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Graduado Superior en Ingeniera Geologica. ETSECCPB

Problemas de Ampliacion de Matematicas. Ecuaciones diferenciales

1.-Encontrar la E.D.O. asociada a las familias de curvas siguientes:

x2 +y2 = 2ax xy = C y = C x3

y=eKt y = K xex x2 + 4y2 =Cy2 = 2x2(1 Cx) y = C1e

2x +C2ex y = (C1+C2x)e

x +C3

2.-Encontrar las trayectorias ortogonales a las siguientes familias de curvas:

x2 +y2 =C x2 y2 =C2 y=x+C

y=Cex2 xy=C y=C(1 +sin x)

y=eKx y = C x2 x2 + (y C)2 =C2

3.- Encontrar el valor de la constante K para que la familia de parabolas y =

C1x2 +K sean trayectorias ortogonales a la familia de elipses x2 + 2y2 2y=C2.

4.-Se tiene un deposito de volumen igual a 50 l con 500 g de sal. A partir de un cierto

instante, se introduce un caudal de agua de 2 l/min con una concentracion constante

de c0 g/l y al mismo tiempo se desagua por el otro extremo con el mismo caudal (es

decir, en el deposito hay siempre 50 l). Se pide:

Plantear la ecuacion diferencial que controla la cantidad de sal presente en el

deposito.

Resolverla suponiendo que la concentracion del agua de entrada se mantiene siempre

constante. Es logica la solucion que se obtiene?

Resolverla suponiendo que la concentracion del agua de entrada se mantiene

constante hasta t=25 min y a partir de este instante se hace cero (es decir, entra

agua limpia).

5.-Se calienta un cuerpo a 110o C y se coloca en un ambiente a 10o C (se supone que un

cuerpo caliente se enfra a un ritmo proporcional a la diferencia de temperatura respecto

del ambiente que le rodea). Al cabo de una hora su temperatura es de 60o C. Hallar

su temperatura en funcion det. Desde el punto de vista fsico, es logica esta solucion?

Cuanto tiempo tardara en llegar a 30o C?

6.- Una barca en un estanque esta inicialmente situada en el punto de coordenadas

(a, 0), a >0, y es arrastrada mediante un cabo de longitud a. El punto desde el que se

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arrastra se mueve desde (0,0) sobre el eje OY positivo con velocidad v; al mismo tiempo

desde el punto de arrastre se recoge cabo a la velocidad v (es decir, la longitud del cabo

en el instante tes L(t) =a vt).

a) Determinar la ecuacion diferencial de la curva que describe la barca.

b) Hallar la ecuacion de la trayectoria y representarla.

7.-Resolver los siguientes apartados.

i) Hallar las curvas para las que el punto de interseccion de la recta tangente con el

eje de abscisas tiene una abscisa igual a 2/3 de la abscisa del punto de contacto.

ii) Hallar las curvas tales que todas sus rectas normales se cortan en un punto.

(Indicacion: Tomar como punto de corte el (0, 0))

iii) Se considera una curva y = f(x) que pasa por el origen, es decir, f(0) = 0. Se

considera un punto arbitrario de la curva (x0, y0) y se trazan dos rectas que pasan

por este punto, siendo cada una de ellas paralela a uno de los ejes coordenados. Deeste modo se construye un rectangulo cuyos vertices opuestos son los puntos (0, 0) y

(x0, y0). La curva y =f(x) divide este rectangulo en dos regiones de tal modo que

una de ellas tiene area igual a n veces la otra. Cual es la funcion f(x) sabiendo

quef(1) = 1?

8.-Un avion vuela horizontalmente con velocidad de modulov en direccion a un punto

fijoO. Pero le desva un viento fuerte de velocidad y direccion constantes cuyo modulo

es w. Hallar las posibles trayectorias del avion.

9.- Se lanza verticalmente desde la superficie de la Tierra un objeto de masa m con

velocidad inicial v0. Se supone que el aire ejerce una resistencia al avance proporcional

a la velocidad del objeto, con constante de proporcionalidad k. Se pide:

i) Hallar las expresiones de la velocidad y de la altura a la que se encuentra el objeto

en funcon del tiempo.

ii) Que altura alcanzara y cuando tardara en iniciar la cada?

10.- Se ha lanzado un misil verticalmente. Su celeridadu es constante. En el mismo

instante, y desde una distancia horizontal x0, se lanza un contramisil cuya celeridad ves tambien constante. En cada instante el contramisil se dirige a la posicion que el misil

tena unidades de tiempo antes (tiempo de deteccion). Se pide:

a) Determinar la trayectoria del contramisil en el caso en que = 0. Hallar el tiempo

que tardara el contramisil en alcanzar el misil y discutir en que condiciones se hara

efectivo el alcance.

b) Repetir el apartado anterior si es un numero positivo.

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11.- Una gota de agua esferica esta suspendida en la atmosfera. Inicialmente se halla

en reposo (velocidad nula) y tiene radio r0 >0. Debido a la gravedad, inicia su caida

en ese instante. Mientras cae absorbe vapor de agua en una cantidad proporcional a

la superficie de la gota en cada instante (constante de proporcionalidad a > 0), pero

independientemente de su velocidad (floculacion). Se pide:a) Determinar la masa, m(t), y el radio, r(t), de la gota en cualquier instante t > 0.

(La densidad del agua se considera igual a 1).

b) Si v(t) es la velocidad de la gota en el instante t y se cumple la ley de Newton

d

dt(m(t)v(t)) =g m(t)

(g aceleracion de la gravedad), determinar v(t) para t >0, y tambien la aceleracion de

la gota v(t) para t >0.

12.- Una maquina quitanieves desplaza un volumen de nieve por hora igual a C(m3/hora), barriendo una anchura L (m) de la carretera. Su velocidad al avanzar por

la carretera vara, segun la cantidad de nieve precipitada, para mantener Cconstante

en el tiempo.

Nieva regularmante, de forma que la altura de nieve crece en la carretera a razon de

(m/hora). Despues de empezar a nevar, la maquina inicia la limpieza de la carretera en

t= 0 (horas). Se pide:

a) Plantear la ecuacion diferencial que satisface la longitud de carretera, x(t) (Km),

limpiada por la maquina. Hallar la solucion.

b) En la primera hora de trabajo, la maquina ha limpiado 2 Km de carretera. En lasegunda hora, solo ha avanzado 1 Km mas. Determinar en que momento empezo a

nevar.

13.-Un elemento radiactivo A se descompone en otro elemento tambien radioactivoB .

Sean k1 y k2 las constantes de desintegracion de los elementos A y B respectivamente

(se recuerda que la desintegracion es proporcional a la cantidad de masa presente en

cada momento y que esta constante de proporcionalidad es k1 o k2). Denotemos por

x1(t) ey1(t) las cantidades de elemento de A y B respectivamente. Si la cantidad inicial

de A es x0 y la de B es cero, hallar x e y en funcion de t.

14.- Un paquete de masa 75 Kg se lanza desde un helicoptero a 2000 m de altura.

Se supone que la fuerza de rozamiento debido a la resistencia del aire es proporcional

a la velocidad de cada. La constante de proporcionalidad es k1 =25 Kg/s cuando

el paracadas esta cerrado y de k2 =50 Kg/s cuando el paracadas esta abierto. El

paracadas se abre cuando la velocidad de cada es de 20 m/s. Se pide:

i) Hallar la expresion de la velocidad de cada en funcion del tiempo.

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ii) Hallar la expresion de la distancia recorrida en la cada en funcion del tiempo.

iii) Comentar como se calculara el tiempo que tardara el paquete en llegar al suelo.

15.- En cada caso, encontrar las curvas del plano que verifiquen la propiedadcorrespondiente:

i) La recta normal a la curva en el punto (x, y) intersecta al eje OX en el punto

(x+ 1, 0).

ii) La recta tangente a la curva en el punto (x, y) intersecta al eje OX en el punto

(x 1, 0).

iii) La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (x, y) es igual al doble

de la pendiente de la recta que pasa por los puntos (x, y) y (0,0).

iv) La pendiente de la recta normal a la curva en el punto (x, y) es igual a x/y.

16.-Seany1ey2 dos soluciones linealmente independientes de la ecuaciony + a(x)y +

b(x)y = 0. Es posible que y1 e y2sean solucion de otra ecuacion diferencial de la forma

y +c(x)y +d(x)y = 0.

17.-Sabiendo que la funciony = x2 es una solucion de la ecuacionx2y + xy 4y = 0,

hallar la solucion general de la misma.

18.- Resolver las E.D.O. lineales de primer orden siguientes y los problemas de

condiciones iniciales que se indican:

y + 3y/x= 6x2 dydx + 3y = 3x2e3x

x4y + 2x3y= 1xy +y = x+x3

y +

2x+1x

y = e2x y + y1x =x

2 x

dydx +y = (x+ 1)

2 , y(0) = 0. xy 2y= 2x4 , y(2) = 8.

x x= sin(2y) , x(0) = 0. drdt +r tan t= cos2t , r(/4) = 1.

19.-Demostrar que la funcion f(x, y) =| siny|+x satisface una condicion de Lipschitz,

para la constante (de Lipschitz) M= 1, en el plano IR2, sin embargo fy no existe

cuando y = 0.

20.- Probar que las funciones siguientes satisfacen una condici on de Lipschitz en el

conjunto indicado:

f(x, y) =xy2 en {|x| 1 , |y| 1}f(x, y) = 4x2 +y2 en {|x| 1 , |y| 1}

f(x, y) =x3exy2

en {|x| 1 , y IR}

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21.-Resolver las siguientes ecuaciones lineales:

x(t) +x(t) 2x(t) = 0

xIV(t) 6x(t) + 12x(t) 8x(t) = 0

xIV(t) 4x(t) + 14x(t) 20x(t) + 25x(t) = 0

22.-Se considera la ecuacion diferencial ordinaria

xiv(t) x(t) 2x(t) + 6x(t) 4x(t) = 8t2 28 t IR

i) Hallar la solucion general de esta ecuacion.

ii) Calcular la solucion que verificax(0) = 0,x(0) = 11,x(0) =3,x(0) = 13.

23.-Sean a, b, , IR, a,b >0. Resolver el problema de valores iniciales

ax(t) +bx(t) =sin

b

a t

; x(0) =, x(0) =

24.- Resolver la ecuacion x tx 2(t2 + 1)x = 0, sabiendo que una solucion es et2

.

Hallar la solucion general de esta ecuacion.

25.-Sean A, B,CIR tales que 0 < B < A2. Hallar todas las soluciones de

xIV(t) 2Ax(t) +Bx(t) =C

26.- Hallar la solucion general de los siguientes sistemas de ecuaciones (se supone que

x, y son funciones de t):

(a1) x =y , y = 2x+y ;

(a2) x =x , y = 2y ;

(b1) x = 6x+ 3y , y = 3x+ 4y ;

(b2) x

=x , y

=y ;(c1) x =x+y , y =2x+y ;

Sea IIR un intervalo.

27.- Sea A : I Mnn(IR) continua y una matriz fundamental para la EDO

x(t) =A(t)x(t). Puede existirB :I Mnn(IR) continua tal que (t) =B(t)(t) y

B=A?

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28.-Sea A: I Mnn(IR), A C1(I). Hallar la condicion necesaria y suficiente para

que siendox(t) solucion, x(t) tambien lo sea. Demostrar que en este caso x C(I) y

k IN, x(k)(t) es solucion.

29.-Sea : IR L(IR2

) definida por

(t) =

tet tetsen(t)e2t e2tsen(t)

Existe algun sistema x(t) =A(t)x(t) tal que (t) =A(t)(t) ?

30.-Sea a IR. Sea A una matriz definida por:

A=

a 1 0 00 a 0 1

1 1 a 00 1 0 a

Se considera el sistema diferencial x(t) =Ax(t), se pide:

i) Sin hallar una base de soluciones explcitamente, para que valores de a IRexisten

soluciones constantes? Cuantas linealmente independientes? En general, cual es

la condicion necesaria y suficiente para que existan soluciones constantes y cu antas

linealmente independientes se van a obtener?

ii) Hallar una base de soluciones del sistema x(t) =Ax(t)

31.-Una masa, m1 esta suspendida mediante un muelle de constante recuperadora k1.

Desde la parte inferior de la masa m1 se suspende otra masam2 mediante un muelle de

constante recuperadora k2. Ambos muelles pueden suponerse sin amortiguamiento. Se

pide:

a) Determinar la ecuacion del movimiento de ambas masas si no actua ninguna fuerza

exterior aparte de la gravedad.

b) Si inicialmente el desplazamiento de la masa m1 de su posicion de equilibrio era 1,

y la correspondiente de m2 era -1, hallar la evolucion de los desplazamientos de ambas

masas. Representar la trayectoria en el plano de fases de los desplazamientos de ambas

masas.c) A la masa m2 se le aplica una fuerza dada por cos(t). Representar las amplitudes

de la oscilacion de m1 ym2 en estado estacionario cuando vara .

32.-Hallar la solucion general del sistema de ecuaciones

x1= 2x1+ 4x2+ 3x2+ 3e

tcos(t) 2et sin(t)

x2+ x1+ 2x2+ 2x2=e

t sin(t)

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33.-Hallar la solucion general del sistema:

x =x+et , y = 2x y , z =x 3y z .

34.-Resolver los correspondientes sistemas homogeneos para las siguientes matrices:

A1 =

21 19 20

19 21 2040 40 40

A2=

3 1 12 0 11 1 2

A3=

10 4 13

5 3 79 4 12

A4 =

2 0 11 0 11 2 0

A5=

0 2 30 2 40 1 2

A6=

2 1

1 4

A7 =

3 55 3

A8=

3 0 00 1 50 5 1

A9=

1 1 0 00 1 1 00 0 1 00 6 0 1

A10=

1 1 1 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4

A11=

0 0 0 01 0 0 11 0 0 10 1 1 0

35.-Con las notaciones del problema anterior, resolver:

i) x(t) =A1(t)x(t); x(0) = (1, 0, 1)t

ii) x(t) =A3(t)x(t) +f(t); x(0) = (0, 0, 1)t; f(t) = (t, 0, 0)t

iii) x(t) =A4(t)x(t) +g(t); x(0) = (0, 0, 0)t; g(t) = (t2, 0, 1)t

iv) x(t) =A8(t)x(t) +h(t); x(0) = (1, 0, 1)t; h(t) = (0, 1, sen(5t))t

36.-Sea a IR {0}. Hallar todas las funciones x(t), y(t), z(t), u(t) que cumplan

x(t) =ax(t) +y(t); y(t) =z(t) +1

ay(t)

z(t) =az(t) +y(t); u(t) =y(t) +au(t)

37.-Si a,b, c, d, e IR, resolver el sistema

x(t) =ax(t) +bz(t)y(t) =cy(t)z(t) =dy(t) +ez(t)

38.- Sean a, b, c IR. Hallar todas las soluciones de la ecuacion lineal x = Ax+ v

donde

AAAAAAAAAAAAAA=

a b 0c a b0 c a

; vvvvvvvvvvvvvv=

abc

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39.-Seana, b, c, d IR. Hallar todas las soluciones de la ecuacion linealx =Ax donde

AAAAAAAAAAAAAA=

a b c

b a dc d a

40.-Resolver el problema de Cauchy

xxxxxxxxxxxxxx(t) =

6 1

1 4

xxxxxxxxxxxxxx(t) +

te5t

t2e5t

; xxxxxxxxxxxxxx(0) =

1

3

41.-Sea A la matriz definida por:

A= 0 1 2

1 1 12 1 4

Se considera el sistema diferencial x(t) =Ax(t). Se pide:

i) Hallar una base de soluciones del sistema x(t) =Ax(t)

ii) Hallarx(t) sabiendo que x(0) = (1, 2, 3)t

42.-Sea a IR. Se considera el sistema de ecuaciones

x(t) = 5x(t) +y(t) 2z(t)y(t) =x(t) + 8y(t) z(t)

z(t) =x(t) + 8z(t)

i) Hallar una base de soluciones y la expresion de la solucion general del sistema.

ii) Calcular la unica solucion del sistema que verifica x(0) = (0, 1, 0)t

43.-Sea el sistema de ecuaciones

x(t) =

1 0 0 01 3 2 01 0 1 00 1 1 3

x(t) +

1t0t

i) Hallar una base de soluciones y la expresion de la solucion general del sistema

homogeneo asociado

ii) Calcular la unica solucion del sistema homogeneo que verifica x(0) = (1, 0, 1, 0)t

iii) Encontrar la expresion de la solucion general del sistema completo (no homogeneo)

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x(t) =

5 1 1 10 4 1 11 2 6 20 0 0 5

x(t)

i) Hallar una base de soluciones y la expresion de la solucion general.

ii) Calcular la unica solucion del sistema que verifica x(0) = (1, 2, 3, 4)t

45.-Sea A la matriz definida por:

A=

1 1 2 11 3 4 20 0 1 00 0 1 2

Se considera el sistema diferencial x(t) =Ax(t), se pide:

i) Hallar una base de soluciones del sistema x(t) =Ax(t)

ii) Hallarx(t) sabiendo que x(0) = (1, 0, 0, 3)t


x(t) =

3 1 0 0

0 3 1 00 0 3 04 4 3 1

x(t) + t

001


homogeneo asociado



iv) Hallar la solucion del sistema completo que verifica la condicion inicial x(0) =

(1, 0, 0, 1)

t


x(t) =

2 0 0 01 3 1 01 1 1 01 0 0 2

x(t) +

e

t

10t


homogeneo asociado

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iv) Hallar la solucion del sistema completo que verifica la condicion inicial x(0) =

(1, 3, 5, 11)t

48.-Se considera el sistema de ecuaciones

x(t) =

1 0 0 0 00 1 2 0 00 1 0 0 11 1 1 1 00 0 0 0 1

x(t)

i) Hallar una base de soluciones y la expresion de la solucion general del sistema.

ii) Calcular la unica solucion del sistema que verifica x(0) = (0, 1, 4, 3, 4)t

49.-Sean a, l >0 y F: [0, l]IR una funcion continua.

i) Para cadac 0, determinar la condicion necesaria y suficiente para que el problema

de contornoa u(x) +c u(x) = F(x)

u(0) =u(l) = 0

[P]

tenga solucion y discutir en que casos la solucion es unica.

ii) Cuando sea posible, hallar todas las soluciones de [P].

iii) Especificar la situacion de (i) y (ii) cuando F(x) = 2(x), donde IR.

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