1/12 - 2...2. končan visokošolski strokovni študijski program praktična matematika (kandidat...

Magistrski študij Matematike (2. stopnja)

v študijskem letu 2011/12

Vpis: Prijava do 1. septembra, vpis najkasneje do 30. septembra. Pogoji za vpis:

1. končan študijski program Matematika prve stopnje; ali

2. končan visokošolski strokovni študijski program Praktična matematika (kandidat mora

opraviti za 60 ECTS izpitov iz predmetov na univerzitetnem študiju Matematika prve stopnje,

med temi obvezno: Algebra 2, Algebra 3, Splošna topologija, Analiza 3, Analiza 4,

Verjetnostni račun in statistika ter Seminar 2); ali

3. končan študijski program prve stopnje iz tehničnih ali naravoslovnih področij, kjer je že

osvojil osnove matematične analize in linearne algebre npr. finančna matematika, fizika,

računalništvo in informatika (kandidat mora opraviti še študijske obveznosti v obsegu 10 do

60 ECTS, ki se določijo glede na strokovno področje);

4. Ima končano enakovredno izobraževanje na drugi univerzi v Sloveniji ali v tujini.

Študijske obveznosti: Študij traja 2 leti in je vreden 120 ECTS.

Opravljeni izpiti v obsegu 60 ECTS (12 predmetov) izmed strokovnih predmetov v skupinah

M1–M5 in R1. Iz vsake skupine je treba izbrati vsaj en predmet, pri tem je treba iz skupine

M1 nujno izbrati Teorijo mere ali Uvod v funkcionalno analizo.

Opravljeni izpiti v obsegu 35 ECTS izmed strokovnih (matematičnih) ali splošnih (na drugih

oddelkih in fakultetah) izbirnih predmetov na 2. stopnji UL; od tega do največ 10 ECTS lahko

zbere z delovno prakso (vsaj 150 delovnih ur, izdelana predstavitev; 30 delovnih ur ustreza 1

ECTS) ali z raziskovalnim delom z objavo.

Magistrsko delo in zaključni magistrski izpit sta vredna 25 ECTS. Zaključni izpit obsega tri

vprašanja: po eno iz matematične analize in iz algebre ter eno iz preostalih osnovnih področij

študija (geometrija, topologija, verjetnostni račun, numerične metode, diskretna in

računalniška matematika). Vprašanja so zajeta iz vnaprej pripravljenega seznama izpitnih

vprašanj, ki obsegajo zgolj osnovno matematično znanje.

Napredovanje in ponavljanje: Za napredovanje iz 1. v 2. letnik mora študent opraviti za vsaj 50

ECTS obveznosti, za ponavljanje 1. letnika pa vsaj 30 ECTS.

Seznam predmetov za študijsko leto 2011/2012

M1 (analiza in mehanika) Forstnerič, Šemrl, Mejak

2 / 2 Teorija mere Magajna 1. sem.

2 / 2 Analitična mehanika Mejak 2. sem.

2 / 2 Dinamični sistemi Prezelj 2. sem.

2 / 2 Funkcionalna analiza Drnovšek 1. sem.

2 / 2 Specialne funkcije Saksida 1. sem.

3 / 1 Uvod v harmonično analizo Dragičević 1. sem.

M2 (algebra in diskretna matematika) Brešar, Klavžar

2 / 2 Izbrana poglavja iz diskretne matematike Škrekovski 2. sem.

2 / 2 Kombinatorika Konvalinka 1. sem.

3 / 1 Komutativna algebra Košir 1. sem.

2 / 2 Logika Bauer 2. sem.

3 / 1 Urejenostne algebrske strukture Cimprič 2. sem.

M3 (geometrija in topologija) Mrčun, Pavešić

2 / 2 Algebraična topologija 2 Pavešič 2. sem.

3 / 1 Diferencialna geometrija Saksida 2. sem.

2 / 2 Riemannove ploskve Forstnerič 1. sem.

M4 (numerična matematika) Kozak

2 / 2 Iterativne numerične metode v linearni algebri Plestenjak 1. sem.

2 / 2 Numerične metode za linearne sisteme upravljanja Plestenjak 2. sem.

2 / 2 Numerično reševanje parcialnih diferencialnih

enačb Kozak 2. sem.

M5 (verjetnost, statistika in finančna matematika) Omladič

3 / 1 Verjetnostni račun 2 Omladič 1. sem.

2 / 2 Časovne vrste Basrak 2. sem.

3 / 1 Ekonometrija Kokol Bukovšek 1. sem.

2 / 2 Finančna matematika 2 Zanette 2. sem.

2 / 2 Izbrana poglavja iz finančne matematike Bernik 1. sem.

2 / 2 Modeliranje s slučajnimi procesi Dragičević 2. sem.

2 / 2 Slučajni procesi 2 Bernik 1. sem.

3 / 1 Statistika 2 Kokol Bukovšek, Smrekar, Omladič 1. sem.

R1 (računalniška matematika) Petkovšek

2 / 2 Optimizacija 2 Juvan 1. sem.

2 / 2 Podatkovne strukture in algoritmi 3 Juvan 2. sem.

2 / 2 Računska zahtevnost Cabello 1. sem.

O (splošni predmeti izven M1–M5 in R1)

2 / 2 Moderna fizika Fajfer 1. sem.

Magistrski študij Finančne matematike (2. stopnja)

v študijskem letu 2011/12

Vpis: Prijava do 1. septembra, vpis najkasneje do 30. septembra. Pogoji za vpis:

1. končan študijski program Finančna matematika prve stopnje; ali

2. končan visokošolski strokovni študijski program Praktična matematika (kandidat mora

opraviti izpite iz predmetov: Denar in finance, Makroekonomija, Analiza 3, Verjetnostni

račun 1, Finančna matematika 1, Mikroekonomija, Finančni trgi in inštitucije, Programiranje

1, Finančni praktikum, Statistika 1, Slučajni procesi 1, Operacijske raziskave, Teorija iger,

Seminar 1 in 2 ter Optimizacijske metode); ali

3. končana prva stopnja študijskega programa Matematika (kandidat mora opraviti izpite iz

predmetov: Makroekonomija, Mikroekonomija, Denar in finance, Finančni trgi in inštitucije,

Slučajni procesi 1); ali

4. končan študijski program prve stopnje iz ekonomskih, tehničnih ali naravoslovnih področij

npr. ekonomija, fizika, računalništvo in informatika (kandidat mora opraviti še študijske

obveznosti v obsegu 10 do 60 ECTS, ki se določijo glede na strokovno področje, med temi

obvezno izpite iz predmetov: Makroekonomija, Mikroekonomija, Denar in finance, Finančni

trgi in inštitucije);

5. Ima končano enakovredno izobraževanje na drugi univerzi v Sloveniji ali v tujini.

Študijske obveznosti: Študij traja 2 leti in je vreden 120 ECTS.

Opravljeni izpiti v obsegu vsaj 35 ECTS (7 predmetov) izmed strokovnih predmetov v

skupini M5, med temi obvezno Verjetnostni račun 2.

Opravljeni izpiti v obsegu vsaj 20 ECTS izmed finančnih predmetov na Ekonomski fakulteti.

Opravljeni izpiti v obsegu vsaj 20 ECTS (4 predmeti) izmed strokovnih predmetov v skupinah

M1–M4 in R1.

Opravljena delovna praksa (od 150 do 300 delovnih ur, izdelana predstavitev; 30 delovnih ur

ustreza 1 ECTS) ali projektno delo v skupnem obsegu od 5 do 10 ECTS.

Opravljene obveznosti v obsegu 15 ECTS po lastni izbiri na drugih magistrskih študijskih

programih na UL (npr. na magistrskem študijskem programu Statistika), na poletnih šolah iz

ustreznih tematskih področij in drugje. Študent lahko največ 3 ECTS pridobi tudi z aktivnim

sodelovanjem v okviru podiplomskega Seminarja iz finančne matematike, ki poteka na OM

FMF.

Magistrsko delo je vredno 20 ECTS.

Napredovanje in ponavljanje: Za napredovanje iz 1. v 2. letnik mora študent opraviti za vsaj 50

ECTS obveznosti, za ponavljanje 1. letnika pa vsaj 30 ECTS.

Predmeti iz skupine M5 za študijsko leto 2011/12:

Verjetnostni račun 2 (3/1) Omladič 1. sem.

Ekonometrija (3/1) Kokol Bukovšek 1. sem.

Izbrana poglavja iz finančne matematike (2/2) Bernik 1. sem.

Slučajni procesi 2 (2/2) Bernik 1. sem.

Statistika 2 (3/1) Kokol Bukovšek, Smrekar, Omladič 1. sem.

Časovne vrste (2/2) Basrak (Univerza v Zagrebu) 2. sem.

Finančna matematika 2 (2/2) Zanette (Univerza v Vidmu) 2. sem.

Modeliranje s slučajnimi procesi (2/2) Dragičević 2. sem.

Predmeti iz skupin M1–M4 in R1 za študijsko leto 2011/12:

(Predmeti, ki so priporočeni kot izbirni predmeti za študente Finančne matematike, so poudarjeni.)

M1 Dinamični sistemi Prezelj 2. sem.

M1 Funkcionalna analiza Drnovšek 1. sem.

M1 Specialne funkcije Saksida 1. sem.

M1 Teorija mere Magajna 1. sem.

M1 Uvod v harmonično analizo Dragičević 1. sem.

M1 Analitična mehanika Mejak 2. sem.

M2 Kombinatorika Konvalinka 1. sem.

M2 Komutativna algebra Košir 1. sem.

M2 Izbrana poglavja iz diskretne matematike Škrekovski 2. sem.

M2 Logika Bauer 2. sem.

M2 Urejenostne algebrske strukture Cimprič 2. sem.

M3 Riemannove ploskve Forstnerič 1. sem.

M3 Algebraična topologija 2 Pavešič 2. sem.

M3 Diferencialna geometrija Saksida 2. sem.

M4 Iterativne numerične metode v linearni algebri Plestenjak 1. sem.

M4 Numerične metode za linearne sisteme upravljanja Plestenjak 2. sem.

M4 Numerično reševanje parcialnih diferencialnih enačb Kozak 2. sem.

R1 Optimizacija 2 Juvan 1. sem.

R1 Računska zahtevnost Cabello 1. sem.

R1 Podatkovne strukture in algoritmi 3 Juvan 2. sem.

Predmeti magistrskih študijskih programov EF za leto 2011/12, ki so priporočeni študentom Finančne

matematike (seznam še ni dokončen):

Davki in davčna harmonizacija EU Ekonometrija 2

Finančna analiza 2 Finančna ekonomija

Javne finance 2 Makroekonomija 3

Management finančnih inštitucij Mednarodne finance 2

Mikroekonomija 3 Modeli denarne politike

Poslovne finance

ZIMSKI SEMESTER POLETNI SEMESTER

M1

Teorija mere Magajna 2 / 2 Analitična mehanika Mejak 2 / 2

Funkcionalna analiza Drnovšek 2 / 2 Dinamični sistemi Prezelj 2 / 2

Specialne funkcije Saksida 2 / 2

Uvod v harmonično analizo Dragičević 3 / 1

M2

Kombinatorika Konvalinka 2 / 2 Izbrana poglavja iz diskretne

matematike Škrekovski 2 / 2

Komutativna algebra Košir 3 / 1 Logika Bauer 2 / 2

Urejenostne algebrske strukture Cimprič 3 / 1

M3

Riemannove ploskve Forstnerič 2 / 2 Algebraična topologija 2 Pavešič 2 / 2

Diferencialna geometrija Saksida 3 / 1

M4

Iterativne numerične metode v

linearni algebri Plestenjak 2 / 2

Numerične metode za linearne

sisteme upravljanja Plestenjak 2 / 2

Numerično reševanje parcialnih

diferencialnih enačb Kozak 2 / 2

M5

Verjetnostni račun 2 Omladič 3 / 1 Časovne vrste Basrak 2 / 2

Ekonometrija Kokol Bukovšek 3 / 1 Finančna matematika 2 Zanette 2 / 2

Izbrana poglavja iz finančne

matematike Bernik 2 / 2 Modeliranje s slučajnimi procesi Dragičević 2 / 2

Slučajni procesi 2 Bernik 2 / 2

Statistika 2 Kokol Bukovšek,

Smrekar, Omladič 3 / 1

R1

Optimizacija 2 Juvan 2 / 2 Podatkovne strukture in algoritmi 3 Juvan 2 / 2

Računska zahtevnost Cabello 2 / 2

O

Moderna fizika Fajfer 2 / 2

Teorija mereBojan Magajna

Vsebina:Teorija mere je temelj za poglobljeno obravnavo verjetnostnega racuna in statistike, neizogibnapa je tudi na mnogih drugih podrocjih matematike, na primer v funkcionalni in harmonicnianalizi, operatorskih algebrah, ergodicni teoriji itn.

Mera je posplositev pojmov dolzine, ploscine in prostornine na poljubne mnozice. To omogocadefinicijo integrala funkcij (Lebesgueovega integrala) na splosnih mnozicah, ki niso nujno pod-mnozice v Rn. Ta integral ima ugodnejse lastnosti od Riemannovega integrala, ceprav se zazvezne funkcije na intervalu [a, b] reducira na Riemannov integral. Pri predmetu se bomo sez-nanili s klasicnimi osnovami teorije mere in integrala v taki splosnosti, kot je potrebna za uporabona drugih podrocjih matematike.

Potrebno/pricakovano predznanje: osnovni pojmi o mnozicah in razumevanje osnov analizeiz prvega letnika.

Izvedba (2/2): Dva kolokvija, ki lahko nadomestita izpit iz vaj, izpit iz vaj ter izpit iz teorije.

Analiticna mehanikaGeorge Mejak

Vsebina: Predmet analiticna mehanika nadgrajuje vsebine predmeta Mehanika 1. Nadgradnjatemelji na vpeljavi novih principov, ki omogocajo enotno obravnavo problemov neodvisno odposameznih podrobnosti problema. Pri predmetu student spozna orodja in metode, ki so vokviru predmeta uporabljena za resevanje problemov klasicne mehanike, v sirsem kontekstupa ta orodja in metode predstavljajo temeljno znanje pri studiju kvantne mehanike in ostalihpodrocjih moderne fizike. Vsebina po poglavjih:

Lagrangeeva mehanika: konfiguracijski prostor. princip virtualnega dela, Lagrangeeve enacbe,Noetherjev izrek, variacijski princip, majhna nihanja okoli ravnovesne lege.

Hamiltonova mehanika: Legendrova transformacija. Hamiltonova funkcija, kanonski sistem,Poissonov oklepaj, Poissonov izrek. kanonska transformacija, rodovne funkcije, Hamilton-Jaco-bijeva enacba.

Potrebno/pricakovano predznanje: Za razumevanja predmeta je potrebno dobro znanjelinearne algebre in analize funkcij vec spremenljivk. Zazeleno je znanje vsebin predmetov Ana-liza 3 in Mehanika 1.

Izvedba (2/2): Predavanja in obcasna uporaba racunalnika za resevanje problemov in nji-hovo graficno ponazoritev. Na vajah resevanje nalog. Obveznosti studenta: sodelovanje napredavanjih in vajah. Izpitni rezim: dva kolokvija oziroma pisni izpit iz vaj, izpit iz teorije.

Dinamicni sistemiJasna Prezelj

Vsebina:V prvem delu bomo ponovili osnovne izreke o eksistenci in enolicnosti resitev sistemov difer-

encialnih enacb in Picardovo metodo. Pogledali si bomo tudi nekaj primerov (morski psi,pikapolonice, nalezljive bolezni) in obravnavali druzino Lotka-Volterrovih modelov za razlicnetipe rasti. Po potrebi si bomo ogledali se kako metodo za numericno resevanje.

Obravnavali bomo fazne portrete avtonomnih linearnih sistemov, studij nelinearnih sistemovv okolici kriticnih tock pa bomo s pomocjo linearizacije prevedli na studij linearnih sistemov(izrek Hartmana in Grobmana o linearizaciji). Govorili bomo tudi vedenju resitev za velike case(o raznih vrstah stabilnosti). Pokazali bomo, kako se vedejo resitve, ki so omejene na obmocjubrez kriticnih tock (Poincare-Bendixsonov izrek).

Na kratko bomo spregovorili tudi o bifurkacijah (gre za tocke, kjer se spremeni fazni portretsistema). Zakljucili bomo s primeri diskretne kompleksne dinamike.

Potrebno/pricakovano predznanje: Navadne diferencialne enacbe in sistemi, linearna alge-bra, osnove topologije, analiza.

Izvedba (2/2): Predavanja in vaje. Na sredini semestra (namesto kolokvija) domaca naloga,ki se uposteva pri oceni. Pisni in ustni izpit.

Funkcionalna analizaRoman Drnovsek

Vsebina:V prvem delu bomo obravnavali tri temeljne izreke teorije Banachovih prostorov: izrek o

odprti preslikavi, izrek o zaprtem grafu in princip enakomerne omejenosti.Hahn-Banachov izrek bo glavno orodje v drugem delu: separacija konveksnih mnozic, sibke

topologije, Banach-Alaoglujev izrek, Krein-Milmanov izrek o ekstremnih tockah.V zadnjem delu bomo obravnavali osnove teorije Banachovih algeber: spekter elementa, Ries-

zov funkcijski racun, Gelfandova transformacija.

Potrebno/pricakovano predznanje: Osnove linearne algebre, analize in topologije. Nekajizrekov (npr. Hahn-Banachov izrek), ki so podrobno obdelani pri predmetu Uvod v funkcionalnoanalizo, bomo (brez dokazovanja) navedli pred prvo uporabo.


Specialne funkcijePavle Saksida

Vsebina:Z imenom specialne funkcije obicajno oznacujemo funkcije Ψλ : Rn → R, za katere velja

H(Ψλ) = (∆ + V (~x)Ψλ = Eλ ·Ψλ.

Pri tem je ∆ Laplaceov operator ali operator, ki je Laplaceovemu zelo podoben, V (~x) primernoizbrana funkcija na Rn in Eλ neka konstanta. Specialne funkcije so torej lastni vektorji (naj-pomembnejsega) razreda diferencialnih operatorjev. Po drugi strani lahko specialne fukcijeproucujemo s pomocjo teorije upodobitev Liejevih grup. Liejeva grupa je matematicni objekt,ki je hkrati grupa in mnogoterost. Primer Liejeve grupe je matricna grupa SU(2) specialnihunitarnih 2 × 2 matrik, ki je hkrati tudi tridimenzionalna sfera. Pri predmetu bomo specialnefunkcije spoznali z obeh plati.

Teorija specialnih funkcij je zanimivo matematicno podrocje na kriziscu analize in geometrijein je eno najpomembnejsih orodij pri preucevanju simetrijskih lastnosti razlicnih matematicnihin fizikalnih objektov.

Potrebno/pricakovano predznanje: Analiza 3 in Analiza 4.

Izvedba (2/2): Domace naloge in izpit iz teorije.

Uvod v harmonicno analizoOliver Dragicevic

Vsebina:

(1) Fourierove vrste. Sumacijske metode, konvergenca.(2) Fourierova transformacija. Schwartzov razred, umirjene distribucije, Riesz-Thorinov in-

terpolacijski izrek, Youngova ter Hausdorff-Youngova neenakost.(3) Harmonicne funkcije na disku. Poissonovo jedro, izrek F. & M. Riesza.(4) Hardy-Littlewoodova maksimalna funkcija. Priblizne enote, Calderon-Zygmundova de-

kompozicija, Marcinkiewiczev interpolacijski izrek, sibka 1-1 neenakost ter utezena ne-enakost.

(5) Hilbertova transformacija. Harmonicna konjugiranka, izrek Kolmogorova in M. Riesza,Lp norma Hilbertove transformacije.

(6) Singularni integrali. Homogena jedra, metoda rotacij, Rieszove transformacije, singu-larni integrali s sodim jedrom, Calderon-Zygmundovi integralski operatorji.

(7) Littlewood-Paleyjeva teorija. Izreka Marcinkiewicza ter Hormanderja o mnoziteljih.

Potrebno/pricakovano predznanje: Funkcionalna analiza, Teorija mere.

Izvedba (2/2): Domace naloge ter morebiti se zagovor.

Izbrana poglavja iz diskretne matematikeRiste Skrekovski

Obravnavali bomo naslednja podrocja:

I. Velika omrezja. Erdos-Renyijev model slucajnih grafov, mali svetovi, brezlestvicnaomrezja, geografski modeli, dvovrstna omrezja in drugi modeli. Mere srediscnosti in pomemb-nosti, ranljivost omrezja, korelacija stopenj tock, koeficient grupiranja in druge mere. Uporabaentropije in spektra. Program Pajek.

II. Barvanja, pokritja in pretoki grafov. Kriticni grafi. Kromaticni polinom. Barvanjaravninskih grafov in grafov vlozenih na ploskvah visjega roda. Seznamska barvanja. Homomor-fizmi, frakcijsko in cirkularno barvanje. Barvanja povezav in snarki. Nikjer-nicelni k-pretokiin Tuttove hipoteze o 3-, 4- in 5-pretoku. Cirkularni pretoki in Jaegerjeva hipoteza. Dvojnapokritja in hipoteze o pokritjih in dekompozicijah.

III. Kemijska teorija grafov. Benzenoidi, fulereni in nanocevke kot grafovske strukture.Kekule-ove strukture oziroma popolna prirejanja v grafu, Clarova teorija aromaticnega seksteta,teorija resonance. Wienerjev indeks, Randicev indeks, Hosoya-ev indeks, zagrebski indeksi, indrugi molekularni deskriptorji. Laplaceova matrika, energija grafa in druge uporabe spektra.

Zazeleno (ni pa nujno) predznanje: Diskretna matematika 1 in/ali 2

Izvedba: 2/2

Obveznost studenta: domace naloge, seminarska, ustni izpit.

KombinatorikaMatjaz Konvalinka

Vsebina:Enumerativna kombinatorika je podrocje diskretne matematike, ki se ukvarja s prestevanjemmatematicnih objektov z dolocenimi lastnostmi. Problemi segajo od zelo lahkih (poiskati stevilopermutacij mnozice) do (verjetno) neresljivih (poiskati stevilo neizomorfnih grafov na n tockah).Pri predmetu bomo spoznali osnovne probleme prestevanja, med drugim:

• izbori (urejeni in neurejeni, s ponavljanjem in brez ponavljanja),• razbitja in razclenitve (Stirlingova stevila 1. in 2. vrste, Lahova stevila, stevilo razclenitev

naravnega stevila),• dvanajstera pot (ekvivalencni razredi preslikav med koncnima mnozicama).

Poudarek bo na uporabi rodovnih funkcij, najpomembnejsem orodju v enumerativni kombi-natoriki. Naucili se bomo pomembnih sredstev pri delu z rodovnimi funkcijami (eksponentnaformula, Lagrangeova inverzija). Med primeri uporabe rodovnih funkcij, ki jih bomo spoznali,bodo:

• formula za Catalanova stevila (ki stejejo celo vrsto naravnih kombinatoricnih objektov,npr. triangulacije mnogokotnika, postavitve oklepajev na produktu),

• resevanje rekurzivnih enacb,• iskanje povprecij in standardnih deviacij,• aproksimacija clenov zaporedja z znano rodovno funkcijo.

Nekaj ur bomo namenili Mobiusovi inverziji, pomembni posplositvi nacela vkljucitev in izkljucitevna delno urejene mnozice.Pri predmetu bomo predelali veliko vecino vsebin, zahtevanih na kombinatoricnem delu diplom-skega izpita iz diskretne matematike.

Potrebno/pricakovano predznanje: Poznavanje osnovnih principov prestevanja.

Izvedba (2/2): Izpit iz vaj in izpit iz teorije.

Komutativna algebraTomaz Kosir

Vsebina:

Komutativni kolobarji, ideali, moduli. Spekter kolobarja. Nilradikal in Jacobsonov radikal.Lokalizacija.

Groebnerjeve baze, osnove racunanja z ideali.Primarni razcep. Prirejeni praideali, primarne komponente, izreka o enolicnosti.Celostno zaprtje. Valvacijski kolobarji.Osnove teorije dimenzije, artinski kolobarji.Kolobarji z diskretno valvacijo.Ce bo cas, se: Napolnitev in Henselova lema.

Literatura:

M. F. Atiyah, I. G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley,Reading, 1994.

D. Cox, J. Little, D. O’Shea: Ideals, Varieties and Algorithms : An Introduction to Com-putational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, 2nd edition, Springer, New York,2005.

D. Eisenbud. Commutative Algebra. With a View toward Algebraic Geometry, Springer,New York, 1995.

M. Reid: Undergraduate Commutative Algebra, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.

Potrebno/pricakovano predznanje: Znanja iz predmetov Algebra 2 in 3.

Izvedba (3/1): Domace naloge, izpit.

LogikaAndrej Bauer

Vsebina:Pri predmetu bomo obravnavali logiko prvega reda, osnovne rezultate teorije modelov, Godeloveizreke o nepopolnosti Peanove aritmetike, ce bo cas dopuscal pa si bomo ogledali se nestandardnemodele Peanove aritmetike:

(1) Sintaksa in logika prvega reda(2) Neprotislovnost in polnost teorije prvega reda(3) Teorija modelov(4) Godelov izrek o popolnosti, izrek o kompaktnosti, Skolem-Lowenheimov izrek(5) Peanova aritmetika, aritmetizacija in Godelov izrek o nepopolnosti(6) Tarskijev izrek o neopredeljivosti resnice(7) Nestandardni modeli Peanove aritmetike.

Obravnavana snov nas bo napeljala na nekatere osnovne premisleke o naravi matematike, poj-movanju matematicne resnice in o omejitvah matematicnih metod za odkrivanje matematicnihresnic. Literatura:

• N. Prijatelj: Osnove matematicne logike, 2. del: Formalizacija, DMFA Slovenije, Ljubl-jana, 1992.

• N. Prijatelj: Osnove matematicne logike, 3. del: Aplikacija, DMFA Slovenije, Ljubljana,1994.

• E. Mendelson: Introduction to Mathematical Logic, 4. izdaja, Chapman and Hall, 1997.• A. S. Troelstra, H. Schwichtenberg: Basic Proof Theory, 2. izdaja, Cambridge University

Press, 2000.• T. Jech: Set Theory, 2. izdaja, Springer-Verlag, 1997.• A. Levy: Basic Set Theory, ponatis, Dover Publications, Inc., 2002.

Potrebno/pricakovano predznanje:• Predmet Logika in mnozice iz 1. letnika

Izvedba (2/2): Obveznosti studenta: domace naloge in zagovor.

Urejenostne algebrske struktureJaka Cimpric

Vsebina:Pri predmetu se bomo ukvarjali z algebrskimi strukturami (grupe, kolobarji, obsegi, vektorskiprostori), ki so opremljene se z relacijo delne urejenosti (zlasti linearne in mrezne urejenosti). Mo-tivacija za studij teh struktur prihaja predvsem iz geometrije (urejeni kolobarji) in funkcionalneanalize (urejeni vektorski prostori). Prepletanje algebrske in urejenostne strukture je bogat virizrekov in primerov. Obravnavali bomo naslednje teme:

(1) Delno urejene mnozice, mreze.(2) Delno urejene grupe: konveksne podgrupe, urejenostni homomorfizmi; obstoj linearne

ureditve; arhimedskost, Holderjev izrek; Hahnov vlozitveni izrek; Cayley-Hollandov izrek.(3) Delno urejeni kolobarji: konveksni ideali, urejenostni homomorfizmi; obstoj linearne

ureditve; razsiritev ureditve na obseg ulomkov; arhimedskost, Hionov izrek; f-kolobarji.(4) Linearno urejeni obsegi: formalno realni obsegi, realno zaprti obsegi, Artin-Schreierjeva

teorija; najosnovnejsi pojmi iz realne algebraicne geometrije in teorije valuacij.(5) Mrezno urejeni vektorski prostori: ideali, homomorfizmi; upodobitveni izreki.

Potrebno/pricakovano predznanje: Algebra II in Algebra III.

Izvedba (2/2): stiri domace naloge (20 % ocene), izpit iz vaj (40 % ocene) ter izpit iz teorije(40 % ocene).

Algebraicna topologija 2Petar Pavesic

Vsebina:Algebraicna topologija 2 je predmet, ki z Algebraicno topologijo 1 tvori vsebinsko celoto, vendarsta zaradi ciklicnega izvajanja oba predmeta oblikovana tako, da eden ni predpogoj za drugega.V algebraicni topologiji uporabljamo algebrajske strukture za studij geometrijskih objektov, kiso lahko ploskve, telesa, visje razsezne mnogoterosti, vozli, prostori resitev diferencialnih enacbpa tudi zapleteni vzorci, digitalizirani posnetki in podobno. Algebrajske strukture pa so pred-vsem stevilske karakteristike (stopnja, ovojno stevilo, Eulerjeva karakteristika) ter grupe. Pripredmetu se bomo naucili, kako diskretiziramo geometrijske objekte s pomocjo simplicialnih inCW-kompleksov, potem pa bomo geometrijo teh objektov algebrajsko opisali s pomocjo homo-topskih in kohomoloskih grup.

Tradicionalno je algebraicna topologija sinteza in vrhunec dodiplomskega studija ter pomem-ben predpogoj za nadaljevanje studija na tretji stopnji in za raziskovalno delo. Nekateri deli paso tudi mocno povezani z uporabo: na primer simplicialni kompleksi so standardno orodje zadigitaliziranje slik in za numericno modeliranje, homoloske in kohomoloske grupe pa se rutinskouporabljajo za samodejno racunalnisko analizo zapletenih mnozic podatkov, kot so satelitskeslike, posnetki, dobljeni z magnetno resonanco, ter druge digitalizirane podobe, tako staticnekot tudi dinamicne.

Potrebno/pricakovano predznanje:Pricakovano predznanje obsega predmete Splosna topologija, Uvod v geometrijsko topologijo,

Algebra 2 in delno Algebra 3.Predmet se navezuje na vse predmete, ki imajo mocno geometrijsko komponento (npr. Al-

gebraicna topologija 1, Algebraicne krivulje, Algebrajska geometrija, Diferencialna geometrija,Analiza na mnogoterostih, Riemannove ploskve, Liejeve grupe) in je poznavanje kateregakoli odteh zelo dobrodoslo s stalisca motivacije, ni pa predpopogoj za poslusanje predmeta.

Izvedba (2/2):Predmet se bo izvajal s predavanji ter s kombinacijo seminarjev in vaj. Ocena bo oblikovana

na podlagi pisnega in ustnega izpita.

Diferencialna geometrijaPavle Saksida

Vsebina:Medtem ko je Gaussova ukrivljenost ploskve relativno enostaven pojem, je ustrezna kolicinaza n-dimenzionalno gladko mnogoterost z metriko precej bolj zapletena. Pri predmetu bodostudentje spoznali matematicne vsebine, ki so potrebne za opis in razumevanje ukrivljenosti v ndimenzijah. S tem orodjem bomo lahko opisali tudi druge pomembne geometrijske pojme, kotso npr. geodetske krivulje v n-dimenzionalnih mnogoterostih.

Osnovni pojem, potreben za opis ukrivljenosti v n dimenzijah, je kovariantni odvod oziromapovezava. Teorijo povezav (kovariantnih odvodov) bomo predstavili v precej splosnem kontekstu.Razumevanje te teorije je nujno pri kasnejsem studiju vecine sodobnih matematicnih teorij,ki so vezane na geometrijo (nove topoloske invariante mnogoterosti, geometrijski Langlandsovprogram ipd.) Teorija povezav ima tudi veliko pomembnih in zanimivih uporab v sodobni fiziki.

Potrebno/pricakovano predznanje: Koristno je predznanje, pridobljeno pri predmetu Spe-cialne funkcije.

Izvedba (3/1): Domace naloge in izpit iz teorije.

Riemannove ploskveFranc Forstneric

Vsebina: Riemannova ploskev je enorazsezna kompleksna mnogoterost. Poleg domen v kom-pleksni ravnini so najpreprostejsi primeri Riemannova sfera, kompleksni torusi (imenovani tudielipticne krivulje) ter druge algebraicne krivulje v projektivnih prostorih. Teorija Riemannovihploskev lezi na preseciscu stevilnih podrocij matematike, od klasicne kompleksne analize inanalize na mnogoterostih, preko teorije algebraicnih krivulj, do novejsih uporab v simplekticnigeometriji, nizko dimenzionalni topologiji, teoriji strun, pa vse do kriptografije.

V predmetu bomo razvili osnove teorije Riemannovih ploskev s pomocjo kompleksne analize, kiponuja najhitrejso pot do nekaterih globljih in zanimivih rezultatov, kot je npr. Riemann-Rochovizrek. V prvem delu si bomo ogledali nekaj naravnih konstrukcij Riemannovih ploskev (anal-iticno nadaljevanje, krovni in kvocientni prostori, Riemannove ploskve kot algebraicne krivulje).V drugem delu bomo obravnavali kompaktne Riemannove ploskve, konstrukcijo meromorfnihfunkcij na njih, divizorje in vektorske sveznje ter Riemann-Rochov izrek. V zadnjem delu sibomo ogledali nekaj zanimivih rezultatov iz teorije nekompaktnih Riemannovih ploskev.

Potrebno/pricakovano predznanje: Osnove analize in topologije. Nekaj izrekov, ki so po-drobno obdelani pri predmetu Analiza 2 (I. stopnja) in Uvod v kompleksno analizo, bomo navedlipred prvo uporabo.


Viri literature:H. M. Farkas, I. Kra: Riemann surfaces. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 71.Springer-Verlag, New York, 1992,O. Forster; Lectures on Riemann surfaces. Graduate Texts in Mathematics, 81. Springer-Verlag,New York, 1991,P. Griffiths: Introduction to Algebraic Curves. Translations of Mathematical Monographs, Vol.76, AMS, 1980,R. Miranda: Algebraic curves and Riemann surfaces. Graduate Studies in Mathematics, 5.American Mathematical Society, Providence, RI, 1995.

Iterativne numericne metode v linearni algebriBor Plestenjak

Vsebina: Ukvarjali se bomo z numericnimi metodami, ki jih uporabljamo za resevanje ve-likih razprsenih linearnih sistemov oziroma racunanje lastnih vrednosti in vektorjev za velikerazprsene matrike. Za matriko A velikosti n × n pravimo, da je razprsena, ce ima le O(n)nenicelnih elementov, ki poleg tega nimajo kaksne posebne strukture, ki bi jo lahko izkoristilipri resevanju nasega problema. Take matrike se velikokrat pojavijo v prakticnih aplikacijah,direktnih metod, kot sta npr. LU razcep za resevanje linearnega sistema ali QR metoda zaracunanje lastnih vrednosti, pa ne moremo uporabiti, saj nam zmanjka pomnilnika ali pa casa.

Namesto tega uporabljamo iterativne metode, kjer dobimo zaporedje priblizkov, ki konver-girajo k tocni resitvi. Zanimal nas bo razvoj ucinkovitih numericnih algoritmov za razprsenematrike, pri cemer bomo uporabljali orodja iz numericne linearne algebra in algoritme preizkusaliv programu Matlab.

Spoznali bomo tudi nekatere prakticne probleme, kjer nastopajo velike razprsene matrike.Tako npr. za analizo potresne varnosti zgradbe potrebujemo nekaj najnizjih lastnih vrednostimodela, ki ga predstavlja velika razprsena matrika. Z resevanjem velikih linearnih sistemov sesrecamo pri numericnem resevanju parcialnih diferencialnih enacb. Ce uporabimo npr. metodosimetricnih diferenc ali metodo koncnih elementov, problem prevedemo na resevanje ogromnegasistema. Velikost sistema je odvisna od natancnosti, s katero zelimo resiti parcialno diferencialnoenacbo, v praksi pa vzamemo maksimalno velik sistem, ki ga se lahko resimo v doglednem casu.

Kljucne besede: Iteracijska matrika, Jacobijeva, Gauss-Seidlova in SOR metoda. SimetricnaSOR metoda s pospesitvijo Cebiseva. Podprostori Krilova. Lanczosev in Arnoldijev algoritem.GMRES, MINRES, konjugirani gradienti. Predpogojevanje. Galerkinov pogoj. Rayleigh–Ritzeve vrednosti in vektorji. Jacobi–Davidsonova metoda.

Potrebno/pricakovano predznanje: Vse potrebno predznanje dobite pri obveznih numericnihpredmetih na 1. stopnji Matematike oz. Financne matematike. Pri matematikih vam pride prav(gre pa tudi brez tega) tudi znanje predmeta Numericna linearna algebra.

Izvedba (2/2): 2 domaci nalogi, ki se upostevata pri pisni oceni, pisni in ustni izpit.

Ostalo: Predmet je namenjen vsem, ki jih zanima prakticno resevanje matematicnih problemovin delo z racunalnikom. Tudi t.i. teoreticni matematiki boste pri tem predmetu prisli na svojracun, saj moramo za razvoj algoritmov in studij njihove stabilnosti nadgraditi linearno algebros stevilnimi teoreticnimi rezultati.

Vec informacij o predmetu lahko najdete na spletni stranihttp://www-lp.fmf.uni-lj.si/plestenjak/vaje/INMLA/inmla.htm,

preko elektronske poste, lahko pa se oglasite tudi osebno.

Numericne metode za linearne sisteme upravljanjaBor Plestenjak

Vsebina: Ukvarjali se bomo z linearnimi sistemi upravljanja oziroma kontrolnimi sistemi.Splosna oblika je

x(t) = Ax(t) + Bu(t),y(t) = Cx(t) + Du(t),

za t ≥ t0 z zacetnim stanjem x(t0) = x0. Pri tem je A matrika stanja, B vhodna matrika,C izhodna matrika, D prehodna matrika, x(t) vektor stanj, u(t) vhodni signal in y(t) izhodnisignal.

S to obliko lahko npr. opisemo delovanje klimatske naprave, avtopilota v letalu in drugihsistemov, kjer se mora sistem avtomaticno prilagajati zunanjim podatkom, da se bo izhodnisignal cim bolj ujemal z zeljenim (npr., da se bo temperatura prostora cim bolj ujemala znastavljeno). Ali je to sploh mozno ali ne je odvisno od lastnih vrednosti matrike A, ki morajoimeti vse negativni realni del.

Poudarek bo na numericnih metodah, ki jih potrebujemo pri analizi in resevanju linearnihsistemov upravljanja. Zanimal nas bo razvoj stabilnih in ucinkovitih numericnih algoritmov zamatricne probleme, ki nastopajo na tem podrocju. Pri tem bomo uporabljali orodja iz numericnelinearne algebra in algoritme preizkusali v programih Matlab in Octave.

Med drugim se bomo ukvarjali z numericnimi metodami in teorijo, ki jo potrebujemo, daresimo naslednje probleme:

• racunanje eksponentne funkcije matrike M(t) = eAt,• Ljapunova matricna enacba XA + AT X = C,• Sylvestrova matricna enacba XA + BX = C,• Riccatijeva matricna enacba XA + AT X + XBR−1BT X + Q = 0.

Kljucne besede: Linearni sistem upravljanja, matrika stanja, stabilnost, vodljivost, spoz-navnost, odprtozancni in zaprtozancni sistemi, Ljapunova enacba, Sylvestrova enacba, Riccati-jeva enacba, Bartels-Stewartov algoritem, stabilizacija sistema, razporejanje polov.

Potrebno/pricakovano predznanje: Vse potrebno predznanje dobite pri obveznih numericnihpredmetih na 1. stopnji Matematike oz. Financne matematike. Pri matematikih vam pride prav(gre pa tudi brez tega) tudi znanje predmeta Numericna linearna algebra.

Izvedba (2/2): 2 domaci nalogi, ki se upostevata pri pisni oceni, pisni in ustni izpit.

Ostalo: Predmet je namenjen vsem, ki jih zanima prakticno resevanje matematicnih problemovin delo z racunalnikom. Tudi t.i. teoreticni matematiki boste pri tem predmetu prisli na svojracun, saj moramo za razvoj algoritmov in studij njihove stabilnosti nadgraditi linearno algebros stevilnimi teoreticnimi rezultati.

Vec informacij o predmetu lahko najdete na spletni stranihttp://www-lp.fmf.uni-lj.si/plestenjak/vaje/NMLSU/nmlsu.htm,

preko elektronske poste, lahko pa se oglasite tudi osebno.

Numericno resevanje parcialnih diferencialnih enacbJernej Kozak

Vsebina:

Predmet obravnava snov, ki v uporabno smer nadgrajuje poznavanje matematike na podrocjuresevanja parcialnih diferencialnih enacb. Slusatelja vpelje v numericne metode, njihovo anal-izo in implementacijo ter spozna s prakticnimi problemi, kjer se posamezni pristopi posebejodlikujejo.

Obravnavane bodo naslednje teme: Parcialne diferencialne enacbe. Modelni problemi drugegareda. Enacbe elipticnega tipa. Poissonova enacba. Diferencna metoda. Diskretni maksimalniprincip in ocena globalne napake. Iterativno resevanje diskretiziranih enacb. Jacobijeva, Gauss-Seidelova in SOR metoda. ADI metoda. Metode podprostorov Krilova. Vecmrezne metode.Variacijske metode. Metoda koncnih elementov. Enacbe parabolicnega tipa. Prevajanje toplote.Eksplicitne in implicitne numericne sheme. Crank-Nicolsonova metoda. Konsistenca, stabilnostin konvergenca. Enacbe hiperbolicnega tipa. Valovna enacba. Karakteristike, karakteristicnespremenljivke. Diferencna metoda. Courantov pogoj. Konvergenca diferencnih aproksimacij zamodelni primer. Metoda karakteristik.

Potrebno/pricakovano predznanje:Priporocljiv je predhodno opravljen izbirni predmet Numericna aproksimacija in interpolacija.Predavatelj bo za tiste, ki tega predmeta niso poslusali, v predavanja vkljucil kratko premostitev.

Izvedba: Predmet ima dve uri predavanj in dve uri vaj tedensko. Nacrtovan izpitni rezim:domaci nalogi, pisni in ustni izpit.

Verjetnostni racun 2Matjaz Omladic

Vsebina:Pri predmetu bomo obravnavali nekatere posebne verjetnostne vsebine, pri katerih ni potrebnogloboko teoreticno predznanje, so pa pomembne za uporabo. Poudarek bo predvsem na er-godicni teoriji.Prva tretjina predmeta bo posvecena markovskim verigam v diskretnem casu. Gre za zaporedjadiskretnih slucajnih spremenljivk, ki so med seboj odvisna na poseben, “markovski” nacin.Vrednostim, ki jih te spremenljivke lahko zavzamejo, pravimo stanja verige. Pri dokazovanjuergodicnih lastnosti se bomo spomnili nekaterih znanj o matrikah (in jih nadgradili), pri studijuodnosov med stanji pa bomo uporabili tudi nekaj teorije grafov.V drugi tretjini predmeta bomo studirali markovske verige z zveznim casom. Najpomemb-nejsi primer takih verig so rojstno smrtni procesi. Pri studiju lastnosti bodo pomembna znanjaiz prvega poglavja. Do teh procesov vodi vec poti. Ker vselej zadoscajo ti. naprejsnjemu innazajsnjemu sistemu diferencialnih enacb Kolmogorova, jih lahko dobimo kot resitve teh enacb.Vsa znanja iz teorije diferencialnih enacb, ki jih bomo pri tem potrebovali, bomo sproti obdelali.V cetrtem poglavju si bomo ogledali uporabo teh teorij. Najprej se bomo posvetili cakalnimsistemom, ki sodijo v sirse podrocje operacijskih raziskav in pomenijo se zmerom eno najpomem-bnejsih uporab teorije (predvsem) rojstno smrtnih procesov. Nato si bomo ogledali nekaterepomembne algritme ti. metode MCMV (Monte Carlo markovskih verig), to so predvsem Gibb-sov algoritem in algoritmi tipa Metropolis-Hastings. Gre za algoritme, ki racunajo vrednostifinancnih instrumentov, pri dokazovanju konvergence teh algoritmov pa bomo bistveno upora-bili ergodicne lastnosti. Kot statisticno podlago uporabljajo ti algoritmi Bayesov pristop (inne frekventisticnega). Ko so se v devetdesetih letih prejsnjega stoletja statistiki zaceli zavedatipomena teh in nekaterih drugih algoritmov, je to povzrocilo bistvene spremembe v odnosih medrazlicnimi oblikami statisticnega premisljevanja.

Potrebno/pricakovano predznanje: Verjetnostni racun I in Statistika I oziroma Verjetnostin statistika

Izvedba (3/1): Domace naloge, pisni izpit in zagovor.

Casovne vrsteBojan Basrak, Univerza v Zagrebu

Predavanja bodo v anglescini.

Vsebina:Introduction: Examples of time series. Trend and seasonality. Autocorrelation function. Mul-tivariate normal distribution. Strong and week stationarity. Hilbert spaces and prediction.Introduction to R.Stationary sequences: Linear processes. ARMA models. Causality and invertibility of ARMAprocesses. Infinite order MA processes. Partial autocorrelation function. Estimation of auto-correlation function and other parameters. Forecasting stationary time series. Modeling andforecasting for ARMA processes. Asymptotic behavior of the sample mean and the autocorre-lation function. Parameter estimation for ARMA processes.Spectral analysis: Spectral density. Spectral density of ARMA processes. Herglotz theorem.Periodogram.Nonlinear and nonstationary time series models: ARCH and GARCH models. Moments andstationary distrbutiopn of GARCH process. Exponential GARCH. ARIMA models.Statistics for stationary process: Asymptotic results for stationary time series. Estimating trendand seasonality. Nonparametric methods.

Potrebno/pricakovano predznanje: Verjetnostni racun I oziroma Verjetnost in statistika


EkonometrijaDamjana Kokol Bukovsek

Vsebina:Linearna regresija: model linearne regresije, lastnosti cenilke po metodi najmanjsih kvadratovpri majhnih vzorcih, skladnost, testiranje hipotez, asimptotske lastnosti cenilke po metodi naj-manjsih kvadratov, multikolinearnost, napovedovanje.Heteroskedasticnost in avtokorelacija: posplosena metoda najmanjsih kvadratov, utezena metodanajmanjsih kvadratov, standardna napaka metode najmanjsih kvadratov pri heteroskedasticnosti,model z dvema disperzijama, multiplikativna heteroskedasticnost, testi za heteroskedasticnost,avtokorelacija prvega reda, Durbin-Watsonov test, avtokorelacija visjega reda, standardna na-paka metode najmanjsih kvadratov pri heteroskedasticnosti in avtokorelaciji.Endogenost: endogene spremenljivke, cenilka po metodi pomozne spremenljivke, posplosenamomentna metoda.



Financna matematika 2 (Numerical Methods in Finance)Antonino Zanette, University of Udine

Content:Introduction to Scilab (or another software for numerical computations, e.g., Matlab). Al-gorithms for option pricing in discrete models. Monte Carlo methods for European options.Simulation methods of classical law. Inverse transform method. Computation of expectation.Variance reduction techniques. Tree methods for European and American options. Conver-gence orders of binomial methods. Estimating sensitivities. Numerical algorithms for portfolioinsurance. Tree methods and Monte Carlo methods for Exotic options (barrier options, Asianoptions, lookback options, rainbow options). American Monte Carlo methods. Finite differencemethods for the Black-Scholes PDE equation.

Prerequisites: It will be expected that the students are familiar with foundations of financialmathematics and numerical mathematics. It is recommended that they follow the course Topicsin financial mathematics (Izbrana poglavja iz financne matematike) in the first semester.

Teaching hours: The course will be held in April and May 2012 and given in 5 two-day stays (3teaching hours each day). Others hours will be devoted to follow-up of the project developmentand oral discussion.The final examination will be composed of two parts :

• an oral discussion of the topics of the course.• a presentation of a numerical project assigned by the teacher.

Bibliography: Notes, books and papers suggested by the teacher.

Izbrana poglavja iz financne matematikeJanez Bernik

Vsebina:Predmet Izbrana poglavja iz financne matematike je namenjen predstavitvi osnovnih (zveznih)modelov za gibanje cen financnih instrumentov.

Vsebina predmeta je sledeca:• Martingalska sprememba mere in izrek Girsanova.• Black-Scholesov model: martingalski pristop in pristop prek parcialnih diferencialnih

enacb k vrednotenju pogojnih terjatev, zamejitvene strategije, senzitivnosti.• Modeli s stohasticno nestanovitnostjo.• Preprosti modeli za obrestne mere.

Potrebno/pricakovano predznanje:Poznavanje lastnosti Brownovega gibanja in Itove formule je nujno za razumevanje, zato naj

studenti vsaj socasno poslusajo se predmet Slucajni procesi 2.

Izvedba (2/2): Ocena je dolocena na podlagi pisnega izpita.

Modeliranje s slucajnimi procesiOliver Dragicevic

Vsebina:Prvi del predmeta vsebuje teoreticne osnove za nadaljnji studij Levyjevih procesov, drugi delpa zajema osnovne vezi med slucajnimi procesi ter parcialnimi diferencialnimi enacbami oz.potencialno teorijo. Kratek opis snovi:

(1) Levyjevi procesi: lastnost cadlag, Levy-Hincinov izrek, Levyjeve mere, skoki.(2) Stohasticne diferencialne enacbe: eksistencni izrek, Laplaceova enacba, difuzijska enacba,

Feynman-Kacova formula.

Potrebno/pricakovano predznanje: Slucajni procesi 2, Teorija mere.

Izvedba (2/2): Domace naloge ter morebiti se zagovor.

Slucajni procesi 2Janez Bernik

Vsebina:Predmet Slucajni procesi 2 je uvod v teorijo slucajnih procesov v zveznem casu z zveznimitrajektorijami. Taki procesi so osnova vseh modelov v financni matematiki, ki poskusajo popisatigibanja cen vrednostnih papirjev, imajo pa tudi zelo siroko uporabo v tehniki, inzenirstvu inbiologiji.

Vsebina predmeta je sledeca:• Brownovo gibanje: definicija, konstrukcija, osnovne lastnosti.• Lastnost Markova in krepka lastnost Markova, princip zrcaljenja.• Martingali, casi ustavljanja in izreki o optimalnem ustavljanju.• Stohasticni (Itov) integral glede na Brownovo gibanje.• Stohasticni integral glede na zvezne semimartingale.• Itova formula.

Potrebno/pricakovano predznanje:Predmet je osnoven za nadaljni studij financne matematike, je pa tudi uvod v sodobno teorijo

verjetnosti. Pricakuje se dobro predznanje iz teorije verjetnosti in matematicne analize.

Izvedba (2/2): Ocena je dolocena na podlagi pisnega izpita.

Statistika 2Damjana Kokol Bukovsek, Matjaz Omladic, Jaka Smrekar

Vsebina:Ocenjevanje parametrov: zadostnost, kompletnost, nepristranskost, cenilke z enakomerno naj-manjso disperzijo, Rao-Cramerjeva meja, metoda najvecjega verjetja, metoda minimax, asimp-toticne lastnosti cenilk.Testiranje hipotez: (1) Osnove: nerandomizirani in randomizirani testi, napake pri testiranju,moc testa. (2) Enakomerno najmocnejsi testi: Neyman-Pearsonova lema, lastnost monotonegarazmerja verjetij, enakomerno najmocnejsi testi za dvostranske hipoteze. (3) Enakomerno na-jmocnejsi med nepristranskimi testi: eksponentne druzine in normalne druzine. (4) Testiranjev splosnih parametricnih modelih: testiranje na podlagi razmerja verjetij, asimptoticni testi napodlagi razmerja verjetij, χ2-testi. (5) Testiranje v neparametricnih modelih: testi znaka, per-mutacijski in ranzirni testi, test Kolmogorova in drugi prilagoditveni testi.Obmocja zaupanja: (1) Konstrukcija: pivotne kolicine, inverzija kriticnega obmocja, zgledi.(2) Lastnosti: dolzina intervala zaupanja, randomizirana obmocja zaupanja. (3) Asimptoticnaobmocja zaupanja. (4) Konstrukcija intervalov zaupanja s kljukcevo (bootstrap) metodo.Osnove Bayesove statistike. “Novo” podrocje statistike je v resnici starejse od “starega”, ki muv tem kontekstu pravimo frekventisticna statistika. Zacel se je uveljavljati zaradi aplikacij vracunalnistvu, v financni matematiki in na nekaterih drugih podrocjih. Glavna prednost predfrekventisticno statistiko je dejstvo, da ima vgrajeno teorijo odlocanja, ki omogoca testiranjez dokoncnim odgovorom glede tega, katero hipotezo naj uporabnik sprejme oziroma zavrne.Pristop omogoca sirso uporabo porazdelitev v praksi in odpira vrsto vprasanj, zanimivih tudi zamatematike. Bayesova statistika poskusa prevzeti primat pred frekventisticno in morda scasomacelo nadomestiti vso statistiko. Na predavanjih in vajah bomo spoznali le nekaj osnov.



Optimizacija 2Martin Juvan

Vsebina:

Konveksne mnozice in poliedri. Farkaseva lema. Linearni programi in teorija dualnosti. Izpeljavaizreka o krepki dualnosti iz Farkaseve leme. Izrek o obstoju strogo komplementarnih optimalnihresitev. Parametricno linearno programiranje.

Celostevilsko linearno programiranje. Formulacija nekaterih diskretnih problemov v obliki celo-stevilskih linearnih programov. Linearni programi in celostevilske resitve, popolnoma unimo-dularne matrike.

Pogoji optimalnosti, Karush-Kuhn-Tuckerjev izrek (kot posplositev vezanih ekstremov iz ana-lize in dualnega dopolnjevanja iz linearnega programiranja). Lagrangeeva dualnost. Posebnelastnosti konveksnih optimizacijskih nalog.

Kratek pregled tipov metod za resevanje nelinearnih optimizacijskih problemov.

Potrebno/pricakovano predznanje:• Zazeleno je poznavanje osnov linearnega programiranja.

Izvedba (2/2):• Obveznosti: manjse stevilo domacih nalog, 2 kolokvija ali pisni izpit, ustni izpit.• Pravilno in pravocasno resene domace naloge bodo upostevane pri pisnem delu ocene.

Podatkovne strukture in algoritmi 3Martin Juvan

Vsebina:

Glede na stevilo slusateljev, njihovo predznanje, izkusnje in zelje bomo karseda natancno pre-studirali in morda tudi preizkusili nekatere izmed naslednjih tem:

– Pregled grafa v globino in bloki grafa, pregled v globino v usmerjenem grafu in krepkopovezane komponente grafa.

– Najkrajse poti: Johnsonov algoritem, povprecno najlazji cikel, problem T-spoja in najkrajse(enostavne) poti v grafih z negativnimi utezmi.

– Iskanje maksimalnega toka s predtokom, iskanje najcenejsega razvoza prek negativnih ciklov.

– Algoritmi na nizih, ujemanje nizov (Rabin-Karp, Knuth-Morris-Pratt, Boyer-Moore), drevoin tabela pripon.

– Racunska geometrija: osnovne operacije, konveksna ovojnica, najblizji par, Voronojev dia-gram.

– Elementarna teorija stevil: Evklidov algoritem in sorodne teme, modularna aritmetika, pre-verjanje prastevilskosti, faktorizacija.

– Zahtevnejse podatkovne strukture: binomske kopice, Fibonaccijeve kopice, vodenje druzinedisjunktnih mnozic.

– Pozresna metoda in matroidi.

Potrebno/pricakovano predznanje:• Zazeleno je poznavanje osnovnih podatkovnih struktur in algoritmov (npr. vecji del vse-

bine predmetov Podatkovne strukture in algoritmi 1 in 2).

Izvedba (2/2):• Obveznosti: verjetno kaka domaca naloga, morda kolokvija/pisni izpit/projekt, vsekakor

ustni izpit/zagovor.

Racunska zahtevnostSergio Cabello

Vsebina:

(1) P in NP• Turingov stroj.• Drugi modeli racunanja.• Razred P.• Nedeterminizem in razred NP.• NP-polnost.• Nekaj izbranih NP-polnih problemov.• Struktura razreda NP.

(2) Nakljucnostni algoritmi.• Zgledi.• Vrste nakljucnostnih algoritmov in razredi problemov.

(3) Aproksimacijski algoritmi.• Definicija.• Zgledi.• Nacrtovanje aprosimacijskih algoritmov z uporabo LP.• Tezavnost aproksimacije.• PTAS in FPTAS.

Potrebno/pricakovano predznanje: Osnovno znanje o algoritmih.

Izvedba (2/2):• Obveznosti studenta: pisni izpit, ustni izpit.• Ob soglasju studentov bodo predavanja v angleskem jeziku.

Moderna fizikaSvjetlana Fajfer

Vsebina:Moderna fizika je ustaljeno ime za fizikalne pojave, ki niso zajeti v klasicni fiziki, predvsem spe-cialno teorijo relativnosti, kvantno fiziko, jedrsko fiziko in fiziko osnovnih delcev. Na spoznanjihmoderne fizike temelji velika vecina priprav, ki jih srecujemo vsak dan, od laserja v predvajalnikuzgoscenk, preko mobilnih telefonov do racunalnikov in naprav za medicinsko slikanje. Poskusiv fiziki osnovnih delcev so nas pripeljali do razumevanja narave na najmanjsih in najvecjihrazdaljah.

Pri predmetu se bodo slusatelji seznanili z osnovnimi zakonitostmi na podrocju klasicne elek-trodinamike (elektrostatika, multipoli, magnetno polje, Maxwellove enacbe), posebne teorijerelativnosti (transformacije prostora in casa, cetverci, Maxwellove enacbe v kovariantni obliki),kvantne fizike (valovne lastnosti delcev, Schroedingerjeva enacba, harmonski oscilator, vodikovatom), fizike osnovnih delcev (Standardni model osnovnih delcev, leptoni in kvarki, osnoveumeritvenih teorij elektromagnetne, sibke in mocne interakcije, temna snov) in s povezavo medrazvojem vesolja in fiziko osnovnih delcev.

Predmet je nadgradnja predmeta Fizika z dodiplomskega studija.

Potrebno/pricakovano predznanje: Opravljen izpit iz predmeta Fizika na prvi stopnji.

Izvedba (2/2): Izpit iz vaj, ki ga lahko nadomesti domaca naloga, ter izpit iz teorije.

1/12 - 2...2. končan visokošolski strokovni študijski program praktična matematika (kandidat...

Documents