12. prostý krut - vutbr.czbeta.fme.vutbr.cz/cpp/texty/p12.pdf · 2002. 11. 9. · p se označuje...
TRANSCRIPT
-
p12 – 1
12. Prostý krut
12.1. Definice
Prostý krut je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže
– jsou splněny prutové předpoklady,– příčné průřezy se nedeformují, pouze se vzájemně natáčejí kolem střednice prutu,– jedinou nenulovou složkou VVÚ je kroutící moment Mk,– deformace prutu jsou z hlediska statické rovnováhy prvku nepodstatné,– příčný průřez je kruhový nebo mezikruhový.
prostápružnost
prutovépředpoklady
Poznámky k definici
Na počátku vývoje pružnosti se neomezoval tvar příčného průřezu u prutů zatížených kru-tem. Se zvyšováním rozlišovací úrovně (rozvoj měření) se ukázalo, že pouze pro kruhovýa mezikruhový průřez je s dostatečnou přesností splněn předpoklad o zachování rovinnostipříčných průřezů, u ostatních tvarů příčných průřezů dochází k jejich deplanaci. Vztahypro prostý krut pak neplatí; nekruhové průřezy můžeme řešit– metodami obecné PP (pruty průřezu tvaru rovnostranného trojúhelníka, elipsy, kruhus excentrickým kruhovým otvorem),
– analyticky (obdélník, čtverec),– metodou konečných prvků (jakékoliv tvary).
Na rozdíl od tahu, kdy jsme podle orientace normálové sílyN rozlišovali tah a tlak, u krutuna znaménku kroutícího momentu nezáleží, těleso z izotropního materiálu se chová stejněpro obě orientace kroutícího momentu.
OBSAH další
-
p12 – 2
12.2. Geometrické vztahy
Protože vyšetřujeme výhradně pruty rotačně symetrických průřezů, budeme používat vál-cový souřadnicový systém se souřadnicemi x, r, ϕ v axiálním, radiálním a obvodovémsměru. Z hlediska deformace elementárních prvků Ω1 a Ω3 v průběhu zatěžování lze kon-statovat:
– vzdálenost dx průřezů ψ1, ψ2 zůstane zachována, dél-kové přetvoření ve směru střednice prutu je tedy nu-lové εx = 0 (za předpokladu malých deformací),
– příčné průřezy se rozměrově nemění, takže jsou nu-lová i délková přetvoření v radiálním (εr = 0) a ob-vodovém směru (εϕ = 0),
– v důsledku zachování rovinnosti příčných průřezů zů-stává zachován pravý úhel mezi radiálním a axiálnímsměrem (γxr = 0),
prvek
přetvoření
předchozí OBSAH další
-
p12 – 3
– v důsledku rotačně symetrického charakteru deformace jsounulová úhlová přetvoření γϕr = 0,
– čela prvku Ω3 se vzájemně natočí o úhel dϕ, čímž vzniknenenulové úhlové přetvoření γxϕ, jehož rozložení po průřezuzískáme z vyjádření posuvu ÂA′ obecného bodu A na obec-ném válcovém řezu s poloměrem ρ : ÂA′ = dxγxϕ a přivyjádření parametry v příčném průřezu: ÂA′ = ρdϕ.
γxϕdx = ρdϕ ⇒ γxϕ = ρdϕdx
⇒ γxϕ = γ = ρϑ,
kde ϑ = dϕdx je poměrný úhel zkroucení konstantní prodaný průřez.
U prostého krutu je jediným nenulovým přetvořením úhlové přetvoření γxϕ = γ, kteréje po příčném průřezu rozloženo lineárně, s nulovou hodnotou na střednici (γ = ρϑ).
V prutu vzniká specifický stav deformace, označovaný jako smyková deformace,
popsaný tenzorem přetvoření Tε =
0 γ2 0γ2 0 00 0 0
. Tε
předchozí OBSAH další
-
p12 – 4
12.3. Rozložení napětí v příčném průřezu
Rozložení napětí v příčném průřezu získáme pomocí konstitutivních vztahů, které pro ho-okovský materiál (homogenní, lineárně pružný) mají tvar σ = Eε pro jednoosou napjatosta τ = Gγ pro napjatost smykovou. geometrické
vztahyPro prostý krut platíεx = εr = εϕ = 0 ⇒ σ = 0,γxr = γϕr = 0 ⇒ τxr = τϕr = 0,γxϕ = γ 6= 0 ⇒ τxϕ(ρ) = τ(ρ) = Gγ = Gρϑ.
U prostého krutu vznikají v příčném průřezu smyková napětí, která jsou po průřezurozložena lineárně, s nulovou hodnotou na střednici prutu. Normálová napětí jsou nulová.
předchozí OBSAH další
-
p12 – 5
napjatostNapjatost v bodě tělesa, určená pouze jediným smykovým na-pětím, se označuje jako smyková napjatost.Smykovému napětí τxϕ v příčném průřezu ψ odpovídá stejněvelké smykové napětí τϕx v řezu procházejícím osou prutu (větao sdruženosti smykových napětí):
τxϕ = τϕx = τ
sdruženostsmykovýchnapětí
Smykovou napjatost lze popsat tenzorem napětí Tσ,znázornit na elementárním prvku a v Mohrově ro-vině.
Tσ =
0 τ 0τ 0 00 0 0
tenzor napětí
Mohrovarovina
předchozí OBSAH další
-
p12 – 6
12.4. Závislost mezi VVÚ a napětímstatickáekvivalenceZávislost napětí v příčném průřezu na geometrických charak-
teristikách průřezu a na VVÚ určíme z jediné použitelné pod-mínky statické ekvivalence mezi soustavou vnitřních elemen-tárních sil v příčném průřezu danou smykovým napětím τa jejich výslednicí ~Mk:∑
Mx : Mk =∫ψ
dMx =∫ψ
τdSρ =∫ψ
Gϑρ2dS = Gϑ∫ψ
ρ2dS = GϑJP ,
kde JP je polární kvadratický moment. JP
Z rovnice dále plyne geometrickévztahy
napětí- poměrný úhel zkroucení ϑ = MkGJP- úhlové přetvoření γ = ρϑ = MkGJP
ρ
- smykové napětí τ(ρ) = Gγ ⇒ τ(ρ) = MkJP ρ
předchozí OBSAH další
-
p12 – 7
12.5. Extrémní napětí
Smykové napětí τ(ρ) = MkJPρ bude maximální na největším poloměru příčného průřezu, τ(ρ)
tedy na vnějším obvodě: τex =MkJP
ρex =MkJPρ ex
=MkWk
,
kde jsme zavedli modul průřezu v krutu Wk =JPρex .
Modul průřezu v krutu pro
– kruhový průřez
Wk =JPρex=JPR=πR42R=πR3
2=πD3
16
– mezikruhový průřez
Wk =π2 (R
4 − r4)R
=πR3
2
[1−
(r
R
)4]=πD3
16
1− ( dD
)4POZOR! Wk není aditivní veličina na rozdíl od kvadratických mo-mentů (ve jmenovateli je stále ρex = R, nelze odečíst modul průřezuv krutu Wk2 malého kruhu od Wk1 velkého kruhu).
kvadratickýmoment
předchozí OBSAH další
-
p12 – 8
12.6. Energie napjatosti
V lineární pružnosti se celá deformační práce mění na pružnou energii napjatosti A = W . lineárnípružnostNa trojnásobně elementární prvek Ω3 délky dx působí
vnitřní elementární smyková síla τdS~j, která při nato-čení prvku Ω3 o úhel dϕ vykoná práci
AτdS =12τdSÂA′ =
12τdSγdx.
Energie napjatosti WΩ3 prvku Ω3 (po dosazení konsti-tutivního vztahu γ = τG) a měrná energie napjatosti Λ(vztažená na jednotkový objem dSdx):
prvek
geometrickévztahy
Hookůvzákon
WΩ3 = AτdS =τ 2
2GdSdx,
Λ =WΩ3dSdx
=τ 2
2G⇒ Λ = 1
2τγ =
12Gγ2.
Poznámka:vztah pro měrnou energii napjatosti je analogický vztahu odvozenému u prostého tahu. tah
předchozí OBSAH další
-
p12 – 9
Vztahy platí obecně pro smykovou napjatost. Energie napjatosti WΩ1 jednonásobně ele-
mentárního prvku se pak určí integrací přes příčný průřez ψ (a dosazením τ = MkJPρ,
JP =∫∫ψρ2dS) podle vztahu
WΩ1 =∫∫ψ
WΩ3 =∫∫ψ
τ 2
2GdSdx =
∫∫ψ
M2k2GJ2P
ρ2dxdS =M2k2GJ2P
dx∫∫ψ
ρ2dS =M2k2GJP
dx,
V prutu o délce l se pak akumuluje energie napjatosti
W (l) =l∫0
WΩ1 =l∫0
M2k2GJP
dx.
předchozí OBSAH další
-
p12 – 10
12.7. Vyjádření deformační charakteristiky střednice
Deformace je popsána vzájemným úhlem natočení (zkroucení) dϕ dvou limitně blízkýchpříčných průřezů ψ1 a ψ2 elementárního prvku Ω1 ϑ(ϕ)
ϑ(Mk)dϕ = ϑdx = MkGJPdx.
Úhel natočení ϕ průřezu, oddělujícího konečný prvek Ω0, jedán integrálem po délce tohoto prvku
ϕ(xR) =xR∫xm
Mk(x)GJP (x)
dx,
kde xR je souřadnice těžiště průřezu, jehož natočení počítáme,xm je souřadnice těžiště vztažného průřezu (obvykle s nulovýmnatočením).
Je-li v určitém úseku střednice Mk(x) =konst., GJP (x) =konst. a umístíme-li počáteksouřadnicového systému do těžiště průřezu s nulovým natočením (xm = 0), pak
ϕ(xR) =MkxRGJP
, kde GJP se označuje jako tuhost příčného průřezu v krutu.
12.8. Deformace příčného průřezu
U prostého krutu se rozměry ani tvar příčných průřezů nemění. Pokud by k tomu došlo, prutovépředpokladyjedná se o porušení prutových předpokladů a teorie prostého krutu neplatí (např. zborcení
stabilitapříčného průřezu ztrátou tvarové stability při kroucení tenkostěnné trubky).
předchozí OBSAH další
-
p12 – 11
12.9. Řešení úlohy PP u prutů namáhaných krutem
12.9.1. Volný prut
Odvodili jsme vztahy pro napětí, deformaci a energii napjatosti u prutu namáhanéhokrutem při splnění prutových předpokladů. prutové
předpokladyPro pruty s kruhovým a mezikruhovým příčným průřezem platí:
τ
ϕ
W
τ =Mk(xR)JP (xR)
ρ; τex =Mk(xR)Wk(xR)
; ϕ(xR) =xR∫0
Mk(x)GJP (x)
dx; W (l) =l∫0
M2k (x)2GJP (x)
dx.
tah
středniceJe-li Mk(x) a S(x) nebo G podél střednice proměnný(ovšem tak, že namáhání lze považovat za prosté),pak je nutno i u krutu (podobně jako u namáhánítahem) rozdělit střednici prutu na intervaly, v nichžkaždá veličina je vyjádřena jediným funkčním vzta-hem. Hranice těchto intervalů jsou pak v těch bodechstřednice, v nichž dochází ke změně materiálovýchcharakteristik nebo funkcí popisujících průběhMk(x)a příčný průřez.U krutu jsou smyková napětí rozložena po průřezulineárně s extrémní hodnotou na vnějším obvodě. Ne-bezpečné body jsou tedy všechny body vnějšího ob-vodu v nebezpečném průřezu.
τex
nebezpečnýprůřez
předchozí OBSAH další
-
p12 – 12
Úhel natočení příčného průřezu stanovíme
– z odvozeného vztahu pro úhel natočení průřezu, jehož těžiště má souřadnici xR:
ϕ(xR) =xR∫0
Mk(x)GJP (x)
dx
natočení– z Castiglianovy věty – úhel natočení ϕB působiště osamělé silové dvojice ~MB v roviněpůsobení této silové dvojice je Castiglianova
věta
ϕB =∂W
∂MB=
l∫0
Mk(x)GJP (x)
∂Mk(x)∂MB
dx.
Oba vztahy jsou rovnocenné, derivace ∂Mk(x)∂MB má obvykle hodnotu ±1, takže výsledkyse mohou lišit pouze znaménkem. Mezní stav deformace je dán dosažením funkčně nepří- MS
deformacepustné hodnoty úhlu natočení ϕM , bezpečnost vůči němu určíme ze vztahu kϕ =ϕMϕmax .
bezpečnostBezpečnost vůči meznímu stavu pružnosti se určí ze vztahu kK =τK|τmax|
. Zde nemůžeme
jako mezní hodnotu použít mez kluzu v tahu σK , ale mez kluzu ve smyku. Tato hodnotase v praxi neměří, ale určuje se na základě Trescovy podmínky plasticity (max τ), ze které max τplyne τK =
σK2 .
předchozí OBSAH další
-
p12 – 13
12.9.2. Vázaný prut
Prut namáhaný krutem bude uložen staticky určitě, jestliže je omezeno natočení příčného Příklad 501průřezu v jednom bodě střednice. statický
rozborZ úplného uvolnění (pro oba uvedené případy ulo-žení prutu je při zatížení pouze silovými dvoji-cemi ~Mi jediným nenulovým vazebným účinkemsložka stykového momentu ~MA) vidíme, že je pouzejedna použitelná podmínka statické rovnováhy
∑Mx = 0 : MA −
n∑i=1
Mi = 0
s = µ− ν = 1− 1 = 0 ⇒ uložení staticky určité.Ve všech ostatních případech uložení jsou pruty namáhané krutem uloženy staticky ne-určitě.
předchozí OBSAH další
-
p12 – 14
K řešení vázaných prutů namáhaných krutem můžeme použít algoritmus uvedený v kapi- algoritmustole 11.11.2 Vázaný prut. Jen je potřeba si uvědomit, že u tohoto případu
– je jedinou použitelnou podmínkoustatické rovnováhy momentová pod-mínka k ose x, tedy
∑Mx = 0,
– vazbová deformační podmínka je ur-čena úhlem natočení příčného prů-řezu kolem střednice prutu, a to v to-lika jejích bodech, kolikrát je uloženístaticky neurčité. Deformační pod-mínka opět může být homogenní, ne-homogenní nebo podmíněná.
Příklad 507
Příklad 503
Příklad 505
Poznámka:
V případě kombinace tuhých a pružných vazeb je třeba při částečném uvolnění zachovattuhou vazbu (těleso zůstává jako celek vázáno nepohyblivě) a pro sestavení nehomogenníchdeformačních podmínek uvolňovat vazby pružné; jinak by těleso nebylo vázáno nepohyb-livě a nastal by problém s odlišením deformačních posuvů od pohybu tělesa jako celku.Deformační podmínky vyjadřujeme pouze pomocí silového působení, neobjeví se v nichvliv teploty a obvykle ani výrobních tolerancí. Vyskytne-li se u staticky neurčitě ulože-ného prutu namáhaného krutem významná změna teploty nebo nepřesnost délky, vyvolávznik normálové síly a z jednoduchého namáhání se stane kombinované (krut+tah nebotlak).
předchozí OBSAH další
-
p12 – 15
– I u prutů namáhaných krutem nesmíme za-pomenout na problematiku vrubů, kde do-chází ke koncentraci napětí a přetvoření.Extrémní hodnotu napětí v kořeni vrubuurčíme ze vztahu τex = ατn,
Příklad 502
Příklad 504
Příklad 506
kde
– α je součinitel koncentrace napětí určený z grafů, které byly vytvořeny pomocí výpo-čtových (MKP), resp. experimentálních (fotoelasticimetrie) metod pro různé tvaryvrubů,
– τn je nominální napětí v místě vrubu určené pomocí teorie prostého krutu. α grafy
12.10. Příklady k procvičování látky
předchozí OBSAH další
-
p12 – 16
Řešené příklady
Příklad 507
Neřešené příklady
Příklad 501 Příklad 502 Příklad 503 Příklad 504 Příklad 505
Příklad 506
předchozí OBSAH následující kapitola