10. problemas resueltos - unal.edu.co

BOMBAS HIDRÁULICAS ROTODINÁMICAS.

Teoría y Aplicaciones.

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FACULTAD DE MINAS

Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Ramiro V. Marbello Pérez

Escuela de Geociencias y Medio Ambiente

122

10. PROBLEMAS RESUELTOS

Con el propósito de lograr una mejor comprensión de los conceptos tratados en los

capítulos anteriores, y de promover el hábil manejo de toda una serie de formulaciones

deducidas a lo largo de este libro, se han seleccionado y resuelto los siguientes problemas

ilustrativos.

Problema No. 1

Una bomba centrífuga para agua, que gira a 1000 rpm, tiene las siguientes especificaciones:

D1 = 180 mm; 1

2

D

D = 2; b1 = 30 mm; b2 = 20 mm; 1 = 20°; 2 = 30°. La entrada en los

álabes es radial; h = 81%, m = 95%; motor eléctrico = 0.85. Las bridas de entrada y de

salida se encuentran a la misma cota. Diámetro de la tubería de entrada y de la tubería de

salida: 220 mm y 200 mm, respectivamente. El desnivel entre el depósito de aspiración,

abierto a la atmósfera, y la brida de aspiración, es de 1.2 m. Las pérdidas en la tubería de

succión ascienden a 4.0 m.

Calcular:

Los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del rodete.

El caudal de la bomba (supóngase v = 1.0).

La altura de Euler.

Las alturas de presión a la entrada y a la salida de la bomba.

La energía eléctrica consumida en seis horas de funcionamiento de la bomba.


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FACULTAD DE MINAS




123

Solución.

1. Cálculo de los Triángulos de Velocidades.

º201

º901 (entrada radial)

Luego,

111m 1 cαsen cc y

0α cos cc 11u 1

Por tanto, los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del álabe se

representan de la siguiente manera:

s

rev

60

1000

min

rev1000n

s

rad 104.720

s

rad

60

1000π2nπ2ω

mm 360mm) (1802D2D 12

s

m 9.425m

2

0.18

s

rad104.720

2

Dωrωu 111

s

m 18.850m

2

0.36

s

rad104.720

2

Dωrωu 2

22



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FACULTAD DE MINAS




124

En el triángulo a la entrada:

1

m 11

u

c βtan

s

m 3.430 20ºtan

s

m9.425 βtan u c c 111 m 1

s

m10.030

s

m9.4253.430ucw

2

2222

1

2

m 11

Por continuidad:

2211 vAvAQ

m 222m 111 cbDπcbDπQ

m 1

22

11m 2 c

bD

bDc

s

m573.2

s

m430.3

mm 20mm 360

mm 30mm 180c m 2

En el triángulo a la salida:

22m 2 βsen wc

s

m 5.146

30ºsen

s

m 2.573

βsen

c w

2

m 22

2

u 22

2w

cu β cos

222u 2 β coswuc

s

m 14.39330º cos

s

m 5.146

s

m0 18.85c u 2


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FACULTAD DE MINAS




125

s

m 14.621

s

m2.57314.393ccc

2

2222

m 2

2

u 22

10.136º14.393

2.573 tan

c

ctanα 1

u 2

m 21

2

2. Cálculo del Caudal de la Bomba, Q

m 111 cbDπQ

s

l58.19

s

m 0.05819

s

m 3.430m 0.03m 0.18πQ

3

3. Cálculo de la Altura de Euler, Ht

g

cu

g

cucuH u 22

0

u 11u 22

t

; dado que: 0c u 1

m 27.656

s

m 9.81

s

m 14.393

s

m 18.850

H

2

t

4. Cálculo de la Altura de Presión a la entrada de la Bomba,

ep

Aplicando Bernoulli entre el tanque de aspiración y la entrada de la bomba, se tiene:

g2

v

γ

pzh

g2

v

γ

pz

2

ee

eeA

02

A

0

AA

(1)

dado que: 0g2

v2

A

y suponiendo presiones relativas, 0γ

pA



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FACULTAD DE MINAS




126

eA

2

e

Ae

e hg2

vzz

γ

p

(2)

eA4

e

2

2

s

e hDgπ

Q8H

γ

p

(3)

Suponieenedo 1.0ηv , y 0qq ie

m 5.319 m 4.0

m0.22 s

m 9.81π

s

m 0.058198

m 1.2γ

p

44

2

2

2

62

e

5. Cálculo de la Altura de Presión a la salida de la bomba,

sp

Planteando la Ecuación de Bernoulli entre la entrada (e) y la salida (s) de la bomba, se

tiene:

g2

v

γ

pzH

g2

v

γ

pz

2

ss

su

2

ee

e

(4)

Luego,

g2

vv

γ

pH

γ

p 2

s

2

ee

u

s

(5)

4

s

4

e

2

2

e

u

s

D

1

D

1

gπ

Q8

γ

pH

γ

p (6)

Por otra parte,

t

u

hH

Hη


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




127

m 22.424m) (27.6840.81HηH thu

Sustituyendo éste y demás valores en (6), resulta:

44442

2

2

62

s

m0.20

1

m0.22

1

s

m9.81π

s

m0.058198

m 5.319m 22.424γ

p

m 17.105γ

ps

6. Cálculo de la energía eléctrica consumida, Eeléct consumida

Eeléct. consumida = Pred. tfuncionamiento (7)

eléctricomotor reda ηPP (8)

de (8),

motor

ared

η

PP (9)

Por otra parte,

a

uvmhtotal

P

Pηηηη

de donde

vmh

u

aηηη

PP

(10)

Sustituyendo (10) en (9) y el resultado en (7), se tiene:

motorvmh

u

redηηηη

PP

motorvmh

func.uconsu. eléct.

ηηηη

tPE



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




128

Finalmente, reemplazando la Pu, queda

motorvmh

func.uconsu. eléct.

ηηηη

tHQγE

(11)

horas 6

0.851.00.950.81

m 22.424s

m0.05819

m

kgf1000

E

3

3

consu. eléct.

hs

mN9.8111969.752 h

s

mkgf11969.752E consu. eléct.

h W117423.267 h s

J 117423.267E consu. eléct.

hkW 117.423 E consu. eléct.

Problema No. 2

Una bomba centrífuga tiene las siguientes características: D1 = 100 mm; 1

2

D

D= 2; b1 = 20

mm; b2 = 10 mm; 1 = 15°; 2 = 30°; n = 1500 rpm. Las tuberías de succión e impulsión

tienen el mismo diámetro. El manómetro de aspiración registra una altura de presión

relativa de -4 m c.a. El rendimiento total de la bomba es 65 %; m = 96%; v = 0.9 y la

entrada en los álabes es radial.

Calcular:

Los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del rodete.

El caudal (supóngase rendimiento volumétrico igual a 1).

La potencia en el eje de la bomba. Pa.

La lectura del manómetro de impulsión.

Solución:


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FACULTAD DE MINAS




129

1. Cálculo de los Triángulos de Velocidades.

60

Dnπ

2

Dnπ2rωu 11

11

; n (rpm)

s

m 854.7

s 60

m 0.11500πu1

s

m 708.15

s 60

m 0.21500π

60

Dnπu 2

2

90ºα1 (entrada radial)

Del triángulo a la entrada:

m 1111 cs

m 2.10415ºtan

s

m 7.854βtan uc

s

m 131.8

s

m7.8542.104ucw

2

2222

1

2

m 11

Por continuidad,


m 1

22

11m 2 c

bD

bDc

s

m 104.2

s

m2.104

10200

20100c m 2



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




130

Del triángulo a la salida, se tiene:

s

m 064.12

30ºtan

s

m2.104

s

m15.708

βtan

cuc

2

m 22u 2

s

m12.246

s

m2.10412.064ccc

2

2222

m 2

2

u 22

º893.912.064

2.104 tan

c

c tanα 1

u 2

m 21

2

s

m 208.4

30ºsen

s

m 2.104

βsen

cw

2

m 22

2. Cálculo del Caudal, Q

m 111 cbDπQ

s

l 22.13

s

m 01322.0

s

m2.104m 0.02m 0.1πQ

3

3. Cálculo de la Potencia en el Eje, Pa

g

cu

ηη

Qγ

ηηη

HηQγ

ηηη

HQγ

η

PP u 22

mvmvh

th

mvh

u

total

u

a (1)

s

m12.604

s

m15.708

s

m9.810.960.9

s

m0.01322

m

kgf1000

P

2

3

3

a

kW 3.029 W3029.3328s

mkgf308.800Pa

4. Cálculo de la Lectura Manométrica a la salida, Ps

Aplicando Bernoulli entre las bridas de succión y de impulsión, queda:


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FACULTAD DE MINAS




131

g2

v

γ

pzH

g2

v

γ

pz

2

ii1u

2

ss

s

de donde,

u

s

2

i

2

s

isi H

γ

p

g2

vvzz

γ

p

(2)

Suponiendo que las bridas están al mismo nivel, es decir, z1 = zs y considerando el

hecho de que la diferencia de velocidades es muy pequeña, resulta:

γ

pHη

γ

pH

γ

p sth

su

i (3)

Además, vmhtotal ηηηη

vm

total

hηη

ηη

(4)

y g

cuH u 22

t

(5)

Llevando (4) y (5) a (3),

γ

p

g

cu

ηη

η

γ

p su 22

vm

totali

(6)

m 4

s

m9.810.90.96

s

m 12.064

s

m 15.7080.65

γ

p

2

i

c.a. m 10.532γ

p i



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




132

Problema No. 3

Una bomba centrífuga, en la cual se despreciarán las pérdidas, produce un caudal de agua

de 300 m3/h y tiene las siguientes características: D1 = 150 mm;

1

2

D

D = 3; b1 = 40 mm;

2

1

b

b

1

2 ; ß1 = 60°; ß2 = 40°; entrada radial.

Calcular:

El número de revoluciones por minuto del rodete.

Altura efectiva de la bomba.

El par suministrado por la bomba.

La potencia de la bomba.

El incremento de presión que se produce en el rodete.

Altura dinámica generada por el rodete.

Solución.

No hay pérdidas 1ηηηη totalvmh

s

l 83.33

s

m 0.08333

h

m 300Q

33

1. Cálculo del Número de Revoluciones, n.


s

m 4.421

m 0.04m 0.15π

s

m0.08333

bDπ

Qc

3

11

m 1


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




133

s

m 2.947

m 0.02m 0.45π

s

m0.08333

bDπ

Qc

3

22

m 2

Del triángulo a la entrada, se tiene:

s

m 2.552

60ºtan

s

m 4.421

βtan

cu

1

m 11

s

m 5.105

s

m4.4212.552cuw

2

2222

m 1

2

11

Por otro lado, 60

nDπu 1

1

(con n en rpm)

de donde,

rpm 324.93

m 0.15π

s

m2.552s 60

Dπ

u60n

1

1

2. Cálculo de la Altura Efectiva, Hu.

s

m 7.656

s 60

324.93m 0.45π

60

nDπu 2

2

Del triángulo a la salida,



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




134

2

m 22u 2

βtan

cuc

s

m4.144

40ºtan

s

m2.947

s

m7.656c u 2

s

m 5.085

s

m4.1442.947ccc

2

2222

u 2

2

m 22

35.418º

s

m4.144

s

m2.947

tanc

c tanα 1

u 2

m 21

2

2

2222

u 22

2

m 22s

m4.1447.6562.947cucw

s

m 4.585w 2

m 3.234

s

m 9.81

s

m4.144

s

m7.656

g

cu

g

cucuH

2

u 22

0

u 11u 22

t

1H

Hη

t

u

h

m 3.234HH tu

3. Cálculo de la Potencia, P

1P

Pη

a

u

total

tuau HQγHQγPP


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




135

s

mkgf269.392m 3.234

s

m0.0833

m

kgf1000PP

3

3au

h.p. 3.54c.v. 3.6kW 2.64 W2642.74PP au

4. Cálculo del Par de la bomba, M

60

nπ2MM.ωPa

mkgf 917.7

93.324π2

s

mkgf269.392 s 60

nπ2

P 60M a

5. Cálculo del Incremento de Presión, Hp

g2

ww

g2

uuH

2

2

2

1

2

1

2

2p

2

2

222

2

2

222

p

s

m9.812

s

m4.5855.105

s

m9.812

s

m2.5527.656

H

m 2.912Hp

6. Cálculo de la Altura Dinámica, Hd

2

2

222

2

1

2

2d

s

m9.812

s

m4.4215.085

g2

ccH

m 0.322Hd



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




136

Problema No. 4

Una bomba centrífuga para agua suministra un caudal de 50 m3/h. La presión a la salida de

la bomba es de 2.6 bar. El vacuómetro de aspiración indica una depresión de 250 Torr. La

diferencia de cotas entre los ejes de las secciones, donde se conectan las tomas

manométricas, es de 0.6 m. Los diámetros de las tuberías de aspiración e impulsión son

iguales. El rendimiento total de la bomba es de 62%.

Calcular la potencia de accionamiento de esta bomba.

Solución:

Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre la entrada (e) y la salida (s), de la bomba, se tiene:

g2

v

γ

pzH

g2

v

γ

pz

2

ss

su

2

ee

e

(1)

de donde

γ

ppzzH es

esu

(2)

22

4

2sm

kgf 26520

m

kgf101.022.6

cm

kgf1.022.6bar 2.6p

23em

kgf 3400

m

kgf13600m 0.25Hg mm 250Torr 250p

es vv (por ser tuberías de igual diámetro).

Sustituyendo valores numéricos en (2), resulta:

m 30.520

m

kgf 1000

m

kgf 340026520

m 0.6H

3

2

u

De otra parte:


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FACULTAD DE MINAS




137

a

u

totalP

Pη

0.62

m 30.520s

m

3600

50

m

kgf1000

η

HQγ

η

PP

3

3

total

u

total

u

a

kW 6.7 W6700s

m.N81.969.683

s

mkgf 683.69Pa

Problema No. 5

Una bomba centrífuga, cuya entrada en los álabes del rodete es radial, proporciona una

altura útil de 22 m, a una velocidad de 1200 rpm. D1 = 180 mm; D2 = 300 mm. cm es

constante en todo el rodete; s

m 25c u 2 . Las pérdidas hidráulicas en la bomba son iguales

a m c 0.027 2

2 (c2 en m/s).

Calcular.

El rendimiento hidráulico de la bomba, h.

Los ángulos de los álabes a la entrada y a la salida, ß1 y ß2.

Solución:

Entrada radial: 90ºα1 ; 0c u 1 ; m 21m 1 ccc , s

m25c u 2 ; 2

2int c0.027H (en

metros); m 22Hu .

1. Cálculo de la Eficiencia Hidráulica, h

s

m 11.31

s 60

1200m 0.18π

60

nDπu 1

1



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




138

s

m 18.85

s 60

1200m 0.30π

60

nDπu 2

2

t

u

hH

Hη (1)

m 48.038

s

m 9.81

s

m 25

s

m 18.85

g

cuH

2

u 22

t

45.80%0.4580m 48.038

m 22ηh

2. Cálculo de los Ángulos ß1 y ß2

inttu HHH (2)

utint HHH (3)

m 26.038m 2248.038Hint

m 26.038c0.027H 2

2int

luego, s

m 31.054

s

m

0.027

26.038c2

De los siguientes triángulos de velocidades, se deduce:


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




139

1

2

u 2

2

21

1

m 21

1

m 11

1u

cctan

u

ctan

u

ctanβ

º519.58

11.31

42.18tan

s

m 11.31

s

m2531.054

tanβ 1

22

1

1

71.5844º

s

m 2518.85

s

m18.47

tancu

c tanβ 1

u 22

m 212

'

º108.415671.5844º180ºβ180ºβ'

22

En consecuencia, el triángulo de velocidades a la salida del álabe queda de la siguiente

manera:

Problema No. 6

Una bomba centrífuga proporciona una altura útil de 40 m, con rendimiento hidráulico de

80%. Las tuberías de aspiración e impulsión son de 150 mm de diámetro. D2 = 350 mm;

b2 = 25 mm; ß2 = 25°; n = 1400 rpm. La pérdida de carga en las tuberías de aspiración e

impulsión, incluyendo las pérdidas secundarias, es de 10 m.



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




140

Calcular:

El caudal de la bomba.

La diferencia de cotas entre los niveles de agua en los depósitos de succión e impulsión,

si ambos están abiertos a la atmósfera.

Solución:

1. Cálculo del Desnivel entre los Tanques, H.

Planteando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y C, sobre la superficie libre del

agua, en sendos tanques, se tiene:

g2

v

γ

pzHhh

g2

v

γ

pz

02

CC

0

Cuimpasp

02

AA

0

A

impaspuAC hhHzz

Luego,

m 30m 10m 40hHH totalesu

2. Cálculo del Caudal Bombeado, Q.

s

m 25.656

s 60

1400m 0.35π

60

nDπu 2

2


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




141

Del triángulo de velocidades a la salida, se tiene:

u 22

m 22

cu

cβtan

(1)

2u 22m 2 β tan cuc (2)

Además,

u 11u 22

u

t

u

hcucu

Hg

H

Hη

(3)

Suponiendo entrada radial º90α1 , c1u = 0, entonces

u 22

u

hcu

Hgη

(4)

de donde,

s

m 1.19

s

m 25.656 8.0

m 40s

m 81.9

uη

Hgc

2

2h

u

u 2

Reemplazando éste y demás valores numéricos en (2), resulta:

s

m 3.05725ºtan

s

m19.125.656c m 2



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




142

Finalmente,

m 222 cbDπQ

s

l 84

s

m 0.084

s

m 3.057m 0.025m 0.35πQ

3

Problema No. 7

Entre las bridas de entrada y de salida de una bomba, se coloca un manómetro en U, de

mercurio. La bomba da un caudal de agua de 300 m3/h. Las tuberías de aspiración y de

impulsión son de 250 mm y 200 mm de diámetro, respectivamente. El eje de la bomba es

horizontal y entre los ejes de las tuberías, en las tomas manométricas de aspiración e

impulsión, hay un desnivel de 35 cm. El manómetro indica un incremento de altura de

mercurio de 20 cm (más elevada en la rama unida al tubo de aspiración).

Calcular la potencia útil que da la bomba.

Solución:


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




143

Aplicando Bernoulli entre las bridas de aspiración (a) y de impulsión (i), resulta:

g2

v

γ

pzH

g2

v

γ

pz

2

iiiu

2

aa

a

(1)

de donde,

g2

vv

γ

pz

γ

pzH

2

a

2

ia

ai

iu

(2)

4

a

4

i

2

2

a

ai

iuD

1

D

1

gπ

Q8

γ

pz

γ

pzH (3)

Además, aplicando manometría entre (a) e (i), resulta:

imaia plγΔhγΔhlzzγp (4)

γ

plΔh

γ

γΔhlzz

γ

p imai

a

Agrupando términos correspondientes y reduciendo términos comunes, se tiene:

1

γ

γΔh

γ

pz

γ

pz ma

ai

i (5)

Llevando el resultado de (5) en (3), queda:

4

a

4

i

2

2

mu

D

1

D

1

gπ

Q81

γ

γΔhH (6)

Sustituyendo valores numéricos en (6), se tiene:

444

2

2

2

62

um

1

0.25

1

0.2

1

s

m9.81π

s

m

3600

3008

11000

13600m 0.2H

m 2.732m 0.212m 2.520Hu



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




144

Finalmente,

uu HQγP

m 2.732s

m

3600

300

m

kgf 1000P

3

3u

s

mkgf 227.67Pu

W2231.17 W9.8227.67Pu

kW 2.23Pu

Problema No. 8

Una bomba centrífuga para alimentación de una caldera de vapor, que desarrolla una altura

efectiva de 80 m, bombea agua a 90°C, desde un depósito de aspiración, abierto a la

atmósfera, hasta la caldera. La pérdida de carga en la tubería de succión es de 0.5 m. La

presión barométrica es de 725 Torr. El caudal de la bomba es 0.25 m3/s: El diámetro de la

tubería de aspiración es de 400 mm y el coeficiente de cavitación de la bomba, = 0.1.

Esquematice la instalación, indicando la cota del eje de la bomba con respecto al nivel

superficial en el pozo de succión.

¿A qué altura geodésica máxima se podrá colocar la bomba?.

Si la presión de la caldera es 8,2 bar. y el eje de la bomba se encuentra 6 m por debajo

del nivel del agua en la caldera, ¿cuáles son las pérdidas totales en la impulsión de la

bomba?.

Solución:

1. Esquema de la Instalación de Bombeo.


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




145

A la temperatura T = 90°C, de tablas, se obtiene:

3aguam

kgf965γ

2vaporm

kgf 7154kPa 70.11p (absoluta).

3aatmosfericm

kgf13600m 0.725Hg mm 725Torr 725p

2aatmosfericm

kgf 9860p

2. Cálculo de la Altura de Succión Máxima, Hs máx.

Δhhγ

ppH eA

VA

max s

(1)

ueA

Vaatmosferic

max s Hσhγ

ppH

(2)



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




146

m 800.1m 0.5

m

kgf965

m

kgf71549860

H

3

2

max s

m 5.7 H max s

La bomba operará en carga, es decir, con su eje situado a 5.7 m, máximo, por debajo de

la superficie libre de agua en el tanque de succión.

3. Cálculo de las Pérdidas Totales en la Tubería de Impulsión, .imp Th .

Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre A y C, puntos situados sobre la superficie libre

de agua, en sendos depósitos, se tiene:

g2

v

γ

pzHHH

g2

v

γ

pz

02

CC

Cimp Tuasp. T

02

AAA

(3)

en donde se han considerado presiones absolutas. Y despreciando las diferencias de

velocidades. Luego,

AC

CA

asp Tuimp. T zzγ

pphHH

(4)


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




147

2

2

2

4

2

Am

kgf 83640

cm

kgfm

kgf10

bar

cm

kgf 1.02

bar 8.2p

Reemplazando valores numéricos en (4), resulta:

m 2.744m 5.76

m

kgf965

m

kgf836409860

m 0.5m 80H

3

2

imp. T

Problema No. 9

Una bomba centrífuga opera a 150 s

rady necesita 294 h.p. Determine la descarga a través

de la bomba, si la velocidad absoluta del agua a la entrada no tiene componente tangencial.

D2 = 16", b2 = 1" y ß2 = 45°. Además, 1η total

¿Por qué existen dos posibles soluciones y por qué la bomba no operaría eficientemente en

una de ellas?.

Solución:

Sean los siguientes, los triángulos de velocidades correspondientes a la entrada y a la salida

de los álabes del rodete:



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




148

s

m30.48

2

m 0254.016

s

rad150

2

Dωrωu 2

22

(1)

m 222 cbDπQ (2)

22

m 2bDπ

Qc

u 22

m 22

cu

cβtan

m 2m 2

2

m 2u 22 c

45ºtan

c

βtan

ccu

m 22u 2 cuc (3)

Reemplazando (2) en (3), se tiene:

22

2u 2bDπ

Quc

(4)

Por otro lado,

uu HQγP (5)

Además, 1ηηηη mVhtotal

de donde,

1H

Hη

t

u

h

Luego,

g

cuHH u 22

tu

(6)

Llevando (6) a (5),


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




149

g

cuQγP u 22

u

u 2

2

u cQγu

Pg

(7)

Trayendo (4) a (7), se obtiene:

22

2

2

u

bDπ

QuQ

γu

Pg

22

2

2

2

u

bDπ

QuQ

γu

Pg

o mejor,

0uγ

PgQuQ

bDπ

1

2

u

2

2

22

(8)

que es una ecuación cuadrática para Q, con dos raíces o soluciones para el caudal, la cual se

resolverá sustituyendo en ella los valores numéricos, así:

0

s

m30.48

m

kgf1000

s

mkgf76294

s

m9.81

Qs

m 30.48

m 0.02541m 0.025416π

Q

3

22

07.1841Q 30.48Q 30.8363 2 (9)

ó

00.232975Q 0.98445Q2 (10)

cuyas soluciones son:

s

l 600.43

s

m 0.60043Q

3

1

y



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




150

s

l388.01

s

m 0.38801Q

3

2

Existen dos valores posibles para Q, puesto que, dada la forma de la curva H vs. Q, se

pueden obtener dos valores de H correspondientes a sendos valores de Q, para un único

valor de P, que satisfacen la ecuación

constanteHQγHQγP 2u 21u 1u

de donde se deduce que, para el mayor valor de Q, corresponde el menor valor de Hu, y

viceversa. Ello se puede observar en el siguiente esquema:

Además, para la curva vs. Q, de la misma bomba, se puede observar que existe un valor

de Q2 , cuya eficiencia es menor que la correspondiente a Q1. La conclusión es que, para el

mayor de los dos caudales posibles (Q = 600.42 s

l) se obtiene mejor eficiencia.


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




151

Problema No. 10

Una bomba centrífuga que aspira directamente de la atmósfera (patm = 740 mm Hg) da un

caudal de 555s

l, a una altura efectiva de 13.5 m, cuando gira a 730 rpm. El NPSHneces es

3.33 m; la temperatura del agua es 20°C y las pérdidas de carga en el tubo de aspiración

ascienden a 0.54 m.

Calcular:

La altura máxima de aspiración de esta bomba.

El número específico de revoluciones.

Solución:

1. Cálculo de la Altura Máxima de Succión, Hs máx.

necesarioasp

vaatmosféric

máx s NPSHhγ

ppH

(1)

A T = 20°C, pv = 2337 Pa = 238.47 2m

kgf(abs.) y

3m

kgf998γ

Reemplazando valores numéricos en (1), resulta:

3.33m0.54m

m

kgf998

m

kgf238.47

m

kgf136000.74m

H

3

23

máx s

m 5.975H máx s

2. Cálculo del Número Específico de Revoluciones, ns

3/41/2

s HQn3.65n

85.281m 13.5s

m0.555rpm 7303.65n

3/4

1/23

s



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




152

Problema No. 11

Una bomba centrífuga cuyo coeficiente de cavitación = 0.11, desarrolla una altura útil de

90 m. La presión barométrica del lugar es 1.0 bar. La presión de saturación del vapor de

líquido bombeado ( = 1.4), para la temperatura de funcionamiento, es 0.03 bar (abs.). Las

pérdidas de carga en la tubería de aspiración ascienden a 1.5 m.

Calcular la altura máxima permisible a la cual puede colocarse el eje de la bomba, con

respecto al nivel del agua en el depósito de aspiración.

Solución:

Δhhγ

ppH asp

vatm

máx s

uasp

vatm

máx s Hσhγ

ppH

m 900.11m 1.5

m

kgf 1400

m

kgf10 x 1.020.031.0

H

3

2

4

máx s

m 4.33 H máx s

La bomba operará en carga, es decir, su eje estará 4.33m, como máximo, por debajo de la

superficie libre de agua en el tanque de succión.

Problema No. 12

Una bomba centrífuga de 0.5 m de diámetro de impulsor, eleva 20 s

l de agua a una altura

de 18 m, con una potencia absorbida de 4 kW, cuando opera a 1170 rpm, en su máximo

rendimiento. Si las relaciones de alturas de elevación y de diámetros de rodetes, con una


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




153

bomba modelo, son 4/1 y 5/1, respectivamente, a iguales rendimientos, ¿cuál es el número

específico de revoluciones del modelo?.

Solución.

Para que exista semejanza dinámica entre bombas rotodinámicas, debe cumplirse que:

ns p = ns m (1)

En general, 5/41/2

s HPnn (2)

Con n (rpm); P (c.v.) y H (m)

Además, se conocen los siguientes datos:

m 0.5Dp ; s

l 20Qp ; m 18Hp ; W4000 kW 4P p a ; rpm 1170n p

1

5

D

D ;

1

4

H

H ;ηη

m

p

m

p

mp

Existen dos maneras de resolver este problema, una más rápida que la otra, y se desarrollan

a continuación:

Primera Solución:

Hallando ns p, con los datos correspondientes al prototipo, mediante la ecuación (1) se

obtiene indirectamente ns m.

5/4

p

1/2

ppm sp s HPnnn

c.v.10359157322.1759.81

c.v. 11W 3-

c.v. 43662929.51W

c.v 1021.35915732 W4000P

-3

p a

-5/41/2

m sp s 18mc.v. 43662929.51170rpmnn

73.58 nn m sp s



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




154

Segunda Solución:

Se obtendrá ns m reemplazando en (2) los parámetros correspondientes al modelo, así:

De la relación de cabezas se obtiene nm:

2

m

p

2

m

p

m

p

D

D

n

n

H

H

(3)

p

m

p

m

m

p

H

H

D

D

n

n

p

p

m

m

p

s nH

H

D

Dn

(4)

rpm 2925rpm 11701/45nm (5)

Ahora, de la relación de potencias, se calcula Pm:

5

m

p

3

m

p

m

p

D

D

n

n

P

P

p

5

p

m

3

p

mm P

D

D

n

nP

c.v. 43662929.55

1

1170

2925P

53

m

c.v. 10718314644.2P 2

m

De la relación de alturas, se obtiene Hm:

4H

H

m

p

m 4.54

m 18

4

HH

p

m


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




155

Finalmente, se obtiene ns m reemplazando los parámetros correspondientes al modelo,

en la ecuación (2):

5/4

m

1/2

mmm s HPnn

-5/4-2

m s m 4.5c.v. 102.71831464rpm 2925n

58.73n sm

con lo cual se comprueba que m sp s nn

Problema No. 13

Una bomba de proceso, de succión única e impulsor de 8” de diámetro, bombea 350 US

gpm a 200 pie de cabeza, rotando a 3500 rpm, en su punto de mejor eficiencia. La potencia

necesaria es de 26 h.p. El trabajo cambia ligeramente y se sugiere cambiar el diámetro del

rotor a 7".

Determinar las nuevas cabezas, descarga y potencia necesaria, en el punto de mejor

eficiencia.

Solución:

Se trata de un caso de similitud en bombas geométricamente semejantes, de diámetro de

rotor diferentes y girando a igual número de revoluciones.

Prototipo Modelo

D1 = 8"

Q1 = 350 US gpm

H1 = 200 pie

P1 = 26 h.p.

n1 = 3500 rpm

D2 = 7"

n2 = n1 = 3500 rpm

Q2 = ?

H2 = ?

P2 = ?



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




156

De la primera ley de semejanza, se conoce lo siguiente:

3

2

1

2

1

D

D

Q

Q

gpm US234.47gpm US3508

7Q

D

DQ

3

1

3

1

22

De la segunda ley, se tiene:

2

2

1

2

1

D

D

H

H

pie 153.13pie 2008

7H

D

DH

2

1

2

1

2

2

Y de la tercera ley, se tiene:

5

2

1

2

1

D

D

P

P

h.p. 13.34 h.p. 268

7P

D

DP

5

1

5

1

2

2

Problema No. 14

Debe bombearse agua a 55°C, desde un recipiente elevado, conectado a la atmósfera, en un

lugar ubicado a 1048 m sobre el nivel del mar (patm = 9103.85 kgf/m2). Las pérdidas de

carga en la tubería de succión se han estimado en 0.55 m. Si el eje de la bomba se

encuentra 3.75 m por debajo de la superficie de agua en el tanque de alimentación, ¿cuál es

el NPSH disponible?

Solución:


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




157

Para (abs)m

kgf1560p C,55ºT

2vapor

y 3m

kgf986γ

succións

vA

disp hHγ

ppNPSH

(succión negativa, Hs < 0)

0.55m3.75m

m

kgf986

m

kgf1560.669103.85

NPSH

3

2

disp

m 10.85NPSHdisp

Problema No. 15

Una bomba situada a nivel del mar debe elevar agua a 15°C, desde un tanque subterráneo

conectado a la atmósfera. La superficie de agua en el tanque de succión está localizada

2.15 m por debajo del eje de la bomba. Las pérdidas totales de carga en la tubería de

succión son equivalentes a 0.55 m de columna de agua. ¿Cuál es el NPSH disponible?.

Solución:



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




158

Para (abs)m

kgf183p C,15ºT

2vapor .

3m

kgf999.2γ

A nivel del mar, 2aatmosféric

m

kgf10336p

succións

vA

disp hHγ

ppNPSH

m 0.55m 2.15

m

kgf 999.2

m

kgf18310336

NPSH

3

2

disp

m 7.46NPSHdisp

Problema No. 16

Se emplea una bomba para elevar agua desde un tanque que recibe una mezcla de agua y

vapor de una caldera, a una temperatura de 115°C. El nivel de líquido en dicho tanque está

7 m por encima del eje de la bomba, y las pérdidas de carga en la tubería de succión son


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




159

equivalentes a 0.46 m de agua caliente. ¿Cuál es el NPSHdisponible de la instalación de

bombeo, si ésta se encuentra a 578 m sobre el nivel del mar (2atmosféric

m

kgf9659p ). Presión

de vapor, a T = 115°C, m

kgf17675p

2vapor (abs.)

Solución:

succións

vA

disp hHγ

ppNPSH

( succión negativa, Hs < 0)

succións

vv

disp hHγ

ppNPSH

succiónsdisp hHNPSH

m 6.54 m 0.46m 7.0NPSHdisp



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




160

Problema No. 17

Se necesita una bomba para elevar 10000 gpm de agua a una cabeza de 25 pie. Una bomba

similar, con un impulsor de 36" de diámetro, descarga 2500 gpm a una cabeza de 120 pie,

cuando gira a 800 rpm.

Determinar el diámetro necesario del impulsor y la velocidad de rotación para la bomba, a

la misma eficiencia.

Solución.

total2 total1 ηη

BOMBA No. 1

Prototipo

BOMBA No. 2

Modelo

D1 = ?

n1 = ?

Q1 = 10000 gpm

H1 = 25 pie

D2 = 36"

n2 = 800 rpm

Q2 = 2500 gpm

H2 = 120 pie

De las leyes de similitud de bombas, se tiene:

3

2

1

2

1

2

1

D

D

n

n

Q

Q

(1)

3

1

2

2

1

2

1

D

D

Q

Q

n

n

(2)

Además,

2

2

1

2

2

1

2

1

D

D

n

n

H

H

(3)

Llevando (2) a (3), resulta:


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




161

2

2

1

6

1

2

2

2

1

2

1

D

D

D

D

Q

Q

H

H

4

1

2

2

2

1

2

1

D

D

Q

Q

H

H

4

2

1

2

2

1

1

2

Q

Q

H

H

D

D

Luego,

24

2

2

1

1

21 D

Q

Q

H

HD

Entonces,

pulg. 362500

10000

25

120D 4

2

1

pie 9.0 pie 8.88pulg. 106.57D1 (4)

Finalmente, reemplazando (4) en (2), resulta:

2

3

1

2

2

11 n

D

D

Q

Qn

Luego,

rpm 800106.57

36

2500

10000n1

rpm 123.35n1



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




162

Problema No. 18

Para abastecer de agua a una comunidad rural, situada a 1500 m sobre el nivel del mar, se

ha construido un pozo cuyo nivel medio de agua se encuentra a 40 m por debajo del

correspondiente a un tanque de almacenamiento, como se muestra en la figura. Se instalará

un sistema de bombeo que, dada las necesidades de consumo, eleve 50.5 s

l y opere 6 horas

diariamente. Las tuberías de succión e impulsión serán de hierro galvanizado (C =100 ), y

los accesorios requeridos en la instalación se indican en la figura. Se instalará una bomba

centrifuga con motor de velocidad variable, cuyas especificaciones se desean conocer, para

lo cual se pide seleccionar una bomba apropiada, y calcular:

Altura dinámica de la bomba, HB.

Potencia útil de la bomba, Pu.

Potencia requerida (potencia absorbida) por la bomba, Pa, si se sabe que la eficiencia de

la bomba es del 68%.

El NPSHdisonible de la bomba.

El NPSHrequerido de la bomba.

La altura de succión máxima de la bomba.


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




163

Solución:

1. Cálculo de la altura Dinámica de la bomba, HB.

Aplicando Bernoulli entre los puntos A y B, situados en la superficie libre del agua en

sendos tanques, se tiene:

g2

v

γ

pzHhh

g2

v

γ

pz

02

BBBBi Ts T

02

AAA

(1)

de donde,

i Ts TABB hhzzH (2)

En la cual AB zz es la altura estática a vencer por parte de la bomba. hT s y hT i son

las pérdidas de carga totales, por fricción y por accesorios, en las tuberías de succión y

de impulsión, respectivamente.



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




164

1. Cálculo de las Pérdidas de Carga Totales, hT

1.1.1. Pérdidas en la Tubería de Succión, hT s

Se empleará la formula de Hazen-Williams, que expresa:

0.540.63 JDC0.355V (3)

Por continuidad,

4

Dπ

L

hDC0.355AVQ

20.54

f0.63

de donde,

1.851

1.851

2.63f QLDC

3.5866h

(4)

Para considerar las pérdidas locales, debidas a válvulas y accesorios, se empleará el

método de las longitudes equivalentes:

VÁLVULAS/ACCESORIO LONGITUD VIRTUAL

EQUIVALENTE (m)

Válvula de pie con rejilla (D = 6”)

Codo 90º (radio medio) (D = 6”)

Válvula de compuerta abierta (D = 6”)

39.0

6.7

1.7

Longitud virtual equivalente, Lequivalente

Longitud real de la tubería de succión, L

47.4

3.0

Longitud total, LT = Lequivalente + L 50.4

Reemplazando valores numéricos en (4):


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




165

m 0.050550.4

0.02546100

3.5866h

1.851

1.851

2.63s T

m .024h s T

1.1.2. Pérdidas en la Tubería de Impulsión, hT i

VÁLVULAS/ACCESORIO LONGITUD VIRTUAL

EQUIVALENTE (m)

Válvula de compuerta abierta (D = 5”)

2 Codos de 45º (D = 5”) (*1.9 m)

1 Válvula de retención (tipo pesada) (D = 5”)

1 Salida de la tubería (D = 5”)

0.9

3.8

16.1

4.0

Longitud virtual equivalente, Lequivalente

Longitud real de la tubería de impulsión, L

24.8

127.0

Longitud total, LT = Lequivalente + L 151.8

m 0.0505151.8

0.02545100

3.5866h

1.851

1.851

2.63i T

m 42.29h i T

Reemplazando en la ecuación (2), se tiene:

m 29.42m 4.02m 40HB

m 73.44HB



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




166

2. Cálculo de la Potencia Útil de la bomba. Pu

Buu HQγHQγP

m 73.44s

m0.0505

m

kgf 1000P

3

3u

h.p. 76

3708.72

s

mkgf 3708.72Pu

h.p. 48.8 Pu

3. Cálculo de la Potencia Requerida por la bomba, Prequerida

A la potencia requerida se le llama también potencia absorbida en el eje, y se le denota

por Pa.

De la expresión para la eficiencia total se tiene:

a

u

bombaP

Pη (5)

h.p. 71.760.68

h.p. 48.8

η

PP

bomba

u

a

4. Selección de la Bomba

Para elegir la bomba más apropiada a las condiciones dadas del problema, se utilizará la

siguiente gráfica suministrada por el fabricante de las bombas centrifugas. Para ello, se

entrará a dicha figura con los valores de min

l3030

s

l 50.5Q y m 73.44HB .


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




167

En dicha figura se observa que la bomba que cumple con estas exigencias quedaría en

una situación intermedia entre las bombas comerciales No. 1 ( rpm 1750n ,

h.p. 75P 1a ) y la No. 2 (n = 2000 rpm, P2 = 100 h.p.).

Por tanto, se seleccionará la Bomba No. 2, por tener una potencia mayor que la

requerida y por suministrar una cabeza, H, y un caudal, Q, mayores que los exigidos por

la situación real. Luego, la bomba seleccionada tiene las siguientes especificaciones:

Bomba: 5 x 6 x 15

Diámetro del rotor: D = 381 mm

Velocidad Variable: 1150 n 2000 rpm

Potencia nominal: P = 75 h.p.



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




168

Conexión a la succión: Ds = 6”

Conexión a la impulsión: Di = 5”

5. Cálculo del NPSH disponible, NPSHdisponible

s Ts

vA

disponible hHγ

ppNPSH

(6)

s Ts

vaAtmosféric

disponible hHγ

ppNPSH

(7)

A 1500 m sobre el nivel del mar, patm = 8.4 2cm

N = 0.8571

2cm

kgf = 8571

2m

kgf

Para una temperatura del agua, T = 20ºC, 222v

m

kgf239

cm

kgf0.0239

cm

N0.234p

Además, la altura de succión, Hs = 1.8 m.

Reemplazando valores numéricos en la ecuación (7):

m 4.02m 1.8

m

kgf1000

m

kgf2398571

NPSH

3

2

disponible

m 2.512NPSHdisponible

6. Cálculo del NPSHrequerido

De la misma gráfica del fabricante, para la bomba seleccionada (n = 2000 rpm), se

encuentra que, para min

l3030

s

l 50.5Q , m 2.0NPSH requerido

De esta manera,

m 2.0NPSHm 2.51NPSH requeridodisponible


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




169

7. Cálculo de la Altura Máxima de Succión, Hs máx

s T

vA

máx s hΔhγ

ppH

(8)

s Trequerido

vaAtmosferic

máx s hNPSHγ

ppH

(9)

Reemplazando valores numéricos en la ecuación (9), se tiene:

m 4.02m 2.0

m

kgf1000

m

kgf2398571

H

3

2

máx s

m .312H máx s

Chequeo: m 1.8Hm 2.31H smáx s

Problema No. 19

Para el sistema de bombeo mostrado en la figura, calcule la presión en el nodo C, las

presiones de succión y descarga de la bomba, el caudal de la línea 3 y la potencia útil de la

bomba.

Solución.

5.1Q66.63958.68HB

s

m Q ; mH

3

B

Línea 1: L= 67.1 m D = 406 mm C = 120

Línea 2: L = 670.6 m D = 105 mm C = 120

Línea 3: L = 304.8 m D = 305 mm C = 120



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




170

Potencia útil: u

HQuPB 852.1

852.1

63.2QL

DC

5866.3

fh

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y D, se tiene:

g2

vpzhhHh

g2

vpz

2

DDD3 f2 fB1 f

2

AAA

Considerando presiones relativas y despreciando las cabezas de velocidades, y

reemplazando los valores numéricos, se tiene:

D

852.1

33

852.1

63.2

33

852.1

2263.2

22

5.1

1

852.1

11

852.1

63.2

11

A

zQLDC

5866.3

QLDC

5866.3Q66.63958.68QL

DC

5866.3z

Por la ecuación de continuidad:

qQQQ 321


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




171

852.1

33

852.1

63.2

33

852.1

3

263.2

22

5.1

3

852.1

31

852.1

63.2

11

AD

QLDC

5866.3qQ

LDC

5866.3qQ66.63958.68qQL

DC

5866.3zz

Agrupando términos y reemplazando valores numéricos, resulta:

87.4

852.1

3

87.487.4

852.1

3

852.1

5.1

3

305.0

Q8.304

305.0

6.670

405.0

1.67

0212.0Q120

5866.30212.0Q66.63958.681.384.91

Organizando se tiene:

028.15Q6291144.1480212.0Q226848.3350212.0Q66.639 852.1

3

852.1

3

5.1

3

s

m 0501046.0Q

3

3

s

l 1.50Q3

s

m0212.00501046.0

s

m0212.0QQQQ

33

3B21

s

m 0713046.0QQQ

3

B21

Cálculo de la altura útil, Hu = HB

5.1

Bu 0713046.066.63958.68HH

m 4.56Hu



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




172

Cálculo de la potencia útil de la bomba, Pu

uBu HQP

m 4.56s

m0713046.0

m

kgf1000P

3

3u

s

mkgf 58.4021Pu

.v.c 62.53.v.c 75

58.4021Pu

h.p. 92.52h.p. 76

58.4021Pu

kW 41.39W 48.39411s

J48.39411

s

mN8.958.4021Pu

Cálculo de la presión en C, pc.

Bernoulli entre A y C: g2

vpzhHh00z

2

CC

C2 fB1 fA

4

2

2

2

22 f1 fACB

C

Dg

Q8hhzzH

p

4

2

2

2

21.852

22

1.852

2.63

22

1.852

112.63

11

1C

1.5

BC

Dgπ

Q18QL

DC

3.5866QL

DC

3.5866zzQ639.6668.58

γ

p

Reemplazando valores:

m 0486.0m 46.2m 0611.0m 6.7 m 179.1258.68pC

.a .c m 2313.46m 0486.0m 46.2m 0611.0m 6.7 m 401.56pC


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




173

223

C

cm

kgf6231.4

m

kgf3.46231

m

kgf1000m2313.46

p

Cálculo de la presión de succión o presión a la entrada de la bomba, pa

Bernoulli entre A y e: g2

vpzh

g2

vpz

2

ee

e1 f

2

AAA

Despreciando la velocidad en A y tomando presiones relativas, se tiene

g2

vzhz

p 2

e

e1 fA

e

4

1

2

2

1feA

e

Dg

Q8hzz

p

Remplazando valores numéricos, se tiene:

m

406.08.9

0713046.018m 0611.0m 05.351.38

p42

2

e

m 9734.2m 0155.0m 0611.0m 05.3pe

Cálculo de la presión dinámica de descarga o presión a la salida de la bomba, ps

Ecuación de Bernoulli entre e y s:

g2

vpzH

g2

vpz

2

ss

sB

2

ee

e

g2

vvH

pp 2

s

2

e

B

es

2

2

s

2

B

2

2

e

BB

es

D

Q4

D

Q4

g2H

pp



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




174

2

4

s

2

4

e

2

2

BB

es

D

1

D

1

g

Q8H

pp

4

2

4

2

4

2

2

2

2

s

m

1

305.0

1

406.0

1

s

m8.9

s

m0713046.018

m 401.56m 9734.2p

m 0331.0m 401.56m 9734.2ps

m 341.59ps

Problema No. 20

Los resultados de un ensayo elemental de una bomba rotodinámica, girando a 1450 rpm, se

presentan en la siguiente tabla:

Q (l/s) 40 80 120 160 200

H (m) 32.0 30.5 28.0 24.5 20.0

Pa (kW) 34.2 39.2 45.0 52.5 64.5

Aplicando las ecuaciones de regresión lineal por mínimos cuadrados, ajuste una expresión

de la forma 2QcaH , y otra de la forma 2QedQη , para dicha bomba.

Además, calcule su eficiencia máxima, sus características nominales (QN, HN y PaN) y su

número específico de revoluciones, ns.


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




175

N

1 i

2

i

N

1 i

i Q cNaH

N

1 i

3

i

N

1 i

2

i

N

1 i

ii Q eQ dQη

N

1 i

4

i

N

1 i

2

i

N

1 i

2

ii Q cQ aQH

N

1 i

4

i

N

1 i

3

i

N

1 i

2

ii Q eQ dQη

N: Número de puntos (Hi, Qi) N: Número de puntos (i, Qi)

1. Ajuste de la curva H vs. Q

Se trata de determinar una ecuación de la forma 2QcaH , y otra, de la forma

2QedQη , para la bomba, aplicando los siguientes sistemas de ecuaciones

N

1 i

2

i

N

1 i

i Q cNaH (1)

N

1 i

4

i

N

1 i

2

i

N

1 i

2

ii Q cQ aQH (2)

N

1 i

3

i

N

1 i

2

i

N

1 i

ii Q eQ dQη (3)

N

1 i

4

i

N

1 i

3

i

N

1 i

2

ii Q eQ dQη (4)

Donde N es el número de puntos (Hi, Qi) ó (i, Qi) de las respectivas curvas

características.

En este problema, se trabajará con caudales en m3/s.

135HN

1 i

i

; 088.0Q N

1 i

2

i

; 0768.2QHN

1 i

2

ii

; 00250624.0Q N

1 i

4

i

De (1):

2

ii Q cHN

1a (5)

(5) en (2):

4

i

2

i

2

ii

2

ii Q cQQcHN

1QH

2

i

2

i

4

i

2

ii

2

ii Q QN

cQcQH

N

1QH



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




176

22

i

4

i

2

ii

2

ii QN

1QcQH

N

1QH

22

i

4

i

2

ii

2

ii

QN

1Q

QHN

1QH

c

(6)

Reemplazando las respectivas sumatorias en la ecuación (6), se tiene:

5.312

5

088.000250624.0

5

088.01350768.2

c2

(7)

Ahora, se sustituye el valor de c en la ecuación (5), para determinar el valor del

coeficiente a, así:

5.320.0885.3121355

1a (8)

Ecuación de regresión para H:

2Q 312.5-32.5H ; H (m), Q (m3/s) (9)

2. Cálculo de los valores de la potencia útil, Pu

m Hs

m Q

m

kgf γHQγP

3

3u

(10)

s

mN H Q81.91000

s

mkgf H Q1000m H

s

m Q

m

kgf1000P

3

3u

kW H Q1000

81.91000 WH Q81.91000

s

J H Q81.91000Pu

kW m Hs

m Q81.9P

3

u

(11)


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




177

Sustituyendo los valores de Q (m3/s) y de H (m) de la Tabla de Datos en la ecuación

(11), se obtienen los correspondientes valores Pu.

Por ejemplo, para Q = 40 l/s = 0.040 m3/s, y H = 32.0 m, se tiene:

kW 12.5568kW 3204.081.9Pu (11’)

3. Cálculo de los valores de eficiencia,

100P

Pη

a

u (12)

Con ayuda de la ecuación (12) se calculan los respectivos valores de la eficiencia de la

bomba, , completando la Tabla de Datos.

Por ejemplo, para Q = 40 l/s = 0.040 m3/s, y H = 32.0 m, Pu = 12.5568 kW y

Pa = 34.2 kW, se tiene:

% 7958.36100kW 34.2

kW 12.5568η (13)

4. Ajuste de la curva vs. Q

Ahora, se determinará la expresión que relaciona la eficiencia, , con el caudal, Q, que

impulsa la bomba, de la forma 2QedQη .

De la ecuación (2),

2

i

3

iii

Q

QeQηd (14)

Sustituyendo (14) en (4), se tiene:

4

i

3

i2

i

3

iii2

ii QeQQ

QeQηQη

4

i2

i

3

i

3

i

2

i

3

iii2

ii QeQ

QQe

Q

QQηQη



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




178

2

i

23

i4

i2

i

3

iii2

iiQ

QQe

Q

QQηQη

2

i

23

i4

i

2

i

3

iii2

ii

Q

QQ

Q

QQηQη

e (15)

Para este caso, los valores de las sumatorias son:

812952003.5Qη 2

ii ; 088.0Q 2

i ; 03049303.39Qη ii ;

0144.0Q 3

i ; 00250624.0Q 4

i

Reemplazando los valores de las sumatorias en la ecuación (15), se tiene:

862226.3828

088.0

0144.000250624.0

088.0

0144.003049303.39812952003.5

e2

(16)

Sustituyendo este valor en la ecuación (10), se obtiene:

069421.1070

088.0

0144.0862226.382803049303.39d

(17)

Con lo cual se obtiene:

2Q 63828.86222-Q 069421.1070η ; con Q (m3/s), (%) (18)

5. Cálculo de la eficiencia máxima, máx

El valor de la eficiencia máxima resultará de derivar la función vs. Q, con respecto al

caudal; así:

Q 862226.3828 2069421.1070dQ

dη


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




179

0Q 27657.72445 069421.1070dQ

dη (19)

s

m1397372685.0

724452.7657

11070.06942Q

3

(20)

Este es el valor del caudal correspondiente a la máx; es decir, es el caudal nominal,

s

l74.139QN (21)

Reemplazando este valor de Q en la ecuación (18), se tiene:

76428363.74850.13973725 862226.38281397372585.0 069421.1070η2

máx

% 764.74ηmáx (22)

6. Cálculo de las características nominales de la bomba, (QN, HN, Pa N)

Recuérdese que las características nominales de una bomba son las que corresponden al

punto de mejor rendimiento, PMR, es decir a la máx.

6.1. Cálculo del caudal nominal, QN

En el epígrafe 5 se obtuvo el valor del caudal nominal, y es:

s

l74.139QN (23)

6.2. Cálculo de la altura nominal, HN

m 3977.260.13974 5.3125.32HHs

l 139.74

NQQN

m 4.26HN (24)

6.3. Cálculo de la potencia útil nominal, PuN

NNNu HQγP



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




180

s

mkgf 3689.139m 26.4

s

m 0.13974

m

kgf 1000P

3

3Nu

kW 19.36P Nu (25)

6.4. Cálculo de la potencia de accionamiento nominal, PaN

N a

Nu

máx P

Pη

kW 40565.480.74764

kW 19.36

η

PP

máx

Nu

N a

kW 4.48P N a (26)

6.5. Cálculo de la velocidad específica, ns

3/4

N

1/2

N

sH

Qnn

, con n (rpm), QN (m

3/s) y HN (m)

53989794.46

4.26

13974.01450n

3/4

1/2

s

54.46n s

A continuación, se presenta una tabla con los valores iniciales del problema y los resultados

obtenidos durante su resolución.

Q (l/s) 40 80 120 160 200

H (m) 32.0 30.5 28.0 24.5 20.0

Pa (kW) 34.2 39.2 45.0 52.5 64.5

Pu (kW) 12.5568 23.9364 32.9616 38.4552 39.24

(%) 36.71578947 61.0622449 73.248 73.248 60.8372093


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




181

Problema No. 21

Dos bombas distintas, cuyas curvas características se expresan a continuación, han de

acoplarse en serie, de acuerdo con la instalación mostrada en la figura.

2

B1 Q 4000-Q 13569H ; 2

1 Q 230-Q 25η

2

B2 Q 4285-Q 7154H ; 2

2 Q 380-Q 37η

con H (m), Q (m3/s) y en tanto por uno.

Se desea determinar:

El caudal que impulsarían las bombas si se acoplan en serie.

El costo unitario por m3 de agua elevada por el conjunto en serie, sabiendo que el costo

de la energía es 219 $/kW∙h.

m 1872LL T Total ; s

m101.141ν

26

agua ; 4.7kLT

ks = 0.2 mm = 0.0002 m

Ds = Di = 350 mm

Los subíndices s e i significan succión e impulsión, respectivamente.



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




182

Solución Analítica:

Por tratarse de un sistema de bombas en serie,

B2B1T QQQ , y B2B1T HHH (1)

1. Determinación de las curvas motriz y resistente del sistema

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los depósitos A y C, se tiene:

CB2B1C-AA HHHHH (2)

g 2

v α

γ

pzHHhhhh

g 2

v α

γ

p z

02

C

0

C

CB2B1i Li fs Ls f

02

A

0

AA

(3)

B2B1i Ls Li fs fAC HHhhhhzz (4)

B2B14

i

2

2

Ti L

4

s

2

2

Ts L

5

i

2

2

Tii

5

s

2

2

Tss

AC HHD g

Q h 8

D g

Q h 8

D g

Q L f 8

D g

Q L f 8zz

(5)

B2B14

i

i L

4

s

s L

2

2

T

5

i

ii

5

s

ss

2

2

TAC HH

D

h

D

h

g

Q 8

D

L f

D

L f

g

Q 8zz

B2B14

i

i L

4

s

s L

5

i

ii

5

s

ss

2

2

TAC HH

D

h

D

h

D

L f

D

L f

g

Q 8zz

Motriz Curva

HH

Resistente Curva

Q D

h

D

h

D

L f

D

L f

g

8zz B2B1

2

T4

i

i L

4

s

s L

5

i

ii

5

s

ss

2AC

(6)

1.1. Determinación de la ecuación de la curva motriz del sistema

B2B1m HHH (7)

2

2 B22 B22

2

1 B11 B11m Q CQ BAQ CQ BAH (8)

Por estar las bombas acopladas en serie,


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




183

TB2B1 QQQ (9)

Luego,

2

T21T2121m Q CCQ B BAAH (10)

Ecuación particular de la curva motriz del sistema, para dos bombas en serie.

1.2. Determinación de la curva resistente del sistema

2

T4

i

i L

4

s

s L

5

i

ii

5

s

ss

2ACr Q D

h

D

h

D

L f

D

L f

g

8zzH

(11)

Ecuación general de la curva resistente del sistema.

En este problema, los diámetros de las tuberías de succión e impulsión son iguales, es

decir, DDD is . Además, por tratarse de tuberías de idéntico material

constantekkk si ss s , por las que fluye el mismo caudal B2B1T QQQ , los

coeficientes de fricción son iguales fff i s . Por lo tanto, la ecuación (11) se

puede expresar de la siguiente manera:

2

T4

i L

4

s L

5

ii

5

s

2ACr Q D

k

D

k

D

L f

D

Lf

g

8zzH

(12)

2

T4

i Ls L

5

is

2ACr Q D

kk

D

LLf

g

8zzH

(13)

Es claro que la longitud total de la tubería del sistema, isT LLL , y que

Ti Ls L kkk

Luego, la ecuación (13) se reduce a la siguiente:

2

T42

T L2

T52

TACr Q

D g

k 8Q

D g

L f 8zzH

(14)



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




184

2

TT LT52ACr Q k DL f D g

8zzH

(15)

Ecuación particular de la curva resistente del sistema

2. Determinación del punto de funcionamiento del sistema, TT Q,HP

El punto de funcionamiento del sistema queda definido por la intersección de la curva

motriz con la curva resistente, es decir, resolviendo la ecuación (6) para el caudal, QT,

del sistema. En pocas palabras, se debe calcular el valor de QT que satisfaga la

siguiente igualdad:

mr HH (16)

2.1. Cálculo del caudal total, QT

Igualando las ecuaciones (15) y (16), se tiene:

2

T21T2121

2

TT LT52AC Q CCQ B BAAQ k DL f D g

8zz

ecuación (17)

Para calcular QT que satisfaga la ecuación (17), se requiere del concurso de la

ecuación de Colebrook & White, la cual expresa lo siguiente:

f R

2.51

D 3.7

k log 2

f

1 s (18)

con R

D π

Q 4 T (19)

Reemplazando la ecuación (19) en la ecuación (18), se tiene:

f Q 4

D π2.51

D 3.7

k log 2

f

1

T

s (20)

En definitiva, se trata de resolver el sistema de ecuaciones simultáneas conformado

por las ecuaciones (17) y (20), cuyas incógnitas son f y QT. Ello sólo puede hacerse

iterativamente, por ensayo y error, lo cual es bastante laborioso.


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




185

La manera más ágil de resolver el sistema de ecuaciones (17) y (20) es eliminando f y

obteniendo una sola ecuación con una sola incógnita: QT.

En efecto, combinando la ecuación de Darcy & Weisbach con la de Colebrook &

White, se llega a la siguiente expresión:

T

T f

s

T

T f

2

T

L

h D g 2 D

2.51

D 3.7

k log

L

h D g 2

2

D Q (21)

y de la ecuación (4) se despeja T fi s fs f hhh , así:

2 B1 Bi Ls LACT f HHkkzzh (22)

ó

2

T21T212142

2

TT L

ACT f Q CCQ B BAA D g

Qk 8zzh

(23)

Finalmente, llevando (23) a (21), y reordenando términos, resulta:

D g

Qk 8zzQ CCQ B BAA

L

D g 2

2.51 log

D g

Qk 8zzQ CCQ B BAA

L

D g 25.0 Q

42

2

TT L

AC

2

T21T2121

T

3

42

2

TT L

AC

2

T21T2121

T

5

T

ecuación (24)

En la ecuación (24), todos los valores son conocidos, excepto el del caudal, QT.

Con la ayuda de una calculadora programable (por ejemplo, la HP-48GX), es fácil

resolver la ecuación (24), para lo cual, con los datos que aparecen en la figura del

problema, se obtuvo:



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




186

s

m080913.0Q

3

T (25)

Por lo tanto, el caudal impulsado por las dos bombas conectadas en serie es

s

l91.80

s

m080913.0Q

3

T . Además, 684010.01879583f .

2.2. Cálculo de la altura suministrada por cada bomba en el punto de funcionamiento, HBi

Para la bomba B1:

2

B1B1B1 Q 4000-Q 13569H

s

m080913.0QQQ

3

TB2B1

2B1 0.080913 4000-0.080913 13569H

m 889.31HB1

Para la bomba B2:

2

B2B2B2 Q 4285-Q 7154H

2B2 0.080913 4285-0.080913 7154H

m 202.20HB2

2.3. Cálculo de la altura total del conjunto de bombas en serie

Cuando las bombas se asocian en serie, la altura total de la asociación es,

sencillamente, la suma de las alturas que suministran las bombas; esto es:

B2B1T HHH

m 202.20m 889.31HT

m 091.52HT


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




187

3. Cálculo del caudal nominal de cada bomba, QN

El caudal nominal es aquel que corresponde al valor de la eficiencia máxima, y se

calcula de la siguiente manera:

Para la bomba B1:

2

1 Q 230-Q 25η

0Q 460-25Q d

η d 1

s

m 0.05435

460

25Q

3

1 N

Obsérvese que s

m 0.080913Q

s

m 0.05435Q

3

T

3

1 N

Para la bomba B2:

2

2 Q 380-Q 37η

0Q 760-37Q d

η d 2

s

m 0.04868

760

37Q

3

2 N

Nótese que s

m 0.080913Q

s

m 0.04868Q

3

T

3

2 N

4. Cálculo de la eficiencia máxima de cada bomba, máx

Para la bomba B1:

2

1 N1 N1 , máz Q 230-Q 25η

% 93.676793.00.05435 230-0.05435 25η2

1 , máz



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




188

Para la bomba B2:

2

2 N2 N2 , máz Q 380-Q 37η

% 07.909007.00.04868 380-0.04868 37η2

2 , máz

5. Cálculo de las eficiencias en el punto de funcionamiento, Bi

La eficiencia de cada bomba, en el punto de funcionamiento del sistema, se obtiene

reemplazando el valor del caudal correspondiente al punto de funcionamiento del

sistema, s

m 080913.0Q

3

T , en la respectiva ecuación de rendimiento de la bomba:

Para la bomba B1:

2

TT1 B Q 230-Q 25η

% 70.515170.00.080913 230-0.080913 25η2

1 B

Para la bomba B2:

2

TT2 B Q 380-Q 37η

% 60.505060.00.080913 380-0.080913 37η2

2 B

6. Cálculo de la potencia absorbida en el eje, de cada bomba, Pa i

i B

i Bi B

i B

iu

i aη

HQ γ

η

PP

s

mkgf 78.4990

0.517

m 889.31s

m 080913.0

m

kgf 1000

η

HQ γP

3

3

1 B

1 B1 Ba1

s

mkgf 44.3230

0.506

m 202.20s

m 080913.0

m

kgf 1000

η

HQ γP

3

3

2 B

2 B2 Ba2


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




189

7. Cálculo de la potencia útil del conjunto, PuT

s

mkgf 84.4214m 091.52

s

m 080913.0

m

kgf 1000HQ γP

3

3TTTu

kW 41.35kW 1000

81.984.4214

s

mN 81.984.4214P Tu

8. Cálculo de la eficiencia global del conjunto, T

2 B

2 BT

1 B

1 BT

TT

2 a1 a

T a

N

1 i

i a

Tu

T

η

HQ γ

η

HQ γ

HQ γ

PP

P

P

Pη

% 27.515127.0

s

mkgf44.323078.4990

s

mkgf 4214.84

ηT

9. Cálculo de la potencia absorbida total del conjunto de bombas, PaT

kW 65.800.5127

kW 41.35

η

PP

T

Tu

T a

10. Cálculo del costo unitario de elevación del agua, Cu

bT

bT aenergía

bombeadobombeado

bombeadoabsorbidaenergíaabsorbidaenergía

utQ

tPC

tQ

tPC

elevadoVolumen

ECC

33u

m

$ 64.60

s 3600s

m 0.080913

h 1kW 80.65hkW

$219

C



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




190

Solución Gráfica para el Punto de Funcionamiento:

En la siguiente figura se muestran las curvas motriz y resistente del sistema, de cuya

intersección resulta el punto de funcionamiento PF (QT, HT). Además, en ella se puede

observar las curvas de eficiencia correspondientes a cada una de las bombas.


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




191

Problema No. 22

Resolver el problema (21) bajo la consideración de que las dos bombas estarán asociadas en

paralelo.

Solución Analítica:

Por estar acopladas las dos bombas en paralelo, TB2B1 HHH , y B2B1T QQQ

1. Determinación de las curvas motriz y resistente del sistema

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los depósitos A y C de la figura, resulta:

Cconjunto TC-AA HHHH (1)

Al reemplazar en la ecuación (1), resulta:

CTi Li fs Ls fA zHhhhhz (2)

Reorganizando los términos en la ecuación (2), se tiene:

Ti Li fs Ls fAC Hhhhhzz (3)



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




192

La ecuación (3) presenta dos variantes distintas, según que se considere la trayectoria

CUBA 1 o la trayectoria CUBA 2 , y son las siguientes:

T

2

T4

i

i L

5

i

ii

2

2

1 B4

1 s

1 s L

5

1 s

1 s1 s

2AC HQ D

k

D

L f

g

8Q

D

k

D

L f

g

8zz

(4a)

T

2

T4

i

i L

5

i

ii

2

2

2 B4

2 s

2 s L

5

2 s

2 s2 s

2AC HQ D

k

D

L f

g

8Q

D

k

D

L f

g

8zz

(4b)

Normalmente, las longitudes de las tuberías de succión en un sistema de bombas en

paralelo son cortas, por lo cual se pueden ignorar las pérdidas de carga en dichas

tuberías. Por esta razón, las ecuaciones (4a) y (4b) se vuelven idénticas, resultando:

Motriz Curva

HHH

Resistente Curva

Q k DL f D g

8zz B2B1T

2

Ti Liii5

i

2AC

(5)

Por otra parte, como se dijo al principio, B2B1T QQQ , (6)

2. Cálculo de la altura suministrada por el conjunto de bombas en paralelo, HT

Los caudales B1Q y B2Q se despejarán de las respectivas ecuaciones de H vs. Q, de la

siguiente manera:

2

1 B11 B111 B Q CQ BAH (7)

1

1 B11

2

11

1 BC 2

HA C 4BBQ

(8)

Así mismo,

2

2 B22 B222 B Q CQ BAH (9)


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




193

2

2 B22

2

22

2 BC 2

HA C 4BBQ

(10)

Sustituyendo las ecuaciones (9) y (10) en la ecuación (6), sabiendo que

TB2B1 HHH , se tiene:

2

T22

2

22

1

T11

2

11

TC 2

HA C 4BB

C 2

HA C 4BBQ

(11)

La ecuación (11) se sustituye en la ecuación (5), resultando:

T

2

TT

i Liii5

i

2AC

H8570

H54 17140504171

8000

H69 1600018225135

k DL f D g

8zz

(12)

Estas dos ultimas ecuaciones se resolverán iterativa y simultáneamente junto con la

ecuación de Darcy & Weisbach combinada con la ecuación de Colebrook & White, la

cual elimina la variación de f con QT.

i

i fii

i

i s

i

i fi

2

iT

L

h D g 2 D

2.51

D 3.7

k log

L

h D g 2

2

D Q (13)

A continuación, se presenta la ecuación general que integra en una sola a las ecuaciones

(11), (12) y (13), adecuada para calcular HT, dados los valores de las restantes variables:



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




194

2

2

T22

2

22

1

T11

2

11

4

i

2

i L

ACT

i

ii

i

i s

2

2

T22

2

22

1

T11

2

11

4

i

2

i L

ACT

i

i

2

i

2

T22

2

22

1

T11

2

11

C 2

HA C 4BB

C 2

HA C 4BB

D g

k 8

zzH L

D g 2 D

2.51

D 3.7

klog

C 2

HA C 4BB

C 2

HA C 4BB

D g

k 8zzH

L

D g 2

2

D

C 2

HA C 4BB

C 2

HA C 4BB

(14)

En la ecuación (14) debe descartarse el signo (+) del término T

2 HA C 4B ,

dado que éste es mayor que (-B), y siendo C < 0, por lo cual resultarían valores

negativos para los caudales B1Q y B2Q .

Para el problema que se está resolviendo, se conocen los siguientes parámetros:

A1 = 69;

A2 = 54;

zA =1.5 m

Li = 1872 m

g = 9.81 m/s2

B1 = -135;

B2 = -71;

zC = 49.7 m

kLi = 7.4

ksi = 0.0002 m

C1 = -4000

C2 = -4285

Di = Ds = 0.35 m

= 1.141 x 10-6

m2/s


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




195

Al resolver la ecuación (14) para HT, resulta:

m 189.51HT (15)

Así mismo, m 189.51HHH TB2B1 (16)

3. Cálculo de los caudales aportados por las bombas, B1Q , B2Q y TQ

Sustituyendo este valor en las ecuaciones (8) y (10), respectivamente, resulta:

s

l 95.51

s

m0519536.0Q

3

B1

s

l 63.18

s

m0186321.0Q

3

B2

Por lo tanto, s

l 59.70

s

m0705857.0QQQ

3

B2B1T

4. Comprobación del cálculo de los caudales B1Q y B2Q

Con los caudales B1Q y B2Q calculados en el numeral anterior, se puede comprobar

que B2B1T HHm 189.51H .

En efecto,

m 189.510.051954 4000-0.051954 13569H2

B1 O.K.

m 189.510.018632 4285-0.018632 7154H2

B2 O.K.

5. Cálculo de las eficiencias de las bombas, B1 y B2

2

1 B1 B1 B Q 230-Q 25η

% 80.676780.00.051954 230-0.051954 25η2

1 B

2

2 B2 B2 B Q 380-Q 37η

% 70.555570.00.0186321 380-0.0186321 37η2

2 B



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




196

6. Cálculo de la potencia absorbida en el eje, de cada bomba, Pa i

i B

i Bi B

i B

iu

i aη

HQ γ

η

PP

s

mkgf 53.3922

0.678

m 189.51s

m 051954.0

m

kgf 1000

η

HQ γP

3

3

1 B

1 B1 Ba1

s

mkgf 31.1712

0.557

m 189.51s

m 0186321.0

m

kgf 1000

η

HQ γP

3

3

2 B

2 B2 Ba2

7. Cálculo de la potencia útil del conjunto de bombas asociadas, PuT

s

mkgf 21.3613m 189.51

s

m 0705857.0

m

kgf 1000HQ γP

3

3TTTu

kW 45.35 s

J59.35445

s

mN 81.921.3613P Tu

8. Cálculo de la eficiencia global del conjunto de bombas asociadas, T

% 12.646412.0

s

mkgf31.171253.3922

s

mkgf 3613.21

PP

P

P

Pη

2 a1 a

T a

N

1 i

i a

Tu

T

9. Cálculo de la potencia absorbida total del conjunto de bombas, PaT

kW 29.550.6412

kW 35.45

η

PP

T

Tu

T a

10. Cálculo del costo unitario de elevación del agua, Cu

bT

bT aenergía

bombeadobombeado

bombeadoabsorbidaenergíaabsorbidaenergía

utQ

tPC

tQ

tPC

elevadoVolumen

ECC


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




197

33u

m

$ 65.47

s 3600s

m 0.0705857

h 1kW 55.29hkW

$219

C

Solución Gráfica para el Punto de Funcionamiento:

En la siguiente figura se muestran las curvas motriz y resistente del sistema, de cuya

intersección resulta el punto de funcionamiento PF (QT, HT). Además, en ella se puede

observar las curvas de eficiencia correspondientes a cada una de las bombas.



__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




198

Problema No. 23

Analizar e interpretar cualitativamente los resultados de los Problemas 21 y 22.

BOMBAS Y

ASOCIACIÓN

ECUACIÓN

CARACTERÍSTICA

CAUDAL

Q (m3/s) ALTURA

H (m) EFICIENCIA

( % ) POTENCIA

P (kgf.m/s)

COSTO DE

ELEVACIÓN

Cu ($/m3)

BOMBA No. 1

B1

HB1 = 69 – 135 Q – 4000 Q2

B1 = 25 Q – 230 Q2 QN1 = 0.05435 HB1|Q=0 = 69 máx, 1 = 67.93

BOMBA No. 2

B2

HB2 = 54 – 71 Q – 4285 Q2

B2 = 37 Q – 380 Q2 QN2 = 0.04868 HB2|Q=0 = 54 máx, 2 = 90.07

EN SERIE QT = QB1 = QB2

HT = HB1 + HB2

QB1 = 0.080913

QB2 = 0.080913

QT = 0.080913

HB1 = 31.89

HB2 = 20.20

HT = 52.09

B1 = 51.7

B2 = 50.6

T = 51.27

Pa1 = 4990.78

Pa2 = 3230.44

PaT = 8220.87

PuT = 4214.84

60.64

EN PARALELO QT = QB1 + QB2

HT = HB1 = HB2

QB1 = 0.051954

QB2 = 0.018632

QT = 0.070586

HB1 = 51.189

HB2 = 51.189

HT = 51.189

B1 = 67.8

B2 = 55.7

Pa1 = 3922.53

Pa2 = 1712.31

PaT = 5635.07

PuT = 3613.21

47.65

En el cuadro resumen, se presentan los resultados de los problemas 21 y 22, en los que se

considera la asociación de las bombas en serie y en paralelo, respectivamente. De dicho

cuadro se pueden extraer las siguientes conclusiones:

i. La operación de bombas asociadas en serie conduce a un funcionamiento bastante

alejado del punto de funcionamiento óptimo.

ii. Bombas distintas acopladas en serie o, lo que es lo mismo, acoplar rodetes diferentes en

una misma bomba multietapas, no pueden funcionar simultáneamente cerca o en el

punto óptimo de funcionamiento respectivo.

iii. El rendimiento global de dos o más bombas distintas, asociadas en serie, es

relativamente bajo, tanto más bajo, cuanto más bambas diferentes se acoplen.


__________________________________________________________________________________________________

FACULTAD DE MINAS




199

iv. Es mucho más interesante acoplar dos o más bombas en paralelo, pues se obtienen

mejores rendimientos y caudales más cercanos a los de máximo rendimiento, aún

tratándose de bombas diferentes, como ocurre en este caso.

v. Debido a que las potencias absorbidas en el eje, Pa, son menores cuando las bombas se

acoplan en paralelo, que las correspondientes al acoplamiento en serie, y a que el

consumo de energía eléctrica de las bombas asociadas en paralelo es menor que el

correspondiente al de las bombas asociadas en serie, se genera un menor costo unitario

de elevación del agua favorable a los sistemas de bombas acopladas en paralelo.

vi. En cualquier caso, es más conveniente acoplar bombas iguales que asociar bombas

distintas entre sí.

10. problemas resueltos - unal.edu.co

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