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Pierre Marchand, 2001

Objectifs : la fin de cette unit,

- vous saurez comment passer dune base lautre

- vous saurez comment sont reprsents dans l'ordinateur les nom-bres fractionnaires et les nombres exprims en virgule flottante

- vous saurez comment l'ordinateur effectue des calculs sur desnombres utilisant ces reprsentations

!our " arriver, vous devez ma#triser les objectifs suivants :

- passer d'une base une autre par diffrentes mt$odes :

valuation la main, l'aide de tables, ou l'aide d'une calculette%

Unit 3: Reprsentation interne des informations

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Objectifs :- passer d'une c$a#ne de caract&res entre au clavier pour

reprsenter un nombre entier, et la convertir dans le format binaireue comprend l'ordinateur, en passant par la reprsentationintermdiaire ()*

- convertir la partie fractionnaire d'un nombre dcimal dans sareprsentation binaire et vice-versa%

- convertir un nombre rel dans sa reprsentation en virguleflottante%

- effectuer les uatre oprations arit$mtiues sur des nombres en

virgule flottante


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++ *onnes numriues++ ntiers positifs ou nuls

.e ()*

.e ()* est un code dans leuel c$aue c$iffre dun nombre dcimal

est cod en binaire sur / bits)es c$iffres peuvent 0tre reprsent sur un octet individuel, cest le()* non compact

xemple :

+123 3333 33 3333 333 3333 3

)omme c$aue c$iffre nutilise ue / bits, on peut les grouper 1 paroctet )est le ()* compact

xemple :

4+3 33 33


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)$angements de base

5l sagit dvaluer lexpression dans la base destination

*cimal-binaire :

/13 6 7 318 9 7/ 38 9 71 338

6 7 3313318 9 73313318 9 33316 333 31


aiBi

i=0

n

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++ *onnes numriues++ ntiers positifs ou nuls)$angements de base

*cimal-binaire :

On peut effectuer les multiplications par 3 en remaruant ue 3x6 x9 1x, et en se rappelant uun dcalage gauc$e de bit estune multiplication par 1 )est gnralement plus rapide ue lamultiplication binaire

;insi, 331x 3316 3333319 33316 3 3331331x 3316 3333319 33316 3 3331

On obtient finalement :/136 3 33319 3 33319 3331et/136 333 31


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)$angements de base

(inaire-dcimal :

333 31 6 7 128 9 73 1

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)$angements de base

=actorisation de >orner

6 anBn9 an-,Bn-,9 ? 9 a,B9 a3

6 777773 9 an8B9 an-,8B9 an-18B?9 a,8B9 a3


aiBi

i=0

n

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)$angements de base(inaire-dcimal 7algorit$me @ 6 b 9 1@8

333 3 @ 6 3 9 1 3 6

3 9 1 6 1

3 9 1 1 6 /

3 9 1 / 6

9 1 6 23 9 1 236 +43 9 1 +436 233 9 1 236 /13


;rit$mtiue ()*

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)$angements de base

*cimal-binaire 7algorit$me @ 6 c 9 3@8

/1 @ 6 3 9 3313 6

3319 331 6 31319 331316 333 31


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)$angements de base

*ans les tec$niues prcdentes, on effectuait la conversion enutilisant larit$mtiue de la base destination

Aoutefois, on peut vouloir effectuer ces conversions en utilisantlarit$mtiue de la base source )est le cas, par exemple, uandlordinateur, ui doit travailler en arit$mtiue binaire, dsireeffectuer une conversion binaire-dcimal

!our convertir une nombre N dune base source une base

destination en utilisant larit$mtiue de la base source, on divise lenombre Npar la base destinationen utilisant larit$mtiue de basesource, jusu ce ue le uotient soit nul .a reprsentation de Ndans la base destination est alors donne par la suencerenverse des restes


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)$angements de base

xemples : )onvertir 123en base / :


12 12 B / 6

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)$angements de base

xemples : )onvertir 333 31en base 3

333 31B 3316 31, reste 3331

3 B 33 6 333, reste 3331

333 B 33 6 3333, reste 3331

333 316 333 333 333 6 /13en ()* compact

ou 3333 333 3333 333 3333 333 en ()* non compact


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)onversion $exadcimal-dcimal et dcimal-$exadcimaldentiers laide de la table de lappendice / du supplment

.a table $exadcimal-dcimal est base sur le principe uunnombre comme /;

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++ *onnes numriues++ ntiers positifs ou nuls)onversion $exadcimal-dcimal et dcimal-$exadcimaldentiers laide de la table de lappendice / du supplmentOn pourrait faire une table dcimal-$exadcimal pour la conver-

sion inverse On peut galement utiliser la m0me table ue plus$aut avec uelues calculs supplmentaires On c$erc$e dans latable la plus grande valeur dcimale ui soit infrieure au nombre convertir On soustrait ce nombre, et on recommence avec lereste

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)$angements de base

)onversion partir l;E)55

xemple :Eupposons ue lutilisateur a tap +12 On retrouve en mmoireles caract&res ;E)55 F+, F1 et F2 ui ont la reprsentation :

33 33 33 333 33 3

On soustrait 33 3333 7+3

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)$angements de base

)onversion vers l;E)55

*e la faGon inverse, apr&s uon a effectu une conversion binairedcimal, on a une srie doctets ui constituent la reprsentation()* non compact du rsultat On na u ajouter +3

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++ *onnes numriues+++ Hombres fractionnaires

)$angements de base

N=anBn9 an-1Bn-19 ? 9 aB9 a3B39 a-B-9 a-1B-19 ?

n binaire, ai6 3 ou et B6 1N=an1n9 an-1n-9 ? 9 a1 9 a39 a-1-9 a-11-19 ?

)ette derni&re formule peut donc servir de conversion binaire-dcimalxemple :


=a

n2n +a

n12n1+...+a1.2+a0 +a1

1

2+a2

1

4+a3

1

8+...

0,0112 =01

2+1

1

4+1

1

8

=0,2510 +0,12510 =0,32510

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)$angements de base

3,4

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)$angements de base

!our un nombre constitu dune partie enti&re et dune partiefractionnaire, on convertit les deux parties sparment, la partieenti&re avec lune des mt$odes de conversion des entiers, lapartie fractionnaire avec les mt$odes prsentes dans laprsente section

xemple: convertir 1+,1/en dcimal

1+/6

/1

9 1

/ 9 + 6 1233,1/6 1 /-9 /-16 1 x 3,14 9 3,3

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)$angements de base

)onvertir 12,4

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)onversion dcimal-binaire et binaire dcimal laide de la tablede lappendice /1 du supplment

I0me principe ue pour les entiers


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Jirgule fixe

5nconvnients : tendue de reprsentation limite

+1 bits seulement dans la partie enti&re

+1 bits seulement dans la partie fractionnaire

!erte de prcision pour les petits nombres

)omplexit de traitement de la virgule lors dop-rations telles ue la multiplication et la division


+1 +1!artie enti&re !artie fractionnaire

,

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Jirgule fixexemples : ,3 6 3333333,33333333

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