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12. Teorema Fundamental del Cálculo

“asdfasdfasdfasdfasdf.”

Wang Zhenyi (1768-1797)12.1 AntiderivadasA continuación recopilamos las derivadas de las funciones que desarrollamos anteriormente.

F(x) F ′(x) F(x) F ′(x)

xa

(para cualquier a ∈ R) axa−1

ex ex

ax

(para a > 0)ax ln(a)

ln(x) 1x

loga(x)(para a > 0)

1x ln(a)

sen(x) cos(x)

cos(x) − sen(x)

tan(x)1

cos2(x)

arc cos(x) −1

√1 − x2

arc sen(x)1

√1 − x2

arctan(x) 11 + x2

Derivando Derivando

En todos los casos debe considerarse eldominio de las funciones y sus deriva-das tal como se detalló en los módulosanteriores. Por ejemplo, recordar que lasfunciones exponenciales están definidasy son derivables en todo R. En cambio,la función xa con a = 1

2 está definida enel intervalo [0, +∞) y es derivable sóloen el intervalo (0, +∞).

Decimos, por ejemplo que

f (x) = 3x2 es la derivada de F(x) = x3

El proceso inverso se denomina antiderivada.Decimos que

F(x) = x3 es una antiderivada de f (x) = 3x2

Y aquí debemos remarcar que este proceso inverso no es único (nunca). Porque existenuna cantidad infinita de funciones que son antiderivadas de f (x) = 3x2.

F1(x) = x3

F2(x) = x3 + 1

F3(x) = x3 + π

F4(x) = x3 − 3

...

FC(x) = x3 + C

f (x) = 3x2

2 Capítulo 12. Teorema Fundamental del Cálculo

Podemos decir que cualquier función de la forma

Fc(x) = x3 + C

(donde C puede ser cualquier número real) es una antiderivada de la función f (x) = 3x2 entodo R.

Definición 12.1.1 Una función F(x) de dice antiderivada o primitiva de la función f (x)en un intervalo (un intervalo que puede ser de cualquier forma) si F ′(x) = f (x).

C No todas las funciones tienen una antiderivada en cualquier intervalo. La existencia ono de las antiderivadas estará condicionada a las propiedades de la función (incluyendoel dominio que se esté considerando).Sin embargo, si una función f tiene alguna primitiva en algún intervalo, entoncesnecesariamente tendrá una cantidad infinita de primitivas (por lo detallado más arriba)que se pueden construir sumando cualquier constante C.El siguiente teorema dice un poco más. Dice que todas las antiderivadas de una función(en el caso que exista alguna) son exclusivamente de la forma en que se construyensumando alguna constante C.

Teorema 12.1.1 Si F es una antiderivada de f en un intervalo (de cualquier forma), entoncestodas las antiderivadas de f en el mismo intervalo son de la forma

FC(x) = F(x) + C

para cualquier constante C.

x

y

Figura 12.1: Varias antiderivadas dela función f (x) = 3x2.

SiH(x) es una función tal queH′(x) = 0para todo x ∈ (a, b) entonces tomandox2 y x1 ∈ (a, b) se tiene, usando elTeorema del Valor Medio, que existe x̃en el intervalo (a, b) tal que

H(x2) − H(x1) = H′(x̃)︸︷︷︸=0

(x2 − x1)

Por lo tanto

H(x2) − H(x1) = 0

O sea, H(x2) = H(x1). Y por lo tantoH es una función constante.

Si F(x) y G(x) son dos antiderivadas de la función f (x) en el mismo intervalo (a, b)entonces

H(x) = F(x) − G(x)

es una función derivable en el intervalo (a, b) y

H ′(x) = F ′(x) − G′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b)

por lo tanto H(x) debe ser una función constante (ver el recuadro del margen)

H(x) = C =⇒ F(x) = G(x) + C

� Ejemplo 12.1 Si consideramos f (x) = sen(x) entonces F(x) = − cos(x) es una antiderivadade f (x) en todo R. De modo que el conjunto completo de funciones antiderivadas def (x) en todo R será de la forma

F(x) = − cos(x) + C

�

� Ejemplo 12.2 La función f (x) =1xestá definida en el conjunto (−∞, 0) ∪ (0,+∞). Deter-

minaremos las antiderivadas de f (x) en cada uno de los intervalos (−∞, 0) y (0,+∞)(lo haremos en cada intervalo por separado).En el intervalo (0,+∞) sabemos que la función F(x) = ln(x) es una antiderivada def (x) por lo tanto las antiderivadas en el intervalo (0,+∞) son de la forma

FC(x) = ln(x) + C

12.1 Antiderivadas 3

En el intervalo (−∞, 0) no podemos usar la misma función ln(x) porque las funcioneslogarítmicas no están definidas para valores negativos de x. Sin embargo, podemostomar G(x) = ln(−x) que sí está definida para x < 0 y además cumple

G′(x) =ddx(ln(−x)) =︸︷︷︸

Regla dela cadena

1−x

.(−1) =1x

Por lo tanto G(x) es una antiderivada de f (x) definida en el intervalo (−∞, 0).Todas las demás antiderivadas de f (x) en ese intervalo serán de la forma

GC(x) = ln(−x) + D

�

Conociendo una antiderivada particular de una función en un cierto intervalo, podemosdeterminar todas sus posibles antiderivadas. Según las reglas de derivación y las derivadas delas funciones desarrolladas en módulos previos tenemos que

f (x) F(x) f (x) F(x)

k . f (x) k .F(x)

f (x) + g(x) F(x) + G(x)

xa

(para a , −1)1

a + 1xa+1

ex ex

ax

(para a > 0)1

ln(a)ax

1x

ln(|x |)

cos(x) sen(x)

sen(x) − cos(x)

1cos2(x)

tan(x)

1√

1 − x2arc sen(x)

11 + x2

arctan(x)

Una antiderivadaparticular

Una antiderivadaparticular

(*)

(**)

Encontrar antiderivadas en casos más complejos requiere técnicas o procedimientos quedesarrollaremos en las próximas secciones. Las reglas marcadas con (*) permiten usar laspropiedades de la derivada con la suma y con el producto por un número para determinarlas antiderivadas en el caso de combinaciones lineales entre funciones. Por ejemplo,

F(x) = x3 + 2 arctan(x) − 4 cos(x) es una antiderivada de f (x) = 3x2 +2

1 + x2 + 4 sen(x)

En cuanto a (**) usamos la notación |x | para escribir de forma compacta la función

Valor absoluto de x = |x | =

x si x ≥ 0

−x si x < 0


según lo desarrollado en el Ejemplo 12.2. De modo que se resumen cómo queda determinadauna antiderivada particular en cada caso

1x

ln(x)

ln(−x)

en el intervalo(0,+∞)

en el intervalo(−∞, 0)

� Ejemplo 12.3 Las funciones F(x) = arc sen(x) y G(x) = − arc cos(x) son dos antiderivadas

de f (x) =1

√1 − x2

en el intervalo (−1, 1). Se puede verificar la afirmación anterior

simplemente calculando F ′(x) y G′(x).De acuerdo al Teorema 12.1.1 debe existir una constante C tal que

F(x) = G(x) + C para todo x ∈ (−1, 1).arc sen(x) = − arc cos(x) + C

arc sen(x) + arc cos(x) = C para todo x ∈ (−1, 1)

Evaluando en x = 0 queda

arc sen(0) + arc cos(0) = C

0 +π

2= C

por lo que se tiene la siguiente identidad trigonométrica entre estas funciones inversas

arc sen(x) + arc cos(x) =π

2�

� Ejemplo 12.4 Existe una cantidad infinita de funciones que son antiderivadas de f (x) =ex + 3 cos(x) − 4x8 en todo R. Sin embargo, hay una sola F(x), antiderivada de f (x)en todo R, que cumple F(0) = 4.Sabemos que todas las antiderivadas de f (x) tienen la forma

FC(x) = ex + 3 sen(x) −49

x9 + C

que cumplen

FC(0) = e0 + 3 sen(0) −49

09 + C = 1 + 0 + 0 + C = 1 + C

Por lo tanto, si resolvemos 1 + C = 4 debe ser C = 3; y obtenemos que la única

antiderivada en todo R que en x = 0 vale 4, resulta ser F3(x) = ex + 3 sen(x) −49

x9 + 3.�

12.2 Cálculo de integrales definidas 5

Actividad 12.1 Determinen, en cada caso, la única antiderivada de la función que cumplacon la condición que se solicita. Indiquen el dominio de validez correspondiente.

a) F ′(x) = 1 − 6x con F(0) = 8 b) F ′(x) = 8x3 + 12x + 3 con F(1) = 6

c) F ′(x) = 6√

x + 5x3/2 con F(1) = 10 d) F ′(x) = 2x −3x4 con F(1) = 3

e) F ′(x) = sen(x) + cos(x) con F(0) = 4 f ) F ′(x) = 2ex−3 cos(x) con F(π) = 0�

12.2 Cálculo de integrales definidasEn el Módulo 11 calculamos integrales definidas como un límite de sumas de Riemann

para determinar el valor del área comprendida entre la gráfica de una función positiva y eleje x, también para estudiar el movimiento de un objetivo según su velocidad, y también paradeterminar la cantidad de infección asociada a la patogénesis de una enfermedad infecciosa. Elsiguiente teorema relaciona el cálculo de las integrales definidas con el cálculo de antiderivadas.

Teorema 12.2.1 — Regla de Barrow. Si f es una función continua en [a, b] entonces∫ b

a

f (x)dx = F(b) − F(a)

donde F(x) es cualquier antiderivada de f (x) en el intervalo [a, b].

Se utiliza regularmente la notación: F(b) − F(a) = ∆F = F(x)��ba

Por ejemplo, en el Módulo 11 vimos, usando sumas de Riemann, que∫ 1

0x2 dx = 1

3

Tomando F(x) = 13 x3 como una antiderivada de f (x) = x2 en el intervalo [0, 1] tendremos,

según el Teorema 12.2.1, el mismo resultado∫ 1

0x2 dx = F(x)

��10= F(1) − F(0) = 1

3 13 − 13 03 = 1

3

El Teorema 12.2.1 es consistente con lo desarrollado en el Módulo 11 cuando expresamos

∆p = p(b) − p(a) =∫ b

a

v(t) dt

considerando que p′(t) = v(t). O sea, la función posición de un objeto en movimiento es unaantiderivada de la función velocidad del objeto.

Demostración Dividimos el intervalo [a, b] en subintervalos de tamaño ∆x =b − a

ntomando los puntos x0(= a), x1, . . ., xn(= b). Tomando F(x) una antiderivada cualquierade la función f (x) en el intervalo [a, b] escribimos

F(b) − F(a) = F(xn) − F(x0)

= F(xn) −F(xn−1) + F(xn−1) + · · · F(x3) − F(x2) + F(x2) − F(x1) + F(x1)︸︷︷︸Sumamos y restamos varios términos de la forma F(xi ) con 1 ≤ i ≤ n − 1

−F(x0)

=

n∑i=1

F(xi) − F(xi−1)


Considerando que F(x) es continua y derivable en cada intervalo [xi, xi−1] podemos afirmarque (Teorema del Valor Medio) en cada subintervalo existe un valor x∗i tal que

F(xi) − F(xi−1) = F ′(x∗i )(xi − xi−1) = f (x∗i )∆x

por lo tanto

F(b) − F(a) =n∑i=1

f (x∗i )∆x

Tomamos límite para n → +∞ en ambos lados de la igualdad. El miembro de laizquierda es constante respecto de n y el miembro de la derecha corresponde a las sumasde Riemann de la función f (x) por lo que

F(b) − F(a) = lı́mn→+∞

n∑i=1

f (x∗i )∆x =∫ b

a

f (x)dx

� Ejemplo 12.5 Calcularemos∫ 3

0exdx.

Dado que F(x) = ex es una antiderivada de ex en el intervalo [1, 3] podemos calcular∫ 3

0exdx = F(3) − F(0) = e3 − e0 = e3 − 1 ≈ 19.085

�

x

y

A0 π

2

Figura 12.2: Área comprendida entrela gráfica de la función cos(x) en elintervalo [0, π2 ].

x

y

A1

A2

0 2 3

Figura 12.3: Área comprendida entrela gráfica de la función f (x) = x2 −2x en el intervalo [0, 3].

� Ejemplo 12.6 Determinaremos el valor del área comprendida entre la gráfica de la funcióncos(x) y el eje x en el intervalo [0, π2 ].Dado que la función f (x) = cos(x) es positiva en el intervalo [0, π2 ] y que F(x) = sen(x)es una antiderivada de f (x) en el intervalo se puede calcular

Área =∫ π

2

0cos(x)dx = F( π2 ) − F(0) = sen( π2 ) − sen(0) = 1

�

� Ejemplo 12.7 Determinaremos el valor del área comprendida entre la gráfica de la funciónf (x) = x2 − 2x y el eje x en el intervalo [0, 3].El área que queremos determinar se puede obtener sumando las áreas A1 y A2 (verFigura 12.3). En el caso de A1, como la función es negativa en el intervalo (0, 2), yusando F(x) = 1

3 x3 − x2 como antiderivada de f (x) en el intervalo [0, 3] sabemos que

A1 = −

∫ 2

0(x2 − 2x)dx = − [F(2) − F(0)] = −

(13 23 − 22

)+

(13 03 − 02

)=

43

Y en el caso de A2, como la función es positiva en el intervalo (2, 3)

A2 =

∫ 3

2(x2 − 2x)dx = F(3) − F(2) =

(13

33 − 32)−

(13

23 − 22)= −

83+ 4 =

43

El área de la región será 43 +

43 =

83 .

�

12.3 Integral indefinida 7

Actividad 12.2 Calculen las siguientes integrales definidas

a)∫ 2

−1(x3 − 2x)dx b)

∫ 5

−26dx c)

∫ 4

1(5 − 2t + 3t2)dt

d)∫ 1

0x4/5dx e)

∫ 8

1

3√xdx f )∫ 2

1

3t4 dt

g)∫ 2π

0cos(θ)dθ h)

∫ π/4

0sec2(t)dt i)

∫ 9

1

2x

dx

j)∫ −1

−3

2x

dx k)∫ 1

010xdx l)

∫ √3/2

1/2

61 + t2 dt

�

12.3 Integral indefinidaPara continuar introduciremos una notación propia y específica para las antiderivadas que

facilitará el trabajo. La notación usada tradicionalmente es∫f (x)dx

para indicar la determinación de antiderivadas de la función f (x) de manera general. O sea,

F(x) =∫

f (x)dx ⇐⇒ F ′(x) = f (x)

Remarcamos la diferencia entre el doble uso del símbolo∫

tanto para lo que denominamosintegral definida como con lo que denominamos integral indefinida.

Integral definida Integral indefinida∫ b

a

f (x)dx∫

f (x)dx

Un número real que se obtiene comolímite de las sumas de Riemann para lafunción f (x) en el intervalo [a, b].

El conjunto de funciones antiderivadasde f (x). O sea, las que al derivarlas danf (x).

Por ejemplo,∫ 1

0x2dx =

13

Por ejemplo,∫x2dx = 1

3 x3 + C

Con esta notación escribimos la Tabla 12.1 con las primitivas de las funciones usuales.

∫xn dx =

1n + 1

xn+1 + C

para n , −1∫ex dx = ex + C∫ax dx =

1ln(a)

ax + C∫1x

dx = ln(|x |) + C∫cos(x)dx = sen(x) + C∫sen(x)dx = − cos(x) + C∫

1cos2(x)

dx = tan(x) + C∫1

√1 − x2

dx = arc sen(x) + C∫1

1 + x2 dx = arctan(x) + C

Tabla 12.1: Tabla de primitivas ointegrales indefinidas.

La relación ∫ b

a

f (x)dx = F(b) − F(a)

siendo F(x) cualquier primitiva de f (x) en el intervalo [a, b] generaliza lo que mencionamospara el caso de la posición de un móvil y su relación con la velocidad∫ b

a

v(t)dt = p(b) − p(a)


Más generalmente, consideraremos a cualquier magnitud física, química o biológica que secorresponda con una función de F(x) de R (o algún subconjunto de R) en R donde la variableindependiente es el tiempo “t” de tal manera que

∆F = F(b) − F(a) = variación de F en el intervalo de tiempo [a, b]

F ′(t) = velocidad instantánea de F en el instante t

∫ b

a

F ′(t)dt = Límite de las sumas de Riemman de F ′(t) en el intervalo [a, b]

F(b) − F(a) =∫ b

a

F ′(t)dt

Figura 12.4: Cerveza fluyendo de untanque a otro.

� Ejemplo 12.8 En un proceso de elaboración de cerveza casera se trasvasa el líquido de unrecipiente a otro a una velocidad de V ′(t) cm3/seg.

La integral definida ∫ 5

0V ′(t)dt = ∆V

representa la variación en cm3 del volumen de cerveza que se produjo entre losinstantes t0 = 0 y t1 = 5 segundos.

�

Actividad 12.3 En cada caso, indicar qué representa la integral definida planteada:

a) Si w′(t) es la velocidad de crecimiento en cada instante t de un niño en kilos/año.

¿Qué representa∫ 10

5w′(t)dt?

b) En una reacción química, la velocidad de reacción es la derivada de la concentración

[C](t) del producto que está reaccionando. ¿Qué representa∫ t2

t1

ddt[C](t)dt?

c) Se comienza con 100 abejas las cuales aumentan a una velocidad de n′(t) abejas por

semana. ¿Qué representa la expresión 100 +∫ 120

0n′(t)dt?

�

Actividad 12.4 Una colonia de bacterias incrementa su tamaño a una velocidad de 4.05× 6tbacterias por hora. Considerando que inicialmente la población tuvo 46 bacterias, encuentrenel tamaño de la población 4 horas más tarde. �

Actividad 12.5 La función f (t) = −t(t − 21)(t + 1) modela la patogénesis del sarampión enun individuo infectado en función del tiempo t medido en días. Determinar la cantidad deinfección que hay en el individuo desde el día 0 (entrada del virus al cuerpo) hasta el día12 (aparición de los síntomas). �

12.4 Teorema Fundamental del Cálculo 9

12.4 Teorema Fundamental del CálculoEl Teorema 12.2.1 permite calcular la integral definida de una función continua a través

de alguna antiderivada. Pero, ¿existen siempre antiderivadas? El Teorema Fundamental delCálculo que se presenta a continuación define una función de manera explícita que cumpleser una antiderivada de la función original bajo la condición de que se trate de una funcióncontinua.

Teorema 12.4.1 — Teorema Fundamental del Cálculo. Si f es una función continua en unintervalo [a, b] entonces la función F(x) definida por

F(x) =∫a

xf (t) dt para a ≤ x ≤ b (12.1)

es una antiderivada de la función f (x) en el intervalo [a, b]. O sea, F ′(x) = f (x) paracualquier x ∈ [a, b]

En términos de la Actividad 12.1, la función F(x) definida por la ecuación 12.1 es laúnica antiderivada de f (t) que cumple F(a) = 0.

La función F(x) se define como la integral definida de la función f (t) en el intervalo[a, x]. De modo que la variable x (variable independiente de F) representa el borde derecho enel que se calcula la integral definida. Para cada valor de x fijo,∫

a

xf (t) dt

es un número real; de modo que haciendo variar x en el intervalo [a, b] se obtienen los distintosvalores de F(x). x

y

y = f (x)

a bx

Área

Figura 12.5: Área debajo de la gráfi-ca de la función f (x) sobre el eje xen el intervalo [a, x].

x

y

y = f (x)

a bx x + ∆x

Figura 12.6: Área debajo de la gráfi-ca de la función f (x) sobre el eje xen el intervalo [a, x].

Si f (t) es positiva en el intervalo [a, b] entonces F(x) =∫ x

a

f (t) dt representa el valor del

área debajo de la gráfica de la función f en el intervalo [a, x] como se ve en la Figura 12.5.En este caso, si quisiéramos calcular la derivada de F(x) en algún x deberíamos evaluar

lı́m∆x→0

F(x + ∆x) − F(x)∆x

Si ∆x > 0, entonces F(x + ∆x) − F(x) representa el área sombreada en la Figura 12.6: elárea debajo de la gráfica de la función f en el intervalo [x, x + ∆x]. Para valores pequeños de∆x, se puede aproximar con el área del rectángulo de base ∆x y altura f (x)

F(x + ∆x) − F(x) ≈ f (x)∆x

o sea,F(x + ∆x) − F(x)

∆x≈ f (x)

y tomando límite para ∆x → 0+ se obtiene

F ′(x) = lı́m∆x→0+

F(x + ∆x) − F(x)∆x

= f (x)

Un razonamiento similar sirve para el caso que ∆x < 0 y en el caso general que f (x) nosea positiva.

El Teorema Fundamental del Cálculo se escribe, en la notación de Leibniz como

ddx

∫ x

a

f (t)dt = f (x)

en el caso que f (t) sea continua.


� Ejemplo 12.9 Consideremos f (x) = ex2. Esta función es continua en todo R por lo tanto,

por el Teorema 12.4.1 la función

F(x) =∫ x

0et

2dt

es derivable en todo R y además F ′(x) = ex2.

Para complejizar la situación podemos tomar otra función g(x) = x3 + 5 de tal manerade componerlas en las dos opciones posibles

(F ◦ g)(x) o (g ◦ F)(x)

En el primer caso es

(F ◦ g)(x) = F (g(x)) =∫ x3+5

0et

2dt

y por lo tanto(F ◦ g)′(x) = F ′(g(x)).g′(x) = e(x

3+5)2.3x2

En el segundo caso es

(g ◦ F)(x) = g (F(x)) =(∫ x

0et

2dt

)3+ 5

y por lo tanto

(g ◦ F)′(x) = g′(F(x)).F ′(x) = 3(∫ x

0et

2dt

)2.ex

2

�

Actividad 12.6 Usen el Teorema Fundamental del Cálculo para calcular las derivadas de lassiguientes funciones.

a) g(x) =∫ x

1

1t3 + 1

dt b) g(x) =∫ x

3et

2−tdt

c) g(y) =

∫ y

2t2 sen(t)dt d) g(r) =

∫ r

0

√x2 + 4dx

e) g(x) =∫ 0

x

cos(t2)dt ⇐ Usar la propiedad∫ b

a

f (x)dx = −∫ a

b

f (x)dx

f ) g(x) =∫ 1/x

2arctan(t)dt ⇐ Revisar el Ejemplo 12.9

g) g(u) =∫ tan(u)

0

√t +√

tdt h) g(x) =∫ 0

exsen3(t)dt

�

12.5 Métodos de integración 11

12.5 Métodos de integraciónYa vimos que una integral definida es un número real que surge al tomar el límite de

ciertas sumas de Riemann. El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que una integraldefinida de una función continua puede calcularse fácilmente si somos capaces de encontraruna antiderivada de la función. En general, encontrar antiderivadas resulta más difícil queencontrar derivadas. Sin embargo, es importante poder hallar antiderivadas y es por eso queaprenderemos algunas técnicas para calcularlas.

Hasta ahora hemos podido encontrar antiderivadas de funciones que reconocemos clara-mente como derivadas. Pero no hemos visto todavía fórmulas que nos permitan hallar integralesindefinidas como la siguiente∫

2x√

1 + x2 dx. (12.2)

12.5.1 Regla de sustituciónEn esta sección comenzaremos a desarrollar técnicas más generales para encontrar

antiderivadas. La primera técnica de integración que desarrollaremos se obtiene al invertir elproceso que llamamos regla de la cadena.

Para hallar la integral 12.2 usamos una estrategia de resolución de problemas que consisteen cambiar o sustituir la variable:

Cambiamos de la variable x a una nueva variable u

En este caso, tomaremos como u al radicando que se encuentra dentro de la raíz en 12.2:

u = 1 + x2.

Entoncesdudx= 2x. Utilizamos la notación de Leibniz porque nos permite “manipular” las

expresiones du y dx como si fueran expresiones algebraicas separadas de modo que queda

dudx= 2x ⇐⇒ du = 2x dx

Los símbolos dx y du se denomi-nan generalmente diferenciales.La forma general de los diferen-ciales proviene de escribir

dfdx= f ′(x)

equivalente a

df = f ′(x)dx

Reacomodando la integral 12.2 tenemos∫2x

√1 + x2 dx =

∫ √1 + x2 2x dx =

∫√

u du =∫

u1/2 du

=23

u3/2 + C =23(1 + x2)3/2 + C.

Comprobamos el resultado obtenido calculando la derivada usando la Regla de la cadena:

ddx

[23(1 + x2)3/2 + C

]=

32.23(1 + x2)3/2−1 2x = 2x (1 + x2)1/2 = 2x

√1 + x2.

En general, este método funciona para integrales que podamos escribir en la forma∫f (g(x)) g′(x) dx.

Observemos que si F ′(x) = f (x), entonces∫F ′(g(x)) g′(x) dx = F(g(x)) + C ⇐⇒

ddx[F(g(x))] = F ′(g(x)) g′(x).

Con el “cambio de variable” o “sustitución” u = g(x), obtenemos∫f (g(x)) g′(x) dx =

∫f (u) du.


Teorema 12.5.1 — Regla de sustitución. Sea g : I → J, donde I y J son dos intervalos. Sig′(x) es continua en I y f es continua en J, entonces∫

f (g(x)) g′(x) dx =∫

f (u) du ⇐ Para integrales indefinidas

Y para cualesquiera a, b pertenecientes a I∫ b

a

f (g(x))g′(x)dx =∫ g(b)

g(a)

f (u)du ⇐ Para integrales definidas

Hemos demostrado la regla desustitución para integración usan-do la regla de la cadena para de-rivación. Observemos que si u =g(x), entonces du = g′(x) dx.

En los siguientes ejemplos veremos varias maneras de calcular integrales indefinidas eintegrales definidas utilizando la regla de sustitución. Principalmente, en el caso de integralesdefinidas, los ejemplos se desarrollan de manera diferente en cada instancia:

• Aplicar la regla de sustitución para integrales definidas calculando g(a) y g(b).

• Calculando en primer lugar una primitiva de la función involucrada, con la Regla deSustitución para integrales indefinidas, y luego con ella, aplicar la Regla de Barrow.

� Ejemplo 12.10 Encontremos, usando la regla de sustitución,∫

x3 cos(x4 + 7) dx.

Sustituimos u = x4 + 7, como du = 4x3 dx, que, salvo por el factor constante 4que aparece multiplicando, el resto se encuentra presente en la integral. Así, usando

x3 dx =14

du y la regla se sustitución, tenemos que∫x3 cos(x4 + 7) dx =

∫cos(u)

14

du =14

∫cos(u) du

=14

sen(u) + C

=14

sen(x4 + 7) + C.

Observar que en el último paso hemos regresado a la variable original x. �

Cuando se usa una sustitución enuna integral definida, debemosponer todo en términos de la nue-va variable u, no sólo x y dx sinotambién los límites de integra-ción. Los nuevos límites son losvalores de u que corresponden ax = a y x = b.

� Ejemplo 12.11 Calculemos la integral∫ 4

0

√2x + 1dx usando la regla de sustitución para

integrales definidas.

Usando la sustitución u = 2x + 1,12

du = dx. Para hallar los nuevos límites deintegración vemos que:

cuando x = 0, u = 2.0 + 1 = 1 y cuando x = 4, u = 2.4 + 1 = 9.Por lo tanto,∫ 4

0

√2x + 1dx =

∫ 9

1

12√

u du

=12

23

u3/2��91

=13(93/2 − 13/2) =

263.

�


La regla de la sustitución logra transformar una integral relativamente complicada en una

integral más sencilla. En el Ejemplo 12.10, transformamos la integral∫

x3 cos(x4 + 7) dx

por la integral más sencilla14

∫cos(u) du.

La principal dificultad con la regla de la sustitución es la de encontrar una sustituciónapropiada. En ocasiones, llegaremos a la sustitución correcta después de varios intentos, no esun asunto trivial, es por eso que si la sustitución no funciona tenemos que intentar otra.

� Ejemplo 12.12 Encontraremos, usando una sustitución conveniente,∫

x√

1 − 4x2dx.

Al tomar u = 1 − 4x2, du = −8xdx, se tiene − 18 du = xdx, y luego se tiene que

∫x

√1 − 4x2

dx = − 18

∫1√

udu = −

18

∫u−1/2du

= − 18 2 u1/2 + C = − 1

4

√1 − 4x2 + C

�

En este ejemplo, primero calcula-mos la integral indefinida y luegousamos la Regla de Barrow.

� Ejemplo 12.13 Calculemos∫ 1

−2e6xdx.

En primer lugar determinaremos una primitiva de e6x en el intervalo [−2, 1]desarrollando la integral indefinida

∫e6xdx =

16

∫eudu = 1

6 eu + C = 16 e6x + C.

Hemos usado la sustitución u = 6x, con lo que du = 6dx, y 16 du = dx.

Para calcular la integral definida usamos una de las primitivas encontradas: 16 e6x de

modo que ∫ 1

−2e6xdx = 1

6 e6x��1−2= 1

6 e6 − 16 e−12

�

� Ejemplo 12.14 Calculemos∫

tan(x)dx. Si reescribimos a la tan(x) comosen(x)cos(x)

,∫tan(x)dx =

∫sen(x)cos(x)

dx.

Si hacemos la sustitución u = cos(x), tenemos que −du = sen(x)dx. Luego,∫tan(x)dx =

∫sen(x)cos(x)

dx = −∫

1u

du

= − ln(|u|) + C = − ln(| cos(x)|) + C.

�


� Ejemplo 12.15 Para calcular la∫ e

1

ln(x)x

dx usaremos la sustitución u = ln(x) porque

du =1x

dx.Cuando x = 1, u = ln(1) = 0 y cuando x = e, u = ln(e) = 1. Por lo tanto,

∫ e

1

ln(x)x

dx =

∫ e

1ln(x)

1x

dx =∫ 1

0udu =

u2

2

��10=

12.

�

Actividad 12.7 Calculen las siguientes integrales usando la sustitución que se indica

a)∫

e−xdx tomando u = −x.

b)∫

x3(2 + x4)5dx tomando u = 2 + x4.

c)∫

x2√

x3 + 1dx tomando u = x3 + 1.

d)∫

cos3(θ) sen(θ)dθ tomando u = cos(θ).�

Actividad 12.8 Calculen las siguientes integrales indefinidas. Deben analizar qué sustituciónes conveniente realizar en cada caso. Utilicen los ejemplos anteriores para analizar lasopciones posibles.

a)∫

x sen(x2

)dx b)

∫x2(x3 + 5)9dx

c)∫(ln(x))2

xdx d)

∫ex cos(ex)dx

e)∫

sen(√

x)√

xdx f )

∫x2

x3 + 1dx

g)∫

sen(θ)cos2(θ)

dθ h)∫

arctan(x)1 + x2 dx

�

Actividad 12.9 Calculen las siguientes integrales definidas utilizando alguna sustituciónadecuada.

a)∫ 1

0cos(πt/2)dt b)

∫ 1

0(3t − 1)50dt

c)∫ 4

1

e√x

√x

dx d)∫ 4

2

x1 − x2 dx

�


12.5.2 Integración por partesElmétodo de integración por partes se basa en la regla de derivación de un producto de

funciones. Si f y g son funciones derivables, entonces

ddx[ f (x)g(x)] = f (x)g′(x) + g(x) f ′(x)

Usando la notación para integrales indefinidas esta ecuación se convierte en∫[ f (x)g′(x) + g(x) f ′(x)] dx = f (x)g(x)

o bien, ∫f (x)g′(x) dx +

∫g(x) f ′(x) dx = f (x)g(x).

Reacomodando la ecuación llegamos a que∫f (x)g′(x) dx = f (x)g(x) −

∫g(x) f ′(x) dx

Teorema 12.5.2 — Regla de integración por partes. Si f y g son funciones cuyas derivadasson continuas en un intervalo I entonces

∫f (x)g′(x) dx = f (x)g(x) −

∫g(x) f ′(x) dx ⇐ Para integrales indefinidas

Y para cualesquiera a, b pertenecientes al intervalo I

∫ b

a

f (x)g′(x) dx = f (x)g(x)��ba

−

∫ b

a

g(x) f ′(x) dx ⇐ Para integrales definidas

Usando la notación de diferenciales se escribe la fórmula de integración por partes de lasiguiente manera: sea u = f (x) y v = g(x), entonces du = f ′(x)dx y dv = g′(x)dx, y

∫f (x)︸︷︷︸u

g′(x)dx︸︷︷︸dv

= f (x)︸︷︷︸u

g(x)︸︷︷︸v

−

∫g(x)︸︷︷︸v

f ′(x) dx︸︷︷︸du∫

u dv = uv −∫

v du

El método de integración por partes requiere la presencia de un producto de dosexpresiones, una de las cuales es f (x) y la otra es g′(x). Nos corresponde a nosotros (los queestemos tratando de calcular la integral) decidir cuál de las dos expresiones es f (x) (que luegodeberemos derivar) y cuál es g′(x) (a la que debemos calcular una antiderivada).

f (x) f ′(x) g(x)∫

g(x)

DerivandoCalculandouna primitiva


� Ejemplo 12.16 Encontremos∫

x sen(x) dx usando el método de integración por partes.

Tomamos como f (x) = x y como g′(x) = sen(x).Luego, como f ′(x) = 1 y g(x) = − cos(x),∫

x sen(x)dx = f (x) g(x) −∫

g(x) f ′(x) dx

= x(− cos(x)) −∫(− cos(x))1dx

= −x cos(x) +∫

cos(x)dx

= −x cos(x) + sen(x) + C

Verificamos que hallamos bien la primitiva derivando (usamos la regla del producto):

(−x cos(x) + sen(x) + C)′ = − cos(x) + x sen(x) + cos(x) + 0 = x sen(x)

�

C Al usar la fórmula de integración por partes transformamos la integral original en unaparte que ya está “integrada” y otra integral nueva con la esperanza que sea más sencillaque la anterior.

En el Ejemplo 12.16, empezamos con∫

x sen(x)dx y lo expresamos en términos de

una integral∫

cos(x)dx que se calcula usando la tabla de primitivas 12.1.

Si nuestra elección inicial hubiese sido f (x) = sen(x) y g′(x) = x, entonces tendríamosf ′(x) = cos(x) y g(x) = 1

2 x2, de modo que la integración por partes queda∫x sen(x)dx = sen(x)

x2

2−

12

∫x2 cos(x)dx

Si bien la fórmula está bien utilizada, la nueva∫

x2 cos(x)dx es una integral más difícil

de calcular que la original. Cuando se decide sobre una opción para f (x) y g′(x), por logeneral tratamos de escoger que f (x) sea una función que se haga más sencilla cuandose derive (o al menos no más complicada) mientras g′(x) se pueda integrar fácilmentepara obtener g(x).

� Ejemplo 12.17 Calculemos ahora∫ e

1ln(x)dx usando la fórmula de integración por partes

para integrales definidas con la notación u y v. En este caso no tenemos muchas

opciones, llamamos: u = ln(x) y dv = dx. Así, du =1x

dx y v = x.Al integrar por partes,∫ e

1ln(x)dx = x ln(x)

��e1−

∫ e

1x

1x

dx = e ln(e) − 1 ln(1) −∫ e

11 dx

= e − x��e1= e − (e − 1) = 1

En este ejemplo, la integración por partes es efectiva porque la derivada de lafunción f (x) = ln(x) es más sencilla que f (x). �


� Ejemplo 12.18 — Doble integración por partes. Encontremos∫

t2etdt. Observemos en este

caso que t2 se hace más sencilla cuando la derivamos y que et no cambia cuando laderivamos o integramos, por lo que tomaremos

u = t2 dv = etdt =⇒ du = 2tdt v = et

y la integral queda

∫t2etdt = t2et − 2

∫tetdt (12.3)

En 12.3 nos sigue apareciendo una integral para resolver,∫

tetdt, que si bien noes una integral que podamos resolver usando la tabla de primitivas, podemos calcularlausando nuevamente integración por partes. En este caso, tomaremos u = t y dv = etdt.Luego tenemos que du = dt, v = et , y∫

tetdt = tet −∫

etdt = tet − et + C.

Si reemplazamos eso en la ecuación 12.3∫t2etdt = t2et − 2

∫tetdt

= t2et − 2(tet − et + C)

= t2et − 2tet + 2et + C1 donde C1 = −2C.

�

� Ejemplo 12.19 — Integrales cíclicas. Calculemos ahora∫

ex sen(x)dx.

En este caso, si bien ni ex ni sen(x) se vuelven más sencillas cuando las derivamos,escogeremos u = ex y dv = sen(x)dx de todas formas. Entonces du = exdx yv = − cos(x), de modo que la integración por partes nos da∫

ex sen(x)dx = −ex cos(x) +∫

ex cos(x)dx. (12.4)

En 12.4 nos aparece ex cos(x)dx que no resulta más sencilla que la original pero almenos no es más difícil. Lo que haremos será integrar nuevamente por partes pero estavez usamos u = ex y dv = cos(x)dx. Entonces du = exdx, v = sen(x), y

∫excos(x)dx = ex sen(x) −

∫ex sen(x)dx (12.5)

A primera vista, parece como si no hubiéramos logrado nada porque hemos llegado

a∫

ex sen(x)dx, que es donde empezamos. Sin embargo, si ponemos la ecuación 12.5

en la ecuación 12.4 tendremos


∫ex sen(x)dx = −ex cos(x) + ex sen(x) −

∫ex sen(x)dx.

Reagrupando∫

ex sen(x)dx, nos queda

2∫

ex sen(x)dx = −ex cos(x) + ex sen(x),

por lo tanto,

∫ex sen(x)dx =

12

ex[− cos(x) + sen(x)] + C.

�

� Ejemplo 12.20 — Farmacocinética de la aspirina. La función

C(t) = 32t2e−4.2 t

modela la concentración promedio de aspirina en bajas dosis en el torrente sanguíneosegún datos extraídos de 10 voluntarios en una investigación. La variable t está medidaen horas y C está medida en µg/mL. Utilizaremos integración por partes para calcular∫ 2

0C(t)dt que representa la droga disponible en el cuerpo al trancurrir 2 horas.

Observemos que cuando derivamos t2 se vuelve más simple. No sucede lo mismo cone−4.2 t . Por lo tanto, proponemos llamar

u = 32t2 dv = e−4.2 tdt =⇒ du = 64t v = − 14.2 e−4.2 t

Luego∫ 2

032t2e−4.2 tdt = −

324.2

t2e−4.2 t��20−

∫ 2

0−

644.2

te−4.2 tdt

= −324.2

4e−8.4 +644.2

∫ 2

0te−4.2 tdt

La integral que obtuvimos,∫ 2

0te−4.2 tdt, debe ser resuelta nuevamente con inte-

gración por partes con u = t y dv = e−4.2 tdt, tenemos que du = dt y v = −1

4.2e−4.2 t

y por lo tanto,∫ 2

0te−4.2 tdt = −

t4.2

e−4.2 t��20+

14.2

∫ 2

0e−4.2 tdt

= −2

4.2e−8.4 +

14.2

[e−4.2 t

−4.2

] ��20= −

24.2

e−8.4 −e−8.4 − 1(4.2)2

.

Si reemplazamos este valor obtenemos que∫ 2

0C(t)dt = −

324.2

4e−8.4 +644.2

(−

24.2

e−8.4 −e−8.4 − 1(4.2)2

)≈ 0.855159

�


Actividad 12.10 Calculen usando el método de integración por partes. En los casos deintegrales indefinidas, verificar siempre las primitivas obtenidas derivando la respuesta.

a)∫

x cos(5x)dx b)∫

x2 ln(x)dx

c)∫ π

0x sen(3x)dx d)

∫arctan(x)dx

e)∫ 9

4

ln(x)√

xdx f )

∫2x cos(x)dx

g)∫ 1

2

ln(x)x2 dx h)

∫(ln(x))2dx

�

12.5.3 Integración por fracciones simplesEl método de integración por fracciones simples se utiliza para calcular las integrales

definidas o integrales indefinidas de funciones racionales

f (x) =polinomiopolinomio

considerando siempre intervalos en los que la función sea continua.

En estos casos, se toma como base tres funciones racionales, las más simples, cuyasprimitivas se determinan usando la tabla de primitivas 12.1. Considerando n > 1

∫1x

dx = ln(|x |)+C∫

1xn

dx =1

1 − n1

xn−1+C∫

1x2 + 1

dx = arctan(x)+C

O más generalmente, a cualquier número real, y b > 0

(I)∫

1x + a

dx = ln(|x + a|) + C (II)∫

1(x + a)n

dx =1

1 − n1

(x + a)n−1 +C

(III)∫

1x2 + b

dx = 1√b

arctan(

x√

b

)+ C (IV)

∫x

x2 + adx = 1

2 ln(|x2 + a|) + C

Estas últimas integrales indefinidas se calculan por sustitución. En (I) y (II) correspondetomar u = x + a; en (III) corresponde tomar u = x√

b; y en (IV) se toma u = x2 + a.

El método consiste en “descomponer” funciones racionales más complejas como com-binaciones lineales de estas fracciones simples. El método es netamente algebraico, en elsentido que se busca manipular algebraicamente las expresiones para encontrar expresionesequivalentes que puedan integrarse fácilmente con estas fracciones simples.

No desarrollaremos el método en su completitud que contempla todas las maneras en quese puede factorizar un polinomio según las multiplicidades de sus raíces.


� Ejemplo 12.21 Para encontrar∫

x3 + xx − 1

dx debemos, en primer lugar, determinar la forma

estándar de la función racional f (x) =x3 + xx − 1

dado que el grado del polinomio delnumerador es mayor que el grado del polinomio del denominador.Realizando la división entre los polinomios x3 + x con x − 1 obtenemos

x3 + xx − 1

= x2 + x + 2 +2

x − 1

Por lo tanto,∫x3 + xx − 1

dx =∫ (

x2 + x + 2 +2

x − 1

)dx

= 13 x3 + 1

2 x2 + 2x + 2 ln(|x − 1|) + C

�

� Ejemplo 12.22 Para calcular∫

x2 + 2x − 1x3 + x2 − 2x

dx ya tenemos la función en su forma estándarporque el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio deldenominador. Factorizaremos el denominador,

x3 + x2 − 2x = x(x2 + x − 2) = x(x − 1)(x + 2)

Como quedaron 3 factores distintos proponemos descomponer en 3 fracciones:

x2 + 2x − 1x3 + x2 − 2x

=Ax+

Bx − 1

+C

x + 2

en las que faltaría determinar los valores de las constantes A, B y C. Existen variosmétodos para determinar estos valores. En nuestro caso multiplicaremos la ecuación porel denominador completo x(x − 1)(x + 2) (es más sencillo si se encuentra factorizado)

x2 + 2x − 1 = A(x − 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x − 1)

y expandiendo todo lo posible el miembro derecho (son varias cuentas usando laspropiedades distributivas y agrupando los x2, x y los términos independientes)

x2 + 2x − 1 = (A + B + C)x2 + (A + 2B − C)x − 2A

Esta última ecuación representa una igualdad entre el polinomio: los coeficientescorrespondientes a los distintos monomios deben coincidir. O sea, corresponde resolverel siguiente sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

1 = A + B + C2 = A + 2B − C−1 = −2A

Resolvemos este sistema (no hacemos las cuentas) y obtenemos

A = 12, B = 2

3 y C = − 16


que nos permite plantear la igualdad

x2 + 2x − 1x3 + x2 − 2x

dx =1/2

x+

2/3x − 1

+−1/6x + 2

Por lo tanto∫x2 + 2x − 1x3 + x2 − 2x

dx =∫ (

1/2x+

2/3x − 1

+−1/6x + 2

)dx

= 12 ln(|x |) + 2

3 ln(|x − 1|) − 16 ln(|x + 2|) + C

�

�Ejemplo 12.23 Para calcular∫ 4

2

2(x − 1)(x2 + 1)

notamos primero que la función2

(x − 1)(x2 + 1)es continua en el intervalo [2, 4]. Utilizaremos 3 fracciones de la siguiente forma

2(x − 1)(x2 + 1)

=A

x − 1+

Bxx2 + 1

+C

x2 + 1

donde quedan para determinar el valor de las constantes A, B y C.La presencia del factor x2 + 1 (cuadrático sin raíces reales) nos indica la necesidad deusar dos fracciones distintas para él. Multiplicando ambos miembros por (x−1)(x2+1)queda

2 = A(x2 + 1) + Bx(x − 1) + C(x − 1)

por lo que se debe cumplir que 2 = (A + B)x2 + (C − B)x + A − CO sea,

0 = A + B0 = C − B2 = A − C

Las soluciones de este sistema son A = 1, B = −1 y C = −1; por lo que

2(x − 1)(x2 + 1)

=1

x − 1+−x

x2 + 1+−1

x2 + 1

La integral se calcula entonces como∫ 4

2

2(x − 1)(x2 + 1)

dx =∫ 4

2

(1

x − 1−

xx2 + 1

−1

x2 + 1

)dx

= ln(|x − 1|) − 12 ln(|x2 + 1|) − arctan(x)

��42≈ 0.268056

�

Actividad 12.11 Calculen las siguientes integrales estudiando en primer lugar la formaestándar y luego descomponiendo en fracciones simples.

a)∫

xx − 1

dx b)∫

2x2 + x

dx c)∫

xx2 + x − 2

dx

d)∫

x2

x + 4dx e)

∫x3 + x + 1

x2 + 1dx

�

12.teoremafundamentaldelcálculo - unlp · 12.2 cálculodeintegralesdeﬁnidas 5 actividad12.1...

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