Lista de Exerccios no01*

Autor Edercley Moura1

Abstract First list of exercises related to the disciplineMetodos Matematicos para Engenharia Biomedica.

I. INTRODUCAO

Essa lista de exerccios visa a memorizacao e o entendi-mento dos conceitos apresentados ate a terceira semana deaula da disciplina de Metodos Matematicos para EngenhariaBiomedica, alem da iniciacao ao uso da plataforma LATEX.

II. EXERCICIOS

A. Exerccio 2.4.3

Determinar os conjuntos-solucao de:a) {x|x + 7 < 12}

Solucao

x + 7 < 12

x < 12 7x < 5

{x|x < 5}b) {y|3y = 15 y}

Solucao

3y = 15 y3y + y = 15

4y = 15

y =15

4

{15/4}c) {x|x = 3(x + 3) x}

Solucao

x = 3(x + 3) xx = 3x + 9 x

x 2x = 9x = 9

{9}d) {u|u2 = 10}

SolucaoNumeros reais, sejam eles positivos ou negativos,

*Este trabalho nao foi financiado por nenhuma organizacao1Edercley Moura e aluno de Mestrado em Engenharia Biomedica da

Universidade de Braslia, Unidade Gama, Braslia, Distrito Federal, Brasil.edercleymoura@hotmail.com

elevados ao quadrado resultam em um numeropositivo, logo:

u2 = 10

(u2)1/2 = (10)1/2u = (10)1/2

{101/2 ;101/2}e) {x|3x 5 x + 7}

Solucao

3x 5 x + 73x x 7 + 5

2x 12x 6{x|x 6}

f) {t|t2 > 0}SolucaoQualquer numero real diferente de zero e elevadoao quadrado e maior ou igual a zero.

{t|t 6= 0}B. Exerccio 2.5.1

Uma ninhada de cinco camundongos pode conter0, 1, 2, 3, . . . ou 5 machos, e o resto femeas. Representamosas seis possibilidades por a0, a1, . . . , a5 e as reunimos emum conjunto U . Escrever abaixo os dois conjuntos.A: no mnimo quatro camundongos sao machos;B: no maximo tres camundongos sao femeas,e encontrar A e B.

Solucao

A B C D Ea0 F F F F Fa1 M F F F Fa2 M M F F Fa3 M M M F Fa4 M M M M Fa5 M M M M M

Tabela 1 - Possibilidades de camundongos machos e femeas

U = {a0; a1; a2; a3a4; a5}

A = {a4; a5}B = {a2; a3; a4; a5}A = U A = {a0; a1; a2; a3a4; a5} {a4; a5}A = {a0; a1; a2; a3}B = U B = {a0; a1; a2; a3a4; a5} {a2; a3; a4; a5}B = {a0; a1}

C. Exerccio 3.3.3

Em um ecossistema marinho, o fitoplancton e comido pelozooplancton ou por onvoros, ou entao morre. O zooplanctone comido por onvoros, carnvoros, ou morre. Finalmente,onvoros e carnvoros comem-se indistintamente ou morrem.Com esta situacao em mente, definir uma relacao no produtocartesiano SxS, onde S=fitoplancton, zooplancton, onvoros,carnvoros, mortos e encontrar um grafico representativoadequado (cf. Patten, 1966, pag. 595)

Solucao

1 2

1 3

1 5

2 3

2 4

2 5

3 3

3 4

3 5

4 3

4 4

4 5

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

Co

nju

nto

S

Conjunto S

Produto Cartesiano

1 = fitoplancton;2= zooplancton;3= onvoros;4= carnvoros;5= mortos

Fig. 1. Sistema cartesiano SxS.

SxS={(F, Z),(F, 0),(F, M),(Z, 0),(Z, C),(Z, M),(0, C),(C,0),(0, 0),(C, C),(0, M),(C, M)}

D. Exerccio 3.6.7

Uma funcao linear Q = Q(t) assume o valor Ql = 88.3 mgno instante tl = 14s e o valor Q2 = 89.6 mg em t2 = 39s.Encontre a taxa de crescimento e estabeleca a funcao linear

Solucao

A taxa de crescimento corresponde ao angulo formadopela taxa de variacao Q e a taxa de variacao do tempot:

Q

t=

Q2 Q1t2 t1

=(89, 6 88, 3)

(39 14)=

0, 76mg

25s= 0, 052mg s1

A funcao Q = Q(t) e uma funcao linear e possui aforma Q = at + b. a representa o valor da tangente dareta, e b pode ser determinado com qualquer um dospontos pertencentes a reta.

Tomemos Q1 = 88, 3mg e t1 = 14s

Q = at + b

88, 3 = 0, 052 14 + bb = 88, 3 2, 028b = 87, 572

Logo:

Q = 0, 052t + 87, 572

E. Exerccio 3.6.13

Simpson, Roe, and Lewontin (1960, p. 218) afirmaramque nas femeas da cobra Lamprope1tis po1yzona ocomprimento total y e uma funcao linear do comprimentoda cauda x com grande precisao. O domnio e o intervalocompreendido entre 30 mm e 200 mm, e a imagem e ointervalo entre 200 mm e 1400 mm. Sao dados os doispontos seguintes: xo= 60mm Yo=455mm Xl = 140mm Y1= 1050mm. Determinar a equacao de y como uma funcaode x e plotar um diagrama com unidades apropriadas parax e y. O angulo de inclinacao e significativo?

Solucao

A funcao y = y(x) e uma funcao linear e possui a formay = ax + b, onde a representa o valor da tangente da reta.Como a = y/x , b pode ser determinado com qualquerum dos pontos pertencentes a` reta.

Determinacao do valor de a:

a =(y2 y1)(x2 x1)

=455 105060 140

=59580

a = 7, 4375

Determinacao do valor de b:

y = ax + b

1050 = 7, 4375 140 + bb = 1050 1041, 25b = 8, 75

Logo:

y = 7, 4375x + 8, 75

y = 7,4375x + 8,75

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 30 60 90 120 150 180 210

Co

mp

rim

en

to T

ota

l da

Co

bra

Comprimento da Cauda

Comportamento do tamanho da cobra Lampropeltis Polyzona

Linear ( y(x) = 7,4375.x + 8,75 Dentro dos intervalos: x= [30,200]; y(x)=[200,1400] )

Fig. 2. Comprimento total da cobra Lampropelis polyzona em funcao docomprimento do rabo.

Podemos concluir que o angulo de inclinacao esignificativo, dado que pequenas variacoes no comprimentoda cauda resultam em grandes variacoes no comprimentototal (uma relacao de 7,4375 para 1).

REFERENCES[1] E. Batschelet, Introduction to Mathematics for Life Scientists, 2nd ed,

Paperback October 1, 1979.