Equations et systèmes di¤érentiels non linéaires

1. Théorème de Cauchy-Lipschitz

a) Solutions, solutions maximales

Une solution X : J ! Rn, où J est un intervalle de R, est solution du système di¤érentiel d�ordre 1

(E) : F (t;X;X 0) = 0

ssi X est dérivable sur J et 8t 2 J , F (t;X(t); X 0(t)) = 0:

Une solution maximale est une solution qui ne peut être prolongée en une solution sur un intervalle

plus grand.

Résoudre (E) consiste à expliciter toutes les solutions maximales (les autres solutions étant leurs restrictions).

Exemple : Les solutions maximales de y0 = 1 + y2 sont les y(t) = tan(t� t0), dé�nie sur ]t0 � �2 ; t0 +

�2 [.

b) Systèmes di¤érentiels résolus d�ordre 1, théorème de Cauchy-Lispchitz

Un système di¤érentiel d�ordre 1 résolu est un système de la forme

(E) : X 0 = f(t;X)

Régularité des solutions : La continuité de f assure que toute solution X est de classe C1: Plus généralement, si f

est de classe Cn, alors X est de classe Cn+1 (on montre par récurrence sur k � n que X est Ck+1). En particulier, si

f est de classe C1, alors toute solution X de (E) est de classe C1:

Théorème de Cauchy-Lipschitz (admis) :

On suppose f : ! Rn (t; x) 7�! f(t; x) continue, où est un ouvert de R� Rn.

On suppose de plus que pour tout t, l�application x 7�! f(t; x) de classe C1 (sur le domaine où (t; x) 2 ).

Alors pour tout (t0; X0) 2 I�U , il existe une unique solution maximale de (E) véri�ant la condition initialeX(t0) = X0:

De plus, la solution maximale est dé�nie sur un intervalle ouvert (cf paragraphe 4).

Cette solution est notamment dé�nie au voisinage de t0:

Remarque importante : Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure en particulier que les solutions (maximales) ne se

croisent pas dans l�espace (t;X) : deux solutions maximales distinctes ont des graphes disjoints.

Considérons par exemple (E) : y0 = xy + y2: L�application identiquement nulle est solution. Comme le théorème de

Cauchy-Lipschitz s�applique, toute solution de (E) non identiquement nulle ne s�annule pas.

c) Systèmes di¤érentiels d�ordre supérieur

Tout système d�ordre supérieur se ramène à un système di¤érentiel d�ordre 1.

Exemple : L�équation di¤érentielle y00(t) + !(t)2 sin y(t) = 0 s�écrit aussi�y0(t) = z(t)z0(t) = �!(t)2 sin y(t)

Ainsi, toute solution est entièrement déterminée par les conditions initiales (y(0); z(0)) = (y(0); y0(0)):

Exemple : Le système di¤érentiel

(x00 = f(x; y; x0; y0)

y00 = g(x; y; x0; y0)correspond à un système di¤érentiel en X(t) =

0BB@x(t)x0(t)y(t)y0(t)

1CCA :2. Cas particuliers

a) Equations di¤érentielles d�ordre 1 à variables séparées

Les équations di¤érentielles d�ordre 1 à variables séparées sont les équations se mettant sous la forme

(E) : f(y) y0 = g(x):

Soient F et G sont des primitives de f et g. L�équation (E) équivaut à F (y) = G(x) + k, où k est une constante.

Les courbes du plan (Oxy) d�équation F (y) = G(x) + k sont appelées courbes intégrales de (E).

Les solutions de (E) sont les fonctions dérivables dont le graphe est inclus dans une courbe intégrale.

- Exemple : (E) : y0 = a(x)y , où a : I ! R est continue.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz s�applique sur I � R. L�application identiquement nulle est solution.

Par Cauchy-Lipschitz, une solution y non identiquement nulle ne s�annule pas.

On obtient alors ln jy(x)j = A(x) + k, où A est une primitive de a, d�où jy(x)j = ekeA(x):

Par continuité (et tvi), on obtient y(x) = ekeA(x) ou y(x) = �ekeA(x), c�est-à-dire y(x) = �eA(x), avec � 2 R�:

En conclusion, les solutions sont bien les �eA(x), avec � 2 R.

- Exemple : (E) : y0 = y2: Le théorème de Cauchy-Lipschitz s�applique sur R� R:

Une solution y non identiquement nulle ne s�annule pas. Dans ce cas, on obtient1

y= x0 � x, où x0 2 R.

Les solutions sont l�application nulle 0 et les fonctions x 7�! 1x0�x , avec x0 2 R.

On représente ensuite les graphes de ces fonctions (les graphes ne se croisent pas).

Remarque : Preuve directe : Avec y(t) = z(t)eA(t), (E) s�écrit z0(t) = 0, c�est-à-dire z constante.

- Exemple : (E) : y0 = 2py: Le théorème de Cauchy-Lipschitz ne s�applique ici que pour y > 0, donc sur R� R�+:

L�application identiquement nulle est solution.

Considérons une solution y et on se place sur un intervalle où y ne s�annule pas.

On obtient alors y0=py = 2, d�où

py(x) = x� x0. Donc y(x) = (x� x0)2 avec x � x0:

La fonction x 7�! (x � x0)2 dé�nie sur ]x0;+1[ peut être prolongée par 0 sur R en une fonction C1. On en conclut

que les solutions maximales sont l�application nulle et les applications x 7�! (x� x0)2 si x � x0, et 0 si x < x0:

- Exemple : (E) : y0 = 1+y2

1+x2: L�équation équivaut à arctan y = arctanx+ k.

D�où les solutions y(x) = tan(arctanx+ k) = x+c1�cx , avec c 2 R et y(x) = �

1x (correspondant à c = tan(

�2 ) =1).

- Exemple : (E) : (1� y2)xy0 = (y + y3). On résout (E) sur R�+ et R��. L�application nulle véri�e (E):

Supposons y non identiquement nulle. Par Cauchy-Lipschitz, y ne s�annule pas.

Comme 1�X2

X+X3 =1X �

2X1+X2 , on obtient (E) : ( 1y �

2y1+y2

)y0 = 1x , d�où ln jyj � ln(1 + y

2) = ln jxj � �.

On en conclut que (1 + y2)x = �e��y, donc (1 + y2)x = ky avec k 2 R�: Les solutions y dé�nies par (1 + y2)x = ky

sont prolongeables par continuité en 0 (avec y(0) = 0) et dérivables en 0 (avec y0(0) = k).

b) Utilisations de changements de variables

- Exemple : La méthode de variation de la constante dans les équations di¤érentielles linéaires résolues d�ordre 1.

En posant y(x) = z(x)eA(x), l�équation (E) : y0 = a(x)y(x) + b(x) s�écrit (E) : z0(x) = b(x)e�A(x).

Autrement dit, la méthode de variation de la constante permet de se ramener au cas où a(x) = 0:

- Exemple : Equations à termes de degré homogène, de la forme (E) : y0 = f( yx):

On pose z = yx , c�est-à-dire y = zx. L�équation (E) s�écrit z

0x = f(z)� z.

On est donc ramené à une équation à variables séparées : Si m est un zéro de f , l�application z : x 7�! m, c�est-à-dire

l�application y : x 7�! mx est solution.

Pour toute autre solution sur R�+ et R��, f(z)� z ne s�annule pas, et (E) s�écrit z0

f(z)�z =1x :

- Exemple : Equations de Bernoulli de la forme (E) : y0 = a(x)y + b(x)y2:

En posant z = y�1, on obtient �z0 = a(x)z + b(x), qui est une équation d¤érentielle linéaire résolue d�ordre 1.

- Exemple culturel : Equations incomplètes de la forme (E) : g(y0; y) = 0:

On peut parfois se ramener à des équations résolues y0 = f(y):

Dans le cas général, on cherche un paramétrage (u(t); v(t)) de la courbe � : g(x; y) = 0: On e¤ectue le changement de

variable (y0(x); y(x)) = (u(t); v(t)), d�où x0(t) = v0(t)=u(t), et on en déduit un paramétrage de (x; y) en fonction de t.

3. Inéquations di¤érentielles, lemme de Gronwall

a) Inéquations à variables séparées

Il s�agit de la situation la plus simple, où y véri�e une inéquation de la forme f(y)y0 � g(t):

D�où on déduit F (y)� F (y0) � G(x)�G(t0), avec y(t0) = y0:

Exemple : Supposons 8t � 0, y(0) > 0 et y0(t) = t2 + y(t)2: Alors y0(t) � y(t)2, d�où 1y(0) �

1y(t) � t:

b) Inéquations di¤érentielles linéaires d�ordre 1 et lemme de Gronwall

Lemme de Gronwall : Soient a et b : I ! R deux fonctions réelles positives et y : I ! R véri�ant y(�) = 0 et

y0(t) � a(t)y(t) + b(t)

Alors pour tout t � �, y(t) �R t� b(u)e

A(t)�A(u) du, où A est une primitive de a:

Preuve : On applique la méthode de variation de la constante.

Pour z(t) = y(t)e�A(t), on a z0(t) � b(t)e�A(t), donc en intégrant z(t) � z(�) +R t� b(u)e

�A(u) du:

Exemple d�utilisation : Soient a et b : I ! R deux fonctions réelles positives et f : I ! R véri�ant

f(t) � b(t) +Z t

�a(u)f(u) du

On pose y(t) =R t� a(u)f(u) du. On a y

0(t) = a(t)f(t) � a(t)b(t) + a(t)y(t) et y(�) = 0:

Par le lemme, y(t) � eA(t)R t� a(u)b(u)e

�A(u) du, et on conclut avec f(t) � b(t) + y(t):

Exemple d�utilisation : On suppose X : I ! Rn de classe C1 véri�ant kX 0(t)k � a kX(t)k+ b et X(0) = 0:

On considère y(t) =R t0 kX

0(u)k du:

L�application y est de classe C1 (comme primitive d�une fonction continue), et y0(t) = kX 0(t)k � a kX(t)k+ b:

On a kX(t)k � R t0 X 0(u) du

� R t0 kX 0(u)k du = y(t): On obtient donc y0(t) � ay(t) + b et y(0) = 0:

Par le lemme de Gronwall, on conclut kX(t)k � y(t) �R t0 be

a(t�u) du = ba(e

at � 1):

Remarque culturelle : Le lemme de Gronwall est essentiel pour majorer l�écart entre deux solutions de systèmes

di¤érentiels voisins avec des conditions initiales voisines. En particulier, le lemme de Gronwall permet de prouver

l�unicité dans la propriété de Cauchy-Lipschitz.

c) Entonnoirs (hp)

Prop : On suppose

(y0(t) = f(t; y(t))

z0(t) > f(t; z(t)). Si y(a) � z(a), alors 8t > a, y(t) < z(t):

Preuve : On applique le lemme du 2)g) à la fonction �(t) = z(t)� y(t).

4. Domaines de dé�nition des solutions maximales et étude aux bornes

a) Rappel :

Les solutions maximales d�un système X 0(t) = f(t;X(t)), où f : I � U ! Rp ne sont pas nécessairement dé�nies sur

I tout entier. C�est en revanche le cas lorsqu�il s�agit d�un système linéaire.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz dans le cas linéaire assure que les solutions maximales de X 0(t) = A(t)X(t) + B(t)

sont dé�nies sur les intervalles où les fonctions continues A et B le sont.

b) Propriétés du domaine de dé�nition d�une solution maximale

Soit un système (E) : f : ! Rn (t; x) 7�! f(t; x) véri�ant les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz.

Prop : L�intervalle de dé�nition de toute solution maximale de (E) est un intervalle ouvert.

Preuve : En e¤et, supposons par l�absurde que X est une solution dé�nie sur un intervalle de la forme ]a; b].

On peut appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz en (b;X(b)) 2 :

Il existe donc une solution maximale Y dé�nie au voisinage de b telle que X(b) = Y (b). On a aussi X 0(b) = Y 0(b).

Donc on peut prolonger X au delà de b par Y , et on obtient une solution de (E), donc X n�est pas maximale.

Théorème des bouts (version faible) : Soit X une solution maximale de (E) dé�nie sur ]a; b[.

Si X admet une limite � en b�, alors (b; �) =2 :

En particulier, si f est dé�nie sur I � Rn et si b 2 I, alors X n�admet pas de limite �nie en b�:

Preuve : Supposons par l�absurde que (b; �) 2 . On a ainsi limt!b� X(t) = b et limt!b� X0(t) = f(b; �). Par le

théorème du prolongement C1, on peut prolonger X en b en une fonction de classe C1 qui véri�e (E). On en déduit

qu�elle est la restriction d�une solution maximale dé�nie sur un ouvert contenant b. D�où une contradiction.

Important : Pour prouver que X converge en b�, où b réel, il su¢ t de démontrer que X 0 est bornée au voisinage de b.

En e¤et, on a X converge en b� ssi X 0 est intégrable sur [a; b[, car X(t) = X(a) +R ta X

0:

c) Exemple : Considérons (E) : X 0(t) = f(t;X(t)), où f : R� Rn ! Rn est de classe C1 et bornée.

Alors les solutions maximales de (E) sont dé�nies sur R tout entier.

En e¤et, supposons X dé�nie sur ]a; b[, avec b 2 R. Comme X 0 est bornée, alors X est intégrable sur [b � "; b[, donc

X admet une limite �nie en b�, et donc X est prolongeable au delà de b, ce qui contreidt la maximalité de X.

Exemple : Soit t 7�! (x(t); y(t)) véri�ant

(x0 = �yy0 = x� y3

On a (x2 + y2)0 = �2y4 � 0. On en déduit que (x; y) est bornée, donc est dé�nie sur R tout entier.

Exemple : Considérons (E) : y0 = g(y), où g est de classe C1:

Supposons que a < y(0) < b, où a et b sont deux zéros consécutifs de g, et que 8t 2]a; b[, g(t) > 0:

Comme (E) admet les fonctions constantes a et b comme solutions, il résulte de Cauchy-Lipschitz que a < y(t) < b

pour tout t 2 R. Donc y : R! R est strictement croissante et converge en �1 et en +1:

De plus, y0 = g(y) admet aussi une limite en +1, et elle est nécessairement nulle (puisque y converge). On en conclut

que limt!+1 y(t) = b, et par un raisonnement analogue, limt!�1 y(t) = a:

Exemple : Considérons X 0 = f(X) avec f : Rn ! Rn et kf(X)k � a+ k kXk :

En appliquant le lemme de Gronwall, on montre que X et donc X 0 sont bornées sur tout segment.

En e¤et, posons y(t) =R t0 kX

0(u)k du. On a y0(t) � f(X(t)) � a+ k kX(t)k � a+ k kX(0)k+ ky(t):

Ainsi, X et aussi X 0 sont bornées sur tout segment. On en déduit que X est dé�nie sur R:

d) Exemple de majoration du domaine de dé�nition

Considérons y :]a; b[! R la solution maximale de (E) : y0(x) = x2 + y(x)2 véri�ant y(x0) = 0, avec x0 > 0:

Montrons que b � x0 + �2x0:

En e¤et, on a 8x � x0, y0(x) � x20 + y(x)2, donc 1x0arctan

�y(x)x0

�� x� x0, d�où x � x0 + �

2x0:

e) Solutions périodiques dont la trajectoire décrit une courbe fermée (hp)

Exemple : Considérons (E) : y00 = �g(y), où g : R! R impaire, de classe C1 et strictement positive sur ]0; y0]:

On considère la solution maximale y dé�nie par y(0) = y0 > 0 et y0(0) = 0.

On a l�intégrale première 12(y

0)2 +G(y) = G(y0), où G est paire et strictement croissante sur [�y0; y0].

Comme G(y) ne peut prendre des valeurs strictement supérieures à G(y0), alors y(t) 2 [�y0; y0]:

De plus, y0 est bornée, donc y est bien dé�nie sur R tout entier.

La fonction y ne peut converger, car sinon, y0 convergerait, donc convergerait vers 0, et y vers �y0, et y00 vers �g(y0),

qui est strictement négatif, d�où une contradiction.

On en déduit aisément que y décroît sur un certain intervalle [0; T ] de y0 à 0:

Sachant que t 7�! �y(2T � t) est aussi solution, puis que t 7�! y(2T + t) est solution, on en conclut que y est

périodique de période 4T . Par ailleurs, on a sur [0; T ], dt =�dyp

2(G(y0)�G(y)), d�où T =

R y00

dyp2(G(y0)�G(y))

:

Systèmes autonomes (= systèmes dynamiques)

1. Dé�nition, théorème de Cauchy-Lipschitz, trajectoires et espaces des phases, points d�équilibres

Un système di¤érentiel autonome est un système de la forme

(E) : X 0(t) = f(X(t))

d�inconnue X : I ! Rn t 7�! X(t), où f : U ! Rn est de classe C1 sur un ouvert U de Rn:

Théorème de Cauchy-Lipschitz :

Pour tout (t0; X0) 2 R�U , il existe une unique solution maximale X de (E) véri�ant la condition initiale X(t0) = X0:

Spéci�cité des systèmes autonomes : Si t 7�! X(t) est solution, avec pour tout T , la fonction t 7�! X(t + T ) est

aussi solution. Ainsi, la trajectoire issue de X0 ne dépend pas de l�instant initial : on représente les trajectoires dans

l�espace des �phases� (par analogie avec les systèmes utilisés en Physique où les variables sont souvent des angles).

Par Cauchy-Lipschitz, les trajectoires ne se coupent pas.

Champ des vecteurs vitesses. On représente souvent le champ du vecteur vitesse x 7�! f(x). Les trajectoires de (E)

sont les lignes du champ f , c�est-à-dire les courbes dont la tangente en tout point x est dirigé par le vecteur f(x):

Points d�équilibre : On dit que Z 2 Rn est un point d�équilibre ssi f(Z) = 0, c�est-à-dire ssi la fonction constante

t 7�! Z est solution de (E): On dit que Z est un point d�équilibre attractif ssi pour tout X0 assez proche de Z, on a

limt!+1X(t) = Z:

2. Systèmes autonomes en dimension 1

Il s�agit de déterminer les fonctions t 7�! y(t) véri�ant (E) : y0 = f(y), où on suppose f de classe C1 a�n de pouvoir

appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz. Les zéros de f correspondent aux solutions constantes de (E). Comme les

solutions ne se croisent pas, alors pour toute solution non constante y, f(y) ne s�annule pas donc est de signe constant,

et y est strictement monotone. L�espace des phases (qui correspond aux valeurs de y) est la droite réelle, sur laquelle

on indique les points d�équilibres (qui sont les zéros de f) ainsi que le sens de variation de y en les autres points (donné

par le signe de f(y)).

L�équation (E) est un cas particulier d�équation à variables séparées, mais il n�est pas nécessaire de résoudre (E)

explicitement pour déterminer l�allure des solutions.

3. Systèmes autonomes en dimension 2, exemples d�intégrales premières

a) Il s�agit des systèmes (S) :

(x0 = f(x; y)

y0 = g(x; y), où f et g : U ! R qu�on ne sait pas résoudre de façon générale.

Les trajectoires solutions sont les lignes du champ (x; y) 7�! f(x; y)

g(x; y)

!: Elles véri�ent

dy

dx=g(x; y)

f(x; y).

b) On dit que F : U ! R (x; y)! F (x; y) est une intégrale première de (S) ssi pour toute solution de (E), l�application

t 7�! F (x(t); y(t)) est constante. Ainsi, F est une intégrale première ssi

f(x; y)@F

@x(x; y) + g(x; y)

@F

@y(x; y) = 0

Dans ce cas, toute trajectoire de (S) est donc située sur une ligne de niveau de F (mais ne décrit pas nécessairement

l�intégralité de la ligne de niveau). La fonction F est appelée intégrale première du système.

c) Exemple : Considérons

(x0 = �x

y0 = �y, avec x(0) > 0 et y(0) > 0. On obtient

(x(t) = x(0)e�t

y(t) = y(0)e�t

Donc F : (x; y)! x�y�� est une intégrale première.

Exemple : Considérons

(x0 = �ay

y0 = ax: Alors F : (x; y)! x2 + y2 est une intégrale première.

Si a 6= 0, les trajectoires décrivent des cercles dont le centre est l�origine.

Exemple :

(x0 = a(y)

y0 = b(x)Alors F (x; y) = B(x)�A(y) convient.

Exemple : L�équation de Newton est (E) : y00 = �g(y), associée au système(y0 = z

z0 = g(y)

En multipliant la relation y00 = �g(y) par y0 et en intégrant, on obtient : 12(y0)2 +G(y) = k constante, ce qui permet

de tracer les courbes intégrales. Dans le cas du pendule linéaire, on a g(y) = sin y, et 12(y0)2 � cos y = k.

4. Systèmes autonomes linéaires en dimension 2

Il s�agit des systèmes

(x0 = ax+ by

y0 = cx+ dy, c�est-à-dire X 0 = AX, avec A =

�a bc d

�2M2(R)

Dans la suite, on suppose que A admet deux valeurs propres distinctes (réelles ou conjuguées non réelles).

Premier cas : A semblable � 00 �

�: On considère une base (Z1; Z2) de vecteurs propres.

Les solutions sont de la forme X(t) = �e�tZ1 + �e�tZ2.

Si � > � et si (�; �) 6= (0; 0), alors X(t) � �e�tZ1 lorsque t tend +1, et X(t) � �e�tZ1 lorsque t tend �1:

Remarque : Si trA = 0, alors � = ��, et les trajectoires appartiennent à une hyperbole, car (�e�t)(�e�t) = ��:

Second cas : A semblable �+ i� 00 �+ i�

�, donc semblable à la matrice de similitude directe

�� ��� �

�:

Quitte à changer de base, on se ramène donc au système

(x0 = �x� �y

y0 = �x+ �y

En posant z = x+ iy, on obtient z0 = (�+ i�)z, donc z(t) = z(0)e(�+i�)t:

La trajectoire est une spirale convergeante vers O (si � < 0), un cercle (si � = 0) ou une spirale divergeante (si � > 0).

5. Etude locale au voisinage d�un point d�équilibre (culturel)

On considère le système (E) : X 0(t) = f(X(t)), et on considère Z point d�équilibre, c�est-à-dire un zéro de f:

E¤ectuons le changement de variable X(t) = Z +H(t). En particulier, X 0(t) = H 0(t):

Or, on a f(X +H) = f(X) +AH + o (kHk) lorsque H tend vers�!0 , où A est la matrice jacobienne de f en Z.

Ainsi, au voisinage de Z, (E) peut être vu comme une perturbation du système linéaire H 0(t) = AH(t):

En particulier, on peut montrer que lorsque les parties réelles des valeurs propres de A sont strictement négatives,

alors Z est un point d�équilibre attractif.

6. Résolution numérique par la méthode d�Euler

Considérons le systèmeX 0(t) = f(X(t)): La méthode d�Euler repose sur l�approximation X(t+ �) ' X(t) + �f(X(t)) :

Autrement dit, pour déterminer une approximation en t = t0+� de la solution X de (E) véri�ant X(t0) = X0, on �xe

un entier n 2 N� associé au pas de temps � = �n , et on considère la suite dé�nie par Y0 = X0 et Yk+1 = Yk + �f(Yk)

pour tout 0 � k < n: On peut démontrer que lorsque � tend vers 0+, Yn converge vers X(t0 +�):

Remarque : Noter que le nombre d�étapes n est d�autant plus grand que � est petit. D�autre part, a convergence est

en fait assez lente, on utilise en pratique des méthodes plus élaborées (méthode de Runge-Kutta par exemple).

7. Universalité des systèmes autonomes

Tout système di¤érentiel (E) : X 0(t) = f(t;X(t)) peut être vu comme un système autonome en (t;X):

Par exemple, l�équation di¤érentielle (E) : y0(t) = f(t; y(t)) correspond au système autonome

(t0 = 1

y0 = f(t; y)Il s�agit d�un système autonome dans l�espace des X = (t; y):

Le champ de vecteur associé est (t; y) 7�!�

1f(t; y)

�:

La méthode d�Euler de résolution approchée consiste ainsi à considérer y(t+ �) ' y(t) + �f(t; y):