1.5 análisis estadístico

Unidad temática1. Introducción

ProfesorMatías Peredo Parada

Matias peredo@usach [email protected] de Ingeniería Civil en Obras Civiles

Oficina 18Oficina 18

Av. Ecuador 3659 Estación Central · Santiago · Chile · 7182810

Contenido Unidad Temática1 Introducción1. Introducción

1.1 Generalidades de la Hidrología

1.2 El clima

1.3 Características geomorfológicas de la cuencacuenca

1 4 Balance hídrico1.4 Balance hídrico

1 5 Análisis probabilístico de variables1.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

2

1 5 Análisis probabilístico1.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicasde variables hidrológicas

ÍndiceÍndice

Revisión de conceptos básicos

F ó l t i V i bl t dí tiFenómenos aleatorios. Variables estadísticas y aleatorias

Modelos probabilísticos de mayor uso en hidrología✓ Recursos

✓ Crecidas

Técnicas de estimación de parámetros y selección deTécnicas de estimación de parámetros y selección de modelos

P í d d t iPeríodo de retorno y riesgo

Análisis de frecuencia

41.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas

Conceptos básicos (i)Conceptos básicos (i)

Proceso hidrológico

Determinística Aleatoria

Proceso estocástico

I id bIncertidumbre

Hipótesis: Estacionaridadp

Estudios de crecidas Análisis de frecuencia

Estudios de recursos hídricos Régimen hidrológico

Año hidrológico vs. Año natural5


g

Variables aleatorias. Función de di t ib ió (i )distribución (iv)

Función de distribución de probabilidad acumulada (cdf) de una variable aleatoria:( )

x][X P = (x)F X ≤ ada

95

99

99.9

a

Percentil o cuantil:

][( )X

. acu

mul

a

50

80

95

Percentil o cuantil:

(a)F=X -1 % p

rob

1

5

20

F ió d d id d d b bilid d ( df)

(a)F= X Xa100 1000 10000

0.1

Xa

Función de densidad de probabilidad (pdf):(x)Fd=(x)f X

X


dx(x)f X

Variables aleatorias. Momentos y t dí ti ( ii)estadísticos (vii)

Momentos EstadísticosMomentos Estadísticos

Población Muestra

∫∞

∞−

== dxxxfXE )()(μPrimero momentoMedia ∑

=

=n

i

i

nXX

1

[ ] ∫∞

∞−

−=−= dxxfxXE )()()( 222 μμσSegundo momentoVarianza

( )∑=

−−

=n

ii XX

nS

1

22

11

Desviación estándaro desviación típica

2σσ = 2SS =p

Coeficiente de variaciónμσ

=CVXSCV =

[ ] ∫∞

−=−= dxxfxXE )()(1)( 33

3 μσ

μγTercer momentoCoeficiente de asimetría ( )( )

( )∑ −=

ni

s SXX

nnnC 3

3

21

μ X


∞−σCoeficiente de asimetría ( )( )∑=−− i Snn 121

ÍndiceÍndice


Modelos probabilísticos de mayor uso en hidrologíaModelos probabilísticos de mayor uso en hidrología✓ Recursos

✓ Crecidas

Técnicas de estimación de parámetros y selección de p ymodelos

Período de retorno y riesgoPeríodo de retorno y riesgo



Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í R (i)en hidrología. Recursos (i)

Normal ∞≤≤∞−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡− xe

1=(x)f 2

2

2)-(x μ

Normal✓Aplicación del teorema

∞≤≤∞⎥⎦⎢⎣ xe2

(x)f 2X σσπ

del límite central

✓Valores negativos✓Valores negativos

✓Asimetría nula


Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í R (ii)en hidrología. Recursos (ii)

ln1 2)x( μL l 0ln

>x e 2x1 = (x)f 2

Y

Y

2)-x(

-

YX σ

μ

σπ1

Lognormal

e = 2YY 2

1 + σμμ✓ Media

e - e = 2YY

2YY + 22 + 22 σμσμσ✓ Varianza

✓ P i d d2ln

22lnlnln ln XYXY bba σσμμ =+=

✓ PropiedadesY=aXb

W=XY 2ln

2ln

2lnlnlnln YXWYXW σσσμμμ +=+=


2ln

2ln

2lnlnlnln YXRYXR σσσμμμ +=−=R=X/Y

Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í R (iii)en hidrología. Recursos (iii)

Normal99.9

ada 80

9599

LogNormal

prob.

acum

ula

52050

g

da

99

99.9

% pr

0 1 2 3 40.1

15

acum

ulad

50

80

95

Aportaciones anuales (Hm3)0 1 2 3 4

(X 1000)Caudal medio anual

% p

rob.

1

5

20

Aportaciones anuales (Hm3)100 1000 10000

0.1

Caudal medio anual


Aportaciones anuales (Hm3)Caudal medio anual

Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í R (i )en hidrología. Recursos (iv)

Gamma xX ex = (x)f λβ

β

βλ −−

Γ1

)(

✓Variables hidrológicas

βΓ )(

22

λβσ

λβμ ==

✓Variables hidrológicas asimétricas

λλ

✓ Límite inferior cero

✓Usada con✓Usada con precipitación


Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í R ( )en hidrología. Recursos (v)

Weilbull⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

β1

exp1)( xxFX

✓Distribución teórica de mínimos

⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝α

p)(X

( )βαμ β +Γ 1( )( ) ( )[ ]ββασ

βαμβ

β

+Γ−+Γ=

+Γ=

1211

222


Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í C id ( i)en hidrología. Crecidas (vi)

Gumbel ( )θ

λμ 0,5772 + = ln

( )e- = (x)F x -X

θλexpθ

θπσ 2

22

6 =

✓ Extremos de una población normal

1,1396 = γ

✓ Valores negativos✓ Ajuste pésimo en clima

torrencial


Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í C id ( ii)en hidrología. Crecidas (vii)

LogPearson tipo III

( ) ( )

( ) 0

10 log

0

yxx

eyy = (x)fyy

X ≥Γ

− −−−

βλ λββ

( )ββ

λs

y

YCS

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

22

✓ Usada USA por US Water

( )xΓ ββYSYy −=0

✓ Usada US po US ateResources Council

✓ Extremos de una población normal

✓ Valores negativos

✓ Ajuste pésimo en clima torrencial


Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í C id ( iii)en hidrología. Crecidas (viii)

General Extreme Value (GEV)⎤⎡

⎞⎛1

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αβ

βx-x-1- = (x)F 0X exp

⎦⎣

[ ])1+(-1 + x = 0 ββαμ Γ [ ])1+(-)1+2(= 2

22 ββα

σ ΓΓ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛[ ])( β

βμ [ ])1()12( ββ

βσ ΓΓ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

) +1 ( 2 + ) +1 ( ) 2+1 ( 3 - ) 3+1 ( =3 ββββγ ΓΓΓΓ

± [ ] ) +1 ( - ) 2+1 ( =

2 3/2 ββγ

ΓΓ±

✓ Usada por el UK Natural Environment Research Council

✓ Gumbel es un caso particular de GEV16


✓ Gumbel es un caso particular de GEV

Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í C id (i )en hidrología. Crecidas (ix)

Two Component Extreme Value (TCEV)

[ ]xxX ee = (x)F 21

21exp θθ λλ −− −−

✓Surge en Italia 80’sC id di iCrecidas ordinarias

Crecidas extraordinarias

✓Máximo de dos poblaciones Gumbel independientesp p

✓Excesivo número de parámetros


Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í C id ( )en hidrología. Crecidas (x)

SQRT-ET-maxSQRT ET max

( ) ( )[ ]x-x+1k=F(x) αα expexp − ( ) ( )[ ]x-x+1k=F(x) αα expexp −

✓Origen japonés

✓ Justificación física para precipitaciones diarias✓ Justificación física para precipitaciones diarias máximas anuales

✓Sól d á t✓Sólo dos parámetros


ÍndiceÍndice


Modelos probabilísticos de mayor uso en hidrologíaModelos probabilísticos de mayor uso en hidrología✓ Recursos

✓ Crecidas

Técnicas de estimación de parámetros y selección de p ymodelos

Período de retorno y riesgoPeríodo de retorno y riesgo



Técnicas de estimación de parámetros y l ió d d l (i)selección de modelos (i)

Métodos de estimación

✓Método de los momentos✓Método de los momentosMomentos poblacionales = Parámetros

✓Método de Máxima Verosimilitud✓Método de Máxima VerosimilitudMás adecuado

( ) ( )θθ ;1

i

n

ixfL

=∏=


Técnicas de estimación de parámetros y l ió d d l (ii)selección de modelos (ii)

Selección de modelos✓Experiencia personal

✓Test de ajuste estadísticos✓Test de ajuste estadísticosPrueba Chi-Cuadrado

P b K l S iPrueba Kolmogorov-Smirnov

Prueba W

Prueba Student

✓Comparación con la distribución empíricas o plotting p p p gpositions


Técnicas de estimación de parámetros y l ió d d l (ii)selección de modelos (ii)

Test Chi-Cuadrado ( ) ( )[ ]( )∑ −

=m

i i

iisc xp

xpxfn1

22χ

✓ H0 = Distribución de probabilidad propuesta se ajusta

( )=i ixp1

Tomado de Chow 1994

✓ H0 Distribución de probabilidad propuesta se ajusta adecuadamente a la muestra

22RECHAZA =

21,

2ανχχ −>c

22ACEPTA =

✓ Grados de libertad m p 1

21,

2ανχχ −<c

✓ Grados de libertad ν = m-p-1

✓ Nivel de confianza 1-α = 95% generalmente. nivel de significancia


α = nivel de significancia

Técnicas de estimación de parámetros y l ió d d l (iii)selección de modelos (iii)

Método gráficos✓ Papel probabilístico✓ Papel probabilístico

Normal

LognormalLognormal

Gumbel

✓ Plotting position

Weibull 1+=

nmp donde,

m = ordenú d b i

Gringortenan

amp21−+

−=

n = número de observacionesa= 0.375 Normal

0.44 Gumbel 0 4 Otras


0.4 Otras

ÍndiceÍndice

Revisión de conceptos básicosModelos probabilísticos de mayor uso en hidrologíaModelos probabilísticos de mayor uso en hidrología✓ Recursos✓ Crecidas✓ Crecidas

Técnicas de estimación de parámetros y selección de modelosmodelosPeríodo de retorno y riesgo Análisis de frecuencia


Período de retorno y riesgo (i)Período de retorno y riesgo (i)

Año de Intervalo de recurrenciaCaudales máximos anuales Año de excedencia

Intervalo de recurrencia (años)

19314

1935

Caudales máximos anuales

6000

7000

11936

11937

4000

5000

3 s-

1

19377

19449

19532000

3000m3

m1 mi mnxT 1953

31956

61962

0

1000

1930 1935 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970

T

19623

19652

1930 1935 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970Año

19675

1972Promedio

0.4=m25


4.00

Período de retorno y riesgo (ii)Período de retorno y riesgo (ii)

Para cada observación✓Éxito

✓Fallo

pxX T prob.≥

( )pxX T −< 1prob.( ) pp m 11 −−

✓Fallo ( )pT p ob.

( ) ( )∑∞

−11 mE( ) ( )∑=

−=1

1m

ppmmE

( ) TpE 1( )( )[ ] T

pppmE ==−−

=11 2


Período de retorno y riesgo (iii)Período de retorno y riesgo (iii)

Si la v.a. es máximo anual [ ] ( ) 1

Probabilidad de excedencia[ ] ( ) ][añomediafrecuencia 1−=≤ xFxXP X

Probabilidad de excedencia[ ] ( )xFxXP X−=> 1

✓Período de retorno T período medio entre excedencias en años

( )xFT

X−=

11

No confundir con período exacto de ocurrencia

( )xFX1


Período de retorno y riesgo (iv)Período de retorno y riesgo (iv)

V.a. X es el Qmáx anual registrado en el aforo de un ríoT = 100 años para X = 150 m3/s indica que:T = 100 años para X = 150 m /s indica que:

✓ Probabilidad de no excedencia del valor 150 m3/s un año cualquiera esP [X≤150] = FX(150) = 1-(1/T) = 1-(1/100) = 1-0,01 = 0,99

✓ Probabilidad de excedencia del valor 150 m3/s un año cualquiera es✓ Probabilidad de excedencia del valor 150 m /s un año cualquiera esP [X>150] = 1-FX(150) = 1/T = 1/100 = 0,01

✓ En los próximos 1000 años ¿cuántas veces Qmáx anual superará 150 m3/s?:

en el entorno de 10 veces

✓ En los próximos 1000 años ¿cuál es la probabilidad de que el valor 150 3/ d l 1 ? RIESGO


150 m3/s se vea superado al menos 1 vez? → RIESGO

Período de retorno y riesgo (v)Período de retorno y riesgo (v)

“Fallo” de una infraestructura hidráulica = situación en la que su capacidad se ve superada (excedencia)q p p ( )

Si caudal de diseño es XT => probabilidad de fallo un año cualquiera es p = 1/Taño cualquiera es p 1/T

Si Z = # fallos durante N años => Z ~ binomial (N,p)

( ) zNz ppN

=z] [ZP −−⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

= 1

Riesgo durante un período N:

( )ppz

][ ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

Riesgo durante un período N:

( )Np=]P[ZR −−=−= 110129


( )p] P[ZR 1101

Período de retorno y riesgo (vi)Período de retorno y riesgo (vi)

V.a. X es el Qmáx anual registrado en el aforo de un ríoT = 100 años para X = 150 m3/s indica que:p q

✓ El riesgo en los próximos 1000 años esp = P [X>150] = 1/T = 1/100 = 0 01p = P [X>150] = 1/T = 1/100 = 0,01N = 1000

✓ El i l ó i 20 ñR = 1-(1-p)N = 0,9996

✓ El riesgo en los próximos 20 años esp = 0,01N = 20N = 20

✓ La probabilidad de que se supere 150 m3/s una vez en los próximos 20 años es

R = 1-(1-p)N = 0,1821

años esp = 0,01N = 20, z = 1 P [Z 1] 0 011 (1 0 01)20 1 0 1652

20


N 20, z 1 P [Z=1] = · 0,011 · (1-0,01)20-1 = 0,16521

ÍndiceÍndice

Revisión de conceptos básicosFenómenos aleatorios Variables estadísticas yFenómenos aleatorios. Variables estadísticas y aleatoriasModelos probabilísticos de mayor uso en hidrologíaModelos probabilísticos de mayor uso en hidrología✓ Recursos✓ Crecidas✓ Crecidas

Técnicas de estimación de parámetros y selección de modelosmodelosPeríodo de retorno y riesgo Análisis de frecuencia


Análisis de frecuencia (i)Análisis de frecuencia (i)

Objetivo: Relacionar magnitud evento con f i d i di t lsu frecuencia de ocurrencia mediante el

uso de funciones de distribución de probabilidad

Resultados: Obtener caudales de diseño, entre otrosentre otros


Análisis de frecuencia (ii)Análisis de frecuencia (ii)

Análisis de frecuencia utilizando el Factor de Frecuencia Kde Frecuencia KT

✓Funciones que no son fácilmente invertibles✓Funciones que no son fácilmente invertiblesNormal

Log-Pearson tipo III

EV (Caso particular GEV)EV (Caso particular GEV)

✓La magnitud xT xTT SKxx +=

✓ yTT SKyyxy +=→= )log(


Análisis de frecuencia (iii)Análisis de frecuencia (iii)

Pasos:

1. Calcular los parámetros estadísticos de la distrib ciónla distribución

2 Para T determinar K = f(C ;T)2. Para T, determinar KT = f(Cs;T)1 Expresión matemática1. Expresión matemática

2. Valores tabulados


Análisis de frecuencia (iv)Análisis de frecuencia (iv)

Distribución Normal

zxK tT =

−=

σμ

σ

201032808028530515517232

2

001308.0189269.0432788.11010328.0802853.0515517.2

wwwwwwz

+++++−

=

21

2

1ln ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

pw

⎦⎣⎟⎠

⎜⎝ p


Análisis de frecuencia (v)Análisis de frecuencia (v)

Distribución EV Tipo I (Gumbel)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

1lnln5772.06

TTKT π ⎭⎩

⎥⎦

⎢⎣ ⎠⎝ −1Tπ

ñTxT 332⎬

⎫= μ✓ añosT

KT

T 33.20

=⎭⎬⎫

=μ


Análisis de frecuencia (vi)Análisis de frecuencia (vi)

Distribución Log-Pearson tipo III

( ) ( ) ( ) 5432232

3116

311 kzkkzkzzkzzKT ++−−−+−+=

33

sCk =6

k =

✓z se calcula igual que para la distribución Normalo a


Período de retorno y riesgo (vii)Período de retorno y riesgo (vii)

I t l d fiIntervalos de confianza

UTyT KSyU αα ,, +=

LKSyL += TyT KSyL αα ,, +=

bKK ± 2

aabKK

K TTLUT

−±=

2,

,α

( )121

2

−−=

nza α

nzKb T

22 α−=


Conclusión

Conceptos básicosConceptos básicos

Objetivo: Conocer características estadísticas de la muestra de datos hidrológicos1. Selección de la variable aleatoria y su muestra2 Asumir una expresión funcional de distribución de2. Asumir una expresión funcional de distribución de

probabilidad (Estadística Paramétrica)3 Estimar sus parámetros a partir de la muestra3. Estimar sus parámetros a partir de la muestra4. Seleccionar el mejor modelo estadístico

1. Modelo = función de distribución + método de estimación2. Prueba de bondad de ajuste

5. Cálculo de los estadísticos y cuantiles y su incertidumbre


Utilidad del Análisis EstadísticoUtilidad del Análisis Estadístico

Análisis estadístico sólo si existen datos

De caudales: cuencas con estación de aforosDe caudales: cuencas con estación de aforos(poco habitual)✓Análisis de la Frecuencia de las Crecidas

Cuantiles

✓En Recursos: Régimen Hidrológico => estadísticos de diversas v ade diversas v.a.


Utilidad del Análisis EstadísticoUtilidad del Análisis Estadístico

De precipitación: cuencas no aforadas(siempre hay datos diarios)(siempre hay datos diarios)✓En Crecidas, paso previo del Análisis

Hidrometeorológico clásico:Hidrometeorológico clásico:Análisis de la Frecuencia de Precipitaciones Diarias Máximas AnualesCálculo de la Tormenta (o Hietograma) de Proyecto de período TAplicación de un modelo de transformación lluvia-escorrentía => QT

Ambos, aunque la cuenca sea aforada


1.5 análisis estadístico

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