182110105 grile rezolvate la matematici aplicat

7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat

http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 1/83

7) Daca A,B sunt matrice

echivalente (A B) atunci:

a) A,B sunt matrice patratice; b) rang A = rang B;

c) daca determinantul lui A = 0

rezulta, si det B = 0;

d) daca det A = 1 rezulta ca si det B

= 1.

8) ie A ! M n(R ). Daca rang A = r,

atunci prin trans"#rmari elementare

se #btine:

a) cel putin r c#l#ane ale matriceiunitate;

b) cel mult r c#l#ane ale matricei

unitate;

c) e$act r c#l#ane ale matricei unitate;

d) t#ate c#l#anele matricei unitate.%)

ie A ! M n(R ) cu det A & 0.

'tunci:

a)

rang A = n;

b) A este echivalenta cu matricea

unitate In (A - In);

c) prin trans". elementare putem

determina inversa A1.

d) "#rma aus*#rdan a matricei A

este In.

10) +entru a a"la inversa unei

matrice A ! M n(R ) prin

trans"#rmari elementare, acestea se

aplica: a) numai liniil#r;

b) numai c#l#anel#r;

c) atat liniil#r cat si c#l#anel#r;

d) intai liniil#r ap#i c#l#anel#r.

11) Daca A ! M n(R ) cu det A = 1

atunci "#rma auss*#rdan as#ciata

va avea:

a) # singura linie a matricei unitate

In;

b) t#ate liniile si c#l#anele matricei

unitate In;

c) # singura c#l#ana a matricei

unitate In;

d) numai # linie si # c#l#ana a

maricei unitate In.

1) -et#da de a"lare a inversei unei

matrice A cu trans"#rmari

elementare se p#ate aplica:

a) #ricarei matrice A ! M n(R ) ;

b) numai matricel#r patratice;c) maricel#r patratice cu det A & 0;

d) tutur#r matricel#r cu rang A & 0.

1) +entru a"larea inversei unei

matrice A ! M n(R ) prin

trans"#rmari elementare,

acestea se aplica:

a) direct asupra lui A;

b) asupra matricei transpuse A/;

c) matricei atasate =' 2Mn 3;

d) matricei atasate =2n M' 3/ .



14) ie A ! M n(R ) si

matricea atasata acesteiain met#da a"larii

inversei lui A prin trans"

elementare.'tunci:

a) ! M n (R );

b) ! M n,2n (R );

c) ! M 2n,n (R );

d) ! M 2n,2n (R );

15) ie A ! M n(R ) si

matricea atasata lui A

pentru determinarea luiA1 prin trans"#rmari

elementare. Daca

0 1 1 0 1 4M − ÷

atunci:

1 −4



=

3 2

4 1

÷

−

d) A-1 nu exista.

16) Fie A € Mn( R) si B matricea

atasata luiA entru determinarea lui

A-1

rin trans!"rmari elementare.#aca

B 1$$123

$$1321

$1$213

÷

÷

M atunci%

a) A -1 =2 31

3 2 1

12 3

÷ ÷

÷

&)A-1=

132

221

313

÷÷

÷

c) A-1

=

123

213

321

÷

÷ ÷

d) A-1 nu exista.

'ducand matricea1) A la !"rma

auss-*"rdan "&tinem%

a) A-1+

b) ran, A+

c) det A+

d) A .

#aca matri1)

ec/i0alenta c

$21$ 11

÷−

atunci%

a) ran, A = 2+

&) ran,A = 1+

c) ran,A = 3+

d) ran, A = ran

0)Daca A este

echivalenta cu matriceaunitate I (A I), atunci:

a) rang A = ;

b) det A & I;

c)

A = I;

d)

A1 = I.

1) +iv#tul unei

trans"#rmari

l t t



echivalenta cu matricea

A` =

0 1 00 0 ÷÷

÷

atunci:

a) rang A = 0 6= = 0

b) rang A = 1 6= = 1c) rang A 9 , () !

R ;

4)Daca matricele A si

A` sunt echivalente

(AA`) atunci:

a) au acelasi rang;

b) sunt #bligat#riu

matrice inversabile;

c) sunt #bligat#riumatrice patratice;5)ie A ! M (R ) cu detA = . 'tunci "#rmaauss *#rdan a lui

a) are acelasi rang cu

matricea A, () !R ;

b) are acelasi rang cu

matricea A, numai pt

= 0;

c) c#incide cu I 6=

& 0;

d) are cel mult d#ua

c#l#ane ale matricei

unitate I daca = 0

d) rang A = 6= &

0.

) D#ua sisteme

liniare de ecuatii se

numesc echivalente

daca:

a) au acelasi numar deecuatii;

b) au acelasi numar de

c) au aceleasi s#lutii;

d) matricele l#r e$tinsesunt echivalente.

d) se #btin una din

alta prin

trans"#rmari

elementare. 7)

-atricea unui

sistem liniar

#arecare, in "#rma

e$plicita are: a)

"#rma auss

*#rdan;b) c#l#anele variabilel#r

principale, c#l#anele

matricei unitate;

c) t#ate elementele de pe

liniile variabilel#r

secundare nuled) elementele

c#respunzat#are de pe



c) liniil#r lui ' ;

d) c#l#anei termenil#r liberi din ' . 0)

+entru a #btine

matricea unui

sistem liniar sub

"#rma e$plicita, se

aplica trans"#rmari

elementare:a) numai c#l#anel#r

c#respunzat#are

variabilel#r

secundare;

b) numai c#l#anei

termenil#r liberi;

c) tutur#r liniil#r si

c#l#anel#r matriceie$tinse;

d) pentru a "ace

c#l#anele

variabilel#r

principal alese,

c#l#anele

1) 'plicand met#daauss*#rdan unuisistem liniar de ecuatii,matricea e$tinsa '

este echivalenta cu

matricea 1 −1 0

' = 0 1 1M÷.

'tunci sistemul

l

i

r

:

a) este inc#mpatibil;

b) este c#mpatibil

nedeterminat;) -atricea e$tinsa

c#respunzat#are unui

sistem liniar in

1 0 −1 4 "#rma e$plicita

este ' =

0 1 1 1 M ÷

÷.

0 0 0 0 −1÷

'tunci

b) este c#mpatibil

determinat; matricei

unitate. ) -atricea

e$tinsa c#respunzat#are

unui sistem liniar in"#rma e$plicita

1 0

−1 0

1

este ' =

0 1 1 0 M÷÷.

'tunci sistemul 0

0 1 ÷ liniar:

a) sistemul este



c) are s#lutia de baza: $1=4,

$=, $=1, $4=0;

d) are # in"initate de s#lutii.

c) are s#lutia de baza $1=1, $=,$=1, $4=0;

d) are # in"initate de s#lutii.

b) variabilele principale alese sunt

$1, $, $4;

4) <n sistem liniar de ecuatii cu 4

necun#scute, cu rangul matricei necun#scute admite s#lutia de bazasistemului egal cu , are s#lutia de

baza: X=(,0,0,1)/. 'tunci este:

a) admisibila si nedegenerata; c) inc#mpatibile;

b) admisibila si degenerata; a) admisibila;

c) neadmisibila si nedegenerata; b) neadmisibila;

d) neadbisibila si degenerata. c) degenerata;

7) #rmei e$plicite a unui sistem

liniar ii c#respunde matricea ' =

1 0 1 1 − 1 1 1 01− liniar de ecuatii:

c#respunzat#are este: . 'tunci s#lutia de baza a) variabilele principale se ega

$=, $4= c#respunzat#are este: cu 0;

> ;

b) $1=> , $=> , $=, $4=

> ;

c) $1=> , $=> , $=, $4=>

; d) X= (0 1 0 1)/. val#ri nenule distincte. d) $1=

> .



b) c"mati&il determinat daca =1+

c) inc"mati&il daca $+

d) inc"mati&il daca = $.

c) sistemul este inc#mpatibil;

40) ?#lutia de baza X=(,0, > ,0)/ a

unui sistem liniar de d#ua ecuatii

este neadmisibila daca:41) ?#lutia de baza X=(0,0, ,> )/

c#respunzat#are unui sistem liniar

cu ecuatii principale si 4

4) ie n si n@ numarul s#lutiil#rde baza distincte, respectiv al"#rmel#r e$plicite, c#respunzat#are

unuia) 0 si > 0;

b) 60 si > 60;

c) 0 si > 60;

d) 60 si > 0. necun#scute estedegenerata daca: a) =0, > &0;

b) &0, > =0;

c) =0, > =0;

d) &0, > &0.

sistem liniar c#mpatibil

nedeterminat. 'tunci:

a) n A n@ ;

4) ie s#lutia de baza X=(1,, 0, > )

c#respunzat#are variabilel#r liniar are matricea de "#rma

principale $1 si $4. 'tunci $ este

s#lutia de baza admisibila degenerata daca:

este: a) admisibila;

b) =0, > =0; a) X=(1 1 0)/ ; b) degenerata;

c) =0, > 0; b) X=(1 1 0)/ ; c) neadmisibila;

d) 0, > 0. c) X=(1 0 1)/ ; d) nedegenerata.

1 0 0

4) ie ' = 0 1 0 1 − −M ÷÷ maricea

0 0 0 0 ÷

c#respunzat#are "#rmei e$plicite a

unui sistem liniar. 'tunci sistemul

este inc#mpatibil daca: este: este c#mp

a) =0; a) c#mpatibil nedeterminat, dac b) =1; 0; c) =#, > =0;

c) =1;d) &0, > &0. d) =.

b) n 9 n@ ;



4%) ie X=(1,1,0,0)/ s#lutia de

baza a unui sistem liniar de ecuatii

c#respunzat#are variabilel#r

50) <n sistem liniar de ecuatii si4 necun#sute are matricea

c#respunzat#are unei "#rme

e$plicite 51) <n sistem de m ecuatii

liniate cu n necun#scute, m6n, are

int#deauna: a) mi mult de Bmn "#rme

e$plicite; principale $1, $, $.

'tunci:

a) X este admisibila, daca 0;b) X este degenerata, daca =0;

c) X este neadmisibila, daca = 1;

d) X este nedegenerata, daca = 1.de "#rma: ' = . 'tunci s#lutia de

baza c#respunzat#are X este:

a) admisibila, daca =1, > =0;

b) degenerata, daca 60, > =0;

c) neadmisibila, daca 0 si > 90;

d) nedegenerata, daca 60 si > A0.b) cel mult Bm

n "#rme e$plicite;

c) e$act Bmn "#rme e$plicite;

d) mn "#rme e$plicite.

5) <n sistem de m ecuatii liniare cu 5) C s#lutie de baza pentru un 54) C s#lutie de baza pentru un n

necun#scute, m6n, are int#tdeauna: sistem cu m ecuatii liniare cu n sistem cu m ecuatii liniare cu n a) e$act Bm

n s#lutii de baza; encun#scute, m6n, este degenerata encun#scute, m6n,

este nedegenerata

b) cel mult Bmn s#lutii de baza; daca are: daca are: c) cel putin Bm

n s#lutii de baza;

d) mn s#lutii de baza. a) e$act m c#mp#nente nenule; a) e$act m c#mp#nente nenule;

b) mai mult de m c#mp#nente b) mai mult de m c#mp#nente

nenule; nenule;

c) mai putin de m c#mp#nente c) mai putin de m c#mp#nentenenule; nenule;

d) mai mult de nm c#mp#nente d) nm c#mp#nente nenule.

nenule.

55) +entru a trans"#rma un sistem 5) -et#da gra"ica se "#l#seste in 57) C s#lutie de baza pentru un

liniar de ecuatii intrunul echivalent se rez#lvarea sistemel#r de inecuatii sistem cu m ecuatii liniare cu n



"#l#sesc trans"#rmari elementare liniare cu: encun#scute, m6n, este admisibila asupra: a) d#ua

necun#scute; daca are:

a) liniil#r matricei sistemului; b) mai mult de necun#scute; a) ma#ritatea c#mp#nentel#r

b) c#l#anel#r matricei sistemului; c) #ricate necun#scute; p#zitive;c) liniil#r si c#l#anel#r matricei d) e$act necun#scute. b) mai mult de m c#mp#nente sistemului;

p#zitive:

d) termenil#r liberi ai sistemului.c) mai putin de m c#mp#nente

58) ie A # matrice nenula de tipul 5%) +entru a trans"#rma un sistem

negative;

d) t#ate c#mp#nentele negative. 0) C s#lutie de baza a unui sistem



(m,n). 'tunci matricea A admite liniar de ecuatii in unul echivalent, inversa

daca:se "#l#sesc:

a) det A & 0; a) trans". elem. aplicate liniil#r

b) m=n si det A &0; matricei atasate sistemului;c) det A=0 si m=n; b) trans elem aplicate liniil#r si

d) det A = 1 si m=n. c#l#anel#r matr. atasate sist

c) #peratii de adunare a c#l#anel#r

matricei atasate sist;

d) t#ate #peratiile care se p#t e"ectua

asupra unei matrice.

liniar se #btine:

a) dand variabilel#r principale val#area

0;

b) dand variabilel#r secundare val#area0;

c) dand variabilel#r principale val#ri

nenule;

d) dand variabilel#r secundare val#ri

strict p#zitive.

II.ELEMENTE DE ALGEBRA LINIARA

1) <n spatiu liniar X se numeste

spatiu liniar real daca:

a) elementele sale sunt numere reale;

b) c#rpul peste care este de"init

c#incide cu multimea numerel#r

naturale;

c) multimea X este nevida;

d) #peratiile de"inite pe X sunt

#peratii cu numere reale.

4) -ultimea s#lutiil#r unui sistem

liniar "#rmeaza un spatiu liniar daca

sistemul este:

a) inc#mparabil;

b) #m#gen;

c) c#mpatibil determinat;d) patratic, cu rangul matricei egal

cu ) ie (+n(X),,E) spatiul liniaral p#lin#amel#r de grad cel multn. 'tunci #peratiile FG si FEGreprezinta:

a) adunarea si inmultirea p#lin#amel#r;

b) adunarea p#lin#amel#r si inmultirea

p#lin#amel#r cu scalari reali;

c) adunarea numerel#r reale si

inmultirea p#lin#amel#r;

d) adunarea p#lin#amel#r si inmultirea

nr reale. 5) ie vect#rii $1, $, ... , $H ! R n a.i. 1$1$...H$H =0n

.'tunci $1,$,...,$H sunt liniar

independenti numai daca:

a) ()i= 0, i= 1,k

;



b) (5)i= 0;

) ie (+n(X),,E) spatiul liniar al

p#lin#amel#r de grad cel mult n.

'tunci dimensiunea sa este:

a) n;

b) n=1;

c) n;

d) n.

) ie vect#rii $1, $, ... , $H ! R n a.i.

1$1$...H$H =0n .'tunci

$1,$,...,$H sunt liniar dependenti

daca:

a) i = 0, () i= 1,k;

b) (5) i &0;



nr. Iecun#scutel#r. c) i& 0, ()i=1 ,k; c) Hn;

d) Hn. d) i &0, ()i=1,k.

7) ie X un spatiu liniar si vect#rii 8) Ject#rii $1, $, ... , $H ! R n sunt %) ie $1, $,$ ! R vect#ri #arecare

$1,$,$ ! X a.i. $1$$=0$. liniar independenti. 'tunci:a.i. $=$1$. 'tunci:'tunci vect#rii sunt: a) $1,$,...,$H1 sunt liniar a) c##rd#natele lui $ sunt 1 si ;

a) liniar dependenti, daca =0; independenti; b) $1,$,$ nu "#rmeaza # baza in R

b) liniar independenti, daca &0; b) $i&0n, ()i=1 ,n; c) $1,$,$ sunt liniar dependenti;

c) liniar dependenti, daca &0; c) H A n; d) de#arece $1$$=0 =

d) liniar independenti, daca =0. d) $1$...$H=0n $1,$,$ sunt liniar indep.

10) ie B si B` d#ua baze din spatiul 11) ie vect#rii $1, $, ... , $H ! 1) ie B = K$1, $,...,$HL # baza in liniarR si S matricea schimbarii de R n .'t. ei "#rm # baza daca: spatiul liniar X. 'tunci:

baza. 'tunci S este: a) sunt liniar independenti si H&n; a) dim X = H; a) patratica; b)

$i&0n si H=n; b) dim X H;

b) inversabila; c) sunt liniar independenti si H=n; c) dim X 6 H;

c) dreptunghiulara;d) H=n si i&0, ()i=1,k d) $i &0$, () i=1,k. d) nesingulara (det S&0).

1) ie S matricea de trecere de la # 14) ie B = K$1,$,...,$HL # baza in 15) 2n spatiul liniar R n e$ista: baza

B la baza B` si u respectib u R n .'tunci:c##rd#natele vect#rului u in cele a) cel mult n baze;

d#ua baze. 'tunci au l#c relatiile: a) $1,$,...,$H sunt liniar b) e$act n baze;

a) u = S u si u =S1 u independenti; c) # singura baza;

b) u = S/ u si u =S1 u b) H6n; d) # in"initate de baze. c) u = S/ u si u =( S/) 1 u c) H = n;

d) u =S1 u si u = S/ u d) Hn.



1) ie #perat#rul liniar M: R R

si 0,0 vect#rii nuli ai cel#r spatii.

'tunci:

a) M(0) = 0; b) M(0) = 0;

c) M(0) = 0;

17) Daca M: R m R n este un

#perat#r liniar, atunci:

a) #bligat#riu mn;

b) #bligat#riu m6n;c) m si n unt numere naturale 18) ie

M: R m R n un #perat#r liniar siker M nucleul sau. Daca $1,$ !Her M, atunci: a) $1$ ! Her M;

b) $1 ! Her M, () ! B;



d) M(0) = 0. #arecare, nenule; d) M($1) = $.

d) #bligat#riu m=n.

1%) ie M: R n R m un #perat#r 0) Daca M: R m R n este un 1) ie M: R n R n un #perat#r liniar liniar si Her

M nucleul sau. Daca $ ! #perat#r liniar si A matricea sa "ata si $ un vect#r pr#priu pt. M. 'tunci:

Her M, atunci: de # pereche de baze B,B` atunci: a) (5N) 7 ! R a.i. M($)=7$;a) M($) = 0m; a) A ! M m,n(R ); b) M(7$)=$, () 7 ! R ;

b) M($) = 0m, () ! B; b) A ! M n,m(R ); c)

c) M($) = 0m, d#ar pt = 0; c) B,B sunt baze in R m ; .

d) M($) = 0n. d) B este baza in R m si B` este baza

in R n

) ie M: R n R n un #perat#r liniar ) -atricea atasata unei "#rme 4) Daca f : R n R este # "#rma si $ un

vect#r pr#priu c#respunzat#r liniare f : R n R este # matrice: liniara, atunci:val#rii pr#prii 7. 'tunci: a) patratica: a) "($1$) = $1 $; () $1,$ !

a) M($) = 7$; b) c#l#ana; R n

b) daca M($) = 0n, atunci $=0n; c) linie; b) "($1$) = "($1) "($); $1,$ !

c) M(7$)= 7$; d) inversabila. R n;

d) daca M($) = 0n, atunci 7 = 0. c) "($) = $, () ! R si () $ ! R n;

d) "($) = "($), () ! R si () $ !R n.

5) ie M: R n R m un #perat#r ) ie O: R n R # "#rma patratice 7) ie "#rma patratica liniar. 'tunci M

devine "#rma liniara si A matricea as#ciata acesteia.

Q R: R ()$=($1,$,$) / !

daca: 'tunci: .'tunci matricea as#ciata lui O

a) n = 1; a) A = A/ R

b) m = 1; b) A ! M n,1(R );este: 1 −1 0

c) n = 1 si m = 1; c) A ! M n(R ); c) A = −1 0÷÷

d) n=m. d) A este inversabila. 0 0 1÷



x $ +

d) 8(x) = 7 x ( ) 7 € R

2 2 3

121 2 3() 2 29x xxx x x: : −=

c) $1 > $ ! Her M, () , > ! R ;

8) #rma patratica O: R R

are matricea as#ciata A= 1

1−1

÷.

'tunci O are e$presia:

%) #rma patratica O: R

R are"#rma can#nica as#ciata O(P)=

y1 : y

: y. 'tunci:

0) #rma patratica O: R R are

matricea as#ciata A=

1 −

÷.

'tunci "#rma can#nica as#ciata este:



c) O($) = x1− x : x

x1

a)

de"inita daca

c)

= 0;

d)

Iici

una:

O(P)=

− y1

− y

sau − y1

: y sau

y1− y

sau − y1

: 7 y

1) #rma patratica

O: R R are )

ie O(P)= ;11 y1 :;;1

y:;; y "#rma )

ie A matricea

as#ciata "#rmei n

R si ; ;1, ,..., ;n

"#rma can#nica

as#ciata O(P) =

patratice O: R

c

a

n

#

n

i



c

a

a

s

#

c

i

a

t

a

"

#

r

m

e

i

p

a

t

r

a

t

i



c

e

O

:

ay1 :by

. 'tunci O

este negativ

R .'tunci: min#rii

principali ai lui

aplica met#da lui

*ac#bi de aducere

A. +entru a

de"inita daca: R

la "#rma can#nica,

trebuie #bligat#riu

c) a60, b60 a)

daca ; < ; < ;

<1 0,

0, 0

, O este ca:

p#zitiv de"inita;

d) daca ; ; < ;

1 0, 0, 0, O este



Iici una.

negativ de"inita.

4) #rmei

patratice #arecare

O: R n

Q:> n >

Q:> n >

R i se p#ate

as#cia: 5) #rma

patratica Q x( )

=??n n a x xij

i

j ) #rma patratica

Q x( ) =??n n a x xij

i

j

i= =1 j 1

i= =1 j 1

b) msi multe

"#rme can#nice,

dar cu

spunem ca

este p#zitiv

de"inita daca:



2 2 211 2 2 33@ @ @: :

spunem ca

este seminegativ

de"inita acelasi nr

de c#e"icienti

p#zitivi, daca:

repectiv negativi.b) O($)0,

() $ ! R n , x ≠ 0.

b) O($)A0,

() $ ! R n , x ≠ 0.

c) # matrice

patratica si

simetrica.7)#r ma

patraticaO:

R

R are"#r macan#ni

caas#ciata:O(P)=− y1

: y −

y .

'tunci:

c)

(5)

$1,

$

!

R

a.i.

O($

1)60 si

O($

)

0

Q:> n

>



8)

#

r

m

a

p

a

t

r

a

t

ic

a

Q

x

(

)

=

?

?n

n

a

x

xi

j

i

j

i= =1 j

1

ar e" #

r macan#n

icaas

#ciataO(

P)=1

1 y

:

y

::...n

yn

.'



tunci

O estedege

ner atada

ca:

%)

i

e

O

(

P

)

=

"

#

r

m

a

can#ni

ca

as#

ciat

a

"#r

mei patr

atic

e

O:

R

R .

'tu

nci

O

nu

pastreaz

a

sem

n

c#n

stan

tdac

a:

a)

1

0,

60,

0;

d)

1

0,

6



0,

!

R .

40)

-et

#da

lui

*ac

#bi

de a

#bti

ne

"#r ma

can

#ni

ca,

se

p#a

teapli

ca

in

caz

ul

"#r

mel

#r

patr

atic

a:

a)

p#z

itiv

de"i

nite

;

c) neg

ativ

de"i

nite

.

4)

+entru

a se

dete

rmi

na

val

#ril

e

pr#

prii

ale

#perat#

rulu

i M:

R n

R n

cumat

rice

a

c#r

esp

unz

at#are

A,

se

rez

#lv

a



ecu

atia

:

c)

det

( 'T

−7 I n

) =

0

c)

(5)

1=0,

pen

tru

i=1,

n.

41)

ie#pe

rat#

rul

lini

ar

L:

>

>

L

x( )

= ( x1

:

x, x1

−

x)T ,

()

$=(

$1,$,

$)

/ !

R .

'tu

nci

mat

rice

a

#pe

rat#

rulu

i in

baz

ele

can

#ni

ce

ale

cel#r

d#u

a

spat

ii

are

"#r ma:

1

b)

A= 0

1−

÷÷.

1 0

÷



44)

Cp

erat

#rul

lini

ar

M:

R

R

are

mat

rice

a

A=

1

−

1

÷

'tunci

ecu

atia

car

act

eris

tica

pt

#bt

ine

rea

val

#ril

#r

4)

-a

tric

ea#pe

rat

#ru

lui

M:

R

R

"ata

de

baz

a

can

#ni



ca

din

R

aree$p

resi

a

A=

1

1 0

−

÷

.

'tu

nci

#pe

rat

#ru

l M

are

e$p

resia:

b) M

(

$

)

=

(

x

1

:

x

−

x

1

)

T

.

4

5

)

i

e



#

p

e

r

a

t

#

r

u

l

l

i

n

i

a

r

M

:

R

R

c

u

m

a

t

r

i

c

e

a

A

=

1

0

1

1

÷



'

t

u

n

c

i

e

c

u

a

t

i

a

c

a

r

a

c

t

e

r

i

s

t

i

c

a

c

#

r

e

c

p

u

n

z

a

t

#

a

r

e

:

c) 7

7

−

:

=

1



0

4)

ie

#pe

rat#ru

l

lini

ar

M:

R

R .

'tu

nci:

c)

#pe

rat

#ru

lui

nu

i se

p#a

te

ata



car

act

4%)C

perat.

M: R

R are

val#ri

le

pr#pr

ii 7 71

=1, =

.'tun

ci:

c) daca

$1,$

sunt

vect#

ri

pr#pr

ii

pentr

u 71,

respe

ctiv

7 =

$1,$

sunt

liniar

inde

pend

enti.

d) e$ist

a #

baza

"ata

de

care

matr

icea

#per

at#u

lui

are

"#rm

a A=

1

0

0

÷

47)

Cper

at#rul

linia

r M:

R

R

are

matr

icea

A=



−

01 −

÷

'tunci,

val#ri

le

pr#pr

ii ale

lui M

sunt:

c) 7

71 = ,

=−

L:>

>

50)

ie

#pera

t#rul

L

x( ) =

( x1 : x

x, 1)T

.

'tu

nci :

a)

HerM

=K(0

,0)

/L(

1−

7) x1

:

x =

0

x

1 :

−(1

7) x

= 0

51

)

Ba

re

din

ur

mat#a

rel

e

a"ir

ma

tii

sun

t

ade

var

ate

Q

a) #rice

spati

u

linia

r

este

grup



abeli

an;

b) #rice

grup

abeli

aneste

spati

u

liniar

;

c) e$ista

spatiiliniar

e

care

nu

sunt

grupu

riabeli

ene;

5)

ie

vect#

rii

$1,$

,...,

$m

! R m

si A

matr icea

c#m

p#ne

ntel

#r

aces

t#ra.'tu

nci:

a) vect

#rii

sunt

linia

r

inde

pend

enti

daca

rang

A =

m;

b) vect

#rii

sunt

liniar

depe

nden

ti

daca

rang

A 6m.

5)

2n

spati

ul R n

#

multime

de

vect

#ri

linia

r



indep

ende

nti

p#ate

avea:

a) cel

mult

n

vect#

ri;

c) e$

actn

ve

ct#

ri.

d) e$i

sta

gr up

uri

ab

eli

en

e

ca

re

n

u

su

ntsp

at

ii

li

ni

ar

e.

54)

ie

vect

#rii

$1,$

,...,$m

! R m

si

A

matr

icea

c#m

p#ne

ntel#

r

acest

#ra.'tun

ci

sunt

linia

r

depe

ndenti

daca

:

c) ra

n

g

A

6

m

;

d) d

et

A



=0

.

55)

ie

vect

#rii$1,$

,...,

$m

! R m

si A

matr

iceac#m

p#ne

ntel

#r

aces

t#ra.

'tunci

sunt

linia

r

inde

pend

enti

daca

:

a)

rang

A =

m;

d)

det

A &0.

5)

ie

vect

#rii

$1,$

,...,$m

! R n

linia

r

inde

pend

enti.

'tu

nci

vect#rii :

c) "#

r

m

e

az

a

#

b

a

z

a

in

R n ,

n

u

m

ai



d

a

c

a

m

=n;

d) n

u

c

#

nt

inv

e

ct

#r

n

ul

.

57)

-ult

imea

$1,$,...,

$m

este

"#rm

ata

din

vect#ri

linia

r

depe

nden

ti.

'tu

nci:

b)

cel

putin un

vect

#r se

p#at

e

e$pr

imaca #

c#m

bina

tie

linia

ra de

58)ie

vec

t#ri

i

$1,

$,.

..,$n !

R n,

n

,

lini

ar

independe

nti.

'tun

ci:



a) vec

t#ri

i

$1,

$,.

..,$n

"#r

me

aza

#

baz

a inR n ;

b) vec

t#ri

i

$1,

$,.

..,$H

sun

t

lini

ar

ind

epe

nde

nti,

()

H=1

,n.

5%)

Bar

e

din

ur

mat#a

rel

e

a"ir

ma

tii

sun

t

ade

var

ate:

a) #ri

ce

sub

multi

me a

unei

multi

mi de

vect#ri

liniar

indep

ende

nti

este

t#tliniar

indep

ende

nta;

b) #

subm

ultime a

unei

multi

mi de

vect#

ri



lina

ir

dep

end

enti

estet#t

lini

ar

dep

end

ent

a;c) c##

rd#

nat

ele

unu

i

vect#r

in

baz

a

can

#ni

ca

din

R n

c#i

nci

dcu

c#

mp

#ne

nte

le

acestui

a.

ceil

alti

;

d) p#a

tec#n

tin

e

vec

t#r

nul

.0)

B##r

d#nat

ele

unui

vect#r din

R n :

a) su

nt

un

ice

rel

ati

v

la

#

baza

"i$

at

a;

b) se

sc



h

i

m

b

a

l

a

s

c

h

im

b

a

r

e

a

b

a

z

e

i

;

c) s

u

n

t

a

ce

l

e

a

s

i

in

#

r

i

c

e

b

a

z

a

.

1)

<n

siste

m de

n

vect#ri din

R n,

care

c#nti

ne

vect#

rulnul:

b) est

e

lin

iar

de

pe

nd

en

t;

c) nu

"#

rm



e

a

z

a

#

b

a

z

a

in

R n

.

d) d

a

c

a

#

m

u

l

t

i

m

e

d

e

v

e

c

t#

r

i

n

u

c

#

n

t

i

n

e

ve

ct

#r

ul

nul,

at

un

ci

est

e

liniar

in

de

pe

nd

en

ta.

)

B

##

rd

#n



a

t

e

l

e

u

n

u

i

v

e

ct

#

r

i

n

b

a

z

e

c

a

r

e

di

"

e

r

a

pr

i

n

t

r

u

n

s

i

n

g

ur

ve

ct

#r

su

nt:

a)

di"eri

te.

)

Dime

nsiunea

unui

spati

u

vect#

rial

este

egala

cu:

a) nu

m

ar

ul



v

e

c

t

#

r i

l

#

r

d

i

nt

r

#

b

a

z

a

;

4) -atricea schimbarii de baza este:

a)b)

c)

unei baze desc#mpusi in

cealalta baza.

d)

ie $1 si $ vect#ri pr#prii pt

liniar M:

c#respunzat#ri la val#ri pr#prii

pr#prii pentru M;

a) $1 si $ sunt liniar independenti.

b) nu

m

ar

ul

m

a$im

de

ve

ct

#ri

lin

iar

70)

Cpe

rat#

rul

M:

R n

R n

are

n

val

#ri

pr#p

rii

disti

ncte

71, 7

,...,7n



car#

ra le

c#re

spu

nd

vect#rii

pr#p

rii

$1,$

,...,

$n.

'tunci:

a)

$1,$

,...,

$n

"#r

meaza #

baza

in

R n ;

71)

ie

#p

era

t#r

ul

lini

arM:

R m

R n

lini

ar

#ar eca

re.

't

un

ci:

a)

Her

M

A

R m

;

d)

Her M

este

subs

patiu

liniar .

7)

<nui

#per

at#r

liniar

M:R m

R n

i se

p#at

e

as#ci

a:

a) #

matri

ce

unic

a

relati



v la

#

pere

che

de

baze"i$at

e;

d)

$1,$

,...,

$n

suntlinia

r

inde

pen

dent

i.

7)

Iuc

leul

unui

#per

at#r

lini

ar

M:

R m

R n est

e:

a) u

n

s

u b

s

p

a

t

i

u

l

i

n

i

ar

;

b) #

m

ul

tim

e

de

ve

ct

#r

idi

n

R m

74)

<n

#per

at#r

liniar

M: R n

R n

are:



a)

cel

mult

n

val#

ri pr#p

rii

disti

ncte

;

d) #

in"initat

e de

vect

#ri

pr#p

rii,

pt

"iec

are

val#

are

pr#p

rie.

75)

2n

spa

tiul

R n

#mu

lti

me

de

vec

t#ri

liniar

ind

epe

nd

ent

i

p#

ate

"i

"#r

ma

ta

din:

a)

mai

putin

de nvect

#ri;



c)

e$ca

t n vect

#ri.

85)

Daca

sumaa n

vect#

ri din

R n

este

egala

cu

vect

#rulnul

atu

nci:

b) v

e

c

t

#

rii

s

u

n

t

li

7) ie vect#rii $1,$,...,$m !R , 77) B##rd#natele unui vect#r din 78) <n sistem de m vect#ri din R n vect#rii

liniar indep.'tunci R n : care c#ntine vect#rul nul:

c) "#rmeaza # baza in R n , daca m=n. a) sunt unice relativ la # baza; a) este int#tdeauna liniar

b) sunt in numar de n; independent;

d) nu "#rmeaza # baza in R n

.

7%) Dimensiunea unui spatiu liniar 80) -atricea unei "#rme patratice 81) Daca avem relatia $1=$ atunci

este egala cu: #arecare este # matrice: vect#rii:

a) numarul vect#ril#r dintr# baza. b) patratica; c) $1 si $ sunt liniar independenti,

c) simetrica. () ! R .

8) C "#rma patratica este p#zitiv 8) C s#lutie de baza a unui sistem se 84) C "#rma liniara este p#zitiv

de"inita daca "#rma can#nica atasata #btine: de"inita daca: acesteia:

a) are c#e"icientii p#zitivi; b) dand variabilel#r secundare, d) p#zitiva de"inire se re"era numai la

val#area 0 "#rmele patratice.



nia

r

ind

ep

en

denti

;

c) cel

put

in

un

ulse

sri

e

ca

#

c#

mb

ina

tie

lin

iar

a

de

r

e

s

t

u

l.d) n

u

"

#

r

m

ea

z

a

#

b

a

z

a

i

n

R n

.

8)

Dac

a

vect

#rii

$1,$...$

n

"#r

mea

za #

baza

inspati

ul

linia

r X,

atun

ci:

b

)

$

1

,

$



.

.

.

$

n

s

u

n

t

li

n

i

a

r

i

n

d

e

p

e

n

d

e

n

t

i

;

c

)

d

i

m

X

=

n

;

d)

$1,

$..

.$n

1

sunt

linia

r

87)

-at

rice

aas#c

iata

unui

#per

at#r

linia

r#are

care

M:

R m

R n

:

b) depi

nde

de

baze

le

c#ns



iderat

e in

cele

d#ua

spatii;

88) Iucleul unui #perat#r liniar M:

subspatiu liniar;

III.ELEMENTE DE PROGRAMARE LINIARA

1) C

pr#bl

ema

de pr#gr

amare

liniar

a are

int#td

eauna

:a)

"uncti

a

#biect

iv

lini

ara;

c)

rest

ricti

ilelini

are.

4)

2ntr

# pr#

ble

ma

de

pr#

gra

mar

e

lini

ara

c#n

ditii

le

de

nega

tivit

ate

cer

ca:

d)

n

e

c

u

n

#s

c

u

t

e

l

e

p

r

#

b

l

e



m

ei

sa

"i

e

nega

ti

ve

.

7)

C

mul

ti

m

e

-

AR n

se

nu

m

es

te

c#

n

v

e

$

a

d

a

c

a

:

c

) (

)

x

x1

,

M

s

i (

)

7

0,13

a

vem 7 x1

:

−(1

7) x



M

. 1

0) ie ?

'

multim

ea s#lut

iil#r admisi

bile al unei

pr #

b

leme de

pr #gr amar e liniar a. '



tunci: a) ( ) x

x1,

S A

C7 x1 :

−(17) x

S A,( )

70,13

) 2n

"#rma

vect#

riala,#

pr#bl

ema

de

pr#gr

amare

lini

ara

are

vect

#rii

+1,+,.

..+n

de"i

niti

de:

b)

c#l#an

ele

mat

rice

i A

c#r

esp

unz

at#a

re

sist

em

ului

de

restr

ictii.

5)

+t a

aplica

alg

#rit

mul

?im

ple

$de

rez

#lv

are

a

une

i

pr#

bl.

de

pr#

gra

mar



e

liniar

a,

aceas

ta

trebuie sa

"ie in

"#rm

a: c)

stand

ard.

8)B#mb

inatia

liniar

a F7 7

71 1 x :

x :

x G

estec#nve

$a

daca:

b) 7i

0,13,

( )

=i

1,

si 7

7 71

:

:

=1

11)ie?'

si?'

multimeas#

lutiil#r admisi

bile,

res pectivmultimeas#lutiil#r admisibilede

bazaaunei

pr #blemede

pr #g



ramareliniara.'tunci,daca$ !?'

rezultaca:b) ( ) x

x1,

S A, x1 x

avem x1

71

:−(17) x,(

)7

0,13.) 2n

"#rm

a

stan

da

rd

#

pr

#b

lem

a

de

pr

gr

a

mar

e

lin

iar

a

ar

e

int

#t

de

au

na

:

c)

res

tric

tiil

e

detip

ecu

ati

e.

)

+t

a

ad

uc

e #

pr#

ble

ma

de

pr#

gra

ma

re



linia

ra

de

ma$

im

launa

de

mini

m se

"#l#

sest

erealt

ia:

c)

ma$

(") =

min

(")

%)

Daca

- A

R n

este #

mul

tim

e

c#n

ve$

aspu

ne

m

ca $

! -

este

var" (pu

nct

e$tr

em)

al

mul

timi

i -

dac

a:

Iic

i

una.

1)

ie

?' ,

?' ,?C

mult

imil

e

s#lu

tiil#

radm

isibi

le.,

de

baza

adm

isibi

le,

resp

ecti

v

#pti

me



pentr

u #

pr#bl

ema

de

pr#gr amare

lini

ara.

'tu

nci:

d)

?' ,

?C

sunt

mult

imi

c#n

ve$e.



1) 2n rez#lvarea unei pr#bleme de

pr#gramare liniara cu alg#ritmul

?imple$ se aplica:

a) intai criteriul de intrare in baza,

ap#i criteriul de iesire din baza;

d) criteriul de #ptim la "iecare etapa

a alg#ritmului.

1) ie urmat#rul tabel simple$ al

unei pr#bleme de pr#gramare liniara:

B +0 1 0 0

+1 + + +4 +5

+ 1 0 1

+1 1 1 1 1 0 1

z R1 0 0 0

c

d) =8

1%) C pr#bl. De pr#gramare liniara

cu cerinte de minim are urm.tabel

14) Daca $1 si $ sunt s#lutii

#ptime distincte ($1,$! ?C) ale unei

pr#bleme de pr#gramare liniata,

atunci:

a) 7 x1 : −(1 7) x S O ,( ) 7 0,13;

b) ?C are # in"initate de elemente;

c) "($1)="($), cu "($) "unctia

#biectiv.

17) C pr#blema de pr#gramare

liniara are urmet#rul tabel ?imple$:

B +0 1 0

+1 + + +4

+ 0 +1 1 1 1 0 z R

" 0

c

c) "=8, =1

0) C pr#bl. De pr#gramare liniara

cu cerinte de minim are urm.tabel

15) C pr#blema de pr#gramare

liniara cu cerinte de minim are

urmat#rul tabel ?imple$:

1 0 0

B +0

+1 + + +4 +

+1 1 1 1

+ 1 0 1

z R 1 0 0 4 4

1 c

a) 2ntra in baza + ;

c) iese din baza +1 . 18) C pr#bl. De

pr#gramare liniara cu cerinte de

minim are urm.tabel ?imple$:

0 1 0

B +0

+1 + + +4

+ 0 1 1 + 1 1 0 1 1

z R

1 0 0 1

c



'tunci s#lutia #ptima a

pr#blemei este: c) $0 =(0,1,,0)/

1) Bare din elementele urm.tabel

?imple$ nu sunt c#recteQ



5) 2n "aza 2 a met#dei cel#r "aze,val#area #ptima a "unctieiarti"iciale g($ )=1a . 'tunci:

b) pr#blema initiala nu are s#lutie.

c) =1 si pr#blema admite #ptim

in"init.

) unctia arti"iciala din met#da

cel#r d#ua "aze:

a) depinde d#ar de variabilele

arti"iciale intr#duse;

c) are c#e"icientii variabilel#r

arti"iciale egali cu 1.

7) +r#bl arti"iciala se ataseaza unei

pr#bl de pr#gramare:

b) in "#rma standard;

d) pentru determinarea unei s#lutii de baza admisibile a pr#blemei initiale.

8) Din tabelul ?imple$ de mai #s pt

# pr#blema de pr#gramare liniara cu

cerinte de minim:

1 0 0 B +0

+1 + + +4 +5

+ 0 1 1

+1 4 4 1 0 1 4

z R

0 0 0 5

c

d) $0 =(0,4,,0,0)/ s#lutie #ptima, dar

nu este unica.

) 2n rez#lvarea unei pr#bleme de

transp#rt met#da c#stului minim se

aplica pt determinarea:

%) Din tabelul ?imple$ de mai #s pt

# pr#blema de pr#gramare liniara cu

cerinte de minim:

1 0 0

B +0 +1 + + +4 +5

4 0 1 1 0 1

+

1 1 1 0 0 +1

0 0 0 1 1

z R

14 0 0 0 0 1

c

a) $0 =(1,0,4,,0)/ este s#lutie

#ptima.

c) pr#blema are # in"initate de s#lutii

#ptime.

4) Bantitatile Sij din criteriul de

#ptim al pr#blemel#r de transp#rt se

calculeaza pentru:

0) 2n tabelul ?imple$ de mai #s pt #

pr#blema de pr#gramare liniara cu

cerinte de minim:

0 1 0 0 B +0

+1 + + +4 +5

+ 1

+1 0 1 1 0 1

z R



4 0 0

c

a) p#ate intra in baza +4 sau +5 ;

b) va iesi din baza numai + ;

d) s#lutia de baza admisibila gasita

este $0 =(0,1,,0,0)/ .

5) 2ntr# pr#blema de transp#rt

ciclul celulei care intra in baza este:



2 1 3

1D D

1 4 2

1$ 2$

1 2

2$

1 3

1$ D

2 2

44) ie s#lutia de baza admisibila a

unei pr#bleme de transp#rt data de

tabelul:

B1 B

B

D1

D

'tunci S1 se calculeaza dupa relatia:

c) S1=1=14 47) 2ntr# pr#blemade transp#rt cu m dep#zite si mcentre de des"acere, variabilelenebazice ale unei s#lutii de baza

admisibile sunt: b) t#ate egale cu0;

d) in numar de m

−m:1.

4) ?#lutia

de baza B1

B

initiala a D1

unei

pr#bleme de D

transp#rteste data de D tabelul:

'tunci val#area"unctiei #biectiv ",c#respunzat#are

acestei s#lutii este:b) "=5

4%) 2ntr# pr#blema de transp#rt,

n#tiunea de ciclu se ataseaza:

b) celulel#r nebazice.

48) 2ntr# pr#blema de transp#rt

variabila $11 intra in baza si are

urmat#rul ciclu:

'tunci: c) E=10

d) $1 iese din baza.

50) B#e"icientii "unctiei #biectiv a

unei pr#bleme de transp#rt #arecaresunt:

c) numere negative.

51) +t # pr#lema de pr#gramare liniara, care din 5) 2ntr# pr#blema de pr#gramare liniara se "#l#sesc urmat#arele

a"irmatii sunt adevarate:



0aria&ilele de c"mensare cand%

a) restrictiile sunt de !"rma G+

restrictiile sunt de !"rma HI.

a) # s#lutie de baza admisibila este punct e$trem al

multimii s#lutiil#r admisibile; b)

b) un punct e$trem al multimii s#lutiil#r admisibile este

# s#lutie de baza admisibila.

5) C s#lutie de baza admisibila are 54) C pr#blema de pr#gramare 55) C pr#blema de pr#gramare

c#mp#nente: liniara cu cerinte de minim are mai liniara cu cerinta de minim pentru

a) negative. multe s#lutii #ptime daca: "unctia #biectiv, admite #ptim in"init

a) z j −c j G 0 si e$ista vect#ri P j care daca:

nu "ac parte din baza cu z j −c j = 0 a) e$ista vect#ri P j cu t#ate

,care au si c##rd#natele strict c##rd#natele negative, care nu "ac

p#zitive. parte din baza si pentru care z j −c j< 0

.5)2n "#rma standard, # pr#blema de 57) Daca matricea unei pr#bleme de 58) +entru a aduce # pr#blema de

pr#gramare liniara are: pr#gramare liniara in "#rma standard pr#gramare liniara la "#rma standard, a) numarul

restrictiil#r cel mult egal are rangul egal cu nr. restrictiil#r, se "#l#sesc variaile: cu al necun#scutel#r

atunci: b) de c#mpensare.

b) restrictiile sunt independente.

5%) ?#lutiile admisibile ale unei 0) ?#lutiile de baza admisibila ale 1) C s#lutie de baza admisibila are

pr#bleme de pr#gramare liniara unei pr#bleme de pr#gramare liniara numai c#mp#nente: "#rmeaza t#tdeauna #

multime. "#rmeaza # multime: a) nenegative.

c) c#nve$a. a) "inita.

) +entru aplicarea alg#ritmului ) C s#lutie de baza admisibila a 4) +entru # pr#blema de transp#rt

?imple$, s#lutia de baza initiala a unei pr#bleme de transp#rt cu m care din urmat#arele a"irmatii sunt unei

pr#bleme de pr#gramare liniara dep#zite si n centre (m6n) are: adevarateQ



trebuie sa "ie: a) cel mult mn1 c#mp#nente a) admite t#tdeauna # s#lutie de baza

a) admisibila. nenule. admisibila;

c) are t#tdeauna #ptim "init. 5)

2ntr# pr#blema de transp#rt ) C pr#blema de transp#rt pt care 7) -et#da gra"ica de rez#lvare a

met#da perturbarii se aplica atunci e$ista Jij = 0 pt # variabila nebazica a pr#blemel#r de pr#gramare liniara se

cand:s#lutiei #ptime are: aplica pt pr#bleme:

a) s#lutia initiala este degenerata; b) mai multe s#lutii #ptime. c) cu d#ua necun#scute. b) pe

parcursul rez#lvarii se #btine # s#lutie degenerata.

8) +entru # pr#blema de pr#gramare %) C pr#blema de pr#gramare

liniara, multimea ?' a s#lutiil#r liniara p#ate avea: admisibile si

multimea ?' a s#lutiil#r admisibile de baza satis"ac a) #ptim ("init

sau nu) sau nici # relatiile: s#lutie admisibila.

70) +entru a aplica alg#ritmul de

rez#lvare a unei pr#bleme de

transp#rt trebuie ca:

b) pr#blema sa "ie echilibrata si sa

c) S A K S AB

d) S A LS AB= S A 71) +t a rez#lva # pr#blema de transp#rtneechilibrata:

a) se intr#duce un n#u dep#zit, daca

cererea este mai mare decat #"erta;b) se intr#duce un n#u centru, daca

cererea este mai mica decat #"erta.

7) +entru # pr#blema de

pr#gramare liniara care din

urmat#arele a"irmatii sunt adevarate:

d) multimea s#lutiil#r admisibile

este c#nve$a.

avem # s#lutie de baza initiala

nedegenerata. 7) 2ntr# pr#blema

de pr#gramare liniara nu se

"#l#sesc variabile de c#mpensarecand:

c) restrictiile sunt de "#rma F=G



74) C pr#blema de pr#gramare 75) C pr#blema de pr#gramare

are mai multe s#l. liniara de minim admite #ptim in"init liniara de minim admite s#lutie #ptime daca avem

satis"acut criteriul daca:#ptima unica daca:

de #ptim si: a) criteriul de #ptim nu este satis"acut

care nu "ac parte si vect#rii din a"ara bazei au t#atecare au c##rd#natele negative.

c##rd#nate p#zitive.

77) 2n "#rma standard, # pr#bl. de

pr#gramare liniara are: pr#gramare liniara in "#rma standard

restrictiil#r cel mult egal are rangul egal cu nr. restrictiil#rb) variabile de c#mpensare.

b) restrictiile de tip ecuatie.

80) ?#lutiile #ptime ale unei 81) C s#lutie de baza admisibila

pr#gramare liniara nedegenerata are int#tdeauna

"#rmeaza t#tdeauna # multime:

c) c#nve$a. d) sistemul initial de restrictii este in

"#rma standard.

8) C pr#blema de

pr#gramare liniara p#ate "i

rez#lvata cu alg#ritmul

?imple$ numai daca: a) este in

"#rma standard.

84) +entru a rez#lva # pr#blema

de transp#rt trebuie ca:

b) pr#blema sa "ie echilibrata.

b) c#mp#nente p#zitive. 85)

-et#da cel#r "aze se aplica:

b) +entru determinarea unei s#lutii de

baza admisibile a pr#blemei initiale;

d) cu # "unctie #biectiv di"erita de



"unctia initiala.

8) C pr#blema de transp#rt: a) are int#tdeauna s#lutie #ptima "inita; c) p#ate avea mai multe s#lutii #ptime.

87) +entru a determina s#lutia 88) +entru aplicarea alg#ritmului 8%) ?#lutia unei pr#bleme de initiala a unei

pr#bleme de transp#rt: ?imple$ este necesar ca: transp#rt este #ptima daca: a) se aplica met#da diag#nalei;b) sistemul in "#rma standard sa aiba b) t#ate cantitatile Jij G 0

d) pr#blema trebuie sa "ie echilibrata. cel putin # s#lutie de baza admisibila.

%0) Briteriul de #ptim al unei %1) C pr#blema de transp#rt are %) C pr#blema de transp#rt are pr#bleme

de pr#gramare de minim #ptim in"init: int#tdeauna: este satis"acut daca:

a) t#ate di"erentele z j −c j G 0; b) nici#data. a) #ptim "init;

d) t#ti vect#rii + din a"ara bazei au b) cel putin # s#lutie de baza di"erentele z j −

c j G

0. admisibila.

%) unctia #biectiv a pr#blemei %4) Daca "unctia arti"iciala are #ptim %5) 2ntr# pr#blema de transp#rtarti"iciale are: strict p#zitiv, atunci; c#e"icientii "unctiei #biectiv a) t#tdeuna #ptim "init; a) pr#blema

initiala nu are s#lutii; reprezinta:

d) c#e"icienti negativi. b) in baza au ramas variabilele c) cheltuieli de transp#rt.

arti"iciale.

%) 2ntr# pr#blema de transp#rt v#m %7) 2ntr# pr#blema de transp#rt va %8) Biclul unei celule nebazice este

avea c#sturi de transp#rt egale cu 0 intra in baza variabila "#rmat:

daca: c#respunzat#are lui: a) din cel putin 4 celule;b) pr#blema initiala este a) Jij < 0, ma$im. c) dintrun numar par de celule. neechilibrata.

%%) +r#blemele de transp#rt: a) sunt cazuri particulare de pr#bleme de pr#gramare liniara; c) au numai

#ptim "init.

100) 2ntr# pr#blema de transp#rt criteriul de iesire se aplica: b) celulel#r cu numar par din ciclul celulei care intra

in baza.



IV. SERII NMERI!E. SERII DE PITERI

1) ie seria ? an c#nvergenta. 'tunci, ) Bare din urmat#arele #peratii ) ?uma unei serii c#nvergente se

n=1 p#ate m#di"ica natura unei serii m#di"ica at. cand:

as#ciind termenii in grupe "inite: divergente:b) seria ramane c#nvergenta;

d) suma seriei nu se m#di"ica.

4) ie seria numerica ?a an, n> .Bare

n=1 dina"irmatiile de mai #s sunt

adevarate:

a) daca ?an c#nverge, atunci limn

an= 0

n=1

;

d) daca limn

an 0 , atunci seria ?an

n=1

diverge.

7) ie seria ge#metrica ?aqn cu a&0.n=0

'tunci seria:

a) c#nverge, pentru T ! (1,1);

b) adaugam un nr."init de termeni;

a) as#cierea termenil#r seriei in c) suprimam un nr. "init de termeni ai

grupe "inite. seriei;d) inmultim termenii seriei cu un

scalar ennul.

5) ie sirul sumel#r partiale ) ie sirul sumel#r pariale atasat

seriei ?an Daca limn

S n= , atasat seriei ?an si S

n= S . 'tunci

n=1 n=1 atunci: seria:

a) c#nverge, daca S N;

a) seria c#nverge; d) c#nverge, daca ?=1.d) seria are suma ?=



( )n nO P

( )n nO P

limn

b) di0er,enta daca $+

c) c"n0er,enta daca <1+

d) di0er,enta daca =1.

1

?

?

8) ?eria arm#nica generalizata ?n

=1

n1a %)atasat unei serii de termeni

p#zitivi ie (S n )nP sirul sume#l#r

partiale este # serie:

?an , (an I 0). 'tunci sirul (S n )nP esten=1

int#tdeauna:

b) m#n#t#n crescat#r.

10) ie seriile cu termeni p#zitivi ?an si ?bn ast"el incat 11) ie seria cu termeni p#zitivi ?an , an I 0 si serian=1 n=1 n=1

an Gbn,( ) n PU .'tunci: arm#nica n=1 n . 'tunci:

a) ?n=1 an c#nverge daca ?n=1 bn ; d) ?n=1 bn diverge daca b) n=1 an diverge daca an I 1n .

?an diverge.n=1

1) ie seriile cu termeni p#zitivi an =1, atunci: 1)seriil#r: Briteriile de c#mparatie se aplica

15) ie seria ?n

=1 an , an I 0. Daca

?n=1 an si ?bn . Daca limn bn b) cu termeni p#zitivi.n=1



1

lim2

nn

na

=

?

() ()n nnn

&QaQ

C? ?

(1)

−?

1n

:−?

a) daca ?a n ( ) C?b n ( ) ;n=1 n=1

b) daca ?b !n ( ) C?a !n ( ) .n=1 n=1

14) ie seriile de termeni

p#zitivi

?an si ?bn , care satis"ac relatian=1 n=1 n

abnn = k

.'tunci: lim

a) daca H ! (0,1) seriile au

aceeasi

n aann:1 = 1 , atunci:lim

a)

b) an c#nverge.

natura.

b) H= si

1) ie seria cu termeni p#zitivi ?an b !n ( )C?a !

, si n#tam cu 71 = limn an si n

an: 1 7 = lim n an .

c) 7 71 = ; d) daca 7 = C71 = .

18) +entru seria cu termeni p#zitivi 1%) ie

?an avem limn n an = . 'tunci: n

−n1=1 ÷ =R. 'tunci: n=1 lim

c) ?n=1 an diverge; d) limn aann:1 = an

1) ?eria cu termeni p#zi

0. Briteriul lui Meibniz a"i

'tunci:

a) ?an c#nverge; c) limn

n=1

b) sirul (S n )nP c#nverge.

n=1

4) ie seria ( 1) an, an I 0ast"eln=1

incat limn

an =0. 'tunci seria c#nverge

daca:

5) ?eria ?uneste # serie alternatan=1

daca :

b) u un ,:1 G 0,( ) n P ;



1n=

? sin?

( )1

−? ( )1

−?

n

n

) ie seria de termeni #arecare

?an , an > . Bare din urmat#arele n=1 a"irmatii sunt adevarateQ

b) ( an) nP este m#n#t#n descrescat#r. d) un = −( 1)n:1a an, n I 0.

lim an:1 = 1 . 'tunci:

7) ie seria ?n=1 an , an > ast"el incat n an

n an = 1 a) seria ?n=1 an c#nverge; b) seria ?n=1 an c#nverge;

c) limn

8) C serie cu termeni #arecare ?an , %) ie seria cu termeni p#zitivi ?an

n=1 n=1

an > se numeste semic#nvergenta , anI 0. 'tunci:

daca: a) daca ? a n ( ) rezulta ? a ( ) ;

b) a n ( ) an ( !) n=1 n=1

=1 b) daca ?a !n ( ) rezulta ? a ( !) ;

1) ?eria de puteri ?a xnn , an > are n=1 n=1 n=1 c) ?an = ?

an .

n aann:1 1. 'tunci: ) ?eria de puteri n=1 n=1 ? a x an

n, n > are lim

=

b) limnn an =1; c) seria

c#nverge

n an = 0

. 'tunci:n=1

pentru $ ! (1,1) limita limn

b) seria

c#nverge, pentru ( ) x > ;

4) ?eria de puteri ?an( x:1) n are

raza an:1

0.n

=1 d)

limn an =

de

c#nvergen

ta r=1.

'tunciseria: c)

c#nverge,

pentru $

(,0);

d) diverge, daca $(,)



5) ?eria de puteri ?a xn ( − x0)n are ) ?eria de puteri ?a xn ( − x0)n aren=1 n=1

limnn an = 0 'tunci seria: raza de c#nvergenta r 0. 'tunci

d) c#nverge, () $R . te#rema lui 'bel a"irma ca seria

c#nverge pe intervalul:

b) ($0r,$0r)

n xn %) ie r raza de c#nvergenta a seriei 8) ie

seria de puteri n .n=1

b) daca ? an ( ) C?a n ( ) ;n=1 n=1

c) daca ?a !n ( ) C? an ( ) .n=1 n=1

0) ?eria cu termeni p#zitivi ?an aren=1

an −1 ÷=R. 'tunci daca: limita limnn an:1

c) R=0 rezulta ?an diverge;n=1

d) R= rezulta ?an c#nverge.n=1

) ?eria de puteri ?a xn ( − x0)n cun=1

an:1 an > are limn an

=:. 'tunci seria: c) are raza de

c#nvergenta r=0;

d) c#nverge numai inVpentru $=$0.

7) ie seria de puteri ?a xnn cu

n=1

an:1 1

limn an = . 'tunci

b) raza de c#nvergenta este r=;

d) seria diverge ()$(,)L(,

)n xn

40) ?eria de puteri n are razan=1



limn

na

lim 1n

nO

1n

nar

= +

1n

n

a

a

:= limn

nn

a

.

nna =

'tunci c#e"icientii seriei sunt dati de

relatia:

c) an = −(1) n 1n

de puteri ?a xnn . 'tunci seria:

n=1

a) c#nverge () $R , daca r =

;

c) c#nverge int#tdeauna in $ = 0. de

c#nvergenta r=1. 'tunci d#meniul

ma$im de c#nvergenta a seriei este:

b) $ (1,13

50) ?eria de puteri ?an ( x − x0)n n=1

c#nverge numai in $0, daca si numai

daca:

a) raza de c#nvergenta r=0;

c) limn.

51) ie seria numerica ?an pentrun=1

care = 0. 'tunci seria:

d) nu se p#ate preciza natura seriei.

c) limn n an =0.

5) Daca pentru sirul numerel#r

partiale = atunci seria ?an:n=1

a) este c#nvergenta si are suma ?=1.

41) ie seria de puteri ? a xnn , a carei 4) ?eria /aPl#r atasata unei "unctii 44) ie f : I S> > # "unctie

n=1 "($) in punctul $0: #arecare. Bare din c#nditiile de mai

raza de c#nvergenta este r 0 "inita. b) este # serie de puteri; #s sunt necesare pt ai atasa acesteia

'tunci: d) are c#e"icientii de "#rma # serie /aPl#r in punctul $0: a) seria c#nverge, () $ (r,r) an =

f ( )n ( x0) . a) #bligat#riu $0 2;

c) limnnN b) "($) admite derivate de #rice #rdin

in $0.

d) limn4) ?eria -acMaurin atasata unei 45) B#e"icientii numerici ai unei serii

"unctii "($): -acMaurin atasate unei "unctii "($) au "#rma:

c) este # serie de puteri centrata in 0; b) an = f ( )n (0)

d) este un caz particular de serie nN

/aPl#r.

) ?eria de puteri ?a xnn satis"ace pr#prietatea lim

n

an

=1. 'tunci seria: c) c#nverge, () $ (1,1)n=1

7) ?eria de puteri ? ( −1) n xn: 48) +entru a studia c#nvergenta unei 4%) ?eria de puteri ? a xnn este

n=1

serii alternate se aplica:n=1

c) are raza de c#nvergenta r =1; c) criteriul lui Meibniz. c#nvergenta pe R numai daca:

d) c#nverge, () $ (1,1) b) raza de c#nvergenta r = ;



limn

na

limn

na

=1

c) limn

na

= :

$I si limnn

n

a 7

=

1

T

5) Daca pentru seria ?an , an I 0sirul

n=1 sumel#r partiale este marginit, atunci seria:

a) este c#nvergenta. an:1

54) ie seria ?n=1 an , an I 0 si limn an =7.

'tunci seria

b) c#nverge daca 761;

c) c#nverge, daca 7=0

55) ie seria ?an , an I 0 si

n=1 n an:1 −1 ÷ =R.

'tunci seria: lim an

5) ie seria ?( −1) n an , an I0 si lim

n

an

n=1

=0. 'tunci seria:c) este c#nvergenta, daca anI an:1

pentru price n PU.

5%) ie seria ?n=1 an , an . 0) ie seria

aann:1 = 0.

'tunci seria:b) este divergenta, pentru 7 1. b) este divergenta, pentru

1

c) este c#nvergenta, pentru 7= .

d) este divergenta, daca 7= .

) +entru seria ?a xnn avem lim

nna

n

=7

n=1

=T. 'tunci raza de c#nvergenta r

este: a)

a) r= ; c) r=0, daca T= ; d) c) e

a) este divergenta, daca R=0;

5) ?eria ?n=1 an ( x − x0)n are limn

aann:1 = 0.

'tunci seria:

a) este c#nvergenta, () $ R

) ie seria numerica ?an .

'tuncin=1

seria:



c) diverge, daca limn

an& 0.

7) C serie cu termeni p#zitivi:

b) este divergenta, daca termenul

general nu tinde la 0;

c) are t#tdeauna sirul numerel#r

n an: 1 =

8)ie seria ?n=1 a , an I 0 si limn an

'tunci seria

a) diverge, daca 7< ;

b) c#nverge, daca 71.

71) ?eria ?an , an I 0 este:n=1

a) c#nvergenta, daca n ;

b) divergenta, daca ;

c) c#nvergenta, daca

%) ie seria ?an , an I 0sin=1

n an −1 ÷=R. 'tunci seria este

lim an:1

divergenta, daca:

b) R ;d)

7) ie seria?

n=1 an cu n aa

nn:1

−1

÷=0. 'tunci seria

b) este divergenta, daca an I 0.

partiale crescat#r.

70) C serie cu termeni p#zitivi

?an ,n=1

an I 0:

a) c#nverge, daca limn an

an: 1 = 0;

b) diverge, daca limn

an=1;

c) diverge, daca an= .

7) C serie de puteri ?a xnn

raza

n=1dec#nvergenta r=. 'tunci

seria: a) c#nverge pt $ (

,)

74) C serie de termeni p#zitivi ?n=1 an , 75) ?

an I 0:lim

n

n

an: 1 = ;

b) diverge, daca limn an

d) diverge, daca

77) ?eria arm#nica generalizata n=1 n78)n=1 ic#nvergenta r=1. 'tunci 7%) ?eria de puteri

?( 1)

cu R :b) diverge, daca 61; b) se

d) c#nverge, daca = . gene



1

2=

R=−.limn

lim $nn

a =

limnn

na

=

limnn

na = 1.

limn

limnn

na

= 2.

c"n0er,e numai entru x=$+

d) di0er,e entru x $.

limnn

na

=

1

?

(0,:

);

d) diverge, daca $ .

80) ?eria de puteri ?a xn ( :1)n are

raza

n=1de

c#nvergenta r=1. 'tunci seria:

b) diverge, pentru x −(,0)L(,:);

81) ?eria de puteri ?a xn ( :1)n , aren=1

raza de c#nvergenta r=. 'tunci

seria:

8) ?eria de puteri ?a xnn

are raza den=1

c#nvergenta r =0. 'tunci

seria:



$$ $( ) limxx

!

x @ xxx

U

=U −

1!

xx

U=

U

2! @

x

U=

U

22!

x@x@

U=

UU

c) c#nver ge, pentru $ (0,).

V. "N!TII REALE DE N VARIABILE

1) ie punctele +1(1,1), +(,) R

'tunci distanta dintre ele este egala

− x): ( y1 − y) . b) d(C,+)= x1 : x

. c)

4) ie sirul ( xn n) P > cu termenul

general de "#rma xn=

1n n

, n:1

÷. 'tunci general

c#nverge, daca t#ate sirurile

b) limita sirului este $0=(0,1)

7) ie "($,P) # "unctie de variabile si n#tam cu lg limita gl#bala, respectiv l1,l limitele partiale ale acesteia intrun puct ($0,P0). Bare din urmat#arele a"irmatii sunt adevarate:

a) daca (5) lg atunci (5) l1,l si l1=l=lg;

8) ie f : ! S> > si ($0,P0) D.

"unctiei'tunci derivata partiala a lui "($,P) in

rap#rt cu variabila $ in punctul

($0,P0) se calculeaza cu relatia:

f x y( , 0)− f x( 0, y0)

b) .

b) c#nverge, numai pentru

$=0;14)Di"erentiala de

#rdin 2 a "unctiei "($,P) =

$eP are e$presia

c) d"($,P) = ePd$ $ePdP;

15) ie ($,P) ## "unctie care

satis"ace criteriul lui ?chWartz

si care are . 'tunci:

1) ie X($,P)= − x

− y ÷ hessiana atasata

"unctiei "($,P). Daca +1(,1)

si +(,1) sunt puncte critice

ale lui 17) +unctele critice ale

"unctiei "($,P) B(R ) se

#btin:

UU fx =0

c) rez#lvand sistemul U f =0.

U y

18) unctia "($,P) are derivatele

partiale #rdinul 2 de "#rma:U f U f

b) = ;

d) X($,P

)=

U U x y U U y x

ln y y:

x÷

y

÷ x

x ÷ y: y÷ x− y ÷

U f x

c) = x−U y y

",atunci

c) +1 nu este punct de e$trem, iar

+ este punct de ma$im; f :> >

1%) unctia

f x y( , ) = : xy

1are: c) un singur punct

critic;

b)

2

2! x@@x

U =UU



1

2

d) hessiana de "#rma

X($,P)= 1

0 10

÷

f :> > 1) ie X(+0)=

V

V1

÷ hessiana atasata ) ie +0 un punct critic al "unctiei

0) unctia f x y( , ) = : : x y 1are: "($,P) si

hessiana c#respunzat#are

b) nici un punct critic. "unctiei "($,P) in punctul critic +0. acestuia de "#rma: X(+0)=

1

÷. 'tunci +0:

a) este punct de minim l#cal, daca 'tunci +0 va "i punct de minim pt=V=1; "unctia " daca:

c) nu este punct de e$trem l#cal, daca c) = ; d) = .

=1 si V=.

) Xessiana "unctiei "($,P) in 4) Xessiana "unctiei "($,P) in 5) Daca "unctia "($,P) are derivatele punctul

critic +0, este de "#rma punctul critic +0 are "#rma:partiale de #rdin 2 de "#rma

X(+0)= −

VV

−−1

÷. 'tunci +0 este punct X(+0)= −: − ÷÷ . +0 de minim l#cal

U

UU f

f x ==

x xy(( x:: − yy−1)1), atunci " are: de ma$im l#cal pentru " daca: pt " daca: U y

Nici #$a b) si 0; d) patru puncte critice.



) ie X(+0)= −

−1 ÷ hessiana "unctiei

"($,P) in punctul critic +0.

'tunci pentru :

7) Xessiana atasata "unctiei

"($,P)

are "#rma X($,P)= xyy

x yxy ÷ ; 'tunci

di"erentiala de #rdin 22 a "untiei

are 8) Di"erentiala de #rdin 2 a

"unctiei "($,P) are "#rma

d"($,P)=($P)d$

($)dP. 'tunci "unctia "($,P);

c) are punctul critic unic +(,)

b) =4C nu se p#ate preciza

natura lui +0;

c) = C+0 nu este punct de e$trem

l#cal;

d) =C +0 este puct de minim

l#cal."#rma:

c) " f x y( , ) = y "x :1 xy "x"y : x y

"y

%) ie X($,P)= xy 0 x ÷

hessiana atasata "unctiei "($,P).

'tunci di"erentiala de #rdin 22 a

"unctiei " are "#rma:

1

2



2

12

2 2 x@x @

x@

: :−

: x@!

@ex

U=

U

d) " f x y( , ) = y"x: 4 x"x"y

8) unctia #arecare "($,P,z)

satis"ace c#nditiile din criteriul lui

?chWarz. 'tunci au l#c egalitatile:U f U f U f U f

b) U U x z = U U z x ; d) U U y z = U U z y .

%) ie "unctia "($,P)= si

# 1 =lim lim

x 0( y 0 f x y( ,)) , # =

lim lim y0

( x0 f x y( ,)) limitele iterate ale

"unctiei in C(0,0).

'tunci:

d) l1=1, l=1.

40) ie "unctia "($,P)=e$P .'tunci:

c) . 0 1−

4) ie X(+0)= 0 1 1 ÷

÷hessiana− 1 1 1 ÷

41) ie "unctia "($,P)= e$P. 'tunci:

d) U .

4) ie "unctia "($,P,z)=$Pz.

'tunci:b) "unctia " nu are puncte

critice;atasata "unctiei "($,P,z) in punctul critic +0. 'tunci:

c) "ul#cal

44) Daca +0($0,P0) este punct critic 45) determinarea -et#da multiplicaril#r lui

b) U f x ( P 0) = 0 si UU f y ( P 0) = 0 ; c) d"(+0)=0

punctel#r de e$trem l#cal, in cazul "uncti

y xy

4) ie X($,P)= V xy x y ÷matricea 47)

hessiana atasata "unctiei "($,P).

'tunci , daca "unctia "($,P) satis"ace hessian

criteriul lui ?chWarz avem: x y :

a) =, V=; lui ?

50) Briteriul lui ?chWarz a"irma ca 51) B

"($,P) are: sunt adevarate: int#tdeauna:

c) derivatele partiale mi$te de #rdinul b) #ri

egale. punc

c) in u

0) ie X($,P)= xy 0 x ÷ hessiana 1) ie X(+0)=

0−1 0

00 ÷

÷ hessiana )"($,P) si ie +0 punct critic al

"unctiei " f P

( 0) =−"x

:"y

. 'tunci: atasata "unctiei "($,P). Daca +1(1,1), 0 0 :1÷

+(1,1) sunt punctele critice ale lui c#respunzat#are "unctiei "($,P,z) in c) +0 nu este punct de e$trem l#cal.

", atunci punctul critic +0. 'tunci: 4) ) ie +0 un punct critic al "unctiei

c) +1,+ nu sunt puncte de e$trem a) +0 este punct de minim l#cal, daca "($,P,z) si " f P ( 0) = "x: 4"y:" z .

l#cal.1; 'tunci:

) ie +0 un punct critic al "unctiei c) +0 nu este punct de e$trem l#cal, a) +0 este punct de minim l#cal.

"($,P) si " f P ( 0) = 4"x−"x"y :"y . daca = ;

'tunci: d) +0 este punct de minim l#cal, daca

a) +0 este punct de minim l#cal. =.

5) unctia "($,P) are derivatele ) Di"erentiala de #rdin 2 a "unctiei 7) Di"erentiala de #rdin 2 a "unctiei partiale de #rdin 2 de "#rma "($,P,z)=$PPz are "#rma: "($,P,z)=$Pz are "#rma:

UU fx = x − x: respectiv UU fy = y −1. 'tunci b) d"($,P,z)=Pd$($Pz)dPPz; c) d"($,P,z)=Pzd$$zdP$Pdz; numarul punctel#r critice ale lui " este: d) 4.

182110105 grile rezolvate la matematici aplicat

Documents