111 0 componentes da velocidade inicial as componentes iniciais x e y da velocidade são analisamos...
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111
yyxx evevv
000
0
0v
Componentes da velocidade inicial
xe
ye
0
00cos
v
v x0
0
0sinv
v y
As componentes iniciais x e y da velocidade são
000 sinvv y 000 cosvv x
Analisamos o movimento em cada uma das dimensões separadamente
0v
22
Duas esferas largadas simultaneamente
333
Fotografia estroboscópica de duas esferas largadas simultaneamente
As duas esferas chegam ao mesmo tempo no solo
As duas esferas são jogadas sob a acção da gravidade
A cada instante as esferas têm a mesma altura
A esfera rosa é solta v0y = 0
(queda livre)
A esfera amarela tem velocidade inicial horizontal v0x
44
Exemplo: Quando um avião em deslocamento horizontal com velocidade constante deixa cair um pacote com medicamentos para refugiados em terra, a trajectória do pacote vista pelo piloto é igual à trajectória vista pelos refugiados?
Não. O piloto verá o pacote descrever uma trajectória rectilínea vertical:
Os refugiados verão o pacote descrever um movimento horizontal uniforme e um vertical uniformemente acelerado, a visão será de uma trajectória parabólica:
55
Visão do piloto e visão dos refugiados
666
Diagrama do movimento de um projéctil
Movimento rectilíneo uniforme
Movimento uniformemente variado
g
77
Exemplo do movimento de um projéctil
888
EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DO PROJÉCTIL
constante cos 000 vvvxxComponente horizontal da velocidade
Componente vertical da velocidade gtvgtvv oyy 00 sin
Componente vertical da posição
tvxtvxx xxx 00000 cosComponente horizontal da posição
2
000
2
00 2
1sin
2
1gttvygttvyy y
Movimento rectilíneo uniforme na horizontal (MRU)
Movimento uniformemente variado na vertical (MRUV)
99
O tempo para atingir a altura máxima y=h (quando ) :
9
Alcance e altura máxima dum projéctil
0
0v
ALTURA MÁXIMA
0yv
g
vh
2
sin 0
220
g
v
g
vg
g
vvh
2
sinsin
2
1sinsin
200
2
000000
hhyy
yy
gtvgtvv
gtvv
000
0
sin
0yv
sin
sin0
00
00
vgt
gtv
h
h
g
vth
00 sin
Substituindo th na outra expressão
2
1sin
2
1sin 2
002
000 hh gttvhgttvyy (y=h e y0=0)
1010g
vR 0
20 2sin
ALCANCE
22 htt
g
vvR 00
00
sin2cos
tvxtvxx xxx 00000 cos
)2(cos)2( 000 hhx tvtvR
g
v 00 sin0
0v
00 yv
R é o alcance - distância horizontal percorrida pela partícula até chegar à altura inicial
O movimento é simétrico a partícula leva um tempo th para subir e o mesmo tempo th para cair ao mesmo nível
Portanto o tempo para percorrer R é
111111
Um projéctil lançado da origem com uma velocidade escalar inicial de m/s 50para vários ângulos 0
Os ângulos complementares (somam 90 graus) dão origem ao mesmo valor de R
22 0 / o450
g
vR
2
max0
0
2
2sin0 g
vR
1for quando máximo é 2sin 0
Alcance máximo Rmáx
O que acontece quando
1212
m 1020m/s 8.9
m/s) 100(2
22
0 g
v
Exemplo 11. Um canhão atira esferas com velocidade v0 = 100 m/s. a) Determine o alcance máximo da esfera. b) Mostre que existem dois ângulos possíveis para atingir um alvo à uma distância d = 800 m, menor que a distância máxima.
a) Determine o alcance máximo da esfera
Rmáx=
b) Mostre que existem dois ângulos possíveis para atingir um alvo à uma distância d = 800 m, menor que a distância máxima
g
vR 0
2
0 2sin , mas máx
20 Rg
v . Substituindo, fica 0máx 2sin RR
assim
784.0m 1020
m 8002sin
máx0 R
R
o01
o01 26 522
e o ângulo complementarooo
02 642690 -
131313
No movimento circular uniforme a velocidade tem módulo constante, porém sua direcção muda continuamente
Movimento de satélites artificiais
Movimento circular uniforme
Exemplos:
Pontos de um disco num gira discos
Pontos de um disco rígido de computador
Ponteiros de um relógio
As pessoas girando com o movimento da Terra
1414
Para descrever o MCU utilizamos as coordenadas polares
Movimento circular uniforme MCU
x
y
r
xe
ye
Vector posição
r e
x
y
r
xe
ye
cosr
sinr
yx ererr
sin cos
rr
onde
1515
O arco sobre a trajectória que subentende um ângulo é:
x s
dr
rs
drds
O arco descrito em é dado pords d
x
y
r S
161616
v
v
A
B
ca
ca
• A aceleração centrípeta é responsável pela mudança da direcção da velocidade
O vector velocidade é sempre tangente à trajectória da partícula e é perpendicular ao raio da trajectória
• A aceleração centrípeta aponta para o centro do círculo
Demonstraremos que
r
No movimento circular uniforme
1717
O movimento circular é um movimento periódico
O tempo de uma volta completa é o período T
o tempo que demora para descrever um ângulo de 2
A velocidade angular é T
2
No movimento circular uniforme a velocidade angular é constante
A unidade da velocidade angular é 1s rad
ou f 2 onde f é a frequência
A unidade da frequência no SI é o hertz (Hz)
t
181818
x
y
r
xe
ye
A velocidade da partícula é a
derivada em ordem ao tempo de rv
dt
d
O módulo da velocidade é
Relaciona a velocidade angular velocidade linear v
22222 )cos(sin rrv
rv
porque
)cos(sincossin 2222222222 rrr
v
yx ererr
sin cos
yx edt
dre
dt
dr
dt
rdv
cossin
yx ererv
cos sin
mas
rerervv yx
cos sin
cos
sin
rv
rv
y
xv
xv
yv
1919
Como , também não é constante.
O valor absoluto da velocidade linear não varia mas a direcção varia
O movimento circular uniforme é acelerado e a única função da aceleração é mudar a
direcção da velocidade
A aceleração é
Observe que a direcção da aceleração tem sentido inverso ao do vector posição
É a aceleração centrípeta que faz variar o vector velocidade
Está dirigida para o centro da circunferência e por esse motivo chama-se aceleração centrípeta
yx ererdt
d
dt
vda
cos sin
yx ererv
cos sin
yx e
dt
dre
dt
dr
sin cos
r 2
rv
) sin cos( yx ererr
2020
O módulo da aceleração centrípeta é
como rv v
v
A
B
ca
ca
rac
2
rac2
r
vac
2
21
Observe a animação abaixo. O carro se move com velocidade linear constante.
r
vac
2
1
r
vac 2
2
2
Em qual das curvas a aceleração centrípeta é maior?