12500 nesvojstveni integral

Nesvojstveni integral

Dr Špiro Gopčević

Sadržaj

• Uvod

• Nesvojstveni integral – TIP I

• Nesvojstveni integral – TIP II

• Teorema o upoređivanju dva nesvojstvena integrala TIP-a I

Neautorizovani tekst. 2

Uvod

• Pri definisanju određenog integrala radimo sa funkcijom f:

– definisanoj na konačnom intervalu [a, b]

– neprekidnoj na intervalu [a, b]

( )b

af x dx∫


)()()(

aFbFdxxf

b

a−=∫ Gde je )()(' xfxF =

Pretpostavke?

f(x) je neprekidna na [a,b]

Šta ako je…

• f(x) samo neprekidna na (a,b]

• f(x) samo neprekidna na [a,b)

• f(x) samo neprekidna na (a,b)

• f(x) nije neprekidna u c∈(a,b)

• a = ±∞• b = ±∞


Uvod


∫1

0 ln dxx

∫ −+3

0 2

1

2dx

x

x

∫∞

1

1dx

x

Nije neprekidna u x=0.

Nije neprekidna u x=1.

Gornja granica je beskonačna.

Uvod


Primer


TIP-I:

integracije

TIP-I:Beskonačni interval

integracije

TIP-II:

integrand

TIP-II:Diskontinualni

integrand

∫∞

1 2

1dx

x

Primer

∫−1

1 2

1dx

x



Proširujemo koncept određenog integrala

• Problem: Naći površinu beskonačne oblasti S koja leži:– Ispod krive y = 1/x2

– Iznad x-ose

– Na desno od

linije x = 1

Nesvojstveni integral – TIP I


S

• Prva pomisao je da, pošto se S prostire u beskonačno na desno od linije x=1, i površina mora da bude beskonačna



• Površina dela S koji leži sa leve strane linije x = t

(osenčeni deo) je:

211

1 1 1( ) 1

tt

A t dxx x t

= = − = −∫



– Opazite da je A(t) <1 bez obzira šta je izabrano za t



– Ako t teži beskonačnosti



1lim ( ) lim 1 1t t

A tt→∞ →∞

= − =

• Kažemo da je površina oblasti S čija je jedna granica beskonačna jednaka 1 i pišemo:

2 21 1

1 1lim 1

t

tdx dx

x x

∞

→∞= =∫ ∫



• Upotrebom ovog primera kao vodiča, definišemo integral od f ( f nije obavezno pozitivna funkcija) na beskonačnom intervalu kao graničnu vrednost integrala na konačnom intervalu



∫∞

adxxf )( lim ( )

t

atf x dx

→∞= ∫

t

( ) lim ( )b b

ttf x dx f x dx

−∞ →−∞=∫ ∫




Nesvojstveni integrali

se zovu konvergentnim ako odgovarajuće granične vednosti postoje i divergentnim ako granične vrednosti ne postoje.


∫∞

a dxxf )( ( )

bf x dx

−∞∫


1 1 1

1 1lim lim ln

lim(ln ln1)

lim ln

tt

t t

t

t

dx dx xx x

t

t

∞

→∞ →∞

→∞

→∞

= =

= −

= = ∞

∫ ∫


Primer:

• Uporedićemo rezultate za sledeće integrale

21 1

1 1konvergira divergiradx dx

x x

∞ ∞

∫ ∫



• Krive y = 1/x2 i y = 1/x izgledaju veoma slično za x > 0

• Oblast na desno od x = 1 ispod krive:

– y = 1/x2 ima konačnu površinu

– y = 1/x ima beskonačnu površinu



• Opazite da:

– 1/x2 teži brže 0 nego 1/x

– Vrednost 1/x ne opada dovoljno brzo da bi njen integral imao konačnu vrednost



2

1lim 0x x→∞

= 1lim 0x x→∞

=

• Primer: Izračunaj

• Rešenje:

– Upotrebom definicije imamo da je

0 xxe dx−∞∫

0 0limx x

ttxe dx xe dx

−∞ →−∞=∫ ∫


0 00

1

x x xx x tt t

t t

x u dx duxe dx xe e dx

dv e v e

te e

= == = −= =

= − − +

∫ ∫


lim 0

lim

1lim

lim ( ) 0

t

t

tt

tt

t

t

te

t

e

e

e

→−∞

−→−∞

−→−∞

→−∞

= −∞ ⋅

−∞= =∞

=−

= − =



lim 0t

te

→−∞=

Lopitalovo pravilo

–Imamo da je,0

lim ( 1 )

0 1 0

1

x t t

txe dx te e

−∞ →−∞= − − +

= − − += −

∫



∫∞

∞− dxxf )(

Ako su oba nesvojstvena integrala

konvergentna

( )c

f x dx∞

∫( )c

f x dx−∞∫

konvergentan

∫∞

∞− dxxf )( ( ) ( )

c

cf x dx f x dx

∞

−∞= +∫ ∫



• Primer: Izračunaj

• Rešenje:

– Zgodno je da se izabere da je c = 0 te imamo

2

1

1dx

x

∞

−∞ +∫

0

2 2 20

1 1 1

1 1 1dx dx dx

x x x

∞ ∞

−∞ −∞= +

+ + +∫ ∫ ∫



20

20

1

0

1 1

1

1

1

lim1

lim tan

lim(tan tan 0)

lim tan

2

t

t

t

t

t

t

dxx

dx

x

x

t

t

π

∞

→∞

−

→∞

− −

→∞

−

→∞

+

=+

=

= −

=

=

∫

∫

0

2

0

2

01

1 1

1

1

lim1

lim tan

lim (tan 0 tan )

02

2

tt

t t

t

dxx

dx

x

x

t

π

π

−∞

→−∞

−

→−∞

− −

→−∞

+

=+

=

= −

= − −

=

∫

∫



• Pošto su oba integrala konvergentna, dati integral je konvergentan

2

1

1 2 2dx

x

π π π∞

−∞= + =

+∫



• Pošto je 1/(1 + x2) > 0, dati nesvojstveni integral može da se interpretira kao površina beskonačne oblasti koja leži ispod krive y = 1/(1 + x2) i iznad x–ose.



• Primer: Za koje vrednosti p je integral konvergentan?

– Iz predhodnih primera znamo da, ako je p = 1, integral je divergentan

– Vidimo šta se dešava kada je p ≠ 1

1

1p

dxx

∞

∫



• Imamo da je

1 1

1

1

1

1lim

lim1

1 1lim 1

1

t pp t

x tp

tx

pt

dx x dxx

x

p

p t

∞ −

→∞

=− +

→∞=

−→∞

=

= − +

= − −

∫ ∫



• Kada je p > 1, tada je p – 1 > 0

Integral konvergira



11

1 1 1 1lim 1

1 1p ptdx

x p t p

∞

−→∞

= − = − − ∫

1

10 kada

pt

t − → → ∞

• Ako je p <1, tada je p – 1 < 0

integral diverira

11

1kadap

pt t

t−

− = → ∞ → ∞



11

1 1 1lim 1

1p ptdx

x p t

∞

−→∞

= − = ∞ − ∫

∫∞

1

1dx

x

∫∞→=

k

kdx

x1

1lim

lim 2 2[ ]t

t→∞

= − ∞=

1

2

1

lim 2t

tx

→∞

=

Divergentan!


Primer:


• Problem: Naći površinu beskonačne oblasti S koja leži:– Ispod krive y = f(x) (koja ide u beskonačno kod x = b)

– Iznad x-ose

– Na desno od

linije x = a i

na levo od

linije x = b


S

Nesvojstveni integral – TIP II

• Površina dela S između a i t (osenčeni deo) je:

• Površina oblasti S između a i t, kada t teži beskonačnosti, jednaka je A i pišemo

( ) ( )t

aA t f x dx= ∫



S

lim ( )x b

A t A−→

=

• Ako je f neprekidna na intervalu [a, b) i prekidna ub, tada

ako granična vrednost postoji (kao konačan broj)

( ) lim ( )b t

a at bf x dx f x dx

−→=∫ ∫



• Ako je f neprekidna na intervalu (a, b] i prekidna ua, tada

ako granična vrednost postoji (kao konačan broj)


( ) lim ( )b b

a tt af x dx f x dx

+→=∫ ∫

y=f(x)


• Primer: Rešiti integral

• Rešenje: Podintegralna funkcija u 2 nije definisana i ima prekid u kojem vrednost funkcije y ide u beskonačnost


Nesvojstveni integral – TIP II5

2 2

dx

x −∫

5 5

2 2

5

2

2

lim2 2

lim 2 2

lim 2( 3 2)

2 3

tt

tt

t

dx dx

x x

x

t

+

+

+

→

→

→

=− −

= −

= − −

=

∫ ∫




• Rešenje: Znamo da funkcija f(x) = ln x ima vertikalnu asimptotu u x=0 i da je

Zbog toga je naš integral nesvojstveni integral i.



1

0ln x dx∫

0lim lnx

x+→

= −∞

1 1

0 0ln lim ln

ttx dx x dx

+→=∫ ∫



]1 11ln

ln ln1

1ln1 ln (1 )

ln 1

tt t

u x dv dxx dx x x dx

du dx v xxt t t

t t t

= == = −

= =

= − − −= − − +

∫ ∫

• Da bi našli graničnu vrednost prvog izraza koristimo Lopitalovo pravilo



0 0

20

0

lnlim ln lim

1/1/

lim1/

lim( )

0

t t

t

t

tt t

tt

tt

+ +

+

+

→ →

→

→

=

=−

= −

=

• Sada imamo da je vrednost našeg integrala



1

0 0ln lim( ln 1 )

0 1 0

1

tx dx t t t

+→= − − +

= − − += −

∫

• Nesvojstveni integralje:

– Konvergentan ako odgovarajuća granična vrednost postoji

– Divergentan ako odgovarajuća granična vrednost ne postoji

( )b

af x dx∫



• Ako f ima beskonačni diskontinuitet u c, kada je a < c < b, i oba integrala i su konvergentni, tada definišemo :



( )c

af x dx∫ ( )

b

cf x dx∫

∫∫ +=b

c

c

adxxfdxxf )()(∫

b

adxxf )(

y=f(x)


• Rešenje:

3

0 1

dx

x −∫



33

0 0

ln 11

ln 2 ln1

ln 2

dxx

x= − −= −=

∫

Upozorenje!Nije u redu… zašto?

f(x) nije neprekidna na [0,3]. Ima prekid u x=1

– Integral ćemo predstaviti na sledeći način

– Rešenje prvog inetgrala je



3 1 3

0 0 11 1 1

dx dx dx

x x x= +

− − −∫ ∫ ∫

1

0 01 1 0

1

0

0

lim lim ln 11 1

lim(ln 1 ln 1)

lim(ln 1 1 ln1)

lim ln 0

tt

t t

t

dx dxx

x xt

ε

ε

ε

ε

− −

−

→ →

→

→

→

= = − − −= − − −

= − − −

= − = −∞

∫ ∫

• Pošto je

divergentan to implicira da je i integral

– Ne trebamo da rešavamo integral

1

0/ ( 1)dx x −∫

3

0/ ( 1)dx x −∫

3

1/ ( 1)dx x −∫



∫ −+3

0 2

1

2dx

x

x

cxxdxx

x ++−−=−

+∫ 1ln

2

11ln

2

3

1

22

Upozorenje!

−−

−= 1ln2

11ln

2

34ln

2

12ln

2

3

2ln2

1= Nije u redu… zašto?

f(x) nije neprekidna na [0,3]. Ima prekid u x=1


Primer:


∫ −+3

0 2

1

2dx

x

xPrekid u x=1.

∫∫ −++

−+=

3

1 2

1

0 2

1

2

1

2dx

x

xdx

x

xcxxdx

x

x ++−−=−

+∫ 1ln

2

11ln

2

3

1

22

+−−−

−

+−

+−−=

+

−

→

→

1ln2

11ln

2

3lim4ln

2

12ln

2

3

01ln2

11ln

2

3lim

1

1

kk

kk

k

k Divergent!



• Od sada pa nadalje, uvek kada sretnemo oznaku

moramo da donesemo odluku, gledajući

funkciju f na intervalu [a, b], da li je integral:

Obični određeni integral




( )b

af x dx∫

• Neki put je nemoguće naći tačnu vrednost nesvojstvenog integrala

• Još je važnije videti da li je dati integral konvergentan ili divergentan


Teorema o upoređivanju dva nesvojstvena integrala

• Neka su f i g neprekidne funkcije i

f(x) ≥ g(x) ≥ 0 zax ≥ a.a. Ako je konvergentan, tada je i

konvergentan

b. Ako je divergentan, tada je i divergentan

( )a

f x dx∞

∫ ( )a

g x dx∞

∫

( )a

g x dx∞

∫ ( )a

f x dx∞

∫


Teorema o upoređivanju dva nesvojstvena integrala TIP-a I

• Ako je površina ispod krive y = f(x) konačnatada je i površina ispod krive y = g(x) konačna

• Ako je površina ispod krive y = g(x) beskonačna, tada je i površina ispod krive y = f(x) beskonačna



• Opazite sledeće da: – Ako je konvergentan, može ali

ne mora da bude konvergentan

– Ako je divergentan, može ali ne mora da bude divergentan

( )a

g x dx∞

∫ ( )a

f x dx∞

∫

( )a

f x dx∞

∫ ( )a

g x dx∞

∫



• Primer: Pokaži da je sledeći integral konvergentan

– Ovaj integral ne možemo da izračunamo direktno

– Integral od e-x2nije elementarna funkcija

2

0

xe dx∞ −∫



• Gledaju donju sliku, napisaćemo integral u obliku

Prema slici, prvi integral na delu od 0 do 1 ima konačnu površinu i konvergentan je

2 2 21

0 0 1

x x xe dx e dx e dx∞ ∞− − −= +∫ ∫ ∫



– Za drugi integral za x ≥ 1, imamo da je x2 ≥ x.

– Tako da sada, –x2 ≤ -x i, e-x2 ≤ e-x.



• Integral od e-x iznosi

1 1

1

1

lim

lim( )

tx x

t

t

t

e dx e dx

e e

e

∞ − −

→∞

− −

→∞

−

=

= −

=

∫ ∫



• Uzimajući da je f(x) = e-x i g(x) = e-x2

i koristeći teormu o upoređivanju integrala dobijamo da je naš drugi integral konvergentan



• Pošto je i prvi i drugi integral konvergentan, znači da je naš početni integral konvergentan

• U predhodnom primeru smo pokazali da je integral konvergentan bez proračuna njegovih vrednosti



• Sledeća tabela pokazuje kako vrednost našeg integrala teži ka kada t postaje sve veće i veće (ove vrednosti su izračunate kompjuterski)

/ 2π

2

0

t xe dx−∫



• Primer: Ispitati konvergenciju integrala

• Rešenje: Ako uzmemo da je i

imamo da je

Pošto je integral od g(x) divergentan (videli

smo u jednom od predhodnih primera), na

osnovu teoreme imamo da je i f(x) divergentan



1

1 xedx

x

−∞ +∫

1( )

xef x

x

−+=1

( )g xx

= ( ) ( )f x g x>

12500 nesvojstveni integral

Documents