18. modul limit fungsi pak sukani

D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 1

Download GRATIS Modul, Bahan Ajar (ppt/flash), Rumus Cepat, Bank Soal, Tes Online, Peningkatan Kompetensi

Guru, dll. Hanya di www.okemat.blogspot.com ; Turut membantu meningkatkan kualitas pendidikan Indonesia.

LIMIT FUNGSI

a. Limit Fungsi Aljabar

Secara umum bentuk limit ditulis : (x) f a x

lim

= f (a)

Jika f (a) = k, maka (x) f a x

lim

= k

Jika f (a) = k

0, maka (x) f

a x lim

= 0

Jika f (a) = 0

k, maka (x) f

a x lim

=

Untuk menentukan nilai dari limit, x diganti dengan a (batas dari limit).

Contoh :

1. 5 4x 2 x

lim

= 4 . 2 + 5 = 13

2. x

3 2x

3 x lim

=

3

33.2 =

3

36 =

3

9 = 3

3. 5x

5 4x x

1 x lim

2

= 0

5

0

5

541

)1(5

5)1(4)1( 2

4. 2x

4 3x x

0 x lim

2

=

0

4

0

400

)0(2

4)0(3)0( 2

Jika (x) f a x

lim

= 0 dan (x) g a x

lim

= 0, sehingga 0

0

g(x)

f(x)lim

a x

maka harus

difaktorkan atau diuraikan terlebih dahulu.

Contoh :

1. 2 -x

2 3x - x

2 x lim

2

substitusi langsung :

0

0

22

22.322

(tidak boleh)

2 -x

2 3x - x

2 x lim

2

=

)2(

)2.....)((lim

2 x

x

xx (perhatikan angka belakang : berapa kali (-2)

hasilnya (+2) (-1))

2 -x

2 3x - x

2 x lim

2

= 1 - x

2) -(x

2) -(x . 1)-(x limlim

2 x 2 x

= 2 1 = 1

2. 6 5x x

10 3x xlim

2

2

2 x

= ....

Substitusi langsung : 6)2(5)2(

10)2(3)2(2

2

=

6104

1064

=

0

0 (tidak boleh)

6 5x x

10 3x xlim

2

2

2 x

=

2) (x (x.....)

2) (x (x.....)lim

2 x

(perhatikan angka belakang : berapa kali (+2) hasilnya (-10) dan berapa kali (+2)

hasilnya (+6) (-5) dan (+3))




6 5x x

10 3x xlim

2

2

2 x

=

2) (x 3) (x

2) (x 5(xlim

2 x

=

3) (x

5) (x lim

2 x

=

32

52

=

1

7 = 7

3. 4 x

64 x

4 x lim

3


44

6443

=

0

0 (tidak boleh)

4 x

64 x

4 x lim

3

=

4) (x

16) 4x (x . 4) (x

4 x lim

2

= 16) 4x (x

4 x lim 2

= 42 + 4 . 4 + 16 = 16 + 16 + 16 = 48

4. 3x - x

6x 5x - x

0 x lim

2

23


0.30

0.60.502

23

=

0

0 (tidak boleh)

3x - x

6x 5x - x

0 x lim

2

23

=

3) -(x x

6) 5x - (xx

0 x lim

2

=

3) -(x

6) 5x - (x

0 x lim

2

=

30

60.502

= 3

6

= 2

Jika (x) f a x

lim

= 0 dan (x) g a x

lim

= 0 dengan f(x) dan g(x) fungsi akar, sehingga

0

0

g(x)

f(x)lim

a x

maka harus dikalikan dengan nilai satu dari faktor sekawannya.

(a + b) sekawannya : (a b) atau sebaliknya

(a b) sekawannya : (a + b)

Contoh :

1. 2x

2 x

2 x lim


22

22

=

0

0 (tidak boleh)

2x

2 x

2 x lim

=

2x

2 x

2 x lim

.

2x

2x

=

)2(x

)2x( . 2) (x

2 x lim

= 2x 2 x

lim

= 2 + 2

= 2 2

2. 3

21lim

3 x

x

x substitusi langsung :

0

0

0

22

33

213

(tidak boleh)

3

21lim

3 x

x

x =

3

21lim

3 x

x

x .

21

21

x

x =

)21)(3(

4)1(lim

3 x

xx

x

= )21)(3(

)3(lim

3 x

xx

x =

)21(

1lim

3 x x =

213

1

= 4

1

22

1




Jika

f(x)lim x

dan

g(x)lim x

, sehingga

g(x)

f(x)lim

x maka harus dibagi

dengan pangkat tertinggi dari pembilang atau penyebutnya.

Contoh :

1. 3x 4x - x

8 -6x 2x

23

2

x lim


.3.4

8.6.223

2

(tidak boleh)

f (x) atas dan bawah harus dibagi dengan pangkat tertinggi.

3x 4x - x

8 -6x 2x

23

2

x lim

=

33

2

3

3

333

2

x

x

x3

x

x4

x

x

x

8

x

6x

x

2x

lim

=

2

32

x

x

3

x

41

x

8

x

6

x

2

lim

= 01

0

0 0 - 1

0 - 00

341

862

2. xxx

xxx

362

453lim

23

23

x


)(3)(6)(2

)(4)(5)(323

23

=

(tidak

boleh)

xxx

xxx

362

453lim

23

23

x

=

33

2

3

3

33

2

3

3

462

453

lim x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

=

2

2

462

453

lim x

xx

xxx

=

362

453

= 002

003

=

2

3

Untuk menjawab soal pilihan ganda :

Untuk soal : 0

0

g(x)

f(x)lim

0 x

maka yang harus dilihat x pangkat terendahnya.

Jika ada diatas hasilnya = , jika ada dibawah hasilnya = 0 dan jika atas dan bawah pangkat terendahnya sama maka hasilnya lihat angka didepan x.

3x - x

6x 5x - x

0 x lim

2

23

=

3

6

= -2

Untuk soal :

g(x)

f(x)lim

x maka harus dilihat pangkat tertingginya

Jika diatas hasilnya = , jika pangkat tertingginya dibawah hasilnya = 0 dan jika atas dan bawah pangkat tertingginya sama maka hasilnya lihat angka di depan x.




3x 4x - x

8 -6x 2x

23

2

x lim

= 1

0 = 0 ;

3 4x - 3x

5x - 7x 3x

2

23

x lim

= 0

3 = ;

2 7x - 2x

4x - 6x 3x

3

23

x lim

= 2

3

b. Limit Fungsi Trigonometri

1 x sin

x

x

x sin limlim

0 x 0 x

atau 1 ax sin

ax

ax

ax sin limlim

0 x 0 x

1 x tan

x

x

x tan limlim

0 x 0 x

atau 1 ax tan

ax

ax

ax tan limlim

0 x 0 x

Untuk bentuk yang lainnya, jika dimasukan langsung hasilnya 0

0 funsi f (x) harus

diuraikan dengan aturan rumus trigonometri.

Contoh :

1. 3x

5xsin

0 x lim

= 3x

5xsin

0 x lim

. 5

5 =

3

5 .

5x

5xsin

0 x lim

= 3

5 . 1 =

3

5

atau : 3x

5xsin

0 x lim

= 3

5

2. 3xtan

4xsin

0 x lim

= 3xtan

4xsin

0 x lim

. 4x

4x .

3x

3x =

3x

4x .

4x

4xsin

0 x lim

. 3xtan

3x

0 x lim

= 3

4

atau : 3xtan

4xsin

0 x lim

= 3

4

3. sin x x cos

2x cos

4 x

lim

= oo

o

45sin 45 cos

45 . 2 cos

=

oo

o

45sin 45 cos

90 cos

=

22

12

2

1

0

= 0

0

fungsi x harus diuraikan dengan aturan rumus trigonometri.

cos 2x = cos2 x sin2 x = (cos x sin x) (cos x + sin x)

sin x x cos

2x cos

4 x

lim

= sin x) x (cos

sin x) x (cos sinx) x (cos

4 x

lim

= sin x) x(cos

4 x

lim

= cos 45o + sin 45

o =

2

12 +

2

12 = 2

4. sin x5x

2x cos 1lim

0 x


0

0

0.0

11

0sin).0(5

0cos1

o

o

(tidak boleh)

f(x) harus diuraikan dengan menggunakan rumus trigonometri

sin x5x

2x cos 1lim

0 x

=

sin x5x

x)2sin (1 1lim

2

0 x

cos 2x = 1 2sin2 x

= sin x5x

x2sin 1 1lim

2

0 x

=

sin x5x

x2sinlim

2

0 x =

sin x

sin xlim .

x

sin xlim

5

2

0 x 0 x




= 5

2 . 1 . 1

= 5

2

Pembahasan soal-soal :

1. 3 -x

27 x lim

3

3 x

= .

A. 9 B. 12 C. 18 D. 21 E. 27

UN 03/04

Jawab : E

Penyelesaian :

3 -x

27 x lim

3

3 x

=

3) -x (

3) -(x . 9)3x (x lim

2

3 x

= 9) 3x (x lim2

3 x

= 32 + 3 . 3 + 9

= 9 + 9 + 9

= 27

atau dengan cara diturunkan.

3 -x

27 x lim

3

3 x

=

1

3x lim

2

3 x

= 3 . 32

= 3 . 9

= 27

2. 2 x 85x

5x103x lim

3

3

x

= .

A. 5

2 B.

5

3 C.

3

5 D.

2

5 E.

UN 03/04

Jawab : B

Penyelesaian :

2 x 85x

5x103x lim

3

3

x

=

333

3

333

3

x

x

2

x

8x

x

5x

x

5

x

x10

x

3x

lim

=

32

32

x

x

2

x

85

x

5

x

103

lim

=

285

5103

lim x




= 005

003

= 5

3

atau dengan cara langsung, yaitu jika atas dan bawah pangkat tertingginya sama maka

lihat angka didepan x pangkat tertinggi

2 x 85x

5x103x lim

3

3

x

=

5

3

3. 2 x

2 3x x lim

2

2 x

= .

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. UN 04/05

Jawab : A

Penyelesaian :

2 x

2 3x x lim

2

2 x

=

2 x

2 3x x lim

2

2 x

.

2 x

2 x

= 2) (x

2 x 1) (x 2) (x lim2 x

= 2 x 1) (x lim2 x

= (2 1) . 22 = 1 . 0

= 0

4. 20 x 5x

2x cos 1 lim

= .

A. 2

5 B.

2

3 C.

3

2 D.

5

2 E.

UN 04/05

Jawab : D

Penyelesaian :

20 x 5x

2x cos 1 lim

=

2

2

0 x 5x

x)sin 2 (1 1 lim

= 2

2

0 x 5x

xsin 2 lim

= 5

2 .

x

sin x lim

0 x .

x

sin x lim

0 x

= 5

2 . 1 . 1

= 5

2




5. Nilai dari 7 4x x

5 2x 3x 2x lim

3

23

x

= .

A. 0 B. C. 2 D. 3 E. 4 UN 05/06

Jawab : C

Penyelesaian :

Untuk limit dengan batas x , yang harus diperhatikan adalah pangkat tertingginya.

7 4x x

5 2x 3x 2x lim

3

23

x

=

1

2 = 2

6. 2x cotg .2x sin 4 lim0 x

= .

A. B. 1 C. 0 D. 2 E. 4 UN 05/06

Jawab : E

Penyelesaian :

2x cotg .2x sin 4 lim0 x

cotg 2x = 2xsin

2x cos

2xsin

2x cos .2x sin 4 lim

0 x = 2x cos 4 lim

0 x

= 4 . cos 0o

= 4 . 1

= 4

7. Nilai 2

2

x 2x

2 x xlim

= ....

A. 0 B. 2

1 C. 1 D. 2 E.

UN 07/08

Jawab : B

Penyelesaian :

Untuk limit dengan batas tak terhingga, jika pangkat tertinggi antara atas dan bawah sama

maka lihat angka yang ada di depan pangkat tertinggi.

2

2

x 2x

2 x xlim

=

2

1

8. Nilai 3x sin .x

4x tan . 3xlim

2

2

0 x adalah ....

A. 4 B. 2 C. 3

5 D.

3

4 E.

3

1

UN 07/08

Jawab : D

Penyelesaian :

3x sin .x

4x tan . 3xlim

2

2

0 x =

3xsin

3xlim

0 x .

3xsin

xlim

0 x .

x

4xtan lim

0 x




= 3xsin

3xlim

0 x .

3xsin

xlim

0 x .

3

3 .

x

4xtan lim

0 x .

4

4

= 3

4 .

3xsin

3xlim

0 x .

3xsin

3xlim

0 x .

4x

4xtan lim

0 x

= 3

4 . 1 . 1 . 1

= 3

4

Soal latihan :

1. 2

4lim

2

2 x

x

x = .

A. -2 B. 0 C. 4 D. 6 E. 8

2. Nilai dari 4 2x

16 2x 3x lim

2

2 x

= .

A. 7 B. 6 C. 4 D. 2 E. 0

3. 6 3x

14 5x x lim

2

2 x

= .

A. 3 B. 3

4 C. 2 D. 6 E. 9

4. 16

4lim ....

16x

x

x

A. 8

1 B.

4

1 C.

2

1 D. 4 E. 8

5. 2 1 x

6 2x lim

3 x

= ....

A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 E.

6. x

x

3

9lim

9 x = .

A. 9 B. 6 C. 3 D. 1 E. 0

7. 2

2

(2 3) ( 4)lim ....

(4 3)(2 1)x

x x

x x

A. 4 B. 2 C. 4

3 D.

2

1 E.

3

1

8. )14(2

)13(lim

2

3

x

xx

x = .

A. 8

3 B.

4

3 C.

2

3 D.

8

27 E. 3

9. 4x3x5

2x3x23

23

~xlim

= ....

A. 5

7 B.

5

4 C.

5

3 D.

5

2 E.

5

1




10. Nilai dari 32

23

4x 2x 8

3x 5x 2x lim

x

= ....

A. 2

5 B.

2

1 C. 0 D.

4

1 E.

11. Nilai dari sin x4x

1 -2x coslim

0 x = .

A. 2

1 B.

4

1 C. 0 D.

4

1 E.

2

1

12. x tg. x cos 2lim

2 x

= ....

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E.

13. 2

0x x2

1x2coslim

= .

A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2

14. sin x x cos

2x cos lim

4 x

= .

A. 2

12 B. 2 C. 2 D. 2 2 E.

15. xcos . tan x 2 lim

2 x

= .

A. B. 2 C. 1 D. 0 E. 1

16. Nilai dari sin x4x

2x cos - 1lim

0 x = .

A. 2

1 B.

4

1 C. 0 D.

4

1 E.

2

1

17. 8 2x x

4 x lim

24 x

= .

A. 8

1 B.

6

1 C.

4

1 D.

3

1 E.

2

1

18. 12 x x

3 7x 2x lim

2

2

3 x

= .

A. 3

5 B.

7

5 C.

5

2 D.

5

2 E.

3

5

19. 2 1 3x

2 2x lim

1 x

= .

A. 3

2 B. 1

3

2 C. 2

3

1 D. 2

3

2 E. 3

3

1

20. 3 5x 2x

4 5x x lim

2

2

0 x

= .

A. 3

4 B. 1 C.

2

1 D.

2

1 E.

3

4

18. modul limit fungsi pak sukani

Documents