : B a ) A c c ( d a b ) ) ! A c c a a n d a n e l i m i n a t i o n r u l e
a c c r e c : ( C : A ! S e t )
( ( x : A ) ( ( z : B x ) C ( d x z ) ) ! C x ) !
( x : A ) A c c x ! C x
a n d t h e c o m p u t a t i o n r u l e i s
a c c r e c C g x ( s u p x y ) = g x ( z a c c r e c C g ( d x z ) ( y z ) ) :
E x e r c i c e : G i v e n t w o t r a n s i t i o n s y s t e m s A
1
; B
1
; d
1
a n d A
2
; B
2
; d
2
d e n e t h e i r p r o d u c t s i n t h e
f o l l o w i n g w a y : t a k e A = A
1
A
2
a n d B ( a
1
; a
2
) = B
1
a
1
+ B
2
a
2
w i t h d ( a
1
; a
2
) ( i b
1
) = d
1
a
1
b
1
a n d d ( a
1
; b
1
) ( j b
2
) = d
2
a
2
b
2
: P r o v e t h e n t h a t A c c a
1
! A c c a
2
! A c c ( a
1
; a
2
) :
E x e r c i c e : G i v e n a t r a n s i t i o n s y s t e m A ; B ; d a n d U : A ! S e t d e n e s i n t y p e t h e o r y t h e
r e l a t i o n U j a ( r e a d \ U i s a b a r f o r a " ) w h i c h h o l d s i U a o r , i n d u c t i v e l y , U j ( d a b ) f o r a l l b : B a :
S h o w t h a t i f U i s m o n o t o n e t h a t i s U a i m p l i e s U ( d a b ) f o r a l l b : B a t h e n s o i s U j :
2 . 4 T y p e T h e o r y a n d F u n c t i o n a l P r o g r a m m i n g
T y p e T h e o r y c a n b e s e e n a s a f u n c t i o n a l p r o g r a m m i n g l a n g u a g e w i t h d e p e n d e n t t y p e s . I m p o r t a n t
n o t i o n s o f n a t u r a l d e d u c t i o n s g e t a c o n c r e t e r e p r e s e n t a t i o n i n t y p e t h e o r y :
i n t r o d u c t i o n r u l e s a r e r e p r e s e n t e d a s c o n s t r u c t o r s ,
c a n o n i c a l p r o o f s a r e r e p r e s e n t e d b y t e r m s s t a r t i n g w i t h a c o n s t r u c t o r ,
t h e m e t h o d o f p r o d u c i n g a c a n o n i c a l p r o o f f r o m a p r o o f i s r e p r e s e n t e d b y h e a d - r e d u c t i o n ,
i n d u c t i v e l y d e n e d t y p e s a n d r e l a t i o n s a r e r e p r e s e n t e d a s d a t a t y p e s ,
d o i n g a p r o o f b y i n d u c t i o n o v e r a n o b j e c t i s s e e n a s a r e c u r s i v e d e n i t i o n o f a p r o o f o b j e c t .
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A l l t h e s e p o i n t s g e t a c o n c r e t e i l l u s t r a t i o n f o r t h e e x a m p l e s p r e s e n t e d a b o v e . F o r i n s t a n c e ,
A c c a c a n n o w b e t h o u g h t o f a s a d a t a t y p e .
W h a t c a n b e n o t i c e d i s t h a t w e g e t i n t h i s w a y a l o g i c w i t h a n a t u r a l c o m p u t a t i o n a l s e m a n t i c s .
A s n o t i c e d b y G e n t z e n ( f o r n a t u r a l d e d u c t i o n ) , t h i s l o g i c i s i n t u i t i o n i s t i c a n d d o e s n o t j u s t i f y t h e
l a w o f e x c l u d e d - m i d d l e .
T h e c o m p u t a t i o n a l s e m a n t i c s o f t y p e t h e o r y n o t o n l y e n s u r e s , b u t g i v e s d i r e c t a n d e l e g a n t
p r o o f s o f t h e f o l l o w i n g s t r o n g p r o p e r t i e s
c o n s i s t e n c y : t h e a b s u r d p r o p o s i t i o n ? i s n o t p r o v a b l e ,
e x i s t e n c e p r o p e r t y : i f a p r o p e r t y P o f n a t u r a l n u m b e r s c a n b e r e p r e s e n t e d i n t y p e t h e o r y ,
a n d i f 9 x : N : P ( x ) h a s a p r o o f i n t y p e t h e o r y , t h e n , f r o m t h i s p r o o f , w e c a n e e c t i v e l y n d a
n a t u r a l n u m b e r n t h a t s a t i s e s t h e p r o p e r t y P :
1 0
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3 R u l e S e t s i n S e t T h e o r y a n d T y p e T h e o r y
3 . 1 R u l e S e t i n S e t T h e o r y
W e h a v e a b a s e s e t A . T h e e l e m e n t s o f A a r e t h o u g h t o f a s s t a t e m e n t s . A r u l e o n a b a s e s e t A i s
a p a i r ( X ; x ) w i t h X A a n d x 2 A :
L e t b e a s e t o f r u l e s o n A :
A n a x i o m o f i s a n e l e m e n t x 2 A s u c h t h a t ( ; ; x ) 2 :
W e s a y t h a t a s u b s e t P A i s - c l o s e d ( o r i s a t h e o r y ) i ( X ; x ) 2 a n d X P i m p l y x 2 P :
T h e i n t e r s e c t i o n o f a l l - c l o s e d s u b s e t o f A i s i t s e l f a - c l o s e d s u b s e t T o f A , w h i c h i s t h e l e a s t
- c l o s e d s u b s e t o f A : I n t u i t i v e l y a n e l e m e n t o f T i s d e r i v a b l e f r o m a x i o m s b y a p p l y i n g t h e r u l e s o f
. M o r e g e n e r a l l y w e c a n d e n e U x i f U A b y s a y i n g t h a t x b e l o n g s t o a l l - c l o s e d s u b s e t s
t h a t c o n t a i n U a n d t h i s r e p r e s e n t s t h e t h e r e i s a w e l l - f o u n d e d d e r i v a t i o n t r e e o f x w h e r e a l l t h e
l e a v e s a r e i n U .
A r u l e s e t i s d e t e r m i n i s t i c i f f o r a n y x 2 A t h e r e i s a t m o s t o n e X A s u c h t h a t ( X ; x ) 2 :
A r u l e s e t i s n i t a r y i w h e n e v e r ( X ; x ) 2 t h e s e t X i s n i t e .
P r o p o s i t i o n : I f i s n i t a r y a n d U x t h e n t h e r e e x i s t s U
0
U n i t e s u c h t h a t U
0
x :
T h e p r o o f i s b y s h o w i n g t h a t t h e s e t o f a l l c o n s e q u e n c e s o f a n i t e s u b s e t o f U i s a s e t c o n t a i n i n g
U w h i c h i s - c l o s e d .
T h e s e n o t i o n s c a n b e s e e n a s a g e n e r a l i s a t i o n o f F r e g e - D e d e k i n d ' s a n a l y s i s o f i n d u c t i o n . W e
c a n e x p l a i n i n s e t - t h e o r e t i c t e r m s n o t o n l y t h e i d e a o f n i t a r y p r o o f t r e e ( w h i c h c a n b e r e d u c e d t o
t h e n o t i o n o f n i t e t r e e ) b u t a l s o t h e i d e a o f a r b i t r a r y w e l l - f o u n d e d p r o o f t r e e . N o t i c e h o w e v e r t h a t
t h i s e x p l a n a t i o n u s e s t h e n o t i o n o f a r b i t r a r y i n t e r s e c t i o n s o v e r a l l s u b s e t s o f a s e t .
3 . 2 T r e e S e t C o n s t r u c t o r s
T h e p a r a m e t e r s a r e A : S e t ; B : A ! S e t ; C : ( x : A ) B x ! S e t a n d d : ( x : A ) ( y : B x ) C x y ! A :
I n t u i t i v e l y , A i s a s e t o f s t a t e m e n t s , B x i s t h e s e t o f a l l p o s s i b l e b a s i c r u l e s f o r d e r i v i n g a s t a t e m e n t
x : A w h i l e C x y i s a n i n d e x s e t e n u m e r a t i n g a l l t h e p r e m i s s e s o f t h e r u l e y , t h e s e p r e m i s s e s b e i n g
a l l d x y z ; z : C x y : T h e p r e d i c a t e c o r r e s p o n d i n g t o a c c e s s i b i l i t y i s t h e n T x m e a n i n g i n t u i t i v e l y
t h a t x i s d e r i v a b l e i n t h i s f o r m a l s y s t e m .
W e i n t r o d u c e t h u s T : A ! S e t a n d s u p : ( a : A ) ( b : B a ) ( ( c : C a b ) T ( d a b c ) ) ! T a a n d
t h e e l i m i n a t i o n r u l e
t r e e r e c : ( P : A ! S e t )
( ( x : A ) ( y : B x ) ( ( z : C x y ) P ( d x y z ) ) ! P x ) !
( x : A ) T x ! P x
a n d t h e c o m p u t a t i o n r u l e i s
a c c r e c P g x ( s u p x y h ) = g x ( z t r e e r e c P g ( d x y z ) ( h z ) ) :
T h e s e r u l e s e x p r e s s t h a t T i s t h e s m a l l e s t p r e d i c a t e P o n A w h i c h i s w h a t c a n b e c a l l e d a
t h e o r y : i f t h e r e i s a r u l e s , a l l p r e m i s s e s s a t i s f y P , t h e n t h e c o n c l u s i o n s a t i s e s P . T o s e e t h e
c o m p l e t e d e p e n d e n t e l i m i n a t i o n r u l e s e e 2 8 ] .
E x e r c i c e : G i v e n a p r e d i c a t e U : A ! S e t o v e r A r e p r e s e n t a s a n i n d u c t i v e d e n i t i o n i n t y p e
t h e o r y t h e r e l a t i o n U a : T h e p r e d i c a t e T a c o r r e s p o n d s t o t h e s p e c i a l c a s e w h e r e U i s t h e e m p t y
p r e d i c a t e . S h o w t h e n t h e t r a n s i t i v i t y o f i n t h e f o l l o w i n g f o r m : i f U a a n d V x f o r a l l x : A
s a t i s f y i n g U t h e n w e h a v e V a :
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4 A N o r m a l i s a t i o n P r o o f o f G o d e l ' s S y s t e m T
G o d e l s y s t e m T i s o n e o f t h e s i m p l e s t t y p e s y s t e m w i t h o n e i n d u c t i v e d e n i t i o n . I n t h i s s e c t i o n ,
w e p r e s e n t a p r o o f o f n o r m a l i s a t i o n f o r h e a d - r e d u c t i o n a n d c l o s e d t e r m s . T h i s p r o o f u s e s a s a m a i n
t o o l o n e i n d u c t i v e d e n i t i o n , o f b e i n g r e d u c i b l e o r c o m p u t a b l e a t t y p e N .
I n o r d e r t o p r e s e n t a c o m p l e t e p r o o f ( i n p a r t i c u l a r , t o b e c o m p l e t e l y p r e c i s e a b o u t b o u n d v a r i -
a b l e s ) w e u s e a s i m p l e f o r m o f e x p l i c i t s u b s t i t u t i o n . T h e p r o o f i s f o r m u l a t e d i n s u c h a w a y t h a t
i t f o l l o w s t h e f o l l o w i n g c o m p u t a t i o n a l i n t e r p r e t a t i o n : a n o b j e c t u o f t y p e N i s a ( w e l l - f o u n d e d )
m e t h o d t h a t w i l l e v e n t u a l l y g i v e s 0 o r S u
1
w i t h u
1
m e t h o d o f t y p e N . A m e t h o d o f t y p e !
i s a m e t h o d t h a t a p p l i e d t o a m e t h o d o f t y p e w i t h g i v e s a m e t h o d o f t y p e .
T h e g o a l o f t h e a r g u m e n t i s t o p r o v e t h a t a l l c l o s e d t e r m s a r e c o r r e c t m e t h o d s i n t h i s s e n s e .
F o r d o i n g t h i s , w e h a v e t o e x p l a i n w h a t s h o u l d b e t h e m e a n i n g o f a n o p e n t e r m a s w e l l : i t s h o u l d
c o r r e s p o n d t o a n h y p o t h e t i c a l m e t h o d . E x p l i c i t s u b s t i t u t i o n s a r e a l s o u s e d t o e x p l a i n t h i s n o t i o n .
4 . 1 G o d e l ' s s y s t e m T
T h e t y p e s a r e i n d u c t i v e l y d e n e d a s b e i n g N o r o f t h e f o r m ! : A c o n t e x t ; ; : : : i s a s e t o f
t y p e d v a r i a b l e s x
1
:
1
; : : : ; x
n
:
n
w i t h x
1
; : : : ; x
n
d i s t i n c t . T h e t y p i n g r u l e s a r e t h e f o l l o w i n g
x : i f x : i s i n ;
0 : N ;
S t : N i f t : N ;
t t
0
: i f t : ! a n d t
0
: ;
x t : ! i f x d o e s n o t a p p e a r i n a n d ; x : t : ;
f
a ; b
: N ! i f a : a n d b : N ! ! .
W e r e c a l l t h a t !
1
!
2
s h o u l d b e r e a d ! (
1
!
2
) . I f w e h a v e t : t h e n t
r e p r e s e n t s a n h y p o t h e t i c a l m e t h o d o f t y p e w i t h f r e e v a r i a b l e s : I f = x
1
:
1
; : : : ; x
n
:
n
a n d
u
i
i s a c l o s e d e x p r e s s i o n o f t y p e
i
t h e n w e s a y t h a t t h e s u b s t i t u t i o n = ( x
1
= u
1
; : : : ; x
n
= u
n
) i s
a ( c l o s e d ) i n s t a n t i a t i o n o f : W e c a n t h e n f o r m t h e i n s t a n t i a t i o n t o f t h e m e t h o d t a n d w e g e t a
c l o s e d e x p r e s s i o n o f t y p e : R e c u r s i v e l y , t h e c l o s e d e x p r e s s i o n s a r e h e n c e d e s c r i b e d b y t h e f o l l o w i n g
c l a u s e s :
0 i s a c l o s e d e x p r e s s i o n o f t y p e N ,
S u i s a c l o s e d e x p r e s s i o n o f t y p e N , i f u i s a c l o s e d e x p r e s s i o n o f t y p e N ,
u u
0
i s a c l o s e d e x p r e s s i o n o f t y p e , i f u ; u
0
a r e c l o s e d e x p r e s s i o n s o f t y p e ! ; r e s p e c -
t i v e l y ,
t i s a c l o s e d e x p r e s s i o n o f t y p e i f t : a n d i s a n i n s t a n t i a t i o n o f :
W e d e s c r i b e n e x t t h e h e a d - r e d u c t i o n o n c l o s e d e x p r e s s i o n s :
0 ! 0 ;
( S t ) ! S ( t ) ;
1 2
-
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13/20
( x t ) u ! t ( ; x = u ) ;
u u
0
! u
1
u
0
i f u ! u
1
,
f
a ; b
0 ! a ;
f
a ; b
( S u ) ! b u ( f
a ; b
u ) ;
f
a ; b
u ! f
a ; b
u
1
i f u ! u
1
:
A s u s u a l , l e t u s w r i t e !
f o r t h e r e e x i v e t r a n s i t i v e c l o s u r e o f ! : W e d e n e i n d u c t i v e l y t h e
p r e d i c a t e R
N
u w h i c h e x p r e s s e s t h a t t h e c l o s e d e x p r e s s i o n u i s r e d u c i b l e o r c o m p u t a b l e o f t y p e N :
u !
0
R
N
u
u !
S u
1
R
N
u
1
R
N
u
a n d w e d e n e r e c u r s i v e l y o n t h e t y p e w h a t i t m e a n s t o b e r e d u c i b l e a t a n y t y p e : R
!
u m e a n s
t h a t R
u
0
i m p l i e s R
( u u
0
) :
4 . 2 A l l t e r m s a r e c o m p u t a b l e
T h e p r o o f s i s d i v i d e d i n t w o l e m m a s .
L e m m a 1 : I f R
u
0
a n d u ! u
0
t h e n R
u .
C o r o l l a r y : I f R
u
0
a n d u !
u
0
t h e n R
u .
L e m m a 2 : I f x
1
:
1
; : : : ; x
n
:
n
t : a n d R
i
u
i
t h e n w e h a v e R
t ( x
1
= u
1
; : : : ; x
n
= u
n
) :
T h e o r e m : A l l c l o s e d e x p r e s s i o n s a r e r e d u c i b l e .
L e t u s p r o v e t h e t h e o r e m , a s s u m i n g r s t l e m m a 2 . W e d o a n i n d u c t i o n o n t h e f o r m o f a c l o s e d
e x p r e s s i o n v :
v = 0 i s r e d u c i b l e b y d e n i t i o n ,
v = S u , b y i n d u c t i o n h y p o t h e s i s , u i s r e d u c i b l e , h e n c e s o i s v ;
v = u u
0
b y i n d u c t i o n h y p o t h e s i s , b o t h u a n d u
0
a r e r e d u c i b l e , h e n c e s o i s v ;
v = t ( x
1
= u
1
; : : : ; x
n
= u
n
) ; b y i n d u c t i o n h y p o t h e s i s a l l u
1
; : : : ; u
n
a r e r e d u c i b l e , h e n c e , b y
l e m m a 2 , s o i s v .
H e n c e t h e t h e o r e m i s e a s i l y p r o v e d i f w e h a v e a l r e a d y l e m m a 2 . T h e p r o o f o f l e m m a 1 a n d i t s
c o r o l l a r y a r e l e f t a s e x e r c i c e s : t o p r o v e l e m m a 1 , d o r s t a n i n d u c t i o n o n t h e t y p e a n d t h e n i n
t h e b a s e c a s e w h e r e = N a n i n d u c t i o n o n t h e d e n i t i o n o f R
N
: A p r e d i c a t e o n e x p r e s s i o n s t h a t
s a t i s e s t h e s t a t e m e n t o f l e m m a 1 i s c a l l e d s a t u r a t e d .
W e p r o v e n o w t h e k e y l e m m a 2 . T h i s i s p r o v e d b y i n d u c t i o n o n t :
t = x
i
; t h e n w e h a v e t ! u
i
; b y h y p o t h e s i s u
i
i s r e d u c i b l e , a n d h e n c e t i s r e d u c i b l e u s i n g
l e m m a 1 ,
t = 0 ; t h e n w e h a v e 0 ! 0 ; a n d h e n c e R
N
( 0 ) b y d e n i t i o n o f R
N
,
t = S t
0
; t h e n w e h a v e ( S t
0
) ! S ( t
0
) ; b u t t
0
i s r e d u c i b l e b y i n d u c t i o n h y p o t h e s i s , a n d
h e n c e s o i s t ,
1 3
-
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14/20
t = x t
0
i s o f t y p e ! ; t h e n w e h a v e ( x t
0
) u ! t
0
( ; x = u ) ; f o r a n y r e d u c i b l e u o f t y p e
: B y i n d u c t i o n h y p o t h e s i s t
0
( ; x = u ) i s r e d u c i b l e , a n d h e n c e , b y l e m m a 1 , t u i s r e d u c i b l e ,
t = t
1
t
2
; t h e n t ! t
1
( t
2
) ; b y i n d u c t i o n h y p o t h e s i s , b o t h t
1
a n d t
2
a r e r e d u c i b l e , h e n c e
t
1
( t
2
) i s r e d u c i b l e a n d s o i s t u s i n g l e m m a 1 ,
t = f
a ; b
; t h e n w e p r o v e t h a t t u i s r e d u c i b l e b y i n d u c t i o n o n t h e p r o o f o f R
N
u : I f u !
0 t h e n
t u !
a . S i n c e a i s r e d u c i b l e b y i n d u c t i o n h y p o t h e s i s , t h e n s o i s t u b y t h e c o r o l l a r y o f
l e m m a 1 . I f u !
S u
1
w i t h u
1
r e d u c i b l e t h e n t !
b u
1
( t u
1
) : B y i n d u c t i o n h y p o t h e s i s ,
t u
1
i s r e d u c i b l e ; a l s o b y i n d u c t i o n h y p o t h e s i s ( o n t ) b i s r e d u c i b l e . S i n c e u
1
i s r e d u c i b l e
w e c a n c o n c l u d e b y t h e c o r o l l a r y o f l e m m a 1 .
T h i s p r o o f i s a g o o d e x a m p l e o f a p r o o f b y i n d u c t i o n . T h e r e a r e t w o i n d u c t i o n g o i n g o n t h e r e :
o n e i s a n i n d u c t i o n o n t h e t y p e s , a n d t h e o t h e r i s t h e i n d u c t i v e d e n i t i o n o f R
N
:
T h e a d v a n t a g e o f s u c h a p r o o f i s t h a t i t i s r a t h e r d i r e c t t o e x t e n d i t t o t h e c a s e o f o t h e r d a t a
t y p e s . F o r i n s t a n c e , i f w e h a v e a t y p e o f o r d i n a l s O = 0 j S O j L ( N ! O ) t h e d e n i t i o n o f b e i n g
r e d u c i b l e o f t y p e O w i l l b e
u !
0
R
O
u
u !
S u
1
R
O
u
1
R
O
u
u !
L f ( 8 v ) R
N
v ! R
O
( f v )
R
O
u
:
4 . 3 C o m m e n t o n v e r s u s !
I t i s i n t e r e s t i n g t o c o m p a r e t h e u s e o f a n d t h e u s e o f ! i n t h i s a r g u m e n t . O n e c a n c o n s i d e r
! a s a n i n t e r n a l i s a t i o n o f , w h i l e t h e a p p l i c a t i o n o f l a m b d a - c a l c u l u s i s a n i n t e r n a l i s a t i o n o f t h e
o p e r a t i o n o f i n s t a n t i a t i o n . T h e s i m i l a r i t y i n t h e s e t w o o p e r a t i o n s a p p e a r a l s o i n t h e f r a m e w o r k
o f d e p e n d e n t t y p e s : i f w e w r i t e x : A ] B f o r t h e d e p e n d e n t p r o d u c t a n d x : A ] t h e o p e r a t i o n
o f e x t e n d i n g a c o n t e x t w i t h a t y p e A t h e n t h e r u l e o f p r o d u c t f o r m a t i o n c a n b e f o r m u l a t e d a s :
x : A ] B i x : A ] B :
1 4
-
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5 A n I n t e r p r e t a t i o n o f
1
1
Q u a n t i c a t i o n
S i n c e t h e w o r k o f R u s s e l l a n d t h e i n c i s i v e r e m a r k s o f P o i n c a r e , o n e o f t h e m a i n g o a l o f m a t h e m a t i c a l
l o g i c i s t o a n a l y s e i m p r e d i c a t i v i t y . T h e p r o b l e m i s t h e d e n i t i o n o f a s e t o f n a t u r a l n u m b e r s ( o r a
r e a l n u m b e r ) o b t a i n e d b y q u a n t i f y i n g o v e r a l l s e t s o f n a t u r a l n u m b e r s ( r e s p . o v e r a l l r e a l n u m b e r s ) .
O n e c a n a r g u e t h a t t h e c o l l e c t i o n o f a l l s e t s o f n a t u r a l n u m b e r s ( r e s p . a l l r e a l n u m b e r s ) i s n o t
g i v e n i n a d v a n c e . I t c a n \ c h a n g e " f o r i n s t a n c e b y a d d i n g a n e w d e n i t i o n o f a s e t . T h e r e i s t h e n a
\ c i r c u l a r i t y " p r o b l e m i n a d e n i t i o n w h i c h u s e s u n i v e r s a l q u a n t i c a t i o n o v e r s u b s e t s : t h e d e n i t i o n
i t s e l f m a y i n t r o d u c e a n e w s e t , c h a n g i n g t h e r a n g e o f q u a n t i c a t i o n u s e d i n t h e d e n i t i o n . A c c o r d i n g
t o P o i n c a r e ' s a n a l y s i s , t h i s i s t h e r o o t o f t h e c o n t r a d i c t i o n s t h a t w e r e f o u n d i n t h e b e g i n n i n g o f s e t
t h e o r y .
A c l a s s i c a l e x a m p l e o f s u c h a s i t u a t i o n i s t h e d e n i t i o n o f a l o w e r b o u n d o f a s e t o f r e a l n u m b e r s ,
w h e r e a r e a l n u m b e r s i s d e n e d a s a D e d e k i n d c u t , t h a t i s a d o w n w a r d c l o s e d s u b s e t o f r a t i o n a l
n u m b e r s . G i v e n a s e t C o f s u c h s u b s e t s , t h e l o w e r b o u n d o f t h e s e t C i s t h e i n t e r s e c t i o n o f a l l
e l e m e n t s o f C , a n d t h i s i n t e r s e c t i o n i s d e n e d b y u n i v e r s a l q u a n t i c a t i o n o v e r a l l s e t s o f r a t i o n a l
n u m b e r s .
H e r e w e s h o w h o w t o e x p l a i n t h i s c i r c u l a r i t y i n t e r m o f i n d u c t i v e d e n i t i o n s / w e l l - f o u n d e d t r e e s .
T h i s e x p l a i n s w h y i n d u c t i v e d e n i t i o n s p l a y a c r u c i a l r ^ o l e i n p r o o f t h e o r y 4 ] .
T h e b a s i c i d e a 1 9 ] i s t h a t i t i s p o s s i b l e t o e x p l a i n i n d u c t i v e l y w h e n a f o r m u l a ( 8 X ) A ( X ) i s
v a l i d , i f A ( X ) d o e s n o t c o n t a i n a n y u n i v e r s a l q u a n t i c a t i o n o v e r p r e d i c a t e s : i n t r o d u c e a n e w a t o m i c
p r e d i c a t e X , a b o u t w h i c h w e k n o w n o t h i n g , a n d t h e n e x p l a i n i n d u c t i v e l y w h e n A ( X ) i s c o r r e c t .
F o r i n s t a n c e ( 8 X ) X 5 ! X 5 i s c o r r e c t s i n c e X 5 ! X 5 i s i n t u i t i o n i s t i c a l l y c o r r e c t , w i t h X
v a r i a b l e .
T h e p r o b l e m w i t h t h i s e x p l a n a t i o n i s t h a t i t e x p l a i n s w h e n a f o r m u l a ( 8 X ) A ( X ) i s v a l i d , b u t
d o e s n o t e x p l a i n w h a t i t m e a n s t o a s s u m e a f o r m u l a ( 8 X ) A ( X ) t h a t i s w h a t c a n b e t h e m e a n i n g
o f ( ( 8 X ) A ( X ) ) ! . I n o r d e r t o s o l v e t h i s , w e h a v e t o u s e a K r i p k e m o d e l .
5 . 1 R e f o r m u l a t i o n o f t h e p r o b l e m
W e c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g ( i n n i t a r y , h e n c e d e s c r i b e d b y a n i n d u c t i v e d e n i t i o n ) l a n g u a g e H ( X )
= 0 j 1 j
n
n
j ! j X n
w h e r e 0 s t a n d s f o r t h e f a l s e , 1 f o r t h e t r u e ,
V
n
n
i s a n i n n i t a r y c o n j u n c t i o n a n d w h e r e n i s a
n a t u r a l n u m b e r n = 0 ; 1 ; : : : . I n t h i s l a n g u a g e w e c a n r e p r e s e n t a r b i t r a r y a r i t h m e t i c f o r m u l a e , a n d
e v e n f o r m u l a e d e p e n d i n g o f a n e x t r a p r e d i c a t e v a r i a b l e X :
G i v e n a n i n t e r p r e t a t i o n o f X i t i s p o s s i b l e t o g i v e a m e a n i n g o f a f o r m u l a A ( X ) o f H ( X ) ,
b u t i t i s n o t p o s s i b l e i n g e n e r a l t o e x p l a i n p r e d i c a t i v e l y w h e n a f o r m u l a A ( X ) i s v a l i d f o r e v e r y
p o s s i b l e i n t e r p r e t a t i o n o f X : I n s o m e c a s e s , t h i s i s p o s s i b l e , b e c a u s e w e c a n r e i n t e r p r e t ( 8 X ) A ( X )
f o r i n s t a n c e i f A ( X ) i s
(
l
(
k
k l ! X k ) ! X l ) ! X n
t h e n ( 8 X ) A ( X ) i s e q u i v a l e n t t o s a y t h a t n i s a c c e s s i b l e w i t h r e s p e c t t o t h e r e l a t i o n . B u t , i n
g e n e r a l , f o r c o m p l i c a t e d f o r m u l a e A ( X ) w e c a n n o t r e i n t e r p r e t ( 8 X ) A ( X ) .
W e c a n i n t e r p r e t t h e l a n g u a g e H ( X ) m o r e g e n e r a l l y i n a n y K r i p k e m o d e l . G i v e n a n a r i b i t r a r y
p o s e t P ; w i t h a l e a s t e l e m e n t 0 , l e t D o w n ( P ) t h e c o l l e c t i o n o f d o w n w a r d c l o s e d s u b s e t s o f P
c o n t a i n i n g 0 . G i v e n a n i n t e r p r e t a t i o n D o f X a s a f u n c t i o n N ! D o w n ( P ) , w e g i v e a m e a n i n g
1 5
-
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16/20
] ]
X = D
o f a f o r m u l a o f H ( X ) a s a n e l e m e n t o f D o w n ( P ) u s i n g t h e f o l l o w i n g o p e r a t i o n o n D o w n ( P ) :
X ) Y = f x 2 P j ( 8 x
0
x ) x
0
2 X ) x
0
2 Y g
w e h a v e
0 ] ] = f 0 g ; 1 ] ] = P ;
V
n
] ] = \
n
] ] ;
! ] ] = ] ] ) ] ] ;
X n ] ] = D ( n ) :
T h e p r o b l e m w i l l b e t h e s a m e h o w e v e r : i n g e n e r a l \
D
] ]
X = D
c a n n o t b e d e s c r i b e d p r e d i c a t i v e l y .
T h e m a i n p o i n t i s n o w t h a t t h e r e e x i s t s a p a r t i c u l a r p o s e t P
0
; s u c h t h a t f o r a n y f o r m u l a ( X )
o f H ( X ) , \
D
] ]
X = D
c a n b e d e s c r i b e d p r e d i c a t i v e l y .
5 . 2 A n i n d u c t i v e l y d e n e d P o s e t
T o b u i l d t h i s p o s e t P
0
, c o n s i d e r t h e l a n g u a g e s H ( X
0
; : : : ; X
k
) l i k e H ( X ) b u t w i t h n i t e l y m a n y
a t o m i c p r e d i c a t e s X
0
; : : : ; X
k
a n d d e n e P
0
t o b e t h e u n i o n
k
H ( X
0
; : : : ; X
k
) : A n e l e m e n t o f P
0
i s a f o r m u l a ( X
0
; : : : ; X
k
) : A s f o r H ( X ) , f o r a n y p o s e t P , w e c a n g i v e a m e a n i n g ] ]
X
i
= E
i
o f a n y
f o r m u l a 2 P
0
a s a n e l e m e n t o f D o w n ( P ) i f w e a r e g i v e n a m e a n i n g E
i
: N ! D o w n ( P ) o f e a c h
X
i
:
F u r t h e r m o r e , w e c a n e x p l a i n u s i n g o n l y i n d u c t i v e d e n i t i o n s w h e n a f o r m u l a 2 P
0
i s v a l i d .
T h i s c a n b e d o n e f o r i n s t a n c e b y d e s c r i b i n g i n d u c t i v e l y w h e n a n i t e s e t o f f o r m u l a s e n t a i l s
a n o t h e r f o r m u l a :
i f 2 ;
! i f ; ;
1 ;
i f 0 ;
V
n
i f
n
f o r a l l n .
W e w r i t e n o w i ! i s v a l i d . T h i s d e n e s a p o s e t P
0
w i t h a l e a s t e l e m e n t 0 . T h e
f a c t t h a t t h e r e l a t i o n i s t r a n s i t i v e f o l l o w s f r o m G e n t z e n ' s c u t - e l i m i n a t i o n t h e o r e m : i f a n d
; t h e n ; , w h i c h i s a g o o d e x a m p l e o f a t h e o r e m p r o v e d b y i n d u c t i o n .
I t c a n t h e n b e p r o v e d t h a t i f h o l d s t h e n f o r a n y p o s e t P a n d f o r a n y i n t e r p r e t a t i o n E
i
o f
X
i
w e h a v e ] ]
X
i
= E
i
] ]
X
i
= E
i
:
T h i s e x p r e s s e s t h e s o u n d n e s s o f K r i p k e m o d e l s w i t h r e s p e c t t o t h i s l o g i c a l c a l c u l u s . T h e c o m -
p l e t n e s s w i l l b e p r o v e d b e l o w .
T h e p a p e r 2 3 ] p r e s e n t s a c a l c u l u s o f p r o o f s f o r a c a l c u l u s s i m i l a r t o t h e o n e g i v e n h e r e .
1 6
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5 . 3 I n d u c t i v e E x p l a n a t i o n o f
1
1
q u a n t i c a t i o n
G i v e n a f o r m u l a A ( X ) o f H ( X ) w e i n t e r p r e t n o w ( 8 X ) A ( X ) a s a d o w n w a r d c l o s e d s e t S o f P
0
.
T h i s i s t h e s e t S o f a l l f o r m u l a e 2 P
0
s u c h t h a t A ( X
i
) w h e n e v e r X
i
d o e s n o t a p p e a r i n :
N o t i c e t h a t i f A ( X
i
) f o r o n e X
i
n o t i n ; t h e n w e h a v e A ( X
l
) f o r a l l X
l
n o t i n : O f
c o u r s e , i t i s e s s e n t i a l t h a t t h i s s e t i s d e n e d w i t h o u t u s e o f u n i v e r s a l q u a n t i c a t i o n o v e r p r e d i c a t e s .
L e m m a 1 : S i s a d o w n w a r d c l o s e d s u b s e t o f H .
P r o o f : I f 2 S a n d , l e t X
l
b e a n a t o m i c p r e d i c a t e n o t i n n e i t h e r i n : W e h a v e t h e n
A ( X
l
) b y h y p o t h e s i s a n d h e n c e A ( X
l
) : T h i s i m p l i e s 2 S b y t h e r e m a r k a b o v e . 2
I f 2 H l e t # ( ) b e t h e s e t o f f o r m u l a e : W e l e t D
k
( n ) b e t h e s e t # ( X
k
n ) :
L e m m a 2 : W e h a v e # (
n
) = \ # (
n
) a n d # ( ! ) = # ( ) ) # ( ) :
L e m m a 3 : ] ]
X
k
= D
k
= # ( ) :
P r o o f : T h i s i s t r u e b y d e n i t i o n f o r = X
k
n a n d f o r = 0 o r = 1 :
I t t h e n h o l d s b y i n d u c t i o n o n t h e f o r m u l a u s i n g l e m m a 2 . 2
I t f o l l o w s f r o m t h i s l e m m a t h a t w e h a v e i f o r a l l K r i p k e m o d e l s a n d a l l i n t e r p r e t a t i o n s
o f X
i
, w e h a v e ] ] ] ] :
T h i s l e m m a i s c r u c i a l i n t h e a r g u m e n t , a n d h o l d s o n l y b e c a u s e o f t h e u s e o f ! - l o g i c .
4
L e m m a 4 : S i s t h e i n t e r s e c t i o n o f a l l i n t e r p r e t a t i o n s o f A ( X ) ] ]
X = D
w h e r e D v a r i e s o v e r a l l
p o s s i b l e f u n c t i o n s N ! D o w n ( P
0
) :
P r o o f : O u r c l a i m i s t h a t S i s t h e i n t e r s e c t i o n o f a l l A ( X ) ] ]
X = D
. F i r s t , i f 2 S t h e n A ( X
i
)
f o r X
i
n o t i n : H e n c e ! A ( X
i
) i s a v a l i d f o r m u l a , w h i c h h o l d s i n a n y m o d e l , i n p a r t i c u l a r i n
t h e K r i p k e m o d e l o v e r H . I t f o l l o w s t h a t w e h a v e
] ]
X
k
= D
k
; X
i
= D
i
= ] ]
X
k
= D
k
; X
i
= D
A ( X
i
) ] ]
X
k
= D
k
; X
i
= D
= A ( X
i
) ] ]
X
i
= D
:
B y l e m m a 3 , w e h a v e ] ]
X
k
= D
k
= # ( ) a n d h e n c e 2 A ( X
i
) ] ]
X
i
= D
a s e x p e c t e d .
C o n v e r s e l y i f 2 A ( X ) ] ]
X = D
f o r a l l p o s s i b l e i n t e r p r e t a t i o n D , t h e n i n p a r t i c u l a r f o r X
i
n o t i n
w e h a v e
2 A ( X ) ] ]
X = D
i
= A ( X
i
) ] ]
X
i
= D
i
:
S i n c e A ( X
i
) ] ]
X
i
= D
i
= # ( A ( X
i
) ) b y l e m m a 2 , t h i s i m p l i e s A ( X
i
) . 2
5 . 4 C o m p r e h e n s i o n A x i o m
S e c o n d - o r d e r a r i t h m e t i c H A
2
i s d e n e d a s a t w o s o r t e d l o g i c : w i t h v a r i a b l e s n ; m ; x ; y ; : : : o v e r
n a t u r a l n u m b e r s a n d v a r i a b l e s X ; Y ; Z ; : : : o v e r s e t s o f n a t u r a l n u m b e r s . W e c a n f o r m , b e s i d e s
t h e u s u a l p r o p o s i t i o n s o f H e y t i n g a r i t h m e t i c , t h e a t o m i c p r o p o s i t i o n x X a n d t h e c o m p r e h e n s i o n
a x i o m c a n b e s t a t e d a s
9 X 8 x x X ( x ) ]
w h e r e ( x ) i s a n y f o r m u l a .
I f w e r e s t r i c t ( x ) t o a f o r m u l a o f t h e f o r m 8 X
1
: : : 8 X
n
( X
1
; : : : ; X
n
; x ) w i t h o u t s e t q u a n t i -
c a t i o n , w e h a v e
1
1
- c o m p r e h e n s i o n . W e h a v e b u i l t a m o d e l o f
1
1
- c o m p r e h e n s i o n w i t h o u t p a r a m e t e r s :
t h e f o r m u l a ( x ) h a s n o f r e e s e t v a r i a b l e s .
4
I t f o l l o w s f r o m G o d e l ' s i n c o m p l e t n e s s t h e o r e m t h a t t h e i m p r e d i c a t i v e q u a n t i c a t i o n w e d e a l w i t h c a n n o t b e
e x p l a i n e d u s i n g o n l y n i t a r y i n d u c t i v e d e n i t i o n s .
1 7
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5 . 5 H o w l o n g c a n w e g o ?
T h e r s t t o o b t a i n a n e x p l a n a t i o n o f
1
1
q u a n t i c a t i o n i n t e r m s o f i n d u c t i v e d e n i t i o n s w a s T a k e u t i ,
b y a s o m e w h a t i n d i r e c t m e t h o d : h e o b t a i n e d a p a r t i a l c u t - e l i m i n a t i o n r e s u l t g e n e r a l i s i n g t h e o n e
o f G e n t z e n u s i n g o r d i n a l d i a g r a m s , w h i c h c a n b e p r o v e d w e l l - f o u n d e d u s i n g i n d u c t i v e d e n i t i o n s .
T h e m e t h o d w e h a v e u s e d i s i n s p i r e d f r o m t h e o n e i n t h e b o o k o f B u c h h o l z - S c h u t t e 3 ] , a n d f r o m
s o m e r e m a r k s o f L o r e n z e n .
W e h a v e e x p l a i n e d o n l y a s p e c i a l c a s e o f
1
1
q u a n t i c a t i o n : i n ( 8 X ) A ( X ) t h e f o r m u l a A ( X )
c a n n o t h a v e a n y u n i v e r s a l q u a n t i c a t i o n o v e r p r e d i c a t e s . I n o r d e r t o c o v e r a m o r e g e n e r a l c a s e ,
o n e n e e d s t o u s e i t e r a t e d i n d u c t i v e d e n i t i o n s .
T h e p r o g r a m o f r e d u c i n g t h e c i r c u l a r i t y o f q u a n t i c a t i o n s o v e r p r e d i c a t e s i s g o i n g o n . T h e m o r e
r e c e n t p r o g r e s s i n t h i s d i r e c t i o n c a n b e e l e g a n t l y d e s c r i b e d i n t e r m s o f t y p e t h e o r y : o n e c o n s i d e r s
t y p e t h e o r y w i t h W - t y p e s ( i t e r a t e d i n d u c t i v e d e n i t i o n s ) w i t h s t r o n g e r a n d s t r o n g e r r e e c t i o n
p r i n c i p l e s . T h e s e r e e c t i o n p r i n c i p l e s a r e q u i t e s i m i l a r t o l a r g e c a r d i n a l a x i o m s i n s e t t h e o r y . A
s i m p l e e x p l a n a t i o n o f
1
2
c o m p r e h e n s i o n , g e n e r a l i s i n g t h e o n e w e h a v e g i v e n i s s t i l l a c h a l l e n g e !
1 8
-
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19/20
R e f e r e n c e s
1 ] P . A c z e l . A n i n t r o d u c t i o n t o i n d u c t i v e d e n i t i o n s . I n J . B a r w i s e , e d i t o r , H a n d b o o k o f M a t h e -
m a t i c a l L o g i c , p a g e s 7 3 9 { 7 8 2 . N o r t h - H o l l a n d , 1 9 7 7 .
2 ] M . B e e s o n . F o u n d a t i o n s o f C o n s t r u c t i v e M a t h e m a t i c s . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 8 5 .
3 ] W . B u c h h o l z a n d K . S c h u t t e . P r o o f t h e o r y o f i m p r e d i c a t i v e s u b s y s t e m s o f a n a l y s i s . S t u d i e s i n
P r o o f T h e o r y . M o n o g r a p h s , 2 . B i b l i o p o l i s , N a p l e s . , 1 9 8 8 .
4 ] P . W . B u c h h o l z W . , F e f e r m a n S . a n d S . W . I t e r a t e d I n d u c t i v e D e n i t i o n s a n d S u b s y s t e m s o f
A n a l y s i s . S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 8 1 .
5 ] R . M . B u r s t a l l . P r o v i n g p r o p e r t i e s o f p r o g r a m s b y s t r u c t u r a l i n d u c t i o n . C o m p u t e r J o u r n a l ,
( 3 9 ) : 1 3 5 { 1 5 4 , 1 9 8 5 .
6 ] J . D e s p e y r o u x . P r o o f o f t r a n s l a t i o n i n n a t u r a l s e m a n t i c s . I n P r o c e e d i n g s o f t h e F i r s t A C M
C o n f e r e n c e o n L o g i c i n C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 1 9 3 { 2 0 5 , 1 9 8 6 .
7 ] E . W . D i j k s t r a . A D i s c i p l i n e o f P r o g r a m m i n g . P r e n t i c e - H a l l , 1 9 7 6 .
8 ] P . D y b j e r . I n d u c t i v e f a m i l i e s . F o r m a l A s p e c t s o f C o m p u t i n g 6 , p a g e s 4 4 0 { 4 6 5 , 1 9 9 4 .
9 ] K . G o d e l . C o l l e c t e d W o r k s , V o l u m e s I a n d I I . O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 8 6 .
1 0 ] J . A . G o g u e n , J . W . T h a t c h e r , E . G . W a g n e r , a n d J . B . W r i g h t . A n I n i t i a l A l g e b r a A p p r o a c h
t o t h e S p e c i c a t i o n , C o r r e c t n e s s , a n d I m p l e m e n t a t i o n o f A b s t r a c t D a t a T y p e s . P r e n t i c e H a l l ,
1 9 7 8 .
1 1 ] D . G r i e s . T h e S c i e n c e o f P r o g r a m m i n g . S p r i n g e r T e x t s a n d M o n o g r a p h s i n C o m p u t e r S c i e n c e ,
1 9 8 1 .
1 2 ] J . H e r b r a n d . O n t h e c o n s i s t e n c y o f a r i t h m e t i c . I n J . v a n H e i j e n o o r t , e d i t o r , F r o m F r e g e t o
G o d e l , p a g e s 6 1 8 { 6 2 8 . H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s .
1 3 ] C . H o a r e . R e c u r s i v e d a t a s t r u c t u r e s . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f C o m p u t e r a n d I n f o r m a t i o n
S c i e n c e s , 4 : 1 0 5 { 1 2 4 , 1 9 7 5 .
1 4 ] W . H o w a r d . F u n c t i o n a l i n t e r p r e t a t i o n o f b a r i n d u c t i o n b y b a r r e c u r s i o n . C o m p o s i t i o M a t h e -
m a t i c a , 2 0 : 1 0 7 { 1 2 4 .
1 5 ] G . K a h n . N a t u r a l s e m a n t i c s . T e c h n i c a l R e p o r t 6 0 1 , 1 9 8 7 .
1 6 ] S . K l e e n e . O n t h e i n t e r p r e t a t i o n o f i n t u i t i o n i s t i c n u m b e r t h e o r y . J o u r n a l o f S y m b o l i c L o g i c ,
1 0 : 1 0 9 { 1 2 4 , 1 9 4 5 .
1 7 ] G . K r e i s e l . I n t e r p r e t a t i o n o f a n a l y s i s b y m e a n o f c o n s t r u c t i v e f u n c t i o n a l s o f n i t e t y p e . I n
H e y t i n g , e d i t o r , C o n s t r u c t i v i t y i n M a t h e m a t i c s , p a g e s 1 0 1 { 1 2 8 . N o r t h - H o l l a n d , 1 9 5 9 .
1 8 ] F . W . L a w v e r e . E q u a l i t y i n h y p e r d o c t r i n e s a n d c o m p r e h e n s i o n s c h e m a a s a n a d j o i n t f u n c t o r .
I n A . H e l l e r , e d i t o r , A p p l i c a t i o n s o f C a t e g o r i c a l A l g e b r a , P r o c e e d i n g s o f S y m p o s i a i n P u r e
M a t h e m a t i c s . A M S , 1 9 7 0 .
1 9 ] K . L o r e n z e n . L o g i c a l r e e c t i o n a n d f o r m a l i s m . J o u r n a l o f S y m b o l i c L o g i c , 2 3 : 2 4 1 { 2 4 9 , 1 9 5 8 .
1 9
-
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20/20
2 0 ] K . L o r e n z e n . M e t a m a t h e m a t i q u e . E d i t i o n G a u t h i e r - V i l l a r s , 1 9 6 2 .
2 1 ] P . M a r t i n - L o f . N o t e s o n C o n s t r u c t i v e M a t h e m a t i c s . A l m q v i s t & W i k s e l l , S t o c k h o l m , 1 9 6 8 .
2 2 ] P . M a r t i n - L o f . H a u p t s a t z f o r t h e i n t u i t i o n i s t i c t h e o r y o f i t e r a t e d i n d u c t i v e d e n i t i o n s . I n J . E .
F e n s t a d , e d i t o r , P r o c e e d i n g s o f t h e S e c o n d S c a n d i n a v i a n L o g i c S y m p o s i u m , p a g e s 1 7 9 { 2 1 6 .
N o r t h - H o l l a n d , 1 9 7 1 .
2 3 ] P . M a r t i n - L o f . I n n i t e t e r m s a n d a s y s t e m o f n a t u r a l d e d u c t i o n . C o m p o s i t i o n M a t h e m a t i c a ,
3 4 : 9 3 { 1 0 3 , 1 9 7 2 .
2 4 ] P . M a r t i n - L o f . A n i n t u i t i o n i s t i c t h e o r y o f t y p e s : P r e d i c a t i v e p a r t . I n L o g i c C o l l o q u i u m ` 7 3 ,
p a g e s 7 3 { 1 1 8 . N o r t h - H o l l a n d , 1 9 7 5 .
2 5 ] P . M a r t i n - L o f . T h e d o m a i n i n t e r p r e t a t i o n o f t y p e t h e o r y , l e c t u r e n o t e s . I n K . K a r l s s o n a n d
K . P e t e r s s o n , e d i t o r s , W o r k s h o p o n S e m a n t i c s o f P r o g r a m m i n g L a n g u a g e s , A b s t r a c t s a n d
N o t e s , C h a l m e r s U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y a n d U n i v e r s i t y o f G o t e b o r g , A u g u s t 1 9 8 3 . P r o -
g r a m m i n g M e t h o d o l o g y G r o u p .
2 6 ] P . M a r t i n - L o f . I n t u i t i o n i s t i c T y p e T h e o r y . B i b l i o p o l i s , 1 9 8 4 .
2 7 ] J . M c C a r t h y a n d J . A . P a i n t e r . C o r r e c t n e s s o f a c o m p i l e r f o r a r i t h m e t i c e x p r e s s i o n s . I n
M a t h e m a t i c a l A s p e c t s o f C o m p u t e r S c i e n c e , p a g e s 3 3 { 4 1 . A M S , 1 9 6 7 .
2 8 ] B . N o r d s t r o m , K . P e t e r s s o n , a n d J . S m i t h . P r o g r a m m i n g i n M a r t i n - L o f ' s T y p e T h e o r y : a n
I n t r o d u c t i o n . O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 0 .
2 9 ] C . P a u l i n - M o h r i n g . E x t r a c t i n g f ! p r o g r a m s f r o m p r o o f s i n t h e c a l c u l u s o f c o n s t r u c t i o n s . I n
S i x t e e n t h A n n u a l A C M S y m p o s i u m o n P r i n c i p l e s o f P r o g r a m i n g L a n g u a g e s . A C M , 1 9 8 9 .
3 0 ] C . P a u l i n - M o h r i n g . I n d u c t i v e d e n i t i o n s i n t h e s y s t e m C o q - r u l e s a n d p r o p e r t i e s . I n P r o -
c e e d i n g s T y p e d - C a l c u l u s a n d A p p l i c a t i o n s , p a g e s 3 2 8 { 2 4 5 . S p r i n g e r - V e r l a g , L N C S , M a r c h
1 9 9 3 .
3 1 ] G . D . P l o t k i n . A s t r u c t u r a l a p p r o a c h t o o p e r a t i o n a l s e m a n t i c s . T e c h n i c a l R e p o r t D A I M I F N
- 1 9 , C o m p u t e r S c i e n c e D e p r a t m e n t , A a r h u s U n i v e r s i t y , A a r h u s , D e n m a r k , 1 9 8 1 .
3 2 ] E . P o s t . A b s o l u t e l y u n s o l v a b l e p r o b l e m s a n d r e l a t i v e l y u n d e c i d a b l e p r o p o s i t i o n s . a c c o u n t o f
a n a n t i c i p a t i o n . I n M . D a v i s , e d i t o r , T h e u n d e c i d a b l e . R a v e n P r e s s , H e w l e t t , N Y , 1 9 6 5 .
3 3 ] D . S . S c o t t . C o n s t r u c t i v e v a l i d i t y . I n S y m p o s i u m o n A u t o m a t i c D e m o n s t r a t i o n , p a g e s 2 3 7 { 2 7 5 .
S p r i n g e r L e c t u r e N o t e s i n M a t h e m a t i c s 1 2 5 , 1 9 7 0 .
3 4 ] W . W . T a i t . N o r m a l D e r i v a b i l i t y i n C l a s s i c a l L o g i c . S p r i n g e r , 1 9 6 8 .
3 5 ] A . S . T r o e l s t r a a n d D . v a n D a l e n . C o n s t r u c t i v i s m i n M a t h e m a t i c s , a n i n t r o d u c t i o n . N o r t h -
H o l l a n d , 1 9 8 8 .
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