18장함수의수치적분 - daeguneslab.daegu.ac.kr/lec/numanalysis-doc/ppt/chap18.pdf · 2017....

2017-11-30

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18장 함수의 수치적분

18.1 소개18.2 Romberg 적분18.3 Gauss 구적법18.4 적응식 구적법

Applied Numerical Methods 18장 함수의 수치적분

18.1 소개

수치적으로 적분할 함수가 주어지는 두 가지의 형태

� 도표화된 값

‚ 함수

Richardson 외삽법

- 두 개의 수치적분 값을 조합하여 보다 더 정확한 적분 값을 구하는 방법

- 매우 효과적으로 구현하기 위한 계산 알고리즘 ® Romberg 적분법

Gauss 구적법: 적분 구간 내에 위치한 특별한 x값을

이용하여 보다 정확한 적분 값을 구함

적응구적법: 소구간의 폭을 조절하면서 적분 값을 구함

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18.2 Romberg 적분 (1/9)

함수에 대한 수치적분을 효율적으로 구하기 위한 방법

Richardson 외삽법수치적분 결과를 이용하여 적분 값을 개선시키는 기법

적분 값과 오차

)()( hEhII +=

여기서 I = 정확한 적분 값

I(h) = n개의 구간에 사다리꼴 공식을적용시켜 계산한 적분 값

h = (b – a)/n, 구간 간격

E(h) = 절단오차



간격 크기가 다른 두 추정 값과 오차

합성 사다리꼴 공식의 오차

( 는 간격의 크기와 관계없이 일정하다고 가정)

두 오차의 비

또는

따라서

또는

)()()()( 2211 hEhIhEhI +=+

fhabE ¢¢--@ 2

12

22

21

2

1

)()(

hh

hEhE

@2

2

121 )()( ÷÷

ø

öççè

æ@

hh

hEhE

)()()()( 22

2

2

121 hEhIhhhEhI +=÷÷ø

öççè

æ+ 2

21

212 )/(1

)()()(

hhhIhI

hE-

-=

f ¢¢

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이 추정 값을 다음 식에 대입하면

다음과 같이 개선된 적분 값을 계산할 수 있다.

® 오차의 크기 O(h4)

구간 간격이 절반( h2 = h1/2)인 경우는

)()( 22 hEhII +=

)]()([1)/(

1)( 12221

2 hIhIhh

hII --

+=

)(31)(

34

12 hIhII -=


예제 18.1 (Richardson 외삽법) (1/2)

Q. 구간 a = 0과 b = 0.8 사이에서 함수의

적분 값을 Richardson 외삽법으로 계산하라. 참고로 정해는 1.640533.

풀이)

단일 및 합성 사다리꼴 공식을 적용한다.

소구간의수 n 간격크기 h 적분값 et

124

0.80.40.2

0.17281.06881.4848

89.5%34.9%9.5%

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예제 18.1 (Richardson 외삽법) (2/2)

n=1과 2에 대해

® Et = 1.640533-1.367467=0.273067 (et = 16.6%)

n= 2와 4에 대해

® Et = 1.640533-1.623467 = 0.017067 (et = 1.0%)

367467.1)1728.0(31)0688.1(

34

=-=I

623467.1)0688.1(31)4848.1(

34

=-=I



개선된 두 적분 값으로 Richardson 외삽법을 다시 적용하면

® O(h6)

- Richardson 외삽법을 세 번 적용하면

® ® O(h8)

lm III151

1516

-=

lm III631

6364

-=

여기서 Im = 보다 정확한 적분 값

Il = 덜 정확한 적분 값

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예제 18.2 (고차 수정)

Q. 오차가 O(h4)인 적분 값을 이용하여 오차가

O(h6)인 적분 값을 구하라.

풀이)

® 정확한 적분값이 계산되었다!

640533.1)367467.1(151)623467.1(

1516

=-=I



Romberg 적분 알고리즘컴퓨터 실행에 적합한 일반적인 형태

예> k = 1 ® 원래의 사다리꼴 공식의 적분 값

k = 2 ® 오차가 O(h4)인 적분 값

k = 3 ® 오차가 O(h6)인 적분 값

예를 들어 k = 2 이고 j = 1이면,

여기서 Ij+1,k-1 = 보다 정확한 적분 값

Ij,k-1 = 덜 정확한 적분 값

Ij,k = 개선된 적분 값

k = 적분의 단계를 나타내는 첨자

144

11,1,1

1

, -

-=

-

--+-

kkjkj

k

kj

III

)(31)(

34

34

121,11,2

2,1 hIhIII

I -=-

=

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Romberg 적분법을 이용한 적분 계산 순서에 대한 그래프적 표현(a) 첫 번째 반복, (b) 두 번째 반복, (c) 세 번째 반복.



종료판정 기준

- 추정 값의 백분율 상대오차

Romberg 적분법은 사다리꼴 공식이나 Simpson

공식보다 더 효율적임

- Simpson 공식으로 7자리의 유효숫자를 갖는 결과를 구하려면

48개의 구간이 필요

- Romberg 적분은 단지 15회의 함수 값 계산만 필요

%100,1

1,2,1 ´-

= -

k

kka I

IIε

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18.3 Gauss 구적법 (1/8)

사다리꼴 공식® 기본 점이 끝점으로 고정되어 있음® 종종 큰 오차를 초래

곡선상의 임의의 두 점을 선택® 양의 오차와 음의 오차가 균형을 이루도록 위치 조정 가능

(a)고정된 양 끝점을 연결하는 직선 아래의 면적을 구하는 사다리꼴 공식,

(b)두 개의 중간 점을 지나는 직선 아래의 면적을 취해서 얻은 개선된 적분값



미정계수법

사다리꼴 공식: 또는

사다리꼴 공식은 함수가 상수와 직선일 때 정해를 산출

따라서 ®

그리고 ®

두 식을 풀어서 두 개의 미지수를 구하면

최종적으로 ® 사다리꼴 공식

2)()()( bfafabI +

-@ )()( 10 bfcafcI +@

ò-

--=+

2/)(

2/)(10 1ab

abdxcc abcc -=+ 10

ò-

--=

-+

--

2/)(

2/)(10 22ab

abxdxabcabc 0

22 10 =-

+-

-abcabc

210abcc -

==

)(2

)(2

bfabafabI -+

-=

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사다리꼴 공식으로 정해를 계산할 수 있는 두 가지 경우: (a) 상수와 (b) 직선



2점 Gauss-Legendre 공식의 유도Gauss 구적법의 목표- 다음 형태의 방정식의 계수를 구하는 것

- 유의할 사항은 x0와 x1가 고정되지 않았음

® 4개의 미지수 ® 4개의 조건® y = 상수, y = x, y = x2, y = x3

)()( 1100 xfcxfcI +@

211

110 ==+ ò- dxcc 01

11100 ==+ ò- xdxxcxc

321

1

2211

200 ==+ ò- dxxxcxc 0

1

1

3311

300 ==+ ò- dxxxcxc

여기서 c's = 미지의 계수

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® x0 = – x1 (x0 ¹ x1이므로)

2점 Gauss-Legendre 공식

21

20 xx =

110 == cc

K5773503.03

10 -=-=x

K5773503.03

11 ==x

)3

1()31( ffI +-

= Gauss 구적법을 상용한 적분에서 미지의변수 x0와 x1의 그래프적 표현



적분 구간이 -1에서 1까지므로 일반적인 선형 변환은

다음과 같다.

- 하한 x = a가 xd = –1에 대응 Þ

- 상한 x = b가 xd = 1에 대응 Þ

연립하여 풀면

따라서

10 )1( aaa +-=

10 )1( aab +=

20aba +

=21aba -

=

2)()( dxabab

x-++

= ddxabdx

2-

=

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예제 18.2 (2점 Gauss-Legendre) (1/2)

Q. 2점 Gauss-Legendre 공식으로 다음의 함수를

x = 0에서 0.8까지의 구간에서 적분하라. 참고로 정해는 1.640533이다.

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf +-+-+=


예제 18.2 (2점 Gauss-Legendre) (2/2)

풀이)

적분구간을 –1에서 +1까지가 되도록 변환:

Þ 에서 0.516741, 에서 1.305837

Þ 0.516741 + 1.305837 = 1.822578

® 백분율 상대오차는 –11.1%

dxx 4.04.0 += ddxdx 4.0=

ddd

ddd

dxxx

xxx

dxxxxxx

4.0])4.04.0(400)4.04.0(900

)4.04.0(675)4.04.0(200)4.04.0(252.0[

)400900675200252.0(

54

1

1-

32

8.0

0

5432

+++-

+++-++=

+-+-+

òò

3/10 -=x 3/11 =x

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다점 공식

)()()( 111100 --+++@ nn xfcxfcxfcI L

여기서 n = 데이터 점의 수



점의수 가중인자 함수변수 절단오차

2 c0 = 1.0000000c1 = 1.0000000

x0 = –0.577350269x1 = 0.577350269 @ f(4)(x)

3c0 = 0.5555556c1 = 0.8888889c2 = 0.5555556

x0 = –0.774596669x1 = –0.0x2 = 0.774596669

@ f(6)(x)

4c0 = 0.3478548c1 = 0.6521452c2 = 0.6521452c3 = 0.3478548

x0 = –0.861136312x1 = –0.339981044x2 = 0.339981044x3 = 0.861136312

@ f(8)(x)

5

c0 = 0.2369269c1 = 0.4786287c2 = 0.5688889c3 = 0.4786287c4 = 0.2369269

x0 = –0.906179846x1 = –0.538469310x2 = 0.0x3 = 0.538469310x4 = 0.906179846

@ f(10)(x)

6

c0 = 0.1713245c1 = 0.3607616c2 = 0.4679139c3 = 0.4679139c4 = 0.3607616c5 = 0.1713245

x0 = –0.932469514x1 = –0.661209386x2 = –0.238619186x3 = 0.238619186x4 = 0.661209386x5 = 0.932469514

@ f(12)(x)

<Gauss-Legendre 공식에서 사용되는 가중인자와 함수 변수>

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예제 18.3 (3점 Gauss-Legendre 공식)

Q. 3점 Gauss-Legendre 공식으로 다음의 함수를x = 0에서 0.8까지의 구간에서 적분하라. 참고로 정해는 1.640533이다.

풀이)

함수를 모르면 적용이 불가능

® 도표화된 데이터에 적용이 부적합한 방법

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf +-+-+=

)7745967.0(5555556.0)0(8888889.0)7745967.0(5555556.0 fffI ++-=

640533.14859876.08732444.02813013.0 =++=I


18.4 적응식 구적법 (1/2)

합성 Simpson 공식은 등간격으로 분포된 점을 사용하는 단점

® 비교적 급격한 변화가 있는 함수는 더욱 조밀한 간격 필요

적응식 구적법은 자동적으로 간격 크기를 조절

® 급격한 변화가 있는 곳에는 작은 간격, 점진적으로 변화하는

곳에는 큰 간격 사용

합성 Simpson 공식을 소구간에 적용하는데 바탕을 둠

® 두 단계 간격의 적용 결과를 절단오차의 계산에 사용

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