1

1

10. Eksponencijalne i logaritamskefunkcije

Primjena u ekonomskoj dinamici – problemi rasta

Klasa problema optimizacije u kojoj je varijabla izbora vrijeme

10.1 Svojstva eksponencijalnih funkcija

F-ja čija se nezavisna promjenljiva pojavljuje u ulozi eksponenta –eksponencijalna f-ja

• Jednostavna ekponencijalna f-ja

• y=f(t)=bt (b>1)

y-zavisna promjenljiva t-nezavisna prom. b-fiksna baza eksponenta

D=R

Zašto b>1?

Npr, ako je b=1/5, imamo:t

t

t

y−

==

= 5

5

1

5

1

2

Grafički prikaz

• b=2

(1) Neprekidna i diferecijabilna n puta

(2) Monotono rastuća

(3) Kodomen (0,∞)

• Posljedice monotonosti:

(1) Inverzna slika eksp. f-je je takođe monotona –logaritamska f-ja

(2) Svaki pozitivan broj se može izraziti kao jedinstvena potencija s bazom b>1

3

Uopštena eksponencijalna f-ja

• Opšti postupak promjene baze

• f(2t0)=g(t0)=b2t=y0

• Udvostručenje eksponenta � sabijanje ekspon. krive na pola putaka y-osi; polovljenje eksponenta � širenje krive dalje od y-ose na

dvostruku vodoravnu udaljenost

4

• Promjena sa bt na 2bt?

• Udvostručenje koeficijenta (ovdje sa 1 na 2) �proširenje krive dalje od horizontalne ose do dvostrukevertikalne udaljenosti; polovljenje koef. � sabijanje krive

na pola prema t osi

• y=bt � y=abct, a i c – koef. za “sabijanje” ili “proširenje”

• Poželjna baza

• Baza e – prirodna eksp. f-ja: y=et

• Sama sebi izvod!

ttee

dt

d=

5

10.2 Prirodne eksponencijalne f-je i problem rasta

• Broj e

• Približna vrijednost od e jednaka 2.71828

• Dokaz da je

( ) M

M

m

mmM

mmfe

/1

01lim

11lim)(lim +=

+=≡

→∞→∞→

( )

( ) xx

x

xxxx

xx

x

xx

etabličvježbex

ee

x

ee

x

ye

ee

=−=∆

−=

∆

−=

∆

∆

=

∆

→∆

∆+

→∆→∆= .)(

1limlimlim

000

'

'

6

10.3 Logaritmi

• Značenje logaritma42=16

eksponent 2 definišemo kao logaritam od 16 po bazi 4 i pišemo: log416=2

• Logaritam je eksponent kojim se baza (4) mora stepenovati da bi se dobio zadani broj (16)y=bt � t=logby

Monotonost eksponencijalne f-je � bilo koji pozitivan broj y mora imati jedinstveni logaritam t uz bazu b>1 takav da veći y ima veći logaritam.

y je nužno pozitivan u eksp. f-ji!!!

ybyb ≡

log

2

7

Dekadni i prirodni logaritam

• Kada je baza 10 – dekadni logaritam: log10 (ili samo log)

• Baza e – prirodni logaritam: loge ili ln

Pr. log101000=3 jer je 103=1000

log101=0 jer je 100=1

log100.1=-1 jer je 10-1=0.1

lne3=logee3=3

ln1=logee0=0

• lnen=n

8

Logaritamska pravila

• Pravilo I (logaritam proizvoda) ln(uv)=lnu+lnv

• Pravilo II (logaritam količnika) ln(u/v)=lnu-lnv

• Pravilo III (logaritam stepena) lnua=alnu

(u>0)

• Pravilo IV (promjena baze logaritma) logbu=(logbe)(logeu) (umjesto e - bilo koja baza

c≠b)

• Pravilo V (inverzija baze)

be

e

blog

1log =

9

10.4 Logaritamske f-je

• Logaritamska f-ja – f-ja kad se promjenljiva izražava kao f-ja logaritma druge promjenljive

• Logaritamske i eksponencijalne f-je

lny1=lny2 � y1=y2

lny1>lny2 � y1>y2

• Grafički oblik

10

• Analogno eksponencijalnoj f-ji, kad s (pozitivnim

konstantama) A i r sabijemo ili proširimo krivu, ona će ličiti

na opšti oblik, osim što će njen vertikalni presjek biti u y=A

umjesto y=1.

=⇔

=

0log

0log

0log

1

1

10

f

p

f

pp

y

y

y

y

y

y

∞

→⇔

∞−

∞→

+0log yy

rtAertAAeyrt

+=+== lnlnln)ln(ln

r

Ayt

lnln −=

11

Promjena baze

• Abct �Aert

• er=bc � lner=lnbc � r=lnbc=clnb

• y=Abct � y= Ae(clnb)t

• 10.5 Izvodi eksponencijalnih i logaritamskih f-ja

• Pravilo za logaritamsku f-ju

tt

dt

d 1ln =( )

( )x

tabličvježbe

xx

xx

x

x

xxx

x

yx

xx

xxx

1.)(

)1ln(ln)ln(

ln

1ln

limlimlim000

'

'

=−=∆

∆+

=∆

−∆+=

∆

∆

=

→∆→∆→∆=

12

Uopštena pravila

• Slučaj baze b Uopšteno:

)(

)()(ln

)(

'

)(')(

tf

tftf

dt

d

etfedt

d tftf

=

=

btt

dt

d

bbbdt

d

b

tt

ln

1log

ln

=

=

btf

tftf

dt

d

bbtfbdt

d

b

tftf

ln

1

)(

)()(log

ln)(

'

)(')(

=

=

3

13

Izvodi višeg reda

• Rezultat ponovljenog diferenciranja

• Pr. Drugi izvod od y=bt

• Prvi i drugi izvod eksponencijalne f-je su uvijek pozitivni

Pr. Drugi izvod od y=lnt

• Prvi izvod logaritamske f-je uvijek pozitivan, drugi negativan

2''' )(lnln)ln(ln)()()( bbblbbbbdt

dty

dt

dty

ttt====

2

2'' 1

tty

−=−=

−

14

Nalaženje elastičnosti u tački

yu ln≡ xv ln≡

y

x

dx

dyx

dx

dy

ye

dx

dy

ye

dv

d

dx

dyy

dy

d

dv

dx

dx

dy

dy

du

dv

du

xd

yd

vv===

=

==

11ln

)(ln

)(ln

)(xfy =vx

eex ≡≡ln

)(ln

)(ln,

xd

ydxy =ε

15

Diferencijal i elastičnost u tački

Kao primjer primjene diferencijala u ekonomiji, razmatra se pojam elastičnosti

funkcije.

Za funkciju Q=f(P), elastičnost se definiše kao (∆Q/Q)/(∆P/P).

Uz beskonačno malu promjenu cijene izrazi ∆P i ∆Q se svode na dP i dQ.

Elastičnost u tački funkcije potražnje:

PQ

dPdQ

PdP

QdQd

/

/

/

/==ε

Za bilo koju zadatu ukupnu funkciju y=f(x), elastičnost je

funkcijaprosj

funkcijagran

xy

dxdyxy

.

.

/

/, ==ε