1

Analisa Sinyal Waktu Kontinyu:Transformasi Fourier

Pendahuluan

• Deret fourier dapat digunakan untuk merepresentasikan fungsi periodik sebagai penjumlahan sinusoidal dan untuk memperoleh spektrum frekuensi dari deret tersebut.

• Transformasi Fourier memberikan kita konsep analisa dari spektrum frekuensi dari fungsi non periodik.

• Dengan tranformasi, diasumsikan fungsi non periodik adalah sebagai fungsi periodik dengan perioda tak terbatas.

Pendahuluan

• Transformasi fourier adalah representasi integral dari fungsi non periodik yang sama dengan representasi deret fourier dari fungsi periodik.

• Transformasi fourier mengubah fungsi dari domain waktu ke domain frekunsi.

Fungsi non-periodik

• Fungsi non periodik p(t).

• Dibuat fungsi periodik f(t) yang bentuknya sama dengan p(t).

• Dengan perioda T -> ∞, dan hanya satu pulsa dengan lebar τ.• Menaikkan T hingga tak terbatas membuat f(t) menjadi fungsi

non periodik dalam gambar sebelumnya.

6

Fungsi non-periodik

7

Transformasi Fourier

• Transformasi fourier dari fungsi f(t) dinotasikan dengan F(ω) dan didefinisikan sbg:

• Sedangkan invers transformasi fourier fungsi F(ω) didefinisikan sebagai:

• Operasi fourier dinotasikan dengan:

8

• Contoh:– Tentukan transformasi fourier dari fungsi e-atu(t).

• Penyelesian:

9

• Magnitude dan sudut (untuk spektrum):

10

Tabel Transformasi Fourier

11

12

13

14

15

Sifat2 Transformasi Fourier

1. Sifat Simetri• Sifat ini menyatakan bahwa, jika

• maka

16

• Contoh

– F(t) sama dengan F(ω) yang diganti ω dengan t, dan f(- ω) sama dengan f(t) yang diganti t dengan -ω.

– Karena rect x adalah fungsi genap, maka rect (-x) = rect (x)

17

2. Sifat Scaling– Jika

– Maka

3. Sifat Time Shifting– Jika

– Maka

18

Contoh– Carilah transformasi fourier dari fungsi e-a|t-t0|

Penyelesaian

↔

Maka:

19

4. Sifat Frequency Shifting– Jika

– Maka

• Contoh– Carilah transformasi fourier dari sinyal termodulasi f(t).cos 10t.

Dimana f(t) adalah pulsa gerbang rect (t/4) seperti yg digambarkan dibawah ini.

20

• Penyelesian– Kita ketahui bahwa:

– Berarti:

– Sehingga:

– Karena f(t) = rect (t/4), maka F(ω) = 4 sinc (2ω)– Sehingga:

21

22

Operasi Transformasi Fourier

23

Transmisi Sinyal Melalui Sistem LTIC

• Jika f(t) dan y(t) adalah input dan output dari sistem LTIC yang mempunyai fungsi transfer H(ω), maka:

• Persamaan ini hanya berlaku untuk f(t) yang bisa di transformasi fourier.

24

• Contoh– Carilah respon zero state dari sistem LTIC stabil yang mempunyai

fungsi transfer:

– Dan inputnya adalah f(t) = e-tu(t).

• Penyelesaian

– dan

25

– Dengan cara pecahan parsial, maka:

– Sehingga diperoleh respon zero state dari sistem adalah:

• Latihan– Carilah respon zero state dari sistem pd contoh, jika input sistem

adalah f(t) = etu(-t)

• Jawaban