13e052meh - mehanikaautomatika.etf.bg.ac.rs/images/fajlovi_srpski/predmeti/...primer (#1) – metod...

13E052MEH - Mehanika

#3 Lagranzova formulacija mehanike - konzervativni sistemi sa

ogranicenjem (sa funkcijama veza)

doc. dr Marko Krstic

jesenji semestar skolske 2019/2020. godine

Elektrotehnicki fakultet, Univerzitet u Beogradu

Sistemi sa ogranicenjem

Najveca prednost Lagranzove formulacije mehanike ogleda se u

primenama na sisteme koji imaju odredeno ogranicenje koje ukida neki/e

od dostupnih stepeni slobode kretanja.

Neki primeri:

• kuglica kroz koju je provucena zica – kuglica moze da se krece po

trajektoriji koja je odredena formom zice, ali ne i drugacije;

• atomi u krutom telu – mogu da se krecu tako da uvek odrzavaju

medusobno fiksno rastojanje;

• matematicko klatno – materijalna tacka mase m, vezana krutom

vezom zanemarljive mase za tacku oslonca oko koje moze da rotira

uvek na konstantnom poluprecniku...

1

Sistemi sa ogranicenjem - nastavak

m

φ

N

mgR x

y

Uref

Na slici je prikazana mala kuglica

mase m koja se moze smatrati materijalnom

tackom, koja u pocetnom trenutku miruje

na glatkoj podlozi poprecnog preseka u obliku

polucilindra, poluprecnika R. Kuglici se saopsti

infinitezimalno mala brzina tako da kuglica krene

da klizi niz podlogu.

Ovakvo kretanje predstavlja kretanje sa ociglednim ogranicenjem da se

kuglica, sve dok je u kontaktu sa podlogom, nalazi na radijalnom

rastojanju R od koordinatnog pocetka Dekartovog koordinatnog sistema,

kao na slici.

Spram ogranicenja, jedina generalisana koordinata predstavlja ugao ϕ.

Ukoliko se referentni nivo za potencijalnu energiju provuce kroz x osu

Dekartovog koordinatnog sistema, potencijalna, kineticka energija i

Lagranzijan problema, T , U i L, respektivno, imaju sledece forme:

2

Sistemi sa ogranicenjem - nastavak

T =1

2Iω2 =

1

2mR2ϕ2, U = mgR cosϕ,

L(ϕ) = T − U =1

2mR2ϕ2 −mgR cosϕ.

Jednacina kretanja daje:

∂L∂ϕ− d

dt

(∂L∂ϕ

)= 0→ ϕ =

g

Rsinϕ.

U gornjim jednacinama, u samom startu je implementirano ogranicenje

ρ = R, odnosno ρ = ρ = 0. Na taj nacin, medutim, nije ostavljena

mogucnost da se odredi sila reakcije podloge N , koja upravo deluje po

radijalnoj ρ osi i u ovom slucaju predstavlja silu koja definise ogranicenje

(onog trenutka kada se telo odvoji od podloge, kada prestane da vazi

ogranicenje ρ = R, sila N postaje jednaka nuli, N = 0).

3

– Metod potencijala ogranicenja –

3

Primer (#1) – metod potencijala ogranicenja

Da bi se odredile sile ogranicenja u nekom sistemu, potrebno je u samom

startu dozvoliti i one stepene slobode koji su uskraceni ogranicenjem, a

zatim uvesti ogranicenje na odgovarajuci nacin.

Na primeru kuglice sa slajda 2, prvo ce biti pokazan metod uvodenja

potencijala ogranicenja.

Lagranzijan kuglice u kome se osim kretanja po ϕ osi dozvoljava i

kretanje po ρ osi ima formu:

L(ρ, ϕ) = T − U =1

2mρ2ϕ2 +

1

2mρ2 − [mgρ cosϕ+ V (ρ)].

U kinetickoj energiji, moment inercije kuglice napisan je u funkciji potega

ρ (umesto da je ρ odmah u startu fiksiran na R) i dodatno je dozvoljena

translacija po ρ osi, kroz clan 1/2mρ2. U potencijalnoj energiji kao

dodatak, pojavljuje se potencijal ogranicenja V (ρ) koji je funkcija

koordinate po kojoj postoji ogranicenje.

4

Primer (#1) – metod potencijala ogranicenja - nastavak

R

V(ρ)

ρ

Ovaj potencijal moze se razumeti na sledeci nacin.

Prilikom kretanja, kuglica pritiska podlogu i ugiba je

za neko jako malo radijalno rastojanje, dok podloga

usled ugibanja uzvraca silom reakcije koja sprecava

kuglicu da potone u podlogu (moze se zamisliti

da je podloga sastavljena od velikog broja gusto

rasporedanih opruga, jako velike konstante krutosti,

tako da sabijanje tezi nuli, ali zbog velike konstante

krutosti postoji restituciona sila konacnog intenziteta).

Skica ovakvog potencijala data je na slici. Na radijalnim rastojanjima

ρ > R, potencijal je jednak nuli, jer ne postoji kontakt kuglice i podloge,

pa nema ni sile reakcije. Na radijalnim rastojanjima ρ < R, potencijal

ima beskonacno veliki nagib, tj. sila (koja predstavlja izvod potencijala

po ρ) ima beskonacno veliki intenzitet (ne dozvoljava se da telo propadne

u podlogu). U tacki ρ = R, potencijal ima neki konacni nagib koji

definise silu reakcije, u ovom slucaju ogranicenja.5


Jednacine kretanja po ρ i ϕ osi daju:

∂L∂ρ− d

dt

(∂L∂ρ

)= 0→ mρ = mρϕ2 −mg cosϕ− dV

dρ,

∂L∂ϕ− d

dt

(∂L∂ϕ

)= 0→ ρϕ+ 2ρϕ = g sinϕ.

U ovom trenutku uvodi se ogranicenje:

ρ = R⇒ ρ = ρ = 0.

Jednacine kretanja sada postaju:

0 = mRϕ2 −mg cosϕ− dV

dρ

∣∣∣ρ=R

, (1)

Rϕ = g sinϕ. (2)

Jednacina po koordinati po kojoj nema ogranicenja (jednacina (2)) daje

isti rezultat kao i jednacina izvedena na slajdu 3, gde nije pretpostavljeno

ogranicenje.

6


Jednacina po koordinati po kojoj postoji ogranicenje (jednacina (1)) daje

jednacinu kretanja po radijalnoj osi. Kako je sila ogranicenja F con

(skracenica “con” od engleske reci constraint):

F con ≡ N = −dVdρ

∣∣∣ρ=R

,

to jednacina (1) ima formu:

mRϕ2 = mg cosϕ−N,

sto predstavlja jednacinu kretanja po radijalnoj osi, gde je Rϕ2 = annormalno ubrzanje kuglice mase m.

Na ovaj nacin, zahvaljujuci uvodenju potencijala ogranicenja, moguce je

izracunati silu ogranicenja, u ovom primeru silu reakcije podloge:

F con ≡ N = mg cosϕ−mRϕ2.

7


Isti primer moguce je resiti i u Dekartovom koordinatnom sistemu, iako je

on za ovaj primer nepogodniji. U Dekartovom koodinatnom sistemu

prikazanom na slici na slajdu 3, ogranicenje je dato u formi jednacine

kruga poluprecnika R, sa centrom u (x, y) = (0, 0):√x2 + y2 = R.

Neka je η(x, y) =√x2 + y2 −R udaljenje kuglice od podloge.

Ogranicenje tada namece η = 0.

Lagranzijan kuglice ima formu:

L =1

2m(x2 + y2)−mgy − V (η).

Jednacine kretanja sada imaju formu:

∂L∂x− d

dt

(∂L∂x

)= 0→ mx = −dV

dη

∂η

∂x,

∂L∂y− d

dt

(∂L∂y

)= 0→ my = −mg − dV

dη

∂η

∂y.

8


Sila ogranicenja jednaka je:

F con ≡ N = −dVdη

∣∣∣η=0

,

te uz uvodenje ogranicenja (η = 0) jednacine kretanja postaju:

mx = −dVdη

∣∣∣η=0

∂η

∂x

∣∣∣η=0

= N∂η

∂x

∣∣∣η=0

,

my = −mg − dV

dη

∣∣∣η=0

∂η

∂y

∣∣∣η=0

= −mg +N∂η

∂y

∣∣∣η=0

.

Potrebni izvodi po x i y iznose:

∂η

∂x=

1

2√x2 + y2

2x,∂η

∂y=

1

2√x2 + y2

2y,

a uz ogranicenje η = 0, odnosno√x2 + y2 = R iznose:

∂η

∂x

∣∣∣η=0

=x

R,

∂η

∂y

∣∣∣η=0

=y

R.

9


Konacne jednacine kretanja u Dekartovom koordinatnom sistemu imaju

formu:

mx = Nx

R, my = −mg +N

y

R,

sto uz x/R = sinϕ i y/R = cosϕ, daju jednacine kretanja koje

odgovaraju balansu sila kao na slici (Nx/R = N sinϕ = Nx,

Ny/R = N cosϕ = Ny). ♣

φ

Nx

Ny

mgR x

y

10


α

mx

y

Uref

hx

hy

Kao drugi primer kretanja

sa ogranicenjem, na slici je prikazan blok

mase m koji klizi niz glatku strmu ravan

nagibnog ugla α. Ukoliko se koodinatni

sistem postavi tako da je x osa

postavljena duz strme ravni i usmerena

uz strmu ravan, y osa normalno na

strmu ravan, usmerena od strme ravni,

ogranicenje je dato kao y = 0. Kineticka energija tela, u kojoj je

dozvoljno kretanje po obe ose ima formu:

T =1

2m(x2 + y2).

Ako se referentni nivo za merenje gravitacione potencijalne energije veze

za dno strme ravni, onda je gravitaciona potencijalna energija srazmerna

zbiru visina hx i hy, usled promena x i y koordinate, respektivno:

U = mghx +mghy = mgx sinα+mgy cosα.11


Lagranzijan za blok mase m ima formu:

L =1

2m(x2 + y2)−mg(x sinα+ y cosα)− V (y),

gde je sa V (y) oznacen potencijal reakcijske sile N usled koje postoji

ogranicenje. Jednacine kretanja imaju formu:

∂L∂x− d

dt

(∂L∂x

)= 0→ x = −g sinα, (3)

∂L∂y− d

dt

(∂L∂y

)= 0→ my = −mg cosα− dV

dy. (4)

Jednacina (3) predstavlja ubrzanje bloka mase m koji se krece niz strmu

ravan pod uticajem komponente tezine mg sinα, suprotno od pozitivnog

smera x ose, prema izabranoj postavci koordinatnog sistema. Uvodenjem

ogranicenja y = 0→ y = y = 0, za jednacinu kretanja (4) dobija se:

0 = −mg cosα− dV

dy

∣∣∣y=0

= −mg cosα+N,

odnosno N = mg cosα, sto odgovara problemu sa slike. ♣12


m1g m

2g

S1

l1

l2

S1

S2

S2

Uref

Kao treci primer kretanja sa ogranicenjem,

na slici je prikazana Etvudova (Atwood)

masina, odnosno jedan kotur zanemarljive

mase, preko koga je prebacena laka, neistegljiva

nit, na cijim krajevima se nalaze dva tega masa

m1 i m2. Sistem se nalazi u gravitacionom polju

ubrzanja g. Nit klizi preko kotura bez trenja.

Kako je nit neistegljiva, u svakom kraju niti (sa

leve i desne strane) zatezne sile su iste, odnosno

kompenzuju se, a kako je kotur zanemarljive

mase, zatezne sile sa oba kraja kotura su jednake, odnosno S1 = S2 = S.

Koordinatni sistem postavljen je tako da generalisana koordinata l1pokazuje duzinu slobodnog dela kanapa sa leve strane, dok generalisana

koordinata l2 pokazuje duzinu slobodnog dela kanapa sa desne strane

kotura. Referentni nivo za merenje potencijalne energije uzet je da

prolazi kroz centar kotura, kao na slici. 13


Ogranicenje u ovom slucaju predstavlja cinjenica da je duzina kanapa

konstantna, tj. da je zbir slobodnih duzina l1, l2 i dela kanapa koji prelazi

preko pola kotura poluprecnika R uvek isti, jednak nekoj ukupnoj duzini l:

l1 + l2 +Rπ = l = const.

Ako se sa η oznaci odstupanje duzine kanapa od l:

η = l1 + l2 +Rπ − l,

onda je ogranicenje dato sa η = 0.

Lagranzijan za sistem na slici ima formu:

L =1

2m1 l1

2+

1

2m2 l2

2− [−m1gl1 −m2gl2 + V (η)] ,

gde je sa l1 oznacena brzina tega mase m1 (analogno i sa tegom mase

m2). Potencijalne energije tegova mase m1 i m2 su negativne (tegovi se

nalaze ispod izabranog referentnog nivoa). Konacno, sa V (η), oznacen je

potencijal ogranicavajuce sile, u ovom slucaju zatezne sile u kanapu.

14


Jednacine kretanja imaju formu:

∂L∂l1− d

dt

(∂L∂l1

)= 0→ m1 l1 = m1g −

dV

dη

∂η

∂l1,

∂L∂l2− d

dt

(∂L∂l2

)= 0→ m2 l2 = m2g −

dV

dη

∂η

∂l2.

Kako je ∂η/∂l1 = ∂η/∂l2 = 1, i uz ogranicenje da je η = 0, dobija se:

m1 l1 = m1g −dV

dη

∣∣∣η=0

= m1g + S,

m2 l2 = m2g −dV

dη

∣∣∣η=0

= m2g + S.

Konacno, diferenciranjem jednacine ogranicenja η = l1 + l2 +Rπ− l = 0,

dobija se l1 = −l2.

15


Smenom veze izmedu ubrzanja kuglica u jednacine kretanja dobija se set

od dve jednacine sa dve nepoznate:

m1 l1 = m1g + S,

−m2 l1 = m2g + S.

Oduzimanjem jednacina dolazi se do resenja za l1, l2 i S, respektivno:

l1 = gm1 −m2

m1 +m2, l2 = g

m2 −m1

m1 +m2, S = −g 2m1m2

m1 +m2.

Za m1 > m2 gornje relacije predvidaju da ce se kuglica mase m1 kretati

na dole, a kuglica mase m2 kretati na gore, sto je i ocekivano.

Minus u izrazu za silu zatezanja znaci da je sila zatezanja koja deluje na

tegove (S = −dV/dη) usmerena suprotno od porasta parametra η.

Prema relaciji η = l1 + l2 +Rπ − l, vidi se da parametar η raste onda

kada l1 i/ili l2 rastu, sto znaci da je sila S okrenuta suprotno od smera

porasta l1 i l2, ili drugim recima suprotno od postavljenog koordinatnog

sistema za l1 i l2, opet u skladu sa ocekivanim rezultatom. ♣16


x

y

φ

mg

S

S

l

OUref

Kao jos

jedan primer kretanja sa ogranicenjem, uzimamo

matematicko klatno sa slike. Mala kuglica

mase m, okacena je za nepomicni oslonac O preko

krutog stapa duzine l i zanemarljivo male mase.

Kuglica se krece u xOy ravni, ali

postoji ocigledno ogranicenje, tj. kretanje kuglice

je ograniceno na trajektoriju kruznice sa centrom

u tacki O i poluprecnikom l, odnosno vazi relacija

koja povezuje x i y koordinatu:√x2 + y2 = l.

U ovom slucaju pogodniji izbor koordinatnog

sistema je polarni koordinatni sistem, odnosno generalisane koordiante su

ρ, ϕ. Ogranicenje je dato formom ρ = l.

17


Neka je η eventualno odstupanje radijalne koordinate od onoga sto je

njeno ogranicenje: η = ρ− l, te ogranicenje postaje η = 0.

Lagranzijan matematickog klatna, uz koordinatni sistem prikazan na slici,

referentni nivo za gravitacionu potencijalnu energiju provucen kroz tacku

vesanja i uz dozvolu da kretanje nije ograniceno, ima formu:

L =1

2mρ2ϕ2 +

1

2mρ2 − [−mgρ cosϕ+ V (η)] .

Jednacine kretanja postaju:

∂L∂ρ− d

dt

(∂L∂ρ

)= 0→ mρ = mρϕ2 +mg cosϕ− dV

dη

∂η

∂ρ,

∂L∂ϕ− d

dt

(∂L∂ϕ

)= 0→ mρ2ϕ+ 2mρρϕ = −mgρ sinϕ.

18


Uvodenjem ogranicenja η = ρ− l = 0, odnosno ρ = l, tj. ρ = ρ = 0,

jednacine postaju:

0 = mlϕ2 +mg cosϕ− dV

dη

∣∣∣η=0

= mlϕ2 +mg cosϕ+ S, (5)

ml2ϕ+ 0 = −mgl sinϕ. (6)

Jednacina (6) daje dobro poznatu jednacinu oscilacija matematickog

klatna ϕ+ (g/l) sinϕ = 0. Jednacina (5) je jednacina kretanja po

radijalnoj osi, odnosno daje:

S = −mlϕ2 −mg cosϕ = −mlω2 −mg cosϕ,

gde je sa ω oznacena ugaona brzina klatna. Parametar η raste onda kada

raste ρ, te sila S ima suprotan smer od pozitivnog smera potega ρ.

Gornja jednacina je ekvivalent jednacine po radijalnoj osi, gde je

mlω2 = man. Znak minus znaci da je sila ogranicenja S okrenuta

suprotno od smera porasta parametra η, sto je u skladu sa ocekivanim. U

ovom slucaju sila S je kompresiona sila u stapu, odnosno sila koja tezi da

stap na kome se nalazi kuglica iscupa iz lezista O. ♣ 19

– Metod Lagranzovih mnozilaca –

19

Sistemi sa ogranicenjem – metod Lagranzovih mnozilaca

Drugi metod inkluzije ogranicenja svodi se na modifikaciju

Lagranz-Ojlerovih jednacina kretanja. U nastavku bice dato izvodenje

modifikovanih Lagranz-Ojlerovih jednacina kretanja za slucaj dve

generalisane koordinate q1 i q2, ali izvodenje moze lako da se generalizuje

na proizvoljan broj generalisanih koordinata.

Neka je dat Lagranzijan nekog sistema L = L(q1, q1, q2, q2). Ovakav

Lagranzijan ekstremizuje Hamiltonovo dejstvo:

S =

∫ t2

t1

L(q1, q1, q2, q2)dt,

pri kretanju po trajektoriji F (q1, q2) = 0. Dodatno, neka postoji

ogranicenje (funkcija veze) koje je predstavljeno funkcijom:

f(q1, q2) = 0. (7)

20

Metod Lagranzovih mnozilaca - nastavak

Slicno kao i prilikom izvodenja Lagranz-Ojelrovih jednacina bez

ogranicenja, pretpostavimo “pogresnu” trajektoriju:

q1(t)→ q1(t) + δq1(t), q2(t)→ q2(t) + δq2(t),

gde je δqi, (i = 1, 2) mali poremecaj, ali za koji, u vremenskom domenu

koji se posmatra (od t1 do t2) mora da vazi:

δq1(t1) = δq1(t2) = 0, δq2(t1) = δq2(t2) = 0,

odnosno, pocetna i krajnja tacka trajektorije su fiksirane.

Ekstremna vrednost Hamiltonovog dejstva S ekvivalentna je uslovu da je

mala promena prvog reda dS jednaka nuli, odnosno:

δS =

∫ t2

t1

(∂L∂q1

δq1 +∂L∂q1

˙δq1 +∂L∂q2

δq2 +∂L∂q2

˙δq2

)dt = 0, (8)

gde je ˙δqi = d(δqi)/dt, (i = 1, 2).

21


Clanovi integrala u formi: ∫ t2

t1

∂L∂qi

˙δqidt

mogu da se rese parcijalnom integracijom:

u =∂L∂qi

⇒ du = d

(∂L∂qi

)=

d

dt

(∂L∂qi

)dt

dv = ˙δqidt =d(δqi)

dtdt = d(δqi) ⇒ v = δqi.

Sada gornji integral postaje:∫ t2

t1

∂L∂qi

˙δqidt = uv∣∣∣t2t1−∫ t2

t1

vdu =∂L∂qi

δqi

∣∣∣t2t1−∫ t2

t1

δqid

dt

(∂L∂qi

)dt.

22


Kako je δqi(t1) = δqi(t2) = 0, prvi deo poslednjeg izraza postaje jednak

0, odnosno: ∫ t2

t1

∂L∂qi

˙δqidt = 0−∫ t2

t1

δqid

dt

(∂L∂qi

)dt.

Sada relacija (8) sa slajda 21 ima formu:

δS =

∫ t2

t1

[∂L∂q1− d

dt

(∂L∂q1

)]δq1dt+

∫ t2

t1

[∂L∂q2− d

dt

(∂L∂q2

)]δq2dt = 0.

(9)

Mala promena prvog reda funkcije koja opisuje ogranicenje (relacija (7))

ima formu:

δf =∂f

∂q1δq1 +

∂f

∂q2δq2 = 0.

23


Ako se poslednji izraz pomnozi nekom proizvoljnom konstantom λ (koja

u opstem slucaju moze biti funkcija vremena, λ = λ(t)), vrednost tog

proizvoda ostaje jednaka 0:

λδf = 0.

Ako se ovaj izraz doda izrazu za δS, relacija (9) postaje:

δS =

∫ t2

t1

[∂L∂q1

+ λ∂f

∂q1− d

dt

(∂L∂q1

)]δq1dt+∫ t2

t1

[∂L∂q2

+ λ∂f

∂q2− d

dt

(∂L∂q2

)]δq2dt = 0.

Na ovaj nacin dolazi se do modifikovanih Lagranz-Ojlerovih jednacina

kretanja sa ogranicenjem datim kroz funkciju f :

24


Modifikovane Lagranz-Ojlerove jednacine

Jednacine kretanja u slucaju ogranicenja f(q1, q2, ..., qn) = 0, imaju

formu:∂L∂qi

+ λ∂f

∂qi− d

dt

(∂L∂qi

)= 0, (10)

gde je i = 1, ..., n.

Clan

λ∂f

∂qi= F con

i ,

predstavlja i-tu komponentu generalisane sile ogranicenja F con.

U slucaju da postoji vise ogranicenja f1, f2, ...fk, gde je k broj

ogranicenja u sistemu, modifikovane Lagranz-Ojlerove jednacine imaju

formu:∂L∂qi

+

k∑j=1

λj∂f

∂qi− d

dt

(∂L∂qi

)= 0, (11)

gde je i = 1, ..., n. ♣25

Primer (#5) – metod Lagranzovih mnozilaca

m1g m

2g

S1

l1

l2

S1

S2

S2

Uref

Metod

Lagranzovih mnozilaca primenicemo na primeru

Etvudove masine sa slike – kotur zanemarljive

mase, preko koga je prebacena laka, neistegljiva

nit, na cijim krajevima se nalaze dva tega masa

m1 i m2. Sistem se nalazi u gravitacionom polju

ubrzanja g. Nit klizi preko kotura bez trenja.

Kako je nit neistegljiva, u svakom kraju niti (sa

leve i desne strane) zatezne sile su iste, odnosno

kompenzuju se, a kako je kotur zanemarljive

mase, zatezne sile sa oba kraja kotura su jednake, odnosno S1 = S2 = S.

Koordinatni sistem postavljen je tako da generalisana koordinata l1pokazuje duzinu slobodnog dela kanapa sa leve strane, dok generalisana

koordinata l2 pokazuje duzinu slobodnog dela kanapa sa desne strane

kotura. Referentni nivo za merenje potencijalne energije uzet je da

prolazi kroz centar kotura, kao na slici. 26

Primer (#5) – metod Lagranzovih mnozilaca - nastavak

Ogranicenje je u ovom slucaju cinjenica da je ukupna duzina kanapa

konstantna i iznosi L = l1 + l2 +Rπ, odnosno:

f(l1, l2) = l1 + l2 +Rπ − L = 0.

Ako je referentni nivo za gravitacionu potencijalnu energiju provucen kroz

centar kotura kao na slici, tada je Lagranzijan sistema:

L = T − U =1

2m1 l1

2+

1

2m2 l2

2− (−m1gl1 −m2gl2).

Lagranzove jednacine kretanja po generalisanim koordinatama l1, l2 imaju

formu:

∂L∂l1

+ λ∂f

∂l1− d

dt

(∂L∂l1

)⇒ m1g + λ−m1 l1 = 0,

∂L∂l2

+ λ∂f

∂l2− d

dt

(∂L∂l2

)⇒ m2g + λ−m2 l2 = 0.

27


Treca potrebna jednacina, koja predstavlja vezu izmedu ubrzanja tegova,

dobija se diferenciranjem funkcije ogranicenja: l1 = −l2.

Smenom ove veze u dobijene jednacine kretanja, a zatim njihovim

medusobnim oduzimanjem, dobija se:

g(m1 −m2) = −l2(m1 +m2),

odnosno:

l2 = gm2 −m1

m1 +m2, l1 = g

m1 −m2

m1 +m2, λ = −g 2m1m2

m1 +m2.

Komponenta sile ogranicenja koja deluje duz l1 generalisne koordinate

iznosi:

F conl1 = λ

∂f

∂l1= λ = −g 2m1m2

m1 +m2≡ S1,

a identican izraz dobija se i za silu S2. Predznak minus znaci da sile

S1, S2 deluju suprotno od smera povecanja koordinate l1, l2 prema

postavci koordinatnog sistema sa slike. ♣

28

Primer (#6) – metod Lagranzovih mnozilaca

αUref

y

x

Nx

Ny

mg

U narednom primeru opet ce biti opisana

translacija bloka mase m na strmoj

ravni, ovog puta sa drugacijim izborom

koordinatnog sistema, kao na slici.

Prema postavci koordinatnog sistema sa

slike, funkcija ogranicenja za blok mase

m, odnosno jednacina strme ravni ima

formu: y = y0 − x tanα, gde y0 = const.

predstavlja y koordinatu vrha strme ravni. Funkcija ogranicenja zapisana

u eksplicitnoj formi je:

f(x, y) = y + x tanα− y0 = 0.

Prema usvojenom referentnom nivou za gravitacionu potencijalnu

energiju, Lagranzijan kretanja ima formu:

L =1

2mx2 +

1

2my2 −mgy

29


Iz Lagranzijana dolazi se do jednacina kretanja po x i y osi:

mx = λ tanα, my = λ−mg.

Diferenciranjem jednacine ogranicenja, dobija se veza izmedu x i y:

y = −x tanα.

Smenom ove veze u jednacine kretanja, a zatim eleminacijom λ, dobijaju

se resenja za kretanje bloka mase m:

x = g sinα cosα,

sto odgovara x projekciji ubrzanja tega koje je posledica projekcije tezine

bloka, usmereno niz strmu ravan i iznosi g sinα. Uz uslov y = −x tanα,

dolazi se do

y = −g sin2 α,

sto odgovara y projekciji ubrzanja.

30


Konacno, komponente generalisane sile ogranicenja iznose:

F conx = λ

∂f

∂x= λ tanα = mx = mg sinα cosα ≡ Nx,

F cony = λ

∂f

∂y= λ =

mx

tanα= mg cos2 α ≡ Ny.

Vektorski zbir ove dve komponente, daje dobro poznat izraz za intenzitet

sile reakcije na blok koji se nalazi na strmoj ravni nagibnog ugla α:

N =√N2x +N2

y = mg cosα. ♣

31

– Constraint stabilization method –

31

Constraint stabilization method

x

y

φ

mg

S

S

l

OUref

Na primeru matematickog klatna (mala

kuglica mase m okacena o nepomicni oslonac

O preko lakog stapa duzine l), bice pokazana

metoda kojom se algebarska jednacina ogranicenja

moze modifikovati u diferencijalnu i pridruziti

sistemu diferencijalnih jednacina kretanja.

Ovakva metoda u engleskoj literaturi naziva

se constraint stabilization method i predstavlja

zgodan nacin da se sistem numericki evaluira

kroz neku od numerickih metoda za resavanje

diferencijalnih jednacina (recimo Runge-Kuta

metod).

Primer klatna bice uraden u Dekartovom koordinatnom sistemu.

Prema slici, potencijalna energija kuglice mase m iznosi U = −mgy.

32

Constraint stabilization method - nastavak

Kineticka energija klatna ima formu:

T =1

2mx2 +

1

2my2,

te konacno Lagranzijan ima formu:

L = T − U =1

2mx2 +

1

2my2 +mgy.

Jednacina ogranicenja predstavlja jednacinu kruga sa centrom u

koordinatnom pocetku O i poluprecnikom l: x2 + y2 = l2, odnosno:

f(x, y) = x2 + y2 − l2 = 0.

Ova algebarska jednacina moze biti vrlo priblizno predstavljena

diferencijalnom jednacinom kriticno prigusenog oscilatora, sa velikom

konstantnom prigusenja, sto znaci da ce jako brzo uci u ravnotezno

stanje:

f(x, y) = 0 ≡ f + 2ξf + ξ2f = 0, (12)

gde je ξ > 0 i ima veliku vrednost.

33


Prvi izvod funkcije ogranicenja ima formu:

f =∂f

∂x

dx

dt+∂f

∂y

dy

dt= fxx+ fy y,

gde je uvedena smena ∂f/∂x = fx i ∂f/∂y = fy.

Drugi izvod ima formu:

f = fxx+ fxx+ fy y + fy y.

Dalje, mozemo pisati:

fx =∂fx∂x

dx

dt+∂fx∂y

dy

dt= fxxx+ fxy y,

fy =∂fy∂x

dx

dt+∂fy∂y

dy

dt= fyxx+ fyy y,

gde su uvedene smene ∂fx/∂x = fxx, ∂fx/∂y = fxy, ∂fy/∂x = fyx i

∂fy/∂y = fyy.

34


Konacno, kompletan izraz za drugi izvod funkcije ogranicenja moze da se

zapise u formi:

f = (fxxx+ fxy y) x+ fxx+ (fyxx+ fyy y) y + fy y,

ili u matricnoj formi:

f =[fx fy

] [xy

]+[x y

] [fxx fxyfyx fyy

][x

y

].

Uz smene x = vx i y = vy, cela diferencijalna jednacina ogranicenja (12)

moze da se zapise u formi:

−[fx fy

] [vxvy

]=[vx vy

] [fxx fxyfyx fyy

][vxvy

]+2ξ (fxvx + fyvy)+ξ

2f.

Radi lakseg pisanja uvescemo smenu da je ceo izraz sa desne strane

poslednje jednacine neka funkcija C(x, y, vx, vy).

35


Jednacine kretanja sa ogranicenjem imaju formu:

∂L∂x

+ λ∂f

∂x− d

dt

(∂L∂x

)= 0⇒ λfx −mx = 0,

∂L∂y

+ λ∂f

∂y− d

dt

(∂L∂y

)= 0⇒ mg + λfy −my = 0,

odnosno uz smenu x = vx i y = vy:

λfx −mvx = 0, mg + λfy −mvy = 0.

Konacno, sistem diferencijalnih jednacina (jednacine kretanja +

diferencijalna jednacina izvedena iz algebarske jednacine ogranicenja)

moze da se u punoj formi zapise kao:

36


x = vx,

y = vy, m 0 −fx0 m −fy−fx −fy 0

vxvyλ

=

0

mg

C(x, y, vx, vy)

,gde je C(x, y, vx, vy) prema smeni sa slajda 35 dato kao

C(x, y, vx, vy) =[vx vy

] [fxx fxyfyx fyy

][vxvy

]+2ξ (fxvx + fyvy)+ξ

2f. ♣

37

– Zadaci –

37

Zadatak #1

[#1] Na homogeni valjak mase m i poluprecnika R, namotan je lak i

neistegljiv kanap. Slobodan kraj kanapa okacen je o plafon, tako da se

valjak pod uticajem sile teze odmotava. Prilikom odmotavanja, nema

proklizavanja kanapa. Napisati Lagranzijan i jednacine kretanja valjka i

pronaci generalisane sile ogranicenja.

38

Zadatak #1 - resenje

mgx

S Uref

ω

Neka je koordinatni sistem

postavljen kao na slici. Prema usvojenom referentnom

nivou za gravitacionu potencijalnu energiju, ona iznosi:

U = −mgx.

Kineticka energija predstavlja zbir

kineticke energije translacije i kineticke energije rotacije:

T =1

2mx2 +

1

2Iω2,

odnosno kako je ω = ϕ, izraz za kineticku energiju postaje:

T =1

2mx2 +

1

2

1

2mR2ϕ.

Konacno, ogranicenje je dato uslovom da nema proklizavanja x = Rϕ,

gde je ugao ϕ = ωt ugao za koji se valjak zarotira prilikom odmotavanja

kanapa, tj.:

f(x, ϕ) = x−Rϕ = 0.

39


Lagranzijan sistema ima formu:

L = T − U =1

2mx2 +

1

4mR2ϕ+mgx,

te jednacine kretanja po x i ϕ postaju:

∂L∂x

+ λ∂f

∂x− d

dt

(∂L∂x

)⇒ mg + λ = mx,

∂L∂ϕ

+ λ∂f

∂ϕ− d

dt

(∂L∂ϕ

)⇒ −λR =

1

2mR2ϕ.

Diferenciranje jednacine ogranicenja daje vezu izmedu x i ϕ: x = Rϕ.

Zamenom ove veze u jednacine kretanja i eliminacijom λ dolazi se do

izraza za ubrzanja centra mase valjka x i njegovo ugaono ubrzanje

rotacije oko centra mase ϕ:

x =2g

3, ϕ =

2g

3R.

40


Konacno za komponente generalisane sile dobija se:

F conx = λ

∂f

∂x= λ = −mg

3≡ S,

sto predstavlja zateznu silu u kanapu.

F conϕ = λ

∂f

∂ϕ= −λR = R

mg

3≡MS ,

sto predstavlja moment sile S oko centra mase valjka.

Negativni predznak ispred zatezne sile sugerise da je okrenuta suprotno

od pretpostavljene x ose, odnosno da je smer suprotan smeru povecanja

x generalisane koordinate, dok pozitivni predznak ispred momenta sile S

sugerise da moment sile S podrzava povecanje ugla ϕ. ♣

41

Zadatak #2

[#2] Homogeni valjak mase m i poluprecnika R pusten je iz stanja

mirovanja da se kotrlja bez proklizavanja niz strmu ravan nagibnog ugla

β.

• Napisati ogranicenje koje proistice iz uslova da se valjak kotrlja bez

proklizavanja;

• Sastaviti Lagranzijan sistema i uz ogranicenje odrediti jednacine

kretanja valjka;

• Iz dobijenih jednacina kretanja, odrediti ubrzanje centra mase valjka

i njegovo ugaono ubrzanje;

• Odrediti generalisane sile ogranicenja i objasniti njihov fizicki smisao.

42


Za generalisane koordinate (x, y, ϕ) (centar mase valjka se spusta niz x

osu, ϕ predstavlja ugao rotacije valjka), u slucaju da je horizontalna

podloga uzeta za referetni nivo potencijalne energije, kineticka i

potencijalna energija, respektivno, date su kao:

T =1

2mx2 +

1

2my2 +

1

2ICMϕ

2, U = U0 −mgx sinβ +mgy cosβ,

m

xβ

g

gde

je ICM = (1/2)mR2 moment inercije homogenog

valjka oko centra mase, a U0 konstanta koja je

jednaka potencijalnoj energiji valjka u pocetnom

trenutku kada se nalazi na vrhu strme ravni.

43


Lagranzijan valjka ima formu:

L(x, y, ϕ) = 1

2mx2 +

1

2my2 +

1

4mR2ϕ2 +mgx sinβ −mgy cosβ − U0.

Ogranicenja su data funkcijama:

fxϕ(x, ϕ) = x−Rϕ = 0, fy(y) = y −R = 0,

a Lagranz-Ojlerove jednacine sa ogranicenjima imaju formu:

∂L∂x

+ λxϕ∂fxϕ∂x− d

dt

(∂L∂x

)= 0

∂L∂ϕ

+ λxϕ∂fxϕ∂ϕ

− d

dt

(∂L∂ϕ

)= 0

∂L∂y

+ λy∂fy∂y− d

dt

(∂L∂y

)= 0.

44


Trazene generalisane sile ogranicenja su reakcija podloge N , sila trenja

Ftr i moment sile trenja MFtr , respektivno:

λy∂fy∂y

= mg cosβ = N,

λxϕ∂fxϕ∂x

= −1

3mg sinβ = Ftr,

λxϕ∂fxϕ∂ϕ

=1

3mgR sinβ =MFtr .

Jednacine kretanja valjka su:

x =2

3g sinβ, y = 0, ϕ =

2g

3Rsinβ. ♣

45

13e052meh - mehanikaautomatika.etf.bg.ac.rs/images/fajlovi_srpski/predmeti/...primer (#1) – metod...

Documents