الرياضيات1

الطبعة الثانية

1430هـ ــ 1431هـ

2009م ــ 2010م

اسم الطالب : .....................................................................................

الـمــدرســـــــة : ......................................................................................

رقــــــم الإيـــــــــداع : 14٢7/3783

ردمك : ٢ - ٢33 - 48 - 9960

م

20

10

-م

20

09

/هـ

14

31

-هـ

14

30

ة

نيثا

ل ا

ةع

بط

ل ا

)

كرت

�شامل

ج م

نارب

ل)ا

ي و

انلث

ام

يعل

لت ا

1 ت

ضياريا

)البرنامج الم�شترك(

)البرنامج الم�شترك(

تعديل وتطوير

نـــور بنت �شعيد عــــلي باقــــادر

لجنة المراجعة

ثـــــــامـــــر بن حـــــمـــد العـيــــ�شــــى

نجوى بنت رجب محمد ال�شوااإبت�شام بنت �شعيد عمر من�شي

�شلمى بنت عبود محمد بايزيدلمــــياء بنت عبداهلل يحيى خان

ـــم �شــــــامــــي بــن اأحــــمـــــــد رحــيـــ

الطبـاعـــة

مـهـا بنـت عـبـدالعزيـز القـديـرفــــــوزيـــــة بـنـت ح�شــيـن بـــــاردم

�شــعــيــــد �شـــعـــــــد الــزهــــرانـــــــــي

الطبعة الثانية

1430 ـــ 1431 هـ

2009 ـــ 2010م

اأ�شرف على الت�شميم الفني والتعليمي

اأ. محمد بن عبد اهلل الب�شي�ص

وزارة التربية والتعليم ، 1427 هـح

لهذا الكتاب قيمة مهمة وفائدة كبيرة فحافظ عليه واجعل نظافته ت�شهد على

ح�شن �شلوكك معه .

اإذا لم تحتفظ بهذا الكتاب في مكتبتك الخا�شة في اآخر العام لال�شتفادة فاجعل

مكتبة مدر�شتك تحتفظ به .

وزارة التربية والتعليمموقع

www.moe.gov.sa

البوابة التعليمية للتخطيط والتطوير موقع

http://www.ed.edu.sa

اإدارة التعليم الثانويموقع

www.hs.gov.sa

البريد الإلكتروني لإدارة التعليم الثانوي

[email protected]

حقوق الطبع والن�شر محفوظة لوزارة التربية والتعليم ـ المملكة العربية ال�شعودية

فهر�شة مكتبة الملك فهد الوطنية اأثناء الن�شر

وزارة التربية والتعليم

ريا�شيات 1 )التعليم الثانوي( - الريا�ص ، 1427هـ

224 �ص، x 27 21�شم

ردمك :9960-48-233-2

-1 الريا�شيات -كتب مدر�شية -2 التعليم الثانوي-ال�شعودية-

كتب درا�شية اأ، العنوان

ديوي 510،712 1427/3783

رقم الإيداع : 1427/3783

ردمك: 9960-48-233-2

اأ�شرف على الطباعة والتوزيع

الإدارة العامة للمقررات المدر�سية

د المر�شـلين، وعلى اآله و�شحبه اأجـمعين، الحمد هلل رب العالمين، و ال�شـالة وال�شـالم على �شـي

ومن تبعهم باإح�شـان اإلى يوم الدين وبعد ...

ـيا لخطط هـــذا كتـــاب ريا�شيات ) 1 ( في نظام المقررات بالتعليم الثانوي الذي ناأمل اأن يجيء ملب

ة ومتفقا مع تطلعاتـها في اإخراج جيل قادر ـة ال�شـعودي التنمية الطموحة التي تعي�شـها المملكـة العربي

على مواكبة الع�شر ومتم�شـيا مع النه�شة التي تحياهـا، كل ذلك وفق اأهداف و�شـيا�شـة التعليم فيهـا.

ة الآتية : ات على المنطلقـات العامة الريا�شيـ ولقد ا�شـتند في تنظيم محتوى ماد

ة للطالب. الحـاجات الأ�شـا�شـي

ات. طرائق تعليم وتعلم الريا�شيـ

. اأ�شـاليب التفكير الريا�شي

ة. ـات ومهارات وم�شـائل ريا�شي ة البناء الريا�شي من مفهومات وم�شطلحـات وخوارزمي نوعي

ـة. ـات في الحياة العملي اأوجه ا�شـتخدامات الريا�شي

وتبرز مالمح الكتاب في التالي:

ة واأهــــداف نظام المقررات بالتعليم ة للماد ـات من الأهداف العام 1- النطــــالق في تنظيم منهـــــج الريا�شي

باع اأ�شـاليب وطرائق ت�شـتند اإلى نظريات التعلم المختلفة. الثانوي، بما يتالءم وخ�شائ�ص نـمو الطالب بات

2- الأخــــذ بال تجاه الحلزوني فــــي معـالجة الـمحتوى الريا�شي مع الجمع بيــــن التنظيم المنطقي والتنظيم

. ال�شيكولوجي

3- روعي في عر�ص المو�شوعات اإبراز المفهومات والمبادئ العلمية والنظريات ... وتمييزها وا�شـتخدامها

في مواقف تعليمية مختلفة بما يعين على تعميق معناها لدى الطالب.

ــــات، ومراعاة التــــوازن بين المفهومــــات والمهارات. 4- الهتمــــام بالبرهــــان الريا�شــــي للحقائــــق والنظري

5- توظيــــف اأ�شاليب التفكيــــر العلمي في البحث وال�شتق�شاء والو�شول اإلــــى ال�شتنتاجات والقرارات وحل

الم�شكالت.

ق في ذلك بما 6- ال�شتمــــرار في تعزيز بناء المفهومات بال�شتناد اإلــــى معلومات الطالب ال�شابقة مع التعم

. يتفق وطبيعة المرحلة واإي�شاح كل مفهوم من خالل اأمثلة متنوعة؛ لم�شاعدة الطالب على التعلم الذاتي

مقدمة

ة ـــات العـــرب والم�شـلمين واأثرهـــم في بنـــاء وتطوير العلـــوم الريا�شي 7- اإبـــراز جهـــود علمـــاء الريا�شي

وتطبيقاتـها.

م لـه في المواد الأخرى، وتوظيـفها 8- ربـــط المفهومات الريا�شية ببيئة الطالب وبالمفهومات التي تقد

دة. ة المتعد من خالل التطبيقات الحياتي

9- ت�شمين المحتـوى مجمـوعة كافية من الأمثـلة والتدريبـات تعقب كل معلومة ريا�شية.

عة في نـهاية كل وحدة، اإ�شـافة اإلى التمارين التي تلي ة متنـو 10- اإثراء المحتـوى بمجموعة تمـارين عام

كل در�ص ؛ لتثبيت الحقائق والمهارات وتاأكيد ا�شتمرارية التعلم .

11- اإدراج اأن�شطة اإثرائية با�شتخدام الحا�شب الآلي كلما اأمكن ذلك.

نها محتوى كل وحدة من الوحدات وذلك في نـهايته. 12- تلخي�ص المفهومات والنظريات ... التي ت�شم

ة لبع�ص التمارين لكل وحدة بـهدف تقويم الطالب لنف�شـه ذاتـيا. 13- اإدراج قائمة بالإجابات النهائي

ة لكل وحدة من وحدات الكتاب في بدايتـها. 14- اإدراج الأهداف التعليمـي

ة كلما دعت الحاجة لذلك. ة والأ�شـكال في تو�شيح المفهومات الريا�شي 15- ال�شتعانة بالر�شوم التو�شيحي

ة للمناهج ة الريا�شيات في نظام المقـــررات بالتعليم الثانوي مـــن الإدارة العام 1- تو�شيـــف منهج مـــاد

بالتطويرالتربوي بوزارة التربية والتعليم.

رات الريا�شيات بدول مجل�ص التعاون لدول الخليج العربية، وبع�ص الدول العربية وغير العربية. 2- مقر

هذا ويقع الكتاب في ثالث وحدات وهي:

2- ح�شاب المثلثات. 3- الأ�ش�ص واللوغاريتمات. 1- المعادلت.

ق هذا الكتاب الأهداف الماأمولة له. - تعالى - واأن يحـق

نا لنرجو التوفيق وال�شـداد من اهلل و اإ ن

من وراء الق�شد.

واهلل

لجنـة التاأليف

ا يلي: ولقد ا�شـتفيد حين اإعداد الكتاب مم

الوحدة

الأولى

الوحدة

الثانية

المعادلت

1-1 حل معادلة الدرجة الثانية بطريقة اإكمال المربع

1-2 حل معادلة الدرجة الثانية بالقانون العام

رين 1-3 حل نظام معادلتين من الدرجة الثانية في متغي

) اأن�شطة اإثرائية ( ا�شتخدام الحا�شب الآلي لحل المعادلت

تعلمت فى هذه الوحدة

ـة تماريـن عام

4

14

27

37

46

48

ح�ساب المثلثات

نبذة تاأريخية

ة ة لزاوية حاد 2-1 الن�شـب المثلثي

ة الأ�شا�شية 2-2 العالقات بين الن�شـب المثلثي

ة والآلت الحا�شـبة 2-3 الن�شـب المثلثي

2-4 حل المثلث القائم الزاوية

2-5 القيا�ص الدائري للزوايا


ـة تماريـن عام

54

55

66

75

91

100

110

112

الوحدة

الثالثة

الأ�س�س واللوغاريتمات


3-1 قوى عدد حقيقي

3-2 الأعداد العلمية

3-3 الجذور

3-4 الأ�ش�ص الن�شـبية

3-5 اللوغاريتم

3-6 اللوغاريتمات الع�شرية

3-7 تطبيقـات


ـة تمـارين عام

118

120

131

138

157

165

179

188

196

198

الوحدة

الأولى

الوحدة

الأولــى

الدرو�س

للمعـــادلت الجبرية تطبيقـــات عملية كثيرة

تها فـــي حلول م�شـائـــل عدد من تظهـــر اأهمي

فروع المعرفة - مثـــل- القت�شاد والفيزياء

والكيمياء والزراعة والعلوم الهند�شـية. ومما

يذكر ويفتخر به اأن العالم الم�شلم محمد بن

مو�شى الخوارزمي قد تطرق الى حل معادلة

الدرجـــة الثانية فـــي كتابه ال�شهيـــر " الجبر

والمقابلة " .

Equations

)1-1( حـــــل معــــــادلة الــدرجــــــة

الثانية بطريقة اإكمال املربع .

)1-2( حل معادلةالدرجـة الثانيــة

بالقانون العام .

)1-3( حـــل نظــــام معـادلـتــــني مـــن

الدرجة الثانية فى متغريين .

المعـــادلت

الأهداف

يتوقع من الطالب بعد درا�سـة هذه الوحدة

اأن يكون قادرا على اأن :

باإكمال الثانية 1- يحل معادلة الدرجة

. ع وبالقانون العام املرب

المعادلة جذري بين العالقة يوجد -2

واحد ر متغي في الثانية الدرجة من

ومعامالتها.

الدرجة من معادلتين نظام يحل -3

الثانية في متغيرين.

معادلت على ة تطبيقي م�سـائل يحل -4

الدرجة الثانية.

4 ريا�شيات )1(

الوحدة الأولى

حل معادلة الدرجة الثانية بطريقة

ع اإكمال المرب

تها في حلـــول م�شـائل عدد من ـــة تطبيقات عملية كثيرة تظهـــر اأهمي للمعـــادلت الجبري

فروع المعرفة - مثل- القت�شاد والفيزياء والكيمياء والزراعة والعلوم الهند�شـية. وفي

ر واحد، التي ة من الدرجة الثانيـــة بمتغي هـــذه الوحدة �شـيتم عر�ص المعـــادلت الجبري

ـط. ا منها في ال�شف الثالث المتو�ش�شـبق اأن در�شـت جانبـ

1-1

المعادلة - مثال - تو�شف باأ نها معادلة من الدرجة الأولى؛ لأن اأعلى اأ�ص

ا المعادلة ر اأو ) المجهول ( هو العدد ، اأم فيها على المتغي

ى معادلة من الدرجة الثانية؛ لأن اأعلى اأ�ص فيها على هو العدد فت�شـم

ة الأمر، اإذا كان لدينا معادلة على ال�شورة التالية: وعام

حيث ،

ة اأو اإن درجة المعادلة هي العدد فاإن هذه المعادلة من الدرجة النوني

ى العدد معامل ، والعدد معامل وهكذا اإلى اأن ن�شل اإلى العدد 0 ي�شـم

، �ص0 ى الحد الثابت وهو معامل �ص0 ، حيث الذي ي�شـم

فالمعادلة - مثال- هي معادلة من الدرجة الثالثة، معامالتـها هي:

بينما المعادلة هي معادلة من الدرجة ال�شـابعة، معامالتـها هي:

،

0، ، ، ، ، ،

،،،

5ريا�شيات )1(

نرمز لكلمة يكافئ

بالرمز

ولكلمة يقت�شي

بالرمز

المعادلت من الدرجة الثانية بمتغير واحد

حل معادلة الدرجة الثانية بطريقة اإكمال المربع

وعلى �شبيل المثال، لإيجاد مجموعة حل كل من المعادلتين التاليتين في :

يمكن اإتباع الآتي:

لحـل المعادلة 1 :

) العددان 1- ، 6- مجموعهما 7- وحا�شل �شربـهما 6+ (

فتكون مجموعة الحل

اأوالتي تكافئ النظام

وذلك يقت�شي اأن

وذلك يقت�شي اأن

ر واحد في ال�شف الثالث لقد �شـبق لك اأن در�شت جانبا من حـل معادلت الدرجة الثانية بمتغي

ط بطريقة التحليل، واأنه لإيجاد مجموعة حل المعادلة ) 1-1 ( بطريقة التحليل ننتقل المتو�ش

منها اإلى معادلة مكافئة لها على ال�شورة:

12

ى هذه ق المعادلة في مجموعة الأعداد الحقيقية، وت�شـم ر نريد اإيجاد قيمته التي تحق ا فمتغي اأم

القيمة حل ) اأو جذر ( المعادلة.

حيث

معامل

اإذا مجموعة الحل هي

اإن ال�شـكل القيا�شـي العام لـهذه المعادلت هو :

) 1 – 1 (

اأو



وفي البند التالي نحـل معادلـة الدرجة الثانية بطريقـة اإكمـال المربع ومن ثـم ن�شـتنتج القـانـون

العام الذي يعطي �شيغة لحلول المعادلة ) 1 – 1 (، بدللة المعامالت

)العددان 15-،2+ مجموعهما 13- وحا�شل 6*5-= �شربـهما ي�شاوي =30-(

اأو

اإذا مجموعة الحـل

لحظ اأنه يمكننا تحليل الطرف الأيمن من

المعادلة 2 بطريقــة المقـ�ص كالتالــي :

أوجد حل كل من المعادلتين التاليتين بطريقة التحليل إن أمكن ذلك:

تدريب )1-1(

2 1

لحـل المعادلة 2

لت من التدريب ال�شابق اإلى اأ نه لي�ص من الممكن حل المعادلة 2 بطريقـــــةالتحليـــل. لعلك تو�ش


حل المعادلة من الدرجة الثانية بطريقة اإكمال المربع

مثال )2-1 (

المعادلة

اأو

فتكون مجموعة الحـل هي

مجموعة الحـل للمعادلة هي :

اأو


مثال )1-1 (

مجموعة الحـل للمعادلة : هي



22-

5

4

5

4-

66 -

المعادلة من الدرجة الثانية والمكتوبة على ال�شورة :

حيث 1

ى ا�شـتخراج الجذر. يمكن حلها بطريقة ت�شـم

�شـنعتبر مجموعة التعوي�ص هي في جميع الحالت ما لم يذكر خالف ذلك.

�شنا عن المتغير �ص في المعادلة 1 بالعدد اأو بالعدد فاإن ه اإذا عو نالحظ اأ ن

ق لأن المعادلة 1 تتحق

وعليه تكون مجموعة الحـل للمعادلة 1 هي :

ا اإذا كانت معادلة الدرجة الثانية مكتوبة على ال�شورة : اأ م

حيث

والذي مجموعة حله هي

�شنا عن المقدار بالعدد اأو بالعدد ه اإذا عو فاإ ننا نالحظ اأ ن

ق، اأي فاإن المعادلة تتحق

اأو

اأ نه يمكن ال�شـتعا�شة عن المعادلة 2 بالنظام المكافئ لـها وهو:



+ ب �ص اإلى مربع كامل : 2اإكمال العبارة �ص

عا كامال والذي يمثل ع الكامل وتحليله، وتمييز العبارة التي تمثل مرب فت فيما �شـبق اإلى المرب تعر

الطرف الأي�شـر في كل من المتطابقتين :

فمثال العبارة: مربع كامل. لمـاذا ؟

مثال )3-1 (

الحل

عا ا ثالثا ي�شـاوي مربع ن�شف اأي فت�شبح العبارة مرب ن�شيف حد

كامال كالتالي:

اأكمل العبارة ؛ لت�شبح مربعا كامـال .

عا كامال ن�شيف اإليها مربع ن�شف معامل ، اأي كي ت�شبح العبارة مرب

فنح�شل على : .

لحظ اأن

ع ن�شف معامـــل �ص ) الحد نالحـــظ دائمـــا فـــي مثل هذه الحالـــة اأن الحد الثالث ي�شـــاوي مرب

ب �ص يمكن اإ�شافة حد ثالث 2

الأو�شـــط (؛ لذا فكل عبارة من الدرجـــة الثانية على �شورة �ص+

عا كامال. لـها لت�شبح مرب

مما �شبق ن�شتنتج :


اأكمل العبارة اإلى مربع كامل.

الحل

لحظ اأن مربع ن�شف معامل

مثال )4-1(

مثال )5-1(

الحل



تدريب )2-1(




الحل

مثال )7-1 (

حل المعادلة باإكمال المربع.

) اأ�شفنا 2 اإلى الطرفين (

) ق�شـمنا الطرفين على (، لمـاذا ؟

) اأ�شفنا ، اأي للطرفين (

مثال )6-1(

اإذا للمعادلة جذران همـا : ،

الحل

حل المعادلة باإكمال المربع.

ـطنا الطرف الأي�شـر ( ) حللنا الطرف الأيمن ، وب�ش

) اأوجدنا الجذر التربيعي للطرفين (

) اأوجدنا قيمة (

) اأ�شفنا اإلى الطرفين (

) اأ�شفنا اإلى طرفي المعادلة (

وفي الأمثلة التالية نتبع طريقة اإكمال المربع لحل معادلت الدرجة الثانية في متغير واحد


ـطنا الطرف الأي�شـر ( ) حللنا الطرف الأيمن وب�ش

ا �شـبق اأن خطوات حل معادلة الدرجة الثانية في بطريقة اإكمال المربع هي: يت�شح مـم

اإ�شافة المعكو�ص الجمعي للحد الثابت لطرفي المعادلة.

ق�شـمة حدود المعادلة على معامل .

اإ�شافة مربع ن�شف معامل اإلى طرفي المعادلة.

تحليل الطرف الأيمن وتب�شـيط الطرف الأي�شـر.

ا�شـتخراج الجذر التربيعي للطرفين.

حل معادلتي الدرجة الأولى وكتابة جذري معادلة الدرجة الثانية.

)1-1(

6

5

4

3

2

1

) اأوجدنا الجذر التربيعي للطرفين (

) اأوجدنا قيمة (

اإذا للمعادلة جذران همـا :


ريا�شيات )1(


12

د الدرجة والمعامالت في كل من المعادلت الآتية: حد 1

د

وهـ

2 اأوجد مجموعة حل كل من المعادلت الآتية بطريقة التحليل:

د

وهـ

اأي من العبارات التالية مربع كامل ؟ 3

تمـاريـن ) 1-1 (


ا ثالثا لكل من العبارات التالية ؛ لت�شبح مربعا كامال : اأ�شف حد 4

د

حل المعادلت التالية في . 5

وهـ

د

حل المعادلت التالية في بطريقة اإكمال المربع .6

هـ

د


و



14

حل معادلة الدرجة الثانية بالقـانون العـــام

اإذا كانت فاإن مجموعة حل

المعادلة

2-1

نظرية )1-1(

في هي

البرهان

ن�شيف مربع ن�شف معامل اإلى الطرفين فت�شبح المعادلة :

2

3

لإيجاد مجموعة حل المعادلة حيث نتبع خطوات 1

ع : ن�شيف اإلى الطرفين فنح�شل على اإكمال المرب

ع يمكننا اإيجاد مجموعة الحل لمعادلة الدرجة الثانية با�شـتخدام طريقة اإكمال المرب

في �شورتـها القيا�شـية.

نق�شـم جميع الحدود على ) معامل ( فنح�شل على :


)2-1(

، وت�شــير اإلى اأن عدد حلــول المعـادلـة ى القـانـون العـام ال�شيغـة ) 1 – 2 ( ت�شــم

في ل يمكن اأن يزيد عن اثنين.

ز المعادلة: ى المقدار ممي ي�شـم

ونرمز له بالحرف ويمكننا كتابة القانون العام بدللة فيكون :

1

2

عا كامال فاإ نه يمكن كتابة المعادلة على ال�شورة التالية: المعادلت من الدرجة الثانية بمتغير واحد حيث اإن الطرف الأيمن اأ�شبح مرب

ناأخذ الجذر التربيعي للطرفين فنح�شل على:

) 2-1 (

فتكون مجموعة الحـل هي :

4

5

حل معادلة الدرجة الثانية بالقانون العام



16

ة لـ وذلك بمقارنة المعادلة بال�شـكل العام لـها، فيكون نوجد القيم العدد ي

ثم نح�شـب

اإذا حلول المعادلة هي :

. حل المعادلة با�شـتخدام القانون العام

الحل

مثال )8-1 (

حاول اأ ن تحل المعادلة ال�شـابقة بطريقة التحليل

، فن�شع المعادلة في �شـكلها القيا�شـي نحل المعادلة بطريقة القانون العام

وذلك باإ�شافة )-4( اإلى طرفي المعادلة لنح�شل على

اإن معامالت المعادلة هي :

حل المعادلة :

ز الممي

اإذا حلول المعادلة هي

مثال )9-1 (

الحل

اأي اأن هناك جذرين للمعادلة هما:

اأي اأن هناك جذرا واحدا فقط للمعادلة


يمكننا حل المعادلة ال�شـابقة با�شـتخدام التحليل اإلى العوامل على النحو الآتـي:

ن�شرب طرفي المعادلة بالعدد ) –1 (؛ لت�شبح

ن�شيف العدد 4 اإلى طرفي المعادلة؛ لنح�شل على

نحلل الطرف الأيمن فيكون :

ر ( للمعادلة هو عليه يوجد جذر واحد ) مكر

. اأ�شرنا في المثالين ال�شـابقين اإلى الحل بطريقة التحليل اإلى عوامل اإ�شافة اإلى طريقة القانون العام

وهــــذا يوؤكــــد اأن طريقة التحليــــل اإلى عوامل هي طريقــــة مفيدة يمكن ا�شـتخدامها فــــي حل معادلت

الدرجة الثانية متى كانت عملية التحليل اإلى العوامل اأمرا ي�شـيرا.

. حل المعادلة با�شـتخدام القانون العام

ن�شيف المقدار ) ( اإلى طرفي المعادلة وذلك لو�شعها في �شـكلها القيا�شـي

في هذه الحالة

اإذا ح�شـب القانون العام :

اإن العدد ل يمكن اأن يكون عددا حقيقيا؛ لأ نه ل يوجد عدد حقيقي مربعه عدد �شـالب.

مثال )10-1(

الحل

ن�شـتنتج من ذلك اأن العددين غير حقيقيين.

اإذا لي�ص هناك حل للمعادلة في المجموعة .




18

)3-1(

1

3

2

ز في تحديد عـــدد حلــول المعادلـــــة ية الممي م من الأمثلة يمكن اأن ن�شتنتج اأهم فيما تقد

ة على النحو التالي: في مجموعة الأعداد الحقيقي

اإذا كان فاإن للمعادلة جذرين مختلفين هما

اإذا كان فاإن للمعادلة جذرين مت�شـاويين، كل منهما ي�شـاوي

اإذا كان فاإ نه ل يوجد للمعادلة جذور في ونقول: اإن المعادلة م�شـتحيلة

الحل في .

ق اإلى وجود والجديـــر بالذكـــر اأن العالم الم�شـلـــم محمد بن مو�شـى الخوارزمي قد تطر

فه ال�شـهير ) الجبر والمقابلة(. الحالت الثالث في حل معادلة الدرجة الثانية في موؤل

مثال )11-1(

الحل

اأوجد عدد حلول المعادلت التالية في :

المعادلة مكتوبة ب�شـكلها القيا�شـي

اإذا

ا كان لذا فاإن ولـم

اإذا

ن للمعادلة في . ن�شـتنتج اأ نه يوجد حال


في هذه الحالة

ن�شـتنتج اأ نه ل يوجد حل للمعادلة في ، اأي ) عدد الحلول = �شفرا (.

نكتب المعادلة ب�شـكلها القيا�شـي فت�شبح

اإذا

عليه يوجد حل واحد للمعادلة في .

نكتب المعادلة ب�شـكلها القيا�شـي فت�شبح

لت�شـهيل الح�شـاب؛ ن�شرب طرفي المعادلة في فنح�شل على:

العالقة بين جذري المعادلة ومعامالتـها

ز . بالعودة اإلى المعادلة ) 1-1 ( وهي حيث وبفر�ص اأن الممي

نجد من الملحوظة ) 1- 3 ( اأن للمعادلة ) 1-1 ( جذرين في هما:

اجعل

ثم اح�شب �شـتجد اأن :

ح�شـب القانون العام ) 2-1 (.




20

ويمكن التعبير عن العالقتين ) -1 3 ( و ) 1– 4 ( على النحو التالي:

حا�شل �شرب الجذرينالحد الثابت

معامل

مجموع الجذرين معامل

معامل

.) 4-1 (

2

.) 3-1 (

1


بدون حل المعادلة اأوجد مجموع وحا�شل �شرب جذري المعادلة

بمقارنة المعادلة المعطاة بالمعادلة ) 1-1 ( نجد اأن

مثال )12-1(

اإذا مجموع الجذرين

حا�شل �شرب الجذرين

الحل

اإذا علم اأن جذري المعادلة هما ، فاأوجد )بدون حل المعادلة (.

جذرا المعادلة

مثال )13-1(

الحل




22

والآن اإذا ق�شمنا المعادلة ) 1-1 ( على نح�شل على المعادلة المكافئة

وبا�شـتخدام العالقتين ) 1- 3 ( ، ) 1-4 ( يمكن كتابة هذه المعادلة بال�شورة التالية:

)5–1(

لحظ اأننا بتحليل الطرف الأيمن من هذه المعادلة نح�شل على

)6 -1(

اأوجد المعادلة من الدرجة الثانية التي جذراها

نفر�ص اأن

وبالتعوي�ص في المعادلة ) 1 – 5 ( نح�شل على المعادلة

مثال )14-1(

الحل

اإذا

تدريب )4-1(

ن المعادلة من الدرجة الثانية التي جذراها كو

ـــر واحد اإذا لـــت اإلى طريقـــة تكوين معادلـــة الدرجة الثانية في متغي لعلـــك تو�ش

علم جذراها.

في المثال ال�شابق، اأوجد .

تدريب )3-1(


ومن الجدير بالذكر اأنه من المفيد للطالب التحقق من �شحة حل الم�شاألة التطبيقية، ففي المثال

ق من �شحة الحل باأن مجمـوع العدديـن ال�شابق يتم التحق

ومجموع مقلوبيهما

مثال )15-1(

ولحل المعادلة با�شـتخدام القانون العام نجد اأن

ن حقيقيان هما: اإذا للمعادلة حال

اإذا العددان هما

اأوجد العددين اللذين مجموعهما ي�شـاوي ومجموع مقلوبيهما ي�شـاوي

نفر�ص اأن اأحد العددين هو ، فيكون العدد الآخر هو ، مجموع مقلوبـي العددين بدللة

هو

اإذا

الحل


م�شائل تطبيقية



24

مثال )16-1(

الحل

عددان فرديان موجبان ومتتاليان مجموع مربعيهما 202 ، اأوجد هذين العددين.

عـه ل هو فيكون مرب نفر�ص اأن العدد الأو

عـه ويكون العدد الذي يليه هو و مرب

ولحل المعادلة بالقانون العام نقارنـها بال�شورة ) 1-1 ( فنجد اأن

فيكون العدد التالـي هو

وهو مرفو�ص. لمـاذا ؟

ل. وهو العدد الأو

. تحقق من �شحة الحل

ومنه


اإذا كانت فاأوجــــد با�شتخدام القانون العام حـل كـل من المعــادلت الآتية:

هـ

1

اإذا كان جذري المعادلة فاأوجد معادلة الدرجة الثانية في

كل من الحالت الآتيـة:

2





26

اإذا كان ل ، م جذري المعادلة فاأوجد معادلة الدرجة الثانية في

التي جذراها

اإذا كان العدد 3 اأحد جذري المعادلة فما قيمة الجذر الآخر ؟ وما قيمة ؟

عددان طبيعيان مجموعهما 20 ومجموع مربعيهما 208، فما العددان ؟

عددان حقيقيان مجموعهما 3 وناتج �شربـهما الواحـد، اأوجد هذين العددين ؟

، اح�شب طول كل من 2

مثلث قائم الزاوية الفرق بين طولـي �شلعيه القائمين 11 �شم وم�شـاحته 30 �شم

�شلعيه القائمين .

،2

عتا ال�شكل طول �شلع اإحداهما ن�شف طول �شلع الأخرى، والفرق بين م�شاحتيهما 75م قطعتا اأر�ص مرب

اح�شب طول �شلع كل منهما ؟

3

4

5

6

7

8


حـل نظام معادلتين من الدرجة الثانية في متغيرين 3-1

ـــة ) معادلة الدرجـــة الأولى في ـيـطة درا�شــــة المعادلة الخط �شبـــق لـــك في المرحلـــة المتو�ش

متغيرين ( على ال�شورة حيث

ـــة، واأحـــد المعامليـــن ل ي�شــــاوي ال�شفـــر، واأن مجموعـــة الحل لـهذه اأعـــداد حقيقي

د عددها تبعا لمجموعة التعوي�ص لكل ن مـــن اأزواج مرتبة ) ( يتحد المعادلـــة تتكـــو

تين معا اأي : الأزواج التي ـين مـــن معادلتين خط مـــن . وكذلـــك حـــل النظام المكو

ق المعادلة الأولى والمعادلة الثانية في اآن معا. وفي هذا البند نتعرف اإلى معادلة الدرجة تحق

ة هـي : رين والتي �شورتـهــا العام الثانية في متغي

) 7 – 1 (

حيث

ومن اأمثلة ذلك ما يلي:

ــا من اأزواج ن اأي�ش ريـــن تتكــو اإن مجموعة الحل لمعادلة الدرجـــة الثانيـــة في متغي

) ( حيـــــث كل مـــن تنتمـــي اإلـــى مجموعــــة التعوي�ص. قد تكون مجموعـــة

نة من الحـــل خاليـــة مثــــل مجموعــــــة حـــل المعادلـــــــة وقد تكون مكو

ن حلها من الزوج الوحيد ) 0 ، 0 ( زوج وحيد مثل المعادلة والتي يتكو

ة والأخرى من الدرجــة ـينة من معادلتين اإحداهـما خط ونحن ب�شدد درا�شـــة الأنظمــة المكو

حل نظام معادلتين من الدرجة الثانية في متغيرين



28

ـية واأخرى من الدرجة الثانية ن من معادلة خط ل - النظام المكو اأو

اأوجد مجموعة حل النظام

حة في الخطوات التالية: يمكن حل مثل هذا النظام بطريقة التعوي�ص المو�ش

رين وليكن �ص بدللة الآخر وهو �ص : ـية وهي الأولى؛ للتعبير عن اأحد المتغي1( ن�شـتخدم المعادلة الخط

�ص = �ص - 1

لنا اإليها في الخطوة الأولى، فنح�شل على �ص عن �ص في المعادلة الثانية بقيمتها التي تو�ش 2( نعو

معادلة من الدرجة الثانية في �ص فقط :

ر واحد، ولتكن 3( نوجد حل المعادلة الأخيرة باإحدى طرق حل معادلة الدرجة الثانية في متغي

بالتحليل فنجد اأن

4( واأخيرا نح�شل على قيم �ص المناظرة بالتعوي�ص في المعادلة الخطية :

وبذلك تكون مجموعة الحل هي

اأعد حل النظام ال�شابق بالتعوي�ص عن بدللة .

مثال )17-1(

، وهي التخل�ص من اأحد ـي ريـن، والتي ل تختلف طريقة حلها عن طريقة حل النظام الخط الثانيــة في متغي

ر واحد تكون قابلـــة للحل ، ثم نح�شل ريـــن بالو�شـيلـــة المنا�شـبـــة؛ للح�شول على معادلة فـــي متغي المتغي

تيـــن. ـــر الآخـــر بالتعوي�ـــص فـــي اإحـــدى المعادلتيـــن الأ�شلي علـــى قيـــم المتغي

الحل


مثال )19-1(

الحل

اأوجـد مجموعة حل النظام

وبالتعوي�ص عن قيمة في المعادلة نح�شل على :

اإذا النظام م�شـتحيل الحل ومجموعة الحل

مثال )18-1(

الحل


ة اأن : ـيينتج من المعادلة الخط

اإذا مجموعة الحل هي

ع الكامل ( ) بتحليل المرب

بالتعوي�ص عن قيمة في المعادلة

) بالتعوي�ص عن في المعادلة ( اإذا




30

ن من معادلتين، كل منهما من الدرجة الثانية ثانيا - النظام المكو


مثال )20-1(

ل - بطرح المعادلة من المعادلة نح�شل على معادلة من الدرجة الأولى – اأو

اإذا

) بالتحليل (

�ص في المعادلة وللح�شول على قيم نعو

وبذلك تكون مجموعة الحل هي

الحل

نين من المعادلتين و اأو ن من المعادلتين و يكافئ اأ يا من النظامين المكو النظام المكو

ـــن معادلة من الدرجة الأولى فيكـــون حلهما اأ�شهل من و . وبمـــا اأن كال مـــن النظاميـــن الأخيريـــن يت�شم

ن من حـــل النظام المعطى، ويكفي حـــل واحد من هذه الأنظمة؛ لأ نها متكافئة. لذلـــك �شـنختار النظام المكو

المعادلتين و وتكون خطوات الحل كما يلي:

نبداأ بحذف اأحد المتغيرين، ولذا نكتب المعادلة على ال�شورة

وبالتعوي�ص من المعادلة في المعادلة ينتج اأن


ومحيطه 20 �شم.2اأوجـد اأبعاد الم�شـتطيل الذي م�شـاحته 24 �شم

نفر�ص اأن بعدي الم�شـتطيل هما : �ص ، �ص

ـية.ن من معادلة من الدرجة الثانية واأخرى خط وهو نظام مكو

فيكون لدينا:

فيكون بعدا الم�شـتطيل هـما 6 �شم و 4 �شم .

مثال )21-1(

الحل

. تحقق من �شحة الحل



) بتطبيق القانون العام (

ة بعد الق�شـمة على 2 ( ـي) من المعادلة الخط

) بالتعوي�ص في (



32

الحل

ما هي اأبعاد ال�سفيحة الم�سـتطيلة الالزمة لتكوين �سندوق

عـات المبينة من اأركـان ال�سفيحة مفتوح بعد اقتطاع المرب

كمــا فــي ال�ســـكل ) 1-1 ( . علمــا بــاأن م�سـاحــة ال�سفيحة

عات المقتطعة وطول �سلع كل من المرب2الأ�سلية 540 �سم

. 35 �سم وحجم ال�سندوق 850 �سم

) ب�شرب طرفي المعادلة في (

10

-

10 -

ن من المعادلتين و والآن نوجد و بحل النظام المكو

) بالتعوي�ص في (

) من لأن (

عر�ص ال�شفيحة الأ�شلية

فتكون م�شـاحتها 540

وا�شح من ال�شـكل ) 1-1 ( وال�شـكل ) 2-1 (

اأن ال�شندوق المفتوح من اأعلى الذي نح�شل عليه بعد اقتطاع

الأركان وثنـي الأطراف له الأبعاد التالية:

طول ال�شندوق عر�ص ال�شندوق

ارتفاع ال�شندوق

فيكون حجم ال�شندوق

)بالق�شـمة على 5 (

) بالق�شـمة على10(

�شـكل ) 2-1 (

) با�شـتخدام القانون العام (

نفر�ص اأن طول ال�شفيحة الأ�شلية،

�شـكل ) 1-1 (

مثال )22-1(


الحل

اأ�شـنـــد �شـلمـــان طـــول اأحدهمـــا 20 م، والآخر طوله 15 م على حائط بحيث و�شـــال اإلى الرتفاع نف�شـه.

فـــاإذا كانـــت الم�شـافة بين الطرف الأ�شـفل لـــكل �شـلم والحائط تختلف بمقدار 7 م، فما الرتفاع الذي

و�شل اإليه ال�شـلمان ؟

نفر�ص اأن ال�شـلم الطويل، ال�شـلم الق�شير كما في ال�شـكل ) 3-1 (

لنفر�ص اأن الرتفاع الذي و�شل اإليه ال�شـلمان

ن مـــن معادلتين من الدرجة الثانية، �شـنتخل�ص من بطرح المعادلـــة وهـــو نظـــام مكو

بتطبيق نظرية فيثاغورث على المثلثين القائمين

نح�شل على :

من المعادلـــة

مثال )23-1(

ن�شـتنتج اأن طول ال�شفيحة =27 �شم وعر�شها =20 �شم

) بالتعوي�ص في المعادلة ( عندما

عندما

�شـكل )3-1 (




34

وحيث اإن الرتفاع ل يمكن اأن يكون عددا �شـالبا فاإن الرتفاع المطلوب ي�شـاوي 12 م.

وبالتعوي�ص في المعادلة عن قيمة نح�شل على


اأوجد مجموعة الحل لكل من الأنظمة التالية :1

هـ





36

2

3

5

ومحيطه 40 م . 2اأوجد اأبعاد الم�شـتطيل الذي م�شـاحته 64 م

حو�شان لالأزهار مربعا ال�شـكل، الفرق بين بعديهما 3 م ومجموع م�شـاحتيهما 89 م2، فما بعد كل

من هذين الحو�شين ؟

اأوجد العددين اللذين حا�شل �شربـهما ي�شـاوي 3 ومجموع مقلوبيهما

دائرة طول ن�شف قطرها ، ومربع طول �شلعه ، فاإذا كان مجموع محيطيهما 72 �شم، ومجموع

م�شاحتيهما 203 �شم2 . اأوجد كال من ، ) علما باأن ( .

4

.


ا�شتخدام الحا�شب الآلي لحل المعادلت

�شريط القوائم

�شريط الإر�شادات

اإدخـــــــــال �شريــــــط

التعبيـــرات الجبرية

الإدخــال( )�شريـط

الرمـــــــوز �شريـــــــــط

�شريط و الريا�شيـــة

الإغريقيـــة الرمـــــوز

يوجد العديد من البرامج الحا�شوبية الم�شاعدة في تعليم وتعلم الريا�شيات ، وغالبية هذه البرامج

باللغـــة النجليزيـــة اإل اأنه يمكن التعامل معها ب�شهولة ، ومن هـــذه البرامج Derive 6 وهو برنامج

م�شمـــم لإجراء جميع العمليات الريا�شية، ويتعامل مع المتغيـــرات والتعابير الريا�شية ، فالم�شائل في

الجبـــر والهند�شـــة وغيرها من علوم الريا�شيات يمكن حلهـــا با�شتخدام Derive 6 بعد تثبيته في

جهاز الحا�شب .

عنـــد فتـــح هذا البرنامج والذي يوجد رمـــز اخت�شاره غالبا على �شطح المكتب بال�شورة تظهر

نافذة البرنامج على ال�شكل التالي :

أنشطة إثرائية

�شريط العنوانلوحة العر�ص الجبري�شريط اأدوات الأوامر



38

ل- ا�شتخدام البرنامج في حل معادلة الدرجة الثانية في متغير واحد اأو

وفيما يلي نو�شح طريقة ا�شتخدام هذا البرنامج في اإيجاد حل معادلة الدرجة الثانية في متغير واحد ومن ثم في حل

نظام معادلتين من الدرجة الثانية في متغيرين وذلك في مجموعة الأعداد الحقيقية .

ل�شتخدام هذا البرنامج في حل معادلة الدرجة الثانية يمكننا لل�شهولة اإخفاء بع�ص الأ�شرطة التي ل حاجة لنا

بها في حـل المعادلـة ومن ذلك:�شريـط اأدوات الأوامـر و�شريـط الرمـوز الإغريقيــة،ويتم ذلك باإلغــاء عالمــة من

قائمة اإظهار الأ�شرطة )وذلك بالنقر عليها( فت�شبح هذه القائمة على ال�شورة المو�شحة في ال�شكل التالي:

ونالحظ اأنه اإذا قمنا بالنقر على الزر الأيمن في اأي مكان عند �شريط القوائم اأو �شريط الأوامر تظهر قائمة

اإظهار الأ�شرطة

حة في ال�شكل التالي: وقد و�شعت عالمة على ي�شار بع�ص الم�شميات المو�ش


ط لنافذة البرنامج : وبذلك نح�شل على �شكل مب�ش

والمثال التالي يو�شح كيفية ا�شتخدام البرنامج لحل معادلة الدرجة الثانية :

مثال

الحــل

اأوجد في مجموعة الأعداد الحقيقية حل المعادلة :

ن�شتح�شر الموؤ�شر عند �شريط الإدخال ونقوم باإدخال المعادلة م�شتخدمين الرموز )8،/، (

من �شريط الرموز الريا�شية اأو من لوحة المفاتيح )باعتبار اأن 2 =2 ( فنح�شل على ال�شكل التالي:

1

ي�شتخدم لإلغاء

المدخالت عند

وجود خطاأ .

1

2



40

نقوم بالنقر على مفتاح الإدخال Enter من لوحة المفاتيح اأو بالنقر على الزر الموجود ي�شار

�شريط الإدخال، فنح�شل على ال�شكل التالي :

لحظ ظهور كلمة User على �شريط الإر�شادات وتعني قيد ال�شتخدام .

نقوم بالنقر على اأيقونة احلل )يف �شريط القوائم( اخلا�شة باإيجاد حل املعادلت

التعبري ويعني Expression الأول اخليار عند املوؤ�شر ن�شع خياران فيها فتظهرقائمة

اجلربي - كما يف ال�شكل التايل:

Solve 3

2

لحظ ظهور عبارة Solve highlighted expression على �شريط الإر�شادات و

التي تعني طلب حل التعبير الم�شاء .


Solve Expression ننقر حيث و�شعنا الموؤ�شر فيظهر مربع الحوار

)وذلك بعد اختيار مجال الحل Real الذي يعني مجموعة الأعداد الحقيقية (

4

ننقر على زر الحـل Solve في مربع الحـوار ال�شـابق فنح�شـل على الحـل المو�شح في ال�شكـل التالي :5

لحظ ظهور العبارة

وكذلك رمز ال�شاعة على �شريط الإر�شادات وتعني اأنه قد تم الحل .

Simp )Solve #1،x((

لحظ اأن للمعادلة ال�شابقة حال وحيدا وهذا يتفق مع ما راأيناه في مثال )11-1(

تدريب

ا�شتخدم الحا�شب الآلي لإيجاد حل كل من المعادلت الآتية في :

1

2

وردت في مثال )8-1(

وردت في مثال )7-1( 3



42

ثانيا- ا�شتخدام البرنامج في حل نظام معادلتين من الدرجة الثانية في متغيرين

Derive 6 في حل نظام معادلتين من الدرجة الثانية في متغيرين يمكننا لل�شهولة ل�شتخدام برنامج

اإخفاء جميع الأ�شرطة من قائمة اإظهار الأ�شرطة ، كما هو مو�شح في ال�شكل التالي:

فنح�شل بذلك على اأب�شط �شورة لنافذة البرنامج :


والمثال التالي يو�شح كيفية ا�شتخدام البرنامج لحل نظام معادلتين من الدرجة الثانية في متغيرين :

الحــل

ا�شتخدم الحا�شب الآلي لحل النظام :

ننقر على اأيقونة الحل في �شريط الأدوات فتظهر قائمة فيها خياران،ن�شع الموؤ�شر

عند الخيار الثاني System كما في ال�شكل التالي:

1Solve

مثال

ننقر حيث و�شعنا الموؤ�شر فيظهر مربع حوار عنوانه Solve System Setup والذي نحدد به عدد

المعادلت في النظام وال�شكل التالي يو�شح ذلك )لحظ اأن العدد المفتر�ص للمعادلت عليه هو 2 (

2

لحظ:ظهور عبارة Solve system of equations في �شريط الإر�شادات وتعني حل نظام معادلت



44

ندخل المعادلة الأولى في ال�شف الأول ثم ننتقل اإلى ال�شف الثاني با�شتخدام مفتاح الجدولة Tab وندخل

المعادلة الثانية كما في ال�شكل التالي:

4

Solve 2 في مربع الحوار ال�شابق فنح�شل على مربع حوار اآخر عنوانه OK ننقر على زر موافق

كما في ال�شكل التالي : equations3


ننقر على زر Solve في مربع الحوار ال�شابق فنح�شل على حل النظام كما هو مو�شح في ال�شكل التالي: 5

لحظ اأن الرمـز

يدل هنا على حرف

العـطــف و ، بينــمـا

يدل الرمز علــى

حـرف العـطـف اأو

تدريب

1

2

3

ا�شتخدم الحا�شب الآلي في اإيجاد حل كل من الأنظمة التالية:

مثال )20-1(

مثال )19-1(



46

ة حيث ر واحد والتي �شورتـها العام معادلة الدرجة الثانية في متغي

لـها ثالث طرق للحل وهي:

1

ر واحد تتكون من عن�شرين على الأكثر . مجموعة حل معادلة الدرجة الثانية في متغي 2

ر واحد ومعامالتـها، وكتابة المعادلة اأمكن اإيجاد العالقة بين جذري المعادلة من الدرجة الثانية في متغي

بال�شورة حيث هـما جذرا المعادلة.

3

الطريقة الأولى : التحليل اإلى العوامل

ـطة، وقمنا بالتذكير بـها ل�شـهولة ا�شـتخدامها اإن كـــــان و قد �شـبق درا�شـة هذه الطريقة في المرحلة المتو�ش

التحليـــــــــل ممكنا ي�شـيرا.

الطريقة الثانية : اإكمــال المربــع

وهو :الطريقة الثالثة : القانــون العـــام

عدد تحديد في اأهمية له ز، الممي ى ي�شـم والــذي جـ ب2–4 المقدار اأن اإلــى لنا تو�ش القانون هذا ومن

�ص ذلك في الجدول التالي: عنا�شرمجموعة حل المعادلة ويتلخ

2

1

�شفر

�شفر

�شالب

موجب

عدد عنا�شر مجموعة حل المعادلة


ة لمعادلة الدرجة الثانية في متغيرين هي : ال�شورة العام

6

منا اأن�شطة اإثرائية في حل المعادلت با�شتخدام الحا�شب الآلي. قد 7

ة التي تـوؤول اإلى معادلة من الدرجة ا�شـتخدمنا المعادلت لحل م�شـائل تطبيقية من الحياة اليومي

ر واحد اأو اإلى نظام من معادلتين من الدرجة الثانية في متغيرين. الثانية في متغي

ـية، والأخرى من 5رين اإحداهما خط ن من معادلتين في متغي عة لحل نظام مكو منا اأمثلة متنو قد

ن من معادلتين من الدرجة الثانية في متغيرين. الدرجة الثانية وكذلك لحل نظام مكو

ل، والذي يعتمد واعتمدنا لحل النوع الأخير منهما على تحويله اإلى نظام مكافـئ من النوع الأو

معادلة في ـية الخط المعادلة من الآخر بدللة رين المتغي اأحد قيمة عن التعوي�ص على ه حلـ

ر واحد، اأو على التعوي�ص عن الدرجة الثانية؛ للح�شول على معادلة من الدرجة الثانية في متغي

رين من اإحدى معادلتـي الدرجة الثانية في المعادلة الأخرى مبا�شـرة اإن اأمكن قيمة اأحد المتغي

ذلك.

4

حيث


ريا�شيات )1(48

اختر الإجابة ال�شحيحة فيما يلي:

مجموعة حل المعادلة هي :

المعادلة

ة . لـها جذران حقيقيان مت�شاويان لـها جذران حقيقيان مختلفان لي�ص لـها جذور حقيقي

مجموعة حل المعادلة هي :

1

المعادلة التي لـها جذران مت�شـاويان هي : د

مجموعة حل المعادلة هي : هـ

تمـاريـن عامة


مجموعة حل المعادلة هي :و

ا عندما فاإن ت�شـاوي : اإذا كانت عندما واأي�ش

ح اإذا كان جذرا للمعادلة فاإن ت�شـاوي :

ز

اأوجد قيمة التي تجعل للمعادلة: جذرين حقيقيين

مت�شاويين.

2

ز للمعادلة ي�شاوي فاأوجد: اإذا كان الممي

قيمة مجموعة حل المعادلة.

اإذا كان للمعادلة جذران حقيقيان مختلفان، فاأثبت اأن

3

4.

ق من �شحة الحل با�شتخدام الحا�شب الآلي: اأوجد مجموعة الحل لما ياأتي وتحق

د

وهـ

5



اأوجد اأبعاد الم�شـتطيل الذي محيطه 14 �شم، وطول قطره ي�شـاوي 5 �شم . 8

عـا ال�شـكل، الفرق بين بعديهما 7 م ومجموع م�شـاحتيهما 137م2 فما بعد كل حو�شان في حديقة منـزل مرب

حو�ص من الأحوا�ص ؟

9

ق من �شحة الحل با�شتخدام الحا�شب الآلي : اأوجد مجموعة الحل لكل من الأنظمة الآتية وتحق 7

رة بالمتر ابتداء من نقطة القذف في زمن ا اإلى اأعلى فاإذا كانت الم�شـافة التي قطعتها الكرة مقد قذفت كرة راأ�شـي

ن ثانية تعطى بالعالقة

اأوجد الزمن الذي ت�شـتغرقه الكرة حتى ت�شل اإلى ارتفاع 25 متر من نقطة القذف.

10

اإذا كان ل ، م جذري المعادلة فاأوجد ) بدون حل المعادلة ( القيم التالية: 6

د

هـ


لدينا قطعة اأر�ص م�شتطيلة ال�شكل م�شاحتها 1800 م2، نريد اأن نق�شمها اإلى ثالث قطع مت�شاوية، كمــا فــي

ر كل قطعة، فاإذا كان الطول الإجمالي لل�شـور هو 240 م، فما اأبعاد قطعة الأر�ص ال�شكـــل ) 1-4 (، ثم ن�شو

الأ�شلية ؟

11

ي عمريهما على ينق�ص �شعف عمر تركي عن ثالثة اأمثال عمر ثامر بمقدار 4 �شنوات ويزيد مجموع مربع

�شعف حا�شل �شرب عمريهما بمقدار 4 �شنوات. فما عمر كل منهما ؟

12

) �شكل 4-1(

الوحدة

الثانية

الدرو�س

)2-1( ف�شاء العينة والحوادث

)2-2( نظريات الحتمال

الوحدة

الأولى

الوحدة

الأولــى

الدرو�س

لقد اأبـــدع علماء العـــرب والم�شلمين في

علـــم ح�شـــاب المثلثـــات، فاإليهـــم يرجع

الف�شـــل لمعرفـــة العالقات بيـــن الجيب

والمما�ـــص والقاطـــع ونظائرهـــا وغيرها

التـــي نراهـــا يوميـــا فـــي كتـــب مدار�شنا

وجامعاتنا ، على خالف ما يعتقده البع�ص

اأنهـــا من ابتكار علماء الغرب . ويعد علم

ح�شـــاب المثلثات مـــن اأهم العلـــوم التي

اأثـــرت فـــي الكت�شافـــات والختراعـــات

العلمية فهو من الو�شائل الهامة لتب�شيط

الكثير من البحوث الطبيعية والهند�شية

وال�شناعية .

مو�شوعة نوابغ العرب والم�شلمين في العلوم الريا�شية - علي عبداهلل الدفاع .

الوحدة

الثانـيـة

)2-3( الن�سب املثلثية والآلت احلا�سبة

)2-4( حل املثلث القائم الزاوية

)2-5( القيا�س الدائري للزوايا

)2-2( العالقات بني الن�سب املثلثية الأ�سا�سية

ة )2-1( الن�سب املثلثية لزاوية حاد

ح�سـاب المثلثات

Trigonometry

الحتمال ونظريات م�شلمات ف يوظ

لإيجاد احتمالت وقوع حوادث معينة.

5-

يتوقع من الطالب بعد درا�شـة هذه

الوحدة اأن يكون قادرا على اأن :

يوجد احتمـــالت وقوع حوادث ب�شيطة

بة. واأخرى مرك

4-

يجري بع�ص العمليات على الحوادث. 3-

لتجربـــة العينـــي الف�شـــاء يكتـــب

ع�شوائية.

2-

الع�شوائيـــة التجربـــة مفهـــوم ـــر يف�ش

وف�شاء العينة والحادثة.

1-

يحل م�شائل تطبيقية على الحتمال. 6-

اأن الوحدة هذه درا�سـة بعد الطالب من يتوقع

يكون قادرا على اأن :

ن�شاأة يف امل�شلمني لعلماء التاأريخي الدور يبني -1

ره. علم املثلثات وتطو

2- يح�شب الن�شب املثلثية الأ�شا�شية للزوايا احلادة.

املثلثية الن�شب بني العالقات بع�ص ي�شتنتج -3

الأ�شا�شية للزوايا احلادة.

ة اإذا علمت اإحدى 4- يوجد الن�شب املثلثية لزاوية حاد

هذه الن�شب.

ة 5- يوجد قيم الن�شب املثلثية للزوايا اخلا�ش

.) °60 ، °45 ، ° 30(

والعك�ص ة حاد لزاوية املثلثية الن�شب يوجد -6

با�شتخدام الآلة احلا�شبة.

7- يحل املثلث القائم الزاوية.

ن زوايا الرتفاع والنخفا�ص. 8- يحل م�شائل تت�شم

اإىل تقدير الدائري بالتقدير زاوية ل قيا�ص 9-يحو

�شتيني والعك�ص.

10- يوجد طول قو�ص من دائرة.

11- يوجد م�شاحة قطاع دائري.

الأهداف

5454

الوحدة الثانية


كان لح�شــــاب المثلثـــات اأثر كبير فـــي الح�شارة الفرعونية عند بناء الأهرامـــات الثالثة، كما كان له

تاأثيـــر كبيـــر على مالحظاتـهم الفلكية في ذلك الوقت. وكان للبابلييـــن اهتمام كبير بالفلك وبالتالي

ين ح�شــــاب المثلثـــات. ولقد اعتمـــد الإغريق على كثير مـــن المعلومات التي و�شلت اإليهـــم من البابلي

ى بالمقيا�ص ال�شم�شـي وذلك �شـنة األف ة اأو ما ي�شـم روا ال�شـاعة ال�شم�شـي ين وذلك عندما طو والم�شري

وخم�شـمائة قبل الميالد.

ف ح�شـاب المثلثات على اأ نه ) قيا�ص المثلث (، علما باأ نه قديم قدم حاجة الإن�شـان ومعرفته يعر

بالفلك والهند�شة. وبما اأن قيا�ص المثلث مفهوم يدخل تحت الـهند�شة وتطبق مفهوماته في الفلك،

فاإن ح�شـاب المثلثات يتبع الـهند�شة والفلك ح�شـب ال�شـتخدام والحاجة حتى تم ف�شله كعلم م�شـتقل

. بف�شل علماء الم�شـلمين خالل نـه�شة الح�شارة الإ�شـالمية وذلك في القرن الثالث الـهجري

كان اهتمام العلماء الم�شـلمين بح�شـاب المثلثات كمن �شـبقوهم مرتبطا بالجانب التطبيقي له والمتعلق

روا المعارف موا وطو وا اهتماما كبيرا بـهذا العلم حتى اأنهم نظ بعلم الفلك؛ لذا نجد اأ نهم قد اهتم

نه يقوم الأن�شــاب وذلك لأ علــم واأ�شـموه الفلك المتعلقة به حتى جعلوا منه علما م�شـتقال عن علم

ى الن�شـب المثلثية، وقد زادوا على على الن�شـب المختلفة النا�شـئة بين اأ�شالع المثلث وهي ما ت�شـم

الن�شـبتين جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية ظل الزاوية، وو�شعوا لـهذه الن�شـب جداول ل تزال ت�شـتعمل

روا كثيرا نوا من اإدخال علم الجبر عليه بالطريقة النظرية وطو حتى الآن مع تعديالت قليلة. كما تمك

من المتطابقات المثلثية.

د بن جابر بن م ح�شـاب المثلثات محم ومن اأبرز العلماء الم�شـلمين الذين كان لـهم اأثر كبير في تقد

البتـاني ) -235 317 ه (، ومحمد بن اإ�شـماعيل بن العبا�ص اأبو الوفاء البوزجاني

�شـنان اأبو عبداهلل

) -328 388ه(.

ـاني اكت�شـافه قاعدة اإيجاد ارتفاع ال�شـم�ص. ويعد البوزجاني ومن اأهم المنجزات التي قام بـها البت

العالم الم�شـلم الذي جعل علم ح�شـاب المثلثات ياأخذ �شفة العلم الم�شــتقل عن علم الفلك.

ل من اأظهر ح�شـاب المثلثات كعلم م�شـتقل في كما يعد ن�شير الدين الطو�شـي ) 597 - 672 ه ( اأو

كتابه ) اأ�شـكال القطاعات (.

اإبراهيم اأ�شـهرهم الم�شـرق برز علماء م�شـلمون في الأندل�ص؛ من العلمية في النه�شة اإنجاز ومع

ا�ص المعروف باأبي اإ�شحاق الذي اأوجد مجموعة من الجداول الريا�شية، وجابر بن ابن يحيى النق

ا�ص المعروف بعب

فالح. قام كل منهما بح�شـاب جداول الجيب وجيب التمام، وقام اأحمد بن عبد اهلل

. ل جدول للظل الحا�شـب بح�شـاب اأو

وتمر في حياتنا اليومية كثير من الم�شـائل والتطبيقات كح�شـاب الم�شـافات بين الأمكنة، وارتفاعات

الأبراج والعمارات والأعمدة، ولتنمية القدرات على حل مثل هذه الم�شـائل والتطبيقات؛ �شـنتناول

ة للزوايا. درا�شـة الن�شـب المثلثي



ــة لزاويـة حــادة الـنـ�شــب المثلثي

الن�شـب المثلثية لزاويـة حــادة 1-2

اأكمل الفراغ : في ال�شكل ) 1-2 (

ة في زاوية حاد

ويكون .................. ال�شلع المقابل

للزاوية ، ال�شلع

.................. لـها.

تدريب )1-2(

د كال من ال�شلع المقابل وال�شلع المجاور للزاوية الم�شار اإليها في كل مثلث قائم في ال�شكل ) 2-2 ( حد

�شـكل ) 2-2 (

�شـكل ) 1-2 (

لبقا

مال

المجاور

وترال

ي الن�شـبة بين طولي �شلعين من اأ�شالع ن�شـبة مثلثية. وعليه فاإن هناك �شـت ن�شـب ن�شـم

ة لقيا�ص الزاوية- ولكل ن�شـبة ة للزاوية الن�شـبـــة المثلثي ة- يق�شد بالن�شـبة المثلثي ـــة لكل زاوية حاد مثلثي

. من هذه الن�شـب ا�شـم خا�ص ورمز خا�ص

ة الأ�شـا�شية. و�شـندر�ص في هذا الكتاب ثالثا من هذه الن�شـب تعرف بالن�شـب المثلثي

ة هي زاوية قيا�شـهـــا اأكبر من 0° واأ�شغر من مـــن المعلـــوم اأن الزاوية الحاد

90° وعلى ال�شـكل ) 1-2 (

ة فـــي المثلـــث القائـــم الزاوية فـــي ب والذي وتره زاويـــة حـــاد

اوية ، ي ال�شلع المقابل للز ال�شلع المجاور لـها.ن�شـم

5656



اوية في مثلث قائم الزاوية طول ال�شلع المقابل للز

طول الوتر في هذا المثلث

ة الن�شـب المثلثية الأ�شا�شـية للزاوية الحاد

1- جيب زاوية حادة

في ال�شـكل ) 3-2 (

ة م�شـتركة بيـــن المثلثات القائمة: زاويـــة حاد

ل حـــظ اأن هذه المثلثـــات مت�شابـهـــة ) لماذا ؟ (

واأن ت�شـابه�شـكل ) 3-2 (

لماذا ؟ومنه

كما اأن ت�شـابه

لماذا ؟

: من ، ينتج اأن

اأي اأن هذه الن�شـب ثابتة ل تتغير بتغير النقطة على

اأي اأن : ن�شـبة ثابتة

ي هذه الن�شـبة جيب الزاوية ونرمز ة في مثلث قائم الزاوية. ن�شـم واأن هذه الن�شـبة مرتبطة بالزاوية الحاد

لـها بالرمز

تعريف ) 2- 1(

طول ال�شلع المقابل للزاوية في مثلث قائم الزاوية


جيب الزاوية

ومنه



اخت�شارا نكتب : المقابل

الوتر

�شـكل ) 4-2 (

8 �شم

10 �شم

م�ش

6

مثال )1-2(

مثلث قائم الزاوية كما في ال�شـكل ) 4-2 (

المقابل

الوتر

المقابل

الوتر

مثال )2-2(

مثلث قائم الزاوية في فيه �شم ، �شم . اح�شـب كال

من ، .

12 �شم

م�ش

5

�شـكل ) 5-2 (

: من ال�شـكل ) 2-5 ( نجد اأن

المقابل

الوتر

ة فيثاغور�ص ق نظري لإيجاد نطب

المقابل

الوتر

الحل

5858



ة 2- جيب تمام زاوية حاد

: بالعودة اإلى �شـكل ) 2-3 ( نجد اأن

ت�شـابه

ومنه

واأن ت�شـابه

: من ، ينتج اأن

ومنه


طول ال�شلع المجاور للزاوية في مثلث قائم الزاوية


اأي اأن : ن�شـبة ثابتة

تعريف ) 2- 2(

واخت�شارا نكتب :المجاور

الوتر

اوية في مثلث قائم الزاوية طول ال�شلع المجاور للز


جيب تمام الزاوية

ي هذه الن�شـبة جيب تمام الزاوية ة في مثلث قائم الزاوية. ن�شـم واأن هذه الن�شـبة مرتبطة بالزاوية الحاد

ونرمز لـها بالرمز جتا



مثال )3-2(

: بالرجوع اإلى المثال ) 2-1 ( نجد اأن

المجاور

الوتر

المجاور

الوتر

مثال )4-2(

الحل

�شـكل ) 6-2(

17 �شم

م�ش

8

مثلث قائم الزاوية في ب فيه �شم ، �شم. اح�شب

من ال�شـكل ) 2-6 ( نجد اأن :

المجاور

الوتر

المجاور

الوتر

ة فيثاغور�ص ق نظري ولإيجاد نطب

�شم2

اإذا

�شم

6060



23 1

تدريب )2-2(

في المثال ال�شابق، اأوجد ما يلي:

قارن بين الناتجين في 2 ، 3 .

ة 3- ظــل زاوية حــاد

: ة اأخرى، نجد كذلك اأن بالعودة اإلى �شـكل ) 2-3 ( مر

) اأثبت ذلك (


ي هذه الن�شـبة ظل الزاوية ونرمز ة في مثلث قائم الزاوية. ن�شـم واأن هذه الن�شـبة مرتبطة بالزاوية الحاد

لـها بالرمز

اأي اأن : = ن�شـبة ثابتة

تعريف ) 2- 3(

ظل الزاوية طول ال�شلع المقابل للزاوية في مثلث قائم الزاوية

طول ال�شلع المجاور للزاوية في هذا المثلث

واخت�شارا نكتب :

المقابل

المجاور

طول ال�شلع المقابل للزاوية في مثلث قائم الزاوية

طول ال�شلع المجاور للزاوية في هذا المثلث



مثال )5-2(

في ال�شـكل ) 2-7 (، ب جـ د مثلث قائم الزاوية في حيث

�شم فيكون :�شم�شم

المقابل

المجاور

5 �شم

م�ش

7

مثال )6-2(

الحل

في ال�شـكل ) 2-8 (، مثلث قائم الزاوية في فيه :

�شم �شم ،

اأوجد ،

المقابل

المجاور

ة فيثاغور�ص ق نظري ولإيجاد نطب

�شم

اإذا

المقابل

المجاور

�شـكل ) 8-2 (

�شـكل ) 7-2 (

م�ش

6

�شم

6262



مثال )7-2(

الحل

خذت نقطة على الدائرة بحيث دائرة طول ن�شف قطرها �شم، ر�شـم فيها القطر واأ

�شم. اأوجد .

ة فيثاغور�ص يكون: بتطبيق نظري

�شـكل ) 9-2(

بما اأن قطر اإذا ) زاوية محيطية مر�شـومة على قطر دائرة ( كما في ال�شـكل ) 9-2 (

�شم

15 �شم

17 �شم

اإذا

المجاور

الوتر

المقابل

المجاور

المجاور

الوتر

المقابل

الوتر

1اأن : لحظ

2



مثال )8-2(

الحل

ة اإذا علمت اإحداها اإيجاد الن�شـب المثلثية لزاوية حاد

ة فاإ نه يمكننا اإيجاد باقي الن�شـب المثلثية للزاوية وذلك بر�شـم اإذا علمت اإحدى الن�شـب المثلثية لزاوية حاد

المعلومة م�شـاويان ة المثلثي بالن�شـبة المتعلقين وطـول �شلعيه تيـن هـي اإحدى زاويتيـه الحاد الزاوية مثلث قائم

باقي ثم ومن المثلث في المجهول ال�شلع نوجد طول فيثاغور�ص ة نظري با�شـتخدام ثم لـهما، المناظرين يها لحد

ة لـهذه الزاوية. الن�شـب المثلثي

ة ة. فاأوجد باقي الن�شـب المثلثي اإذا كان حيث زاوية حاد

للزاوية .

ة فيه. نر�شـم قائم الزاوية في ، فتكون زاوية حاد

وبما اأن اإذاالمجاور

الوتر

اإذا

فاإذا فر�شنا اأن وحدات طول، كان وحدة طول كما في ال�شـكل )10-2(

ة فيثاغور�ص يكون: وبا�شـتخدام نظري

وحدة طول .

اإذا

المقابل

المجاور

المقابل

الوتر

�شـكل ) 10-2 (

6464



مثال )9-2(

الحل

ة. اإذا كان حيث زاوية حاد

�شـكل ) 11-2 (

اح�شـب قيمة كل من ، .

ما قيمة الن�شـبة ؟ ماذا تالحظ ؟

بما اأن المقابل

المجاور

ا قائم الزاوية كما في ال�شـكل ) 2-11 ( فيكوناإذن نر�شـم مثلثـ

4 �شم

3 �شم

وحدات طول .

المقابل

الوتر

المجاور

الوتر

نالحظ اأن



مثلث قائم الزاوية في فيه �شم ، �شم. اأوجد 1

2 مثلث قائم الزاوية في فيه �شم ، �شم. اأوجد

3 مثلث قائم الزاوية في ، فيه �شم ، �شم ، اأوجد

قطر في دائرة ، وتر فيها حيث �شم ، ر�شـمنا بحيث يكون

�شم. اأوجد .

4

�شبه منحرف فيه ، فاإذا علمت اأن واأن

�شم ، �شم ، �شم اأوجد جاجـ ، جتا جـ، ظا جـ

5

نقطة خارج دائرة مركزها وطول ن�شف قطرها �شم ، ر�شم منها المما�ص الذي يم�ص

الدائرة في ، فاإذا كان . اأوجد .

6

اإذا كان فاأوجد . 7

ة ، اإذا كان ة للزاوية الحاد اأوجد باقي الن�شـب المثلثي 8

ة فاأوجد قيمة . اإذا كان ، زاوية حاد

ة اإذا كان ، فما قيمة الن�شـبة حيث زاوية حاد

9

10


0

0

0

0

6666



2-2

ل - العالقة بين جيب وجيب تمام زاويتين متتامتين اأو

تين هما الزاويتان اللتان مجموعهما ، واأن كل مثلث قائم زاويتاه تعلم اأن الزاويتين المتتام

تان. تان متتام الحاد

تان في ال�شـكل ) 2-12 ( قائم الزاوية في والزاويتان الحاد

: تان نجد اأن متتام

المجاور

الوتر

المقابل

الوتر

اإذا

العالقات بين الن�شب المثلثية الأ�شا�شية

وبالمثل�شـكل ) 12-2 (

: اأي اأن

مة لـها ( ة ( ) الزاوية المتم ) زاوية حاد

مة لـها ( ة ( ) الزاوية المتم ) زاوية حاد

متها ) ( فاإنه يمكننا كتابة ة التي قيا�شـها يكون قيا�ص متم وحيث اإن الزاوية الحاد

تين على ال�شورة التالية: العالقة بين جيب وجيب تمام زاويتين متتام

فمثال: ) لماذا ؟ (

) لماذا ؟ (

)1-2(


�شـكل ) 13-2 (

5 �شم

6 �شم

مثال )10-2(

الحل

1

المجاور

الوتر2

ة فيثاغور�ص في نجد اأن : وبتطبيق نظري

�شم

في ال�شـكل ) 2-13 ( اأوجد

تان ويكون : بما اأن قائم الزاوية في اإذا زاويتان متتام

ومن القائم الزاوية في نجد اأن :


ثانيا - العالقتان الأ�شـا�شـيتان في ح�شـاب المثلثات

ة في القائم الزاوية في كما في ال�شـكل ) 2-14 ( فيكون لتكن زاوية حاد 1

المجاور

الوتر

المقابل

الوتر

�شـكل ) 14-2 (

6868


ريا�ضيات )1(

)2-2(

المقابل

الوتر

المجاور

الوتر

بما اأن ، فاإن هاتين الن�سـبتين موجبتان

وبما اأن الوتر هو اأطول الأ�سالع في المثلث القائم الزاوية فاإن كال من هاتين الن�سبتين تكون دائما اأقل من

الواحد.

وبذلك ن�سـتنتج اأنه اإذا كانت:

فاإن

المقابل

الوتر

المقابل

الوتر

المجاور

الوتر

المقابل

المجاور

الوتر

المجاور

واأن :

ة فيثاغور�س ( ) ح�سـب نظري

اأي اأن

ونكتب عادة على ال�سـكل ، على ال�سـكل فيكون :

2

)3-2(

اأى اأن :


تين في ح�شـاب المثلثات و�شـبب هذه ى العالقتان ) 2-2 ( ، ) 2-3 ( بالعالقتين الأ�شا�شـي ت�شـم

.

ة الأخرى تعتمد عليهما ، كما �شـترى ذلك م�شـتقبال اإن �شـاء اهلل الت�شـمية هو اأن العالقات المثلثي

ة اإذا علمت اإحداها ة لزاوية حاد وا�شـتنادا اإلى هاتين العالقتين فاإ نه يمكننا اإيجاد الن�شـب المثلثي

وذلك بدون ا�شـتخدام المثلث القائم الزاوية.

مثال )11-2(

الحل

ة بحيث اأوجد . اإذا كانت زاوية حاد

بما اأن

اإذا

) 2-2 (

ة ولكن ؛ لأن زاوية حاد

اإذا

وبما اأن

اإذا

) 3-2 (


7070



مثال )12-2(

الحل

ة اإذا علمت اأن . ة للزاوية الحاد اأوجد باقي الن�شـب المثلثي

وبما اأن

اإذا


اإذا

وبالتعوي�ص عن في العالقة )1( نجد اأن :

) ح�شـب العالقة ) 3-2 ( (

) ح�شـب العالقة ) 2-2 ( (

1


مثال )13-2(

الحل

ة. اإذا كان ، فاح�شب قيمة كل من حيث زاوية حاد

من العالقة ) 2-2 ( يكون

ة ولكن زاوية حاد

اإذا

وبالتعوي�ص في العالقة المعطاة عن قيمة يكون

ومن العالقة ) 2-3 ( يكون :

على طرفيها بق�شـمة وذلك المعطاة الم�شـاواة من مبا�شـرة قيمة اإيجــاد يمكن اأنه لحظ


7272



مثال )14-2(

الحل

ة بحيث فما قيمة اإذا كانت زاوية حاد

ح�شـب العالقة ) 2-1 ( يكون:

وح�شـب العالقة الأ�شا�شـية ) 2-2 ( يكون:


اإذا

اإذا

تدريب )3-2(

في المثال ال�شـابق اأوجد


اإذا كان فاأوجد .

ة، فما قيمة ؟ اإذا كان ، حيث زاويــــــة حاد

ة بحيث فما قيمة ؟ اإذا كانت زاوية حاد

تين ) 2-2 (، ) 3-2 (، با�شـتخدام العالقتين الأ�شا�شـي

اإذا كان

1

2

3

4

5

6

مثلث قائم الزاوية في

فاإذا كان �شم ،

اأوجد �شـم .

. اح�شب قيمة با�شـتخدام العالقة ، حيث

في كل من الحالتين التاليتين :

اإذا كان

اإذا كان

حيث اح�شب قيمة كل من



7474



ة �ص - بدون ا�شـتخدام المثلث - اإذا كانت : ـــة للزاويــة الحـــاد اأوجد باقي الن�شـب المثلثي 7

8

9

10

11

12

د

حيثاإذا كان ، فاأوجــد قيمــة كــل من

.اأثبت اأن حيث

.اإذا كان ، فاأوجد

ة، فاأوجد .اإذا كانت زاوية حاد

ة، فما قيمة ؟ اإذا كان ، وكانت زاوية حاد


الن�شب المثلثية والآلت الحا�شبة

ــة والآلت الحـا�شــبة3-2 الـنـ�شــب المثلثي

ل – الن�شـب المثلثية لزاوية قيا�شـها °45 اأو

قبل اأن نتطرق اإلى كيفية ا�شتعمال الآلة الحا�شبة لإيجاد الن�شب المثلثية للزوايا الحادة اأو لإيجاد

ة كثيرة ال�شـتعمال قيا�ـــص زاويـــة اإذا علمت اإحدى ن�شبها المثلثية ن�شير الى اأن هناك زوايا خا�ش

من المفيد معرفة ن�شـبها المثلثية نخ�ص منها الزوايا °30 ، °45 ، °60

تين ، ي�شـاوي . فيكون قيا�ص كل من الزاويتين الحاد

�شـكل ) 15-2 (

7575

الن�سب المثلثية لزوايا حادة خا�سة :

ا قائم الزاوية ومتطابق ال�شلعين كالمثلثة للزاوية ، نر�شـم مثلثـ لح�شـاب الن�شـب المثلثي

) اأي وحدة طول (. في ال�شـكل ) 2-15 ( حيث

ويكون ؛ لأن وتر

لمثلث قائم متطابق ال�شلعين

اإذا

ة للزاوية والتي قيا�شـها هي: وعليه تكون الن�شـب المثلثي

المقابل

الوتر

المجاور

الوتر

المقابل

المجاور

7676



ة لكل من الزاويتين نر�شـم المثلث لإيجاد الن�شـب المثلثي

بحيث يكون طول وتره 2 وحدة طولالثالثينـي ال�شتينـي

كما في ال�شـكل ) 2-16 ( فيكون

ثانيا – الن�شـب المثلثية لكل من الزاويتين °30 ، °60

ة للزاوية 30° هي: ومن ثم تكون الن�شـب المثلثي

المقابل

المجاور

المقابل

الوتر

المجاور

الوتر

ة للزاوية 60° هي: وتكون الن�شـب المثلثي

المقابل

الوتر

المجاور

الوتر

�شـكل ) 16-2 (

) �شلع مواجه للزاوية 60° في (

) �شلع مواجه للزاوية 30° في (


مثال )16-2(

مثال )15-2(

الحل

المقابل

المجاور

اأن ) لمـاذا ؟ (لحظ:

ة ال�شـابقة. ة للزوايا الخا�ش وفيما يلي جدول بالن�شـب المثلثي

اأوجد قيمة ما يلي:

الحل

اأثبت اأن

الطرف الأيمن الطرف الأي�شـر.

الن�شـبة

الزاوية

جدول )1-2(


7878



فـروق الدقـائـقالدرجة

جزء من جدول الجيب

جدول )2-2(

ة وذلك با�شـتعمال ـــة لبع�ص الزوايا الخا�ش نـــا في البند ال�شـابق من اإيجاد الن�شـب المثلثي لقـــد تمك

ة لزاوية ما عن . ونظرا ل�شعوبة الح�شول على الن�شــــب المثلثي مثلثـــات قائمة الزاوية مـــن نوع خا�ص

ل اإليها بـهذه الطريقة، فقد و�شعت ة النتائج التي نتو�ش طريق الر�شـم والقيا�ص بالإ�شافة اإلى عدم دق

ة اأو لإيجاد قيا�ص زاوية ما علمت اإحدى ن�شـبها المثلثية، ة للزوايا الحاد جداول لإيجاد الن�شـب المثلثي

ح اأجزاء من جـداول الجيــب وجيب التمــام والظل والجــــــــداول ) 2-2 (، ) 2-3 (، ) 2-4 ( تو�ش

مة هذه الوحدة. وفي ة ( التي �شـبق اأن اأ�شـرنا اإلـــى ن�شـاأتـها في مقد بـــة اإلـــى اأربعة اأرقام ع�شـري ) مقر

هـــذا الع�شـــر اأ�شبح باإمكاننا ال�شـتغناء عن هذه الجداول با�شـتخـــدام الآلت الحا�شـبة، والتي تتميز

ة النتائج. ب�شـرعة الأداء ودق

ــــــــة والآلت الحا�شبـــة الن�شب المثلثية والآلت الحا�شبةالن�شب المثلثي


فـروق الدقـائـق

الدرجة

جزء من جدول جيب الظل

جدول )4-2(

فـروق الدقـائـق

الدرجة

جزء من جدول جيب التمام

جدول )3-2(


8080



با�شـتخدام تعمل ة اإلكتروني اآلة هي تعريفها:

الريا�شيات بعلم المرتبطة النظم من مجموعة

منها الأ�شـكال، من العديد ولـها الأخرى، والعلوم

ال�شـكالن ) 17-2 (، ) 18-2 (.

الآلة الحا�شـبة العلمية

) Scientific Calculator (

مكوناتهــا :

ة ( ـــات، ومجموعة من المفاتيح )الأزر ة تظهر عليها نواتــــــج العملي تتكـــون الآلة الحا�شـبة العلمية من �شـا�شـــة اإلكتروني

ة وظائف وبتكامـــل وظائف هذه المفاتيح يتم اإجراء العمليات المختلفة التي تقوم بـها ة اأو عد لـــكل منها وظيفة خا�ش

ى اإحدى هاتين تين، غالبا ما تكـــون اإحداهما عك�ص الأخـــرى. ت�شـم الحا�شـبـــة. وقـــد ي�شـتخدم المفتاح الواحـــد لعملي

ـــة التي يكون رمزها مكتوبا علـــى المفتاح نف�شـه. بينما ة اأ�شلية ( وهي العملي ـــــــة ) اأو عملي ـــة اأ�شـا�شي تيـــن عملي العملي

ة الأ�شلية ( ويكون رمزها مكتوبا اأعلى المفتاح ة للعملي ة عك�شـي ة غير اأ�شـا�شية ) اأو عملي ـــى العملية الأخرى عملي ت�شـم

ـــة �شـطح المفتاح مق�شـومـــا اإلى ق�شـمين وعلـــى ج�شــــم الحا�شـبـــة نف�شـه. ] قد نجد في بع�ـــص الآلت الحا�شـبة العلمي

ة الأ�شا�شـية وعلى الن�شف العلوي منه رمز العملية غير الأ�شـا�شيــة [. ومكتوبـــا على الن�شف ال�شـفلي منه رمـــز العملي

ذ ة فتنف ا العملية غير الأ�شـا�شي ة بال�شغط على مفتاحها مبا�شـرة. اأم ة الأ�شـا�شية في الآلة الحا�شـبة العلمي ذ العملي وتنف

ى مفتاح بال�شغط على مفتاحها بعد ال�شغط على مفتاح خا�ص بالعمليات غير الأ�شـا�شية ) العمليات العك�شـية ( ي�شـم

SHIFT العالي

INV ى مفتاح المعكو�ص ورمزه وفي بع�ص الآلت ي�شـم

Inverse اخت�شار كلمة

حين بال�شـكليـــن ) 2-17 (، ) 2-18( نجـــد اأن المفتاح الخا�ـــص بالعمليات غير وبالنظـــر اإلـــى النموذجيـــن المو�ش

ة الأ�شا�شي

SHIFT العمليات العك�شية ( في اأحدهما هو المفتاح (

. INV بينما هو في الآخر المفتاح

INV توجد بع�ص الآلت الحا�شـبة التي تحتوي المفتاح

ة بال�شغط ة العك�شـي ة، ويتم في هذه الآلت تنفيذ العملي ة للعمليات الأ�شلي بينما ل تحتوي على رموز العمليات العك�شـي

ة الأ�شلية. على المفتاح INV ثم بال�شغط على مفتاح العملي

�شـكل ) 2-18 (�شـكل ) 17-2 (


ا�شـتخدام الآلة الحا�شـبة العلمية لإيجاد الن�شـب المثلثية لزاوية معلومة والعك�ص

)1( �شــــورة ف�شلت، من الآية ) 53 (

قبـــل البدء فـــي ا�شتخدام الآلة الحا�شبة لإيجاد الن�شـــب المثلثية لزاوية معلومة والعك�ـــص، يلزمنا التعرف على

القيا�ص ال�شتيني للزوايا.

القيا�ص ال�شتيني للزوايا

�شبق لنا ا�شتخدام الدرجة ) ° ( كوحدة لقيا�ص زاوية معلومة. فقيا�ص الزاوية القائمة = 90° وقيا�ص الزاوية

الم�شتقيمـــة = 180° وهكـــذا... في بع�ـــص الأحيان يقت�شي الأمر ا�شتخدام وحـــدات اأ�شغر من الدرجة لقيا�ص

ى كل جـــزء منها دقيقة، ويرمز اإلـــى الدقيقة الواحدة مت الدرجة اإلى �شـتين جـــزءا ي�شـم الزاويـــة ولذلـــك ق�ش

بالرمز )1( وتكون

) 4-2 (

من ا�ستخداماتـها:

نة، ة معي اإجراء بع�ص العمليات الح�شـابية مثل الجمع والطرح وال�شرب والق�شـمة واإيجاد الجذور والرفع اإلى قو

بة من اثنين اأو اأكثر من هذه العمليات. والعمليات المرك

ة لقيا�ص اأي زاوية وكذلك في اإيجاد قيا�ص زاوية علمت اإحدى ن�شـبها المثلثية. اإيجاد الن�شـب المثلثي

ا�شـتخدامات اأخرى �شـتعرفها لحقا.

رة هي من اأهم �شـمات هذا الع�شر، الذي فتح اهلل ولعل الآلة الحا�شـبة بمقا�شاتـها المختلفة واأ�شكالـها المتطو

، فو�شل اإلى ما و�شل اإليه من علم وتقانة م�شداقا لقوله تعالى: فيه على العقل الب�شـري

................

)1(

طرائق ا�سـتخدامها :

ة لال�شـتخدام من�شـجمة مع طريقة ابتكارها ويرافق كل اآلة دليلها الذي ير�شـد على لكل اآلة حا�شـبة طريقة خا�ش

ا وعلى دراية ومعرفة ة اأن يكون ملم طريقـــة ا�شتعمالـها. ومن ال�شروري على من ي�شـتخدم الآلـــة الحا�شـبة العلمي

ة تنفيذها مما باإمكاناتهـــا ونظمهاووظيفـــة كل نظام، والعمليات التي يتم اإجراوؤها من خـــالل هذا النظام وكيفي

ي�شاعد على ا�شـتثمار الآلة باأف�شل ما يمكن.


8282



) 5-2 (

) 6-2 (

ى كل جزء منها ثانيـــة، ويرمز اإلى الثانية الواحدة بالرمز )1( مـــت الدقيقة اإلى �شـتين جزءا ي�شـم وكذلـــك ق�ش

وتكون

ومن ) 2-4 ( ، ) 2-5 ( تكون

كما يمكننا كتابة الزاوية بالدرجات على النحو التالي:

ومـــن الجدير ذكـــره اأن هناك اأكثر من نظام لقيا�ـــص الزوايا تت�شمنها جميعا اأنظمة الآلـــة الحا�شـبة العلمية؛

اإل اأن درا�شـتنـــا فـــي هذا البند مقت�شرة علـــى النظام ال�شتينـي لقيا�ص الزوايا، لذا يلـــزم قبل ا�شـتخدام الآلة

زة بالنظام ال�شتينـي والذي رمزه DEG وقد يظهر على ال�شـا�شة برمز د من اأ نها مجه ة التاأك الحا�شـبة العلمي

�شغير .

اإن وحدات القيا�ص الثالث ال�شابقة للزاوية، الدرجة والدقيقة والثانية ت�شمى وحدات القيا�ص ال�شتيني للزاوية.

وللتعبير- مثال- عن كل من الزاويتين بالدرجة واأجزائها نكتب

2

1


فيظهر على ال�شـا�شة

الن�شـب ة لإيجاد العلمي ة ا�شـتخدام الآلة الحا�شـبة اإلى كيفي ة ف فيما يلي من خالل الأمثلة التو�شيحي ونتعر

ة لزاوية معلومة وكذلك لإيجاد قيا�ص زاوية علمت اإحدى ن�شـبها المثلثية. المثلثي

ولإدخال زاوية بالدرجة واأجزائها اإلى الآلة الحا�شـبة ن�شـتخدم مفتاح الدرجة واأجزائها ورمزه ، فعلى

�شـبيل المثال: لإدخال الزاوية اإلى الآلة ن�شـتخدم المفاتيح الآتية على التوالي من الي�شـار

اإلى اليمين ح�شـب اتجاه ال�شـهم

ل – ا�شـتخدام الآلة الحا�شـبة العلمية لإيجاد الن�شـب المثلثية لزاوية معلومة اأو

وهو مفتاح ظل الزاوية ) (، فالرمز tan هو اخت�شار كلمة tangent التي تعنـي ) ظل (،

وي�شـتخدم هذا المفتاح لإيجاد وذلك بال�شغط عليه ثم اإدخال الزاوية بعد ذلك.

با�شـتخدام الآلة الحا�شـبة العلمية اأوجد

العمل

3

مثال )17-2(

وهو مفتــــاح جيب تمام الزاوية ) (، فالرمز cos هو اخت�شـــار كلمـة cosine التي تعنــــي

) جيب تمام (، وي�شـتخدم هذا المفتاح لإيجاد وذلك بال�شغط عليه ثم اإدخال الزاوية بعد ذلك.

2

ة لزاوية معلومة يعد من العمليات الأ�شـا�شية في الآلة الحا�شـبة العلمية. ويوجد في الآلة اإن اإيجاد ن�شـبة مثلثي

ة لزاوية معلومة وهذه المفاتيح هي: ة باإيجاد الن�شـب المثلثي الحا�شـبة العلمية ثالثة مفاتيح خا�ش

وهو مفتاح جيب الزاوية ) (، فالرمز sin هو اخت�شار كلمة sine التي تعنـي ) جيب (،

وي�شـتخدم هذا المفتاح لإيجاد وذلك بال�شغط عليه ثم اإدخال الزاوية بعد ذلك. ) اأو قبل ذلك، ح�شـب

طريقة ا�شـتعمال الآلة (.

1


فيكون الناتج

ن�شـتخدم المفاتيح الآتية على التوالي

ة و�شنتبع ذلك في جميع الأمثلة . ا لأربعة اأرقام ع�شـريبـ نا كتبنا الناتج مقر لحظ اأ ن


84



مثال )20-2(

اأوجد قيمة المقدار

العمل


اإذا قيمة المقدار


مثال )19-2(

اح�شب با�شـتخدام الآلة الحا�شـبة العلمية



اإذا

اأوجد قيمة

العمل



اإذا

مثال )18-2(

العمل

85 ريا�ضيات )1(

تدريب )4-2(

ة للزاوية اأوجد الن�سـب المثلثي

ثانيا – ا�سـتخدام الآلة الحا�سـبة لإيجاد قيا�س زاوية علمت اإحدى ن�سـبها المثلثية

ة اإيجاد جيب اأو جيب ة لعملي ة اإيجاد قيا�س زاوية علم جيبها اأو جيب تمامها اأو ظلها عملية عك�سـي تعد عملي

تمام اأو ظل زاوية معلومة. لذا فاإ نه يرمز لقيا�س الزاوية التي جيبها بالرمز ) ويقراأ: معكو�س

الجيب للعدد (

كما يرمز لقيا�س الزاوية التي جيب تمامها بالرمز ) معكو�س جيب التمام للعدد ( وكذلك

يرمز لقيا�س الزاوية التي ظلها بالرمز ) معكو�س الظل للعدد ( اأي اأن :

ة تعد من العمليات غير الأ�سـا�سية في الآلة الحا�سـبة ـــة اإيجـــاد قيا�س زاوية علمت اإحدى ن�سـبها المثلثي اإن عملي

ة ة في بع�ـــس الآلت الحا�سـبة ( . ويوجد في الآلـــة الحا�سـبة العلمي ـــة ) قد تكون هـــذه العمليات اأ�سـا�سي العلمي

ة باإيجاد قيا�س زاوية علمت اإحدى ن�سـبها المثلثية، وهذه المفاتيح مكتوب اأعالها الرموز ثالثـــة مفاتيـــح خا�س

الآتية:

وهو مفتاح معكو�س الظل لعدد اأي ) مفتاح قيا�س زاوية علم ظلها ( ) (، وي�سـتخدم لإيجاد

وذلك بال�سغط عليه بعد ال�سغط على مفتاح SHIFT اأو مفتاح INV ثم اإدخال العدد .

3

وهو مفتاح معكو�س جيب التمام لعدد اأي ) مفتاح قيا�س زاوية علم جيب تمامها ( ) (، 2

وي�سـتخدم لإيجاد وذلك بال�سغط عليه بعد ال�سغط على مفتاح SHIFT اأو مفتاح INV ثم

اإدخال العدد .

وهو مفتاح معكو�س الجيب لعدد اأي ) مفتاح قيا�س زاوية علم جيبها ( ) (، وي�سـتخدم هذا

المفتـــاح لإيجـــاد وذلـــك بال�سغط عليه بعد ال�سغط على مفتاح SHIFT اأو مفتاح INV ثم اإدخال

العدد .

1

الن�سب المثلثية والآلت الحا�سبة

86



مثال )23-2 (

العمل


اأوجد قيمة هـ ، اإذا علمت اأن ظا هـ = 1.130294

اإذا

SHIFT

مثال )21-2(

با�شـتخدام الآلة الحا�شـبة العلمية اأوجد قيمة

العمل


اإذا

SHIFT.

فيظهر على ال�شا�شة

مثال )22-2(

العمل



اأوجد قيا�ص الزاوية �ص ، اإذا كان جا �ص =0.4

SHIFT.

وهذا هو قيا�ص الزاوية بالدرجات فقط، ولإيجاد قيا�ص الزاوية بالدرجة واأجزائها ن�شغط على مفتاح الدرجة

واأجزائها فيظهر على ال�شـا�شة

اإذا

نا كتبنا الزاوية لأقرب ثانية و�شـنتبع ذلك في جميع الأمثلة ( ) لحظ اأ ن

87 ريا�ضيات )1(

ة جـ اإذا كان 4 جتا جـ=1 اأوجد قيا�س الزاوية الحاد

ة وبال�ضغط على مفاتيحها وفق التتابع الآتي: وبا�ضـتخدام الآلة الحا�ضـبة العلمي

تدريب )5-2(

اأوجد قيمة اإذا علمت اأن

مثال )24-2(

.

SHIFT

نجد اأن

، وذلك ومـــن الجديـــر بالذكر اأ نه يمكن اإدخال العدد اإلى الآلـــة مبا�ضـرة بدل من تحويله اإلى عدد ع�ضـري

با�ضـتخـــدام المفتاحيـــن اللذيـــن يـــدلن على ح�ضر العدد وعليـــه يمكن الح�ضول على بال�ضغط

على مفاتيح الآلة وفق التتابع الآتي:

SHIFT

كما يمكن اإدخال العدد با�ضـتخدام المفتاح الخا�ص باإدخال الك�ضـر العتيادي فنح�ضل على

بال�ضغط على المفاتيح التالية:

SHIFT

الحل

الن�سب المثلثية واالآالت الحا�سبة

88



بدون ا�سـتخدام الآلة الحا�سـبة، اأثبت اأن : 1

هـ

د

و

ا يلي ) بدون ا�سـتخدام الآلة الحا�سـبة ( ة لكل مم 2 اأوجد القيمة العددي

د

هـ

ة ما يلي ) بدون ا�سـتخدام الآلة الحا�سـبة (. اإذا كانت فاأثبت �سح 3



ة: با الناتج اإلى اأربعة اأرقام ع�سـري اأكمل الجدول الآتي مقر 4

الزاوية

الن�شبة

ثم اأكمل ما ياأتي :

تزداد قيمة كل من جيب الزاوية،...........كلما زاد قيا�ص الزاوية.

تتناقــــــ�ص قيمـــــة ..................... كلمـــا زاد قيـــا�ص الـــزاوية.

اأوجد قيمة كل مقدار فيما يلي با�سـتخدام الحا�سـبة: 5

هـ

د

و

ز

ها خاطئة6 ا من العبارات التالية �سائبة واأي د اأي ا�سـتنادا اإلى نتائج الفقرات الواردة في التمرين )5( ال�سـابق حد


90



7

د

ح

ط

ا ياأتي : اأوجد قيمة في كل مم

هـ

د

و

ز

اإذا كان فاأوجد .8

اإذا كان فما قيمة ؟

اإذا علمت اأن فما قيمة ؟

اإذا كان فاأوجد قيمة ؟

9

10

11


حــل المثلث القائم الزاويـة

مثال )25-2(

الحالة الأولى- حل المثلث القائم الزاوية اإذا علم منه طول �شلع وقيا�ص زاوية :

د بحل المثلث اإيجاد نعلم اأن للمثلث �شـتة عنا�شر هي ثالثة اأ�شالع و ثالث زوايا. ويق�ش

العنا�شـــر المجهولـــة با�شـتخـــدام العنا�شر المعلومـــة. ويحل المثلـــث اإذا علم منه ثالثة

عنا�شـــر مـــن العنا�شر ال�شـتة ب�شـرط اأن يكون من بين العنا�شر المعلومة طول �شلع على

؛ لأ نه ل يمكن حل المثلث اإذا علم منه قيا�شـات ثالث زوايا ) لماذا ؟ (. الأقل

وحيـــث اإن درا�شـتنـــا قا�شـــرة على المثلـــث القائم الزاويـــة، فتعد الزاويـــة القائمة اأحد

العنا�شر المعلومة وبناء على ذلك فاإنه يمكن حل المثلث القائم الزاوية في حالتين:

ل- اإذا علم من المثلث طول �سلع وقيا�س زاوية. اأو

وتكون العنا�شر المجهولة في هذه الحالة هي قيا�ص زاويته الثالثة وطول �شلعيه الآخرين.

ثانيا- اإذا علم من المثلث طول �سلعين.

تين. وتكون العنا�شر المجهولة في هذه الحالة هي طول �شلعه الثالث وقيا�ص زاويتيه الحاد

الحل

لحل المثلث نوجد عنا�شره المجهولة، انظر ال�شـكل ) 2-19 ( وهي :

تان 1 بما اأن الزاويتين متتام

2

�شـكل ) 19-2 (

�شم

حـــــل المثلــث القائـم الزاويــة 4-2

�شم.،

حل المثلث القائم الزاوية في اإذا كان

92



الحالة الثانية- حل المثلث القائم الزاوية اإذا علم منه طول �شلعين

مثال )26-2(

الحل

العنا�شر المجهولة هي ، ، ، انظر ال�شـكل ) 20-2 (

3

1

المقابل

الوتر

3

2

المجاور

الوتر

�شم.

�شـكل ) 20-2(

10 �شم

؟

8.5 �شم

حل المثلث �ص �ص ع القائم الزاوية في �ص والذي فيه �ص �ص =8.5 �شم ، �ص ع = 10 �شم.


تطبيقات عملية على حل المثلث القائم

�شـكل )21-2(

�شعاع الر�شد

زاوية النخفا�ص

ال�شعاع الأفقي الرا�شد

�شـكل ) 23-2(


زاوية الرتفاع

ال�شعاع الأفقي الرا�شد

�شـكل ) 22-2 (

زاويـة الرتفـاع وزاويـة النخفــا�س

من التطبيقات العملية على حل المثلث القائم ح�شـاب ارتفاعات بع�ص

ن الأج�شــــام وكذلك ح�شـاب الأبعاد بين الأج�شـام وذلك عندما نتمك

ى في كثير من الحالت زوايا ة متعلقة بـها ت�شـم من قيا�ص زوايا خا�ش

ارتفاع اأو زوايا انخفا�ص. وي�شـتخدم لقيا�ص هذه الزوايا جهاز خا�ص

ى جهاز ) الثيودوليت (. انظر �شـكل )21-2( ي�شـم

اإذا نظر را�شد من نقطة اإلى ج�شـم ما عند نقطة جـ

غير منتمية اإلـــى م�شـتوى النظر الأفقي للرا�شد وكانت

: النقطة ب واقعة في م�شـتوى النظر الأفقي فاإن

الر�شد، �شـعاع اأو الج�شـم ر�شد �شـعاع ى ي�شـم جـ [، ى �شـعاع النظر الأفقي اأو ال�شـعاع الأفقي ] ب ي�شـم

واإذا كانـــت جــــ اأعلـــى م�شـتـــوي النظر الأفقـــي كما في

ال�شـكل ) 2-22 ( فاإن ب جـ هي الزاوية الحا�شلة

ر�شـــد �شـعـــاع بيـــن ( اأي ب [ ، جــــ [ بيـــن

ى زاوية ارتفاع جـ الج�شـــم و�شـعاع النظر الأفقي ( ت�شـم

بالن�شـبة اإلى .

ا اإذا كانت جـ اأ�شـفل م�شـتوى النظر الأفقي كما في اأم

ى زاوية انخفا�ص ال�شــــكل ) 2-23 ( فـــاإن ب جـ ت�شـم

بالن�شـبة اإلى .


94



وعلى �شـبيل المثال:

ة اإذا نظـــر �شـخ�ص من نقطة في م�شـتوى قاعدة مئذنة اإلى قم

المئذنـــة كما في ال�شـكل ) 2-24 (، فاإن الزاوية الحا�شلة بين

ة المئذنة ) �شـعاع ن�شـــف الم�شتقيم البادئ من العيـــن اإلى قم

ة المئذنة (، ون�شف الم�شـتقيـــم البــادئ من العيـــن ر�شـــد قم

ى زاوية ارتفاع اإلــى قاعـــدة المئذنـــة ) ال�شـعاع الأفقي ( ت�شـم

ة المئذنة، واخت�شارا زاوية ارتفاع المئذنة. قم

ا اإذا نظر �شـخ�ص من فوق برج اإلى قارب على �شطح البحر اأم

وفي م�شتوى قاعدة البرج كما في ال�شـكل) 25-2 (

فاإن الزاوية الحا�شلة بين �شـعاع ر�شد القارب وال�شـعاع الأفقي

ى زاوية انخفا�ص القارب. ت�شـم

�شعاع اأفقي

�شعاع اأفقي

�شـكل )26-2(

ال�شعاع اأفقي


زاوية الرتفاع

المئذنة

�شـكل )24-2(


البرج

زاوية النخفا�ص

�شـكل )25-2(

)1-2(

اإذا كان هو قيا�ص زاوية ارتفاع بالن�شـبة اإلى

وكان هو قيا�ص زاوية انخفا�ص بالن�شـبة اإلـى

كما في ال�شـكل ) 2-26 ( فاإن

لأن الزاويتين متبادلتان

فمثال في ال�شـكل ) 2-25 ( زاوية انخفا�ص القارب بالن�شـبة

اإلى بالن�شـبة البرج ارتفاع زاوية ت�شـاوي البرج ة قم اإلى

القارب.

1

الزاويـــة التـــي ت�شنعها الأ�شـعـــة المتوازيـــة لل�شـم�ص مع 2

ى ن ت�شـم الم�شـتـــوي الأفقي المار بنقطة ما في وقت معي

زاوية ارتفاع ال�سـم�س.


مثال )27-2(

الحل

. فما ارتفاع المئذنة ؟5

تها 22 من نقطة ، تبعد عن قاعدة مئذنة 75 مترا، نجد اأن زاوية ارتفاع قم

ة ( ) با�شـتخدام الحا�شـبة والتقريب لأربعة اأرقام ع�شـري

) بالتقريب لرقمين ع�شـريين (

اإذا ارتفاع المئذنة م

ة الأخرى من مبنى يرتفع عن �شـطح الأر�ص 98 مترا، عند ال�شعود اإلى �شـطح المبنى والنظر اإلى الجه

. فما عر�ص ال�شـارع ؟5

ال�شـارع وجد اأن زاوية النخفا�ص 10 68

مثال )28-2(

الحل

نفر�ص اأن هو عر�ص ال�شـارع، انظر �شـكل ) 28-2 (

بما اأن زاوية انخفا�ص بالن�شـبة اإلى ت�شـاوي زاوية ارتفاع

بالن�شـبة اإلى

اإذا في المثلث :

المقابل

المجاور

نفر�ص اأن ارتفاع المئذنة هو ،

انظر �شكل ) 27-2 (

المقابل

المجاور

اإذا عر�ص ال�شـارع م

مة لزاوية النخفا�ص (. ) ل حظ اأ نه يمكننا اإيجاد عر�ص ال�شـارع بح�شـاب ظل الزاوية المتم

�شـكل )27-2(

القاعدة

قمة المئذنة

�شـكل )28-2(

عر�ص ال�شارع

ىنبم

ال

م


96



مثال )29-2(

الحل

اإذا كان ارتفاع نخلة راأ�شـية ي�شـاوي 20مترا وكان طول ظلها على اأر�ص اأفقية في وقت ما

ي�شـاوي 12 مترا. فما زاوية ارتفاع ال�شـم�ص في هذا الوقت ؟

نفر�ص اأن ارتفاع النخلة ، طول ظل النخلة

فيكون المطلوب اإيجاد زاوية ارتفاع ال�شـم�ص وهي ،

انظر �شـكل ) 29-2 (.

اإذا

تدريب )6-2(

في المثال ال�شـابق كم يكون طول ظل النخلة على الأر�ص اإذا كانت زاوية ارتفاع ال�شـم�ص .

�شـكل )29-2(

صم�

ع ال�شعا

�ش

ظل النخلة

20 م

12 م


مثال )30-2(

الحل

�شـلم طوله اأمتار يرتكز على حائط راأ�شـي بحيث يميل على اأر�ص اأفقية بزاوية قيا�شـها ،

اأوجد بعد كل من نقطتي ارتكاز ال�شـلم على الحائط والأر�ص عن نقطة تالقي الحائط والأر�ص.

بعد نقطة ارتكاز ال�شلم على الحائط عن نقطة تالقي الحائط والأر�ص ،

بعد نقطة ارتكاز ال�شلم على الأر�ص عن نقطة تالقي الحائط والأر�ص ،

انظر �شـكل ) 30-2 (.

نفر�ص اأن طول ال�شـلم ،

م

1

2

الأر�ص

الحائط


�شـكل ) 30-2 (

98



تها . فما ارتفاع المئذنة؟10 من نقطة تبعد عن قاعدة مئذنة مترا، وجدنا اأن زاوية ارتفاع قم

1

2

3

، ة باأحد طرفيه ويرتكز بطرفـــه الآخر على حائط راأ�شـي �شـلـــم طوله 4 اأمتار يرتكـــز على اأر�ص اأفقي

ـلـــم يميـــل على الحائط بزاوية قيا�شـها . اأوجد بعد كل من نقطتي الرتكاز فـــاإذا كان ال�ش

عن نقطة تالقي الحائط بالأر�ص.

ة على اأر�ص اأفقية ي�شـاوي 40.4 م عندما كانت زاوية ارتفاع ال�شم�ص اإذا كان طـــول ظـــل نخلة راأ�شـي

فما ارتفاع النخلة ؟

حل المثلث القائم الزاوية في ، والذي فيه �شم ، .

حل المثلث القائم الزاوية في عندما يكون �شم ، .

مثلث قائم الزاوية في ، اإذا كان ، �شم ، اأوجد كال من

. ،

مثلث قائم الزاوية في وفيه �شم ، . اأوجد كال من

. ،

حل المثلث القائم الزاوية في اإذا كان �شم ، �شم.

4

5

6

7

8

9

حل المثلث القائم الزاوية في اإذا كان �شم ، �شم

حل المثلث القائم الزاوية في ، والذي فيه �شم ، �شم



، ومن نقطة في الم�شـتوي الأفقي المار بقاعدة التل وجد اأن زاويتي ارتفاع �شـارية علم ارتفاعها اأمتار فوق تل

ة ال�شـارية وقاعدتـها ، على الترتيب. فاح�شب ارتفاع التل عن �شـطح الأر�ص. قم

ة برج ارتفاعه مترا، ر�شد رجل قريتين واقعتين في جهتين مختلفتين من البرج وعلى ا�شـتقامة من قم

قاعدته، فوجد اأن زاويتي النخفا�ص ، على الترتيب، فما هو البعد بين القريتين؟

ة برج ارتفاعه مترا عن �شطح البحر فكان قيا�شـها اأوجد دت زاوية انخفا�ص قارب من قم ر�ش

بعد القارب عن قاعدة البرج.

11

12ة �شـجرة با�شـقة ، وزاوية انخفا�ص قاعدتها . فاإذا كان ـاح من �شـطح منزل اأن زاوية ارتفاع قم وجد م�ش

البعد بين المنزل وال�شـجرة مترا. فما ارتفاع كل من المنزل وال�شـجرة ؟

13

14م الرجل نحو ا تقد ر�شد رجل مئذنة من نقطة على �شـطح الأر�ص فوجد اأن زاوية ارتفاعها ، ولم

المئذنة على الخط الم�شـتقيم الوا�شل بينهما وجد اأن زاوية ارتفاعها . فاإذا كان ارتفاع المئذنة

12 مترا، فاح�شب طول الم�شـافة التي قطعها الرجل.

15

16ة العمود . ومن هما متر، من النقطة اليمنى وجد اأن زاوية ارتفاع قم يقع عمود بين نقطتين تبعدان عن بع�ش

النقطة الي�شـرى وجد اأن زاوية ارتفاعه . فما ارتفاع هذا العمود ؟

17 ، نقطتان على �شـاطئ نـهر، والم�شـافة بينهما مترا، نقطة على ال�شـاطئ الآخـر،

. فما عر�ص النهر؟


100



القيــا�ص الدائــــري للزوايـــــا

5-2

وحدة القيا�ص الدائري للزوايا

فنـــا على النظام ال�شتيني لقيا�ص الزوايا وا�شتخدمنا الدرجة كوحدة لقيا�ص تعر

الزوايا في هذا النظام.

ف نظاما اآخر لقيا�ص الزوايـــا ي�شمى القيا�ص الدائري اأو وفـــي هذا الدر�ص نتعر

التقدير الدائري.

طول القو�ص المقابل للزاوية

محيط الدائرة

�شـكل ) 31-2(

نعلـــم اأنه في الدائـــرة الواحدة اإذا تطابق قو�شـــان ت�شاوت الزاويتـــان المركزيتان المقابلتان

لهما، وعليه فاإنه كلما كبر قو�ص ) اأو �شغر ( كبرت الزاوية المركزية ) اأو �شغرت ( بالن�شبة

نف�شهـــا. وحيـــث اأن قيا�ص الزاوية المركزية المقابلة للدائرة هو )دورة كاملة( ؛ فاإنه

لأي زاوية مركزية في الدائرة ) ، ( يكون:

وبفر�ص اأن الزاوية تقابل قو�شا طوله كما في ال�شكل ) 2-31 ( نح�شل على:


وحيث اأن كال من الب�شط والمقام مقدار ثابت ل يتوقف على طول ن�شف قطر الدائرة التي ر�شمت فيها

الزاوية ن�شتنتج اأن مقدارا ثابتا

ى بالراديان ومن ى بالقيا�ص الدائري للزوايا وي�شم لذا فاإنه يمكن اتخاذ قيا�ص هذه الزاوية وحدة لما ي�شم

هنا ن�شتخل�ص التعريف التالي:

تعريف ) 2- 4(

الراديان ) وحدة القيا�ص الدائري للزوايا ( هو:

قيا�ص زاوية مركزية تقابل قو�شا من دائرة طوله م�شاو لطول ن�شف قطر تلك الدائرة.

ويمكننا الح�شول على القيا�ص ال�شتيني لزاوية قيا�شها 1 راديان با�شتخدام الآلة الحا�شبة اإذ يوجد فيها

مفتاح مكتوب اأعاله الرمز والذي يقراأ )باي( ويعني ط، وحيث اأن الراديان فبا�شتخدام

مفاتيح الآلة وفق التتابع التالي:

SHIFTفيظهر على ال�شـا�شة

فيكون الراديان

بما اأن الراديان

اإذا راديان

فاإذا كان قيا�ص زاوية ما بالقيا�ص الدائري راديان وبالقيا�ص ال�شتيني فاإن

: وعليه فاإن

2 راديان 1

ـــه لتحويـــل قيا�ـــص زاوية معلومـــة من تقدير �شتيني اإلى تقدير دائري ن�شرب فـــي وبالعك�ص اأي اأن

لتحويل قيا�ص زاوية ما من تقدير دائري اإلى تقدير �شتيني ن�شرب في

وتجـــدر الإ�شـــارة هنـــا اإلى اأنه عنـــد ا�شتعمال الحرف للدللـــة على الزاوية فاإننـــا نفتر�ص اأن الوحدة

الم�شتعملة في قيا�ص هذه الزاوية هي الراديان .

القيا�ص الدائري للزوايـــا

العالقة بين القيا�ص ال�شتيني والدائري للزاوية

102



)1-2(

مثال )31-2(

الحل

اإذا كان قيا�ـــص الزاوية بالدرجات ال�شحيحة كما في المثال ال�شابق، فاإننا نكتفي بالتعبير عن

القيا�ص الدائري لها بدللة ط .

ح كيفية ا�شتخدام الآلة الحا�شبة لإيجاد القيا�ص الدائري لزاوية معطاة. وفيما يلي نو�ش

اأوجد القيا�ص الدائري للزوايا التي قيا�شاتـها:

مثال )32-2(

الحل

اأوجد القيا�ص الدائري لكل من الزاويتين :

ن�شتخدم الآلة الحا�شبة وفق التتابع التالي:

SHIFT


ويكون راديان


مثال )33-2(

الحل

ل القيا�شات الدائرية الآتية اإلى قيا�ص �شتيني: حو

ن�شتخدم الآلة وفق التتابع التالي:

SHIFT

ويكون راديان

تدريب )7-2(

اأوجد با�شتخدام الآلة الحا�شبة التقدير الدائري لكل من الزوايا التالية:

ق من الإجابة بالعودة اإلى حل فقرة ب من المثال ال�شابق ( ) تحق

راديان

راديان

وبا�شتخدام الآلة الحا�شبة على النحو التالي:


فيكون راديان

SHIFT


104



نتيجة )1-2(

تدريب )8-2(

ح القيا�ص الدائري وال�شتيني لبع�ص الزوايا التي يكثر ا�شتعمالـها الجدول التالي يو�ش

الزاوية بالدرجات

الزاوية بالرديان

ق من �شحة كل قيا�ص دائري مقابل لقيا�ص �شتيني معطى في هذا الجدول . تحق

عرفنا اأن الزاوية المركزية التي قيا�شها راديانا واحدا في الدائرة ) ، ( تقابل قو�شا من الدائرة

طوله ؛ وعليه فاإن الزاوية المركزية التي قيا�شها راديان في هذه الدائرة تقابل قو�شا من الدائرة

طوله انظر �شكل ) 2 – 32 (

�شـكل ) 32-2(

1 راديان

راديان

طول القو�ص = وحدة طول القو�ص = وحدة

وبهذا نكون قد ا�شتنتجنا قانونا لح�شاب طول قو�ص في دائرة ) ، ( يقابل زاوية مركزية قيا�شها

راديان وهو:

) 7-2 (

القيا�ص الدائري لزاوية مركزية مقابلة لقو�ص طوله ل في دائرة طول ن�شف قطرها هو العدد

الحقيقي

طول قو�ص دائرة


مثال )35-2(

الحل

اأوجد بالتقدير ال�شتيني قيا�ص زاوية مركزية تقابل قو�شا طوله 6 ط �شم من محيط دائرة طول

ن�شف قطرها 8 �شم .

راديانا

بالتقدير ال�شتيني

مثال )36-2(

الحل

كم تبلغ الم�شافة التي تقطعها نقطة على طرف عقرب الدقائق خالل خم�ص دقائق، اإذا كان طول

هذا العقرب �شم. ) ( .

يدور عقرب الدقائق دورة كاملة خالل �شاعة واحدة ) اأي 60 دقيقة زمنية ( .

وعليه فاإن الزاوية التي ي�شنعها خالل خم�ص دقائق هي :

راديانا

�شم اإذا

مثال )34-2(

الحل

اح�شب طول القو�ص المقابل لزاوية مركزية قيا�شها 1.4 راديانا في دائرة طول ن�شف قطرها 5 �شم.

�شم.


106



في الدائرة ) ، ( م�شاحة القطاع الدائري الذي طول قو�شه ت�شاوي

م�شاحة القطاع الذي زاويته

م�شاحة القطاع الذي زاويته

وبما اأن ، حيث هو التقدير الدائري للزاوية التي قيا�شها

اإذا م�شاحة القطاع الذي زاويته راديانا

وبهذا نكون قد ا�شتنتجنا قانونا لح�شاب م�شاحة القطاع الدائري الذي زاويته راديانا في دائرة ) ، (

وهو:

) 8-2 ( م�شاحة القطاع الدائري

وعلى �شوء هذه القاعدة وبالإفـادة من النتيجة ) 2 - 1 ( نتو�شل اإلى النتيجة التالية :

نتيجة )2-2(

ولإيجاد م�شاحة القطاع الدائري نق�شم �شطح الدائرة اإلى قطاعات دائرية متطابقة عددها 360قطاعــــا

دائريا، فتكون زاوية كل قطاع هي وبذلك تكون م�شاحة القطاع الذي زاويته هي من

م�شاحة الدائرة .

�شبق لنا التعرف على مفهوم القطاع الدائري بالن�شبة لدائرة معلومة، فالقطاع الدائري هو جزء من

ين بنهايتي ذلك القو�ص- انظر �شكل ) 33-2 (. �شطح دائرة مح�شور بين قو�ص ون�شفي قطرين مار

ى الزاوية المركزية المح�شورة بين ن�شفي القطرين والتي تقابل قو�ص القطاع بزاوية القطاع، ت�شم

فزاوية القطاع المظلل في ال�شكل ) 2–33 ( هي .

لحظ في ال�شكل ) 2-33 ( اأن الدائرة تنق�شم اإلى قطاعين دائريين :

ل: قطاع دائري اأ�شغر يمثله الجزء المظلل . الأو

والثاني: قطاع دائري اأكبر يمثله الجزء المتبقي من الدائرة غير المظلل .

�شـكل ) 33-2(

م�شــاحة القطـــاع الدائــــري


اأوجد طول قو�ص قطاع دائري م�شاحته 125 �شم2 مر�شوم داخل دائرة ) م ، 10 �شم (

مثال )38-2(

الحل

م�شاحة القطاع الدائري

تدريب )9-2(

وطول قطر دائرته 8 �شم.5

اح�شب م�شاحة القطاع الدائري الذي قيا�ص زاويته 135

�شم

مثال )37-2(

الحل

اح�شب م�شاحة القطاع الدائري الذي قيا�ص زاويته وطول ن�شف قطر دائرته �شم

)حيث (

قيا�ص زاوية القطاع بالراديان

�شم2

اإذا م�شاحة القطاع الدائري


108



حول القيا�شات الآتية اإلى تقدير دائري : 1

حول القيا�شات الآتية اإلى قيا�ص �شتيني : 2

5

وهـ د

راديانوراديانهـ د

3

�شم ،

راديان�شم ،

زاوية مركزية هـ في دائرة طول ن�شف قطرها تح�شر قو�شا طوله ل ، اأوجد طول القو�ص في الحالت

الآتية:

زاوية مركزية في دائرة طول ن�شف قطرها ، تح�شر قو�شا طوله ل ، اأوجد كال من القيا�شين الدائري 4

وال�شتينـي لهذه الزاوية في الحالت الآتية:

�شم ،

�شم �شم ،

�شم �شم ،

�شم �شم ،

اأوجد القيا�ص الدائري وال�شتيني لزاوية مركزية تقابل قو�شا طوله22�شم في دائرة طول ن�شف قطرها 5 �شم.



6

قطاع دائري م�شاحته �شم2 في دائرة طول ن�شف قطرها �شم، اأوجد قيا�ص زاويته المركزية

بالتقدير ال�شتيني .

قطاع دائري قيا�ص زاويته وم�شاحته م2 ، اأوجد طول قو�ص القطاع .

اأوجد م�شاحة قطاع دائري في دائرة ) ، �شم ( اإذا كان محيط القطاع ي�شاوي �شم .

بندول طوله �شم يتاأرجح طرفه على قو�ص دائري طوله �شم ، اأوجد قيا�ص الزاوية التي يتذبذب خاللها

البندول .

قو�ص في دائرة طوله �شم ويقابل زاوية مركزية قيا�شها ، فما طول ن�شف قطر الدائرة

. ) (

في كل من التمرينين )3( و)4( اح�شب م�شاحة القطاع الدائري . 7

8

9

10

11


110



عر�شنا نبذة تاأريخية للتعريف بف�شل العلماء الم�شـلمين في ن�شـاأة علم المثلثات وتطويره. 1

المقابل

الوتر

المجاور

الوتر

ة با�شـتعمال المثلث القائم الزاوية وهي: ة للزاوية الحاد ة الأ�شا�شـي فنا الن�شـب المثلثي عر 2

تين وهي على اإحدى ال�شورتين التاليتين: ا�شـتنتجنا العالقة بين جيب وجيب تمام زاويتين متتام 4

تين في ح�شـاب المثلثات وهما: كما ا�شـتنتجنا العالقتين الأ�شا�شـي

ة اإذا علمت اإحدى هذه الن�شـب.3 ة لزاوية حاد منا طريقتين لإيجاد الن�شـب المثلثي قد

تيـــن وطول �شلعيه المتعلقيـــن بالن�شـبة المثلثية بر�شــــم مثلث قائـــم الزاوية اإحدى زاويتيه الحاد

يهما المناظرين لـهما ثم با�شـتخدام نظرية فيثاغور�ص. المعلومة م�شـاويان لحد

تين في ح�شـاب المثلثات. بال�شـتناد اإلى العالقتين الأ�شا�شـي

المقابل

المجاور


اأوجدنا قيما دقيقة لن�شـب الزاوية با�شـتعمال مثلث قائم الزاوية طول كل من �شلعي القائمة فيه 5

وحدة طول، ولن�شـب الزاويتين ، با�شـتعمال المثلث الثالثينـي ال�شتينـي الذي طـــــول وتـره

وحدة طول.

ة اإيجاد قيم الزوايا التي علمت اإحدى ن�شـبها المثلثية 6 ة للزوايا وكيفي ة اإيجاد قيم الن�شـب المثلثي �شـرحنا كيفي

وذلك با�شـتخدام الآلة الحا�شـبة العلمية.

ا�شـتنتجنا اأ نه يمكن حل المثلث القائم الزاوية في حالتين: 7

اإذا علم منه طول �شلع وقيا�ص زاوية.

اإذا علم منه طول �شلعين.

ة. حنا طريقة الحل في كل حالة م�شـتخدمين في ذلك الآلة الحا�شـبة العلمي ثم و�ش

ة على 8 ن زوايا الرتفاع وزوايا النخفا�ص كتطبيقات عملي ة التي تت�شم منا حل بع�ص الم�شـائل الحياتي قد

حل المثلث القائم الزاوية.

فنا الراديان ) وحدة قيا�ص الزوايا بالتقدير الدائري (، وعرفنا اأنه للتحويل من تقدير �شتيني اإلى 9 عر

تقدير دائري ن�شرب في ، وللتحويل من تقدير دائري اإلى تقدير �شتيني ن�شرب في .

في دائرة ) ، ( ، ا�شتنتجنا القوانين التالية:11

طول القو�ص حيث قيا�ص الزاوية المركزية المقابلة للقو�ص بالتقدير الدائري.

م�شاحة القطاع الدائري حيث قيا�ص زاوية القطاع بالتقدير الدائري.

م�شاحة القطاع الدائري حيث طول قو�ص القطاع

ا�شتخدمنا الآلة الحا�شبة للتحويل من قيا�ص زاوية بالدرجات اإلى قيا�ص بالراديان، والعك�ص.10



ها م�شـتحيلة مع ذكر ال�شـبب ) حيث جـ زاوية حادة (. اأي من العالقات التالية ممكنة واأ ي

د

�شع عالمة اأو عالمة عن يمين ما يلي:

اإذا كان فاإن

اإذا كان فاإن

اإذا كانت قيا�ص زاوية قطاع دائري بالراديــــــان

فاإن م�شاحة القطاع م�شاحة الدائرة.

اإذا كان فاإن ،

ا يلي: اختر الإجابة ال�شحيحة لكل مم

اإذا كان ،

1

2

3


فاإن


: بدون ا�شـتخدام الآلة الحا�شـبة العلمية، اأثبت اأن

د

وهـ

اإذا كانت بحيث

ة، فما قيمة ؟ اإذا كانت زاوية حاد

�شم ،

ة، فاأوجد- بدون ا�شـتخدام الآلة الحا�شـبة- قيمة اإذا كان حيث زاوية حاد

4

فما قيمة الزاوية ؟5

6

�شم فيه7

ة للزاوية . اأوجد الن�شـب المثلثي

8

د

يدخل وقت �شالة الظهر عندما ت�شير زاوية ارتفاع ال�شـم�ص م�شاوية هـ

.



مثلث قائم الزاوية في ، فيه

طول كل من ،

. ،

اأوجد قيمة الزاوية الحادة �ص في كل من الحالت التالية :

اإذا كان

حل المثلث القائم الزاوية في اإذا كان:

�شم ،

�شم ،

�شم �شم ،

معين، طول قطريه ،

قيا�ص الزاوية .

م�شـتطيل فيه ، طول كل من قطريه �شم .

اأوجد بعدي الم�شـتطيل.

�شم ، اأوجد: ، 11

12

13

هما �شم ، �شم . اأوجد 14

15

تان، فاأوجد قيمة المقدار حيث ، زاويتان حاد

تين وكان اإذا كانت ، زاويتين حاد

اإذا كان ،

9 ،

فاأوجد قيمة

10

.


باخرتان غادرتا الميناء في الوقت نف�شـه، الأولى اأبحرت ب�شـرعة كم / �شاعة في ا تجـــاه

�شـمال �شـرقي، والثانية اأبحرت ب�شـرعة 50 كم / �شاعة في ا تجاه جنوب �شـرقي.

همـــا بعـــــد ثــالث �شــــاعـــــات مـــن مغــــــــادرة الميناء. كم تبعــدان عن بع�ش

اح�شب م�شــاحة القطـــــاع الدائري وطـــــول قو�شه، اإذا كان محيط الدائرة المر�شوم فيها القطاع

) ( دائرة طول ن�شف قطرها �شم ، نقطــــة خارجهـــا، ر�شـــــم ،

ــــــــــان للدائرة ، طول كل منهما �شم، اح�شب م�شاحة المنطقـــة المح�شــــورة بين مما�ش

ين والقـو�ص الأ�شغر الممـا�ش

ة ومتطابقة في ال�شكل المجاور ثالث دوائر متما�ش

طول ن�شف قطر كل منها 5 �شم ، اأوجـــــــد م�شاحـــــة

المنطقة المح�شورة بينها .

18

19

�شم وقيا�ص زاويته .

20

21

طائرة تحلق على ارتفاع م فوق �شطح الأر�ص، �شاهد قائد الطائرة ج�شما على الأر�ص

بزاوية انخفا�ص . اأوجد بعد الج�شم عن م�شقط الطائرة على الأر�ص.

16

قي�ص طول ظل بناية عندما كانت زاوية ارتفـــــــاع ال�شـم�ص ثم اأعيد القيــــــا�ص عندمــــــــــا كانت

زاويــــة ارتفــــــــاع ال�شـم�ص فكان الفرق بيـــن القيا�شـين متــــرا . اأوجد ارتفاع البناية.

17

الدرو�س

الوحدة

الثالـثـةالأ�س�س واللوغاريتمات

The Exponents and Logarithms

اإذا كانت كلمـــة الجبر التي اأطلقها

د بن مو�شـى العالـــم الريا�شي الم�شـلـــم محم

الخوارزمـــي ) 164ه – 235ه ( مـــن خالل

كتابه الجبـــر والمقابلة قد اأخذت مكانـها في

ة فاإن مختلـــف لغات العالـــم بلفظتهـــا العربي

مفهومـــات اأخـــرى لنـــا - نحـــن الم�شـلمين-

الف�شـــل في اإيجادهـــا اكت�شـافـــا اأو ابتكارا اأو

نقـــال من ح�شارات �شـالفة بعد التعديل الذي

اأعطاها الـــروح والمرونة. نذكـــر على �شـبيل

المثـــال ل الح�شر اأن م�شطلح ) جذر ( في

الجبر يعود في اأ�شله اإلى اللغة العربية.

)3-1( قوى عدد حقيقي

)3-2( الأعداد العلمية

)3-3( اجلذور

)3-4( الأ�س�س الن�سـبية

)3-5( اللوغاريتم

)3-6( اللوغاريتمات الع�سرية

)3-7( تطبيقات

الأهداف

يتوقع من الطالب بعد درا�سـة هذه الوحدة اأن يكون قادرا

على اأن :

ــــــن الــــــــدور التاأريخــي للعلمــاء الم�شـلمين في درا�شـة 1-يبي

الجذور والعمليات عليها.

ة. ـر مفهوم الأ�ص والقو 2- يف�ش

ـط مقادير ريا�شية با�شـتخدام قوانين الأ�ش�ص. 3- يب�ش

ـر ويف�ش الحقيقي للعدد القيا�شـية ال�شورة يميز -4

مدلولـها.

با�شـتخدام لعدد والتكعيبـي التربيعي الجذر يوجد -5

الآلة الحا�شـبة.

. 6- يميز خوا�ص الجذور النونية ب�شـكل عام

ن جذورا نونية. ـط مقادير ريا�شية تت�شم 7- يب�ش

8- يذكر قوانين الأ�شـ�ص الن�شـبية.

ن اأ�شـ�شا ن�شـبية. ـط مقادير ريا�شية تت�شم 9- يب�ش

ف اللوغاريتم واللوغاريتم الع�شري. 10- يعر

مقادير تب�شيط في اللوغاريتمات قوانين ي�شتخدم -11

جبرية.

12- ي�شتخدم الآلة الحا�شبة في اإيجاد اللوغاريتم الع�شري

لعدد، وفي اإيجاد عدد علم لوغاريتمه الع�شري.

13- يحل معادلت اأ�شية ومعادلت لوغاريتمية.

14- يحل م�شائل تطبيقية على اللوغاريتمات.

118

الوحدة الثالثة


وهذا يعني

كما جاء في كتابه هذا قوله:

» اإن اأردت اأن تق�شــــم جذر ت�شـعة على جذر اأربعة فاإنك تق�شـم ت�شـعة على اأربعة فيكون اثنين وربعا

فجذرها هو ما ي�شيب الواحد وهو واحد ون�شف«.

وهذا يعني

ق القاعدة ويكون بذلك طب

اإن درا�شــــة الجـــذور ت�شـتدعي التذكيـــر بما في تراثنا الم�شـرق، خالل الع�شـــر الذهبي لح�شارتنا

ـــة مـــن اأثر كبير في ابتكار العديد مـــن المفهومات والرموز والم�شطلحـــات الواردة في علم الإ�شـالمي

ة. ة وفي الجذور ب�شورة خا�ش الجبر عام

د بـــن مو�شـى الخوارزمي ) 164ه فـــاإذا كانت كلمة الجبـــر التي اأطلقها العالم الريا�شي الم�شـلم محم

– 235ه ( مـــن خـــالل كتابه الجبر والمقابلة قـــد اأخذت مكانـها في مختلف لغات العالم بلفظتها ـــة فـــاإن مفهومات اأخرى لنا - نحن الم�شـلمين- الف�شل في اإيجادهـــا اكت�شـافا اأو ابتكارا اأو نقال العربي

مـــن ح�شارات �شـالفة بعد التعديل الذي اأعطاها الروح والمرونـــة. نذكر على �شـبيل المثال ل الح�شر

ـم الكميات ـــة، اإذ اإن الخوارزمي ق�ش اأن م�شطلـــح ) جـــذر ( في الجبر يعود في اأ�شلـــه اإلى اللغة العربي

ة اإلى ثالثة اأنواع: الجبري

ة الخالية من �ص(. كما كان ، ومفرد وهو العـــدد اأي ) الكمي2

جـــذر ويق�شـــد به �ص، ومال ويق�شد به �ص

الخوارزمـــي على دراية متينة بالقواعد الجبرية لإجراء عمليتي ال�شرب، والق�شـمة على الجذور فنراه

يقـــول مثال في كتابه الجبر والمقابلة: » ل�شرب جذر كذا في جذر كذا �شربت اأحد العددين في الآخر

واأخذت جذر المبلغ «.

ل حرف من كلمة جذر واإن رمز الجذر التربيعي اإنما كان من ابتكارنا، اإ نه الحرف ج ، اأو

د القل�شـــــــــــادي، ل من ا�شـتعمله لـهذا الغر�ص هو اأبو الح�شـــــــن علــــي بن محمــــ العربية، ويبدو اأن اأو

الأندل�شـــي، ) 825 ه- 891 ه (.



ة نف�شـها م�شـتعملة كرمز للجذر في مختلف فمثال تعني وهكذا بقيت الجيم العربي

ـــة تجـــد مثـــال واإن لغـــات العالـــم، ففـــي مختلـــف اللغـــات الأوروبي

ل من اأدخـــل �شمن م�شطلحـــات الريا�شيات مفهوم الجذر الأ�شـــم ويق�شدون به جذر علماءنـــا هـــم اأو

عا مثل ، واإنهم برعوا في اإيجاد عالقات بين الجذور ال�شم، فالعالقة : العدد الذي ل يكون مرب

ل من اأوجدها هو اأبـــو كامل �شـجاع والتـــي �شـنوردها فيمـــا بعد يظهر لنا من الن�شو�ص التاأريخيـــةاأن اأو

ة متناهية طريقـــة اإيجاد القيمة بـــن اأ�شـلـــم الم�شـــري ) 236ه- 318ه (. كمـــا اأن القل�شـــادي �شـرح بدق

ة للجذر التربيعي لأي عدد معطى. التقريبي

ل ومـــن الثابت اأن العالم الريا�شي الم�شـلم ال�شـمواأل المغربي ) المتوفى في بغداد عام 1175م ( هو اأو

من ا�شـتعمل الأ�ش�ص ال�شـالبة.

120



1-3

وعليه يكون

ع العدد وكذلك فاإن وهو مرب

ب العدد ا وهو مكع واأي�ش

ة عوامل مت�شـاوية ، فاإ نه في حالة وجود حا�شل �شرب عد وكما راأينا في درا�شـتنا لقوى عدد ن�شبـي

مثل:

تعريف ) 3- 1(

عامال كل منها

ى القوة النونية للعدد ى الأ�ص والمقدار ي�شـم ى الأ�شـا�ص والعدد ي�شـم العدد ي�شـم

: اإذا كان فاإن

فت ـطة، كال من الأ�شـ�ص والجذور التربيعية حيث تعر �شـبق لك اأن در�شـت في المرحلة المتو�ش

فت اإلى الجذر ا اأو �شحيحا، كما تعر ، عندما يكون الأ�ص عددا كلي اإلى قوى عدد كلي اأو ن�شبـي

، راأيت اأن ـــة فت اإلـــى مجموعة الأعداد الحقيقي التربيعـــي لعدد غير �شـالـــب. وعندما تعر

خ�شائ�ص العمليات في مجموعة الأعداد الن�شبـية هي نف�شـها في .

قــــــوى عـــدد حـقيـقـــــي

) لحظ اأن لدينا في هذا المثال اأربعة عوامل كل منها (، فبدل من كتابته بال�شكل ال�شابق

اأي اأن نكتبه اخت�شارا


تعريف ) 3- 2(

، فاإنه يمكننا تقديم التعريف التالي: ـطة في حالة قوى عدد ن�شبـي وكما راأينا في المرحلة المتو�ش

�ص ذلك ، اإذا كان الأ�ص عددا �شحيحا، ونلخ فنا قوة عدد حقيقي وبالتعريفيـــن ) 3-1 (، ) 3-2 ( نكـــون قد عر

بما يلي:

12

تعريف ) 3- 3(



عندما

عندما

عندما


قـوى عـدد حقيقــي

)1-3(

كمية غير معينة.2

1

ن�شتخدم الرمز

للدللة على ال�شمول

والعموم مثل كلمة :

ا لكل ، مهما كان ، اأي

كان ، ...

122



اأول- عندما

مثال )1-3(

ـطة عندما تكـــون الأ�ش�ص ـــم قوانيـــن قـــوى عـــدد ن�شبـي التـــي در�شـتها في المرحلـــة المتو�ش و�شـنعم

، وذلك من خالل النظرية التالية: اأعدادا �شحيحة على قوى عدد حقيقي

ع العدد مرب 1

2

3

حيث4

تعني مجموعة

ة الحقيقي الأعـــــــــداد

م�شتثنى منها ال�شفـــــر،

ة الأمر فاإن : وعام

بيـــن الفـــرق (

مجموعتيـــن و (

التـــي المجموعـــة هـــي

عنا�شرها تنتمي اإلى

ول تنتمـــي اإلـــى ، اأي

اأن

و

نظرية )1-3(

البرهان

1

2

3

4

5

�شـريطة اأن ل ينعدم اأي مقدار يقع بالمقام، كما ل ينعدم اأي مقدار مرفوع اإلى الأ�ص �شفر.

1

اإذا

: اإذا كان ، ب ، م ، فاإن


ثانيا- عندما

) تعريف )3-3( (

عامال

عامال كل منها عامال كل منها

ثالثا- عندما

) من ثانيا (

) تعريف ) 3-3 ( (

نفر�ص حيث

رابعا- عندما

حيث نفر�ص


124



وفي حالة ) يترك تمرينا للطالب (



خام�شـا- عندما

البـرهان مماثل للحالة ال�شـابقة.

2) تعريف )3-3( (

من )1(

في حالة 3


من )1(

45 ، يترك برهانـهما للطالب.


اأوجد الجواب باأب�شـط �شورة.

مثال )2-3(

الحل

حيث

مثال )3-3(

الحل

اخت�شر المقدار حيث


126



نا �شـنكتب كال من الب�شـط والمقام كحا�شل �شرب عوامل وذلك لنتمكن من تطبيق لإثبات �شحة الم�شـاواة فاإ ن

نظرية ) 1-3 (

الطرف الأيمن

الطرف الأي�شـر

مثال )4-3(

اأثبت اأن حيث

الحل

الطرف الأي�شر

مثال )5-3(

الحل


حيث



اإذا رفعنا اأي عدد حقيقي اإلى القوة �شفر، فاإن الناتج ي�شـاوي الواحد.

�شع عالمة اأو عالمة عن يمين ما يلي:1



128



ا يلي: اختر الإجابة ال�شحيحة لكل فقرة مم 2

1: فاإن

2: فاإن

اإذا كان فاإن 3

اإذا كانت فاإن4

�شفر

فاإناإذا كانت5

�شفر

هـ

د

ا يلي: 3 اأوجد ناتج كل مم

ف مقدارا غير معر

و


ن

ل

م

ز

هـ

د

ح

ي ط

ز

ا يلي في اأب�شـط �شورة با�شـتخدام قوانين الأ�ش�ص، بحيث ت�شبح فيها الأ�ش�ص موجبة وعلى 4 �شع كال مم

افترا�ص اأن المتغيرات اأعداد حقيقية كل منها ل ي�شـاوي ال�شفر:

و

ط

ح

ي

ك

ا يلي: اإذا كانت5 ـط كال مم ، فب�ش

وهـ

د


130



6 : اإذا كانت ، فاأثبت اأن

ا يلي: 7 اإذا كانت فاأوجد قيمة كل مم

د

131ريا�ضيات )1(

1

ة2-3 الأعـــــداد العلميــــــــــ

ة با�سـتخدام قوى فـــي كثير من الم�سـائل العلمية نتعامل مع اأعداد مكتوبة بال�سورة الأ�سـي

الع�سـرة. فمثال:

وفي حقيقة الأمر، اإن ا�سـتخدام قوى العدد ع�سـرة هو طريقة متداولة لكتابة الأعداد الموجبة الكبيرة

ى بالأعداد العلمية؛ لكثرة ا�سـتخدامها في مختلف مجالت العلوم. ا والتي ت�سـم ا اأو ال�سغيرة جد جد

وتـهدف هذه الطريقة اإلى اخت�سار كتابة الأعداد وت�سـهيل حفظها.

ة يكتب عادة على ال�سورة التالية والتي وكمـــا راأينا في المثالين ال�سـابقين؛ فـــاإن اأيا من الأعداد العلمي

ى بال�سورة القيا�سـية للعدد الحقيقي الموجب : ت�سـم

�سـرعة ال�سوء في الفراغ تكتب بال�سورة م / ثانية بدل من م / ثانيـة.

مترا بدل من مترا. ة الـهيدروجين يكتب بال�سورة ن�سف قطر ذر 2

حيث

)2-3(

ة نحــــو اإذا كان العدد �سـالبا نح�سـب ناتج ق�سـمة العدد ه على وذلك بنقــل الفا�ســلة الع�ســــري

الي�سـار عددا من المنازل م�سـاويا ل .

2

ة نحو اإذا كان العـــدد موجبـــا نح�ســــب ناتـــج �ســـرب العدد فـــي وذلك بنقل الفا�سلـــة الع�سـري

عددا من المنازل م�سـاويا لـ اليمين .

1

ـــة بالطريقة العادية نتبع لكتابـــة العـــدد الحقيقـــي الموجـــب والمعطـــى في ال�ســـورة القيا�سـي

التالي:

الأعــداد العلميـــــة

132



فـــي هـــذه الحالة يكون العدد عددا �شـالبا قيمته المطلقة تزيد بواحـــد عن عدد الأ�شفار الواقعة يمين

الفا�شلة الع�شـرية مبا�شـرة للعدد .

العدد اأ�شغر من الواحد 2

ز حالتين: ة للعدد الحقيقي الموجب نمي لتحديد قيمة في ال�شورة القيا�شـي

العدد اأكبر من الواحد 1

)3-3(

مثال )6-3(

اكتب الأعداد التالية بطريقة الأعداد العادية :

ة ملم. قطر نواة ذر

) عدد المنازل ال�شحيحة

عدد الأ�شفار يمين الفا�شلة الع�شـرية مبا�شـرة = 11 (

الحل

متو�شـط بعد القمر عن الأر�ص كلم.

ـط بعد القمر عن الأر�ص كلم كلم. متو�ش

ة ملم قطر نواة ذر

وفي هذه الحالة يكون العدد �شفرا اأو عددا موجبا ينق�ص بواحد عن عدد المنازل ال�شحيحة للعدد .


مثال )7-3(

�شع الأعداد العلمية التالية في �شورة قيا�شـية.

قطر ال�شـم�ص كلم

ـط بعد الأر�ص عن ال�شـم�ص كلم متو�ش

طول اأحد اأنواع البكتريا ملم

الـهباء غم

هـــو وحـــدة �شغيرة جدا

تو�شـــل الـــوزن، لقيا�ـــص

الطبيعـــة علمـــاء اإليهـــا

اأثنـــاء فـــي الم�شـلمـــون،

ع�شرنا الزاهر.

الـهباء


الحل

ة التي تتطلب اإجـــراء عمليات ح�شـابية على اأعداد ا من الم�شـائل العلمي و�شـنناق�ـــص فيما يلـــي بع�ش

علمية في �شورتـها القيا�شـية.

طول اأحد اأنواع البكتريا ملم

) عدد الأ�شفار يمين الفا�شلة الع�شـرية مبا�شـرة (

الـهباء غم غم ) لماذا ؟ (

كلم

قطر ال�شـم�ص كلم

) عدد المنازل ال�شحيحة (

ـط بعد الأر�ص عن ال�شـم�ص كلم ) لماذا ؟ ( متو�ش

134



مثال )8-3(

الحل

ميكرون، 3

اإذا علمت اأن الميكرون ) الميكرومتر ( هو وحدة قيا�ص الأطوال واأن المليمتر ي�شـاوي 10

فاأوجد بالميكرون في الثانية �شـرعة ال�شوت في الـهواء اإذا كانت ت�شـاوي 344 م/ث

م/ث

ملم/ث

م/ث

ميكرون/ث

ميكرون/ث

مثال )9-3(

الحل

ل اإلى طاقة، والمعادلة التـــي اكت�شـفها ) اآين�شـتاين ( للعالقة اكت�شــــف العلمـــاء اأن المادة تتحو

رة بيـــن الطاقـــة وكتلـــة المـــادة المعادلـــة لـهـــا هـــي الطاقـــة ، حيـــث ك الكتلـــة مقـــد

بالكيلو غرام ، �شـرعة ال�شوء

رة بالجـــول. اأوجـــد الطاقـــة التـــي تعـــادل وت�شــــاوي م/ث وحينئـــذ تكـــون الطاقـــة مقـــد

كلغ. اإلكترونا واحدا، علما باأن كتلة الإلكترون هي

الطاقة

جول


مثال )10-3(

الحل

رها ـــة نجـــم يبعـــد عـــن الأر�ص م�شـافة قد ـعـــرى اليماني ، وال�ش

قـــال تعالـــى:

ـعــــــرى العلماء بحوالي كيلومتر. فكم يوما يلزم لو�شول وم�شــــة مــن ال�ش

اإلى الأر�ص؟

م/ث (. ) �شـرعة ال�شوء

يوما

ـعرى اإلى الأر�ص بالأيام الزمن الالزم لو�شول وم�شة من ال�ش

النجم، �شـــورة

الآية )49(.

وبما اأن الزمن= الم�شافة

ال�شرعة

كلم

ـعرى عن الأر�ص = م بعد ال�ش

ـعرى اإلى الأر�ص اإذا الزمن الالزم لو�شول وم�شة من ال�ش

ثانية

ـعرى اإلى الأر�ص يوما. عدد الأيام الالزمة لو�شول وم�شة من ال�ش


136



اكتب الأعداد التالية في �شورة قيا�شـية. 1

�شـرعة جواد ال�شـباق حوالي متر/ �شـاعة

�شـرعة عربة ال�شـباق حوالي متر/ �شـاعة.

اثة حوالي متر/ �شـاعة. �شـرعة طائرة نف

�شـرعة مكوك الف�شاء حوالي متر/ �شـاعة

�شـرعة الأر�ص في فلكها حوالي متر/ �شـاعة

طول اأحد اأنواع البكتريا ي�شـاوي ملم.

د الطولي للنحا�ص هو معامل التمد

د الحقيقي لزيت الزيتون هو معامل التمد

كتلة الإلكترون ت�شـاوي ملغم.

كلغم لكل متر مكعب. ـط كثافة الأر�ص متو�ش

كلم ـط بعد القمر عن الأر�ص متو�ش

ـط طول ن�شف قطر القمر م. متو�ش

كتلة البروتون ملغم

غم. كتلة النيترون

كتلة ذرة الكربون غم.

ح

ط

هـ

د

و

ز

اكتب الأعداد التالية بطريقة الأعداد العادية.2

هـ

د

و



اأو عالمة عن يمين العبارات التالية:3

�شع عالمة

بليونا

كلغم غرام

ك خالله بـهـــذه ال�شـرعة، اأوجد ما يقطـــع مكـــوك الف�شاء ثالثين مليون متر في ال�شـاعـــة، ففي الوقت الذي يتحر

ب الجواب اإلى اأقرب متر (. يقطعه المكوك بالثانية الواحدة. ) قر

متـــر/ �شاعـــة، اح�شب الزمن الذي ي�شـتغرقه القطار لقطع م�شـافة بين

ك قطـــار ب�شـرعـــة يتحـــر

مدينتين قدرها متر.

فـــي التمريـــن ال�شـابق اأوجـــد الزمن الالزم لو�شـــول اإ�شـارة مر�شـلـــة من الأر�ـــص بالراديو اإلى مركبـــة ف�شاء تبعد

م عن مو�شع الت�شال على الأر�ص.

ت�شل وم�شة ال�شوء المنطلقة من نجم ) الن�شـر الواقع ( اإلى الأر�ص خال ل ثانيــــة. اأوجــد بعـــــد

م / ث (. هذا النجم عن الأر�ص ) �شـرعة ال�شوء

�شم/ث.

اح�شب الزمن الالزم لكي تقطع نب�شة الحا�شـب الآلي م�شـافة �شم اإذا علمت اأن �شـرعــة انتقــال النب�شــة هي

تنت�شــــر اأمـــواج الراديـــو ب�شـرعـــة م/ث ، اأوجـــد الم�شـافـــة التي تقطعهـــا موجة الراديو خالل �شـاعة

واحدة.

5

6

7

8

9

4

الأعــــداد العلميــــة

138



مه القاعدة : اإذا كان فاإن وهذا ما تعم

وهذا يعني اأن


الـجــــــــــــــــــــذور 3-3ـــة، و�شـنلخ�ص ما �شـبق لك ـط الجذور التربيعي ف الثالـــث المتو�ش در�شــــت في ال�ش

درا�شـته عنها في النقاط التالية:

عدد حقيقي موجب هو مربع لعددين حقيقيين متناظرين في الجمع. ) اأحدهما معكو�ص جمعي لالآخر (

: التربيعي للعدد ويرمز له بالرمز ومن ذلك ا�شـتنتجنا اأن

لأن

اإذا كان ) اأي ( فاإن للمعادلة جذرين هما ، - ؛ لأن كل

فمثال المعادلة لـها جذران حقيقيان هما ؛ لأن و

اإل اأن فقط.

1- الجذور التربيعية

وعليه يكون:

ق المعادلة ، اإذا كان فاإن العدد الحقيقي الذي يحق

ى الجذر ي�شـم

1

ل- مفهوم الجذر التربيعي للعدد الحقيقي اأو

الجذور التربيعية


ع اأي عدد حقيقي هو عدد حقيقي موجب. ؛ لأن مرب لي�ص للعدد الحقيقي ال�شـالب جذر تربيعي حقيقي

فمثال:

؛ لأنه ل يوجد عدد حقيقي مربعه

2

لحظ

ثانيا- العمليات على الجذور التربيعية

ة، والق�شـمة : ال�شرب والرفع اإلى قو 1

ة الأمر وعام


حيث

حيث

1

2

3

الجـــــــذور

فمثال:

140



4

ى هذه العملية ة اإزالة الجذر التربيعي من مقام ك�شـر تجعل هذا المقام عددا ن�شبـيا وت�شـم اإن عملي

ة تن�شـيب المقام. عملي

تن�شـيب مقام ك�شـر ) انطاق المقام (

تب�شيط الجذور التربيعية بالتحليل

لكتابـــة الجـــذر التربيعي باأب�شـط �شـكل، نحلل العوامل ذات الأ�ص الفردي المغاير للواحد ) اإن وجدت

(، اإلـــى حا�شـــل �شرب عوامل ذات اأ�ص زوجي بعوامل اأ�ـــص كل منها ي�شـاوي الواحد. ثم نخرج من داخل

الجـــذر جميـــع العوامل ذات الأ�ص الزوجـــي ) بعد اإيجاد جذرهـــا (، ونبقي العوامل التـــي اأ�ص كل منها

. ي�شـاوي الواحد، داخل الجذر التربيعي

2

فمثال:

جمع الجذور التربيعية المت�شابـهة

ـطة مت�شابـهة اإذا بقيت العوامل نف�شـها داخل اإ�شـارات الجذور التربيعية ة المب�ش تكون الجذور التربيعي

فمثال:

ل، ثم نجمع عوامل الجذور المت�شابـهة بعد تب�شـيطها. ـطها اأو ة نب�ش ولجمع الجذور التربيعي

فمثال:

حيث

هما جذران مت�شابـهان؛ لأن

3


ز حالتين: ولتن�شـيب مقام ك�شـر نمي

مقام الك�شـر يتاألف من حد واحد بجذر تربيعي

فمثال: لتن�شـيب مقام الك�شـر ، ن�شرب ب�شـط الك�شـر ومقامه بالعدد فيكون

ين ) اأو اأحدهما بجذر تربيعي ( ين بجذرين تربيعي مقام الك�شـر يتاألف من حد

فـــي هـــذه الحالة ن�شرب كال مـــن الب�شـط والمقام فـــي مرافق المقـــام؛ لأن حا�شل �شـــرب اأي مقدارين

، ذلك اأن مترافقين هو دائما عدد ن�شبـي

فمثال:

اإيجاد الجذر التربيعي لمقدار يحتوي على جذر

مثال )11-3(

ن�شتنتج من ذلك اأن

اح�شب ثم ا�شتنتج �شكال اآخر لكتابة العدد الحقيقي

الحل


142



ة الأمر يمكننا ا�شـتنتاج القاعدة التالية: وعام

: فاإن

اإذا كان

)1-3(

)2-3( 2

1

مة هـــذه الوحدة اإلى هـــذه القاعدة التـــي اأوجدهـــا العالم الم�شـلـــم اأبو كامل وقـــد �شـبـــق اأن اأ�شـرنـــا فـــي مقد

م. الم�شري لجمع وطرح الجذور ال�ش

اأثبت القاعدة ال�شـابقة، على ن�شـق ما اأجريناه في المثال ) 11-3 (.

على �شوء القاعدة ال�شـابقة يت�شح اأن

وذلك لأن

فمثال:

حيث :

)2-3(

تدريب )1-3(

مثال )12-3(

الحل

ا يلي في اأب�شـط �شورة: �شع كال مم

لتطبيق العالقة )3-2(، نبحث عن عددين بحيث يكون

و


ق من ذلك بحل المعادلتين ال�شـابقتين ( فيكون العددان هما ) تحق

اإذا

ق طريقة اأبي كامل الم�شري في طرح الجذرين الآتيين: طب

مع تب�شـيط الناتج اإن اأمكن .

اإذا

ق ومن الجدير بالذكر اأن الجذرين هما جذران مت�شابـهان، لذا فاإ نه يمكننا هنا التحق

ة الحل ال�شـابق على النحو التالي: من �شح

) لحظ اأن (

مثال )13-3(

الحل

تدريب )2-3(

ق طريقة اأبي كامل الم�شري في جمع الجذرين الآتيين: طب

144



ة فـــي معظم الآلت الحا�شـبة، ة اأ�شـا�شي ـــة ا�شـتخراج الجذر التربيعي للعـــدد الحقيقي الموجب عملي تعـــد عملي

ومفتاح هذه العملية هو .

و�شـيت�شح من خالل الأمثلة التالية اأن ا�شـتخدام الآلة الحا�شـبة لإيجاد قيم الجذور التربيعية لالأعداد المربعة

ننا ا هو اأ�شـرع واأ�شـهل من طريقة تحليـــل هذه الأعداد، كما اأن ا�شـتخدامها يمك ا اأو ال�شغيرة جد الكبيـــرة جـــد

م (. عة التي ل يمكن اإيجادها بالتحليل ) الجذور ال�ش من اإيجاد قيم الجذور التربيعية لالأعداد غير المرب

ا�شتخدام الآلة الحا�شـبة لإيجاد الجذر التربيعي للعدد الحقيقي الموجب

اأوجد الجذرين التربيعيين

بالتحليل اإلى عوامل.

با�شـتعمال الآلة الحا�شـبة.

مثال )14-3(

الحل

با�شـتخدام الآلة الحا�شـبة نجد اأن

:


الحل

ة ( اإذا ) لأقرب اأربعة اأرقام ع�شـري

اأقرب اإلى منه اإلى () لحظ اأن


لحظ

ة الآتية با�شـتخدام الآلة الحا�شـبة. اأوجد الجذور التربيعي

تدريب )3-3(

با الناتج لأقرب رقم ع�شـري واحد ( ) مقر

اأقرب اإلى1منه اإلى2(

، (

ة ( : با الناتج لأربعة اأرقام ع�شـري ة التالية ) مقر اأوجد با�شـتخدام الآلة الحا�شـبة الجذور التربيعي

مثال )15-3(



146



تعريف ) 3- 4(

ق المعادلة الجذر التكعيبـي لعدد حقيقي هو العدد الحقيقي الذي يحق

اأي اأن

)5-3(

: من التعريف ال�شـابق ن�شـتنتج اأن

لأن

لأن فمثالفاإن

اإذا كان قابال الق�شـمة على فاإن ) لماذا ؟ (

لأنفمثال

وذلك يعنـي اأن

لأنفاإن فمثال

1

2

3

4

تدريب )4-3(

اأوجد قيمة

2- الجذور التكعيبية

ب العدد هو العدد اأي اأن اإن مكع

فنقول: اإن العدد هو الجذر التكعيبـي للعدد ونكتب:


ة فاإ نه يمكننا كتابة القاعدة التالية: كما هي الحال في الجذور التربيعي

فاإن

�شرب الجذور التكعيبية وق�شـمتها

1

2

)6-3(

) لماذا ؟ ( فاإن

مثال )16-3(

د


148



ا�شتخدام الآلة الحا�شـبة لإيجاد الجذر التكعيبي للعدد الحقيقي

بيين اأمكننا في المثال ال�شـابق اإيجاد قيمة لكل من الجذرين التكعي

بيين بطريقة تحليل العدد اإلى عوامل، ولكن هذه الطريقة لم تعط ناتجا لأي من الجذرين التكعي

طتهما فقط؛ وذلك لكون اأحد الأ�ش�ص في التحليل لم يقبل بل ب�شـ

الق�شـمة على .

ـــه يمكننا كذلك ة الموجبة، فاإن وكمـــا ا�شـتخدمنـــا الآلـــة الحا�شـبة لإيجاد الجـــذور التربيعية لالأعـــداد الحقيقي

ة اأ�شـا�شية ا�شـتخدامها لإيجاد الجذور التكعيبية لالأعداد الحقيقية. وتعد عملية ا�شـتخراج الجذر التكعيبـي عملي

في معظم الآلت الحا�شـبة ومفتاحها هو

و�شـيت�شـــح من خالل المثال التالي اأن ا�شـتخدام الآلـــة الحا�شـبة لإيجاد قيمة الجذر التكعيبـي للعدد الحقيقي

ننا من اإيجاد قيمة الجذر ب اأ�شـهل واأ�شـرع من طريقة تحليل العدد اإلى عوامل، كما اأن ا�شـتخدامها يمك المكع

بة اأي ) التي ل يمكن اإيجادها بالتحليل (. التكعيبـي لالأعداد غير المكع

مثال )17-3(

الحل

بيين با�شـتخدام الآلة الحا�شـبة اأوجد قيمة كل من الجذرين التكعي

اإذا

اإذا ) لأقرب اأربعة اأرقام ع�شرية (


اإذا كان زوجيا وكان موجبا، فاإن للمعادلة جذرين؛ اأحدهما موجب وهو ،

والآخر �شـالب وهو .

3- الجذور النونية

تعريف ) 3- 5(

ق المعادلة الحقيقي الذي يحق

اإذا كان ، فاإن الجذر النوني للعدد ورمزه هو العدد

اأن : لحظ

�شـريطة اأن يكون اإذا كان عددا زوجيا.

ي دليل الجذر، المجذور، عالمة الجذر، وكما راأينا في الجذر التربيعي في التعبير ن�شـم

فاإن دليل الجذر ل يكتب على يمين عالمة الجذر، اأي يكتب .

نتيجة )1-3(

من التعريف ) 3-5 ( ن�شـتنتج ما يلي:

2

فمثال المعادلة لـها جذران هما ؛ لأن ويكون الجذر الموجب

ا الجذر ال�شـالب فهو لـها هو ، اأم


ة الأمر فاإ نه لأي عدد حقيقي يكون وعام

حيث عدد زوجي ) 3-3 (

ق المعادلة اإذا كان زوجيا وكان �شـالبا فاإ نه ل يوجد عدد حقيقي يحق

اأي اأ نه ل يوجد جذر نوني للعدد في هذه الحالة.

13


1

150



، لذا فاإن فمثال: المعادلة لي�ص لـها جذر حقيقي

فرديا، فاإنه يمكن اإيجاد لأي عدد حقيقي ، ويكون هو الجذر الوحيد اإذا كان

للمعادلة

14

فمثال: المعادلة لـها جذر وحيد هو ؛ لأن ويكون

وعلى العموم

لأي عدد حقيقي يكون حيث عدد فردي ) 4-3 (

فمثال:

كذلك فاإن

) لماذا ؟ ( ولكن

فا. �شـريطة اأن يكون معر 15

اأن يعني اأن لحظ

يمكننا دمج العالقتين ) 3-3 ( ، ) 3-4 ( في ال�شورة التالية:

اإذا كان عددا زوجيا

ا اإذا كان عددا فردي


ا اإذا كان عددا زوجي

: وبفر�ص نجد اأن

)7-3(


وهذا يقودنا اإلى التعميم التالي:

اإذا كان عددا زوجيا


:اإذا كان بحيث يقبل الق�شـمة على فاإن

ا ياأتي في اأب�شـط �شورة : �شع كال مم

د

مثال )18-3(

الحل

د

الجذور

152



نظرية )2-3(

2

تدريب )5-3(

اأوجد قيمة المقدار

خ�شائ�ص الجذور

تين المبينتين بالنظرية وكمـــا هـــو الحال في الجـــذور التربيعية والتكعيبية، فاإن للجذور ب�شـكل عـــام الخا�ش

التالية:

فاإن :

) حيث اإذا كان زوجيا (1

حيث

اإذا كان زوجيا

اإذا كان فرديا

ة الثانية للطالب ( ة الأولى ونترك برهان الخا�ش ) �شنكتفي بالبرهان على الخا�ش

: تكون العالقة �شحيحة فيما اإذا اأثبتنا اأن

هو جذر نوني للمقدار ويكون ذلك �شحيحا اإذا كان

البرهان

وفي الحقيقة:

. ح�شـب تعريف الجذر النوني

وعلى ن�شـق هذا البرهان فاإ نه يمكننا برهنة النتيجة التالية:

ح�شـب فقرة ) 4 ( من نظرية ) 1-3 (


نتيجة )2-3(

وتجدر الإ�شارة هنا اإلى اأن ت�شـاوي قيمتي الجذرين: في فقرة )د( من مثال

)3-18( لم يكن م�شادفة ، بل هو في حقيقة الأمر ناتج عن العالقة )3-5( ال�شـابقة.

ة )2(ويمكننا اإثبات اأن هذه العالقة �شحيحة ، وذلك ا�شـتنادا اإلى التعريف ) 3-3 ( والخا�ش

من نظرية ) 2-3 (.

على �شوء العالقة ) 3-5 (، اأوجد قيمة

ا يلي في اأب�شـط �شورة : �شع كال مم

تدريب )6-3(

د

مثال )19-3(

الحل

: فاإن

حيث

)3-5( فاإننا نح�شل على العالقة

اإذا كان زوجيا.

وكان عدد هذه العوامل م واإذا و�شعنا

الجذور

154



تدريب )7-3(

غ طريقة لتب�شـيط الجذور النونية. ة بالتحليل؛ �ش على وفق طريقة تب�شـيط الجذور التربيعي

نا اعتمدنا في تب�شـيط الجذور ال�شـابقة على خ�شائ�ص الجذور والملحوظة ) 5-3 (. اأ ن لحظ

د


1

4

ل اإلى مجموع جذرين اأو فرق جذرين : حو

د

2

د

ـط الناتج اإن اأمكن. م وب�ش طبق طريقة اأبي كامل الم�شري في جمع ) اأو طرح ( الجذور ال�ش

ة الناتج عندما يكون ذلك ممكنا.3 ق من �شح في التمرين ال�شـابق تحق

بدون ا�شـتخدام الآلة الحا�شـبة اأوجد اإن اأمكن قيمة كل من :

هـ



156



ـط كال من الجذور التالية: ب�ش 5

ا يلي لأب�شـط �شورة :6 اخت�شر كال مم

با الناتج لأربعة اأرقام ع�شـرية ( :7 ا يلي ) مقر با�شـتخدام الآلة الحا�شـبة اأوجد قيمة كل مم

حيث حيث

حيثهـ

حيث حيثهـ

هـ


مثال )20-3(

الأ�شـــ�ص الن�شــــبية 4-3

در�شـنا في الدر�ص ) 3-1 ( قوى عدد حقيقي عندما كانت الأ�شـ�ص اأعدادا �شحيحة،

وامتدادا لذلك ندر�ص هنا قوى العدد الحقيقي ذات الأ�شـ�ص الن�شـبية.

عددا زوجيا. ا اإذا كان �شـالبا، ول يكون عددا حقيقي

فاإن اإذا كان

تعريف )3- 6(

ا يلي: اأوجد اإن اأمكن قيمة كل مم

الحل

الأ�شــ�ص الن�شــبيـة

158



�شـريطة اأن يكون اإذا كان عددا زوجيا، وذلك يعني اأن يكون عددا حقيقيا

ق من ذلك ( فمثال: ) تحق

) لمـاذا ؟ ( بينما

وبذلك يمكننا تقديم التعريف التالي:

)8-3(

ف. فا فاإن ، معر معر

اإذا كان عددا ن�شـبيا حيث وكان بحيث يكون

تعريف )3- 7(

د

مثال )21-3(

اأوجد قيمة:

اأو

د

الحل

ونرمز له بالرمز على �شوء التعريف ) 3-6 ( والعالقة ) 3-5 ( ن�شـتنتج اأن


مثال )22-3(

ـها عدد ن�شبـي فاإ نه يمكننا تعميم النظرية ) 3-1 ( بحيث ت�شـمل قوى ة اأ�ش منا تعريفا لقو والآن بعد اأن قد

قة والحذر قبل ي الد ـــه يجب توخ عـــدد حقيقي عندما تكون الأ�شـ�ـــص اأعدادا ن�شـبية. وتجدر الإ�شـارة اإلى اأ ن

نة في القانون المراد ـــة؛ وذلك بالتاأكد من اأن جميع القـــوى المت�شم تطبيـــق اأي مـــن قوانين الأ�شـ�ص الن�شـبي

فة اأ�شال. فعلى �شـبيل المثال: ا�شـتخدامه معر

اأ ن

بينما

لحظ

فة ل يمكننا تطبيق القانون لح�شـاب ؛ لأن غير معر

: وهذا يعني اأن

الحل

ننا من تب�شـيط ة �شـيمك وفـــي حقيقة الأمر، اإن تعميم قوانيـــن الأ�شـ�ص ال�شحيحة لت�شـمل الأ�شـ�ص الن�شـبي

ح ذلك من خالل ـــة، و�شـنو�ش ة اأو جـــذورا نوني نـــة اأ�شـ�شا ن�شـبي ة المت�شم الكثيـــر من المقاديـــر الريا�شي

الأمثلة التالية.

با�شـتخدام قوانين الأ�شـ�ص الن�شـبية، اأوجد قيمة كل من المقادير التالية:


وتجـــدر الإ�شــــارة هنا اإلى اأ نه يمكنك حل التدريب ) 3-4 ( على ن�شـق ما اأجريناه في هذا المثال بينما

باع ذلك لحل التدريب ) 3-5 (. لماذا ؟ ل يمكنك ات

160



تدريب )8-3(

اأثبت اأن

مثال )23-3(

الحل

ا يلي لأب�شـط �شورة : با�شـتخدام قوانين الأ�شـ�ص الن�شـبية، اخت�شر كال مم

حيث

حيث

حيث


مثال )24-3(

الحل





162



ـها عدد ع�شـري :2 ة اأ�ش ـط الجذور التالية ثم اكتب كال منها على هيئة قو ب�ش

اكتب الأعداد التالية على �شيغة جذور :1

هـ

اأوجد- اإن اأمكن- قيمة كل من:3



هـ

حيثهـ

حيث

حيث

حيث

حيث

اخت�شر الناتج في اأب�شـط �شورة فيما يلي:4

ا يلي في اأب�شـط �شورة، على افترا�ص اأن 5 �شع كال مم


164



حيث

حيث

حيثحيث

اخت�شر كال مما يلي : 6

حيثحيث

حيث

حيث

اأثبت اأن :7

حيث

حيث

،،

،.

. ،

،

،

.

.


اللوغــــــــــــاريتــــم

5-3

و�شنقبل هنا باأن الأ�ص يمكن اأن يكون عددا حقيقيا ، كما �شنقبل ب�شحة قوانين الأ�ش�ص

ننا من ة تمك ف على �شورة اأخرى غير ال�شورة الأ�شي فـــي هـــذه الحالة . وفي هذه الوحدة نتعر

ة الح�شـــول علـــى قيمـــة الأ�ـــص �ص اإذا علـــم كل من ، �ـــص وتعرف بال�شـــورة اللوغاريتمي

وهي :

ة حيث در�شنا الأ�ش�ص وتعاملنا مع ال�شورة الأ�شي

، هو الأ�شا�ص ، هو الأ�ص ، هو الناتج .

لوغاريتم العدد لالأ�شا�ص وتكتب اخت�شارا على ال�شورة :

ة المناظرة لها: ة وال�شور اللوغاريتمي وفيما يلي بع�ص ال�شور الأ�شي

اللوغــــــــاريتـــــم

ال�شورة اللوغاريتميةال�شورة الأ�شية

166



تعريف )3- 8(

اإذا كان ، فاإن لكل يتعين عدد حقيقي بحيث يكون

)9-3(

ـــر عـــن تعريـــف اللوغاريتـــم بقولنـــا : اإذا كان ، فـــاإن يمكـــن اأن نعب

لوغاريتم العدد لالأ�شا�ص هو الأ�ص الذي يجب اأن نرفع اإليه الأ�شا�ص لنح�شل على العدد .

: ا�شترطنا في التعريف ال�شابق اأن ، وذلك لأن

لي�ص له معنى لبع�ص قيم .

وهذا يعني اأن غير معين ) لي�ص وحيدا ( .

فمثال: اإذا كان فاإن ل معنى له في عندما

2

1

نتيجة )3-3(

بما اأن العبارتين ، متكافئتان فاإنه :

ة ينتج لدينا : وبالتعوي�ص عن من ال�شورة اللوغاريتمية في ال�شورة الأ�شي

بما اأن فاإن اأي اأن لوغاريتم العدد ي�شاوي �شفـرا مهما كـان الأ�شــــــا�ص .

ه اإذا ت�شاوى العدد والأ�شا�ص فاإن اللوغاريتم ي�شاوي الواحد . وبما اأن فاإن اأي اأن

2

1

ة ينتج لدينا : بالتعوي�ص عن من ال�شورة الأ�شية في ال�شورة اللوغاريتمي

) 6-3 (

) 7-3 (


3

ل- نثبت اأن اأو

فيكون ، وهذا يعني اأن

ثانيا- نثبت اأن

وذلك بفر�ص حيث

وذلك بفر�ص

فيكون ، وهذا يعني اأن

الحل

مثال )25-3(

اإذا كان كل من ، فاإن

ويمكن اإثبات ذلك على النحو التالي :

ا يلي : ة المقابلة لل�شورة الأ�شية في كل مم اكتب ال�شورة اللوغاريتمي

وتعني اأن :فاإن :، لحظ: اأنه لأي عبارتين


168



مثال )26-3(

الحل

ا ياأتي ب�شورة اأ�شية : عبر عم

مثال )27-3(

اأوجد قيمة كل من :

بما اأن اإذا



لحظ: اأنه يمكن ا�شتخدام العالقة ) 3-6 ( لحل المثال ال�شابق كما يلي:

الحل


لنا الجدول التالي: اإذا تاأم

قــوانين اللوغاريتمــــات

1- لوغاريتم حا�شل �شرب عددين

نالحظ اأن :

ح اأن لوغاريتم حا�شل �شرب عددين لأ�شا�ص معلوم ي�شاوي مجموع لوغاريتمي والنظرية التالية تو�ش

العددين لنف�ص الأ�شا�ص.

1

2

نظرية )3-3(

البرهان

: فاإن اإذا كان

) من تعريف اللوغاريتم (اإذا

اإذا

) لماذا ؟ (

نفر�ص

اإذا


170



متروك كتدريب للطالب .

:اإذا كانت فاإن

البرهان

نتيجة )4-3(

مثال )28-3(

2- لوغاريتم خارج ق�شمة عددين

في الجدول الآتي:

1

2

نالحظ اأن :


ح اأن لوغاريتم خارج ق�شمة عددين لأ�شا�ص معلوم ي�شاوي لوغاريتم المق�شوم لهذا والنظرية التالية تو�ش

الأ�شا�ص مطروحا منه لوغاريتم المق�شوم عليه لنف�ص الأ�شا�ص :

نظرية )4-3(

البرهان

:اإذا كانت فاإن

متروك كتدريب للطالب.

حيث

�شفرلأن

مثال )29-3(

نتيجة )5-3(

مثال )30-3(

3- لوغاريتم عدد مرفوع لأ�ص

من النتيجة ) 3 – 4 ( نجد اأن :


172



مثال )31-3(

) من المرات (

ح اأن لوغاريتم عدد مرفوع لأي اأ�ص حقيقي ي�شاوي حا�شل �شرب الأ�ص في لوغاريتم والنظرية التالية تو�ش

هذا العدد لنف�ص الأ�شا�ص.

: اإذا كانت فاإن

البرهان

) من تعريف اللوغاريتم ( فيكون

) من تعريف اللوغاريتم (

وهذا يتفق مع النتيجة ) 3 – 5 ( .

نظرية )5-3(


نتيجة )6-3(

2

1

اإذا كانت فاإن:

مثال )32-3(

: وبطريقة �أخرى ف�إن

�خت�صر م� ي�أتي:

الحل


174



مثال )33-3(

اإذا علمت اأن

د

د

فاأوجد:

الحل

تدريب )9-3(

فاأوجد اإذا كان


مثال )34-3(

الحل

اأثبت اأن :






176



2

3

ا ياأتي : اكتب ال�شورة اللوغاريتمية المقابلة لل�شورة الأ�شية في كل مم 1

ا ياأتي : اكتب ال�شورة الأ�شية المقابلة لل�شورة اللوغاريتمية في كل مم

اأوجد قيمة كل من :

�شع عالمة اأو عالمة عن يمين العبارات التالية علما باأن الأ�شا�ص لكل من اللوغاريتمات

المعطاة هو عدد حقيقي موجب ل ي�شاوي الواحد:

4



ـــا ياأتي اكتـــب العبارة المعطاة على �شكل لوغاريتم لمقدار واحد علما باأن جميع المتغيرات فـــي كل مم

الواردة تمثل اأعدادا حقيقية موجبة :

6

فاأوجد :اإذا علمت اأن 7

اكتب المقادير التالية كمجموع اأو فرق لوغاريتمات علما باأن جميع المتغيرات الواردة تمثل اأعدادا

حقيقية موجبة :

5


178



اأوجد قيمة كل من : 8

هـ

ا يلي: اأثبت �شحة كل مم 9

هـ


لقوى العدد مبا�شرة اعتمادا على كون ، فمثال:

ة اأو اللوغاريتمات المعتادة وقد اتفق ـــى لوغاريتمات الأعداد لالأ�شا�ـــص باللوغاريتمات الع�شري ت�شم

علـــى عـــدم كتابـــة الأ�شا�ـــص اإذا كان م�شاويـــا فنكتـــب على ال�شـــورة ويمكننـــا اإيجاد

ة اللوغاريتمات الع�شري

اللوغاريتمات الع�شــرية6-3

در�شت فيما �شبق لوغاريتمات الأعداد لأ�شا�شات مختلفة ، وتكون اللوغاريتمات

مفيـــدة جـــدا في العمليـــات الح�شابية عندما تكـــون لالأ�شا�ـــص 10 ؛ وذلك لأن

ننا من ا يمك النظام العددي الذي ن�شتخدمه في حياتنا اليومية اأ�شا�شه 10 مم

ة : كتابة اأي عدد حقيقي موجب على ال�شورة القيا�شي

كما يمكننا اإيجاد اللوغاريتم الع�شري لأي عدد موجب �ص ، اإذا لم يكن �ص م�شاويا اإحدى قوى

الع�شرة ، باأن نكتب �ص على ال�شورة :

اللوغـاريتمات الع�شرية

180



ومن ثم ن�شتخدم جداول ت�شمى الجداول اللوغاريتمية ل�شتخراج قيمة

بـــة وتبعا لدرجة التقريب ومـــن الجديـــر بالذكر اأن القيم التي نح�شـــل عليها من الجداول هي قيم مقر

ة لهذه الجداول، ولكل جدول طريقة ل�شتعماله تكون موجودة في مقدمة ذلك الجدول . نجد نماذج عد

ة التي تتطلب جهدا ووقتا . هـــذا ويمكننا با�شتخدام الآلة الحا�شبة ال�شتغناء عن الجـــداول اللوغاريتمي

اإن اإيجاد قيمة اللوغاريتم الع�شري لأي عدد حقيقي موجب يعد من العمليات الأ�شا�شية في الآلة الحا�شبة العلمية

ويوجد في الآلة الحا�شبة العلمية مفتاح خا�ص باإيجاد اللوغاريتم الع�شري وهذا المفتاح هو

والرمـــز Log هـــو اخت�شار كلمة Logarithm ، وي�شتخدم هذا المفتاح لإيجاد لو�ص وذلك بال�شغط

عليه ثم اإدخال العدد �ص بعد ذلك ) ح�شب طريقة ا�شتخدام الآلة (.

Log

ا ياأتي: با�شتخدام الآلة الحا�شبة اأوجد قيمة كل مم

مثال )35-3(

الحل

لإيجاد ن�شغط على مفاتيح الآلة الحا�شبة وفق التتابع الآتي :


لإيجاد ن�شغط على مفاتيح الآلة الحا�شبة وفق التتابع الآتي :


با لأربعة اأرقام ع�شرية و�شنتبع ذلك في جميع الأمثلة . نا كتبنا الناتج مقر اأن لحظ :

ا�شتخدام الآلة الحا�شبة في اإيجاد اللوغاريتم الع�شري


ا ياأتي بدون ا�شتخدام الآلة الحا�شبة: ا�شتخدم الآلة الحا�شبة لإيجاد لو 5.6 ثم اأوجد قيمة كل مم

با�شتخدام الآلة الحا�شبة نجد اأن

اأن واأن

اأن واأن

اأن واأن

اأن واأن

مثال )36-3(

الحل

لحظ

لحظ

لحظ

لحظ


182



مثال )37-3(

الحل

الآلـــة فـــي ـــة الأ�شا�شي غيـــر العمليـــات مـــن تعـــد الع�شـــري لوغاريتمـــه علـــم عـــدد اإيجـــاد عمليـــة اإن

ـــة فـــي بع�ـــص الآلت ( ويوجـــد فـــي الآلـــة الحا�شبـــة ـــة اأ�شا�شي ـــة ) قـــد تكـــون هـــذه العملي الحا�شبـــة العلمي

مفتـــاح مكتـــوب اأعـــاله الرمـــز ي�شتخـــدم عـــادة لإيجـــاد اأي قـــوة مـــن قـــوى الع�شـــرة وذلـــك بال�شغـــط

اأن وحيـــث ) الأ�ـــص ( العـــدد اإدخـــال ثـــم ) INV اأو SHIFTمفتـــاح علـــى ال�شغـــط بعـــد ( عليـــه

الع�شري .

فاإن المفتاح المكتوب اأعاله ي�شتخدم لإيجاد عدد علم لوغاريتمه

ا�شتخدام الآلة الحا�شبة في اإيجاد عدد علم لوغاريتمه الع�شري

نة بالتتابع الآتي: ن�شتخدم المفاتيح المبي

اإذا

نة بالتتابع الآتي: ن�شتخدم المفاتيح المبي

اإذا

اأننا ا�شتخدمنا المفتاح لإدخال الإ�شارة ال�شالبة كمــــــــا يمكن ا�شتخــــــدام المفتـــــاح

لأجل ذلك

ة وذلك ة بتحويلها اإلى لوغاريتمات ع�شري ومن الجدير بالذكر اأنه يمكننا ح�شاب قيم لوغاريتمات غير ع�شري

ا�شتنادا اإلى نظرية تغيير اأ�شا�ص اللوغاريتم التالية :

با�شتخدام الآلة الحا�شبة اأوجد قيمة �ص اإذا كان :

لحظ:


مثال )38-3(

نظرية )6-3(

البرهان

: فاإن اإذا كانت

من العالقة ) 3-7 (بما اأن

من نظرية ) 5-3 (

الحل

ا ياأتي با�شتخدام الآلة الحا�شبة : اأوجد قيمة كل مم

ر عن اللوغاريتم المعطى بدللة لوغاريتمات ع�شرية ل�شتخدام الآلة الحا�شبة نعب

ح�شب النظرية ) 6-3 (

ن�شتخدم مفاتيح الآلة المبينة على التوالي:

اإذا


184



ن�شتخدم مفاتيح الآلة المبينة على التوالي:

اإذا

دة، اأ�شرنا �شابقا اإلى اأن اأهمية اللوغاريتمات برزت قبل اختراع الحا�شبات في اإجراء العمليات الح�شابية المعق

فقد كانت الطريقة الوحيدة لإيجاد نواتج مثل هذه العمليات تعتمد على خوا�ص اللوغاريتمات وا�شتخدام الجداول

ح – على �شبيل المثال – طريقة ا�شتخدام اللوغاريتمات لإيجاد قيمة المقدار : اللوغاريتمية. وفيما يلي نو�ش

حيث ن�شع

)10-3(

فيكون

وبا�شتخدام الآلة الحا�شبة ) بدل من الجداول ( وفق التتابع التالي :

يظهر على ال�شا�شة

ثم نوجد �ص الذي لوغاريتمه لم يزل على ال�شا�شة بال�شغط على المفاتيح :


ومن الجدير ذكره اأن الآلة الحا�شبة تحتوي على المفاتيح التالية :

الذي ي�شتخدم لإيجاد مربع عدد .

الذي ي�شتخدم لإيجاد مكعب عدد .

الذي ي�شتخدم لإيجاد الجذر النوني لعدد .

ويمكننـــا با�شتخدام هذه المفاتيح ح�شاب قيمة المقدار ال�شابق مبا�شرة دون و�شاطة اللوغاريتمات وذلك على

النحو التالي :

ه يمكننا ال�شتعا�شة عن المفتاحين ، بالمفتاح والذي ونود اأن ن�شير هنا اإلى اأن

ي�شتخدم لإيجاد قوة عدد وذلك باإدخال العدد ثم ال�شغط على المفتاح ثم اإدخال القوة .

y

y

وهكـــذا نـــرى اأن الآلة الحا�شبة جعلت اللوغاريتمات اأداة عتيقة في الح�شابات ذات النطاق الوا�شع ،

ة التي هي ومن ثم انتقلت اأهمية اللوغاريتمات في الح�شابات اإلى اأهميتها في درا�شة الدوال اللوغاريتمي

ـــة في الريا�شيات البحتـــة والريا�شيات التطبيقية في العلوم الأخرى مثل العلوم البيولوجية وعلم اأ�شا�شي

الطبيعة وعلم القت�شاد و�شترى ذلك م�شتقبال اإن �شاء اهلل تعالى .

هىاإذا قيمة المقدار


186



اأوجد بدون ا�شتخدام الآلة الحا�شبة قيمة كل من :1

ا ياأتي :4 با�شتخدام الآلة الحا�شبة اأوجد قيمة �ص في كل مم

ا ياأتي بدون ا�شتخدام الآلة الحا�شبة. ا�شتخدم الآلة الحا�شبة في اإيجاد لو 68.26 ثم اأوجد قيمة كل مم 3

ا ياأتي:2 با�شتخدام الآلة الحا�شبة اأوجد قيمة كل مم



اأثبت اأن 6

اأوجد با�شتخدام الآلة الحا�شبة قيمة كل من :5

ا ياأتي :7 اأوجد با�شتخدام الآلة الحا�شبة ناتج كل مم


188



اأوجد قيمة �ص اإذا علمت اأن

من العالقة ) 8-3 (

مثال )39-3(

الحل

ة علـــى اللوغاريتمات وفي 7-3 ا من التطبيقات العلمي فـــي هذا الدر�ص نناق�ـــص بع�ش

ح كيفية حل المعادلت الأ�شية ) المعادلت التي يكون الأ�ص �شبيل ذلك �شوف نو�ش

نة ـــة ) المعادلت المت�شم فيهـــا محتويا على المتغيـــر ( والمعادلت اللوغاريتمي

لوغاريتمات ( وذلك بالإفادة من مفهوم اللوغاريتم وقوانين اللوغاريتمات .

تطـبيـقـــــــــــات

ا�شتنادا اإلى الفقرة ) 3 ( من النتيجة ) 3-3 ( والتي تن�ص على اأنه :

اإذا كان كل من

نجد ب�شهولة اأن ) 8-3 (

وبفر�ص اأن حيث

: فاإن

حل المعادلت الأ�شية واللوغاريتمية


مثال )40-3(

الحل

حل المعادلة

تطبيـقـــــات

مثال )41-3(

الحل

190



مثال )42-3(

مثال )43-3(

الحل


ولكن مرفو�ص ) لماذا ؟ (

اإذا حل المعادلة هو

الحل

من العالقة ) 8-3 (



حل في كال من المعادلتين :

12

1

وبا�شتخدام الآلة الحا�شبة وفق التتابع التالي:

مثال )44-3(

الحل


نجد اأن

2

وبا�شتخدام الآلة الحا�شبة

نجد اأن

تدريب )10-3(

حل كال من المعادلتين التاليتين حيث

12

192



مثال )45-3(

الحل

الأ�ص الهيدروجيني للخل هو :

) با�شتخدام الآلة (

ف بالعالقة اإذا علمت اأن الأ�ص الهيدروجيني للمحلول يعر

يمثل تركيز اأيون الهيدروجين في لتر من ال�شائل، اأوجد الأ�ص الهيدروجيني للخل حيث

HH

)PH()PH(حيث H

مـ�ســـــائـل تـطــبيـقــية

مثال )46-3(

ة ، هي الكتلة الأ�شلي

هي الكتلة بعد مرور �شنة ،

) ثابت ( ،

ة ، ة م�شع ثابت خا�ص لكل ماد

ة ت�شاوي 200 غرام والكتلة النهائية منها )بعد مرور 10 �شنوات( ة م�شع نة من ماد ة لعي فاإذا كانت الكتلة الأ�شلي

ة . ت�شاوي 100 غرام فاأوجد الثابت ل لـهذه الماد

هو الزمن .


ة بحيث تنق�ص كتلتها مع مرور الوقت ح�شب العالقة : حيثتتحلل مادة م�شع


) بالق�شمة على 200 (

الحل


194



حل المعادلت الآتية: 2

هـ

حل المعادلت الآتية:1

هـ



7

Hاأوجد PH لع�شير الطماطم اإذا علم اأن

H ه الهيدروجيني PHاأوجد لمحلول اأ�شPHH) ا�شتخدم العالقة (

اإذا احتاجـــت كتلـــة 50 غـــم من الراديوم اإلـــى 5615 �شنة لت�شبح 5 غرامات نتيجـــة التحلل الإ�شعاعي ح�شب 8

العالقة حيث الكتلة الأ�شلية ، الكتلة النهائية بعد �شنة ، فترة ن�شف

ة، اأوجد فترة ن�شف الحياة لهذه المادة . الحياة للمادة الم�شع

3

فاأوجد هذا العدد بعد �شاعتين .

اإذا كان عدد البكتيريا في تجمع لها بعد مرور ن �شاعة يعطى ح�شب العالقة :

اإذا اأمكن تحديد �شدة الإ�شاءة ) ( لج�شم بالعالقة حيث بعد 5

الج�شم بالبو�شة فاأوجد �شدة اإ�شاءة ج�شم بعده عن نقطة معينة ي�شاوي بو�شة .

6 هما قراءتا

2، م

1ي�شتخـــدم مقيا�ـــص ) ريختـــر ( لقيا�ـــص �شـــدة زلـــزال ن�شبة اإلى وا�شع القيا�ـــص فـــاإذا كان م

مقيا�ص ) ريختر ( لزلزالين �شدتاهما على الترتيب بحيث يكون

وكانت قراءة الجهاز في زلزالين الأول وقع �شنة 1906م والثاني �شنة 1952م هما 8.25 ، 7.5 على الترتيب،

اأوجد الن�شبة بين قوتي الزلزالين .

اإذا كــانـت العالقــة تربط بين م�شتوى التفاوت ) ( لل�شوت مع م�شتوى

�شدته ) ( فاأوجد عندما تكون

4


196


ريا�ضيات )1(

1

8

7

6

5

4

3

2

ف�إن

منا قوانين قوى عـــدد ن�شبـي لت�شـمل قوى عدد ة عـــدد حقيقي عندما يكون الأ�س عـــددا �شحيحا، ثم عم فنـــا قو عر

حقيقي عندما تكون الأ�ش�س اأعدادا �شحيحة.

ة للعدد الحقيقي الموجب وهي فنا اإلى ال�شورة القيا�شـي تعر

حنـــا كيفية اإيجاد الجـــذر التربيعـــي لمقدار يحتـــوي على جذر. ـــة وتب�شـيطهـــا، ثـــم و�ش رنـــا بالجـــذور التربيعي ذك

منا قاعدة �شرب الجذور ـــا. ثم قد دنا اأن لكل عدد حقيقي جذرا تكعيبي فنـــا الجذر التكعيبــــي لعدد حقيقي واأك عر

التكعيبية وق�شـمتها.

ة ة الموجبة وكذلك لإيجاد الجذور التكعيبي ا�شـتخدمنـــا الآلة الحا�شـبة لإيجـــاد الجذور التربيعية للأعداد الحقيقي

للأعداد الحقيقية.

ه اإذا كان لنا اإلى اأ ن بحيث م يقبل الق�شـمة على تو�ش

فنا الجذر النوني للعدد الحقيقي حيثعر

مع ملحظة اأنه في حالة كون ق المعادلة على اأ نه العدد الحقيقي �س الذي يحق

عددا زوجيا تكون

ة الكبيرة وال�شغيرة. وا�شـتخدمناها في كتابة الأعداد العلمي

حيث



ح دور العلماء الم�شـلمين في اكت�شـاف الجذور والتعامل معها. ة تو�ش منا نبذة تاأريخي قد


ـــة على النحـــو التالي: ـــة لت�شـمـــل الجـــذور النوني ـــة والتكعيبي منـــا خ�شائ�ـــص الجـــذور التربيعي عم9

1)حيث اإذا كان زوجيا (



10

ة ذات الأ�ص الن�شبـي فنا القو عر 11

ه اإذا كان كل من : ا�شتنتجنا اأن فاإن 14

ف معر

على النحو التالي:حيث

فنا القوة ذات الأ�ص الن�شبـي ومن ثم عر

ة وا�شـتخدمنا هذه القوانين في تب�شـيط مقادير منا قوانيـــن الأ�ش�ص ال�شحيحة على الأ�ش�ص الن�شـبي عم

ة اأو جذورا نونية. نة اأ�شـ�شا ن�شـبي مت�شم

فنا اللوغاريتم على النحو التالي : اإذا كان عر

عر�شنا قوانين اللوغاريتمات وا�شتخدمناها في حل بع�ص التدريبات .

ة ، كما ح�شبنا قيم لوغاريتمات غير ع�شرية ا�شتخدمنا الآلة الحا�شبة في اإيجاد قيم لوغاريتمات ع�شري

بتحويلها اإلى لوغاريتمات ع�شرية.

والتي ا�شتخدمناها في حل بع�ص المعادلت الأ�شية.

فاإن لوغاريتم العدد لالأ�شا�ص هو الأ�ص الذي يجب اأن نرفع اإليه الأ�شا�ص لنح�شل على العدد .

12

13

15

16

لنا اإلى العالقة: ومن ذلك تو�ش

ة اأمكننا تب�شـيط بع�ص الجذور النونية. ا�شـتنادا اإلى خ�شائ�ص الجذور النوني

حيث2


فاإناإذا كان

حيث

�شع عالمة اأو عالمة عن يمين ما يلي :1



حيث

حيث

حيث


اختر الإجابة ال�شحيحة فيما يلي:2

العدد يكتب في ال�شورة القيا�شـية على ال�شـكل

كلماإذا علمت اأن قطري ال�شـم�ص والقمر هما على الترتيب

فاإن ن�شـبة قطر ال�شـم�ص اإلى قطر القمر هي

هـ


ف غير معر


اذا كانتفاإن

هىمجموعة حل المعادلة

هوحل المعادلة


اخت�شر لأب�شـط �شورة. 3

حيث

، حيث

اأثبت �شحة ما يلي:4

هـ

ا ياأتي عددا حقيقيا: عين قيم التي تجعل كال مم 5

حيث

، حيث

اكت�شـف الخطاأ في البرهان التالي:6

اإذا وبالتاليومنه


اأوجد بدون ا�شتخدام الآلة الحا�شبة قيمة المقدار:8

حل المعادلة اللوغاريتمية التالية:10

حيث

ل 7٪ �شنويــا ح�شب العــــالقة حيث 11 يتناق�ص ثمن اآلــــة نتيجــة ا�شتعمالهــــــا بمعد

الثمن الأ�شلي، ب الثمن بعد ن �شنة ، المعدل المئوي ال�شنوي لنق�شان الثمن . اأثبت اأن ثمن الآلة

ينق�ص اإلى ن�شف ثمنها الأ�شلي قبل مرور 10 �شنوات من ا�شتعمالها.

9

حيث

اأوجد قيمة في كل من الحالت التالية:

7: بدون ا�شتخدام الآلة الحا�شبة اأثبت اأن

حيث

اأجـوبة بع�س التـمارين

الحد الثالث

م�شـتحيلة الحل .

هـ

هـ




5

4

هـ

6

1

المعادلت

)1 -1 (

الوحدة

الأولى

)2 -1 (


هـ

2

الجذر الآخر 34

العددان هما 5


�ضم�ضمطوال �ضلعي القائمة : 7

طول �ضلع اإحداهما م ، طول �ضلع االأخرى م. 8

1

البعدان هما 2


بعد الحو�ض االأكبر ، بعد الحو�ض االأ�ضغر . 4

)3 -1 (

ريا�ضيات )1(206

33

23

هـ

هـ

5

6

7

البعدان هما �شم ، �شم. 8

ل = م وبعد الثاني = م . بعد الأو 9

ثانية ثانية ، 10

اأبعاد قطعة الأر�ص الأ�شلية 11

�شنوات�شنوات 12


تمارين عامة

97713

29613

6

7

8

9

10

1

2

3

1

2

3

4

5

ح�سـاب المثلثاتالوحدة

الثانية

)1 -2 (

)2 -2 (


4

5

6

8

د

9

10

12


7

2

8

9

هـ د

1

2

4

5

6

10

7

م8 م

9

11

12

)3 -2 (

)4 -2 (


212

)1

5

هـ

1

6

2

3

5

6

)5 -3 (


هـ8

1

2

هـ

هـ

6

5

4

3

)7 -3 (


الرياضيات1

Documents