document12
TRANSCRIPT
Министерство образования Российской Федерации
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"
Институт экономики и управления
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по выполнению лабораторной работы"Решение задач оптимизации
в среде Microsoft Excel"
для студентов дневного и заочного отделений
Ижевск2007
1
СОЖЕРЖАНИЕ
Стр.ВведениеФормальная постановка задачи оптимизации планирования произ-водства
Пример формальной постановки задачи оптимизации планирова-ния производства
Методика выполнения задачи оптимизации планирования произ-водства в Microsoft Excel
Формальная постановка задачи оптимизации транспортных пере-возок
Пример формальной постановки транспортной задачи
Методика выполнения транспортной задачи в Microsoft Excel
Требования к оформлению лабораторной работы
Рекомендуемая литература
2
Введение
В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с необходимостью ре-шать оптимизационные задачи. Например, заходя в магазин, мы стоим перед дилеммой максимального удовлетворения своих потребностей, соиз-меряя их с возможностями нашего кошелька.
Любой менеджер постоянно решает разнообразные проблемы, начи-ная с планирования штата сотрудников, фонда зарплаты и заканчивая со-ставлением оптимального плана производства, планированием рекламной кампании по продвижению продукции и оптимизацией капиталовложений.
На театре военных действий командиры решают задачи оптимально-го указания целей и наведения оружия на эти цели в расчете на максималь-ное поражение противника.
Менеджер по транспортным перевозкам решает задачу минимизации транспортных издержек в условиях наиболее полного удовлетворения ин-тересов производителей и потребителей.
Настоящее методическое пособие посвящено знакомству с задачами оптимизации, решаемых на предприятиях и одной из самых популярных экономико-математических моделей - транспортной задаче.
Студент экономических специальностей должен знать основные эко-номические проблемы, при решении которых возникает необходимость в математическом инструментарии. Он должен ориентироваться в экономи-ческой постановке задачи, уметь формализовать экономическую задачу, то есть описать ее с помощью известной математической модели, провести расчеты и получить количественные результаты. Однако самое главное – студент должен уметь анализировать эти результаты и делать выводы, адекватные поставленной экономической задаче.
В результате изучения методического пособия студент должен научиться определять и использовать для экономического анализа:
•целевую функцию;•ограничения;•модель линейного программирования;•оптимальный план.Для решения задач оптимизации часто используют надстройку про-
граммы Microsoft Excel "Поиск решения".Цель методического пособия – научиться использовать возможности
Microsoft Excel для нахождения решений задач оптимизации.
3
Оптимизация плана производства
Общая постановка задачи планирования производства: необходимо определить план производства одного или нескольких видов продукции, который обеспечивает наиболее рациональное использование имеющих-ся материальных, финансовых и других видов ресурсов. Такой план дол-жен быть оптимальным с точки зрения выбранного критерия — максиму-ма прибыли, минимума затрат на производство и т.д.
МоделиВведем обозначения:п — количество выпускаемых продуктов;т — количество используемых производственных ресурсов (напри-
мер, производственные мощности, сырье, рабочая сила);
aij — объем затрат i-го ресурса на выпуск единицы j-й продукции;cj — прибыль от выпуска и реализации единицы j-го продукта; bi — количество имеющегося i-го ресурса;xj — объем выпуска j-го продукта.Формально задача оптимизации производственной программы может
быть описана с помощью следующей модели линейного программирова-ния:
∑=
→n
jjj xc
1max, (1)
,...,,, mibxan
jijij 1
1=≤∑
=(2)
,...,,, njx j 10 =≥
Здесь (1) — целевая функция (максимум прибыли); (2)— система специальных ограничений (constraint) на
объем фактически имеющихся ресурсов; (3) — система общих ограничений (на неотрицательность
переменных); xj — переменная (variable).
Задача (1)—(3) называется задачей линейного программирования в стандартной форме на максимум.
Задача линейного программирования в стандартной форме на мини-мум имеет вид
4
∑=
→n
jjj xc
1min, (4)
,,...,, mibxan
jijij 1
1=≥∑
=(5)
,...,,, njx j 10 =≥ (6)Вектор х = (x1, x2, ..., xп), компоненты xj которого удовлетворяют огра-
ничениям (2) и (3) (или (5) и (6) в задаче на минимум), называется допу-стимым решением или допустимым планом задачи линейного программиро-вания (ЛП).
Совокупность всех допустимых планов называется множеством до-пустимых планов.
Допустимое решение задачи ЛП, на котором целевая функция (1) (или (3) в задаче на минимум) достигает максимального (минимального) значения, называется оптимальным решением задачи ЛП.
С каждой задачей ЛП связывают другую задачу ЛП, которая запи-сывается по определенным правилам и называется двойственной задачей ЛП.
Двойственной к задаче ЛП (1)–(3) является задача
(7)
(8)
(9)Соответственно, двойственной к задаче ЛП (7)–(9) является задача
(1)–(3). Каждой переменной (специальному ограничению) исходной задачи соответствует специальное ограничение (переменная) двойственной зада-чи. Если исходная задача ЛП имеет решение, то имеет решение и двой-ственная к ней задача, при этом значения целевых функций для соответ-ствующих оптимальных решений равны.
Компонента *iy оптимального решения двойственной задачи (7)–(9)
называется двойственной оценкой (Dual Value) ограничения ∑=
≤n
jijij bxa
1
исходной задачи ЛП.
Пусть ∑=
=n
jjj xc
1)max(ϕ , где хj – компонента допустимого решения за-
дачи (1)–(3).Тогда при выполнении условий невырожденности оптимального ре-
шения имеют место следующие соотношения:
5
∑=
→n
jjj xc
1min,
,,...,, mibxan
jijij 1
1=≥∑
=
,...,,, njx j 10 =≥
*i
iy
b=
∂∂ ϕ
, i=1, …, m
Изменим значение правой части bi одного основного ограничения (RHS) исходной задачи ЛП.
Пусть b 'i – минимальное значение правой части основного ограни-
чения, при котором решение у* двойственной задачи не изменится. Тогда величину b '
i называют нижней границей (Lower Bound) устойчивости по правой части ограничения.
Пусть b "i – максимальное значение правой части основного огра-
ничения, при котором решение у* двойственной задачи не изменится. То-гда величину b "
i называют верхней границей (Upper Bound) устойчивости по правой части ограничения.
Изменим значение одного коэффициента сj целевой функции исход-ной задачи ЛП.
Пусть Су'— минимальное значение коэффициента целевой функции, при котором оптимальное решение х исходной задачи не изменится. То-гда величину Cj называют нижней границей устойчивости по коэффици-енту целевой функции.
Пусть с" — максимальное значение коэффициента целевой функ-ции, при котором оптимальное решение х* исходной задачи не изменит-ся. Тогда величину cj называют верхней границей устойчивости по ко-эффициенту целевой функции.
Пример решения задачиоптимизации планирования производства
Задача. Завод производит электронные приборы трех видов (прибор А, прибор В и прибор С), используя при сборке микросхемы трех видов (тип 1, тип2, тип3). Расход микросхем задается следующей таблицей:
Прибор А Прибор В Прибор СМикросхема 1 2 5 1Микросхема 2 2 0 4Микросхема 3 2 1 1
Стоимость изготовленных приборов одинакова. Ежедневно на склад завода поступает 500 микросхем типа 1 и по 400 микросхем типов 2 и 3. Каково оптимальное соотношение дневного производства приборов раз-
6
личного типа, если производственные мощности завода позволяют исполь-зовать запас поступивших микросхем полностью?
Формальная математическая постановки задачи
Константы1. Пусть mij – расход микросхем i для прибора j, где i=1,2,3; j=1,2,3.
2 5 1mij = 2 0 4
2 1 12. Пусть Zi – ежедневный запас микросхем i на складе, где i=1,2,3.
Z1=500; Z2=400; Z3=400.
Переменные1. Обозначим через xj дневное производство приборов j, j=1,2,3, то
есть x1 - дневной выпуск приборов А; x2 - дневной выпуск приборов В; x3 - дневной выпуск приборов С.
2. Обозначим через Ri расход микросхем i, где i=1,2,3, то есть R1 - расход микросхем 1-го типа; R2 – расход микросхем 2-го типа; R3 – расход микросхем 3-го типа.
3. Обозначим через N дневное производство всех видов приборов.
Решение 1.Зададим математическую модель расхода микросхем
, где i=1,2,3.или
2. Зададим математическую модель нахождения общего количества приборов N=x1+x2+x3. Его максимизация является целью решения за-дачи. Следовательно, целевая функция будет иметь вид:
7
∑=
=3
1jijii mxR
++=++=++=
3333223113
2332222112
1331221111
mxmxmxRmxmxmxRmxmxmxR
max→= ∑=
3
1jjxN
++=+=
++=
3213
312
3211
242
52
xxxRxxR
xxxR
Ограничения1. Расход микросхем не должен превышать их запас
(для микросхем 1-го
типа)
или (для микросхем 2-го типа)
(для микросхем 3-го
типа)
2. Количество выпускаемых приборов должно быть целым числом.3. Поскольку x1, x2, x3 выражают объем выпускаемых приборов, то
они не могут быть отрицательны, то есть x1≥0; x2≥0; x3≥0; x4≥0
Методика выполнения в Microsoft Excel
1. Запустите программу Excel (Пуск →Программы→Microsoft Ex-cel) и создайте рабочую книгу Book.xls.
2. Создайте новый рабочий лист «Организация производства».
3. В ячейки E2, E3, и E4 занесите дневной запас микросхем – числа 500, 400, и 400 соответственно.
4. В ячейки B5, C5 и D5 занесите нули – в дальнейшем значения этих ячеек будут подобраны автоматически.
5. В ячейках диапазона A1:D4 разместите таблицу расхода комплек-тующих.
6. В ячейках F2:F4 нужно указать формулы для расчета расхода ми-кросхем по типам. В ячейке F2 формула будет иметь вид =$B$5*B2+
8
≤≤≤
33
22
11
ZRZRZR
≤++≤+
≤++
400240042
50052
321
31
321
xxxxx
xxx
$C$5*C2+$D$5*D2, а остальные формулы можно получить методом авто-заполнения (обратите внимание на использование абсолютных и относи-тельных ссылок).
7. В ячейку F5 занесите формулу, вычисляющую общее количество произведенных приборов: для этого выделите диапазон B5:D5 и щелкните на кнопке Автосумма на стандартной панели инструментов.
8. Дайте команду Сервис→Поиск решения – откроется диалоговое окно Поиск решения.
9. В поле Установить целевую укажите ячейку, содержащую опти-мизируемое значение (F5). Установите переключатель Равной макси-мальному значению (требуется максимальный объем производства).
10. В поле Изменяя ячейки задайте диапазон подбираемых парамет-ров – B5:D5.
11. Необходимо добавить ограничения: Расход микросхем не должен превышать их запас. Количество выпускаемых приборов должно быть целым числом. Число производимых приборов неотрицательно
12. Чтобы определить набор ограничений, щелкните на кнопке Доба-вить. В диалоговом окне Добавление ограничения в поле Ссылка на ячейку укажите диапазон F2:F4. В качестве условия задайте <=. В поле Ограничение задайте диапазон E2:E4. Это условие указывает, что днев-ной расход комплектующих не должен превосходить запасов. Щелкните на кнопке ОК.
13. Снова щелкните на кнопке Добавить. В поле Ссылка на ячейку укажите диапазон B5:D5. В качестве условия задайте >=. В поле Ограни-чение задайте число 0. Это условие указывает, что число производимых приборов неотрицательно. Щелкните на кнопке ОК.
14. Снова щелкните на кнопке Добавить. В поле Ссылка на ячейку укажите диапазон B5:D5. В качестве условия выберите пункт цел. Это условие не позволяет производить доли приборов. Щелкните на кнопке ОК.
9
15. Щелкните на кнопке Выполнить. По завершении оптимизации откроется диалоговое окно Результаты поиска решения.
16. Установите переключатель Сохранить найденное решение, по-сле чего щелкните на кнопке ОК.
17. Проанализируйте полученное решение. Кажется ли оно очевид-ным? Проверьте его оптимальность, экспериментируя со значениями ячеек B5:D5. Чтобы восстановить оптимальные значения, можно в любой мо-мент повторить операцию поиска решения.
18. Сохранить рабочую книгу Book.xls.
Транспортная задача
Под термином "транспортные задачи" понимается широкий круг за-дач не только транспортного характера. Общим для них является, как пра-вило, распределение ресурсов, находящихся у m производителей (постав-щиков), по n потребителям этих ресурсов.
Ни автомобильном транспорте наиболее часто встречаются следую-щие задачи, относящиеся к транспортным:
• прикрепление потребителей ресурса к производителям; • привязка пунктов отправления к пунктам назначения; • взаимная привязка грузопотоков прямого и обратного направле-
ний; • отдельные задачи оптимальной загрузки промышленного обору-
дования;
10
• оптимальное распределение объемов выпуска промышленной про-дукции между заводами-изготовителями и др.
Рассмотрим экономико-математическую модель прикрепления пунк-тов отправления к пунктам назначения.
Имеются m пунктов отправления груза А1, А2, ..., Аm и объемы отправ-ления по каждому пункту a1, a2, ..., am. Известна потребность в грузах b1, b2,...,bn по каждому из n пунктов назначения B1, B2,..., Bn. Задана также мат-рица стоимостей сij, (i=1,2,...,m, j=1,2,...,n) доставки груза из пункта i в пункт j. Необходимо рассчитать оптимальный план перевозок, т. е. опреде-лить, сколько груза xij должно быть отправлено из каждого пункта отправ-ления (от поставщика) в каждый пункт назначения (до потребителя) с ми-нимальными суммарными транспортными издержками.
В общем виде исходные данные представлены в табл. 1.
Таблица 1. Исходные данные
Транспортная задача называется закрытой, если суммарный объем отправляемых грузов равен суммарному объему потребности в этих грузах по пунктам назначения
∑∑==
=n
1jj
m
1ii ba (1)
Если такого равенства нет (потребности выше запасов или наоборот), задачу называют открытой.
Для написания математической модели закрытой транспортной зада-чи необходимо все условия (ограничения) и целевую функцию предста-вить в виде математических соотношений. Все грузы из i-х пунктов (по-ставщики) должны быть отправлены, т. е.:
)m,...2,1i(,ax i
n
1jij ==∑
=
11
Все j-е пункты (потребители) должны быть обеспечены грузами в плановом объеме:
)n,...2,1j(,bx j
n
1jij ==∑
=
Из экономических соображений должно выполняться также условие не-отрицательности переменных:
),...,;,...,(, njmix ij 21210 ==≥Перевозки необходимо осуществить с минимальными транспортными
издержками. Следовательно, целевая функция примет вид:
∑ ∑= =
→=m
1i
n
1jijij minxcS (2)
Таким образом, математическая формализация простейшей транспорт-ной задачи закрытого типа имеет следующий вид:
В этой модели вместо матрицы стоимостей перевозок могут задаваться матрицы расстояний. В таком случае в качестве целевой функции рассмат-ривается минимум суммарной транспортной работы. Как видно из выраже-ния (1), уравнение баланса является обязательным условием решения за-крытой транспортной задачи, поэтому, когда в исходных условиях дана открытая задача, то ее необходимо привести к закрытой форме. В случае если
• потребности по пунктам назначения превышают запасы пунктов отправления, то вводится фиктивный поставщик с недостающим объемом отправления;
• запасы поставщиков превышают потребности потребителей, то вводится фиктивный потребитель с необходимым объемом по-требления.
Варианты, связывающие фиктивные пункты с реальными, имеют нулевые оценки. После введения фиктивных пунктов задача решается как закрытая.
Транспортным задачам присущи следующие особенности: o распределению подлежат однородные ресурсы; o условия задачи описываются только уравнениями; o все переменные выражаются в одинаковых единицах измере-
ния;
12
==≥
==
==
∑
∑
=
=
),...,;,...,(,
),...,(,
),...,(,
njmix
njbx
miax
ij
m
ijij
n
jiij
21210
21
21
1
1
o во всех уравнениях коэффициенты при неизвестных равны единице;
o каждая неизвестная встречается только в двух уравнениях системы ограничений.
Транспортные задачи могут решаться симплексным методом. Одна-ко перечисленные особенности позволяют для транспортных задач приме-нять более простые распределительные методы решения.
На практике подобные задачи решаются, конечно же, при помощи различного программного обеспечения, что позволяет значительно упро-стить работу и сэкономить время.
Рассмотрим, как это можно сделать в среде электронных таблиц Microsoft Excel на примере следующей задачи
Пример решения задачи транспортной задачи
Исходная постановка задачи
В пунктах A и B находятся соответственно 150 и 190 тонн горючего. Пунктам 1, 2, 3 требуются соответственно 60, 70, 110 тонн горючего. Стои-мость перевозки 1 т горючего из пункта A в пункты 1, 2, 3 равна 60, 10, 40 тыс. руб. за 1 т соответственно, а из пункта B в пункты 1, 2, 3 – 120, 20, 80 тыс. руб. за 1 т соответственно.
Составьте план перевозок горючего, минимизирующий общую сум-му транспортных расходов.
Составим для наглядности таблицу исходных данных.
Поставщики Потребители1 2 3
Запасы
A 60 10 40 150B 120 20 80 190
Потребность 60 70 110
Важно отметить, что данная задача сбалансирована, то есть запасы горючего и потребность в нем равны. В этом случае не нужно учиты-вать издержки, связанные как со складированием, так и с недопостав-ками. В противном случае в модель нужно ввести:
• в случае превышения объема запасов - фиктивного потре-бителя; стоимость перевозок единицы продукции этому фиктивному потребителю полагается равной стоимости складирования, а объемы перевозок этому потребителю
13
равны объемам складирования излишек продукции у по-ставщиков;
• в случае дефицита - фиктивного поставщика; стоимость перевозок единицы продукции от фиктивного поставщика полагается равной стоимости штрафов за недопоставку продукции, а объемы перевозок от этого поставщика равны объемам недопоставок продукции потребителям.
Формальная математическая постановка задачи
Константы1. Обозначим через сij стоимость перевозки единицы продукции от
i-того поставщика j-тому потребителю, где i=1,2; j=1,2,3.
С =
60 10
40
120
20
80
2. Пусть Zi – запас горючего на i-м пункте, где i=1,2. Z1=150 тонн, Z2=190 тонн горючего.
3. bj- потребности пунктов 1,2 и 3 в горючем, j=1,2,3, то естьb1=60 – потребность в горючем пункта 1;b2=70 – потребность в горючем пункта 2;b3=110– потребность в горючем пункта 3.
Переменные1. Пусть xij - объем перевозок от i-того поставщика j-му потребите-
лю. 2. ai - расход горючего для i-го поставщика, где i=1,2.3. S - cуммарные транспортные расходы
∑ ∑= =
=2
1
3
1i jijij xcS
Решение 1.Зададим математическую модель расхода горючего i-го поставщи-ка
ij
iji Zxa == ∑=
3
1, где i=1,2.
2. Математическая модель потребностей в горючем j-х потребителей
14
ji
ij bx =∑=
2
1, где j=1,2,3.
3. Функцией цели являются суммарные транспортные расходы, то есть:
min→= ∑ ∑= =
m
i
n
jijij xcS
1 1
ОграниченияНеизвестные должны удовлетворять следующим ограничениям:
1. неотрицательность объема перевозок, то есть xij≥0, (i=1,2; j=1,2,3);
2. в силу сбалансированности задачи, вся продукция должна быть вывезена от поставщиков и потребности всех потре-бителей должны быть удовлетворены.
Методика выполнения в Microsoft Excel
В табличном процессоре Microsoft Excel для решения подобных за-дач предусмотрена надстройка Поиск решения. Если в меню Сервис от-сутствует команда Поиск решения, для ее установки нужно выбрать ко-манду Сервис > Надстройки, в появившемся диалоговом окне выбрать Поиск решения и нажать кнопку Ok.
Выполните следующую подготовительную работу для решения транспортной задачи с помощью средства Поиск решения в табличном процессоре Microsoft Excel.
1. Введите в ячейки диапазона B4:D5 стоимости перевозок.2. Отведите ячейки диапазона B8:D9 под значения неизвестных
(объемов перевозок). Ячейки должны быть пустыми!3. Введите в ячейки диапазона F8:F9 объемы запасов горючего у по-
ставщиков.4. Введите в ячейки диапазона B11:D11 потребность в горючем у по-
требителей.5. В ячейку B14 введите функцию цели:
=СУММПРОИЗВ(B4:D5;B8:D9). Сделать это можно при помощи мастера функций выбрав в разделе Математические функцию СУММПРОИЗВ и указав необходимый диапазон.
15
6. В ячейки диапазонов E8:E9 введите формулы вычисляющие объемы запасов у поставщиков, в ячейки диапазона B10:D10 – формулы расчета объемов доставляемого топлива к потребителям.
А именно:
Ячейка Формула Ячейка ФормулаE8 =СУММ(B8:D8) C10 =СУММ(C8:C9)E9 =СУММ(B9:D9) D10 =СУММ(D8:D9)B10 =СУММ(B8:B9)
При этом на экране должно отображаться следующее:
7. Выберите в меню Сервис команду Поиск решения и заполните диалоговое окно Поиск решения, как показано на рисунке.
16
8. Нажмите кнопку Выполнить. Средство Поиск решения найдет оп-тимальный план поставок горючего и соответствующие ему транспортные расходы
В результате получаем следующее распределение горючего между поставщиками и потребителями:
Поставщики Потребители1 2 3
A 60 0 90B 0 70 20
Значение целевой функции составило 10200 денежных единиц.При этом, экономическая интерпретация результатов будет следую-
щая. Поставщик A перевозит потребителям 1 и 3 - 60 и 90 т горючего соот-ветственно, поставщик В - потребителям 2 и 3 - 70 и 20 т горючего соот-ветственно. При этом затраты на перевозку продукции будут минимальны-ми и составят 10200 денежных единиц.
Оптимальный раскрой
ЦелиВ данном разделе показаны возможности использования модели ли-
нейного программирования для решения задач раскроя. Эта область прило-жения модели линейного программирования хорошо изучена. Благодаря работам в области оптимального раскроя основоположника теории линей-ного программирования лауреата Нобелевской премии академика Л.В. Канторовича задачу оптимального раскроя можно назвать классиче-ской прикладной оптимизационной задачей.
17
Студент должен уметь формулировать и использовать для эконо-мического анализа следующие понятия:
•материал;•заготовка;•отходы;•способ раскроя (рациональный и оптимальный);• интенсивность использования рациональных способов раскроя.
МоделиБольшинство материалов, используемых в промышленности, посту-
пает на производство в виде стандартных форм. Непосредственное ис-пользование таких материалов, как правило, невозможно. Предварительно их разделяют на заготовки необходимых размеров. Это можно сделать, ис-пользуя различные способы раскроя материала.
Задача оптимального раскроя состоит в том, чтобы выбрать один или несколько способов раскроя материала и определить, какое количество ма-териала следует раскраивать, применяя каждый из выбранных способов.
Задачи такого типа возникают в металлургии и машиностроении, лесной, лесообрабатывающей, легкой промышленности.
Выделяют два этапа решения задачи оптимального раскроя.На первом этапе определяются рациональные способы раскроя мате-
риала.На втором этапе решается задача линейного программирования для
определения интенсивности использования рациональных способов рас-кроя.
1. Определение рациональных способов раскроя материала.В задачах оптимального раскроя рассматриваются так называемые ра-
циональные (оптимальные по Парето) способы раскроя. Предположим, что из единицы материала можно изготовить заготовки нескольких видов.
Способ раскроя единицы материала называется рациональным (оп-тимальным по Парето), если увеличение числа заготовок одного вида воз-можно только за счет сокращения числа заготовок другого вида.
Пусть к — индекс вида заготовки, к = 1,..., q;i – индекс способа раскроя единицы материала, i= 1,..., q;aik – количество (целое число) заготовок вида к, полученных при
раскрое единицы материала i-м способом.Приведенное определение рационального способа раскроя может
быть формализовано следующим образом.Способ раскроя v называется рациональным (оптимальным по Парето),
если для любого другого способа раскроя i из соотношений aik >avk , к=1, ..., q, следуют соотношения aik = avk , к=1, ..., q.
18
2. Определение интенсивности использования рациональных спосо-бов раскроя.
Обозначения:j – индекс материала, j = 1,..., n;к – индекс вида заготовки, к = 1, ..., q;i – индекс способа раскроя единицы материала, i = 1,..., р;ajik – количество (целое число) заготовок вида к, полученных при
раскрое единицы j-го материала i-м способом;bк – число заготовок вида к в комплекте, поставляемом заказчику;dj – количество материала j-го вида;xji – количество единицу-го материала, раскраиваемых по i-му спосо-
бу (интенсивность использования способа раскроя);cji — величина отхода, полученного при раскрое единицы j-го матери-
ала по i-му способу;у — число комплектов заготовок различного вида, поставляемых за-
казчику.
Модель А раскроя с минимальным расходом материалов:
min→∑ ∑= =
n
j
p
ijix
1 1(1)
k
n
j
p
ijijik bxa ≥∑ ∑
= =1 1, где к = 1, ..., q (2)
0≥jix , где j = 1,..., n; i = 1,..., р; (3)
Здесь (1) – целевая функция (минимум количества используемых материалов);
(2) – система ограничений, определяющих количество заготовок, необходимое для выполнения заказа;
(3) – условия неотрицательности переменных.Специфическими для данной области приложения модели линейного
программирования являются ограничения (2).
Модель В раскроя с минимальными отходами:
min→∑ ∑= =
n
j
p
ijiji xс
1 1(4)
19
k
n
j
p
ijijik bxa ≥∑ ∑
= =1 1, где к = 1, ..., q (5)
0≥jix , где j = 1,..., n; i = 1,..., р; (6)
Здесь (4) – целевая функция (минимум отходов при раскрое материа-лов);
(5) – система ограничений, определяющих количество заготовок, необходимое для выполнения заказа;
(6) – условия неотрицательности переменных.
Модель С раскроя с учетом комплектации:
max→y , (7)
∑=
≤n
ijji dx
1, где j = 1,..., n; (8)
k
n
j
p
ijijik bxa ≥∑ ∑
= =1 1, где к = 1, ..., q (9)
00 ≥≥ jixy , , где j = 1,..., n; i = 1,..., р; (10)
Здесь (7) – целевая функция (максимум комплектов, включающих заготовки различных видов);
(8) – ограничения по количеству материалов;(9) – система ограничений, определяющих количество заготовок,
необходимое для формирования комплектов;(10) – условия неотрицательности переменных.Специфическими для данной области приложения модели линейно-
го программирования являются ограничения (9).
Пример решения задачи оптимального раскроя
Исходная постановка задачиФирма производит две модели А и Б сборных книжных полок. Их
производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем использования станков. Для каждого изделия модели А требует-ся 3 м2 досок, а для изделия модели Б – 4 м2. Фирма может получать от по-ставщиков до 1 700 м2 досок в неделю. Для каждого изделия модели А тре-буется 12 мин. станочного времени, а для изготовления модели Б – 30 мин. В неделю можно использовать до 160 часов станочного времени.
20
Сколько изделий каждой модели следует фирме выпускать в неделю, если каждое изделие модели А приносит 10 000 руб. прибыли, а каждое из-делие модели Б – 20 000 руб. прибыли?
Составим для наглядности таблицу исходных данных.
Модели полокМодель А Модель Б
Общий объем в неделю
Доски 3 м2 4 м2 1 700 м2 Станки 12 мин. 30 мин. 160 час. Прибыль 10 000 руб. 20 000 руб.
Формальная математическая постановка задачи
Константы1. Пусть aij – объем затрат i-го ресурса на выпуск j-й единицы про-
дукции, где i=1,2; j=1,2. Переведем минуты в часы: 12мин.– это 0,2 час.; 30 мин.– это 0,5 час.
aij =3 40,2
0,5
2. Пусть cj – прибыль от реализации модели j, где j=1,2. c1=10 000 руб.; c2=20 000 руб.
3. Пусть bj – количество имеющегося ресурса j где j=1,2. b1=1700 м2; b2=160 час.
Переменные1. Обозначим через xj количество выпущенных за неделю полок j,
j=1,2, то естьx1 - количество выпущенных за неделю полок модели А;x2 - количество выпущенных полок модели Б.
2. Обозначим через Ri фактический расход имеющегося ресурса до-сок и станочного времени, где i=1,2, то есть R1 – фактический расход досок;R2 – фактический расход станочного времени;
3. Обозначим через P еженедельную прибыль от реализации полок А и Б.
Решение 1.Зададим математическую модель фактического расходования ре-сурсов
21
∑=
=2
1jjiji xaR , где i=1,2..
или
для досокдля времени
2. Зададим математическую модель нахождения общей прибыли от
реализации полок ∑=
2
1jjj xc , . Ее максимизация является целью реше-
ния задачи. Следовательно, целевая функция будет иметь вид:
∑=
→2
1jjj xc max,
Ограничения1. Расход ресурсов не должен превышать их запас
≤≤
22
11
bRbR
или
≤+≤+
1605020170043
21
21
xxxx,, или
≤+≤+
160052170043
21
21
xxxx
2. Количество выпускаемых полок должно быть целым числом.3. Поскольку x1, x2, выражают объем выпускаемых приборов, то они
не могут быть отрицательны, то есть x1≥0; x2≥0
Методика выполнения в Microsoft Excel
22
+=+=
212
211
502043
xxRxxR
,,
Ячейки B7:C7 - количество выпущенный за неделю полок моделей А
и Б.
В ячейке D8 находится функция максимизирующая прибыль от
производства двух видов полок А и Б. В ячейках B8 и C8 соответственно
находятся формулы, которые вычисляют прибыль по каждому виду полок.
В ячейках B12 и C12 идет расчет фактически использованного сырья
(досок) для изготовление моделей полок А и Б, в D12 общее количество
использованного сырья.
23
В ячейках B13 и C13 идет расчет фактически использованного ста-
ночного времени для изготовления моделей А и Б, в D13 общее количество
использованного станочного времени.
Таким образом, заполняем диалоговое окно Поиск решения:
В поле Установить целевую указываем ячейку, содержащую опти-
мизируемое значение (D8), устанавливаем переключатель Равной макси-
мальному значению.
В поле Изменяя ячейки задаем диапазон подбираемых параметров —
B8:C8.
Набор ограничений:
1. B7:C7= целое;
2. B7:C7>=0 (количество выпускаемых полк не может быть отри-
цательным);
3. D12<= D3 (ограничение на наличие досок);
4. D13<= D4 (ограничение на наличие машинного времени).
24
Таким образом наилучшими для данной задачи являются выпущен-
ных за неделю 300 штук полок модели А, 200 штук полок модели Б. При
таком выпуске продукции фактически использованный объем наличия сы-
рья (высококачественных досок) и времени использования станков не пре-
вышает планируемого объема. И при этом еженедельная прибыль будет
достигать своего максимума, равного 7 000 000 рублей.
25
ТРЕБОВАНИЯ к выполнению лабораторной работы по курсу информатика
"Решение задач оптимизации средствами Microsoft Excel"
Лабораторная работа является итогом изучения инструментов, предоставляемых программным обеспечением MS Excel для решения мате-матических и экономических задач. В работе представлена задача поиска оптимального решения. Для решения задачи необходимо применить над-стройку Поиск решения MS Excel.
Результатом выполнения контрольной работы является отчет, кото-рый включает:
1. Титульный лист2. Текст задания с номером варианта 3. Формальную математическую постановку задачи4. Решение задачи средствами электронных таблиц (должен быть
представлен вид рабочего листа с найденным решением)5. Анализ найденного решения.
Формальная математическая постановка задачи должна состоять из следующих этапов:
1. Список используемых констант2. Список используемых переменных3. Этапы решения:
3.1.Формулы нахождения каждой переменной3.2.Формулу целевой функции, с указанием условия решения
(максимальная или минимальная)3.3.Список ограничений
Необходимо точно выполнять условия задач, при сомнениях - консультироваться с преподавателем.
26
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 202 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Вариант 1Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А, В,
С использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку, фрукто-вое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство 1 тонны ка-рамели данного вида приведены в таблице.
Вид сырья Норма расхода (т) на 1 т карамелиА В С
Общее коли-чество сы-
рья (т)Сахарный песок 0,8 0,5 0,6 800Патока 0,4 0,4 0,3 600Фруктовое пюре - 0,1 0,1 120Прибыль (руб.) 108 112 126
Найти план производства карамели, обеспечивающей максимальную прибыль.
Вариант 2На швейной фабрике для изготовления четырех видов изделий мо-
жет быть использована ткань трех артикулов. Нормы расхода тканей всех артикулов на пошив одного изделия приведены в таблице.
Артикул ткани Норма расхода ткани (м) на одно изде-лие вида
1 2 3 4
Общее коли-чество ткани
(м)
I 1 0 2 1 180II 0 1 3 2 210III 4 2 0 4 800
Цена одного изделия, руб. 90 60 140 200
Определить, сколько изделий одного вида должна произвести фабри-ка, чтобы стоимость изготовленной продукции была максимальной.
Вариант 3Предприятие выпускает 4 вида продукции и использует 3 типа обо-
рудования: токарное, фрезерное и шлифовальное. Затраты времени на изготовление единицы продукции для каждого из типов оборудования приведены в таблице.
27
Тип оборудования Норма расхода времени на одно изделие, мин.1 2 3 4
Общий фонд рабочего вре-
мениТокарное 1 2 1 300Фрезерное 1 3 2 370Шлифовальное 4 2 4 340Цена одного изде-лия, руб.
500 200 300 400
Определить такой объем выпуска каждого изделия, при котором об-щая прибыль от их реализации являлась бы максимальной.
Вариант 4Для изготовления разных изделий А, В и С предприятие использует
3 различных вида сырья. Нормы расхода сырья на производство одного из-делия каждого вида, цена одного изделия А, В и С, а также общее количе-ство сырья каждого вида, которое может быть использовано предприяти-ем, приведены в таблице.
Вид сырья Норма расхода ткани (м) на одно изде-лие вида
А В С
Общее коли-чество ткани
(м)
I 18 15 12 1000II 6 4 8 750III 5 3 3 800
Цена одного изделия, руб. 120 110 160
Изделия А, В и С могут производиться в любых соотношениях, но производство ограничено выделенным предприятию сырьем каждого вида. Составить план производства изделий, при котором общая стоимость всех произведенных изделий является максимальной.
Вариант 5Компания производит различные виды мебели для кабинетов. В
частности она производит cтолы трех видов (I, II, III). Объем работы, необ-ходимый для производственной операции, приводится в таблице
Операция Объем работы, чел.-ч.I II II
Изготовление частей 2 3 2Сборка 1 2 3Полировка и контроль 2 1 2
28
Максимум объема работ в неделю составляет 360 чел.-ч. на изготов-ление частей, 240 чел.-ч. на сборку и 180 чел.-ч. на полировку и контроль. Рынок сбыта расширяется, возможности хранения ограничивают произ-водство 170 столами в неделю. Прибыль от реализации столов типов I, II и III составляет 750, 110 и 950 руб. соответственно. Составьте оптимальный план производства.
Вариант 6Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силой и обору-
дованием, необходимым для производства любого из четырех видов произ-водственных товаров. Затраты ресурсов на изготовление единицы данного товара, прибыль и запасы указаны в таблице
Виды ресурсов Виды товара, шт.1 2 3 4
Объем ре-сурсов
Сырье, кг 3 5 4 4 60Рабочая сила, чел. 22 14 18 30 400Оборудование, станко-час. 10 14 8 16 128Прибыль на единицу товара, руб. 30 25 56 48
Заданы производственные издержки в рублях на единицу каждого изделия: 6, 9, 12 и 3 рублей соответственно. Найти ассортимент, максими-зирующий прибыль, при условии, что суммарные производственные из-держки не должны превышать 96 рублей.
Вариант 7Имеются следующие продукты питания:
Продукт Содержится в 1 кг продуктаБелки, г Жиры, г Углеводы, г Калорийность,
ккал
Стои-мость 1 кг,
руб.Крупа овсяная 108 60 611 3500 8Кефир 28 35 45 620 12Горох 193 22 498 3040 10Орехи грецкие 38 249 37 2750 48Мед пчелиный 3 0 777 3200 100
Пищевой состав суточного рациона должен содержать белков не ме-нее 120г, жиров не менее 120г, углеводов не менее 600г и иметь калорий-ность не менее 4000 ккал.
Требуется так составить суточный рацион, чтобы обеспечить задан-ные условия при минимальной стоимости рациона.
29
Вариант 8Фирма рекламирует свою продукцию с использованием четырех
средств: телевидения, радио, газет и афиш. Из различных рекламных экс-периментов, которые проводились фирмой в прошлом, известно, что эти средства приводят к увеличению прибыли соответственно на 10, 3, 7 и 4 руб. в расчете на 1руб., затраченный на рекламу.
На распределение рекламного бюджета накладываются следующие ограничения:
1) полный бюджет не должен превышать 500 млн.руб.;2) следует расходовать не более 40% бюджета на телевидение и не
более 20% бюджета на афиши;3) вследствие привлекательности для подростков радио, на него сле-
дует расходовать, по крайней мере, половину того, что планируется на телевидение.
Как наиболее эффективно использовать рекламный бюджет?
Вариант 9Правительственное учреждение получило следующее предложение
от фирм Ф1, Ф2, Ф3 на покупку пальто трех размеров Р1, Р2, Р3:
Фирма Стоимость одного пальто, руб.Р1 Р2 Р3
Ф1 3100 3150 3260Ф2 3070 3150 3300Ф3 3040 3090 3160
Должны быть заключены контракты на продажу 1000 пальто размера Р1, 1500 пальто размера Р2 и 1200 пальто размера Р3, однако ограничен-ность производственных мощностей фирм приводит к тому, что общее ко-личество заказов не может превосходить 1000 пальто для фирмы Ф1, 1500 пальто для фирмы Ф2 и 2500 пальто для фирмы Ф3. Необходимо, чтобы эти контракты были заключены с минимизацией общей стоимости, однако каждая фирма должна получить заказ. Как следует распределить заказы?
Вариант 10Для изготовления трех видов изделий А, В и С используется токар-
ное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты време-ни на обработку одного изделия для каждого из типов оборудования при-ведены в таблице.
30
Тип оборудования Затраты времени на обработку одного из-делие, час.
А В С
Общий фонд рабо-чего времени обо-
рудования
Токарное 2 4 5 120Фрезерное 1 8 6 280Сварочное 7 4 5 240Шлифовальное 4 6 7 360Прибыль 10 14 12
Требуется определить, сколько изделий и какого вида следует изго-товить предприятию, чтобы от их реализации была максимальной.
Вариант 11Автозавод выпускает две модели автомобилей: «Каприз» и (более де-
шевую) «Фиаско». На заводе работает 1000 неквалифицированных и 800 квалифицированных рабочих, каждому из которых оплачивается 40 часов в неделю.
Для изготовления модели «Каприз» требуется 30 часов неквалифици-рованного труда и 50 часов квалифицированного труда. Для «Фиаско» тре-буется 40 часов неквалифицированного труда и 20 часов квалифицирован-ного труда.
Каждая модель «Фиаско» требует затрат в размере 500$ на сырье и комплектующие изделия, тогда как каждая модель «Каприз» требует за-трат в размере 1500$; суммарные затраты не должны превосходить 900 000$ в неделю.
Рабочие, осуществляющие доставку, работают по пять дней в неде-лю и могут забрать с завода не более 210 машин в день.
Каждая модель «Каприз» приносит фирме 1000$ прибыли, а каждая модель «Фиаско» - 500$ прибыли.
Какой объем выпуска каждой модели Вы бы порекомендовали?
Вариант 12Фирма специализируется на производстве буфетов. Она может произ-
водить три типа буфетов А, Б и В, что требует различных затрат труда на каджой стадии производства:
Производственный участок
Затраты труда, чел-ч.А Б В
Лесопилка 1 2 4Сборочный цех 2 4 6Отделочный цех 1 1 2
31
В течение недели можно планировать работу на лесопилке на 380 чел-ч. в сборочном цехе – на 510 чел-ч. и в отделочном цехе на 230 чел-ч.
Прибыль от продажи каждого буфета А,Б,В составляет 450 руб.,500 руб. и 760 руб.
Составьте оптимальный план производства и определите избыток чел-ч. работы на каждом из производственных участков.
Для выполнения обязательств по организации интерьера гостиниц необходимо производить по крайней мере 10 буфетов типа В еженедельно. Как это требование повлияет на решение?
Вариант 13На звероферме могут выращиваться песцы, черно-бурые лисы, ну-
трии и норки. Для их питания используются три вида кормов. В таблице приведены нормы расхода кормов, их ресурс в расчете на день, а также прибыль от реализации одной шкурки каждого зверя.
Вид корма Нормы расхода кормов (кг/день)Песец Лиса Нутрия Норка
Ресурс кор-мов, кг
I 1 2 1 2 300II 1 4 2 0 400III 1 1 3 2 600
Прибыль, руб./шкурка 6 12 8 10
Определить, сколько и каких зверьков следует выращивать на ферме, чтобы прибыль от реализации шкурок была наибольшей.
Вариант 14Завод изготовляет корпуса для холодильников и комплектует их обо-
рудованием, поставляемым без ограничений другими предприятиями. В таблице указаны нормы трудозатрат, затрат материалов для изготовления корпусов, ограничения по этим ресурсам в расчете на месяц и прибыль от реализации холодильника каждой из пяти марок.Наименование
ресурсаМарка холодильника
Саратов Норд Бирюса Свияга АтлантОбъем ресурса
Трудозатраты, чел/час 2 3 5 4 4 9000
Металл, м2 2 2 4 5 0 8500Пластик, м2 1 3 2 0 4 4000Краска, кг 1 2 3 3 2 5000Прибыль, руб. 40 70 120 120 50
Найти месячный план выпуска холодильников, максимизирующий прибыль.
32
Вариант 15Для серийного изготовления детали механический цех может ис-
пользовать пять различных технологий ее обработки на токарном, фрезер-ном, строгальном и шлифовальном станках. В таблице указано время (в минутах) обработки детали на каждом станке в зависимости от технологи-ческого способа, а также общий ресурс рабочего времени станков каждого вида за одну смену.
Станки Технологические способы1 2 3 4 5
Ресурс времени станков (мин)
Токарный 2 1 3 0 1 4100Фрезерный 1 0 2 2 1 2000Строгальный 1 2 0 3 2 5800Шлифовальный 3 4 2 1 1 10800
Требуется указать, как следует использовать имеющиеся технологии с тем, чтобы добиться максимального выпуска продукции.
Вариант 16В металлургический цех в качестве сырья поступает латунь (сплав
меди с цинком) четырех типов с содержанием цинка 10, 20, 25 и 40% по цене 100, 300, 400 и 600 руб. за 1 кг соответственно. В каких пропорциях следует переплавлять это сырье в цехе, чтобы получить сплав (латунь), со-держащий 30% цинка и при этом самый дешевый?
Вариант 17Цех выпускает три вида деталей, которые изготовляются на трех
станках. На рисунке показана технологическая схема изготовления детали каждого вида с указанием рабочего времени ее обработки на станках.
Суточный ресурс рабочего времени станков 1, 2, и 3 составляют соот-ветственно 890, 920 и 840 мин.
Стоимость одной детали вида 1, 2, и 3 равна соответственно 30, 10 и 20 рублей.
33
Станок 1 Станок 2 Станок 3
Заготовки 2 мин 4 мин Деталь 2
1 мин 3 мин 1 мин Деталь 1
1 мин 2мин Деталь 3
Требуется составить суточный план производства с целью максимиза-ции стоимости выпущенной продукции.
Вариант 18Объединение "Комфорт" производит холодильники, газовые плиты,
морозильные шкафы и электропечи по цене 12000, 7000, 15000 и 2500 руб. соответственно.
Постоянным фактором, ограничивающим объемы производства, яв-ляется фиксированная величина трудовых ресурсов – 12000 человеко-ча-сов в месяц.
Выяснилось, однако, что в ближайший месяц дефицитной будет и ли-стовая сталь для корпусов указанных изделий, поскольку поставщики смо-гут обеспечить лишь 7000 м2 этого материала.
Требуется составить план производства на данный месяц с тем, чтобы максимизировать стоимость выпущенной продукции. Известно, что для изготовления холодильника требуется 2 м2 листовой стали и 3 чел.-ч. рабо-чего времени, для газовой плиты – соответственно 1,5 м2 листовой стали и 3 чел.-ч., для морозильного шкафа – 3 м2 и 4 чел.-ч., для электропечи – 1 м2
и 2 чел.- ч.
Вариант 19Участник экспедиции "Северный полюс" укладывает рюкзак, и ему
требуется решить, какие положить продукты. В его распоряжении имеется мясо, мука, сухое молоко и сахар.
В рюкзаке для продуктов осталось лишь 45 дм3 объема, и нужно, что-бы суммарная масса продуктов не превосходила 35 кг.
Врач рекомендовал, чтобы мяса (по массе) было больше муки по крайней мере в два раза, муки не меньше молока, а молока по крайней мере в восемь раз больше, чем сахара.
Сколько и каких продуктов нужно положить в рюкзак, с тем, чтобы суммарная калорийность продуктов была наибольшей? Характеристики продуктов приведены в таблице.
Характеристики ПродуктыМясо Мука Молоко Сахар
Объем (дм3/кг) 1 1,5 2 1Калорийность (Ккал/кг) 1500 5000 5000 4000
Вариант 20На мебельной фабрике требуется раскроить 5000 прямоугольных ли-
стов фанеры размером 4×5 м каждый, с тем, чтобы получить два вида пря-моугольных деталей: деталь А должна иметь размер 2×2 м; деталь Б – раз-
34
мер 1×3 м. Необходимо, чтобы деталей А оказалось не меньше, чем дета-лей Б.
Каким образом следует производить раскрой, чтобы получить мини-мальное (по площади) количество отходов?
Вариант 21Для серийного производства некоторого изделия требуются комплек-
ты заготовок профильного проката. Каждый комплект состоит из двух за-готовок длиной 1800 мм и пяти заготовок длиной 700 мм.
Как следует раскроить 770 полос проката стандартной длины 6000 мм, чтобы получить наибольшее количество указанных комплектов?
Вариант 22Нефтеперерабатывающая установка может работать в двух различ-
ных режимах. При работе в первом режиме из одной тонны нефти произ-водится 300 кг темных и 600 кг светлых нефтепродуктов; при работе во втором режиме – 700 кг темных и 200 кг светлых нефтепродуктов. Еже-дневно на этой установке необходимо производить 110 т темных и 70 т светлых нефтепродуктов. Это плановое задание необходимо ежедневно выполнять, расходуя минимальное количество нефти.
Вопросы:1.Сколько тонн нефти следует ежедневно перерабатывать в первом режиме?2.Сколько тонн нефти следует ежедневно перерабатывать во втором режиме?3.Каков минимальный ежедневный расход нефти?4.На сколько тонн увеличится ежедневный минимальный расход нефти, если по-требуется производить в день 80 т светлых нефтепродуктов?
Вариант 23Фирма «Television» производит два вида телевизоров: «Астро» и «Кос-
мо».В цехе 1 производят телевизионные трубки. На производство одной
трубки к телевизору «Астро» требуется потратить 1,2 человеко-часа, а на производство трубки к «Космо» — 1,8 человеко-часа. В настоящее время в цехе 1 на производство трубок к обеим маркам телевизоров может быть за-трачено не более 120 человеко-часов в день.
В цехе 2 производят шасси с электронной схемой телевизора. На производство шасси для телевизора любой марки требуется затратить 1 человеко-час. На производство шасси к обеим маркам телевизоров в цехе 2 может быть затрачено не более 90 человеко-часов в день.
Продажа каждого телевизора марки «Астро» обеспечивает прибыль в размере 1500 руб., а марки «Космо» – 2000 руб.
Фирма заинтересована в максимизации прибыли.
35
Вопросы:1.Сколько телевизоров «Астро» следует производить ежедневно?2.Какова максимальная ежедневная прибыль телевизионной компании?3.На сколько рублей в день увеличится прибыль, если ресурс времени в цехе 2 возрастет на 5 человеко-часов?4.Следует ли изменить план производства, если прибыль от телевизора «Кос-мо» увеличится до 2200 руб.?
Вариант 24Чулочно-носочная фирма производит и продает два вида товаров:
мужские носки и женские чулки. Фирма получает прибыль в размере 10 руб. от производства и продажи одной пары чулок и в размере 4 руб. от производства и продажи одной пары носков.
Производство каждого изделия осуществляется на трех участках. За-траты труда (в часах) на производство одной пары указаны в следующей таблице для каждого участка:
Участок произ-водства
Чулки Носки
1 0,02 0,012 0,03 0,013 0,03 0,02
Руководство рассчитало, что в следующем месяце фирма ежедневно будет располагать следующими ресурсами рабочего времени на каждом из участков: 60 ч на участке 1; 70 ч на участке 2 и 100 ч на участке 3.
Вопросы:1.Сколько пар носков следует производить ежедневно, если фирма хочет макси-мизировать прибыль?2.Какую максимальную прибыль фирма может получать ежедневно?3.На сколько увеличится прибыль, если ресурс времени на участке 1 увеличит-ся на 10ч?4.На сколько увеличится прибыль, если ресурс времени на участке 2 увеличится на 10 ч?
Вариант 25Из прямоугольного листа железа размером 100×60 см необходимо
изготовить квадратные заготовки со сторонами 50,40 и 20 см. Эти заготов-ки нужны в качестве перегородок при изготовлении пластмассовых коро-бок для хранения инструментов. Чтобы сделать одну коробку, нужно иметь четыре заготовки со стороной 50 см, шесть заготовок со стороной 40 см и двенадцать – со стороной 20 см. На складе находится 100 листов мате-риала.
Вопросы:1.Сколько существует рациональных способов раскроя?
36
2.Какое максимальное количество коробок можно изготовить при условии, что оставшиеся заготовки можно использовать для следующей партии коробок?3.Сколько рациональных способов раскроя следует использовать?4.Сколько листов материала нужно, чтобы изготовить одну коробку?
Вариант 26Существует три рациональных способа раскроя единицы материала
А на заготовки трех типов. Эти же заготовки могут быть получены двумя рациональными способами при раскрое единицы материала В. Количество заготовок, получаемых каждым из этих способов, показано в следующей таблице:
Заготовка Материал А Материал ВСпособ 1 Способ 2 Способ 3 Способ 4 Способ 5
1 0 2 9 1 52 4 3 2 5 43 10 6 0 8 0
Заготовки используются для производства бытовой техники.В комплект поставки входят четыре заготовки первого типа, три за-
готовки второго типа и семь — третьего типа. На складе имеется 100 еди-ниц материала А и 300 единиц материала В.
Вопросы:1.Сколько рациональных способов раскроя следует использовать?2.Какое максимальное число комплектов заготовок можно изготовить из имею-щегося материала в предположении, что оставшиеся заготовки можно использо-вать при выполнении следующего заказа?3.Сколько единиц материала А следует раскраивать третьим способом?4.Какое максимальное число комплектов заготовок можно изготовить из имею-щегося материала, если число заготовок второго типа в комплекте увеличится до семи?
Вариант 27При раскрое деталей для производства единственного изделия на
швейной фабрике используются два артикула ткани. Ширина ткани 1 м. Изделие собирается из двух деталей, причем каждая из них может быть получена путем раскроя ткани любого типа. Ткани можно раскраивать тремя способами, количество деталей каждого вида, полученных из одно-го погонного метра ткани, указано в следующей таблице:
Деталь Ткань 1 Ткань 2Способ 1 Способ 2 Способ 3 Способ 4 Способ 5 Способ 6
1 8 0 4 12 0 62 0 3 1 0 5 2
37
Ткани 1 поступает на фабрику в 2 раза больше (по длине), чем тка-ни 2. Количество готовых изделий должно быть максимальным.
Вопросы:1.Сколько способов раскроя ткани 1 следует использовать?2.Какая часть (в %) ткани 1 должна быть раскроена способом 1?3.На сколько (в %) изменится выход готовых изделий по сравнению с первона-чальным, если на фабрику будет поступать равное количество обеих тканей?
Вариант 28На производство поступила партия стержней длиной 250 и 190 см.
Необходимо получить 470 заготовок длиной 120 см и 450 заготовок длиной 80 см. Отходы должны быть минимальны.
Вопросы:1.Какое количество стержней длиной 250 см надо разрезать?2.Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать?3.Какова величина отходов (в см)?4.Оказалось, что количество стержней длиной 250 см ограничено и равно 200 шт. Какое количество стержней длиной190 см надо разрезать в этом случае?5.На сколько при этом увеличатся отходы (в см)?
Вариант 29Завод заключил договор на поставку комплектов стержней длиной 18,
23 и 32 см. Причем количество стержней разной длины в комплекте долж-но быть в соотношении 1:5:3. На сегодняшний день имеется 80 стержней длиной по 89 см. Как их следует разрезать, чтобы количество комплектов было максимальным?
Вопросы:1.Сколько существует рациональных способов раскроя?2.Сколько комплектов стержней будет выпущено?3.Какова при этом величина отходов (в см)?
Вариант 30При изготовлении парников используется материал в виде металли-
ческих стержней длиной 220 см. Этот материал разрезается на стержни длиной 120, 100 и 70 см. Для выполнения заказа требуется изготовить 80 стержней длиной 120 см, 120 стержней длиной 100 см и 102 стержня дли-ной 70 см.
Вопросы:1.Сколько существует рациональных способов раскроя?2.Какое минимальное количество материала следует разрезать, чтобы выполнить заказ?3.Сколько способов раскроя следует использовать при выполнении заказа?
38
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 60
Вариант 31Четыре овощехранилища каждый день обеспечивают картофелем
три магазина. Магазины подали заявки, соответственно, на 17, 12 и 32 т. овощехранилища имеют соответственно 20, 20, 15 и 25 т. Тарифы (в д.е. за 1 т) указаны в следующей таблице:
ОвощехранилищаМагазины
1 2 31 2 7 42 3 2 13 5 6 24 3 4 7
Составьте план перевозок, минимизирующий суммарные транспорт-ные расходы.
Вариант 32Имеются четыре оперативные базы и три цели. В силу различия в ти-
пах самолетов и высоте полета вес бомб, доставляемых с любой базы к лю-бой цели, определяется по следующей таблице:
База Цель1 2 3
1 8 6 52 6 6 63 10 8 44 8 6 4
Дневная интенсивность каждой базы составляет 150 самолето-выле-тов в день. На каждую цель необходимо организовать 200 самолето-выле-тов в день.
Определите план вылетов с каждой базы к каждой цели, дающий максимальный общий вес бомб, доставляемых к целям.
Вариант 33Имеются три специализированные мастерские по ремонту двига-
телей. Их производственные мощности равны соответственно 100, 700, 980 ремонтов в год. В пяти районах, обслуживаемых этими мастерскими, по-требность в ремонте равна соответственно 90, 180, 150, 120, 80 двигателей
39
в год. Затраты на перевозку одного двигателя из районов к мастерским сле-дующие:
Районы Мастерские1 2 3
1 4,5 3,7 8,32 2,1 4,3 2,43 7,5 7,1 4,24 5,3 1,2 6,25 4,1 6,7 3,1
Спланируйте количество ремонтов каждой мастерской для каждого из районов, минимизирующее суммарные транспортные расходы.
Вариант 34Имеются два склада готовой продукции: А1 и А2 с запасами однород-
ного груза 200 и 300 т. Этот груз необходимо доставить трем потребите-лям: В1, B2, B3 в количестве 100, 150, 250 т соответственно. Стоимость перевозки 1 т груза из склада А1 потребителям В1, В2 и В3 равна 5,3,6 д.е., а из склада А2 тем же потребителям – 3,4, 2 д.е. соответственно.
Составьте план перевозок, минимизирующий суммарные транспорт-ные расходы.
Вариант 35Решите задачу распределения станков четырех различных типов по
шести типам работ. Пусть имеются 30;45; 25 и 20 станков соответствую-щих типов. Шесть типов работ характеризуются 30;20;10;10 и 10 операция-ми соответственно. На станке 3 не может выполняться работа 6. Исходя из коэффициентов стоимости операции, представленных в следующей табли-це, постройте модель и выполните оптимальное распределение станков по работам:
Типстанков
Тип работ1 2 3 4 5 6
1 10 1 3 7 14 82 4 8 12 2 10 73 12 3 14 6 2 -4 11 12 9 5 1 3
Вариант 36Найдите оптимальное распределение трех видов механизмов, имею-
щихся в количествах 45, 20 и 35, между четырьмя участниками работ, по-требности которых соответственно равны 10, 20, 30, 40 при следующей матрице производительности:
40
W=3 2 1 02 5 4 31 0 4 2
Вариант 37Имеется 5 ракет и 5 целей. Вероятность поражения цели каждой из
ракет задана в следующей таблице:
Ракеты Цели1 2 3 4 5
1 0,12 0,02 0,50 0,43 0,152 0,71 0,18 0,81 0,05 0,263 0,84 0,76 0,26 0,37 0,524 0,22 0,45 0,83 0,81 0,655 0,49 0,02 0,50 0,26 0,27
Распределите ракеты по целям так, чтобы математическое ожидание числа пораженных целей было максимальным.
Вариант 38Имеются 2 элеватора, в которых сосредоточено соответственно 4200
и 1200 т зерна. Зерно необходимо перевезти трем хлебозаводам в количе-стве 1000, 2000 и 1600 т каждому. Расстояние от элеватора до хлебозаво-дов указано в следующей таблице:
Элеваторы Хлебозаводы1 2 3
1 20 30 502 60 20 40
Затраты на перевозку 1 т продукта на 1 км составляют 25 д.е. Спла-нируйте перевозки зерна из условия минимизации транспортных расходов.
Вариант 39На строительство четырех объектов кирпич поступает с трех заво-
дов. Заводы имеют на складах соответственно 50, 100 и 50 тыс. шт. кирпи-ча. Объекты требуют соответственно 50, 70, 40, 40 тыс. шт. кирпича. Тари-фы ( в д.е./ тыс. шт) приведены в следующей таблице:
Заводы Объекты1 2 3 4
1 2 6 2 32 5 2 1 73 4 5 7 8Составьте план перевозок, минимизирующий суммарные транспорт-
ные расходы.
41
Вариант 40Для полива различных участков сада, на которых растут сливы, ябло-
ни, груши, служат три колодца. Колодцы могут дать соответственно 180, 90, и 40 ведер воды. Участки сада требуют для полива соответственно 100, 120 и 90 ведер воды. Расстояние (в метрах) от колодцев до участков сада указаны в следующей таблице:
Колодцы Участкисливы яблони груши
1 10 5 122 23 28 333 43 40 39
Как лучше организовать полив?
Вариант 41Три завода выпускают грузовые автомобили, которые отправляются
четырем потребителям. Первый завод поставляет 90 платформ грузовиков, второй – 30 платформ, третий – 40 платформ. Требуется поставить плат-формы следующим потребителям: первому – 70 шт., второму – 30, третье-му – 20, четвертому – 40 шт. Стоимость перевозки одной платформы от по-ставщика до потребителя указана в следующей таблице (д.е.):
Поставщики Потребители1 2 3 4
1 18 20 14 102 10 20 40 303 16 22 10 20
Составьте оптимальный план доставки грузовых автомобилей.
Вариант 42На складах А, В, С находится сортовое зерно 100, 150, 250т, которое
нужно доставить в четыре пункта. Пункту 1 необходимо поставить 50 т, пункту 2 – 100, пункту 3 – 200, пункту 4 – 150 т сортового зерна. Стои-мость доставки 1т зерна со склада А в указанные пункты соответственно равна 80, 30, 50, 20(д.е.); со склада В – 40, 10, 60, 70; со склада С – 10, 90, 40, 30.
Составьте оптимальный план перевозки зерна из условия минимума стоимости перевозки.
Вариант 43
42
Строительство магистральной дороги включает задачу заполнения имеющихся на трассе выбоин до уровня основной дороги и срезания в не-которых местах дороги выступов. Срезанным грунтом заполняются выбои-ны. Перевозка грунта осуществляется грузовиками одинаковой грузоподъ-емности. Расстояние в километрах от срезов до выбоин и объем работ ука-заны в следующей таблице:
Поставщики ПотребителиI II III
Наличиегрунта, т
A 1 2 3 110B 2 1 3 130C 1 2 4 20
Требуемоеколичество грунта, т 100 140 60
Составьте план перевозок, минимизирующий общий пробег грузови-ков.
Вариант 44Груз, хранящийся на трех складах и требующий для перевозки 60,
80, 106 автомашин соответственно, необходимо перевезти в четыре мага-зина. Первому магазину требуется 44 машины груза, второму – 70, третье-му – 50 и четвертому – 82 машины. Стоимость пробега одной автомашины за 1 км составляет 10 д.е. Расстояния от складов до магазинов указаны в следующей таблице:
Склады Магазины1 2 3 4
1 13 17 6 82 2 7 10 413 12 18 2 22
Составьте оптимальный по стоимости план перевозки груза от скла-дов до магазинов.
Вариант 45Завод имеет три цеха – А, В, С и четыре склада – 1; 2; 3; 4. Цех А
производит 30 тыс. шт. изделий, цех В – 40; цех С – 20 тыс. шт. изделий. Пропускная способность складов за то же время характеризуется следую-щими показателями: склад 1 – 20 тыс. шт. изделий; склад 2 – 30; склад 3 – 30 и склад 4 – 10 тыс. шт. изделий; склад 2 – 30; склад 3 – 30 и склад 4 – 10 тыс. шт. изделий. Стоимость перевозки 1 тыс. шт. изделий из цеха А на склады 1,2,3,4 – соответственно (д.е.): 20,30,40,40, из цеха В - соответ-ственно 30, 20, 50, 10, а из цеха С – соответственно 40, 30, 20, 60.
43
Составьте такой план перевозки изделий, при котором расходы на перевозку 90 тыс. шт. изделий были бы наименьшими.
Вариант 46Промышленный концерн имеет два завода и пять складов в различ-
ных регионах страны. Каждый месяц первый завод производит 40, а вто-рой- 70 ед. продукции. Вся продукция, производимая заводами, должна быть направлена на склады. Вместимость первого склада равна 20 ед. про-дукции; второго – 30; третьего – 15; четвертого – 27; пятого – 28 ед. Из-держки транспортировки продукции от завода до склада следующие (ед.):
Заводы Склады1 2 3 4 5
1 520 480 650 500 7202 450 525 630 560 750
Распределите план перевозок из условия минимизации ежемесячных рас-ходов на транспортировку.
Вариант 47На строительном полигоне имеется пять кирпичных заводов, объем
производства которых в сутки равен 600; 600; 500; 650; 700 т. Заводы удовлетворяют потребности семи строительных объектов соответственно в количестве 350; 450; 300; 450; 300; 200; 450 т. Оставшийся кирпич отправ-ляют по железной дороге в другие районы. Кирпич на строительные объек-ты доставляется автомобильным транспортом. Расстояние в километрах от заводов до объектов указано в следующей таблице:
Заводы ОбъектыВ1 В2 В3 В4 В5 В6 В7
А1 14 5 10 8 16 10 25А2 13 4 11 9 20 12 23А3 18 8 14 18 23 13 21А4 14 7 13 19 15 16 20А5 11 15 14 25 19 15
Определите с каких заводов и на какие объекты должен доставляться кирпич, а также какие заводы и в каком количестве должны отправлять кирпич в другие районы, чтобы транспортные издержки по доставке кир-пича автотранспортом были минимальными. Стоимость перевозки 1 т кир-пича автотранспортом удовлетворяет условию С= a + d (l – 1), где a = 25 д.е., d = 5 д.е., l – пробег, км.
Вариант 48
44
Имеются две станции технического обслуживания (СТО), выполняю-щие ремонтные работы для трех автопредприятий. Производственные мощности СТО, стоимость ремонта в различных СТО, затраты на транс-портировку от автопредприятий на СТО и обратно и прогнозируемое коли-чество ремонтов в планируемом периоде на каждом автопредприятии при-ведены в следующей таблице:
СТО Стои-мость ре-монта ед.,
д.е.
Затраты на транспортировку, тыс. руб.
АТП-1 АТП-2 АТП-3
Произ-водственнаямощность,
шт.1 520 60 70 20 102 710 40 50 30 8
Потребноеколичество, д.е. 6 7 5 18
Требуется определить, какое количество автомашин из каждого авто-предприятия необходимо отремонтировать на каждой СТО, чтобы суммар-ные расходы на ремонт и транспортировку были минимальными.
Вариант 49Найдите оптимальный план распределения заявок на ремонт для
условий, приведенных в следующей таблице:
СТО
Затраты на ТО и ре-
монт одно-го автомо-биля, д.е.
Затраты на транспортировку, тыс. руб.
АТП-1 АТП-2 АТП-3 АТП-4
Произ-водственная
мощность, шт.
1 720 20 40 30 10 802 650 30 20 25 45 203 690 35 50 20 30 40
Прогнозируемое количество ТО,
ед.30 10 40 20
Вариант 50Три нефтеперерабатывающих завода с суточной производительно-
стью 10; 8 и 6 млн галлонов бензина снабжают три бензохранилища, спрос которых составляет 6;11 и 7 млн галлонов. Бензин транспортируется в бен-зохранилища по трубопроводу. Стоимость перекачки бензина на 1 км со-ставляет 5 д.е. на 100 галлонов. Завод 1 не связан с хранилищем 3. Расстоя-ние от заводов до бензохранилищ следующее:
№ завода Бензохранилища1 2 3
45
1 100 150 -2 420 180 603 200 280 120
Сформулируйте соответствующую транспортную задачу и решите на минимум транспортных затрат.
Вариант 51Автомобили перевозятся на трайлерах из трех центров распределе-
ния пяти продавцам. Стоимость перевозки в расчете на 1 км пути, прой-денного трайлером, равна 60 д.е. Один трайлер может перевозить до 15 ав-томобилей. Стоимость перевозок не зависит от того, насколько полно за-гружается трайлер. В приведенной ниже таблице указаны расстояния меж-ду центрами распределения и продавцами, а также величины, характеризу-ющие ежемесячный спрос и объемы поставок, исчисляемые количеством автомобилей:
Центр распреде-
ления
Продавцы
1 2 3 4 5
Объем по-ставок,
шт.1 80 120 180 150 50 3002 60 70 50 65 90 3503 30 80 120 140 90 120
Спрос на автомо-
били, шт.110 250 140 150 120 770
Определите минимальные затраты на доставку автомобилей.
Вариант 52Заводы №1,2,3 производят однородную продукцию в количестве со-
ответственно 500, 400 и 510 единиц. Себестоимость производства единицы продукции на заводе №1 составляет 25 д.е., на заводе №2 – 20 д.е., на заво-де №3 – 23 д.е. Продукция отправляется в пункты А,В,С, потребности ко-торых равны 310, 390 и 450 единицам. Стоимости перевозок 1 ед. продук-ции заданы матрицей
С=7 5 12 3 23 5 4
Составьте оптимальный план перевозок продукции при условии, что коммуникации между заводом №2 и пунктом А не позволяют пропускать в рассматриваемый период более 250 единиц продукции.
Вариант 53
46
Имеются два хранилища с однородным продуктом, в которых сосре-доточено 200 и 120 т продукта соответственно. Продукты необходимо перевезти трем потребителям соответственно в количестве 80,100 и 120 т. Расстояние от хранилищ до потребителей (8 км) следующие:
Хранилище Потребители1 2 3
1 20 30 502 60 20 40
Затраты на перевозку 1т продукта на 1 км постоянны и равны 5 д.е.Определите план перевозок продукта от хранилищ до потребителей
из условия минимизации транспортных расходов.
Вариант 54Компания, занимающаяся добычей железной руды, имеет четыре
карьера. Производительность карьеров соответственно 170, 130, 190 и 200 тыс. т ежемесячно. Железная руда направляется на три принадлежа-щие этой компании обогатительные фабрики, мощности которых соот-ветственно 250, 150 и 270 тыс. т в месяц.
Транспортные затраты (в тыс. руб.) на перевозку 1 тыс. т рули с ка-рьеров на фабрики указаны в следующей таблице
КарьерФабрика
1 2 31 7 3 52 5 4 63 4 5 64 3 2 5
Определите план перевозок железной руды на обогатительные фа-брики, который обеспечивает минимальные совокупные транспортные из-держки.
Вопросы:1.Сколько руды следует перевозить с карьера 1 на обогатительную фабрику 2?2.Сколько руды следует перевозить с карьера 4 на обогатительную фабрику 1?3.Какой объем мощностей по добыче руды окажется неиспользованным?4.Каковы минимальные совокупные транспортные издержки.
Вариант 55Фирма по прокату автомобилей «Золотое кольцо России» собирает
заявки на аренду во всех городах центра России. Клиент имеет возмож-ность получить автомобиль в любом удобном для него населенном пунк-те и оставить его в любом месте, где он заканчивает путешествие, в том числе и в своем родном городе. Работники фирмы забирают оставленные автомобили и перегоняют их для передачи новым клиентам.
47
Сейчас 4 автомобиля компании оставлены в Клину, 3 – в Ростове Великом, 6 – в Ярославле и 1 – в Серпухове.
Имеются заказы на 5 автомобилей во Владимире, на 3 автомобиля в Санкт-Петербурге и на 6 автомобилей в Москве.
Расстояния между городами (в км) приведены в следующей табли-це:
Владимир Санкт-Петербург МоскваКлин 300 550 100Ростов Великий 200 620 200Ярославль 350 570 250Серпухов 250 700 150
Составьте план, по которому следует перегонять автомобили новым клиентам. Ориентируйтесь на минимизацию расстояния, которое пройдут все перегоняемые автомобили.
Вопросы:Чему равно минимальное расстояние, которое должны пройти все автомобили?Сколько автомобилей следует перегнать в Москву из Ярославля?На сколько увеличится минимальное расстояние, которое должны пройти все
автомобили, если дополнительно стало известно, что еще один автомобиль оставлен в Серпухове и еще один клиент появился в Москве?
Вариант 56Компания «Уют» производит пластмассовую мебель для отдыха на
открытом воздухе. Основной продукт компании – стулья. Производство находится в Можайске, Наро-Фоминске и Туле. Сейчас на складе в Мо-жайске находятся 7250 стульев, в Наро-Фоминске – 10150, в Туле – 4350.
Основными потребителями продукции компании «Уют» являются фирмы по оптовой продаже в Москве, Санкт-Петербурге, Минске и Воро-неже. Сейчас эти фирмы готовы закупить соответственно 8800, 5800, 2900 и 2100 стульев.
Удельные затраты на перевозку стульев (в руб./шт.) указаны в следу-ющей таблице
Можайск Наро-Фоминск ТулаМосква 1,1 0,8 1,6Санкт-Петербург 2,6 2,4 3,4Минск 1,9 2,0 2,8Воронеж 2,2 2,1 1,7
Помогите компании «Уют» составить план транспортировки стульев потребителям.
48
Вопросы:1.Чему равны минимальные издержки на перевозку всех стульев?2.Сколько стульев компания должна перевозить в Москву из Можайска?3.Какое количество стульев останется на складе в Туле?4.Стало известно, что для сбыта в Москве не годятся стулья, сделанные в Туле, а для сбыта в Санкт-Петербурге – стулья из Наро-Фоминска. Не подходит цвет стульев. Составьте новый план перевозок с учетом этих условий. На сколько рублей увеличатся при этом совокупные транспортные издержки?
Вариант 57Компания, занимающаяся добычей железной руды, Имеет четыре ка-
рьера С1÷ С4 (см. пример 1). Производительность карьеров соответственно 170, 150, 190 и 200 тыс. т ежемесячно.
Железная руда направляется на три принадлежащие этой компании обогатительные фабрики S1÷ S3, мощности которых соответственно 250, 150 и 270 тыс. т в месяц.
Транспортные затраты (в тыс. руб.) на перевозку 1 тыс. т руды с ка-рьеров на фабрики указаны в следующей таблице:
КарьерФабрика
S1 S2 S3
С1 1 3 8С2 5 4 6С3 4 5 9С4 6 2 5
Определите план перевозок железной руды на обогатительные фа-брики, который обеспечивает минимальные совокупные транспортные из-держки.
Вопросы:1.Сколько руды следует перевозить с карьера С, на обогатительную фабрику S2?2.Сколько руды следует перевозить с карьера С4 на обогатительную фабрику S3?3.Какова общая минимальная стоимость перевозок?4.Стало известно, что поставки с карьера С1 на обогатительную фабрику S2 нуж-но ограничить объемом 50 тыс. т. К тому же из-за плохого состояния дороги перевозки с карьера С4 на обогатительную фабрику S3 невозможны. Определите новый план перевозок, учитывающий эти условия. На сколько возрастет стои-мость перевозок?5.Сколько руды следует перевозить с карьера С4 на обогатительную фабрику S2
с учетом дополнительной информации?
Вариант 58
49
Фирма «Мойдодыр» оценила спрос на производимый ею лосьон для каждого из четырех следующих месяцев: 100 ящиков в июне, 140 – в июле, 170 – в августе и 90 – в сентябре.
Без использования сверхурочного времени фирма может произво-дить до 125 ящиков лосьона в месяц. В сверхурочное время может быть произведено еще 25 ящиков в месяц, но производство каждого ящика обойдется при этом на 1 тыс. руб. дороже.
Хранение одного ящика в течение месяца обходится в 100 руб.Используя модель транспортной задачи, определите, сколько ящиков
лосьона следует производить в каждый из этих месяцев, чтобы удовлетворить спрос с минимальными совокупными затратами.
Вопросы:1.Сколько ящиков лосьона следует произвести в июне?2.Сколько часов сверхурочного времени следует использовать в сентябре?
Вариант 59Фирма «Время — вперед» хочет разработать план сборки компьюте-
ров. Прогноз спроса на компьютеры для каждого квартала следующего года показан в таблице:
Квартал Величина спросаI 1000II 700III 3100IV 2500
При работе в одну смену фирма может каждый квартал собирать 1200 компьютеров.
Издержки по сборке одного компьютера составляют 10 тыс. руб.Если ввести вторую смену, то ежеквартально можно собирать еще
800 компьютеров. Однако сборка каждого компьютера во вторую смену об-ходится дороже – 11 тыс. руб.
Компьютер может быть произведен в одном квартале, а сбыт – в любом из последующих кварталов. В этом случае хранение каждого компьютера обходится в 500 руб. за квартал.
Составьте план производства, используя модель транспортной зада-чи.
Вопросы:1.Сколько компьютеров следует собрать в первом квартале, чтобы удовлетво-рить спрос с минимальными совокупными затратами?2.На сколько процентов следует использовать мощности второй смены в первом квартале?3.Сколько компьютеров следует собрать во втором квартале?
50
4.Сколько компьютеров следует собрать во втором квартале во вторую смену для сбыта в третьем квартале?5.Каковы минимальные издержки?
Вариант 60Компания, занимающаяся добычей железной руды, имеет четыре
карьера. Производительность карьеров соответственно 170, 130, 190 и 200 тыс. т ежемесячно. Железная руда направляется на три принадлежащие этой компании обогатительные фабрики, мощности которых соответ-ственно 250, 150 и 270 тыс. т в месяц Транспортные затраты (в тыс. руб.) на перевозку 1 тыс. т рули с карьеров на фабрики указаны в следующей та-блице:
КарьерыФабрики
1 2 31 7 3 52 5 4 63 4 5 6
4 3 2 5
Определите план перевозок железной руды на обогатительные фа-брики, который обеспечивает минимальные совокупные транспортные из-держки.
Вопросы:1. Сколько руды следует перевозить с карьера 1 на обогатительную фабрику 2?2. Сколько руды следует перевозить с карьера 4 на обогатительную фабрику 1?3. Какой объем мощностей по добыче руды окажется неиспользованным?4. Каковы минимальные совокупные транспортные издержки!
51