Lista de Exercıcios - Vibracoes livres com amortecimento

1. Um pendulo simples vibra numa frequencia de 0,5 Hz no vacuo e 0,45 Hz num meiofluido viscoso. Encontre a constante de amortecimento, assumindo que a massa do pendulovale 1 kg.

2. A razao de amplitude sucessivas de um sistema de um grau de liberdade viscosamenteamortecido e dada por 18:1. Determine a razao das amplitudes sucessivas se a quantidade deamortecimento e (a) dobrada; (b) e reduzida a metade.

3. Para um sistema massa-mola amortecido, m = 50 kg e k = 5.000 N/m. Determine: (a) acontante de amortecimento crıtico, bc; (b) a frequencia de amortecimento quando b = bc

2; (c) o

decremento logarıtmico.4. Um locomotiva de massa 2.000 kg trafegando a uma velocidade v = 10 m/s e parada no

final dos trilhos por um sistema massa-mola-amortecedor, como mostrado na figura abaixo. Sea rigidez da mola e k = 80 N/mm e a constante de amortecimento e b = 20 N.s/mm, determine:(a) o deslocamento maximo da locomotiva apos atingir o sistema; (b) o tempo gasto para atingiro seu deslocamento maximo.

5. Um oscilador harmonico possui massa m = 1,2 kg, constante de amortecimento b = 12N.s/m e constante de mola k = 0,5 kN/m. Determine: (a) a frequencia de amortecimento; (b) ofator de amortecimento e o decremento logarıtmico.

6. Um corpo vibrando com amortecimento viscoso completa 5 oscilacoes por segundo eem 50 ciclos sua amplitude diminui para 10% de seu valor inicial. Determinar o decrementologarıtmico e o fator de amortecimento. Qual sera o percentual de diminuicao do perıodo deoscilacao se o amortecimento for removido?

7. Um sistema viscosamente amortecido tem uma rigidez de 5.000 N/m, constante de amor-tecimento crıtico de 20 N.s/m e um decremento logarıtmico de 2,0. Se o sistema recebe umavelocidade inicial de 1 m/s, determinar o deslocamento maximo do mesmo.

8. Um oscilador harmonico possui massa m = 30 kg e constante de rigidez k = 100 kN/m.Determinar: (a) a constante de amortecimento para um fator de amortecimento γ = 0, 1. (b) odecremento logarıtmico e a frequencia de amortecimento.

9. Um oscilador harmonico amortecido possui massa m = 45 g, constante de amortecimentob = 3,8 N.s/m, e constante de rigidez k = 1.500 N/m. Determinar: (a) o fator de amortecimento.

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o decremento logarıtmico e a frequencia de amortecimento; (b) a resposta a um deslocamentoinicial de 1 mm.

10. Um oscilador harmonico amortecido possui massa m = 3 kg e constante de rigidez k =500 N/m. O decremento logarıtmico medido foi 2,5. Determinar: (a) o fator de amortecimento;(b) a frequencia de amortecimento.

11. Uma maquina possui massa m = 250 kg e seu suporte tem constante de amortecimentob = 1,45 kN.s/m e rigidez k = 130 kN/m. Se a maquina e sua base e modelada para vibracaovertical como um sistema de um grau de liberdade, determinar: (a) a frequencia de amorteci-mento; (b) a expressao para o movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm nadirecao vertical.

12. Uma maquina possui massa m = 250 kg e frequencia de amortecimento para vibracaovertical ωd = 5.140 rad/s. Atraves da medicao do decremento logarıtmico achou-se um fatorde amortecimento γ = 0,12. Se a maquina e sua base sao modelados como um sistema de umgrau de liberdade para vibracao vertical, determinar: (a) a rigidez do suporte elastico; (b) omovimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direcao vertical, imposta por umimpacto.

13. Um instrumento eletronico possui massa m = 3,4 kg e esta apoiado em quatro coxins deelastometro com rigidez k = 5.400 N/m cada um. O fator de amortecimento, medido a partir dodecremento logarıtmico, e γ = 0,20. Se o instrumento seus apoios e modelado como um sistemade um grau de liberdade em vibracao vertical, determinar: (a) a frequencia natural. (b) Umaferramenta de massa 0,5 kg cai sobre o instrumento resultando em uma amplitude de vibracaode 1,7 mm. Determinar a velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta.

14. Um voltımetro mostrado na figura abaixo possui um ponteiro de alumınio (ρ = 2.700kg/m3) de comprimento ` = 50 mm, largura 3 mm e espessura 1 mm. A mola restauradoratem uma constante de mola rotacional kt = 100 N.mm/rad. Um amortecedor para amorteci-mento crıtico e posicionado a um raio r = 8 mm. Durante uma medida o instrumento mostra 80volts. Quando a voltagem e desligada, determinar o tempo requerido para o ponteiro retornar aindicacao de 1 volt.

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15. Um medidor de nıvel de agua mostrado na figura possui boia cilındrica de 100 mmde diametro (massa desprezıvel), uma barra com massa 0,5 kg, ` = 70 mm e L = 420 mm.Determinar a constante de amortecimento requerida para produzir amortecimento crıtico.

16¨. Uma massa de 10 kg oscila deslizando em superfıcie seca sob a acao de uma mola derigidez 10 N/mm. Apos quatro ciclos completos a amplitude e 100 mm. Qual e o coeficiente deatrito medio entre as duas superfıcies se a amplitude original era de 150 mm? Em quanto tempoa massa executou os quatro ciclos?

17. Uma massa de 20 kg esta suspensa por uma mola de rigidez 10.000 N/m. O movimentovertical da massa esta sujeito a uma forca de atrito de Coulomb de magnitude 50 N. Se a mola einicialmente deslocada de 5,5 cm para baixo de sua posicao de equilıbrio estatico, determinar:(a) o numero de meio ciclos transcorridos ate que atinja o repouso; (b) o tempo transcorridoantes da massa atingir o repouso e (c) o alongamento final da mola.

18. A massa m = 2 kg de um oscilador harmonico linear com k = 500 N/m desliza emuma superfıcie horizontal com coeficiente de atrito estatico µe = 0,2 e cinetico µc = 0,08. (a)Determinar o maximo valor do deslocamento inicial que nao resultara em qualquer movimentodevido a forca de atrito. (b) Determinar o numero de ciclos para a vibracao iniciada por umdeslocamento inicial de 25 mm ate parar completamente.

19. Determine os valores de γ e γd para os seguintes sistemas amortecidos:(a) m = 10 kg, b = 150 N.s/m, k = 1.000 N/m(b) m = 10 kg, b = 200 N.s/m, k = 1.000 N/m(c) m = 10 kg, b = 250 N.s/m, k = 1.000 N/m

20. Determine a resposta, isto e, x(t), dos sistemas viscosamente amortecidos indicados noProblema 19 quando x0 = 0,1 mm e x0 = 10 m/s.

21. Encontre a energia dissipada durante um ciclo do movimento harmonico simples x(t) =0, 2 sinωdt m, viscosamente amortecido com os seguintes parametros:(a) m = 10 kg, b = 50 N.s/m, k = 1.000 N/m; (b) m = 10 kg, b = 150 N.s/m, k = 1.000 N/m.

22. Encontre as respostas dos sistemas governados pelas seguintes equacoes de movimento,(a) 2x+ 8x+ 16x = 0; (b) 3x+ 12x+ 9x = 0; (c) 2x+ 8x+ 8x = 0,

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considerando as seguintes condicoes iniciais para cada caso acima:(i) x(0) = 0 e x(0) = 1; (ii) x(0) = 1 e x(0) = 0; (iii) x(0) = 1 e x(0) = −1.

23. Um peso de 25 N e suspenso por uma mola de rigidez k = 10.000 N/m. O peso vibrana direcao vertical sob a acao de uma forca de amortecimento constante. Quando o peso einicialmente deslocado para baixo de 10 cm da sua posicao de equilıbrio estatico e entao solto,ele retorna ao repouso apos exatamente dois ciclos completos. Encontre a magnitude da forcade amortecimento.

24. Um bloco de metal, colocado sobre uma superfıcie lisa, esta ligado a uma mola edeslocado de 10 cm de sua posicao de equilıbrio. Sabe-se que o perıodo natural de vibracao domovimento e 1,0 s e que a amplitude reduz de 0,5 cm a cada ciclo. Encontre (a) o coeficientede atrito cinetico entre o bloco de metal e a superfıcie; (b) o numero de ciclos de movimentoexecutados pelo bloco antes dele parar.

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