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FÓRMULA DE LOS PRODUCTOS NOTABLES

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES CUBO DE UNA SUMA

( a + b )2 = a2 + 2ab +b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

CUBO DE UNA DIFERENCIA

( a - b )2 = a2- 2ab + b2

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 -b3

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA

(a + b) (a - b) = a2 -b2

(x + a) (x + b) = x2 + (a+b)x +ab

EJERCICIOS

PREGUNTAS RESPUESTAS

01 (x + 5)2 = x2 + 10x + 25

02 (7a + b)2 = 49a2 + 14ab + b2

03 (4ab2 + 6xy3)2 = 16a2b4 + 48ab2xy3 + 36x 2y6

04 (xa+1 + yb-2)2 = x2a+2 + 2xa+1yb-2 + y2b-4

05 (8 - a)2 = 64 - 16a + a2

06 (3x4 -5y2)2 = 9x8 - 30x4y2 + 25y4

07 (xa+1 - 4xa-2)2 = x2a+2 - 8x2a-1 + 16x2a-4

08 (5a + 10b)(5a - 10b) = 25a2 - 100b2

09 (7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3) = 49x4 - 144y6

10 (x + 4)3 = x3 + 12x2 + 48x + 64

11 (5x + 2y)3 = 125x3 + 150x2y + 60xy2 + 8y3

12 (2x2y + 4m)3 = 18x6y3 + 48x4y2m + 96x2ym2 + 64m3

13 (1 - 4y)3 = 1 - 12y + 48y2 -64y3

14 (3a3 - 7xy4)3 = 27a9 - 189a6xy4 + 441a3x2y8 - 343x3y12

15 (2xa+4 - 8ya-1)3 = 8x3a+12 - 96x2a+8ya-1 + 384xa+4y3a-3 - 512y3a-3

16 (x + 5)(x + 3) = x2 + 8x + 15


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17 (a + 9)(a - 6) = a2 + 3a - 54

18 (y - 12)(y - 7) = y2 - 19y + 84

19 (4x3 + 15)(4x3 + 5) = 16x6 + 80x3 + 75

20 (5ya+1 + 4)(5ya+1 - 14) = 25y2a+2 - 50ya+1 - 56

EJERCICIOS

PREGUNTAS

01) x2 + 8x + 15

02) n2 + n - 20

03) m2 - 12m + 27

04) x2 - 2x - 24

05) x2 + 20x + 75

06) y2 + 16y - 80

07) x2 - 25x + 100

08) y2 - 6y - 72

09)

10)

11) x2 + 0.6x - 2.16

12) y2- 0.2y - 1.95

13) x2 + 35x + 300


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14) y2 + 10y - 600

15) z2 + 12z - 693

16) w2 - 69w + 1080

17) x2y2 + 34xy + 120

18) z2 - 2.3z + 1.26

19) w2 + 0.8w + 0.15

20) 403 - 44x + x2

Procedimiento para factorizar

1) Se traza un aspa entre los términos, ax2 y c.

2) Se descompone en los extremos del aspa los coeficientes a y c.

3) Se comprueba el término que falta con el producto es aspa, "b" (dg + ef = b).

Ejemplo 1: Factorizar

Luego 6x2 + 13x + 6 = (3x + 2)(2x + 3)


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Luego 20x2 - 2x - 6 = (4x + 2)(5x - 3)


Luego 10x2 - 11x + 3 = (5x - 3)(2x - 1)

Ejemplo 4:Factorizar

Luego 24x2 - 26x - 5 = (6x - 1)(4x + 5)

EJERCICIOS

PREGUNTAS 01) 2x2 + 7x + 3

02) 2y2 + 9y + 4

03) 3z2 - 14z - 5

04) 4x2 - 29x + 7

05) 5x2 + 12x - 9

06) 6y2 + 21y + 12


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07) 7x2 - 46x - 21

08) 8y2 + 24y - 32

09) 9x2 - 66x + 40

10) 10x2 - 32x - 90

11) 20x2 + 84x - 80

12) 24b2 + 58b - 35

13) 10x2 + 110x + 300

14) 6y2 + 50y - 600

15) 15z2 + 186z - 693

16) 1.5w2 + 4w + 2

17) 2x2y2 + 5xy + 2

18) 0.2z2 - 1.3z + 2

19) 0.1w2 + 13w - 3

20) 200 - 130x + 11x2


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EJERCICIOS - Factorización

PREGUNTAS RESPUESTAS

01 xy2 - y2w = y2( x - w )

02 5xy2 - 15y = 5xy( y - 3 )

03 24a3b2 - 12a3b3 = 12a3b2( 2 - b )

04 4xy - 8xy2 - 12xy3 = 4xy( 1 + 2y - 3y2 )

05 16a4b5 - 20a3b2 - 24a2b6 = 4a2b4 ( 4a2b - 5a + 6b2 )

06 xa + 2 - 3xa + 3

- 5xa = xa (x2 + 3x3 + 5)

07 36x2ayb - 24xa + 1yb+1

+ 12xay2b = 12xayb ( 3xa - 2xy + yb )

08 x(a + 7) - 5(a + 7)

= (a + 7)(x - 5)

09 2x(a - 1) - 3y(a - 1) = (a - 1)(2x - 3y)

10 x(a + 9) - a - 9 = (a + 9)(x - 1)

11 - x - y + a(x + y) = (x + y)(a - 1)

12 (a + 5)(a + 1) - 2(a + 1) = (a + 1)(a + 3)

13 (a + b - 2)(a2 + 2) - a2 - 2 = (a2 + 2)(a + b - 3)

14 (3x2 + 8)(x + y - z) - (3x2 + 8) - (x + y - 4)(3x2 + 8) = (3x2 + 8)(3 - z)

15 xm - ym + xn - yn

= (x - y)(m + n)

16 a2x2 - 8bx2 + a2y2 - 8by2 = (x2 + y2)(a2 - 8b)


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17 1 + a + 8ab + 8b = (a + 1)(8b + 1)

18 6ax - 2by - 2bx - 12a + 6ay + 4b = (6a - 2b)(x + y - 2)

19 a2b3 - m5 + a2b3x2 - m5 x2 - 3a2b3x + 3m5x = (a2b3 - m5)(1- 3x + x2)

20 (x + 3)(x + 2)(x + 5) + (x + 2)(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(x + 3)2

EJERCICIOS – Factorizar Diferencia de Cuadrados

PREGUNTAS

01) m2 - n2

02) x2 - 100

03) 25a2 - 144b2

04) 9x2y4 - 121z8

05) 400x14 - 1

06) 1/4 - 16x2

07) 1/16 - x4/25

08) a6/36 - 49b4/100

09) x2nb8n - 1/169

10) 0.81a6 - 1.21b8

11) 1.69x8y10 - 2.25z12

12) a4nb6n - c12x /64


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13) (m - n)2 - (x + y)2

14) (3x - 4)2 - (2x - 6)2

15) (3a + 2b - c)2 - (2a + 2b)2

16) 25a10 - (3a2 + 4)2

17) 36(x - y)2 - 16(x + y)2

18) (c2a + ab2)2 - (ac2 - ab2)2

19) 49(x4 - y2)2 - 400(z2 - 2zy + y2)2

20) 900(a2 - 2ab + b2)2 - 225(a2 + 2ab + b2)2

FÓRMULA DE SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Suma de cubos perfectos.

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

a b

Diferencia de cubos perfectos.

a3 - b

3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

a b

EJERCICIOS – Factorizar suma y diferencia de Cubos

PREGUNTAS


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01) 1 + x3

02) x3 + 1000

03) 27a3 + 125b3

04) 64x3y6 + 216z9

05) 512x6a + 729y3b

06) 1/8 + 125x3

07) 1/27 + x6/216

08) a6/343 + 8b12/1000

09) 1000 - m3

10) 8a3 - 64b3

11) 125x9y18 - 512z27

12) 216x12 - 729y21a

13) 343x3a - 512y6b

14) (x + 4)3 - 8

15) (3a + 2b)3 - (2a + 2b)3

16) 125 - (3a2 + 1)3

17) 27(x - y)3 - 8(x + y)3

18) 0.027x3 - 0.008y6


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19) 8/125x6 - 1000z9/64y12

20) 64(a - b)3 + 27(a + b)3

FÓRMULA DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a b

a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

a b

EJERCICIOS

PREGUNTAS

01) x2 + 6x + 9

02) 16x2 + 8x +1

03) y2 + 10y + 25

04) 4y2 - 24y + 36

05) 49x2 + 112x + 64

06) 81y2 - 180y + 100

07) 25x2 + 30xy + 9y2


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08) 81z2+ 108zw + 36w2

09) 64x4y2 + 176x2y +121w6

10) 144x8 - 24 x4y5 + 5y3

11) 0.04x2 - 4x + 100

12) 400y4 - 12y2 + 0.09

13) a2/4 + 4a + 16

14) x2/9 - 16x/3 + 64

15) 25x2/4 + 20xy/3 + 16y2/9

16) x2 + 2x(a+b) + (a + b)2

17) 9 - 6(x + y) + (x + y)2

18) 4(x + y)2 + 4(x + y)(x - y) + (x - y)2

19) 9(x - y)2 + 12(x - y)(x + y) + 4(x + y)2

20) 4(1 + a)2 - 4(1 + a)(b - 1) + (b - 1)2

FÓRMULA DE LOS COCIENTES NOTABLES

Cociente de la diferencia de los cuadrados de

dos cantidades entre la suma de las cantidades

Cociente de la suma de los cubos de dos

cantidades entre la suma de las cantidades


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Cociente de la diferencia de los cuadrados de

dos cantidades entre la diferencia de las

cantidades

Cociente de la diferencia de los cubos de dos

cantidades entre la diferencia de las cantidades

EJERCICIOS

PREGUNTAS RESPUESTAS PREGUNTAS RESPUESTAS

a2 - 16 125a3 + 27b3

01 --------- = a - 4 11 ------------ = 25a2 - 15ab + 9b2

a + 4 5a + 3b

25x2 - 49y2 x9 + y6

02 --------------- = 5x - 7y 12 ------- = x6 - x3y2 + y4

5x + 7y x3 + y2

4a2 - 16x2y4 27m3 - 1

03 ---------------- = 2a + 4xy2 13 --------- = 9m2 + 3m + 1

2a + 4xy2 3m - 1

x2a - y2b 8a12 - 125b15

04 ----------- = xa - yb 14 ------------- = 4a8 + 10a4b5 + 25b10

xa + yb 2a4 - 5b5

9 - 36x4 343a3 - 1000b18

05 ----------- = 3 + 6x2 15 -------------- = 49a2 + 70ab6 + 100b12

3 - 6x2 7a - 10b6

16x4 - 25y4 729x3y6 - 512z9

06 --------------- = 4x2 + 5y2 16 -------------- = 81x2y4 + 72xy2z3 + 64z6

4x2 - 5y2 9xy2 - 8z3


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(x + y)2 - 100 (a + b)4 - 49m6

07 ----------------- = (x + y) + 10 17 -------------- = (a + b)2 + 7m3

(x + y) - 10 (a + b)2 - 7m3

169 - (a - b)2 x4a+2 - 400

08 ---------------- = 13 + (a - b) 18 -------------- = x2a+1 + 20

13 - (a - b) x2a+1 - 20

1 + x3

09 -------- = 1 - x + x2

1 + x

64x3 + 27y3

10 --------------- = 16x2 - 12xy +9y2

4x + 3y

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