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U s i n g G e n e r i c P r o g r a m m i n g f o r D e s i g n i n g a

D a t a S t r u c t u r e f o r P o l y h e d r a l S u r f a c e s

L u t z K e t t n e r

1

I n s t . o f T h e o r e t i c a l C o m p u t e r S c i e n c e , E T H Z u r i c h , C H - 8 0 9 2 Z u r i c h , S w i t z e r l a n d

A b s t r a c t

A p p e a r e d i n C o m p u t a t i o n a l G e o m e t r y { T h e o r y a n d A p p l i c a t i o n s 1 3 , 1 9 9 9 , 6 5 - 9 0 .

S o f t w a r e d e s i g n s o l u t i o n s a r e p r e s e n t e d f o r c o m b i n a t o r i a l d a t a s t r u c t u r e s , s u c h a s

p o l y h e d r a l s u r f a c e s a n d p l a n a r m a p s , t a i l o r e d f o r p r o g r a m l i b r a r i e s i n c o m p u t a t i o n a l

g e o m e t r y . D e s i g n i s s u e s c o n s i d e r e d a r e e x i b i l i t y , t i m e a n d s p a c e e c i e n c y , a n d

e a s e - o f - u s e . W e f o c u s o n t o p o l o g i c a l a s p e c t s o f p o l y h e d r a l s u r f a c e s a n d e v a l u a t e

e d g e - b a s e d r e p r e s e n t a t i o n s w i t h r e s p e c t t o o u r d e s i g n g o a l s . A d e s i g n f o r p o l y h e d r a l

s u r f a c e s i n a h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e i s d e v e l o p e d f o l l o w i n g t h e g e n e r i c p r o g r a m m i n g

p a r a d i g m k n o w n f r o m t h e S t a n d a r d T e m p l a t e L i b r a r y S T L f o r C

+ +

. C o n n e c t i o n s

a r e s h o w n t o p l a n a r m a p s a n d f a c e - b a s e d s t r u c t u r e s .

K e y w o r d s : L i b r a r y d e s i g n ; G e n e r i c p r o g r a m m i n g ; C o m b i n a t o r i a l d a t a s t r u c t u r e ;

P o l y h e d r a l s u r f a c e ; H a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e

1 I n t r o d u c t i o n

C o m b i n a t o r i a l s t r u c t u r e s , s u c h a s p l a n a r m a p s , a r e f u n d a m e n t a l i n c o m p u -

t a t i o n a l g e o m e t r y . I n o r d e r t o b e u s e f u l i n p r a c t i c e , a s o l i d l i b r a r y f o r c o m -

p u t a t i o n a l g e o m e t r y m u s t p r o v i d e g e n e r i c a n d e x i b l e s o l u t i o n s a s o n e o f i t s

f u n d a m e n t a l c o r n e r s t o n e s . W e r e p o r t a r e v i s e d s o l u t i o n p r o p o s e d f o r t h e C o m -

p u t a t i o n a l G e o m e t r y A l g o r i t h m s L i b r a r y C g a l

2

, w h i c h i s a j o i n t e o r t o f n i n e

a c a d e m i c i n s t i t u t e s i n E u r o p e 8 , 7 , 2 8 ] . O u r d e s i g n c r i t e r i a a r e e x i b i l i t y , e a s e -

o f - u s e , t i m e a n d s p a c e e c i e n c y . F l e x i b i l i t y i s a n o b v i o u s g o a l f o r a l i b r a r y .

1

P a r t o f t h i s r e s e a r c h w a s c a r r i e d o u t w h i l e t h e a u t h o r w a s a t t h e F r e i e U n i v e r -

s i t a t B e r l i n w i t h a s c h o l a r s h i p f r o m t h e G r a d u i e r t e n k o l l e g \ A l g o r i t h m i s c h e D i s k r e t e

M a t h e m a t i k " , D F G W e 1 2 6 5 / 2 - 1 . S u p p o r t f r o m t h e S w i s s F e d e r a l O c e f o r E d u c a -

t i o n a n d S c i e n c e ( P r o j e c t s E S P R I T I V L T R N o . 2 1 9 5 7 C g a l a n d N o . 2 8 1 5 5 G a l i a )

i s a l s o a c k n o w l e d g e d .

2

h t t p : / / w w w . c s . u u . n l / C G A L /

P r e p r i n t s u b m i t t e d t o E l s e v i e r P r e p r i n t 1 8 F e b r u a r y 1 9 9 9

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E a s e - o f - u s e i s c o n s i d e r e d t o m a k e t h e d e s i g n e a s y t o l e a r n a n d a c c e s s i b l e f o r

n o n - e x p e r t s . E c i e n c y i s n e e d e d t o q u a l i f y f o r i n d u s t r i a l a p p l i c a t i o n s .

W e f o c u s o n e d g e - b a s e d r e p r e s e n t a t i o n s o f t h r e e - d i m e n s i o n a l p o l y h e d r a l s u r -

f a c e s a n d i l l u s t r a t e c o n n e c t i o n s t o p l a n a r m a p s a n d f a c e - b a s e d s t r u c t u r e s ,

w h i c h m a i n t a i n p o l y g o n s w i t h h o l e s f o r t h e i r f a c e t s . W e c o n c e n t r a t e o n t h e

t o p o l o g i c a l a s p e c t s a n d d e r i v e s o l u t i o n s a p p l i c a b l e t o o t h e r d a t a s t r u c t u r e s

a s w e l l . I n p a r t i c u l a r , w e w a n t t o v a r y t h e i n t e r n a l s t o r a g e o r g a n i z a t i o n a n d

t h e k i n d o f i n c i d e n c e s t h a t a r e a c t u a l l y s t o r e d . A d d i t i o n a l u s e r d a t a c a n b e

i n t e g r a t e d e a s i l y . A t o p - l e v e l i n t e r f a c e e n s u r e s e a s e - o f - u s e a n d c o m b i n a t o r i a l

i n t e g r i t y . O n t h e o t h e r h a n d , a p r o t e c t e d a c c e s s t o t h e i n t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n

i s g r a n t e d .

I n t h e r s t p a r t o f t h e p a p e r w e d e n e p o l y h e d r a l s u r f a c e s a n d r e v i e w k n o w n

e d g e - b a s e d b o u n d a r y r e p r e s e n t a t i o n s . T h e s e c o n d p a r t w e b e g i n w i t h a s h o r t

i n t r o d u c t i o n t o t h e m o d e r n d e s i g n p r i n c i p l e s a v a i l a b l e i n C

+ +

k n o w n a s t h e

g e n e r i c p r o g r a m m i n g p a r a d i g m 2 5 , 2 6 ] w i t h t h e e x a m p l e S T L , t h e S t a n d a r d

T e m p l a t e L i b r a r y 4 , 2 4 , 3 1 ] . W e d e r i v e d e s i g n g o a l s a n d e v a l u a t e p r e v i o u s w o r k .

W e c o n t i n u e w i t h a n o v e r v i e w o f o u r d e s i g n , t h e s e p a r a t i o n o f g e o m e t r y a n d

t o p o l o g y , t h e l a y e r e d s t r u c t u r e , t h e r e s p o n s i b i l i t i e s o f t h e l a y e r s , s e v e r a l e x -

a m p l e p r o g r a m s , a n d t h e r e a l i z a t i o n i n C

+ +

u s i n g t e m p l a t e s . T o c o n c l u d e t h e

d e s i g n , w e p r e s e n t a t e c h n i q u e f o r t h e p r o t e c t e d a c c e s s o f t h e i n t e r n a l r e p r e -

s e n t a t i o n a n d t h e n e w c o n c e p t o f c i r c u l a t o r s .

T h e t h r e e m a i n a d v a n t a g e s o f o u r d e s i g n a r e : F i r s t , t h e e x i b i l i t y i s c o m -

p l e t e l y r e s o l v e d a t c o m p i l e t i m e , i . e . t h e r e i s n o r u n t i m e o v e r h e a d d u e t o t h e

e x i b i l i t y . S e c o n d , m e m o r y i s o n l y a l l o c a t e d f o r t h e f e a t u r e s a c t u a l l y u s e d .

F o r e x a m p l e , a p o l y h e d r o n w i t h n o i n f o r m a t i o n i n f a c e t s d o e s n o t a l l o c a t e

f a c e t n o d e s a n d f a c e t p o i n t e r s a t a l l . T h i r d , t h e s e b e n e t s h a v e n o t s a c r i c e d

t h e e a s e - o f - u s e o f t h e d a t a s t r u c t u r e . J u s t o n t h e c o n t r a r y , t h e g e n e r i c p r o -

g r a m m i n g p a r a d i g m , w h i c h w e u s e d t o a c h i e v e t h e e x i b i l i t y , e n a b l e d u s a l s o

t o e n c a p s u l a t e t h e e x i b i l i t y . F o r e x a m p l e , t h e t o p l e v e l i n t e r f a c e o f t h e d a t a

s t r u c t u r e l o o k s a l w a y s t h e s a m e , d e s p i t e o f t h e r e p r e s e n t a t i o n t h a t h a s b e e n

c h o s e n u n d e r n e a t h . F o r c o m p l e t e n e s s , w e i n c l u d e t h e r e a l i z a t i o n o f t h i s d e s i g n

i n C

+ +

. N o t e h o w e v e r , t h a t i t o n l y h a s t o b e u n d e r s t o o d b y t h e d e v e l o p e r a n d

n o t b y t h e u s e r .

2 P o l y h e d r a l S u r f a c e s

A b o u n d a r y r e p r e s e n t a t i o n o f a p o l y h e d r a l s u r f a c e c o n s i s t s o f a s e t o f v e r t i c e s

V , a s e t o f e d g e s E , a s e t o f f a c e t s F , a n d a n i n c i d e n c e r e l a t i o n o n t h e m .

I n t r o d u c t i o n s c a n b e f o u n d i n 1 4 , 2 0 ] . F o r a l i v i n g e x a m p l e s e e F i g u r e 1 .

2

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F i g . 1 . H a m m e r h e a d , a n o r i e n t a b l e 2 - m a n i f o l d o f 2 5 6 0 v e r t i c e s . T h i s o n e i s h o m e o -

m o r p h i c t o a s p h e r e .

split_facet(h,g)

join_facet(h)

h

gh

join_vertex(h)

split_vertex(h,g)

hhg

F i g . 2 . E u l e r o p e r a t o r e x a m p l e s f o r p o l y h e d r a l s u r f a c e s .

T h e t w o t y p e s o f b o u n d a r y r e p r e s e n t a t i o n s a r e 2 - m a n i f o l d a n d n o n - m a n i f o l d

s u r f a c e s . F o r e a c h p o i n t o n a 2 - m a n i f o l d s u r f a c e t h e r e e x i s t s a n e i g h b o r h o o d

t h a t i s h o m e o m o r p h i c t o t h e o p e n d i s c . A n o n - m a n i f o l d e x a m p l e w o u l d b e

t w o t e t r a h e d r a g l u e d t o g e t h e r a t a s i n g l e v e r t e x o r a c o m m o n e d g e . T h e n e x t

d i s t i n c t i o n i s b e t w e e n o r i e n t a b l e a n d n o n - o r i e n t a b l e 2 - m a n i f o l d s u r f a c e s . W i t h -

o u t g o i n g i n t o d e t a i l s , a s u r f a c e i s o r i e n t a b l e i f a c o n s i s t e n t o r i e n t a t i o n c a n

b e a s s i g n e d t o e a c h f a c e t s u c h t h a t f o r e a c h e d g e t h e t w o i n c i d e n t f a c e t s h a v e

o p p o s i t e o r i e n t a t i o n s a t t h i s e d g e . A n e x a m p l e o f a n o n - o r i e n t a b l e 2 - m a n i f o l d

i s t h e K l e i n b o t t l e . W e c o n s i d e r o n l y o r i e n t a b l e 2 - m a n i f o l d s f o r o u r d a t a s t r u c -

t u r e .

T h e n a t u r a l o p e r a t i o n s u n d e r w h i c h 2 - m a n i f o l d s a r e c l o s e d a r e E u l e r o p e r a -

t i o n s ; f o u r o f t h e m a r e s h o w n i n F i g u r e 2 . T h e p r i n c i p a l c h a r a c t e r i s t i c o f a n

E u l e r o p e r a t i o n i s t h e i n v a r i a n c e o f t h e E u l e r - P o i n c a r e f o r m u l a . A s u c i e n c y

p r o o f f o r a s p e c i c s e t o f E u l e r o p e r a t i o n s c a n b e f o u n d i n 2 0 ] . N o t e t h a t

2 - m a n i f o l d s a r e n o t c l o s e d u n d e r b o o l e a n o p e r a t i o n s .

T h e c l a s s o f r e p r e s e n t a b l e s u r f a c e s i s f u r t h e r r e s t r i c t e d b y t h e k i n d o f g e o m e t r y

a s s o c i a t e d w i t h v e r t i c e s , e d g e s a n d f a c e t s . V e r t i c e s m a p t o p o i n t s i n R

3

. A s f a r

a s p o l y h e d r a a r e c o n c e r n e d , t h e e d g e s a r e t y p i c a l l y t h e s t r a i g h t l i n e s e g m e n t s

b e t w e e n t h e i r t w o e n d p o i n t s a n d t h e f a c e t s a r e s i m p l e , p l a n a r p o l y g o n s . O t h e r

c l a s s e s m i g h t a l l o w c u r v e d s u r f a c e s a s f a c e t s o r m i g h t u s e v e r t i c e s i n p r o j e c t i v e

s p a c e t o m o d e l u n b o u n d e d f a c e t s a s w e l l . H o w e v e r , t h e y a r e c u r r e n t l y n o t

p r o v i d e d i n C g a l .

W e n o w p r e s e n t a d e n i t i o n f o r p o l y h e d r a l s u r f a c e s f o l l o w i n g S t e i n i t z 3 2 ] .

3

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T h i s d e n i t i o n i s o f c o m b i n a t o r i a l n a t u r e , w h i c h m a k e s r e a s o n i n g a b o u t t h e

d a t a s t r u c t u r e m o r e c o n v e n i e n t , f o r e x a m p l e t h a t t h e s a m e f a c e t c a n n o t a p p e a r

o n b o t h s i d e s o f a n e d g e . A n d i t l e a d s d i r e c t l y t o t h e i n t e g r i t y d e n i t i o n a n d

r e l a t e d t e s t f u n c t i o n o f t h e p o l y h e d r a l s u r f a c e d a t a s t r u c t u r e . T h e d e n i t i o n

c a p t u r e s t h e s a m e c l a s s o f r e p r e s e n t a b l e s u r f a c e s i n f o r m a l l y i n t r o d u c e d s o f a r ,

b u t m a y r e q u i r e a d i e r e n t c o m b i n a t o r i a l r e p r e s e n t a t i o n . F o r e x a m p l e a f a c e t

t h a t i s i n c i d e n t t o b o t h s i d e s o f t h e s a m e e d g e n e e d s t o b e s p l i t i n t o t w o f a c e t s .

D e n i t i o n 1 A s t r u c t u r a l c o m p l e x i s a u n i o n C = V E F o f t h r e e d i s j o i n t

s e t s t o g e t h e r w i t h a n i n c i d e n c e r e l a t i o n . W e c a l l V t h e v e r t i c e s , E t h e e d g e s

a n d F t h e f a c e t s o f t h e s t r u c t u r a l c o m p l e x . T h e i n c i d e n c e r e l a t i o n o n C m u s t

b e s y m m e t r i c . N o t w o e l e m e n t s f r o m t h e s a m e s e t V , E o r F a r e i n c i d e n t . I f

v 2 V i s i n c i d e n t t o e 2 E a n d e i s i n c i d e n t t o f 2 F t h e n v i s i n c i d e n t t o f .

D e n i t i o n 2 A p o l y h e d r a l c o m p l e x i s a s t r u c t u r a l c o m p l e x w i t h f o u r a d d i -

t i o n a l c o n d i t i o n s .

( 1 ) E v e r y e d g e i s i n c i d e n t t o t w o v e r t i c e s .

( 2 ) E v e r y e d g e i s i n c i d e n t t o t w o f a c e t s .

( 3 ) F o r e v e r y i n c i d e n t p a i r v ; f , t h e r e a r e e x a c t l y t w o e d g e s i n c i d e n t t o b o t h .

( 4 ) E v e r y v e r t e x a n d e v e r y f a c e t i s i n c i d e n t t o a t l e a s t o n e o t h e r e l e m e n t .

T h e n e i g h b o r h o o d o f a v e r t e x a r e t h e e d g e s a n d f a c e t s i n c i d e n t t o t h e v e r t e x .

I f w e r e s t r i c t t h e i n c i d e n c e r e l a t i o n t o t h i s n e i g h b o r h o o d t h e n b y c o n d i t i o n

( 3 ) e a c h f a c e t i s i n c i d e n t t o e x a c t l y t w o e d g e s a n d b y c o n d i t i o n ( 2 ) e a c h e d g e

i s i n c i d e n t t o e x a c t l y t w o f a c e t s . T h u s , t h e n e i g h b o r h o o d d e c o m p o s e s i n t o

d i s j o i n t c y c l e s , w h e r e e a c h c y c l e i s a n a l t e r n a t i n g s e q u e n c e o f e d g e s a n d f a c e t s .

A p o l y h e d r a l c o m p l e x i s a 2 - m a n i f o l d i f a n d o n l y i f t h e n e i g h b o r h o o d o f e a c h

v e r t e x d e c o m p o s e s i n t o a s i n g l e c y c l e . T h e d e n i t i o n o f a p o l y h e d r a l c o m p l e x

i s s y m m e t r i c f o r v e r t i c e s a n d f a c e t s . A s y m m e t r i c a l l y d e n e d n e i g h b o r h o o d o f

a f a c e t d e c o m p o s e s i n t o c y c l e s o f i n c i d e n t e d g e s a n d v e r t i c e s . A s s u m i n g t h a t

t h e n e i g h b o r h o o d o f e a c h f a c e t i s a s i n g l e c y c l e ( g e o m e t r i c a l l y , t h e b o u n d a r y

o f t h e f a c e t i s a s i n g l e c o n n e c t e d c o m p o n e n t , s o t h e f a c e t h a s n o h o l e s ) , w e

c a n d e n e a p o l y h e d r a l c o m p l e x t o b e o r i e n t e d i f e a c h c y c l e a r o u n d a f a c e t

i s o r i e n t e d a n d i f , f o r e a c h e d g e , t h e t w o c y c l e s o f i t s t w o i n c i d e n t f a c e t s a r e

o r i e n t e d i n o p p o s i t e d i r e c t i o n s . A p o l y h e d r a l c o m p l e x i s o r i e n t a b l e i f t h e r e

e x i s t s s u c h a n o r i e n t a t i o n .

D e n i t i o n 3 T h e b o u n d a r y r e p r e s e n t a t i o n o f a p o l y h e d r o n i s a n o r i e n t a b l e

p o l y h e d r a l c o m p l e x , w h e r e t h e n e i g h b o r h o o d o f e a c h v e r t e x a n d e a c h f a c e t i s

a s i n g l e c y c l e , t o g e t h e r w i t h a m a p p i n g V ! R

3

. T h i s m a p p i n g e x t e n d s f o r

e d g e s b y m a p p i n g e a c h e d g e t o t h e o p e n , s t r a i g h t l i n e s e g m e n t b e t w e e n i t s t w o

e n d p o i n t s . T h e f o l l o w i n g a d d i t i o n a l c o n d i t i o n s m u s t h o l d .

( 5 ) T h e i m a g e o f t h e n e i g h b o r h o o d o f e a c h f a c e t i s t h e b o u n d a r y o f a s i m p l e ,

p l a n a r p o l y g o n . T h e m a p p i n g e x t e n d s f o r f a c e t s t o t h e o p e n r e g i o n o f t h e s e

4

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p o l y g o n s .

( 6 ) F o r a l l e l e m e n t s i n C = V E F , t h e i r i m a g e s a r e p a i r w i s e d i s j o i n t .

T h e s u r f a c e d e n e d b y s u c h a b o u n d a r y r e p r e s e n t a t i o n i s a n o r i e n t a b l e 2 -

m a n i f o l d . S o m e u s e f u l p r o p e r t i e s a r e f o r e x a m p l e t h a t t h e n e i g h b o r h o o d s o f

t w o v e r t i c e s h a v e a t m o s t o n e e d g e a n d t w o f a c e t s i n c o m m o n , t h e e d g e a n d

v e r t e x g r a p h s a r e c o n n e c t e d w i t h i n e a c h c o n n e c t e d c o m p o n e n t o f t h e s u r f a c e ,

a n d e a c h f a c e t h a s a t l e a s t t h r e e e d g e s o n i t s b o u n d a r y . T h e s m a l l e s t p o s s i b l e

c o n g u r a t i o n i s a t e t r a h e d r o n .

T h e c l o s e d s u r f a c e s c o n s i d e r e d s o f a r c a n b e e x t e n d e d t o s u r f a c e s w i t h b o u n d -

a r i e s . W e n e e d t o r e l a x C o n d i t i o n ( 2 ) t o a l l o w e d g e s t h a t a r e i n c i d e n t t o o n e

f a c e t ; t h e y a r e c a l l e d b o r d e r e d g e s . T h i s i n d u c e s a m o d i c a t i o n o f D e n i t i o n 3 :

T h e n e i g h b o r h o o d o f a v e r t e x d e c o m p o s e s i n t o e i t h e r a s i n g l e c y c l e o r a c o l -

l e c t i o n o f o p e n p a t h s g o i n g f r o m b o r d e r e d g e t o b o r d e r e d g e . A l t h o u g h t h e

s u r f a c e i s n o l o n g e r c l o s e d , t h e o r i e n t a t i o n s t i l l d e n e s a \ s o l i d " s i d e o f t h e

s u r f a c e . T h e m i n i m a l c o n g u r a t i o n f o r s u r f a c e s w i t h b o u n d a r i e s i s a t r i a n g l e .

T h e d a t a s t r u c t u r e s w e w i l l d e s c r i b e c a n b e u s e d f o r p o l y h e d r a a s w e l l a s f o r

s u r f a c e s w i t h b o u n d a r i e s . B o r d e r e d g e s a r e s i m p l y m a r k e d b y t h e m i s s i n g f a c e t

a t o n e s i d e , i . e . b y a n u l l p o i n t e r .

A s u i t a b l e d a t a s t r u c t u r e b a s e d o n t h e D e n i t i o n 3 f o r p o l y h e d r a l s u r f a c e s

h a s b e e n s u c c e s s f u l l y u s e d i n a p r o j e c t o n c o n t o u r - e d g e - b a s e d p o l y h e d r o n v i -

s u a l i z a t i o n , w h e r e w e t a k e a d v a n t a g e o f t h e s t r i c t p r o p e r t i e s i m p o s e d b y t h e

d e n i t i o n s : F o r e x a m p l e t h e d e n i t i o n f o r c o n t o u r - e d g e s i s b a s e d o n t h e o r i -

e n t a b l e 2 - m a n i f o l d p r o p e r t y , a n d t h e l a c k o f h o l e s i n f a c e t s s i m p l i e s o u r a l -

g o r i t h m s 1 7 ] . A n i n i t i a l i m p l e m e n t a t i o n o f t h e d a t a s t r u c t u r e m a d e i t e a s y t o

c o m p u t e t h e s i l h o u e t t e f o r a p o l y h e d r a l s u r f a c e 1 5 ] . T h e e x t e n s i o n o f t h i s d a t a

s t r u c t u r e d e s i g n a n d t h e i r a d v a n t a g e s a r e p r e s e n t e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s .

I n v i s u a l i z a t i o n , a p o l y h e d r o n i s u s u a l l y r e p r e s e n t e d a s a s o - c a l l e d i n d e x e d

f a c e t s e t , w h i c h i s a s e q u e n c e o f p o i n t s , f o l l o w e d b y a s e q u e n c e o f f a c e t s .

E a c h f a c e t i s a l i s t o f i n d i c e s r e f e r r i n g t o t h e s e q u e n c e o f p o i n t s . S h a r e d e d g e s

m u s t b e d e r i v e d i m p l i c i t l y f r o m t h e p o i n t s s h a r e d b y f a c e t s . E x a m p l e s a r e

t h e i n t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n a s w e l l a s t h e l e f o r m a t s o f V R M L 1 3 ] , O p e n

I n v e n t o r 3 6 ] o r t h e O b j e c t F i l e F o r m a t O F F u s e d b y G e o m V i e w 2 9 ] . T h e s e

f o r m a t s w e r e n o t s t r i c t e n o u g h f o r o u r p u r p o s e s s i n c e t h e y c a n r e p r e s e n t n o n -

m a n i f o l d s , n o n - o r i e n t a b l e 2 - m a n i f o l d s , a n d m a y a l s o v i o l a t e c o n d i t i o n ( 3 ) o f a

p o l y h e d r a l c o m p l e x . H o w e v e r , t h e y c a n n o t r e p r e s e n t h o l e s i n f a c e t s .

5

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PVT

NVT

N FA C E

P FA C E

N C W

N C C W

P C W P C

C W

F i g . 3 . W i n g e d - e d g e .

3 D a t a S t r u c t u r e s f o r B o u n d a r y R e p r e s e n t a t i o n s

T h e f o l l o w i n g s u r v e y o f e d g e - b a s e d d a t a s t r u c t u r e s a d d r e s s e s t h e i r s u c i e n c y

f o r m o d e l i n g t o p o l o g y a n d t h e e c i e n c y o f t h e i r p r i m i t i v e o p e r a t i o n s a n d

s t o r a g e c o s t s . T h e r e p r e s e n t a t i v e e x a m p l e c h o s e n i s t h e t r a v e r s a l a r o u n d a

v e r t e x f r o m o n e e d g e t o t h e n e x t e d g e i n c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n .

W i n g e d - E d g e D a t a S t r u c t u r e . T h e w i n g e d - e d g e d a t a s t r u c t u r e 1 , 1 1 ]

s t o r e s , f o r e a c h o r i e n t e d e d g e , e i g h t r e f e r e n c e s : t w o v e r t i c e s ( P V T , N V T ) , t w o

f a c e s ( P F A C E , N F A C E ) a n d f o u r i n c i d e n t e d g e s t h a t s h a r e t h e s a m e f a c e s a n d

v e r t i c e s ( P C W , P C C W , N C W a n d N C C W ) , t h e s o - c a l l e d w i n g s , s e e F i g u r e 3 .

A n e d g e i s o r i e n t e d f r o m t h e s o u r c e v e r t e x P V T t o t h e t a r g e t v e r t e x N V T .

T h e f a c e P F A C E i s t o t h e l e f t o f t h e o r i e n t e d e d g e w h e n t h e s u r f a c e i s s e e n

f r o m t h e o u t s i d e .

T h i s d a t a s t r u c t u r e i s a b l e t o m o d e l o r i e n t a b l e 2 - m a n i f o l d s . I t i s e v e n s u c i e n t

f o r c u r v e d - s u r f a c e e n v i r o n m e n t s w h e r e l o o p s a n d m u l t i - e d g e s a r e a l l o w e d 3 5 ] .

T h e b a s i c o p e r a t i o n s i n c l u d e t r a v e r s a l a r o u n d a v e r t e x a n d a r o u n d a f a c e t .

H i g h - l e v e l o p e r a t i o n s m a i n t a i n i n g i n t e g r i t y a r e E u l e r o p e r a t o r s . T h e n e x t e d g e

c o u n t e r c l o c k w i s e a r o u n d a v e r t e x v f o r a n e d g e e i s e q u a l t o e - > P C W i f e - > P V T

= = v a n d e - > N C W o t h e r w i s e .

V a r i a n t s a r e p o s s i b l e w h e r e v e r t e x a n d f a c e t p o i n t e r s c a n e v e n b e o m i t t e d

w i t h o u t l o s i n g t h e t r a v e r s a l c a p a b i l i t i e s i f t h e p r e v i o u s l y v i s i t e d e d g e i s k n o w n .

H o w e v e r , i f l o o p s o r m u l t i - e d g e s a r e a l l o w e d a l l f o u r e d g e p o i n t e r s m u s t r e m a i n .

O t h e r w i s e t h e t r a v e r s a l a r o u n d a v e r t e x o r a r o u n d a f a c e t i s n o l o n g e r u n i q u e l y

d e n e d 3 5 ] . T h e w i n g e d - e d g e d a t a s t r u c t u r e w h e r e t h e w i n g s P C C W a n d

N C C W a r e o m i t t e d h a s b e e n c a l l e d D o u b l y C o n n e c t e d E d g e L i s t ( D C E L )

b y 2 3 ] , t h o u g h t h i s n a m e i s n o w m o r e c o m m o n l y u s e d f o r t h e h a l f e d g e d a t a

s t r u c t u r e 6 ] .

3

3

I n o r d e r t o a v o i d c o n f u s i o n w e w i l l n o t u s e t h e n a m e D C E L s i n c e i t t u r n e d o u t

t o b e a m b i g u o u s . I n f a c t , t h e n a m e i s m i s l e a d i n g w h e n d e n o t i n g h a l f e d g e s a n d t h e

p o s s i b l e v a r i a n t s o f s i n g l e l i n k i n g .

6

7/27/2019 10.1.1.30.4116


o p pos i te

ccwcw

facet

vertex ha l fedge

F i g . 4 . F E - s t r u c t u r e .

ccw

cw

facet

vertex ha l fedge

o p pos i te

F i g . 5 . V E - s t r u c t u r e .

T h e t w o s y m m e t r i c p a r t s i n t h e w i n g e d - e d g e c o r r e s p o n d t o t h e t w o p o s s i b l e

o r i e n t a t i o n s o f t h e e d g e . T h e i n e c i e n t c a s e d i s t i n c t i o n i n t h e t r a v e r s a l c o m -

p u t a t i o n r e s u l t s f r o m t h e f a c t t h a t a p o i n t e r t o a n e d g e d o e s n o t e n c o d e t h e

o r i e n t a t i o n i t i s c u r r e n t l y u s e d w i t h . O n e e x t e n s i o n o f t h e w i n g e d - e d g e m a i n -

t a i n s a n a d d i t i o n a l b i t w i t h e a c h e d g e - p o i n t e r t o c o d e t h e o r i e n t a t i o n , b u t t h i s

c a n l e a d t o c u m b e r s o m e s t o r a g e l a y o u t s a n d f u n c t i o n i n t e r f a c e s .

H a l f e d g e D a t a S t r u c t u r e . T h e o r i e n t a t i o n p r o b l e m c a n b e s o l v e d f o r t h e

w i n g e d - e d g e d a t a s t r u c t u r e b y s p l i t t i n g t h e e d g e i n t o t w o s y m m e t r i c r e c o r d s ,

c a l l e d h a l f e d g e s , a n d a d d i n g m u t u a l l i n k s t o e a c h o t h e r 3 5 ] . T h e r e a r e t w o

w a y s o f s p l i t t i n g t h e e d g e : E i t h e r t h e e d g e i s s p l i t a l o n g t h e f a c e t s , s u c h t h a t

t h e o r i e n t e d h a l f e d g e s b e l o n g t o t h e t w o f a c e t s i n c i d e n t t o t h i s e d g e , s e e F i g -

u r e 4 , o r i t i s s p l i t i n t o t w o h a l f e d g e s b e l o n g i n g t o t h e t w o v e r t i c e s i n c i d e n t

t o t h i s e d g e , s e e F i g u r e 5 . T h e s e t w o v a r i a n t s a r e a c t u a l l y d u a l t o e a c h o t h e r

c o n s i d e r i n g t h e u s u a l n o t i o n o f d u a l i t y f o r g r a p h s , w h e r e v e r t e x a n d f a c e t a r e

d u a l t o e a c h o t h e r a n d t h e d u a l o f a n e d g e i s a n e d g e w i t h t h e t w o i n c i d e n t

f a c e t s a s i t s e n d p o i n t s .

I n b o t h s p l i t t i n g v a r i a n t s a h a l f e d g e c o n t a i n s a p o i n t e r t o a n i n c i d e n t v e r -

t e x , a n i n c i d e n t f a c e t , a n d t h e o p p o s i t e h a l f e d g e . I t i s a m a t t e r o f c o n v e n t i o n

w h e t h e r t h e s o u r c e o r t a r g e t v e r t e x i s t h e o n e c h o s e n t o b e s t o r e d i n a h a l f e d g e

o r w h e t h e r t h e f a c e t t o t h e l e f t o r t h e r i g h t i s s t o r e d . I n 3 5 ] t h e s o u r c e v e r t e x

a n d t h e f a c e t t o t h e r i g h t w e r e c h o s e n . T h e F E - s t r u c t u r e i n F i g u r e 4 a d d i t i o n -

a l l y s t o r e s a p o i n t e r t o t h e n e x t c l o c k w i s e h a l f e d g e a n d o p t i o n a l l y a p o i n t e r

t o t h e p r e v i o u s c o u n t e r c l o c k w i s e h a l f e d g e a r o u n d t h e f a c e t . I t i s t h e r e f o r e b i -

a s e d t o w a r d s t r a v e r s a l s a r o u n d t h e i n c i d e n t f a c e t . T h e d u a l V E - s t r u c t u r e i s

7

7/27/2019 10.1.1.30.4116


e[0]

e[1]

e[2]

e[3]vertex

facet

vertex

facet

F i g . 6 . Q u a d - e d g e d a t a s t r u c t u r e .

d e p i c t e d i n F i g u r e 5 . I t s n e x t a n d o p t i o n a l p r e v i o u s p o i n t e r r e f e r t o h a l f e d g e s

c o u n t e r c l o c k w i s e a n d c l o c k w i s e a r o u n d t h e i n c i d e n t v e r t e x . T h e t r a v e r s a l o p -

e r a t i o n t h a t i s n o t d i r e c t l y a c c e s s i b l e w i t h a s i n g l e p o i n t e r a c c e s s i s a v a i l a b l e

t h r o u g h t h e o p p o s i t e h a l f e d g e . F o r e x a m p l e t h e n e x t h a l f e d g e a r o u n d t h e i n c i -

d e n t s o u r c e v e r t e x f o r t h e F E - s t r u c t u r e i s o p p o s i t e ( ) - > n e x t ( ) . T h e d i e r e n t

c o n v e n t i o n s a r e n o t i n d e p e n d e n t . I f t h e c o n v e n t i o n d e n e s t h e h a l f e d g e o r d e r

a r o u n d a f a c e t t o b e c l o c k w i s e , t h e h a l f e d g e o r d e r a r o u n d t h e v e r t e x w i l l b e

c o u n t e r c l o c k w i s e , a n d v i c e v e r s a .

T h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e i s a b l e t o m o d e l o r i e n t a b l e 2 - m a n i f o l d s . I t i s s u f -

c i e n t f o r m o d e l i n g t o p o l o g y e v e n i n t h e p r e s e n c e o f l o o p s a n d m u l t i - e d g e s ,

w h i c h c a n o c c u r i n c u r v e d - s u r f a c e e n v i r o n m e n t s 3 5 ] . H i g h - l e v e l o p e r a t i o n s

m a i n t a i n i n g i n t e g r i t y a r e a g a i n E u l e r o p e r a t o r s . T h e s o l i d m o d e l i n g s y s t e m

G W B 2 0 ] i s b a s e d o n a h a l f e d g e - d a t a s t r u c t u r e , t h o u g h i t u s e s a n a d d i t i o n a l

e d g e r e c o r d b e t w e e n t w o o p p o s i t e h a l f e d g e s , w h i c h m a k e s t h i s a c c e s s l e s s e f -

c i e n t . T h e M i n i m a l R e n d e r i n g T o o l M R T 2 ] u s e s a h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e

f o r p o l y g o n a l s u r f a c e s .

Q u a d - E d g e D a t a S t r u c t u r e . S i m i l a r t o t h e i d e a f o r h a l f e d g e s , e a c h e d g e

i s s p l i t i n t o f o u r q u a d - e d g e s t o o b t a i n t h e q u a d - e d g e d a t a s t r u c t u r e 1 2 ] . I t

p r o v i d e s a f u l l y s y m m e t r i c v i e w o n t h e p r i m a l a n d t h e d u a l g r a p h , a s c a n b e

s e e n i n F i g u r e 6 . I n s t e a d o f u s i n g o p p o s i t e p o i n t e r s , a t w o b i t c o u n t e r r i s u s e d

t o a d d r e s s a s l o t i n a n e d g e r e c o r d e o f f o u r q u a d - e d g e s . T h i s d a t a s t r u c t u r e

i s a b l e t o m o d e l n o n - o r i e n t a b l e 2 - m a n i f o l d s w i t h a n a d d i t i o n a l b i t f d e n o t i n g

t h e i p p e d s t a t u s p e r e d g e .

A q u a d - e d g e d a t a s t r u c t u r e i s f o r m a l l y d e n e d a s a n e d g e a l g e b r a w i t h t h r e e

o p e r a t i o n s : O n e x t ( ) , R o t ( ) a n d F l i p ( ) . A q u a d - e d g e i s r e p r e s e n t e d a s a t r i p l e

( e ; r ; f ) w i t h e a r e c o r d o f f o u r q u a d - e d g e s e 0 ] t o e 3 ] i n c i d e n t t o t h e c u r r e n t

e d g e , r 2 f 0 ; 1 ; 2 ; 3 g a n d f 2 f 0 ; 1 g . T h e o p e r a t i o n s a r e i m p l e m e n t e d w i t h a

c a l c u l u s m o d u l u s 4 f o r r a n d m o d u l u s 2 f o r f a s f o l l o w s :

8

7/27/2019 10.1.1.30.4116


T a b l e 1

C o m p a r i s o n o f t h e e d g e - b a s e d d a t a s t r u c t u r e s .

W i n g e d - E d g e H a l f - E d g e Q u a d - E d g e

M o d e l i n g s p a c e o r i e n t a b l e 2 - m a n i f o l d 2 - m a n i f o l d

O p e r a t i o n s E u l e r o p e r a t o r S p l i c e ( )

D u a l i t y a d a p t o r a t c o m p i l e t i m e R o t ( ) a t r u n t i m e

H o l e s i n f a c e t s y e s y e s n o

B a s i c t r a v e r s a l c a s e d i s t i n c t i o n d i r e c t a c c e s s m o d o p e r a t i o n

M i n s i z e p e r e d g e 4 p t r 4 p t r 2 p t r + 2 b i t s

M a x s i z e p e r e d g e 8 p t r 1 0 p t r 8 p t r + 1 2 b i t s

R o t ( e ; r ; f ) = ( e ; r + 1 + 2 f ; f ) ;

F l i p ( e ; r ; f ) = ( e ; r ; f + 1 ) ;

O n e x t ( e ; r ; f ) = e r ] i f f = 0 , o r F l i p ( R o t ( e r + 1 ] ) ) i f f = 1 :

F o u r d i e r e n t o r i e n t a t i o n s o f a n e d g e a r e c o n s i d e r e d : t w o o r i e n t a t i o n s f r o m

v e r t e x t o v e r t e x a n d t w o o r i e n t a t i o n s f o r t h e d u a l e d g e f r o m f a c e t t o f a c e t . T h e

R o t o p e r a t o r r o t a t e s t h e e d g e b y 9 0 d e g r e e s , o s c i l l a t i n g b e t w e e n t h e p r i m a l

a n d t h e d u a l v i e w o f t h e s t r u c t u r e . F o r n o n - o r i e n t a b l e 2 - m a n i f o l d s a n e d g e

c a n a d d i t i o n a l l y b e s e e n f r o m a b o v e o r b e l o w t h e s u r f a c e , w h i c h i s e n c o d e d

i n t h e f b i t . T h e F l i p o p e r a t i o n c h a n g e s t h e v i e w f r o m a b o v e t o b e l o w o r

v i c e v e r s a . T h e O n e x t o p e r a t i o n g i v e s t h e n e x t q u a d - e d g e i n c o u n t e r c l o c k w i s e

o r d e r a r o u n d t h e s o u r c e v e r t e x ( o r i g i n ) , o r t h e n e x t q u a d - e d g e i n c l o c k w i s e

o r d e r i f f i s e q u a l t o o n e . T h e v a l u e s f o r O n e x t a r e s i m p l y s t o r e d i n t h e

r e c o r d f o r e a c h e d g e ( i . e . f o u r p o i n t e r s a n d f o u r t i m e s t h r e e b i t s f o r r a n d f ) .

T h e o p e r a t i o n s s i m p l i f y c o n s i d e r a b l y f o r o r i e n t a b l e 2 - m a n i f o l d s . T h e y c a n b e

f u r t h e r s i m p l i e d i f t h e d u a l g r a p h i s n o t n e e d e d . T h e r e s u l t w o u l d b e t h e

w i n g e d - e d g e d a t a s t r u c t u r e e n r i c h e d w i t h a b i t t o e n c o d e o r i e n t a t i o n .

T h e s i n g l e h i g h - l e v e l o p e r a t i o n t h a t m o d i e s a q u a d - e d g e d a t a s t r u c t u r e i s

t h e S p l i c e ( ) o p e r a t i o n . I t i s i t s o w n d u a l . T h e u s u a l E u l e r o p e r a t o r s c a n b e

i m p l e m e n t e d i n t e r m s o f S p l i c e ( ) . T h e q u a d - e d g e d a t a s t r u c t u r e p r o v i d e s

a u n i e d v i e w f o r t h e p r i m a l a n d d u a l g r a p h . T h i s i m p l i e s t h a t v e r t i c e s a n d

f a c e t s c a n n o t b e d i s t i n g u i s h e d w i t h s t r o n g t y p e c h e c k i n g a t c o m p i l e t i m e . T h e

d e n i t i o n u s e d f o r d u a l i t y i m p l i e s , f u r t h e r m o r e , t h a t t h e f a c e t s m u s t h a v e

a s i n g l e c o n n e c t e d b o u n d a r y . H o l e s i n f a c e t s a r e n o t a l l o w e d . I f s t r o n g t y p e

c h e c k i n g i s d e s i r e d , t h e S p l i c e ( ) o p e r a t i o n i s n e e d e d t w i c e , o n c e f o r t h e p r i -

m a l v i e w a n d o n c e f o r t h e d u a l v i e w . S p l i c e ( ) c a n a l s o b e p r o v i d e d f o r t h e

h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e .

9

7/27/2019 10.1.1.30.4116


incident vertexo p pos i te ha l f

edge

ha l fedge

incident facet

previoushalfedge

next

halfedge

F i g . 7 . H a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e .

C o m p a r i s o n o f E d g e - B a s e d R e p r e s e n t a t i o n s . T h e m a i n d i e r e n c e s o f

t h e s e e d g e r e p r e s e n t a t i o n s a r e c a p t u r e d i n T a b l e 1 . T h e d i e r e n c e s i n t h e b a s i c

t r a v e r s a l c a p a b i l i t i e s a r e n o t n e g l i g i b l e , e s p e c i a l l y w h e n c o n s i d e r i n g m o d e r n

m i c r o p r o c e s s o r a r c h i t e c t u r e s w h e r e c o n d i t i o n a l b r a n c h i n g c a n b e s l o w e r t h a n

c o m p u t i n g b y a n o r d e r o f m a g n i t u d e . T h e s t o r a g e s i z e r e q u i r e m e n t s a r e q u i t e

s i m i l a r . O u r d e s i g n w i l l f o c u s o n t h e e x i b i l i t y o f t r a d i n g r u n t i m e a g a i n s t

s t o r a g e c o s t s . W e a r e i n t e r e s t e d i n t h e m i n i m a l a n d m a x i m a l c o n g u r a t i o n s

f o r t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e a n d t h e s p a c e e c i e n c y o f t h e q u a d - e d g e d a t a

s t r u c t u r e . A n o t h e r i s s u e i s t h e p r e f e r e n c e f o r s t r o n g t y p e c h e c k i n g a t c o m -

p i l e t i m e . P o l y h e d r a l s u r f a c e s h a v e d i e r e n t i n f o r m a t i o n s t o r e d i n t h e v e r t i c e s

a n d f a c e t s , n a m e l y p o i n t s a n d p l a n e e q u a t i o n s . T h e s e c a n b e t r e a t e d a s d u a l s

o f e a c h o t h e r , b u t i n a s t r o n g l y - t y p e d g e o m e t r y k e r n e l ( l i k e t h e o n e C g a l

p r o v i d e s ) t h e y a r e d i e r e n t t y p e s a n d m i g h t e v e n b e r e p r e s e n t e d d i e r e n t l y .

A d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n , l i k e c o l o r , w i l l n a l l y d e s t r o y t h e t y p e l e s s s y m m e t r y

o f t h e d u a l i t y a s s u m e d b y t h e q u a d - e d g e s . H o l e s i n f a c e t s c a n b e m o d e l e d w i t h

t h e w i n g e d - e d g e a n d t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e , b u t o n l y w i t h t h e i m p l i c a -

t i o n t h a t t h e v e r t e x - e d g e g r a p h c a n b e d i s c o n n e c t e d f o r c o n n e c t e d s u r f a c e s .

F u r t h e r m o r e , t h e d u a l f a c e t - e d g e g r a p h i s a l s o a 2 - m a n i f o l d i f t h e r e a r e n o

h o l e s i n f a c e t s . W e n e g l e c t n o n - o r i e n t a b l e 2 - m a n i f o l d s , f o r e x a m p l e t h e t h r e e -

d i m e n s i o n a l s u r f a c e o f a s o l i d p h y s i c a l o b j e c t i s a l w a y s o r i e n t a b l e . W i t h r e -

s p e c t t o a l i b r a r y d e s i g n , w e w o u l d r e f e r t o a m o r e g e n e r a l n o n - m a n i f o l d d a t a

s t r u c t u r e t o m o d e l n o n - o r i e n t a b l e 2 - m a n i f o l d s .

W e h a v e c h o s e n a h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e c o m p a r a b l e t o t h e F E - s t r u c t u r e .

T h e c o n v e n t i o n s u s e d a r e d e p i c t e d i n F i g u r e 7 . W e h a v e n e x t ( ) , o p p o s i t e ( )

a n d p r e v ( ) p o i n t e r s f o r t h e h a l f e d g e s . T h e i n c i d e n t v e r t e x i s t h e t a r g e t v e r -

t e x o f t h e o r i e n t e d h a l f e d g e . T h e i n c i d e n t f a c e t i s t o t h e l e f t o f t h e h a l f e d g e

w h i c h i m p l i e s a c o u n t e r c l o c k w i s e o r d e r i n g o f t h e h a l f e d g e s a r o u n d t h e f a c e t

a n d a c l o c k w i s e o r d e r i n g a r o u n d t h e v e r t e x w h e n s e e n f r o m t h e o u t s i d e . T h i s

c o m p l i e s w i t h t h e r i g h t - h a n d r u l e f o r o u t - f a c i n g n o r m a l s o f p l a n e e q u a t i o n s

f o r f a c e t s .

1 0

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4 G e n e r i c a n d O b j e c t - O r i e n t e d P r o g r a m m i n g

T h e m a j o r d e s i g n i s s u e s c o n s i d e r e d f o r p o l y h e d r a l s u r f a c e s a r e e x i b i l i t y , t i m e

e c i e n c y , s p a c e e c i e n c y a n d e a s e - o f - u s e . T o r e a l i z e g e n e r i c a n d e x i b l e d e -

s i g n s , b a s i c a l l y t w o p a r a d i g m s a r e a v a i l a b l e : O b j e c t - o r i e n t e d p r o g r a m m i n g a n d

g e n e r i c p r o g r a m m i n g . B o t h a r e a v a i l a b l e i n C

+ +

: O b j e c t - o r i e n t e d p r o g r a m -

m i n g , u s i n g i n h e r i t a n c e f r o m b a s e c l a s s e s w i t h v i r t u a l m e m b e r f u n c t i o n s , a n d

g e n e r i c p r o g r a m m i n g , u s i n g c l a s s t e m p l a t e s a n d f u n c t i o n t e m p l a t e s . O b j e c t -

o r i e n t e d p r o g r a m m i n g i s a l s o k n o w n i n S m a l l t a l k , E i e l a n d J a v a , g e n e r i c

p r o g r a m m i n g i n A d a a n d G e n e r i c J a v a , t o n a m e a f e w e x a m p l e s . W e s t i c k

w i t h t h e n o t i o n u s e d i n C

+ +

, w h i c h i s t h e c h o i c e m a d e f o r C g a l .

T h e e x i b i l i t y i n t h e o b j e c t - o r i e n t e d p r o g r a m m i n g p a r a d i g m i s a c h i e v e d w i t h

a b a s e c l a s s , w h i c h d e n e s a n i n t e r f a c e , a n d d e r i v e d c l a s s e s t h a t i m p l e m e n t

t h i s i n t e r f a c e . G e n e r i c f u n c t i o n a l i t y c a n b e p r o g r a m m e d i n t e r m s o f t h e b a s e

c l a s s a n d a u s e r c a n s e l e c t a n y o f t h e d e r i v e d c l a s s e s w h e r e v e r t h e b a s e c l a s s

i s r e q u i r e d . T h e a c t u a l l y u s e d c l a s s e s m a y e v e n b e d e t e r m i n e d a t r u n t i m e

a n d t h e g e n e r i c f u n c t i o n a l i t y c a n b e i m p l e m e n t e d w i t h o u t k n o w i n g a l l d e r i v e d

c l a s s e s b e f o r e h a n d . I n C

+ +

s o - c a l l e d v i r t u a l m e m b e r f u n c t i o n s a n d r u n t i m e

t y p e i n f o r m a t i o n s u p p o r t t h i s p a r a d i g m . T h e b a s e c l a s s i s u s u a l l y a p u r e

v i r t u a l b a s e c l a s s .

T h e a d v a n t a g e s a r e t h e e x p l i c i t d e n i t i o n o f t h e i n t e r f a c e a n d t h e r u n t i m e

e x i b i l i t y . T h e r e a r e f o u r m a i n d i s a d v a n t a g e s : T h i s p a r a d i g m c a n n o t p r o v i d e

s t r o n g t y p e c h e c k i n g a t c o m p i l e t i m e w h e n e v e r d y n a m i c c a s t s a r e u s e d , w h i c h

i s n e c e s s a r y i n C

+ +

t o a c h i e v e t h e e x i b i l i t y . T h i s p a r a d i g m e n f o r c e s t i g h t c o u -

p l i n g t h r o u g h t h e i n h e r i t a n c e r e l a t i o n s h i p 1 8 ] , i t r e q u i r e s a d d i t i o n a l m e m o r y

f o r e a c h o b j e c t ( i n C

+ +

t h e s o - c a l l e d v i r t u a l f u n c t i o n t a b l e p o i n t e r ) a n d i t

a d d s f o r e a c h c a l l t o a v i r t u a l m e m b e r f u n c t i o n a n i n d i r e c t i o n t h r o u g h t h e

v i r t u a l f u n c t i o n t a b l e 1 9 ] . T h e l a t t e r o n e i s o f p a r t i c u l a r i n t e r e s t w h e n c o n -

s i d e r i n g r u n t i m e p e r f o r m a n c e s i n c e v i r t u a l m e m b e r f u n c t i o n s c a n u s u a l l y n o t

b e m a d e i n l i n e a n d a r e t h e r e f o r e n o t s u b j e c t t o c o d e o p t i m i z a t i o n w i t h i n t h e

c a l l i n g f u n c t i o n

4

. M o d e r n m i c r o p r o c e s s o r a r c h i t e c t u r e s c a n o p t i m i z e a t r u n -

t i m e , b u t , b e s i d e s t h a t r u n t i m e p r e d i c t i o n s a r e d i c u l t , t h e s e m e c h a n i s m s a r e

m o r e l i k e l y t o f a i l f o r v i r t u a l m e m b e r f u n c t i o n s . T h e s e e e c t s a r e n e g l i g i b l e

f o r l a r g e r f u n c t i o n s , b u t s m a l l f u n c t i o n s w i l l s u e r a l o s s i n r u n t i m e o f o n e o r

t w o o r d e r s o f m a g n i t u d e . S i g n i c a n t e x a m p l e s a r e t h e a c c e s s o f p o i n t c o o r d i -

4

T h e r e a r e n o t a b l e e x c e p t i o n s w h e r e t h e c o m p i l e r c a n d e d u c e f o r a v i r t u a l m e m b e r

f u n c t i o n t h e a c t u a l m e m b e r f u n c t i o n t h a t i s c a l l e d , w h i c h a l l o w s t h e c o m p i l e r t o

o p t i m i z e t h i s c a l l . T h e k e y w o r d f i n a l h a s b e e n i n t r o d u c e d i n J a v a t o s u p p o r t t h i s

i n t e n t i o n . H o w e v e r , t h e s e t e c h n i q u e s a r e n o t r e a l i z e d i n C

+ +

c o m p i l e r s s o f a r a n d

t h e y c a n n o t s u c c e e d i n a l l c a s e s , t h o u g h i t i s a r g u a b l e t h a t t y p i c a l u s e s o f C g a l

c a n b e o p t i m i z e d . H o w e v e r , d i s t r i b u t i n g t h e l i b r a r y i n p r e c o m p i l e d c o m p o n e n t s w i l l

h i n d e r t h e i r o p t i m i z a t i o n , w h i c h m u s t b e d o n e a t l i n k t i m e .

1 1

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n a t e s a n d a r i t h m e t i c f o r l o w - d i m e n s i o n a l g e o m e t r i c o b j e c t s , s e e f o r e x a m p l e

t h e c a s e s t u d y 3 0 ] , a n d t r a v e r s a l s o f c o m b i n a t o r i a l s t r u c t u r e s . V e r t i c e s , e d g e s

a n d f a c e t s f o r p o l y h e d r a a r e a n t i c i p a t e d t o b e s m a l l o b j e c t s w i t h s i m p l e m e m -

b e r f u n c t i o n s . T h e s p a c e a n d r u n t i m e o v e r h e a d i n t r o d u c e d t h r o u g h v i r t u a l

m e m b e r f u n c t i o n s w i l l n o t b e n e g l i g i b l e .

T h e g e n e r i c p r o g r a m m i n g p a r a d i g m f e a t u r e s w h a t i s k n o w n i n C

+ +

a s c l a s s

t e m p l a t e s a n d f u n c t i o n t e m p l a t e s . T e m p l a t e s a r e i n c o m p l e t e l y s p e c i e d c o m -

p o n e n t s i n w h i c h a f e w t y p e s a r e l e f t o p e n a n d r e p r e s e n t e d b y f o r m a l p l a c e -

h o l d e r s , t h e t e m p l a t e a r g u m e n t s . T h e c o m p i l e r g e n e r a t e s a s e p a r a t e t r a n s l a t i o n

o f t h e c o m p o n e n t w i t h a c t u a l t y p e s r e p l a c i n g t h e f o r m a l p l a c e h o l d e r s w h e r -

e v e r t h i s t e m p l a t e i s u s e d . T h i s p r o c e s s i s c a l l e d t e m p l a t e i n s t a n t i a t i o n . T h e

a c t u a l t y p e s f o r a f u n c t i o n t e m p l a t e a r e i m p l i c i t l y g i v e n b y t h e t y p e s o f t h e

f u n c t i o n a r g u m e n t s a t i n s t a n t i a t i o n t i m e . A n e x a m p l e i s a s w a p f u n c t i o n t h a t

e x c h a n g e s t h e v a l u e o f t w o v a r i a b l e s o f a r b i t r a r y t y p e s . T h e a c t u a l t y p e s f o r

a c l a s s t e m p l a t e a r e e x p l i c i t l y p r o v i d e d b y t h e p r o g r a m m e r . A n e x a m p l e i s

a g e n e r i c l i s t c l a s s f o r a r b i t r a r y i t e m t y p e s . T h e f o l l o w i n g d e n i t i o n s w o u l d

e n a b l e u s t o u s e l i s t < i n t > , w i t h t h e a c t u a l t y p e i n t g i v e n e x p l i c i t l y , f o r a

l i s t o f i n t e g e r s a n d t o s w a p t w o i n t e g e r v a r i a b l e s x a n d y w i t h t h e e x p r e s s i o n

s w a p ( x , y ) , w h e r e t h e a c t u a l t y p e i n t i s g i v e n i m p l i c i t l y .

t e m p l a t e < c l a s s T > c l a s s l i s t {

/ / . . . p l a c e h o l d e r T r e p r e s e n t s t h e i t e m t y p e s y m b o l i c a l l y .

} ;

t e m p l a t e < c l a s s T > v o i d s w a p ( T & a , T & b ) {

T t m p = a ; a = b ; b = t m p ;

}

T h e e x a m p l e o f t h e s w a p f u n c t i o n i l l u s t r a t e s t h a t a t e m p l a t e u s u a l l y r e q u i r e s

c e r t a i n p r o p e r t i e s o f t h e t e m p l a t e a r g u m e n t s , h e r e t h a t v a r i a b l e s o f t y p e T a r e

a s s i g n a b l e . A n a c t u a l t y p e u s e d i n t h e t e m p l a t e i n s t a n t i a t i o n m u s t c o m p l y

w i t h t h e s e a s s u m p t i o n s i n o r d e r t o o b t a i n a c o r r e c t t e m p l a t e i n s t a n t i a t i o n .

W e c a n d i s t i n g u i s h b e t w e e n s y n t a c t i c a l r e q u i r e m e n t s , t h e a s s i g n m e n t o p e r a t o r

i s n e e d e d i n o u r e x a m p l e , a n d s e m a n t i c a l r e q u i r e m e n t s , t h e o p e r a t o r s h o u l d

a c t u a l l y c o p y t h e v a l u e . I f t h e s y n t a c t i c a l r e q u i r e m e n t s a r e n o t f u l l l e d , c o m -

p i l a t i o n s i m p l y f a i l s . S e m a n t i c a l r e q u i r e m e n t s a r e n o t c h e c k a b l e a t c o m p i l e

t i m e . H o w e v e r , i t m i g h t b e u s e f u l t o c o n n e c t a s p e c i c s e m a n t i c a l r e q u i r e m e n t

t o a n a r t i c i a l , n e w l y i n t r o d u c e d s y n t a c t i c a l r e q u i r e m e n t , e . g . a t a g s i m i l a r t o

i t e r a t o r t a g s i n 3 3 ] . T h i s t e c h n i q u e a l l o w s d e c i s i o n s a t c o m p i l e t i m e b a s e d o n

t h e a c t u a l t y p e o f t h e s e t a g s .

T h e s e t o f r e q u i r e m e n t s t h a t i s n e e d e d t o o b t a i n a c o r r e c t i n s t a n t i a t i o n o f a

m e m b e r f u n c t i o n o f a c l a s s t e m p l a t e i s u s u a l l y o n l y a f r a c t i o n o f a l l r e q u i r e -

m e n t s f o r t h e t e m p l a t e a r g u m e n t s o f t h i s c l a s s t e m p l a t e . I f o n l y a s u b s e t o f

t h e m e m b e r f u n c t i o n s i s u s e d i n a n i n s t a n t i a t i o n o f a c l a s s t e m p l a t e , i t w o u l d

1 2

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b e s u c i e n t f o r t h e a c t u a l t y p e s t o f u l l l o n l y t h e r e q u i r e m e n t s n e e d e d f o r

t h i s s u b s e t o f m e m b e r f u n c t i o n s . T h i s i s p o s s i b l e i n C

+ +

s i n c e a s l o n g a s a

C

+ +

c o m p i l e r i s n o t e x p l i c i t l y f o r c e d , t h e c o m p i l e r i s n o t a l l o w e d t o i n s t a n t i a t e

m e m b e r f u n c t i o n s t h a t a r e n o t u s e d , a n d t h e r e f o r e p o s s i b l e c o m p i l a t i o n e r r o r s

d u e t o m i s s i n g f u n c t i o n a l i t y o f t h e a c t u a l t y p e s c a n n o t o c c u r 4 ] . T h i s e n a b l e s

u s t o d e s i g n c l a s s t e m p l a t e s w i t h o p t i o n a l f u n c t i o n a l i t y , w h i c h c a n b e u s e d

i f a n d o n l y i f t h e a c t u a l t y p e s u s e d i n t h e t e m p l a t e i n s t a n t i a t i o n f u l l l t h e

a d d i t i o n a l r e q u i r e m e n t s . A n e x a m p l e w o u l d b e t h e o p t i o n a l p r e v i o u s p o i n t e r

i n t h e h a l f e d g e o f t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e . T h e u s e r p r o v i d e s a n a c t u a l

h a l f e d g e t y p e a s a t e m p l a t e a r g u m e n t f o r t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e , w h i c h

i s a c l a s s t e m p l a t e . I f t h e h a l f e d g e p r o v i d e s a p r e v i o u s p o i n t e r , a b i d i r e c t i o n a l

a c c e s s a r o u n d a f a c e t o r a r o u n d a v e r t e x i s a v a i l a b l e i n t h e d a t a s t r u c t u r e , b u t

i f t h e p r e v i o u s p o i n t e r i s n o t p r o v i d e d , t h e a c c e s s w i l l o n l y b e u n i d i r e c t i o n a l .

A g o o d e x a m p l e i l l u s t r a t i n g g e n e r i c p r o g r a m m i n g i s t h e S t a n d a r d T e m p l a t e

L i b r a r y 4 , 2 4 , 3 1 ] . G e n e r a l i t y a n d e x i b i l i t y i s a c h i e v e d w i t h t h e c a r e f u l l y c h o -

s e n s e t o f c o n c e p t s , w h e r e a c o n c e p t i s a w e l l d e n e d s e t o f r e q u i r e m e n t s .

I n o u r s w a p - f u n c t i o n e x a m p l e , t h e a p p r o p r i a t e c o n c e p t i s n a m e d ` a s s i g n a b l e '

a n d i n c l u d e s t h e r e q u i r e m e n t o f a n a s s i g n m e n t o p e r a t o r 3 1 ] . I f a n a c t u a l t y p e

f u l l l s t h e r e q u i r e m e n t s o f a c o n c e p t , i t i s a m o d e l f o r t h i s c o n c e p t . I n o u r

e x a m p l e , i n t i s a m o d e l o f t h e c o n c e p t ` a s s i g n a b l e ' .

A l g o r i t h m i c a b s t r a c t i o n i s a k e y g o a l i n g e n e r i c p r o g r a m m i n g 2 5 , 2 6 ] . O n e

a s p e c t i s t o r e d u c e t h e i n t e r f a c e t o t h e d a t a t y p e s u s e d i n t h e a l g o r i t h m t o a

s e t o f s i m p l e a n d g e n e r a l c o n c e p t s . O n e o f t h e m i s t h e i t e r a t o r c o n c e p t , w h i c h

i s a n a b s t r a c t i o n o f p o i n t e r s . I t e r a t o r s s e r v e t w o p u r p o s e s : T h e y r e f e r t o a n

i t e m a n d t h e y t r a v e r s e o v e r t h e s e q u e n c e o f i t e m s t h a t a r e s t o r e d i n a d a t a

s t r u c t u r e , a l s o k n o w n a s c o n t a i n e r c l a s s i n S T L . F i v e d i e r e n t c a t e g o r i e s

a r e d e n e d f o r i t e r a t o r s : i n p u t , o u t p u t , f o r w a r d , b i d i r e c t i o n a l a n d r a n d o m -

a c c e s s i t e r a t o r s , a c c o r d i n g t o t h e d i e r e n t p o s s i b i l i t i e s o f a c c e s s i n g i t e m s i n

a c o n t a i n e r c l a s s . T h e u s u a l C - p o i n t e r r e f e r r i n g t o a C - a r r a y i s a m o d e l f o r

a r a n d o m - a c c e s s i t e r a t o r . G e n e r i c a l g o r i t h m s a r e n o t w r i t t e n f o r a p a r t i c u l a r

c o n t a i n e r c l a s s i n S T L , t h e y u s e i t e r a t o r s i n s t e a d . F o r e x a m p l e s e q u e n c e s o f

i t e m s a r e s p e c i e d b y t w o i t e r a t o r s f o r m i n g a r a n g e f i r s t , b e y o n d ) . T h i s

n o t i o n o f a h a l f - o p e n i n t e r v a l d e n o t e s t h e s e q u e n c e o f a l l i t e r a t o r s o b t a i n e d b y

s t a r t i n g w i t h f i r s t a n d a d v a n c i n g f i r s t u n t i l b e y o n d i s r e a c h e d , b u t d o e s

n o t i n c l u d e b e y o n d . A c o n t a i n e r c l a s s i s s u p p o s e d t o p r o v i d e a l o c a l t y p e ,

w h i c h i s a m o d e l o f a n i t e r a t o r , a n d t w o m e m b e r f u n c t i o n s : b e g i n ( ) r e t u r n s

t h e s t a r t i t e r a t o r o f t h e s e q u e n c e a n d e n d ( ) r e t u r n s t h e i t e r a t o r r e f e r r i n g t o

t h e ` p a s t - t h e - e n d ' - p o s i t i o n o f t h e s e q u e n c e . F o r e x a m p l e , a g e n e r i c c o n t a i n s

f u n c t i o n c a n b e w r i t t e n t o w o r k f o r a n y m o d e l o f a n i n p u t i t e r a t o r . I t r e t u r n s

t r u e i t h e v a l u e i s c o n t a i n e d i n t h e v a l u e s o f t h e r a n g e f i r s t , b e y o n d ) .

t e m p l a t e < c l a s s I n p u t I t e r a t o r , c l a s s T >

b o o l c o n t a i n s ( I n p u t I t e r a t o r f i r s t , I n p u t I t e r a t o r b e y o n d , c o n s t T & v a l u e ) {

1 3

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w h i l e ( ( f i r s t ! = b e y o n d ) & & ( * f i r s t ! = v a l u e ) )

+ + f i r s t ;

r e t u r n ( f i r s t ! = b e y o n d ) ;

}

T h e a d v a n t a g e s o f t h e g e n e r i c p r o g r a m m i n g p a r a d i g m a r e s t r o n g t y p e c h e c k -

i n g a t c o m p i l e t i m e d u r i n g t h e t e m p l a t e i n s t a n t i a t i o n , n o n e e d f o r e x t r a s t o r -

a g e o r a d d i t i o n a l i n d i r e c t i o n s d u r i n g f u n c t i o n c a l l s , a n d f u l l s u p p o r t o f i n l i n e

m e m b e r f u n c t i o n s a n d c o d e o p t i m i z a t i o n a t c o m p i l e t i m e 3 4 ] . O n e s p e c i c

d i s a d v a n t a g e o f g e n e r i c p r o g r a m m i n g i n C

+ +

i s t h e l a c k o f a n o t a t i o n i n C

+ +

t o d e c l a r e t h e s y n t a c t i c a l r e q u i r e m e n t s f o r a t e m p l a t e a r g u m e n t , t h e e q u i v a -

l e n t t o t h e v i r t u a l b a s e c l a s s i n t h e o b j e c t - o r i e n t e d p r o g r a m m i n g p a r a d i g m .

T h e s y n t a c t i c a l r e q u i r e m e n t s a r e s c a t t e r e d t h r o u g h o u t t h e i m p l e m e n t a t i o n o f

t h e t e m p l a t e . T h e c o n c i s e c o l l e c t i o n o f t h e r e q u i r e m e n t s i s l e f t f o r t h e p r o g r a m

d o c u m e n t a t i o n . I n g e n e r a l , t h e e x i b i l i t y i s r e s o l v e d a t c o m p i l e t i m e , w h i c h

g i v e s u s t h e a d v a n t a g e s m e n t i o n e d a b o v e , b u t i t c a n b e s e e n a s a d i s a d v a n t a g e

i f r u n t i m e e x i b i l i t y i s n e e d e d . H o w e v e r , t h e g e n e r i c d a t a s t r u c t u r e s a n d a l g o -

r i t h m s c a n b e p a r a m e t e r i z e d w i t h t h e b a s e c l a s s u s e d i n t h e o b j e c t - o r i e n t e d

p r o g r a m m i n g t o a c h i e v e t h e r u n t i m e e x i b i l i t y .

W e a p p l i e d m a i n l y t h e g e n e r i c p r o g r a m m i n g p a r a d i g m t o a c h i e v e e x i b i l i t y

a n d e c i e n c y i n C g a l . T h e c o m p l i a n c e w i t h S T L i s i m p o r t a n t f o r u s t o p r o -

m o t e t h e r e - u s e o f e x i s t i n g g e n e r i c a l g o r i t h m s a n d c o n t a i n e r c l a s s e s , a n d {

m o r e i m p o r t a n t { t o u n i f y t h e l o o k - a n d - f e e l o f t h e d e s i g n o f C g a l w i t h t h e

C

+ +

s t a n d a r d . C g a l i s t h e r e f o r e e a s y t o l e a r n a n d e a s y t o u s e f o r t h o s e w h o

a r e f a m i l i a r w i t h S T L . I n a f e w p l a c e s w e m a d e a l s o u s e o f t h e o b j e c t - o r i e n t e d

p r o g r a m m i n g p a r a d i g m , f o r e x a m p l e t h e p r o t e c t e d a c c e s s t o t h e i n t e r n a l r e p -

r e s e n t a t i o n o f a p o l y h e d r a l s u r f a c e , s e e S e c t i o n 1 0 .

5 D e s i g n G o a l s f o r P o l y h e d r a l S u r f a c e s

A p o l y h e d r o n c a n b e v i e w e d a s a c o n t a i n e r c l a s s m a n a g i n g t h e v e r t i c e s , h a l f -

e d g e s , a n d f a c e t s o f a p o l y h e d r a l s u r f a c e a n d m a i n t a i n i n g t h e i r c o m b i n a t o r i a l

s t r u c t u r e . T h e f o l l o w i n g d e s i g n i s s u e s w e r e t a k e n i n t o a c c o u n t f o r o u r d e s i g n :

( 1 ) T h e a c t u a l s t o r a g e o r g a n i z a t i o n o f t h e v e r t i c e s , e d g e s a n d f a c e t s i n u e n c e s

t h e s p a c e a n d r u n t i m e e c i e n c y . A d o u b l y - c o n n e c t e d l i s t r e p r e s e n t a t i o n

a l l o w s r a n d o m i n s e r t i o n a n d r e m o v a l w h i l e p r o v i d i n g b i d i r e c t i o n a l i t e r a -

t o r s t o e n u m e r a t e a l l i t e m s . A m o r e s p a c e e c i e n t s t o r a g e u s e s a n S T L

v e c t o r , w h i c h a l l o w s o n l y t h e e c i e n t r e m o v a l o f i t e m s a t t h e e n d o f t h e

v e c t o r , b u t p r o v i d e s r a n d o m - a c c e s s i t e r a t o r s . O t h e r v a r i a n t s a r e p o s s i b l e ,

s u c h a s m a n a g i n g c h u n k s o f m e m o r y o r s i m p l e a l l o c a t i o n o n t h e h e a p

w i t h o u t a n y i t e r a t o r s .

1 4

7/27/2019 10.1.1.30.4116


( 2 ) T h e n e c e s s a r y i n c i d e n c e r e l a t i o n s m i g h t d e p e n d o n t h e a p p l i c a t i o n . I n

o r d e r t o k e e p t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e c o n n e c t e d , w e n e e d a t l e a s t a

n e x t ( ) a n d a n o p p o s i t e ( ) p o i n t e r p e r h a l f e d g e . T h e o t h e r i n c i d e n c e s a r e

o p t i o n a l . F o r e x a m p l e t h e p r e v ( ) p o i n t e r c a n b e s i m u l a t e d w i t h a s e a r c h

a r o u n d t h e v e r t e x o r a r o u n d t h e f a c e t i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n . F o r t r i -

a n g u l a t i o n s t h i s i s a s i m p l e e x p r e s s i o n , i . e . p r e v ( ) n e x t ( ) - > n e x t ( ) .

A s s u m i n g a c o n s t a n t d e g r e e a t v e r t i c e s o r a c o n s t a n t n u m b e r o f e d g e s f o r

f a c e t s , i t i s s t i l l a c o n s t a n t t i m e o p e r a t i o n . I f n o i n f o r m a t i o n n e e d s t o b e

a t t a c h e d t o v e r t i c e s o r f a c e t s , n o s t o r a g e s h o u l d b e a l l o c a t e d f o r t h e m ,

e v e n t h e r e f e r e n c i n g p o i n t e r s i n t h e h a l f e d g e s h o u l d b e o m i t t e d . I n t h e

l i m i t t h e d a t a s t r u c t u r e r e d u c e s t o a n u n d i r e c t e d g r a p h s t r u c t u r e .

( 3 ) I t s h o u l d b e e a s y f o r a u s e r t o a d d a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n t o t h e d i e r e n t

i t e m s , e . g . c o l o r t o f a c e t s . G e o m e t r y w i l l b e a t t a c h e d u s i n g t h e s a m e

t e c h n i q u e . R e d e n i n g o n e i t e m s h o u l d n o t h i n d e r t h e r e - u s e o f t h e o t h e r

i t e m s , f o r e x a m p l e , a d d i n g c o l o r t o f a c e t s s h o u l d n o t i m p l y t h a t a n e w

v e r t e x t y p e m u s t b e d e c l a r e d .

( 4 ) T h e d a t a s t r u c t u r e s h o u l d p r o v i d e a n e a s y - t o - u s e h i g h - l e v e l i n t e r f a c e .

T h i s i n t e r f a c e s h o u l d p r o t e c t t h e i n t e r n a l c o m b i n a t o r i a l i n t e g r i t y o f t h e

d a t a s t r u c t u r e a s g i v e n i n D e n i t i o n 3 . A d v a n c e d a l g o r i t h m s c o n c e r n e d

w i t h e c i e n c y , e . g . a l e s c a n n e r , s h o u l d b e a l l o w e d t o a c c e s s t h e i n t e r n a l

s t r u c t u r e i n a c o n t r o l l e d m a n n e r .

( 5 ) T h e m a n a g e m e n t o f c o n n e c t e d c o m p o n e n t s a n d c o n t a i n m e n t r e l a t i o n s ,

e . g . i n n e r a n d o u t e r b o u n d a r i e s f o r f a c e t s a n d n e s t i n g r e l a t i o n s h i p s o f

s h e l l s , i s s e e n a s a n i n d e p e n d e n t f u n c t i o n a l i t y t h a t c a n b e a d d e d s e p a -

r a t e l y , f o r e x a m p l e i n i t s o w n l a y e r a n d w i t h i t s o w n e x i b i l i t y .

( 6 ) T h e e d g e - b a s e d d a t a s t r u c t u r e s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 3 h a v e a n a t u r a l

n o t i o n o f t h e e d g e s a r o u n d a v e r t e x o r t h e e d g e s a r o u n d a f a c e t . I t w o u l d

b e c o s t l y t o p r o v i d e i t e r a t o r s f o r t h e s e k i n d o f c i r c u l a r s e q u e n c e s s i n c e

t h e n o t i o n o f r a n g e s a n d t h e ` p a s t - t h e - e n d ' v a l u e d o n o t e x t e n d n a t u r a l l y .

W e p r o p o s e a c o n c e p t s i m i l a r t o i t e r a t o r s { w h i c h w e c a l l c i r c u l a t o r { f o r

t h i s k i n d o f s t r u c t u r e .

( 7 ) S T L c o n t a i n e r s b a s e t h e i r i n t e r f a c e s o n i t e r a t o r s . F o r p o l y h e d r a l s u r f a c e s

t h e o r d e r i n w h i c h t h e i t e m s a r e s t o r e d i n t h e p o l y h e d r o n i s n o t a l w a y s

w e l l - d e n e d f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f t h e u s e r , e . g . a f t e r E u l e r o p e r a t i o n s .

H e r e w e f a l l b a c k o n t h e c o n c e p t o f h a n d l e s , w h i c h i s t h e i t e m - d e n o t i n g

p a r t o f i t e r a t o r s , a n d i g n o r e t h e t r a v e r s a l c a p a b i l i t i e s . I n p a r t i c u l a r , a n y

m o d e l o f a n i t e r a t o r o r c i r c u l a t o r i s a m o d e l o f a h a n d l e . A h a n d l e i s a l s o

k n o w n a s t r i v i a l i t e r a t o r .

W e c o n c e n t r a t e o n t h e c o m b i n a t o r i a l a s p e c t s o f t h e p o l y h e d r a l s u r f a c e . A d -

d i t i o n a l i s s u e s a p p e a r w h e n c o n s i d e r i n g g e o m e t r y , f o r e x a m p l e e x i b i l i t y i n

t h e p o i n t t y p e a n d t h e g e o m e t r i c p r e d i c a t e s . O n e t e c h n i q u e e x p l o r e d f o r t h i s

i s a v a r i a t i o n o f t h e t r a i t s c l a s s e s k n o w n f r o m t h e C

+ +

s t a n d a r d l i b r a r y 2 7 ] ,

s e e 8 , 1 0 , 3 ] f o r t h e i r u s e i n C g a l .

1 5

7/27/2019 10.1.1.30.4116


6 P r e v i o u s W o r k

T h e d e s i g n p r e s e n t e d h e r e i s a m a j o r r e v i s i o n o f t h e d e s i g n d e s c r i b e d i n 1 6 ] .

T h e p r e v i o u s d e s i g n i s a v a i l a b l e i n C g a l s i n c e R e l e a s e 1 . 0 3 ] . I n t h e o r i g i -

n a l d e s i g n , t h e u s e r p r o v i d e s t h e s p a c e f o r t h e i n c i d e n c e i n f o r m a t i o n i n t h e

v e r t i c e s , h a l f e d g e s a n d f a c e t s i n t e r m s o f v o i d * p o i n t e r s . T h e h a l f e d g e d a t a

s t r u c t u r e u s e s t y p e - c a s t s t o p r o v i d e c o r r e c t t y p e - s a f e p o i n t e r s a n d t h e p o l y -

h e d r o n c o n v e r t s t h e p o i n t e r s t o i t e r a t o r s a n d h a n d l e s . T h e m a i n d r a w b a c k

b e s i d e s t h e t r i c k y , n e s t e d i m p l e m e n t a t i o n i s t h a t u s e r s c a n n o t e x t e n d t h e i r

v e r t i c e s , h a l f e d g e s a n d f a c e t s c o n v e n i e n t l y w i t h f u r t h e r i n c i d e n c e s . T h e s e n e w

i n c i d e n c e s a r e n o t c a p t u r e d i n t h i s p r o c e s s o f t y p e - c a s t i n g . I n t h e r e v i s e d d e -

s i g n p r e s e n t e d h e r e , a l l l a y e r s o f t h e d e s i g n s h a r e t h e s a m e t y p e i n f o r m a t i o n s .

V e r t i c e s , h a l f e d g e s a n d f a c e t s c a n u s e t h e c o r r e c t h a n d l e t y p e s t o p r o v i d e t h e

s p a c e f o r t h e v a r i o u s i n c i d e n c e s a l t h o u g h t h e y a r e s t i l l d e c o u p l e d f r o m e a c h

o t h e r , e . g . t h e v e r t e x t y p e d o e s n o t h a r d c o d e t h e a c t u a l t y p e o f i t s r e l a t e d

h a l f e d g e t y p e . I n t e r n a l l y , t h i s n e w d e s i g n s a v e s u s a n i m p l e m e n t a t i o n l a y e r

t h a t w a s n e e d e d f o r t h e t y p e - c a s t i n g .

T h e L i b r a r y o f E c i e n t D a t a t y p e s a n d A l g o r i t h m s ( L E D A

5

) 2 1 , 2 2 ] p r o v i d e s

a r i c h b o d y o f a l g o r i t h m s a n d d a t a t y p e s . L E D A i n c l u d e s f o r e x a m p l e n u m b e r

t y p e s f o r e x a c t a r i t h m e t i c , d i c t i o n a r i e s , p r i o r i t y q u e u e s , g r a p h a l g o r i t h m s , a n d

t w o - d i m e n s i o n a l g e o m e t r y . I t s d e s i g n i s h o m o g e n e o u s a n d e a s y - t o - u s e . L E D A

h a s i t s o w n n o t i o n o f i t e r a t o r s a n d i t i s g e n e r i c a n d e x i b l e w i t h i n i t s o w n

f r a m e w o r k , w h i c h i s i n c o m p a t i b l e t o t h e a p p r o a c h t a k e n b y S T L . B u t r e c e n t

e x t e n s i o n s m a k e L E D A c o m p l i a n t w i t h S T L , i n f a c t i t r e p l a c e s S T L . L E D A

c o n t a i n s n o d a t a s t r u c t u r e s p e c i c a l l y t a i l o r e d f o r t h r e e - d i m e n s i o n a l p o l y h e -

d r a , b u t i t p r o v i d e s a g e n e r a l d a t a s t r u c t u r e f o r g r a p h s a n d o n e f o r p l a n a r

m a p s d e r i v e d f r o m t h e g r a p h d a t a s t r u c t u r e . A d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n c a n b e

a t t a c h e d w i t h n o d e a r r a y s a n d e d g e a r r a y s o r b y u s i n g a p a r a m e t e r i z e d g r a p h .

A p a r a m e t e r i z e d g r a p h i s a c l a s s t e m p l a t e w i t h t w o t e m p l a t e a r g u m e n t s : O n e

f o r t h e a u x i l i a r y i n f o r m a t i o n i n t h e v e r t i c e s a n d o n e f o r t h e a u x i l i a r y i n f o r -

m a t i o n i n t h e e d g e s . T h e d i s a d v a n t a g e i s t h a t i f o n l y o n e o f t h e t w o t y p e s i s

n e e d e d a d u m m y t y p e m u s t b e g i v e n t o t h e o t h e r t e m p l a t e a r g u m e n t , w h i c h

w a s t e s m e m o r y . N o d e a n d e d g e a r r a y s a r e a s s o c i a t i v e a r r a y s b a s e d o n h a s h -

i n g , w h i c h a l l o w t h e e a s y a d d i t i o n o f i n f o r m a t i o n e v e n f o r t e m p o r a r y p u r p o s e s .

T h e d i s a d v a n t a g e s a r e t h e a d d i t i o n a l c o s t f o r t h e l o o k u p o p e r a t i o n a n d t h e

a d d i t i o n a l m e m o r y c o n s u m p t i o n . A m o r e s u b t l e d i s a d v a n t a g e i s r e v e a l e d w h e n

c o n s i d e r i n g f o r e x a m p l e a n i t e r a t o r o v e r g r a p h n o d e s : A s i m p l e p o i n t e r t o t h e

n o d e i s i n g e n e r a l n o t s u c i e n t f o r t h e s t a t e o f t h e i t e r a t o r , s i n c e t h e i t e r a t o r

w o u l d n o t b e a b l e t o g i v e a c c e s s t o t h e a s s o c i a t e d a t t r i b u t e s o f t h e n o d e . A n

a d d i t i o n a l r e f e r e n c e t o t h e a s s o c i a t i v e a r r a y s m u s t b e s t o r e d i n t h e i t e r a t o r ( o r

a l t e r n a t i v e l y i n t h e n o d e ) . T h e c u r r e n t m e m o r y r e q u i r e m e n t s a r e e q u i v a l e n t t o

5

h t t p : / / w w w . m p i - s b . m p g . d e / L E D A / l e d a . h t m l

1 6

7/27/2019 10.1.1.30.4116


Vertex Halfedge Facet

Halfedge_data_structure

Topological_map

Topology Geometry

Planar_map

Polyhedron

F i g . 8 . O v e r v i e w o f t h e d e s i g n w i t h t h e s e p a r a t i o n o f t o p o l o g y a n d g e o m e t r y .

1 3 p o i n t e r s f o r a g r a p h n o d e a n d 1 1 p o i n t e r s f o r a d i r e c t e d g r a p h e d g e . T h e r e

i s n o e x i b i l i t y f o r o b t a i n i n g s m a l l e r g r a p h s t r u c t u r e s . L E D A d o e s n o t r e a c h

t h e e x i b i l i t y i n t u n i n g t h e r u n t i m e a n d s p a c e e c i e n c y a s a c h i e v e d w i t h t h e

a p p r o a c h p r e s e n t e d i n t h i s p a p e r .

T h e M i n i m a l R e n d e r i n g T o o l M R T u s e s a h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e t o r e p r e -

s e n t p o l y h e d r a l s u r f a c e s 2 ] . I t i s i m p l e m e n t e d a s a C

+ +

c l a s s h i e r a r c h y a n d

p r o v i d e s E u l e r o p e r a t i o n s t o m a i n t a i n c o m b i n a t o r i a l i n t e g r i t y . T h e i n t e r n a l

r e p r e s e n t a t i o n i s a c c e s s i b l e a t c o n s t r u c t i o n t i m e a n d p r o t e c t e d t h e r e a f t e r . N o

o t h e r a c c e s s i s g r a n t e d . I t s e p a r a t e s g e o m e t r y a n d t o p o l o g y e x c e p t f o r v e r t i c e s

w h e r e a p o i n t i s i n c o r p o r a t e d j u s t a t t h e c o m b i n a t o r i a l l e v e l f o r e c i e n c y

r e a s o n s . F l e x i b i l i t y i s a c h i e v e d w i t h v i r t u a l m e m b e r f u n c t i o n s f o r g e o m e t r i c

p r o p e r t i e s . N o e x i b i l i t y i s a v a i l a b l e a t t h e t o p o l o g i c a l l e v e l . F a c e t s a r e r e -

s p o n s i b l e o f s t o r i n g t h e r i n g o f h a l f e d g e s o f t h e i r b o u n d a r y . S u m m a r i z i n g , t h i s

a p p r o a c h l e a d s t o l a r g e r n o d e s f o r v e r t i c e s , h a l f e d g e s a n d f a c e t s a n d s l o w e r

f u n c t i o n s f o r g e o m e t r i c p r o p e r t i e s t h a n t h e s o l u t i o n w e p r o p o s e .

7 D e s i g n O v e r v i e w

F i g u r e 8 i l l u s t r a t e s t h e s e p a r a t i o n o f t o p o l o g y a n d g e o m e t r y i n t h e d e s i g n .

V e r t i c e s , h a l f e d g e s a n d f a c e t s s t o r e b o t h . T h e c o n t a i n e r c l a s s H a l f e d g e _ d a t a _

s t r u c t u r e m a n a g e s t h e s e t h r e e i t e m s a n d t h e i r t o p o l o g i c a l r e l a t i o n s . T h e

T o p o l o g i c a l m a p a d d s t o t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e t h e m a n a g e m e n t f o r

h o l e s i n f a c e t s , w h i c h e n u m e r a t e s i n n e r a n d o u t e r b o u n d a r i e s f o r f a c e t s . I t i s

u s u a l l y c l a s s i e d a s a f a c e - b a s e d r e p r e s e n t a t i o n . T h e P o l y h e d r o n a d d s g e o -

m e t r i c o p e r a t i o n s t o t h e H a l f e d g e _ d a t a _ s t r u c t u r e . I t i s b a s e d o n t h e D e f -

i n i t i o n 3 f o r p o l y h e d r a l s u r f a c e s a n d g u a r a n t e e s a c o n s i s t e n t r e p r e s e n t a t i o n

( b e s i d e s t h e c o s t l y s e l f - i n t e r s e c t i o n t e s t a n d t h e p o l y g o n p l a n a r i t y t e s t ) . T h e

h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e i s n o t r e s t r i c t e d t o t h e s e d e n i t i o n s , s i n c e i t i s a l s o

u s e f u l i n i m p l e m e n t i n g o t h e r d a t a s t r u c t u r e s , b u t i t w i l l b e u s e d b y t h e p o l y h e -

d r o n t o r e p r e s e n t o n l y s u r f a c e s f o l l o w i n g t h i s r e s t r i c t e d d e n i t i o n , f o r e x a m p l e

1 7

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Polyhedron

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provides ease−of−use

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defines handles and iterators

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Vertex Halfedge Facet

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V e r t e x

F a c e t

H a l f e d g e

F i g . 9 . R e s p o n s i b i l i t i e s o f t h e d i e r e n t l a y e r s i n t h e d e s i g n .

t h a t a n e d g e h a s a l w a y s t w o d i s t i n c t e n d p o i n t s . T h e P l a n a r m a p i s b a s e d o n

t h e t o p o l o g i c a l m a p , s i n c e i t m a i n t a i n s h o l e s i n f a c e t s .

T h e H a l f e d g e _ d a t a _ s t r u c t u r e a n d t h e i t e m s V e r t e x , H a l f e d g e a n d F a c e t

a r e c o n c e p t s . C u r r e n t l y t h r e e d i e r e n t m o d e l s a r e p r o v i d e d f o r t h e H a l f e d g e _

d a t a _ s t r u c t u r e : O n e i s b a s e d o n t h e S T L v e c t o r , t h e o t h e r t w o a r e b a s e d

o n l i s t r e p r e s e n t a t i o n s t o m a n a g e t h e i t e m s i n t e r n a l l y . V a r i o u s m o d e l s a r e

p r o v i d e d f o r t h e i t e m s a n d t h e y c a n b e e a s i l y e x t e n d e d b y t h e u s e r , f o r e x a m p l e

w i t h a d d i t i o n a l a t t r i b u t e s .

F i g u r e 9 i l l u s t r a t e s t h e t h r e e l a y e r s o f t h e p o l y h e d r a l s u r f a c e d e s i g n : I t e m s ,

H a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e , a n d P o l y h e d r o n . T h e i t e m s p r o v i d e t h e s p a c e f o r

t h e i n f o r m a t i o n t h a t i s a c t u a l l y s t o r e d , i . e . w i t h m e m b e r v a r i a b l e s a n d a c c e s s

m e m b e r f u n c t i o n s i n V e r t e x , H a l f e d g e , a n d F a c e t r e s p e c t i v e l y . H a l f e d g e s

a r e r e q u i r e d t o p r o v i d e a r e f e r e n c e t o t h e n e x t h a l f e d g e a n d t o t h e o p p o s i t e

h a l f e d g e . O p t i o n a l l y t h e y m a y p r o v i d e a r e f e r e n c e t o t h e p r e v i o u s h a l f e d g e , t o

t h e i n c i d e n t v e r t e x a n d t o t h e i n c i d e n t f a c e t . V e r t i c e s a n d f a c e t s m a y b e e m p t y .

O p t i o n a l l y t h e y m a y p r o v i d e a r e f e r e n c e t o t h e i n c i d e n t h a l f e d g e . T h e o p t i o n s

m e n t i o n e d a r e s u p p o r t e d i n t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e a n d t h e p o l y h e d r o n ,

f o r e x a m p l e E u l e r o p e r a t i o n s u p d a t e t h e o p t i o n a l r e f e r e n c e s i f t h e y a r e p r e s e n t .

F u r t h e r m o r e , t h e i t e m c l a s s e s c a n b e e x t e n d e d w i t h a r b i t r a r y a t t r i b u t e s a n d

m e m b e r f u n c t i o n s , w h i c h w i l l b e p r o m o t e d b y i n h e r i t a n c e t o t h e a c t u a l c l a s s e s

u s e d f o r t h e p o l y h e d r a l s u r f a c e s .

I m p l e m e n t a t i o n s f o r v e r t i c e s , h a l f e d g e s a n d f a c e t s a r e p r o v i d e d t h a t f u l l l t h e

m a n d a t o r y p a r t o f t h e r e q u i r e m e n t s . T h e y c a n b e u s e d a s b a s e c l a s s e s f o r e x -

t e n s i o n s b y t h e u s e r . R i c h e r i m p l e m e n t a t i o n s a r e a l s o p r o v i d e d t o s e r v e a s d e -

f a u l t s ; f o r p o l y h e d r a t h e y p r o v i d e a l l o p t i o n a l i n c i d e n c e s , a t h r e e - d i m e n s i o n a l

p o i n t i n t h e v e r t e x t y p e a n d a p l a n e e q u a t i o n i n t h e f a c e t t y p e .

1 8

7/27/2019 10.1.1.30.4116


V e r t i c e s , h a l f e d g e s a n d f a c e t s a r e p a s s e d a s l o c a l t y p e s o f t h e I t e m s c l a s s t o

t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e a n d p o l y h e d r o n . T h i s i s a n i m p l e m e n t a t i o n d e t a i l

e x p l a i n e d i n m o r e d e p t h i n S e c t i o n 9 .

T h e H a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e i s r e s p o n s i b l e o f t h e s t o r a g e o r g a n i z a t i o n o f

t h e i t e m s . C u r r e n t l y , i m p l e m e n t a t i o n s u s i n g i n t e r n a l l y a b i d i r e c t i o n a l l i s t o r a n

S T L v e c t o r a r e p r o v i d e d . T h e H a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e d e n e s t h e h a n d l e s

a n d i t e r a t o r s b e l o n g i n g t o t h e i t e m s . T h e s e t y p e s a r e p r o m o t e d t o t h e d e c l a -

r a t i o n o f t h e i t e m s t h e m s e l v e s a n d a r e u s e d t h e r e t o p r o v i d e t h e r e f e r e n c e s t o

t h e i n c i d e n t i t e m s . T h i s p r o m o t i o n o f t y p e s i s d o n e w i t h a t e m p l a t e p a r a m e t e r

o f t h e i t e m t y p e s , s e e S e c t i o n 9 . T h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e p r o v i d e s m e m b e r

f u n c t i o n s t o i n s e r t a n d d e l e t e i t e m s , t o t r a v e r s e a l l i t e m s , a n d i t g i v e s a c c e s s

t o t h e i t e m s i n o r d e r t o m a n i p u l a t e t h e i t e m s .

T h e r e a r e a l r e a d y t h r e e d i e r e n t m o d e l s f o r t h e H a l f e d g e _ d a t a _ s t r u c t u r e

a v a i l a b l e . T h e r e f o r e w e h a v e k e p t t h e i r i n t e r f a c e s m a l l . F u n c t i o n a l i t y c o m -

m o n t o a l l t h e s e m o d e l s i s s e p a r a t e d i n t o a h e l p e r c l a s s H a l f e d g e _ d a t a _

s t r u c t u r e _ d e c o r a t o r , w h i c h i s n o t s h o w n i n F i g u r e 9 , b u t w o u l d b e p l a c e d

a t t h e s i d e o f t h e H a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e s i n c e i t b r o a d e n s t h a t i n t e r f a c e

b u t d o e s n o t h i d e i t . T h i s h e l p e r c l a s s c o n t a i n s o p e r a t i o n s t h a t a r e u s e f u l

t o i m p l e m e n t t h e o p e r a t i o n s i n t h e n e x t l a y e r , f o r e x a m p l e t h e p o l y h e d r o n .

I t a d d s f o r e x a m p l e t h e E u l e r o p e r a t i o n s a n d p a r t i a l o p e r a t i o n s f r o m w h i c h

f u r t h e r E u l e r o p e r a t i o n s c a n b e b u i l t f r o m , s u c h a s i n s e r t i n g a n e d g e i n t o

t h e r i n g o f e d g e s a t a v e r t e x . F u r t h e r m o r e , t h e h e l p e r c l a s s c o n t a i n s a d a p t i v e

f u n c t i o n a l i t y . F o r e x a m p l e i f t h e p r e v ( ) m e m b e r f u n c t i o n i s n o t p r o v i d e d f o r

h a l f e d g e s , t h e f i n d p r e v ( ) m e m b e r f u n c t i o n o f t h e h e l p e r c l a s s s e a r c h e s i n t h e

p o s i t i v e d i r e c t i o n a l o n g t h e f a c e t f o r t h e p r e v i o u s h a l f e d g e . B u t i f t h e p r e v ( )

m e m b e r f u n c t i o n i s p r o v i d e d , t h e f i n d p r e v ( ) m e m b e r f u n c t i o n s i m p l y c a l l s

i t . T h i s d i s t i n c t i o n c a n b e r e s o l v e d a t c o m p i l e t i m e w i t h a t e c h n i q u e c a l l e d

c o m p i l e - t i m e t a g s , s i m i l a r t o i t e r a t o r t a g s i n 3 3 ] , s e e S e c t i o n 9 .

T h e P o l y h e d r o n p r o v i d e s a n e a s y - t o - u s e i n t e r f a c e o f h i g h - l e v e l f u n c t i o n s a n d

h i d e s t h e e x i b i l i t y p r o v i d e d u n d e r n e a t h . T h e i n t e r f a c e i s d e s i g n e d t o p r o t e c t

t h e i n t e g r i t y o f t h e i n t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n , h a n d l e s a r e n o l o n g e r m u t a b l e .

T h e p o l y h e d r o n a d d s t h e c o n v e n i e n t a n d e c i e n t c i r c u l a t o r s , s e e S e c t i o n 1 1 ,

f o r a c c e s s i n g t h e c i r c u l a r s e q u e n c e o f e d g e s a r o u n d a v e r t e x o r a r o u n d a f a c e t .

T o a c h i e v e t h i s , t h e P o l y h e d r o n d e r i v e s n e w v e r t i c e s , h a l f e d g e s a n d f a c e t s

f r o m t h o s e p r o v i d e d i n I t e m s . T h e s e n e w i t e m s a r e t h o s e a c t u a l l y u s e d i n

t h e H a l f e d g e _ d a t a _ s t r u c t u r e , w h i c h g i v e s u s t h e c o h e r e n t t y p e s t r u c t u r e i n

t h i s d e s i g n , e s p e c i a l l y i f c o m p a r e d t o o u r p r e v i o u s d e s i g n 1 6 ] . T h e P o l y h e d r o n

a d d s a l s o t h e g e o m e t r i c i n t e r p r e t a t i o n . T h e r e f o r e , t h e v e r t i c e s u s e d f o r p o l y -

h e d r o n a r e r e q u i r e d t o s t o r e a g e o m e t r i c p o i n t .

1 9

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8 P r o g r a m E x a m p l e s

D e f a u l t t e m p l a t e a r g u m e n t s a l l o w u s t o h i d e t h e e x i b i l i t y p r o v i d e d f o r t h e

h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e . T h e r e f o r e , i n t h e r s t e x a m p l e p r o g r a m t h e p o l y h e -

d r o n o n l y n e e d s t o b e i n s t a n t i a t e d w i t h t h e g e o m e t r i c k e r n e l . I n C g a l w e

u s e a t r a i t s c l a s s b e t w e e n t h e a c t u a l g e o m e t r i c k e r n e l a n d t h e d a t a s t r u c t u r e s

a n d a l g o r i t h m s 8 , 1 0 , 3 ] , w h i c h a l l o w s u s t o p r o v i d e t h e s e a d a p t o r s e a s i l y f o r

o t h e r k e r n e l s a s w e l l . A d e c l a r a t i o n o f t h e d e f a u l t p o l y h e d r o n b a s e d o n t h e

C a r t e s i a n k e r n e l u s i n g d o u b l e s l o o k s a s f o l l o w s :

t y p e d e f C G A L _ C a r t e s i a n < d o u b l e > K e r n e l ;

t y p e d e f C G A L _ P o l y h e d r o n _ d e f a u l t _ t r a i t s _ 3 < K e r n e l > T r a i t s ;

t y p e d e f C G A L _ P o l y h e d r o n _ 3 < T r a i t s > P o l y h e d r o n ;

T h e f o l l o w i n g f u n c t i o n a p p l i e s a n a n e t r a n s f o r m a t i o n t o a l l p o i n t s i n t h e

p o l y h e d r o n . N o t e t h e u s e o f t r a n s f o r m , w h i c h i s a g e n e r i c a l g o r i t h m f r o m

S T L . O u r d e s i g n e n c o u r a g e s s u c h r e - u s e i n s t e a d o f p r o v i d i n g a n o w n f u n c t i o n

f o r a n e t r a n s f o r m a t i o n s : T h e p o l y h e d r o n p r o v i d e s t h e i t e r a t o r f o r a c c e s s i n g

a l l p o i n t s a n d t h e a n e t r a n s f o r m a t i o n o f C g a l i s a n u n a r y f u n c t i o n o b j e c t

s u i t a b l e f o r t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n .

v o i d a p p l y ( P o l y h e d r o n & P , c o n s t C G A L _ A f f _ t r a n s f o r m a t i o n _ 3 < K e r n e l > & A ) {

t r a n s f o r m ( P . p o i n t s _ b e g i n ( ) , P . p o i n t s _ e n d ( ) , P . p o i n t s _ b e g i n ( ) , A ) ;

}

T h e d e f a u l t p o l y h e d r o n p r o v i d e s a l r e a d y a p l a n e e q u a t i o n f o r f a c e t s . I n t h e

f o l l o w i n g e x a m p l e w e r e p l a c e t h e d e f a u l t f a c e t t y p e w i t h o u r o w n f a c e t t y p e

p r o v i d i n g o n l y a n o r m a l v e c t o r i n s t e a d o f a f u l l p l a n e e q u a t i o n . F o r t h a t w e

d e n e o u r o w n f a c e t t y p e a n d r e p l a c e t h e f a c e t i n t h e d e f a u l t i t e m s t y p e w e

h a v e u s e d s o f a r . W e m a k e u s e o f a f a c e t b a s e c l a s s a l r e a d y a v a i l a b l e i n C g a l .

T h e t e m p l a t e a r g u m e n t R e f s w i l l b e e x p l a i n e d i n S e c t i o n 9 . I t i s u s e d t o m a k e

t h e h a n d l e a n d i t e r a t o r t y p e s o f t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e a v a i l a b l e i n t h e

i t e m s . T h e T r a i t s a r g u m e n t p r o v i d e s a l o c a l t y p e t h a t w e c a n u s e f o r t h e

n o r m a l v e c t o r t y p e .

A n i t e m s c l a s s c o n t a i n s t h r e e t e m p l a t e m e m b e r c l a s s e s r e p r e s e n t i n g a v e r t e x

t y p e , a h a l f e d g e t y p e a n d a f a c e t t y p e r e s p e c t i v e l y . T h e i r n a m e s a n d t e m p l a t e

a r g u m e n t s a r e x e d , s i n c e t h e y a r e u s e d i n t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e t o

c r e a t e o b j e c t s o f t h e s e t y p e s . W e u s e i n h e r i t a n c e f r o m t h e d e f a u l t i t e m s c l a s s

o f t h e p o l y h e d r o n t o r e - u s e t h e o l d v e r t e x a n d h a l f e d g e t y p e s . O n l y t h e f a c e t i s

r e p l a c e d . T h e r e l a t e d t e m p l a t e m e m b e r c l a s s m u s t p r o v i d e a l o c a l t y p e F a c e t ,

w h i c h i s o u r r e d e n e d f a c e t t y p e . T h e n e w i t e m s c l a s s c a n b e u s e d a s a s e c o n d

t e m p l a t e a r g u m e n t t o t h e p o l y h e d r o n c l a s s , w h e r e i t r e p l a c e s t h e d e f a u l t i t e m s

c l a s s . A t h i r d t e m p l a t e a r g u m e n t c a n b e u s e d t o r e p l a c e t h e d e f a u l t h a l f e d g e

d a t a s t r u c t u r e , t h o u g h t h i s i s n o t i l l u s t r a t e d h e r e . T h e T r a i t s a r g u m e n t i s

2 0

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t h e s a m e a s a b o v e .

t e m p l a t e < c l a s s R e f s , c l a s s T r a i t s >

s t r u c t M y _ f a c e t : p u b l i c C G A L _ H a l f e d g e D S _ f a c e t _ b a s e < R e f s > {

t y p e n a m e T r a i t s : : V e c t o r _ 3 n o r m a l ;

} ;

s t r u c t M y _ i t e m s : p u b l i c C G A L _ P o l y h e d r o n _ i t e m s _ 3 {


s t r u c t F a c e t _ w r a p p e r {

t y p e d e f M y _ f a c e t < R e f s , T r a i t s > F a c e t ;

} ;

} ;

t y p e d e f C G A L _ P o l y h e d r o n _ 3 < T r a i t s , M y _ i t e m s > P o l y h e d r o n ;

O u r n e x t e x a m p l e c o m p u t e s t h e n o r m a l v e c t o r s o f t h e f a c e t s u s i n g t h e m o d i e d

f a c e t t y p e f r o m o u r p r e v i o u s e x a m p l e . T h e g e n e r i c f o r e a c h a l g o r i t h m o f S T L

c a n b e u s e d t o a p p l y a f u n c t i o n o b j e c t t o e a c h f a c e t o f t h e p o l y h e d r o n . T h e

f u n c t i o n o b j e c t a s s u m e s c o n v e x f a c e t s t o c o m p u t e t h e o u t - f a c i n g n o r m a l v e c t o r

a n d i t i g n o r e s n u m e r i c a l s t a b i l i t y i s s u e s . W e o b t a i n t h r e e c o n s e c u t i v e v e r t i c e s

o n t h e b o u n d a r y o f t h e f a c e t a n d c o m p u t e t h e n o r m a l v e c t o r w i t h a c r o s s

p r o d u c t . T h e f u n c t i o n o b j e c t u s e s a t e m p l a t e m e m b e r f u n c t i o n , w h i c h g i v e s

u s a g e n e r i c i m p l e m e n t a t i o n t h a t c a n b e u s e d w i t h a n y f a c e t t y p e w i t h a

c o m p l i a n t n o r m a l m e m b e r v a r i a b l e a n d t h a t k e e p s a r e f e r e n c e t o a n i n c i d e n t

h a l f e d g e . T h e f a c e t k n o w s t h e t y p e f o r t h e v e r t e x h a n d l e .

s t r u c t N o r m a l _ v e c t o r {

t e m p l a t e < c l a s s F a c e t >

v o i d o p e r a t o r ( ) ( F a c e t & f ) {

t y p e d e f t y p e n a m e F a c e t : : V e r t e x _ h a n d l e V e r t e x _ h a n d l e ;

V e r t e x _ h a n d l e p = f . h a l f e d g e ( ) - > v e r t e x ( ) ;

V e r t e x _ h a n d l e q = f . h a l f e d g e ( ) - > n e x t ( ) - > v e r t e x ( ) ;

V e r t e x _ h a n d l e r = f . h a l f e d g e ( ) - > n e x t ( ) - > n e x t ( ) - > v e r t e x ( ) ;

f . n o r m a l = C G A L _ c r o s s _ p r o d u c t ( q - > p o i n t ( ) - p - > p o i n t ( ) ,

r - > p o i n t ( ) - q - > p o i n t ( ) ) ;

}

} ;

v o i d c o m p u t e _ n o r m a l s ( P o l y h e d r o n & P ) {

f o r _ e a c h ( P . f a c e t s _ b e g i n ( ) , P . f a c e t s _ e n d ( ) , N o r m a l _ v e c t o r ( ) ) ;

}

2 1

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9 I m p l e m e n t a t i o n o f t h e D e s i g n U s i n g T e m p l a t e s i n C

+ +

W e p r e s e n t t h e n e c e s s a r y d e t a i l s o f a n i m p l e m e n t a t i o n b a s e d o n t e m p l a t e s i n

C

+ +

t o p r o v e t h e f e a s i b i l i t y o f o u r d e s i g n . W e b e g i n w i t h a s i m p l i e d v e r s i o n

p r e s e n t i n g t h e t e c h n i q u e w e u s e t o d e c o u p l e t h e i t e m t y p e s a n d t h e h a l f e d g e

d a t a s t r u c t u r e . T h e r e a f t e r w e p r e s e n t t h e r e a l i z a t i o n o f t h e p o l y h e d r o n c l a s s .

W e o m i t d e t a i l s s u c h a s c o n s t - c o r r e c t n e s s a n d t h e C g a l p r e x . N o t e t h a t o n l y

t h e d e v e l o p e r b u t n o t t h e u s e r o f t h e d a t a s t r u c t u r e m u s t k n o w t h e f o l l o w i n g

d e t a i l s o f t h e d e s i g n .

T h e k e y i s t h a t a c e r t a i n i t e m t y p e , f o r e x a m p l e a v e r t e x , d o e s n o t k n o w

t h e a c t u a l t y p e s o f t h e r e l a t e d i t e m s , f o r e x a m p l e t h e h a l f e d g e t y p e . I n s t e a d ,

i t k n o w s a f o r m a l p l a c e h o l d e r f o r t h i s t y p e . W e p u t a l l f o r m a l p l a c e h o l d e r s

t o g e t h e r i n a s i n g l e t e m p l a t e a r g u m e n t R e f s a s l o c a l t y p e s . W e i n d i c a t e o n l y

t h e u s e o f H a l f e d g e h a n d l e i n t h e v e r t e x t y p e , w h i c h p r o v i d e s t h e r e f e r e n c e

t o t h e i n c i d e n t h a l f e d g e .

t e m p l a t e < c l a s s R e f s >

s t r u c t V e r t e x {

t y p e d e f t y p e n a m e R e f s : : H a l f e d g e _ h a n d l e H a l f e d g e _ h a n d l e ;

H a l f e d g e _ h a n d l e h a l f e d g e ( ) { r e t u r n h ; }

v o i d s e t _ h a l f e d g e ( H a l f e d g e _ h a n d l e g ) { h = g ; }

p r i v a t e :

H a l f e d g e _ h a n d l e h ;

} ;

T h e o t h e r i t e m t y p e s a r e i m p l e m e n t e d s i m i l a r l y . T h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e

i s p a r a m e t e r i z e d w i t h t h e i t e m t y p e s . S i n c e t h e i t e m t y p e s a r e a l r e a d y c l a s s

t e m p l a t e s , w e n e e d t e m p l a t e s a s t e m p l a t e a r g u m e n t s f o r t h e h a l f e d g e d a t a

s t r u c t u r e . T h e o r d e r o f t y p e d e c l a r a t i o n s i n t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e i s t h e

v e r t e x a n d h a l f e d g e t y p e , t h e c o n t a i n e r c l a s s e s f o r t h e s e i t e m t y p e s , a n d t h e

h a n d l e t y p e s k n o w n f r o m t h e c o n t a i n e r c l a s s e s . T h e t y p e d e p e n d e n c i e s c o n t a i n

a c y c l e ; t h e i t e m t y p e s n e e d a t e m p l a t e a r g u m e n t t h a t t e l l s t h e m t h e h a n d l e

t y p e s . T h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e k n o w s t h e h a n d l e t y p e s a n d c a n b e u s e d

a s t h e a c t u a l t y p e f o r t h e R e f s a r g u m e n t o f t h e i t e m t y p e s , e v e n t h o u g h t h e

h a n d l e s h a v e n o t b e e n d e c l a r e d a t t h i s p o i n t . H o w e v e r , i t i s t h e d i e r e n c e

b e t w e e n d e c l a r a t i o n a n d d e n i t i o n t h a t a l l o w s u s t o u s e t h e d e c l a r e d t y p e o f

t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e f o r t h e i t e m t y p e i n s t a n t i a t i o n , e v e n t h o u g h i t i s

n o t f u l l y d e n e d a t t h i s p o i n t . W i t h r e s p e c t t o t h i s i n s t a n t i a t i o n o u r a p p r o a c h

i s s i m i l a r t o t h e t e m p l a t e p a t t e r n d e s c r i b e d i n 5 ] , a l t h o u g h w e m a k e n o u s e

o f i n h e r i t a n c e . W e o m i t t h e f a c e t t y p e i n t h i s e x a m p l e .

t e m p l a t e < t e m p l a t e < c l a s s > V e r t e x , t e m p l a t e < c l a s s > H a l f e d g e >

s t r u c t H a l f e d g e D S {

2 2

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t y p e d e f H a l f e d g e D S < V e r t e x , H a l f e d g e > S e l f ;

t y p e d e f V e r t e x < S e l f > V ;

t y p e d e f H a l f e d g e < S e l f > H ;

t y p e d e f l i s t < V > V l i s t

t y p e d e f l i s t < H > H l i s t

t y p e d e f t y p e n a m e V l i s t : : i t e r a t o r V e r t e x _ h a n d l e ;

t y p e d e f t y p e n a m e H l i s t : : i t e r a t o r H a l f e d g e _ h a n d l e ;

/ / . . .

} ;

I t r e m a i n s t o s h o w t h e i n t e r m e d i a t e i t e m s c l a s s , t h e p o l y h e d r o n c l a s s w i t h

i t s p r o t e c t e d a c c e s s t o t h e i t e m s , t h e c o n n e c t i o n t o t h e g e o m e t r i c k e r n e l w i t h

t h e t r a i t s c l a s s , a n d t h e c o m p i l e t i m e t a g s t o a d a p t f u n c t i o n s t o t h e e x i b i l i t y

p r o v i d e d i n t h e i t e m s . A n i t e m t y p e u s u a l l y h a s t w o t e m p l a t e a r g u m e n t s ,

R e f s a s e x p l a i n e d a b o v e a n d a T r a i t s a r g u m e n t . T h e t r a i t s c o n t a i n s t h e

g e o m e t r i c t y p e s a n d t h e b a s i c o p e r a t i o n s a v a i l a b l e f o r t h e s e t y p e s 8 ] . T h e

o p t i o n a l f u n c t i o n a l i t y o f t h e i t e m t y p e s i s i n d i c a t e d w i t h t a g s . I n t h e e x a m p l e

o f a v e r t e x t y p e f r o m a b o v e w e a d d t h e l o c a l t y p e S u p p o r t s v e r t e x h a l f e d g e .

I t c a n b e e i t h e r o f t h e t w o p r e d e n e d c l a s s e s , T a g t r u e o r T a g f a l s e . T h i s

t a g i n d i c a t e s w h e t h e r t h e r e f e r e n c e t o t h e i n c i d e n t h a l f e d g e i s p r o v i d e d o r n o t .


s t r u c t V e r t e x {

t y p e d e f T a g _ t r u e S u p p o r t s _ v e r t e x _ h a l f e d g e ;

/ / . . .

} ;

O t h e r f u n c t i o n a l i t y c a n m a k e u s e o f t h i s t a g t o a d a p t a t c o m p i l e t i m e . F o r

e x a m p l e t h e E u l e r o p e r a t i o n s a r e i m p l e m e n t e d u s i n g t h i s c o m p i l e - t i m e t a g .

T h e y u p d a t e t h i s r e f e r e n c e a u t o m a t i c a l l y i f i t i s p r o v i d e d . T h e f o l l o w i n g e x -

a m p l e u s e s f u n c t i o n o v e r l o a d i n g i n C

+ +

t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n t w o d i e r e n t

i m p l e m e n t a t i o n s o f a f u n c t i o n f o o d e p e n d i n g o n t h e t a g . T h e s i n g l e - a r g u m e n t

f u n c t i o n i s c a l l e d w i t h a v e r t e x a s a r g u m e n t . T h e f u n c t i o n c a l l i s f o r w a r d e d

t o t h e c o r r e s p o n d i n g t w o - p a r a m e t e r f u n c t i o n t h a t m a t c h e s t h e a c t u a l t y p e o f

t h e c o m p i l e - t i m e t a g .

v o i d f o o ( V e r t e x v ) {

f o o ( v , V e r t e x : : S u p p o r t s _ v e r t e x _ h a l f e d g e ( ) ) ;

}

v o i d f o o ( V e r t e x v , T a g _ t r u e ) {

/ / . . . i m p l e m e n t a t i o n m a k i n g u s e o f t h e v . h a l f e d g e ( ) m e t h o d .

}

v o i d f o o ( V e r t e x v , T a g _ f a l s e ) {

/ / . . . i m p l e m e n t a t i o n n o t m a k i n g u s e o f t h e v . h a l f e d g e ( ) m e t h o d .

}

2 3

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T h e i n t e r m e d i a t e i t e m s c l a s s p u t s t o g e t h e r t h e d e n i t i o n o f t h e t h r e e i t e m

t y p e s : v e r t e x , h a l f e d g e a n d f a c e t . I t u s e s m e m b e r t e m p l a t e c l a s s e s , b u t i s

i t s e l f n o t a t e m p l a t e c l a s s . I t c a n b e p a s s e d a r o u n d w i t h o u t i n s t a n t i a t i n g t h e

i t e m t y p e s . F u r t h e r m o r e , t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e c a n b e w r i t t e n w i t h o u t

t e m p l a t e s a s t e m p l a t e p a r a m e t e r s . T h e n a m e s a n d t e m p l a t e a r g u m e n t s w i t h i n

t h e i t e m s c l a s s a r e x e d : T h e m e m b e r c l a s s t e m p l a t e s a r e c a l l e d w r a p p e r a n d

h a v e t w o t e m p l a t e a r g u m e n t s , R e f s a n d T r a i t s . T h e s e w r a p p e r s m u s t p r o v i d e

a l o c a l t y p e n a m e d a f t e r t h e c o r r e s p o n d i n g i t e m , V e r t e x f o r e x a m p l e , t h a t

r e f e r s t o t h e a c t u a l c l a s s u s e d . B e s i d e s t e c h n i c a l r e a s o n s , i t i s c o n v e n i e n t t o

p a s s t h e i t e m t y p e s i n a s i n g l e p a r a m e t e r t o t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e . I t i s

e a s i e r t o u s e w i t h i t e m s c l a s s e s t h a t a r e a l r e a d y d e n e d i n t h e l i b r a r y . O n t h e

o t h e r h a n d , a n e w i t e m s c l a s s n e e d s t o b e d e r i v e d i f o n l y a s i n g l e i t e m t y p e

i s e x c h a n g e d , s e e t h e e x a m p l e i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . A n o t h e r a d v a n t a g e

i s a p o s s i b l e s e p a r a t i o n o f t w o k i n d o f t e m p l a t e p a r a m e t e r s : U s e r - s p e c i e d

p a r a m e t e r s a n d t h o s e s p e c i e d i n t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e , n a m e l y R e f s

a n d T r a i t s . F u r t h e r u s e r - s p e c i e d p a r a m e t e r s c a n n o t b e p a s s e d a s a d d i t i o n a l

t e m p l a t e a r g u m e n t s t h r o u g h t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e , b u t t h e u s e r c a n

m a k e t h e i t e m s c l a s s a t e m p l a t e c l a s s f o r i t s e l f a n d c a n p r o v i d e t h e a c t u a l

t y p e s w h e n i n s t a n t i a t i n g t h e p o l y h e d r o n . T h e i t e m s c l a s s f o r o u r e x a m p l e

w i t h o u t a d d i t i o n a l u s e r p a r a m e t e r s l o o k s a s f o l l o w s :

s t r u c t H a l f e d g e D S _ i t e m s {


s t r u c t V e r t e x _ w r a p p e r {

t y p e d e f V e r t e x < R e f s , T r a i t s > V e r t e x ;

} ;

/ / . . . s i m i l a r f o r h a l f e d g e a n d f a c e t

} ;

T h e p o l y h e d r o n d e r i v e s n e w i t e m t y p e s f r o m t h e g i v e n i t e m t y p e s t o e n -

h a n c e f u n c t i o n a l i t y , e . g . c i r c u l a t o r s , a n d t o p r o t e c t t h e c o m b i n a t o r i a l s t r u c -

t u r e . M e m b e r f u n c t i o n s t h a t a l l o w c h a n g i n g t h e i n c i d e n c e s o f i t e m s a r e m a d e

p r i v a t e , w h i l e t h e r e m a i n i n g f u n c t i o n a l i t y a n d e s p e c i a l l y t h e u s e r a d d e d f u n c -

t i o n a l i t y r e m a i n s a v a i l a b l e t o t h e u s e r b e c a u s e o f t h e p u b l i c i n h e r i t a n c e . A n -

o t h e r s o l u t i o n w o u l d b e t o r e p e a t e x p l i c i t l y t h e f u n c t i o n a l i t y t h a t s h o u l d r e -

m a i n p u b l i c , b u t u s e r a d d e d f u n c t i o n a l i t y c o u l d n o t b e c a p t u r e d t h i s w a y a n d

w o u l d b e l o s t . T h e s o l u t i o n c h o s e n m a y s o u n d w e a k w i t h r e s p e c t t o p r o t e c t i o n ,

b u t s i n c e t h e u s e r p r o v i d e s t h e b a s e s , t h e u s e r c a n a l w a y s w o r k a r o u n d a n y

p r o t e c t i o n m e c h a n i s m . H o w e v e r , o u r s o l u t i o n p r o h i b i t s a c c i d e n t a l m i s u s e , t h e

m a i n p u r p o s e o f p r o t e c t i o n .

T h e n e w i t e m t y p e s a r e a g a i n c o l l e c t e d i n a n i t e m s c l a s s , w h i c h i s u s e d i n

t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e o f t h e p o l y h e d r o n . I n c o n s e q u e n c e , t h e h a l f e d g e

d a t a s t r u c t u r e u s e s t h e c o r r e c t i t e m s d e n e d b y t h e p o l y h e d r o n . T h e o r i g i n a l

i t e m s p r o v i d e d b y t h e u s e r a r e t h e r e f o r e p a r a m e t e r i z e d w i t h t h e h a n d l e s t o t h e

2 4

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d e r i v e d i t e m t y p e s , w h i c h a r e t h e c o r r e c t t y p e s t o a c h i e v e t h e c o h e r e n t t y p e

s y s t e m . B u t t h e c o n s i s t e n t u s e o f t h e d e r i v e d i t e m t y p e s p r o h i b i t s a l s o t h e

t o - b e - a l l o w e d c h a n g e o f i n c i d e n c e s b y t h e p o l y h e d r o n a n d t h e h a l f e d g e d a t a

s t r u c t u r e . T h e r e f o r e , w e p r o v i d e t h e t y p e o f t h e b a s e c l a s s i n t h e d e r i v e d i t e m

t y p e s . T h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e a n d t h e p o l y h e d r o n c a n c h a n g e i n c i d e n c e s

b y c a l l i n g t h e m e m b e r f u n c t i o n s o f t h e b a s e c l a s s , s i m i l a r t o t h e i m p l e m e n t a -

t i o n o f t h e s e t h a l f e d g e m e m b e r f u n c t i o n i n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e .

t e m p l a t e < c l a s s V e r t e x _ b a s e >

s t r u c t P o l y h e d r o n _ v e r t e x : p u b l i c V e r t e x _ b a s e {

t y p e d e f V e r t e x _ b a s e B a s e ;

p r i v a t e :

v o i d s e t _ h a l f e d g e ( t y p e n a m e B a s e : : H a l f e d g e _ h a n d l e g ) {

B a s e : : s e t _ h a l f e d g e ( g ) ;

}

} ;

t e m p l a t e < c l a s s I t e m s >

s t r u c t P o l y h e d r o n _ i t e m s {


s t r u c t V e r t e x _ w r a p p e r {

t y p e d e f t y p e n a m e I t e m s : : V e r t e x _ w r a p p e r < R e f s , T r a i t s > W r a p p e r ;

t y p e d e f t y p e n a m e W r a p p e r : : V e r t e x V e r t e x _ b a s e ;

t y p e d e f P o l y h e d r o n _ v e r t e x < V e r t e x _ b a s e > V e r t e x ;

} ;

/ / . . . s i m i l a r f o r h a l f e d g e a n d f a c e t

} ;

T h e p o l y h e d r o n i s a c l a s s t e m p l a t e w i t h t h r e e t e m p l a t e p a r a m e t e r s : T r a i t s ,

I t e m s a n d H D S , t w o o f t h e m h a v e d e f a u l t a r g u m e n t s . I t d e c l a r e s t h e d e r i v e d

i t e m t y p e s a n d i n s t a n t i a t e s t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e H D S t o u s e i t a s i n t e r n a l

r e p r e s e n t a t i o n . T h e H D S p a r a m e t e r i s a g a i n a t e m p l a t e a s t e m p l a t e p a r a m e t e r .

I f t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e h a d u s e d a t e m p l a t e a s t e m p l a t e p a r a m e t e r f o r

i t s e l f , w e w o u l d h a v e h a d a t h i r d l e v e l o f t e m p l a t e s , w h i c h i s n o t a l l o w e d i n

C

+ +

. T h e i t e m s c l a s s a v o i d s t h i s , b u t o t h e r w o r k a r o u n d s a r e p o s s i b l e a s w e l l .

t e m p l a t e < c l a s s T r a i t s ,

c l a s s I t e m s = I t e m s _ d e f a u l t ,

t e m p l a t e < c l a s s , c l a s s > c l a s s H D S = H a l f e d g e D S _ d e f a u l t >

s t r u c t P o l y h e d r o n {

t y p e d e f P o l y h e d r o n _ i t e m s < I t e m s > D e r i v e d _ i t e m s ;

H D S < T r a i t s , D e r i v e d _ i t e m s > h d s ;

/ / . . .

} ;

T h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e f r o m a b o v e r e m a i n s b a s i c a l l y u n c h a n g e d . I n s t e a d

2 5

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delegate( Modifier_base<HDS>& modifier);

HDS halfedge_data_structure;

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operator()( HDS&);

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modifier( halfedge_data_structure); // validity check

}

Polyhedron

operator()( HDS&);

Scanner<HDS>

HDS

F i g . 1 0 . C l a s s d i a g r a m i l l u s t r a t i n g t h e s a f e a c c e s s t o t h e i n t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n o f

a p o l y h e d r o n .

o f t h e s e p a r a t e i t e m t y p e s w e p a s s a t r a i t s p a r a m e t e r a n d a n i t e m s c l a s s

p a r a m e t e r . T h e i t e m t y p e s a r e e x t r a c t e d f r o m t h e w r a p p e r s i n t h e i t e m s c l a s s .

G i v e n a s e t o f p r e d e n e d i m p l e m e n t a t i o n s f o r t h e s e c l a s s e s i n a l i b r a r y , i t i s

e a s y t o c o m b i n e a n d e x t e n d t h e m . T h e e x i b i l i t y w e h a v e d e m a n d e d f o r o u r

d e s i g n i n S e c t i o n 5 i s r e a l i z e d . T h e d e f a u l t l i s t r e p r e s e n t a t i o n i n t h e h a l f e d g e

d a t a s t r u c t u r e c a n b e r e p l a c e d b y o t h e r r e p r e s e n t a t i o n s . O n l y t h o s e i n c i d e n c e s

w e a c t u a l l y e n c o d e i n t h e b a s e s a r e s t o r e d , a n d t h e t a g s a r e u s e d t o i m p l e m e n t

a d a p t i v e f u n c t i o n a l i t y c o r r e s p o n d i n g t o t h e i n c i d e n c e s p r o v i d e d , f o r e x a m p l e

v e r t i c e s a r e n o t e v e n a l l o c a t e d i n t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e i f t h e y a r e n o t

r e f e r e n c e d f r o m t h e h a l f e d g e s . A d d i n g a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n c a n b e e a s i l y

d o n e b y d e r i v i n g o w n i t e m t y p e s a n d r e p l a c i n g t h e i r d e n i t i o n s i n t h e i t e m s

c l a s s . A l l t h i s h a s b e e n a c h i e v e d w i t h o u t r u n t i m e n o r s t o r a g e o v e r h e a d , n o r

a n y c o m p r o m i s e s f o r t h e e a s e - o f - u s e a t t h e t o p - l e v e l .

1 0 G r a n t i n g A c c e s s t o t h e I n t e r n a l R e p r e s e n t a t i o n

A l g o r i t h m s o n p o l y h e d r a m a y h a v e i n t e r m e d i a t e s t a t e s t h a t a r e i n v a l i d r e p -

r e s e n t a t i o n s . T o b e e c i e n t , t h e y n e e d a c c e s s t o t h e i n t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n .

W e g r a n t a p r o t e c t e d a c c e s s f o r a l l s u b c l a s s e s o f M o d i f i e r b a s e . O u r d e s i g n

w a s m o t i v a t e d b y t h e s t r a t e g y p a t t e r n 9 ] , t h o u g h i t h a s a d i e r e n t i n t e n t .

F i g u r e 1 0 i l l u s t r a t e s t h e c l a s s d e s i g n f o r t h e e x a m p l e o f a l e s c a n n e r c r e a t -

i n g a p o l y h e d r o n f r o m a l e . T h e a p p r o a c h i s s i m i l a r t o a c a l l b a c k f u n c t i o n ,

o n l y e n c a p s u l a t e d a s a f u n c t i o n o b j e c t . T h e P o l y h e d r o n a c c e p t s a m o d i e r

o b j e c t a s a n a r g u m e n t o f i t s d e l e g a t e ( ) m e m b e r f u n c t i o n a n d c a l l s t h e v i r -

t u a l o p e r a t o r ( ) m e m b e r f u n c t i o n o f t h i s m o d i e r o b j e c t . T h e r e b y , i t p a s s e s

t h e i n t e r n a l h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e a s a r g u m e n t t o t h e m o d i e r o b j e c t . T h e

S c a n n e r c l a s s f r o m o u r e x a m p l e i s d e r i v e d f r o m t h e M o d i f i e r b a s e a n d i m -

2 6

7/27/2019 10.1.1.30.4116


p l e m e n t s t h e o p e r a t o r ( ) m e m b e r f u n c t i o n , w h e r e i t c a n a c c e s s t h e i n t e r n a l

r e p r e s e n t a t i o n .

T h e a c h i e v e m e n t h e r e i s t h a t t h e d e l e g a t e ( ) m e m b e r f u n c t i o n o f t h e P o l y h e d r o n

c a n v e r i f y t h e v a l i d i t y o f t h e i n t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n a f t e r t h e o p e r a t o r ( )

m e m b e r f u n c t i o n r e t u r n s f r o m e x e c u t i o n . T h e S c a n n e r c l a s s i s i n c h a r g e o f

r e t u r n i n g o n l y w i t h a v a l i d r e p r e s e n t a t i o n , e v e n i n t h e c a s e o f a f a i l u r e . T h i s

a p p r o a c h i s a l s o k n o w n f r o m d a t a b a s e s y s t e m s a s t r a n s a c t i o n s ; e i t h e r t h e m o d -

i e r s u c c e e d s o r t h e m o d i e r f a i l s a n d i s s u p p o s e d t o c l e a n u p . T h e s p e c i a l

t a s k t h e S c a n n e r a c c o m p l i s h e s ( o n l y c r e a t i o n o f n e w i t e m s ) e n a b l e s u s t o i m -

p l e m e n t t h e t r a n s a c t i o n s c h e m e e c i e n t l y . A s i m p l e r o l l b a c k f u n c t i o n r e m o v e s

a l l i t e m s c r e a t e d s o f a r i n t h e c a s e o f a f a i l u r e . I n g e n e r a l , t h e r o l l b a c k w o u l d

b e m o r e c o s t l y .

1 1 C i r c u l a t o r s

T h e c o n c e p t o f i t e r a t o r s i n S T L i s t a i l o r e d f o r l i n e a r s e q u e n c e s . I n c o n t r a s t ,

c i r c u l a r s e q u e n c e s o c c u r n a t u r a l l y i n m a n y c o m b i n a t o r i a l a n d g e o m e t r i c s t r u c -

t u r e s . E x a m p l e s a r e p o l y h e d r a l s u r f a c e s a n d p l a n a r m a p s , w h e r e t h e e d g e s

e m a n a t i n g f r o m a v e r t e x o r t h e e d g e s a r o u n d a f a c e t f o r m a c i r c u l a r s e q u e n c e .

S i n c e c i r c u l a r s e q u e n c e s c a n n o t p r o v i d e e c i e n t i t e r a t o r s , w e h a v e i n t r o d u c e d

t h e n e w c o n c e p t o f c i r c u l a t o r s i n C g a l . T h e y s h a r e m o s t o f t h e r e q u i r e m e n t s

w i t h i t e r a t o r s , w h i l e t h e m a i n d i e r e n c e i s t h e l a c k o f a p a s t - t h e - e n d p o s i t i o n

i n t h e s e q u e n c e . A p p r o p r i a t e a d a p t o r s a r e p r o v i d e d b e t w e e n i t e r a t o r s a n d c i r -

c u l a t o r s t o i n t e g r a t e c i r c u l a t o r s s m o o t h l y i n t o t h e f r a m e w o r k o f S T L . W e g i v e

a s h o r t i n t r o d u c t i o n t o c i r c u l a t o r s a n d d i s c u s s a d v a n t a g e s a n d d i s a d v a n t a g e s

t h e r e a f t e r . W e r e w r i t e t h e e x a m p l e o f t h e g e n e r i c c o n t a i n s f u n c t i o n f r o m

a b o v e u s i n g c i r c u l a t o r s . A s u s u a l f o r c i r c u l a r s t r u c t u r e s , a d o - w h i l e l o o p i s

p r e f e r a b l e , s u c h t h a t f o r t h e s p e c i c i n p u t , c = = d , a l l e l e m e n t s i n t h e s e q u e n c e

a r e r e a c h e d .

t e m p l a t e < c l a s s C i r c u l a t o r , c l a s s T >

b o o l c o n t a i n s ( C i r c u l a t o r c , C i r c u l a t o r d , c o n s t T & v a l u e ) {

i f ( c ! = N U L L ) {

d o {

i f ( * c = = v a l u e )

r e t u r n t r u e ;

} w h i l e ( + + c ! = d ) ;

}

r e t u r n f a l s e ;

}

2 7

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T h r e e c i r c u l a t o r c a t e g o r i e s a r e d e n e d : f o r w a r d , b i d i r e c t i o n a l a n d r a n d o m -

a c c e s s c i r c u l a t o r s . G i v e n a c i r c u l a t o r c , t h e o p e r a t i o n * c d e n o t e s t h e i t e m t h e

c i r c u l a t o r r e f e r s t o . T h e o p e r a t i o n + + c a d v a n c e s t h e c i r c u l a t o r b y o n e i t e m

a n d - - c s t e p s a b i d i r e c t i o n a l c i r c u l a t o r o n e i t e m b a c k w a r d s . F o r r a n d o m -

a c c e s s c i r c u l a t o r s c + n a d v a n c e s t h e c i r c u l a t o r n s t e p s . T w o c i r c u l a t o r s c a n b e

c o m p a r e d f o r e q u a l i t y .

C i r c u l a t o r s h a v e a d i e r e n t n o t i o n o f r e a c h a b i l i t y a n d r a n g e s t h a n i t e r a t o r s .

A c i r c u l a t o r d i s c a l l e d r e a c h a b l e f r o m a c i r c u l a t o r c i f c c a n b e m a d e e q u a l t o

d w i t h n i t e l y m a n y a p p l i c a t i o n s o f t h e o p e r a t o r + + . D u e t o t h e c i r c u l a r i t y o f

t h e s e q u e n c e t h i s i s a l w a y s t r u e i f b o t h c i r c u l a t o r s r e f e r t o i t e m s o f t h e s a m e

s e q u e n c e . I n p a r t i c u l a r , c i s a l w a y s r e a c h a b l e f r o m c . G i v e n t w o c i r c u l a t o r s

c a n d d , t h e r a n g e c , d ) d e n o t e s a l l c i r c u l a t o r s o b t a i n e d b y s t a r t i n g w i t h c

a n d a d v a n c i n g c u n t i l d i s r e a c h e d , b u t d o e s n o t i n c l u d e d , f o r d 6= c . S o f a r

i t i s t h e s a m e r a n g e d e n i t i o n a s f o r i t e r a t o r s . T h e d i e r e n c e l i e s i n t h e u s e

o f c , c ) t o d e n o t e a l l i t e m s i n t h e c i r c u l a r s e q u e n c e , w h e r e a s f o r a n i t e r a t o r

i t h e r a n g e i , i ) d e n o t e s t h e e m p t y r a n g e . A s l o n g a s c ! = d t h e r a n g e

c , d ) b e h a v e s l i k e a n i t e r a t o r r a n g e a n d c o u l d b e u s e d i n S T L a l g o r i t h m s .

F o r c i r c u l a t o r s h o w e v e r , a n a d d i t i o n a l t e s t c = = N U L L i s r e q u i r e d t h a t r e t u r n s

t r u e i f a n d o n l y i f t h e c i r c u l a r s e q u e n c e i s e m p t y . I n t h i s c a s e t h e c i r c u l a t o r c

i s s a i d t o h a v e a s i n g u l a r v a l u e .

S u p p o r t i n g b o t h , i t e r a t o r s a n d c i r c u l a t o r s , w i t h i n t h e s a m e g e n e r i c a l g o r i t h m

i s j u s t a s s i m p l e a s s u p p o r t i n g i t e r a t o r s o n l y . T h i s a n d t h e r e q u i r e m e n t s f o r

c i r c u l a t o r s a r e d e s c r i b e d i n t h e C g a l R e f e r e n c e M a n u a l 3 ] .

B e s i d e s t h e c o n c e p t u a l c l e a n n e s s , t h e m a i n r e a s o n f o r i n v e n t i n g a n e w c o n c e p t

w i t h a s i m i l a r i n t e n t a s i t e r a t o r s i s e c i e n c y . A n i t e r a t o r i s s u p p o s e d t o b e a

l i g h t - w e i g h t o b j e c t { m e r e l y a p o i n t e r a n d a s i n g l e i n d i r e c t i o n t o a d v a n c e t h e

i t e r a t o r . A l t h o u g h i t e r a t o r s c o u l d b e w r i t t e n f o r c i r c u l a r s e q u e n c e s , w e d o n o t

k n o w o f a n e c i e n t s o l u t i o n . T h e m i s s i n g p a s t - t h e - e n d s i t u a t i o n i n c i r c u l a r

s e q u e n c e s c a n b e s o l v e d w i t h a n a r b i t r a r y s e n t i n e l i n t h e c y c l i c o r d e r , b u t t h i s

w o u l d d e s t r o y t h e n a t u r a l s y m m e t r y i n t h e s t r u c t u r e ( w h i c h i s i n i t s e l f a b a d

i d e a ) a n d a d d i t i o n a l b o o k k e e p i n g i n t h e i t e m s a n d c h e c k i n g i n t h e i t e r a t o r a d -

v a n c e m e t h o d r e d u c e s e c i e n c y . A n o t h e r s o l u t i o n m a y u s e m o r e b o o k k e e p i n g

i n t h e i t e r a t o r , e . g . w i t h a s t a r t i t e m , a c u r r e n t i t e m , a n d a k i n d o f w i n d i n g -

n u m b e r t h a t i s z e r o f o r t h e b e g i n ( ) - i t e r a t o r a n d o n e f o r t h e p a s t - t h e - e n d

s i t u a t i o n

6

. T h o u g h w e h a v e i n t r o d u c e d t h e c o n c e p t o f c i r c u l a t o r s t h a t a l l o w s

l i g h t - w e i g h t i m p l e m e n t a t i o n s a n d t h e C g a l s u p p o r t l i b r a r y p r o v i d e s a d a p t o r

c l a s s e s t h a t c o n v e r t b e t w e e n i t e r a t o r s a n d c i r c u l a t o r s ( w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g

p e n a l t y i n e c i e n c y ) , s o a s t o i n t e g r a t e t h i s n e w c o n c e p t i n t o t h e f r a m e w o r k

o f S T L .

6

T h i s i s c u r r e n t l y i m p l e m e n t e d i n C g a l a s a n a d a p t o r c l a s s w h i c h p r o v i d e s a p a i r

o f i t e r a t o r s f o r a g i v e n c i r c u l a t o r .

2 8

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A s e r i o u s d e s i g n p r o b l e m i s t h e s l i g h t c h a n g e o f t h e s e m a n t i c f o r c i r c u l a t o r

r a n g e s a s c o m p a r e d t o i t e r a t o r r a n g e s . S i n c e t h i s s e m a n t i c i s d e n e d b y t h e

i n t u i t i v e o p e r a t o r s + + a n d = = , w h i c h w e w o u l d l i k e t o k e e p f o r c i r c u l a t o r s a s

w e l l , c i r c u l a t o r r a n g e s c a n b e u s e d i n S T L a l g o r i t h m s . T h i s i s i n i t s e l f a u s e f u l

f e a t u r e , i f t h e r e w o u l d n o t b e t h e d e n i t i o n o f a f u l l r a n g e c ; c ) t h a t a n S T L

a l g o r i t h m w i l l t r e a t a s a n e m p t y r a n g e . H o w e v e r , t h e l i k e l i h o o d o f a m i s t a k e

m a y b e o v e r e s t i m a t e d , s i n c e f o r a c o n t a i n e r C s u p p o r t i n g c i r c u l a t o r s t h e r e

i s n o e n d ( ) m e m b e r f u n c t i o n , a n d a n e x p r e s s i o n s u c h a s s o r t ( C . b e g i n ( ) ,

C . e n d ( ) ) w i l l f a i l . I t i s e a s y t o d i s t i n g u i s h i t e r a t o r s a n d c i r c u l a t o r s a t c o m p i l e

t i m e , w h i c h a l l o w s f o r g e n e r i c a l g o r i t h m s s u p p o r t i n g b o t h a s a r g u m e n t s . I t i s

a l s o p o s s i b l e t o p r o t e c t a l g o r i t h m s a g a i n s t i n a p p r o p r i a t e a r g u m e n t s u s i n g t h e

s a m e t e c h n i q u e , t h o u g h i t i s b e y o n d o u r s c o p e t o e x t e n d S T L a l g o r i t h m s .

1 2 C o n c l u s i o n

W e h a v e p r e s e n t e d a d e s i g n f r a m e w o r k f o r c o m b i n a t o r i a l d a t a s t r u c t u r e s , s u c h

a s p o l y h e d r a l s u r f a c e s a n d p l a n a r - m a p s . I t c a n b e e x t e n d e d t o m o d e l t h e

t o p o l o g y o f c u r v e d - s u r f a c e s a n d c a n b e a p p l i e d t o o t h e r c o m b i n a t o r i a l d a t a

s t r u c t u r e s , s u c h a s t r i a n g l e - b a s e d s t r u c t u r e s f o r t r i a n g u l a t i o n s .

A p r o p e r d e n i t i o n o f t h e m o d e l i n g s p a c e f o r p o l y h e d r a l s u r f a c e s h a s b e e n

g i v e n w h o s e s t r i c t n e s s h a s b e e n p r o v e n u s e f u l i n o u r a p p l i c a t i o n s . S u i t a b l e

e d g e - b a s e d d a t a s t r u c t u r e s f r o m t h e l i t e r a t u r e h a v e b e e n d i s c u s s e d , w h e r e -

f r o m t h e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e h a s b e e n c h o s e n f o r a n i m p l e m e n t a t i o n . T h e

d i s c u s s i o n h a s r e v e a l e d s e v e r a l d e s i r a b l e o p t i o n s f o r t h e d a t a s t r u c t u r e , w h i c h

h a v e l e d t o t h e d e m a n d f o r e x i b i l i t y i n t h e d e s i g n , e s p e c i a l l y t h e t r a d e o s

b e t w e e n s p a c e a n d t i m e . A n e x a m p l e i n t h e C g a l R e f e r e n c e M a n u a l 3 ] u s e s a

s i m i l a r i d e a l i k e t h e e n c o d i n g w i t h i n d i c e s f r o m t h e q u a d - e d g e d a t a s t r u c t u r e ;

i t u s e s a b i t i n s t e a d o f a p o i n t e r t o e n c o d e t h e o p p o s i t e h a l f e d g e .

T h e g e n e r i c p r o g r a m m i n g p a r a d i g m h a s l e d t o a n e a s y - t o - u s e a n d e x i b l e

d e s i g n . W e c a n e x p l o r e m a n y t r a d e o s b e t w e e n t i m e a n d s t o r a g e e c i e n c y ,

i t e r a t o r c a t e g o r i e s , a n d m o d i a b i l i t y . T h e s o l u t i o n s g i v e n f o r t h e d e s i g n g o a l s

f r o m S e c t i o n 5 a r e i n t h e s a m e o r d e r :

( 1 ) T h e a c t u a l s t o r a g e o r g a n i z a t i o n o f t h e i t e m t y p e s c a n b e e a s i l y c h a n g e d b y

s e l e c t i n g a n a p p r o p r i a t e h a l f e d g e d a t a s t r u c t u r e p r o v i d e d i n t h e l i b r a r y .

( 2 ) T h e a c t u a l l y p r o v i d e d i n c i d e n c e r e l a t i o n s a r e s e l e c t e d b y t h e u s e r w i t h

t h e k i n d o f i t e m t y p e s u s e d . I f t h e p r e d e n e d i t e m t y p e s f r o m t h e l i b r a r y

a r e n o t s u c i e n t , n e w i n c i d e n c e s a r e e a s i l y a d d e d , s i m i l a r t o t h e a d d i t i o n

o f o t h e r a t t r i b u t e s . T h e o p t i o n a l i n c i d e n c e s a r e s u p p o r t e d b y t h e h a l f -

e d g e d a t a s t r u c t u r e a n d t h e p o l y h e d r o n . C o m p i l e - t i m e t a g s a r e u s e d t o

i m p l e m e n t t h i s s u p p o r t .

2 9

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( 3 ) F u r t h e r d a t a a n d f u n c t i o n s c a n b e e a s i l y a d d e d t o t h e i t e m t y p e s b y

d e r i v a t i o n o f p r e d e n e d i t e m t y p e s a n d r e p l a c i n g t h e m i n t h e i t e m s c l a s s .

T h e c o h e r e n t t y p e s y s t e m w i t h i t s u s e o f t e m p l a t e s d e c o u p l e s t h e i t e m

t y p e s , s u c h t h a t f o r e x a m p l e a d d i n g c o l o r t o a f a c e t d o e s n o t i m p l y t h a t

t h e v e r t e x t y p e o r t h e h a l f e d g e t y p e n e e d s t o b e c h a n g e d a s w e l l .

( 4 ) T h e d a t a s t r u c t u r e p r o v i d e s a n e a s y - t o - u s e h i g h - l e v e l i n t e r f a c e b a s e d

o n a p p r o p r i a t e c o n c e p t s , e . g . E u l e r o p e r a t o r s , i t e r a t o r s , a n d c i r c u l a t o r s .

T h e s e c o n c e p t s s u p p o r t t h e o p t i o n a l i n c i d e n c e s o f t h e i t e m t y p e s b a s e d

o n t h e c o m p i l e - t i m e t a g s . F u r t h e r m o r e , t h e i n t e g r i t y o f t h e r e p r e s e n t a -

t i o n i s m a i n t a i n e d , b u t a p r o t e c t e d a c c e s s t o t h e i n t e r n a l r e p r e s e n t a -

t i o n i s g r a n t e d f o r s p e c i a l f u n c t i o n o b j e c t s d e r i v e d f r o m t h e b a s e c l a s s

M o d i f i e r b a s e .

( 5 ) T h e m a n a g e m e n t o f c o n n e c t e d c o m p o n e n t s a n d c o n t a i n m e n t r e l a t i o n s i s

s e p a r a t e d i n t o i t s o w n l a y e r , f o r e x a m p l e t h e t o p o l o g i c a l m a p .

( 6 ) T h e c o n c e p t o f c i r c u l a t o r s s u p p o r t s c i r c u l a r s e q u e n c e s o f e d g e s a r o u n d a

v e r t e x o r a r o u n d a f a c e t . T h e c o n c e p t i s w e l l i n t e g r a t e d i n t o t h e f r a m e -

w o r k o f S T L .

( 7 ) T h e c o n c e p t o f h a n d l e s h a s b e e n i n t r o d u c e d . I n t e r n a l l y t h e h a n d l e s a r e

d e n e d a s t h e i t e r a t o r s o f t h e c o n t a i n e r c l a s s e s . W h e r e v e r h a n d l e s a r e

r e q u i r e d a s a r g u m e n t s , i t e r a t o r s o r c i r c u l a t o r s c a n b e u s e d a s w e l l .

T h e d e s i g n i s s t i l l o p e n t o i n c o r p o r a t e o t h e r t e c h n i q u e s a s w e l l , s u c h a s r u n t i m e

e x i b i l i t y w h e r e a p p r o p r i a t e o r a d d i t i o n a l t e m p l a t e p a r a m e t e r s . W e e x p e c t a

c o n t i n u a t i o n o f t h i s a p p r o a c h i n C g a l .

A c k n o w l e d g e m e n t s

T h e a u t h o r w i s h e s t o t h a n k E m o W e l z l f o r t h e f r e e d o m a n d e n c o u r a g i n g

g u i d a n c e t h r o u g h o u t t h e s e s t u d i e s , M i c h a e l H o m a n n , N o r a S l e u m e r , F a l k

T s c h i r s c h n i t z a n d M a r t i n W i l l f o r r e a d i n g a n d c o m m e n t i n g o n p r e v i o u s v e r -

s i o n s , a n d A n d r e a s F a b r i , G e e r t - J a n G i e z e m a n , S t e f a n S c h i r r a a n d S v e n S c h o n h e r r

f o r t h e i n t e n s i v e d i s c u s s i o n s o n C

+ +

d e s i g n a n d s o f t w a r e e n g i n e e r i n g s i n c e w e

s t a r t e d w i t h t h e C g a l k e r n e l a l m o s t f o u r y e a r s a g o . T h e C g a l p r o j e c t h a s

g r o w n a n d t h e a u t h o r w a n t s t o t h a n k a l l m e m b e r s o f t h e p r o j e c t f o r t h e i n -

s p i r i n g e n v i r o n m e n t , e s p e c i a l l y t h e p e o p l e a t t e n d i n g t h e C g a l m e e t i n g a t

I N R I A , S o p h i a A n t i p o l i s , w h e r e t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e p l a n a r m a p a n d

t h e p o l y h e d r a l s u r f a c e d e s i g n h a s b e e n d i s c u s s e d . T h a n k s a l s o t o J e a n - D a n i e l

B o i s s o n n a t f o r e n c o u r a g e m e n t a n d t o t h e a n o n y m o u s r e f e r e e s f o r v a l u a b l e

c o m m e n t s .

3 0

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R e f e r e n c e s

1 ] B . G . B a u m g a r t . A P o l y h e d r o n R e p r e s e n t a t i o n f o r C o m p u t e r V i s i o n . I n

N a t i o n a l C o m p u t e r C o n f e r e n c e , p a g e s 5 8 9 { 5 9 6 , A n a h e i m , C A , 1 9 7 5 . A F I P S .

2 ] H . B e n d e l s , D . W . F e l l n e r , a n d S . H a v e m a n n . M o d e l l i e r u n g d e r G r u n d l a g e n :

E r w e i t e r b a r e D a t e n s t r u k t u r e n z u r M o d e l l i e r u n g u n d V i s u a l i s i e r u n g p o l y g o n a l e r

W e l t e n . I n D . W . F e l l n e r , e d i t o r , M o d e l i n g { V i r t u a l W o r l d s { D i s t r i b u t e d

G r a p h i c s , p a g e s 1 4 9 { 1 5 7 , B a d H o n n e f / B o n n , N o v e m b e r 1 9 9 5 .

3 ] H . B r o n n i m a n n , S . S c h i r r a , R . V e l t k a m p , a n d M . Y v i n e c , e d i t o r s . C G A L

R e f e r e n c e M a n u a l . J a n u a r y 1 9 9 9 . C G A L R 1 . 2 .

4 ] I n t e r n a t i o n a l S t a n d a r d I S O / I E C 1 4 8 8 2 : P r o g r a m m i n g l a n g u a g e s { C + + .

A m e r i c a n N a t i o n a l S t a n d a r d s I n s t i t u t e , 1 1 W e s t 4 2 n d S t r e e t , N e w Y o r k 1 0 0 3 6 ,

1 9 9 8 .

5 ] J . O . C o p l i e n . C u r i o u s l y R e c u r r i n g T e m p l a t e P a t t e r n s . C + + R e p o r t , p a g e s

2 4 { 2 7 , F e b r u a r y 1 9 9 5 .

6 ] M . d e B e r g , M . v a n K r e f e l d , M . O v e r m a r s , a n d O . S c h w a r z k o p f . C o m p u t a t i o n a l

G e o m e t r y : A l g o r i t h m s a n d A p p l i c a t i o n s . S p r i n g e r , 1 9 9 7 .

7 ] A . F a b r i , G . G i e z e m a n , L . K e t t n e r , S . S c h i r r a , a n d S . S c h o n h e r r . T h e C G A L

K e r n e l : A B a s i s f o r G e o m e t r i c C o m p u t a t i o n . I n M . C . L i n a n d D . M a n o c h a ,

e d i t o r s , A C M W o r k s h o p o n A p p l i e d C o m p u t a t i o n a l G e o m e t r y , p a g e s 1 9 1 { 2 0 2 ,

P h i l a d e l p h i a , P e n n s y l v e n i a , M a y , 2 7 { 2 8 1 9 9 6 . L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r

S c i e n c e 1 1 4 8 .

8 ] A . F a b r i , G . G i e z e m a n , L . K e t t n e r , S . S c h i r r a , a n d S . S c h o n h e r r . O n t h e

D e s i g n o f C G A L , t h e C o m p u t a t i o n a l G e o m e t r y A l g o r i t h m s L i b r a r y . S o f t w a r e

{ P r a c t i c e a n d E x p e r i e n c e , 1 9 9 9 . t o a p p e a r .

9 ] E . G a m m a , R . H e l m , R . J o h n s o n , a n d J . V l i s s i d i s . D e s i g n P a t t e r n s { E l e m e n t s

o f R e u s a b l e O b j e c t - O r i e n t e d S o f t w a r e . A d d i s o n - W e s l e y , 1 9 9 5 .

1 0 ] G . G i e z e m a n , R . V e l t k a m p , a n d W . W e s s e l i n k . G e t t i n g S t a r t e d w i t h C G A L ,

J a n u a r y 1 9 9 9 . C G A L R 1 . 2 .

1 1 ] A . S . G l a s s n e r . M a i n t a i n i n g W i n g e d - E d g e M o d e l s . I n J . A r v o , e d i t o r , G r a p h i c s

G e m s I I , p a g e s 1 9 1 { 2 0 1 . A c a d e m i c P r e s s , 1 9 9 1 .

1 2 ] L . G u i b a s a n d J . S t o l . P r i m i t i v e s f o r t h e M a n i p u l a t i o n o f G e n e r a l S u b d i v i s i o n s

a n d t h e C o m p u t a t i o n o f V o r o n o i D i a g r a m s . A C M T r a n s a c t i o n o n G r a p h i c s ,

4 ( 3 ) : 7 4 { 1 2 3 , J u l y 1 9 8 5 .

1 3 ] J . H a r t m a n a n d J . W e r n e c k e . T h e V R M L 2 . 0 H a n d b o o k : B u i l d i n g M o v i n g

W o r l d s o n t h e W e b . A d d i s o n - W e s l e y , 1 9 9 6 .

1 4 ] C . M . H o m a n n . G e o m e t r i c a n d S o l i d M o d e l i n g { A n I n t r o d u c t i o n . M o r g a n

K a u f m a n n , 1 9 8 9 .

3 1

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1 5 ] M . H o m a n n . L i n e - S w e e p a u f e i n e m G i t t e r , 1 9 9 6 . D i p l o m a r b e i t . F r e i e

U n i v e r s i t a t B e r l i n , G e r m a n y .

1 6 ] L . K e t t n e r . D e s i g n i n g a D a t a S t r u c t u r e f o r P o l y h e d r a l S u r f a c e s . I n P r o c . 1 4 t h

A n n u . A C M S y m p o s . C o m p u t . G e o m . , p a g e s 1 4 6 { 1 5 4 , 1 9 9 8 .

1 7 ] L . K e t t n e r a n d E . W e l z l . C o n t o u r E d g e A n a l y s i s f o r P o l y h e d r o n P r o j e c t i o n s .

I n W . S t r a e r , R . K l e i n , a n d R . R a u , e d i t o r s , G e o m e t r i c M o d e l i n g : T h e o r y a n d

P r a c t i c e . S p r i n g e r , 1 9 9 7 . ( P r o c . I n t . C o n f . T h e o r y a n d P r a c t i c e o f G e o m e t r i c

M o d e l i n g i n B l a u b e u r e n , G e r m a n y , O c t . 1 9 9 6 ) .

1 8 ] J . L a k o s . L a r g e S c a l e C + + S o f t w a r e D e s i g n . A d d i s o n - W e s l e y , 1 9 9 6 .

1 9 ] S . B . L i p p m a n . I n s i d e t h e C + + O b j e c t M o d e l . A d d i s o n - W e s l e y , 1 9 9 6 .

2 0 ] M . M a n t y l a . A n I n t r o d u c t i o n t o S o l i d M o d e l i n g . C o m p u t e r S c i e n c e P r e s s ,

R o c k v i l l e , M a r y l a n d , 1 9 8 8 .

2 1 ] K . M e h l h o r n a n d S . N a h e r . L E D A : A P l a t f o r m f o r C o m b i n a t o r i a l a n d

G e o m e t r i c C o m p u t i n g . C o m m u n i c a t i o n s o f t h e A C M , 3 8 ( 1 ) : 9 6 { 1 0 2 , J a n u a r y

1 9 9 5 .

2 2 ] K . M e h l h o r n , S . N a h e r , a n d C . U h r i g . T h e L E D A U s e r M a n u a l , V e r s i o n 3 . 5 .

L E D A S o f t w a r e G m b H , 6 6 1 2 3 S a a r b r u c k e n , G e r m a n y , 1 9 9 7 .

2 3 ] D . E . M u l l e r a n d F . P . P r e p a r a t a . F i n d i n g t h e I n t e r s e c t i o n o f t w o C o n v e x

P o l y h e d r a . T h e o r e t i c a l C o m p u t e r S c i e n c e , 7 : 2 1 7 { 2 3 6 , 1 9 7 8 .

2 4 ] D . R . M u s s e r a n d A . S a i n i . S T L T u t o r i a l a n d R e f e r e n c e G u i d e :

C + + P r o g r a m m i n g w i t h t h e S t a n d a r d T e m p l a t e L i b r a r y . A d d i s o n - W e s l e y , 1 9 9 6 .

2 5 ] D . R . M u s s e r a n d A . A . S t e p a n o v . G e n e r i c P r o g r a m m i n g . I n 1 s t I n t l . J o i n t

C o n f . o f I S S A C - 8 8 a n d A A E C - 6 , p a g e s 1 3 { 2 5 . S p r i n g e r L N C S 3 5 8 , 1 9 8 9 .

2 6 ] D . R . M u s s e r a n d A . A . S t e p a n o v . A l g o r i t h m - o r i e n t e d G e n e r i c L i b r a r i e s .

S o f t w a r e { P r a c t i c e a n d E x p e r i e n c e , 2 4 ( 7 ) : 6 2 3 { 6 4 2 , J u l y 1 9 9 4 .

2 7 ] N . C . M y e r s . T r a i t s : a N e w a n d U s e f u l T e m p l a t e T e c h n i q u e . C + + R e p o r t , J u n e

1 9 9 5 .

2 8 ] M . H . O v e r m a r s . D e s i g n i n g t h e C o m p u t a t i o n a l G e o m e t r y A l g o r i t h m s L i b r a r y

C G A L . I n M . C . L i n a n d D . M a n o c h a , e d i t o r s , A C M W o r k s h o p o n

A p p l i e d C o m p u t a t i o n a l G e o m e t r y , P h i l a d e l p h i a , P e n n s y l v e n i a , M a y , 2 7 { 2 8

1 9 9 6 . L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e 1 1 4 8 .

2 9 ] M . P h i l l i p s . G e o m v i e w M a n u a l : G e o m v i e w V e r s i o n 1 . 5 f o r S i l i c o n G r a p h i c s

W o r k s t a t i o n s . T h e G e o m e t r y C e n t e r , U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a , O c t o b e r 1 9 9 4 .

3 0 ] S . S c h i r r a . A C a s e S t u d y o n t h e C o s t o f G e o m e t r i c C o m p u t i n g . I n P r o c . o f

A L E N E X ' 9 9 , 1 9 9 9 . t o a p p e a r .

3 1 ] S i l i c o n G r a p h i c s C o m p u t e r S y s t e m s , I n c . S t a n d a r d T e m p l a t e L i b r a r y

P r o g r a m m e r ' s G u i d e . h t t p : / / w w w . s g i . c o m / T e c h n o l o g y / S T L / , 1 9 9 7 .

3 2

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3 2 ] E . S t e i n i t z a n d H . R a d e m a c h e r . V o r l e s u n g u b e r d i e T h e o r i e d e r P o l y e d e r ( u n t e r

E i n s c h l u d e r E l e m e n t e d e r T o p o l o g i e ) . S p r i n g e r , 1 9 3 4 .

3 3 ] A . A . S t e p a n o v a n d M . L e e . T h e S t a n d a r d T e m p l a t e L i b r a r y .

h t t p : / / w w w . c s . r p i . e d u / ~ m u s s e r / d o c . p s , O c t o b e r 1 9 9 5 .

3 4 ] B . S t r o u s t r u p . T h e C + + P r o g r a m m i n g L a n g u a g e . A d d i s o n - W e s l e y , 3 r d e d i t i o n ,

1 9 9 7 .

3 5 ] K . W e i l e r . E d g e - B a s e d D a t a S t r u c t u r e s f o r S o l i d M o d e l i n g i n C u r v e d - S u r f a c e

E n v i r o n m e n t s . I E E E C o m p u t e r G r a p h i c s a n d A p p l i c a t i o n , 5 ( 1 ) : 2 1 { 4 0 , J a n u a r y

1 9 8 5 .

3 6 ] J . W e r n i c k e . T h e I n v e n t o r M e n t o r : P r o g r a m m i n g O b j e c t - O r i e n t e d 3 D G r a p h i c s

w i t h O p e n I n v e n t o r , R e l e a s e 2 . A d d i s o n - W e s l e y , 1 9 9 4 .

3 3

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