1.1 la recta numérica.1.2 los números reales. 1.3 propiedades de los números reales. 1.4...
TRANSCRIPT
![Page 1: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/1.jpg)
UNIDAD 1: LOS NÚMEROS REALES
![Page 2: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/2.jpg)
1.1 La recta numérica.
1.2 Los números reales.
1.3 Propiedades de los números reales.
1.4 Intervalos y su representación
mediante desigualdades.
1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con
una incógnita y de desigualdades
cuadráticas con una incógnita.
1.6 Valor absoluto y sus propiedades.
1.7 Resolución de desigualdades que
incluyan valor absoluto.
![Page 3: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/3.jpg)
1.1. LA RECTA NUMERICA
![Page 4: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/4.jpg)
A. DEFINICIÓN:
Es un dibujo unidimensional de una línea en la que los
números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados
que están separados uniformemente.
![Page 5: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/5.jpg)
B. REPRESENTACIÓN:
Esta dividida en dos mitades simétricas.
Números negativos cero Números
positivos
![Page 6: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/6.jpg)
C. APLICACIÓN:
Todos los números pueden ordenarse en una recta numérica.
De esta manera, podemos determinar si un numer es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la recta numérica.
![Page 7: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/7.jpg)
Para señalar el número de plantas de un edificio en el
ascensor.
Utilizamos números negativos para las plantas que están por debajo
de cero, es decir, para los sótanos o plantas subterráneas.
![Page 8: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/8.jpg)
Los niveles por debajo del nivel del mar se pueden expresar por números
enteros negativos.
Para medir altitudes.
Se considera 0 el nivel del mar
los niveles por encima del mar se pueden expresar
por números enteros positivos
![Page 9: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/9.jpg)
Para medir temperaturas.
![Page 10: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/10.jpg)
1.2. LOS NÚMEROS REALES
![Page 11: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/11.jpg)
A. DEFINICIÓN:
Es la unión de los números racionales e irracionales.
![Page 12: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/12.jpg)
B. CLASIFICACIÓN:
![Page 13: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/13.jpg)
Números naturales (N):
Es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3... Que se pueden usar para contar elementos o cosas.
N= {0, 1, 2, 3,..}
![Page 14: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/14.jpg)
Números enteros (Z):
Cuando se necesita restar, se obtienen a partir de los naturales añadiendo los opuestos para la operación de suma.
Z= {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..}
![Page 15: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/15.jpg)
Cuando un numero se puede escribir en forma fracción. Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la multiplicación.
Números racionales (Q)(fraccionarios, o quebrados):
Q= {... 1/2, 5/3, 8/10, 238476/98745, 4.1515......}
![Page 16: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/16.jpg)
2
No pueden representarse en forma fraccionaria. Se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo.
Números irracionales (I):
![Page 17: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/17.jpg)
C. REPRESENTACIÓN:
De esta manera hemos completado la recta numérica, asociando a cada
punto de ella un número real.
![Page 18: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/18.jpg)
D. APLICACIÓN:
Los números reales pueden representar cualquier medida tal como:
El precio de un producto
La altitud (positiva o negativa) de un lugar geográfico
La densidad de un átomo o la
distancia de la más lejana de las
galaxias.
![Page 19: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/19.jpg)
Por ejemplo:
En economía
En informática
En matemática
s
En física En ingeniería
![Page 20: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/20.jpg)
1.3. PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES
(PROPIEDAD DE ORDEN)
![Page 21: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/21.jpg)
1.3.1. TRICOTOMÍA
A. DEFINICIÓN:
Es una división en tres partes. Es una propiedad de vital importancia para la matemática.
Para dos números reales cualquiera, a y b, sólo se cumplirá una de las siguientes
afirmaciones:
![Page 22: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/22.jpg)
A. DEFINICIÓN:
1.3.2. TRANSITIVIDAD
Relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando siempre un elemento se relaciona con otro y este último con un tercero.
![Page 23: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/23.jpg)
Si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es
mayor que c.
![Page 24: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/24.jpg)
A. DEFINICIÓN:
1.3.3. DENSIDAD
Asimismo la recta numérica permite visualizar que dado dos números racionales siempre es posible encontrar otro comprendido entre los números dados. Esta propiedad es característica de los números racionales y se denomina Densidad.
![Page 25: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/25.jpg)
Los números racionales e irracionales son densos en la recta real, ya que todo número tiene vecinos racionales e irracionales cercanos a él.
Ejemplo: √2=1,1.4,1.41,1.412…….
![Page 26: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/26.jpg)
A. DEFINICION:
1.3.4 AXIOMA DEL SUPREMO
Todo conjunto no vacío y acotado superiormente posee un supremo.
![Page 27: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/27.jpg)
1.4. INTERVALOS Y SU REPRESENTACIÓN MEDIANTE
DESIGUALDADES.
![Page 28: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/28.jpg)
A. DEFINICIÓN
DESIGUALDADES: Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números reales que hace que sea verdadera.
![Page 29: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/29.jpg)
Nombre Símbolo Definición Representación grafica
Intervalo Abierto
(a,b)
Intervalo cerrados
[a,b]
Intervalos Semiabierto
s
(a,b]
[a,b)
IntervalosInfinitos
(a,∞)
[a,∞)
![Page 30: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/30.jpg)
INTERVALOS ABIERTOS
REPRESENTACIÓN
NOTACIÓN DEL CONJUNTO
NOTACIÓN DEL INTERVALO
(𝒂 ,𝒃)
𝒂<𝒙<𝒃
![Page 31: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/31.jpg)
INTERVALOS CERRADOS
REPRESENTACIÓN
NOTACIÓN DEL CONJUNTO
NOTACIÓN DEL INTERVALO
[𝒂 ,𝒃]
𝒂≤ 𝒙≤𝒃
![Page 32: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/32.jpg)
Intervalos semiabiertos por la
izquierdaSon los abiertos por la
izquierda y cerrados por la derecha:
Intervalos semiabiertos por la
derechaSon los cerrados por la
izquierda y abiertos por la derecha:
(𝒂 ,𝒃)
![Page 33: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/33.jpg)
¿ES CORRECTO ESCRIBIR?
![Page 34: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/34.jpg)
INTERVALOS INFINITOS
REPRESENTACIÓN
por la izquierda abierto
por la derecha abierto
por la derecha cerrado
por la izquierda cerrado
![Page 35: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/35.jpg)
REPASO
< menor que
> mayor que
≤ menor que o igual que
≥ mayor que o igual que
![Page 36: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/36.jpg)
EJEMPLOS
5x
652 431 7
(5,∞)
![Page 37: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/37.jpg)
EJEMPLOS
7x652 431 7
(-∞,7)
![Page 38: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/38.jpg)
EJEMPLOS
-1-2-5 -3-4-6 0
2p
(-∞,-2]
![Page 39: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/39.jpg)
EJEMPLOS
8x763 542 8
[8,∞)
![Page 40: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/40.jpg)
1.5 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE PRIMER
GRADO CON UNA INCOGNITA Y DESIGUALDADES CUADRATICAS
CON UNA INCOGNITA.
![Page 41: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/41.jpg)
A. DEFINICIÓN DESIGUALDAD DE PRIMER GRADO.
Es todo enunciado abierto que tiene el signo > ó <, con una sola variable y con exponente 1.
ax + b > c
ax + b < c
![Page 42: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/42.jpg)
w + 5 < 8
w + 5 + (-5) < 8 + (-5)
w + 0 < 3
w < 3
w + 5 < 8
w + 0 < 3
w < 3
-5 -5
0 1 2 3-20 -15 -10 -5-25 4 5
3
![Page 43: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/43.jpg)
B. DEFINICIÓN DESIGUALDAD CUADRATICA CON UNA
INCOGNITA.Una inecuación de segundo grado con una incógnita es cualquier desigualdad que,
directamente o mediante transformaciones de equivalencia, se pueden expresar de una de las
formas siguientes:
ax2+bx+c>0 ax2+bx+c<0ax2+bx+c ≥0ax2+bx+c ≤ 0
![Page 44: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/44.jpg)
x²+ x-2 < 0
0 1 2 3-4 -3 -2 -1-5 4 5
(x-1)(x+2)< 0
(x-1)= 0
x<1
(x+2)=0
x< -2
Formula general
???
![Page 45: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/45.jpg)
1.6. VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES
![Page 46: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/46.jpg)
Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al
signo. Se indica poniendo el número entero entre barras.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de:
Matemáticos y físicos
Magnitud
Distancia
![Page 47: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/47.jpg)
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número
real está definido por:
Nota: Estos casos solamente los podrás utilizar si el valor de “b” es un numero natural positivo.
![Page 48: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/48.jpg)
1.7. RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES QUE
INCLUYAN VALOR ABSOLUTO
![Page 49: 1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062223/5528bde3497959977d8fa6d8/html5/thumbnails/49.jpg)