19/08/2011apas´2011 1 universidad nacional de entre ríos facultad de ingeniería laboratorio de...
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19/08/2011 APAS´20111
Universidad Nacional de Entre Ríos Facultad de Ingeniería
Laboratorio de Señales y Dinámicas no Lineales
Universidad Nacional del Litoral
Facultad de Ciencias Hídricas
SINC(i)
ANÁLISIS Y PROCESAMIENTO AVANZADO DE SEÑALES
Dra. María Eugenia TorresDr. Hugo Leonardo Rufiner
Dr. Diego H. Milone
Clase 5 – Parte 2
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Sistemas Lineales y Filtros
Filtros lineales invariantes en el tiempo
Integrales de Fourier en L1 y en L2. Propiedades.
Discretización
Filtros lineales discretos invariantes en el tiempo.
Señales finitas.
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de Fourier.
Informe de Fourier al Institute de France (1807)f periódica puede representarse por serie de ondas senoidales
armónicas.
Impacto: física, ingeniería, análisis matemático.
Motivación de Fourier: difusión del calor
Transformada de Fourier diagonaliza todo Transformada de Fourier diagonaliza todo
operador lineal invariante en el tiempooperador lineal invariante en el tiempo
Bloques fundamentales del procesamiento de señales
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Filtrado Lineal Invariante en el tiempo.
transmisión de señalesremoción de ruido estacionariocodificación predictiva
Operaciones básicas del procesamiento de señales
son implementadas con
operadores lineales invariantes en el tiempo
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Filtrado Lineal Invariante en el tiempo. Operador lineal invariante en el tiempo
)( tftf
][)()]([)( fLtgtfLtg
Lf g
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Delta de Dirac δ tiene soportesoporte en { t = 0} y
Si f continua:
Dada g continua tal que
s
tg
stg
dttg
s
1)(
1)(
duuuff )()()0( 0
ss
g0
lim
dttftfdttftg ss
)()()0()()(lim0
Convergencia débilEs
Notación!!!
1)(
dtt
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Sistema Lineal Invariante en el tiempo (SLIT).
L lineal y continua
Se caracterizan por su respuesta al impulso unitario.
duuLuftfL t )]([)()]([
L h
h respuesta al impulso )()]([ tfhtfL
][)( tLth donde
Lf ][ fL
dutuftf u )()()( f continua
)()( uttu
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Sistema Lineal Invariante en el Tiempo (SLIT).Autovalores y autovectores
dueuheL utiti )()(][
Las exponenciales complejas
son autovectores del operador de convolución
tie
tiuititi ehdueuheeL ).(ˆ)(][
donde
dueuhh ui )()(ˆ (Transformada de Fourier)
es el autovalor asociado en la frecuencia
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Como las ondas sinusoidales
son autovectores de los SLIT
es tentador tratar de descomponer cualquier función f como “suma” de estos autovectores.
tie
Sistema Lineal Invariante en el Tiempo (SLIT).Autovalores y autovectores
Podemos expresar L[f ] directamente a partir de los
autovalores .)(ˆ h
El análisis de Fourier demuestra que bajo condiciones débiles (seccional continuidad) es posible escribir L[f ]
como una Integral de Fourier.
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Integrales de Fourier en LIntegrales de Fourier en L1 1 y en Ly en L22
dttfLf22 )()(
dttfLf )()(1 Sumable
Energía finita
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dtetff ti )()(ˆLa Transformada de Fourier (FT)
mide “cuantas” oscilaciones de f hay en la frecuencia .
Si :)()( 1 Ltf dttff )()(ˆ
)()(ˆ 1 Lf y es continua
L a Transformada de Fourier en LL a Transformada de Fourier en L11(R)(R)
1Lf
( Papoullis, 1987 )
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deftf ti)(ˆ2
1)(
Teorema (Transformada Inversa de Fourier)
Si )()(ˆ)()( 11 LfyLtf
)()()( 1 Lthftg
Teorema (de Convolución)
Sea )()()()( 11 LthyLtf
)(ˆ)(ˆ)(ˆ hfg
L a Transformada de Fourier en LL a Transformada de Fourier en L11(R)(R)
La reconstruccion no está garantizada para funciones
discontinuas
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La Transformada de Fourier en LLa Transformada de Fourier en L11(R)(R)
La respuesta de un SLIT puede calcularse por su FT
dehftgfL ti)(ˆ)(ˆ2
1)(][
)(ˆ).(ˆ)(ˆ][ hfgyhfgfL
Esta convolución se denomina Filtrado Frecuencial
y es la Función de Transferencia del Filtro)(ˆ h
defhfL ti ])(ˆ[)(ˆ2
1][
)(ˆ h atenua o amplifica cada componente frecuencial ei t de amplitud )(ˆ f
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La Transformada de Fourier en LLa Transformada de Fourier en L22(R)(R)
)()( ]1,1[ ttf Función Característica de [-1,1]
o “Indicator Function”
)(2
)(ˆ 11
1
Lsin
dtef ti
)(
)()(ˆ
2
1
L
Lf
No puede aplicarse el Teorema de Inversión !
Es necesario extenderextender la Transformada de Fourier a L2 (R R )
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L2 es Hilbert
Producto interno
)(, para ,)()(, 2
Lgfdttgtfgf
Norma
)( para ,)()()(, 222
Lfdttfdttftffff
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La Transformada de Fourier en LLa Transformada de Fourier en L22(R)(R)
entonces)()(Si 21 LLhyf
Teorema:
hf
dhf
dtthtfhf
ˆ,ˆ2
1
)(ˆ)(ˆ2
1
)()(,
hfhf ˆ,ˆ2
1,
Fórmula de Parseval
2
2
2
2ˆ
2
1, Si ffhf
Fórmula de Plancherel
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La Transformada de Fourier en LLa Transformada de Fourier en L22(R)(R)
Extensión a L2 por densidad
)( pero )( Si 12 LfLf
no puede calcularse su Transformada de Fourier mediante la integral usual
porque
)()( 1 Letf ti
Entonces se la define como un límite usando la densidad de )(en )()( 221 LLL
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La Transformada de Fourier en LLa Transformada de Fourier en L22(R)(R))(en denso es )()( 221 LLL
)( en a converge que tal),()(,}{ 221 LffLLff nnNnn
02
nn ff
Como {fn} es convergente, es una sucesión de Cauchy
Npnff pn , 2
11
1 ˆˆ2
1y ˆ)( pnpnnn fffffLf
221en Cauchy de es }ˆ{ Entonces LLLf n
L2 es un espacio de Hilbert completo toda sucesión de Cauchy converge en él
0ˆˆ que tal)(ˆ2
2 nfflimLf
se la define como la Transformada de Fourier de f
Plancherel
)( en 2 L
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La Transformada de FourierLa Transformada de FourierEjemplosEjemplos
Función Característica
)()( ],[ ttf TT )(
2)(ˆ Tsindtef
T
T
ti
Filtro Pasa-Bajo Ideal
)()(ˆ ],[ ht
tsindeth ti
)(
2
1)(
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La Transformada de FourierLa Transformada de FourierEjemplosEjemplos
Circuito Electrónico Pasivo
hf g
M
k
kk
K
k
kk tgbtfa
0
)(
0
)( )()(
f(t)=g(t)=0 si t<0
M
k
kk
K
k
kk
ib
ia
f
gh
0
0
)(
)(
)(ˆ)(ˆ
)(ˆ
Aplicando Fourier:
)()( thftg
Implementa filtros analógicos: resistencias, capacitores e inductores.
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La Transformada de FourierLa Transformada de FourierEjemplosEjemplos
Función Gaussiana Cttf es )exp()( 2
dteefT
T
tit
2
)(ˆ 0)(ˆ)('ˆ2 ff
Chirp Gaussiano ))(exp()( 2tibatf
)(4
)(exp)(ˆ
22
221
ba
iba
biaf
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La Transformada de FourierLa Transformada de FourierPropiedades: Regularidad y decaimientoPropiedades: Regularidad y decaimiento
Regularidad y Decaimiento
La regularidad global de una señal f depende del decaimiento de cuando aumenta)(ˆ f
dftfLf )(ˆ21
)()()(ˆ Si 1
i.e f es continua y acotada
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La Transformada de FourierLa Transformada de FourierPropiedades: Regularidad y decaimientoPropiedades: Regularidad y decaimiento
Teorema:
Si
entonces la función f es acotada y p veces continuamente
diferenciable con derivadas acotadas.
dfp
1)(ˆ
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La Transformada de FourierLa Transformada de FourierPropiedades: Regularidad y decaimientoPropiedades: Regularidad y decaimiento
11)(ˆ
p
Kf/0 y constantes Si εKn
EntoncespCf
Si tiene soporte compacto, el teorema implica que Cff̂
El decaimiento de depende del peor comportamiento singular de f.)(ˆ f
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La Transformada de FourierLa Transformada de FourierPropiedades: Regularidad y decaimientoPropiedades: Regularidad y decaimiento
)()( ],[ ttf TTEjemplo:
es discontinua en -T y T.
1 como decae )(f̂
¿ Es f regular para t T ?
Esta información no puede obtenerse a partir de la Transformada de Fourier.
Para caracterizar regularidades locales se necesitan formas de onda bien localizadas en el tiempo Onditas
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La Transformada de FourierLa Transformada de FourierPropiedades: Principio de IncertidumbrePropiedades: Principio de Incertidumbre
¿ Es posible construir una función f tal que: Su energía esté bien localizada en tiempo? Su transformada de Fourier tenga energía concentrada en un pequeño entorno de frecuencia?
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La Transformada de FourierLa Transformada de FourierPropiedades: Principio de IncertidumbrePropiedades: Principio de Incertidumbre
tiene soporte restringido a t=u tiene energía distribuida uniformente en todas las frecuencias
)( ut ine)(ˆ
tiene decaimiento rápido a altas frecuencias,
sólo si f tiene variaciones regulares en el tiempo. La energía debe estar desparramada en un tiempo
“largo”.
f̂
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La Transformada de FourierLa Transformada de FourierPropiedades: Principio de IncertidumbrePropiedades: Principio de Incertidumbre
Solución? ¿ Reducir la dispersión temporal de f ?
22 entonces ,1 con ,
1)( Si ffs
st
fs
tf ss
Cómo? ¿ Con un cambio de escala de f ?
ˆ)(ˆ pero sfsf s es dilatada en 1/s
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Dilatación en tiempo vs. frecuencia s= 1, 5, 0.2, 0.05
stf
stf s
1)( )(ˆ sf
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Las concentraciones de energía en tiempo y frecuencia están restringidas por el
Principio de Incertidumbre de Heisenberg
La Transformada de FourierLa Transformada de FourierPropiedades: Principio de IncertidumbrePropiedades: Principio de Incertidumbre
Interpretación en Mecánica Cuántica:
El estado de una partícula unidimensional es descripto por una función de onda )(2 Lf
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La Transformada de FourierLa Transformada de FourierPropiedades: Principio de IncertidumbrePropiedades: Principio de Incertidumbre
La densidad de probabilidad de que una partícula esté localizada en t es
2
2 )(1
tff
Localización promedio: dttft
fu
2
2 )(1
La densidad de probabilidad de que su momentum sea igual a es
2
2 )(ˆ2
1
ff
Momentum promedio:
dff
2
2 )(ˆ2
1
Varianzas:
dttfutf
u
222
2 )()(1
dff
222
2 )(ˆ)(2
1
)(2 Lf
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La Transformada de FourierLa Transformada de FourierPropiedades: Principio de IncertidumbrePropiedades: Principio de Incertidumbre
Teorema (de Incertidumbre de Heisenberg):
La varianza temporal y frecuencial de satisfacen
La igualdad es válida si y sólo si existen (u,,a,b) 2 x C
2 tales que
)(2 Lf
4122 t
])(exp[)( 2utbtiatf
Gabor Chirps
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La Transformada de FourierLa Transformada de FourierPropiedades: Principio de IncertidumbrePropiedades: Principio de Incertidumbre
Soporte compacto?
Teorema
Si f 0, tiene soporte compacto, entonces no puede ser nula en todo un intervalo.
Recíprocamente, si tiene soporte compacto, entonces f(t) no puede ser nula en todo un intervalo.
)(ˆ f
)(ˆ f
Transformada de Fourier
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.5
0
0.5
1s(t) = sin(2 f1 t)*u1(t)+ sin(2 f2 t)*u2(t)+sin(2 f3 t)*u3(t)
t(n)
s(n)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
10
20
30
Frequency (kHz)
abs(
fft(s
))2 (
dB/H
z)f1=0,05 kHz - f2=0.025 kHz - f3=0.08 kHz
Transformada de Fourier
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.5
0
0.5
1
s(t) = sin(2 f1 t)+ sin(2 f2 t)+sin(2 f3 t)
t(n)
s(n
)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
10
20
30
Frequency (kHz)
abs(f
ft(s
))2 (dB
/Hz)
f1=0,05 kHz - f2=0.025 kHz - f3=0.08 kHz
Contenidos
Introducción Elementos de Matemáticas avanzadas. Operadores lineales. Proyecciones. Espacios vectoriales. Filtros lineales invariantes en el tiempo. Integrales de Fourier en L1 y en L2. Propiedades. Filtros lineales discretos invariantes en el tiempo. Señales finitas.
Análisis tiempo-frecuencia La transformada Fourier por ventanas. La transformada ondita. Frecuencia instantánea. Energía tiempo-frecuencia instantánea.
MarcosTeoría de Marcos. Marcos en Fourier y en onditas. Invariancia ante traslación. Transformada Ondita Diádica.
Bases Ondita.Bases onditas ortogonales. Aproximaciones Multirresolución. Funciones escala. Filtros espejo conjugados. Clases de bases ondita. Onditas y bancos de filtros. Bases biortogonales.
Aplicaciones.