12. aplicatii ale statisticii mate mat ice la ingineria de trafic
TRANSCRIPT
5/12/2018 12. Aplicatii Ale Statisticii Mate Mat Ice La Ingineria de Trafic - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/12-aplicatii-ale-statisticii-mate-mat-ice-la-ingineria-de-trafic 1/14
Planificarea Transporturilor si Inginerie de Trafic - Conf dr.ing. Valentin ANTON
5/12/2018 12. Aplicatii Ale Statisticii Mate Mat Ice La Ingineria de Trafic - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/12-aplicatii-ale-statisticii-mate-mat-ice-la-ingineria-de-trafic 2/14
Planificarea Transporturilor si Inginerie de Trafic - Conf dr.ing. Valentin ANTON
3.1 DATE DE OBSERVAŢII IN INGINERIA DE TRAFIC
3.1.1. Colectarea şi aranjarea datelor
3.2.2. Măsuri ale tendinţei centrale şi ale dispersiei
3.2. DISTRIBUŢII STATISTICE PRIVIND TRAFICUL RUTIER
3.2.1. Distribuţia trecerii vehiculelor printr-o secţiune
3.2.2. Distribuţia intervalelor dintre vehicule
3.3. NOTIUNI DESPRE TEORIA ESTIMĂRII STATISTICE; CORELAREA3.3.1. Ajustareaunei curbe prin metoda celor mai mici pătrate
3.3.2. Corelarea datelor
3.1 DATE DE OBSERVAŢII IN INGINERIA DE TRAFIC
3.1.1. Colectarea şi aranjarea datelor
3.2.2. Măsuri ale tendinţei centrale şi ale dispersiei
3.2. DISTRIBUŢII STATISTICE PRIVIND TRAFICUL RUTIER
3.2.1. Distribuţia trecerii vehiculelor printr-o secţiune
3.2.2. Distribuţia intervalelor dintre vehicule
3.3. NOTIUNI DESPRE TEORIA ESTIMĂRII STATISTICE; CORELAREA3.3.1. Ajustareaunei curbe prin metoda celor mai mici pătrate
3.3.2. Corelarea datelor
5/12/2018 12. Aplicatii Ale Statisticii Mate Mat Ice La Ingineria de Trafic - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/12-aplicatii-ale-statisticii-mate-mat-ice-la-ingineria-de-trafic 3/14
Planificarea Transporturilor si Inginerie de Trafic - Conf dr.ing. Valentin ANTON
STATISTICASTATISTICA
STATISTICA DESCRIPTIVĂ
STATISTICA MATEMATICĂ
STATISTICA INDUCTIVĂ SAU DEDUCTIVĂ - aspecte specifice inginerieiSTATISTICA INDUCTIVĂ SAU DEDUCTIVĂ - aspecte specifice ingineriei
5/12/2018 12. Aplicatii Ale Statisticii Mate Mat Ice La Ingineria de Trafic - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/12-aplicatii-ale-statisticii-mate-mat-ice-la-ingineria-de-trafic 4/14
Planificarea Transporturilor si Inginerie de Trafic - Conf dr.ing. Valentin ANTON
3.1. DATE DE OBSERVAŢII ÎN INGINERIA DE TRAFIC3.1. DATE DE OBSERVAŢII ÎN INGINERIA DE TRAFIC
Rangul datelor
Clase de dateFrecvenţa
Intervale ale claselor Marca claselor
3.1.1. COLECTAREA ŞI ARANJAREA DATELOR3.1.1. COLECTAREA ŞI ARANJAREA DATELOR
Variabile: - variabile continue- variabile discrete
Limita inferioaraLimita superioara
Marca
Intervalul clasei
Rangul datelor
5/12/2018 12. Aplicatii Ale Statisticii Mate Mat Ice La Ingineria de Trafic - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/12-aplicatii-ale-statisticii-mate-mat-ice-la-ingineria-de-trafic 5/14
Planificarea Transporturilor si Inginerie de Trafic - Conf dr.ing. Valentin ANTON
Reprezentări ale datelor în clase
Histograme
Poligoane de frecvenţă cumulată
Curbe de frecvenţă
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1st Qtr 2nd Qtr 3rd Qtr 4th Qtr
EastWest
North
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1st Qtr 2nd Qtr 3rd Qtr 4th Qtr
East
West
North
Viteze masurate
0
2
4
6
8
10
12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
intervale
N r . c a z u r i Viteze masurate
0
10
20
30
40
50
60
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
intervale
N r . c a z u r i
5/12/2018 12. Aplicatii Ale Statisticii Mate Mat Ice La Ingineria de Trafic - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/12-aplicatii-ale-statisticii-mate-mat-ice-la-ingineria-de-trafic 6/14
Planificarea Transporturilor si Inginerie de Trafic - Conf dr.ing. Valentin ANTON
3.2.2 MĂSURI ALE TENDINŢEI CENTRALE ŞI ALE DISPERSIEI3.2.2 MĂSURI ALE TENDINŢEI CENTRALE ŞI ALE DISPERSIEI
Tendinţa centrală - caracterizează setul de date de observaţii din punct de vedere al valorilor din zona centrală a grupului
Tendinţa centrală - caracterizează setul de date de observaţii din punct de vedere al valorilor din zona centrală a grupului
Mediana
cf
)fi(2
N
1Lx~median
1∑−+=
- L1 - limita inferioar ă a clasei care conţine mediana- N - numărul de observaţii din set
- (Σf)i - suma frecvenţelor claselor situate înaintea clasei careconţine mediana
f median - frecvenţa clasei care conţine medianac - lungimea intervalului care conţine mediana
ObservaţieDin punct de vedere geometric mediana este abscisa
corespunzătoare verticalei care împarte histograma îndouă păr ţi de arii egale
N
xp
x
N
1i
ii∑==
- xi - date de observaţii- N - numărul de observaţii din set- pi - pondere de semnificaţie pentru datele xi
Media aritmetică
N
x
x
N
1i
i∑==
Viteze masurate
0
2
4
6
8
10
12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
intervale
N r . c a z u r i
5/12/2018 12. Aplicatii Ale Statisticii Mate Mat Ice La Ingineria de Trafic - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/12-aplicatii-ale-statisticii-mate-mat-ice-la-ingineria-de-trafic 7/14
Planificarea Transporturilor si Inginerie de Trafic - Conf dr.ing. Valentin ANTON
Modul cLx̂21
11
∆+∆∆+=
L1 - limita inferioar ă a clasei care contine modulD
1- diferenţa dintre frecvenţa clasei care conţine modul şi
frecvenţa anterioar ăD2 - diferenşa dintre frecvenţa clasei care conţine modul şi
frecvenţa clasei următoarec - lungimeas intervalului clasei care conţine modul
Observaţii:modul unui set de date reprezintă valoarea care apare în frecvenţa cea mai mare
pot exista distribuţii de valori care să nu aibă mod sau situaţii în care pot apare mai multe valori pentru
mod. Ex. Curbele binodale sau multinodale
Relaţia între medie - mediană - mod determină oblicitateaunei curbe de frecvenţe: oblicitate pozitiv ă
oblicitate negativ ă
Viteze masurate
0
2
4
6
8
10
12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
intervale
N r . c a z u r i
5/12/2018 12. Aplicatii Ale Statisticii Mate Mat Ice La Ingineria de Trafic - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/12-aplicatii-ale-statisticii-mate-mat-ice-la-ingineria-de-trafic 8/14
Planificarea Transporturilor si Inginerie de Trafic - Conf dr.ing. Valentin ANTON
Dispersia - caracterizează setul de date de observaţii din punct de vedere al modului
in care valorile numerice sunt r ăspândite în jurul valorilor medii
Dispersia - caracterizează setul de date de observaţii din punct de vedere al modului
in care valorile numerice sunt r ăspândite în jurul valorilor medii
Deviaţia medieiN
xxDM
N
1i
i∑−
−
=
VarianţaN
)xx(s
2i∑ −
=
Abaterea standard N
)xx(
s
N
1i
2i∑
−
−
=
Coeficientul de variaţiex
sCv =
- Nu depinde de unităţile de măsur ă a observaţiilor
- Poate fi folosit la compararea distribuţiilor cu unităţi de
măsur ă diferite
- Nu poate fi folosit atunci când media aritmetică tinde
spre zero.
RD = Xmax - Xmin Xmax, Xmin - valori extreme ale setului de observaţii ordonate însens crescător monoton
Rangul datelor
5/12/2018 12. Aplicatii Ale Statisticii Mate Mat Ice La Ingineria de Trafic - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/12-aplicatii-ale-statisticii-mate-mat-ice-la-ingineria-de-trafic 9/14
Planificarea Transporturilor si Inginerie de Trafic - Conf dr.ing. Valentin ANTON
Variabila standardizatăs
xxz
−=
- Măsoar ă deviaţii ale mediei
- Mărimea este dependentă de unitatea de măsur ă în
care sunt exprimate valorile setului de date
Momente centrale
N
)xx(M
r i
r ∑ −
=
r - ordinul momentului pentru r = 1 M1 =
xi - date de observaţii
- media aritmetică a setului de dateN- numărul de observaţii din setul de date
x
x
5/12/2018 12. Aplicatii Ale Statisticii Mate Mat Ice La Ingineria de Trafic - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/12-aplicatii-ale-statisticii-mate-mat-ice-la-ingineria-de-trafic 10/14
Planificarea Transporturilor si Inginerie de Trafic - Conf dr.ing. Valentin ANTON
3.2. DISTRIBUŢII STATISTICE PRIVIND TRAFICUL RUTIER3.2. DISTRIBUŢII STATISTICE PRIVIND TRAFICUL RUTIER
3.2.1. DISTRIBUŢIA TRECERII VEHICULELOR3.2.1. DISTRIBUŢIA TRECERII VEHICULELOR
DISTRIBUŢIA POISSON
!xmeP
xm)x(
−
=
sau
!x
)t(eP
xt
)x(λ
=
λ−
(m = lt) - media numărului de vehicule care sosesc în intervalulde timp “t”
l - media sosirii vehiculelor P(x) - probabilitatea ca în intervalul de timp “t” sa sosească x
vehicule
Distribuţia POISSON dă rezultate bune când traficul nu este aglomerat. Aceasta arată că raportuldintre varianţă şi medie este egal cu 1.00
DISTRIBUŢIA BINOMINALA
xnxnx)x( )p1(pCP −
−=
P(x)
- probabilitatea ca într-un interval de timp dat să
soseascăx vehicule
p - probabilitatea să sosească un vehiculn - numărul de observaţii
Distribuţia binominală este recomandată pentru condiţii de trafic aglomerate la care măsur ătorilearată că raportul dintre variantă şi medie este < 1.00
5/12/2018 12. Aplicatii Ale Statisticii Mate Mat Ice La Ingineria de Trafic - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/12-aplicatii-ale-statisticii-mate-mat-ice-la-ingineria-de-trafic 11/14
Planificarea Transporturilor si Inginerie de Trafic - Conf dr.ing. Valentin ANTON
3.2.2. DISTRIBUŢIA INTERVALELOR DINTRE VEHICULE3.2.2. DISTRIBUŢIA INTERVALELOR DINTRE VEHICULE
DISTRIBUŢIA EXPONENŢIALĂ NEGATIVĂ
t3600
Q
)th( eP−
≥ =Q - intensitatea orar ă a traficuluit - timpul unei perioade de măsur ătoareP(h>t) - probabilitatea ca între vehicule să se găsească intervale
de timp h > tQ/3600 - media aritmetică a sosirii vehiculelor
se notează cu:
3600
QT =
Rezultă
T
t
e)th(P−
=>
Observaţii:- Distribuţia exponentială negativă se aplică cu rezultate bune pentru traficul normal, lejer.- În cazul în care calculele evidenţiază intervale de timp mici (0,1 - 2 sec), valori care nu
se regăsesc în trafic atunci se adoptă distribuţia exponenţială negativă deplasată:
P(x)
t
P(x)
tt
5/12/2018 12. Aplicatii Ale Statisticii Mate Mat Ice La Ingineria de Trafic - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/12-aplicatii-ale-statisticii-mate-mat-ice-la-ingineria-de-trafic 12/14
Planificarea Transporturilor si Inginerie de Trafic - Conf dr.ing. Valentin ANTON
3.3. NOŢIUNI DESPRE TEORIA ESTIMĂRII STATISTICE - CORELAREA3.3. NOŢIUNI DESPRE TEORIA ESTIMĂRII STATISTICE - CORELAREA
3.3.1. AJUSTAREA UNEI CURBE PRIN METODA CELOR MAI MICI PĂTRATE3.3.1. AJUSTAREA UNEI CURBE PRIN METODA CELOR MAI MICI PĂTRATE
Ecuaţii ale curbelor de aproximareEcuaţii ale curbelor de aproximare
y = a0 + a1x
y = a0 + a1x + a2x2
y = a0 + a1x +…………+ anxn
y = abx sau Log y = log a + x log b
Dreapta celor mai mici pătrate Parabola celor mai mici pătrate
Y
X
Y
X
5/12/2018 12. Aplicatii Ale Statisticii Mate Mat Ice La Ingineria de Trafic - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/12-aplicatii-ale-statisticii-mate-mat-ice-la-ingineria-de-trafic 13/14
Planificarea Transporturilor si Inginerie de Trafic - Conf dr.ing. Valentin ANTON
Principiul metodei celor mai mici pătrate Suma pătratelor diferenţelor între valorile estimate si celemăsurate să fie minimă
mind......dddS 2n
23
22
21 ⇒+++=
min)yy(S 2masest ⇒−= ∑
În cazul dreptei: y = a0 + a1xS = (a0 + a1x1 - y1)
2 + (a0 + a1x2 - y2)2 + ………..
Condiţia de minim se obţine când derivatele par ţiale în raport cu a0 şi a1 sunt nule.
CONCLUZIE:Rezultă sistemul ecuaţiilor normale din care se calculează a0 şi a1.
În cazul parabolei celor mai mici pătrate se obţine un sistem de 3 ecuaţii cu 3 necunoscute,care se calculează a0, a1, a2
0aS
0=
∂
∂
0a
S
1=
∂
∂
2[(a0 +a1x1 - y1) + (a0 +a2x2 - y2) + ….] = 0
2[x1(a0 + a1x1 - y1) + x2(a0 +a1x2 - y2) +…..] = 0
Dreapta celor mai mici pătrate
Y
X
Xi
di
Val. estimatăVal. măsurată
5/12/2018 12. Aplicatii Ale Statisticii Mate Mat Ice La Ingineria de Trafic - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/12-aplicatii-ale-statisticii-mate-mat-ice-la-ingineria-de-trafic 14/14
Planificarea Transporturilor si Inginerie de Trafic - Conf dr.ing. Valentin ANTON
reprezintă legătura matematică între două sau mai multe variabile
VARIAŢIA TOTALĂ = VARIAŢIA EXPLICABILĂ + VARIAŢIA INEXPLICABILĂ
Eroarea standard a estimăriiN
)YY(s2est
yx ∑ −=
Are aceleaşi proprietăţi ale abaterii standard
Coeficientul de regresie∑∑
−
−=
2
2est
)YY(
)YY(r
00.1r ≤
00.1r =
CORELAREA -CORELAREA -
∑∑∑−+−=− )YY()YY()YY( est
2est
2est
Y
X
Xi