10 ns 10 - matemáticas en el instituto295 ns 10 unidades didácticas matemáticas 1.º eso...

10 Polígonos

294Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO

Los polígonos son conocidos por los alumnos desde Primaria y son figuras con las que se encuentran habitualmente en su vida cotidiana. En la unidad se van a formalizar conceptos que no los hayan visto o no los recuerden y que van a ser importante en la etapa que inician.La unidad se centra en dos figuras, por un lado los triángulos y por otro, los cuadriláteros. En los triángulos se recuerdan sus elementos y las diferentes clasificaciones pasando a trabajar su construcción así como la de la de sus rectas y puntos notables. La parte de cuadriláteros se centra es su clasificación que es más completa que la que han visto en Primaria, y para cada tipo de cuadrilátero se estudian sus características más importantes. La unidad acaba trabajando la suma de los ángulos interiores de un triángulo generalizando este proceso para calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL)Es la protagonista de la sección Lee y comprende las matemáticas en la que se trabaja la comprensión lectora.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para compren-der determinados contenidos relacionados con los polígonos.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana como son las baldosas del suelo que pisamos, los alumnos profundizarán en la construcción de teselados con diferentes polígonos.

Competencias sociales y cívicas (CSC)La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)La unidad contiene un gran número de problemas y la resolución de los mismos contribuye a fomentar la autonomía e iniciativa personal, porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. Se desarrolla especialmente en las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Reconocer los elementos principales de un polígono y clasificarlos según la medida de sus lados o de sus ángulos.❚❚ Construir triángulos conocida la información mínima necesaria y clasificarlos según la medida de sus lados o de sus ángulos.❚❚ Identificar y construir las rectas y puntos notables de un triángulo.❚❚ Clasificar los cuadriláteros según el paralelismo de sus lados, así como paralelogramos o trapecios.❚❚ Conocer la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono y calcular la medida de uno de ellos a partir del resto.❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario conocer los distintos tipos de polígonos.❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando polígonos.

POLÍGONOS10

295

10Polígonos

Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de los polígonos.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre polígonos, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con los polígonos pueden acceder a las lecciones 1102, 1030, 1090 y 1148 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Clasificación de polígonos

1. Reconocer y describir figuras planas, sus elementos y propiedades características para clasificarlas, identificar situaciones, describir el contexto físico, y abordar problemas de la vida cotidiana.

1.1. Reconoce y describe polígonos, sus elementos y sus propiedades: ángulos interiores, ángulos centrales, diagonales, etc.1.2. Reconoce y describe las propiedades características de los polígonos regulares: ángulos interiores, ángulos centrales, diagonales, etc.

1, 3-637-41PV1, PV22, 7, 8, 41Matemáticas vivas 2, 4

CMCTCLCSCCAACSIEE

Triángulos 2. Reconocer y describir figuras planas, sus elementos y propiedades características para clasificarlas, identificar situaciones, describir el contexto físico, y abordar problemas de la vida cotidiana.

2.1. Construye triángulos conociendo la medida de sus lados y/o la amplitud de algunos de sus ángulos. 2.2. Clasifica triángulos atendiendo a sus lados como a sus ángulos.

9, 13, 1442, 46

10-121543-4548

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Rectas y puntos notables en un triánguloMediatriz y circuncentroMediana y baricentroBisectriz e incentroAlturas y ortocentro

3. Reconocer y describir figuras planas, sus elementos y propiedades características para clasificarlas, identificar situaciones, describir el contexto físico, y abordar problemas de la vida cotidiana.

3.1. Define y reconoce los elementos característicos de los triángulos.3.2. Traza los elementos característicos de los triángulos y conoce la propiedad común a cada uno de ellos.

16, 17, 2047, 49, 5018, 19, 2151-53

CMCTCLCSCCAACSIEE

Cuadriláteros 4. Reconocer y describir figuras planas, sus elementos y propiedades características para clasificarlas, identificar situaciones, describir el contexto físico, y abordar problemas de la vida cotidiana.

4.1. Reconoce, nombra y describe cuadriláteros.4.2. Clasifica los cuadriláteros y paralelogramos atendiendo al paralelismo entre sus lados opuestos.4.3. Conoce las propiedades referentes a ángulos, lados y diagonales de un cuadrilátero.4.4. Construye cuadriláteros conociendo la medida de algunos de sus lados.

22, 2623, 25, 2754, 55

23, 285624, 28

CMCTCLCSCCAACSIEE

Suma de los ángulos de un polígonoSuma de los ángulos interiores de un triánguloSuma de los ángulos interiores de cualquier cuadriláteroSuma de los ángulos interiores de cualquier polígono

5. Utilizar estrategias, herramientas tecnológicas y técnicas simples de la geometría analítica plana para la resolución de problemas de ángulos de figuras planas, utilizando el lenguaje matemático adecuado expresar el procedimiento seguido en la resolución.

5.1. Resuelve problemas relacionados con ángulos de figuras planas, en contextos de la vida real, utilizando las herramientas tecnológicas y las técnicas geométricas más apropiadas.

29-3657-65Matemáticas vivas 1, 5, 6, 7Trabajo cooperativo

CMCTCLCSCCAACSIEE

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Triángulos

4. Cuadriláteros

¿Qué tienes que saber? • Clasificación de los triángulos • Clasificación de los cuadriláteros • Rectas y puntos notables de un

triángulo • Suma de los ángulos de un polígono

Matemáticas vivasBaldosas • Estudio de polígonos en situaciones

cotidianas

AvanzaCuerpos geométricos a partir de desarrollos planos

Percepción visualEl tangram

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Los nombres de los polígonos

1. Clasificación de polígonos

Vídeo. Dibujar un triángulo (caso 1, caso 2, caso 3)

Actividades interactivas

3. Rectas y puntos notables en un triángulo

• Mediatriz y circuncentro • Mediana y baricentro • Bisectriz e incentro • Altura y ortocentro

5. Suma de los ángulos de un polígono

• Suma de los ángulos interiores de un triángulo

• Suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero

• Suma de los ángulos interiores de cualquier polígono

MisMates.esLecciones 1102, 1030, 1090 y 1148 de la web mismates.es

Practica+

Adaptación curricular

Comprende y resuelve problemas

10 Polígonos

Actividades finales

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia es Imagen mural, adaptación del laboratorio de Innovación Educativa del colegio Ártica a partir de Ferreiro Gravié

Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO296

297

10Polígonos


Sugerencias didácticas

Los polígonos aparecen en la vida cotidiana de los alumnos continuamente. Se presenta la unidad con un ejemplo en el aparecen con bastante frecuencia, las señales de tráfico.

Podemos utilizar este ejemplo para destacar que no todas las señales de tráfico son polígonos y que cada forma tiene asociada un significado para que los conductores simple-mente fijándose en ella conozcan que se puede encontrar al circular.

Contenido WEB. LOS NOMBRES DE LOS POLÍGONOS

En la sección Matemáticas en el día a día se expone el origen grie-go o latino de los nombres que utilizamos para designar algunas figuras geométricas planas o sus características.

Se trata de un recurso que complementa la página de inicio de la unidad con información relativa al tema. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar con los contenidos o como ampliación del mismo para aquellos que muestren un in-terés especial.

197

10 POLÍGONOSSi pasas la vista a tu alrededor, verás que estamos rodeados de un sinnúmero de figuras planas. La forma de algunas de ellas hace que adquieran un significado especial:

Indica peligro. Indica obligación.

REPASA LO QUE SABES1. Identifica en este dibujo las rectas paralelas y las

perpendiculares.

r

u

s

t

2. Clasifica estos ángulos según su amplitud.

a) b) c)

• • •

3. Traza en tu cuaderno la mediatriz del segmento AB y la bisectriz del ángulo C .

•

• •

Si pasas la vista a tu alrededor, verás que estamos rodeados de un sinnúmero de figuras planas. La forma de algunas de ellas hace que adquieran un significado especial:

Indica peligro. Indica obligación.

IDEAS PREVIAS

❚ Tipos de rectas.

❚ Medida de ángulos.

❚ Mediatriz de un

segmento y bisectriz

de un ángulo.

ma1e37

Los matemáticos de la Antigua Grecia pusieron nombre a muchos elementos geométricos, entre ellos los polígonos.

Matemáticas en el día a día ][

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Identifica en este dibujo las rectas paralelas y las perpendiculares.

r

u

s

t

Las rectas s y t son paralelas.

La recta u es perpendicular a s y a t.

2. Clasifica estos ángulos según su amplitud.

a) b) c)

• • •a) Obtuso b) Recto c) Agudo

3. Traza en tu cuaderno la mediatriz del segmento AB y la bisectriz del ángulo C . Comprobar que los alumnos copian el segmento y trazan la recta perpendicular a este que lo divide en dos partes iguales.

Comprobar que copian el ángulo y trazan la semirrecta con origen el vértice del ángulo y que divide a este en dos ángulos iguales.

10 Polígonos


1. Clasificación de polígonos

199

10Actividades10 Polígonos

198

¿Cuáles de estas figuras son polígonos? Justifica tu respuesta. a) c)

b) d)

Copia estos polígonos en tu cuaderno y dibuja en ellos dos diagonales. ¿Cuáles son regulares?a) c)

b) d)

Utiliza un transportador de ángulos para medir los ángulos interiores de estos polígonos.a)

b)

1

2

3

Clasifica estos polígonos según su número de lados. a) c)

b) d)

Clasifica estas figuras según la medida de sus ángulos interiores.a) c)

b) d)

Dibuja en tu cuaderno estos polígonos.a) Un pentágono cóncavo.b) Un polígono de 4 lados con un ángulo interior

de 60º.c) Un octógono convexo.

Estos polígonos no son regulares. ¿Por qué?a) b)

4

5

6

7

1. CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS

Javier tiene que cercar un terreno con cuerdas y quiere aprovechar alguna de las estacas que ya tiene clavadas. Primero tiene que diseñar el recinto que quiere vallar y pide ayuda a cuatro amigos que le dan las siguientes propuestas.

Las cuatro figuras están formadas por varias líneas rectas unidas.

Un polígono es una región del plano limitada por una línea poligonal cerrada.

Los elementos de un polígono son:

•

Los polígonos se pueden clasificar de diferentes formas:

❚ Según su número de lados.

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono …

3 lados 4 lados 5 lados 6 lados

❚ Según la medida de sus ángulos interiores.

Convexo Cóncavo

Todos ellos son menores que 180º. Alguno de ellos es mayor que 180º.

❚ Según sus ángulos interiores y sus lados.

Regular Irregular

Todos los ángulos y todos los lados son iguales.

Tiene algún lado o algún ángulo distinto.

Aprenderás a… ● Reconocer los elementos principales de un polígono.

● Clasificar polígonos según la medida de sus lados o de sus ángulos.

❚ Línea poligonal cerrada

❚ Línea poligonal abierta

Lenguaje matemático

Lados: segmentos que delimitan el polígono.

Vértices: puntos de unión entre dos lados.

Ángulos interiores: ángulos formados por dos lados consecutivos.

Diagonales: segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

Investiga

Un polígono regular estrellado puede construirse a partir de un polígono regular convexo, uniendo vértices no consecutivos de forma continua. Por ejemplo:

Construye, si es posible, los polígonos estrellados que genera un hexágono regular. Investiga, a partir de esta información, la relación entre el número de lados de un polígono regular y su número de diagonales.

8

Soluciones de las actividades1 ¿Cuáles de estas figuras son polígonos? Justifica tu respuesta.

a) b) c) d)

a) y d) son polígonos porque están limitados por una línea poligonal cerrada.

b) y c) no son polígonos porque las líneas que lo delimitan no son poligonales cerradas, tienen un lado curvo.2 Copia estos polígonos en tu cuaderno y dibuja en ellos dos diagonales. ¿Cuáles son regulares?

a) b) c) d)

Comprobar que los alumnos trazan, en cada figura, dos segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

Son regulares los polígonos a) y d).


Es muy útil manejar el geoplano y unas gomas elásticas para que los alumnos manipulen y puedan visualizar los polígonos con todos sus elementos. Los alumnos entienden la diferencia entre polígono abierto y cerrado al ver que la goma elástica está cerrada y delimita una superficie.

Para diferenciar entre polígonos cóncavos y convexos no es necesario que utilicen un transportador, basta hacerles ver que si se ayudan de una esquina de un folio, que forma un ángulo recto, pueden ir comparando si todos los ángulos del polígono son menores que este o mayores que él.

299

10Polígonos


3 Utiliza un transportador de ángulos para medir los ángulos interiores de estos polígonos.

a) b)

a) Desde arriba en el sentido de los agujas del reloj, los ángulos miden 90º, 30º y 60º.

b) Los dos ángulos obtusos miden 135º, y los dos agudos, 45º.4 Clasifica estos polígonos según su número de lados.

a) b) c) d)

a) Pentágono b) Pentágono c) Octógono d) Eneágono5 Clasifica estas figuras según la medida de sus ángulos interiores.

a) b) c) d)

a) Cóncavo b) Convexo c) Cóncavo d) Cóncavo6 Dibuja en tu cuaderno estos polígonos.

a) Un pentágono cóncavo. c) Un octógono convexo.

b) Un polígono de 4 lados con un ángulo interior de 60º.

a) Comprobar que los alumnos dibujan un polígono con 5 lados que tenga al menos un ángulo mayor que 180º.

b) Comprobar que los alumnos dibujan un polígono con 4 lados que tenga un ángulo de 60º.

c) Comprobar que los alumnos dibujan un polígono con 8 lados cuyos los ángulos sean menores que 180º.7 Estos polígonos no son regulares. ¿Por qué?

a) b)

a) No es regular porque no tiene todos sus ángulos iguales.

b) No es regular porque no tiene todos sus lados iguales.

Investiga8 Un polígono regular estrellado puede construirse a partir

de un polígono regular convexo, uniendo vértices no con-secutivos de forma continua. Por ejemplo:

Construye, si es posible, los polígonos estrellados que genera un hexágono regular. Investiga, a partir de esta información, la relación entre el número de lados de un polígono regular y su número de diagonales.

No es posible construir polígonos estrellados a partir de un hexágono regular. Si unimos vértices consecutivos de forma continua, obtendríamos un triángulo equilátero o un segmento. Como de cada vértice salen n − 3 diagonales y hay n vértices, el número de diagonales es:

D =n(n− 3)

2

Dividimos por 2 para no contar cada diagonal 2 veces.

10 Polígonos


2. Triángulos

201


200

Construye triángulos con las siguientes condiciones.a) Los lados miden 2 cm, 5 cm y 6 cm.b) Un lado de 3 cm, otro de 4 cm y el ángulo que forman los dos mide 20º.c) Tiene un ángulo de 50º y otro de 40º, y el lado común mide 6 cm.

Clasifica los siguientes triángulos según la medida de sus lados.a) b) c)

Clasifica los siguientes triángulos según la amplitud de sus ángulos.a) b) c)

Clasifica estos triángulos según la medida de sus lados y de sus ángulos.a) c)

b) d)

Construye los triángulos propuestos.a) Triángulo equilátero de 3 cm de lado.b) Triángulo rectángulo isósceles que tiene dos lados de 3 cm.c) Triángulo obtusángulo escaleno de ángulos 130° y 20°, y lado común 2 cm.

Indica por qué no se pueden construir los siguientes triángulos:a) Los lados miden 3 cm, 4 cm y 9 cm.b) Los lados miden 5 cm, 12 cm y 7 cm.

9

10

11

12

13

1314

2. TRIÁNGULOS

Un triángulo es un polígono con tres lados. Para dibujarlo necesitamos:

❚ Conocer los tres lados.

❚ Conocer dos lados y el ángulo que forman.

❚ Dos ángulos y el lado común a ambos.

Los triángulos se pueden clasificar de diferentes formas:

❚ Según la longitud de sus lados.

Equilátero Isósceles Escaleno

Los 3 lados iguales 2 lados iguales Ningún lado igual

❚ Según la amplitud de sus ángulos.

Acutángulo Rectángulo Obtusángulo

90º

Los 3 ángulos agudos Un ángulo recto Un ángulo obtuso

Aprenderás a… ● Construir triángulos conocida la información mínima necesaria.

● Clasificar triángulos según la medida de sus lados o de sus ángulos.

Presta atención

Para poder construir un triángulo, la medida de cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos lados.

DESAFÍOUtiliza 18 palillos para formar esta figura. Observa que la figura contiene 9 triángulos equiláteros iguales. ¿Qué seis palillos tienes que retirar para que en la figura solo queden 4 triángulos equiláteros iguales?

15

ma1e38

ma1e39

ma1e40

Presta atención

Todos los ángulos de un triángulo equilatero miden 60°, por lo tanto, los triángulos equiláteros son acutángulos.

Soluciones de las actividades9 Construye triángulos con las siguientes condiciones.

a) Los lados miden 2 cm, 5 cm y 6 cm.

b) Un lado de 3 cm, otro de 4 cm y el ángulo que forman los dos mide 20º.

c) Tiene un ángulo de 50º y otro de 40º, y el lado común mide 6 cm.

a) Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de esta forma:

Trazan uno de los lados como base y desde cada extremo de este, dibujan un arco con longitud cada uno de los otros dos lados. La intersección de los arcos es el tercer vértice del triángulo. Después, unen puntos.

b) Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de esta forma:

Toman uno de los lados como base, miden sobre él un ángulo de 20º y trazan una semirrecta. Sobre ella miden el otro lado conocido. Después, unen los puntos.

c) Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de esta forma:

Dibujan el lado de 6 cm, en cada extremo miden un ángulo de 50º y 40º, respectivamente, y dibujan las dos semirrec-tas. El punto de intersección de estas es el tercer vértice del ángulo. Después, unen los puntos.


Es aconsejable que los alumnos puedan manipular y ver cómo un triángulo queda determinado sin necesidad de conocer sus tres lados y sus tres ángulos. Se puede llevar pajitas y ángulos marcados en cartulina, o cualquier otro material manipulable y comprobar cómo puede construirse con las tres opciones que propone el epígrafe.

Vídeo. DIBUJAR UN TRIÁNGULO

En los tres vídeos se muestra el procedimiento a seguir para dibu-jar con regla y compás un triángulo a partir de unos ciertos datos. El dibujo se puede hacer manualmente de la misma forma y los vídeos pueden utilizarse para explicar estos procedimientos en la pizarra o como recursos para que los alumnos repasen.

301

10Polígonos


10 Clasifica los siguientes triángulos según la medida de sus lados.

a) b) c)

a) Isósceles b) Escaleno c) Equilátero11 Clasifica los siguientes triángulos según la amplitud de sus ángulos.

a) b) c)

a) Obtusángulo b) Acutángulo c) Rectángulo12 Clasifica estos triángulos según la medida de sus lados y de sus ángulos.

a) c)

b) d)

a) Isósceles rectángulo c) Equilátero acutángulo

b) Escaleno rectángulo d) Isósceles obtusángulo13 Construye los triángulos propuestos.

a) Triángulo equilátero de 3 cm de lado.

b) Triángulo rectángulo isósceles que tiene dos lados de 3 cm.

c) Triángulo obtusángulo escaleno de ángulos 130º y 20º, y lado común 2 cm.

a) Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de esta forma:

Trazan un lado de 3 cm y, desde cada extremo, dibujan un arco de 3 cm de longitud. La intersección de los arcos es el tercer vértice del triángulo. Después, unen puntos.

b) Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de esta forma:

Trazan un lado de 3 cm. Miden sobre él un ángulo de 90º y trazan una semirrecta. Miden sobre ella 3 cm. Después, unen los puntos.

c) Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de esta forma:

Dibujan un lado de 2 cm. En cada extremo miden un ángulo de 130º y 20º, respectivamente, y dibujan las dos semi-rrectas. El punto de intersección de estas es el tercer vértice del ángulo. Después, unen los puntos.

10 Polígonos


14 Indica por qué no se pueden construir los siguientes triángulos:

a) Los lados miden 3 cm, 4 cm y 9 cm.

b) Los lados miden 5 cm, 12 cm y 7 cm.

Para poder construir un triángulo, la medida de un lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos lados.

a) 9 cm > 3 cm + 4 cm = 7 cm No se puede construir un triángulo de lados 3 cm, 4 cm y 9 cm.

b) 12 cm = 5 cm + 7 cm No se puede construir un triángulo de lados 5 cm, 12 cm y 7 cm.

Desafío15 Utiliza 18 palillos para formar esta figura. Observa

que la figura contiene 9 triángulos equiláteros iguales. ¿Qué seis palillos tienes que retirar para que en la figura solo queden 4 triángulos equiláteros iguales?

303

10Polígonos


3. Rectas y puntos notables en un triángulo

203


202

Escribe el nombre de las rectas dibujadas en los siguientes triángulos.a) b)

•

•

En estos dibujos están representados las rectas y puntos notables de un triángulo. Indica cuáles son en cada caso.a) c)

••

••

•

• • •

•

•

•

b) d)

•

• •

•

•

•

•

•

Dibuja en tu cuaderno un triángulo equilátero y traza con distinto color:❚ Sus alturas. ❚ Las medianas de sus ángulos. ❚ Las mediatrices de sus lados. ❚ Las bisectrices de sus ángulos. ¿Qué observas?

Dibuja las alturas de un triángulo rectángulo. ¿Dónde está situado el ortocentro?

Observa el centro de cada circunferencia. ¿Qué punto notable representa?a) b)

•

• ••

•

••

•

16

17

18

19

20

3. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO

En un triángulo podemos definir cuatro tipos de rectas que, generalmente, se denominan rectas notables de un triángulo. Los puntos de intersección de estas rectas se denominan puntos notables.

Mediatriz y circuncentro

•

•

••

•

C

Mediatriz: recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio.

Circuncentro: punto de intersección de las tres mediatrices.

Mediana y baricentro

•

•

•

•

•

••

•

•

B

Mediana: recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto.

Baricentro: punto de intersección de las medianas.

Bisectriz e incentro

• I

Bisectriz: recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

Incentro: punto de intersección de las bisectrices.

Altura y ortocentro

• •

•

•

•

O

Altura: recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto.

Ortocentro: punto de intersección de las alturas.

Aprenderás a… ● Identificar y construir las rectas y puntos notables de un triángulo.

Presta atención

Las mediatrices de los lados de un triángulo se pueden cortar fuera de él.

••

•

•

Por tanto, el circuncentro puede ser exterior al triángulo.

Presta atención

Las alturas de un triángulo pueden ser exteriores a él.

••

•

•

Por tanto, el ortocentro puede ser exterior al triángulo.

DESAFÍOObserva la recta que se ha construido uniendo algunos puntos notables de un triángulo. Construye un triángulo cualquiera y comprueba que también se puede trazar una recta uniendo los mismos puntos notables. Investiga esta propiedad y averigua si esta recta tiene algún nombre especial.

21

•

•

•

C

O

B

Soluciones de las actividades16 Escribe el nombre de las rectas dibujadas en los siguientes triángulos.

a) b)

•

•

a) Altura: recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto.

b) Mediatriz: recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio.


Este tipo de construcciones las suelen conocer ya que es posible que las hayan trabajado en Plástica. Aquí podemos centrarnos en que las diferencien y conozcan las propieda-des que tienen tanto las rectas como los puntos notables.

Para realizar la construcción de las rectas y puntos notables del triangulo conviene recordar cómo se utilizan los diferen-tes instrumentos de dibujo. Hay que hacer hincapié en la importancia de la claridad de la construcción que realicen.

10 Polígonos


17 En estos dibujos están representados las rectas y puntos notables de un triángulo. Indica cuáles son en cada caso.

a) c)

••

••

•

• • •

•

•

•

b) d)

•

• •

•

•

•

•

•

a) Mediatrices → Circuncentro c) Medianas → Baricentrob) Bisectrices → Incentro d) Alturas → Ortocentro

18 Dibuja en tu cuaderno un triangulo equilátero y traza con distinto color:

❚❚ Sus alturas.

❚❚ Las mediatrices de sus lados.

❚❚ Las medianas de sus ángulos

❚❚ Las bisectrices de sus ángulos.

¿Qué observas?

O

En un triángulo equilátero, las alturas, las mediatrices de los lados, las medianas y las bisectrices de sus ángulos coinciden y se cortan en un mismo punto.

19 Dibuja las alturas de un triangulo rectángulo. ¿Dónde está situado el ortocentro?

O•

El ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto. 20 Observa el centro de cada circunferencia. ¿Qué punto notable de cada triángulo representa?

a) b)

•

• ••

•

••

•

a) Circuncentro b) Incentro

305

10Polígonos


Desafío21 Observa la recta que se ha construido uniendo algunos puntos notables de un triángulo. Construye un triangulo cualquie-

ra y comprueba que también se puede trazar una recta uniendo los mismos puntos notables. Investiga esta propiedad y averigua si esta recta tiene algún nombre especial.

•

•

•

C

O

B

Comprobar que los alumnos dibujan un triángulo cualquiera, trazan las alturas, las medianas y las mediatrices de sus lados, y dibujan una recta uniendo los puntos notables que han obtenido.

En cualquier triángulo, el ortocentro, el baricentro y el circuncentro están alineados en una recta que se denomina recta de Euler.

10 Polígonos


4. Cuadriláteros

205


204

Indica cuáles de las siguientes figuras son cuadriláteros e indica su nombre.a) b) c) d)

Copia estos paralelogramos en tu cuaderno. Clasifícalos y dibuja sus diagonales.I II III IV

a) ¿Cuánto miden dos lados opuestos?b) ¿Cuánto miden dos ángulos consecutivos?c) Comprueba si las diagonales se cortan en sus puntos medios.d) ¿Hay algún paralelogramo cuyas diagonales se corten en ángulo recto?

Indica cuáles.

Construye los siguientes cuadriláteros en tu cuaderno.a) Un rombo con diagonales de longitud 4 cm y 6 cm.b) Un cuadrado cuyas diagonales miden 5 cm.

Clasifica los siguientes trapecios.a) b) c)

Observa estas figuras. ¿Son iguales? Explica por qué.

Piensa y contesta. Argumenta tus respuestas.a) ¿Puede un paralelogramo ser un trapezoide? b) ¿Es un cuadrado siempre un paralelogramo?c) ¿Y un paralelogramo es siempre un cuadrado?

22

23

24

25

26

27

4. CUADRILÁTEROS

Un cuadrilátero es un polígono de 4 lados.

Los cuadriláteros, según los lados paralelos que tengan, se clasifican en:

Paralelogramo Trapecio Trapezoide

Los 4 lados son paralelos dos a dos.

Tiene solo 2 lados paralelos.

No tiene lados paralelos.

❚ Los paralelogramos se pueden clasificar, según la medida de sus lados y según la amplitud de sus ángulos, en:

Cuadrado Rombo

Los 4 lados son iguales.

Los 4 ángulos son iguales.

Los 4 lados son iguales.

Los ángulos son iguales dos a dos.

Rectángulo Romboide

Lados iguales dos a dos.

Los 4 ángulos iguales.

Lados iguales dos a dos.

Ángulos iguales dos a dos.

❚ Los trapecios se clasifican, según sus lados y sus ángulos, en:

Isósceles Rectángulo Escaleno

Los lados no paralelos son iguales.

Tiene dos ángulos rectos.

Tiene los cuatro ángulos interiores distintos.

Aprenderás a… ● Clasificar los cuadriláteros según el paralelismo de sus lados.

● Identificar y clasificar los paralelogramos y los trapecios.

DESAFÍOSabemos que un cuadrilátero tiene una diagonal de 6 cm y otra de 3 cm.a) ¿Cuántos tipos de cuadriláteros que cumplan esta condición puedes dibujar?b) Dibuja dos cuadriláteros posibles con estas diagonales.

28

Soluciones de las actividades22 Indica cuáles de las siguientes figuras son cuadriláteros e indica su nombre.

a) b) c) d)

a) Cuadrilátero → Romboideb) No es un cuadrilátero porque tiene 5 lados.

c) Cuadrilátero → Trapezoide d) Cuadrilátero → Trapecio rectángulo


Es importante que los alumnos diferencien los triángulos de los cuadriláteros no solo por el número de lados sino por-que un cuadrilátero solo se puede determinar si conocemos los cuatros ángulos y los cuatro lados. Se puede trabajar otra vez con varillas o pajitas para que comprueben cómo un cuadrilátero es deformable mientras que un triángulo no lo es.

Se les puede mostrar a los alumnos fotografías de cons-trucciones y pedirles que identifique en ellas cuadriláteros y triángulos.

Estas fotografías también pueden utilizarse para realizar la clasificación de los cuadriláteros que identifiquen. Y se les puede pedir que los dibujen para compararlos y observar sus diferencias.

307

10Polígonos


23 Copia estos paralelogramos en tu cuaderno. Clasifícalos y dibuja sus diagonales.I II III IV

a) ¿Cuánto miden dos lados opuestos?

b) ¿Cuánto miden dos ángulos consecutivos?

c) Comprueba si las diagonales se cortan en sus puntos medios.

d) ¿Hay algún paralelogramo cuyas diagonales se corten en ángulo recto? Indica cuáles.I II III IV

Rombo Romboide Rectángulo Cuadrado

a) Los lados opuestos miden lo mismo.

b) Dos ángulos consecutivos miden 180º.

c) Las diagonales se cortan en su punto medio.

d) En el rombo y en el cuadrado las diagonales de cortan en ángulo recto.24 Construye los siguientes cuadriláteros en tu cuaderno.

a) Un rombo con diagonales de longitud 4 cm y 6 cm.

b) Un cuadrado cuyas diagonales miden 5 cm.

a) Comprobar que los alumnos dibujan dos segmentos perpendiculares de 4 cm y 6 cm, respectivamente, y unen sus extremos.

b) Comprobar que los alumnos dibujan dos segmentos perpendiculares de 5 cm cada uno y unen sus extremos.25 Clasifica los siguientes trapecios.

a) b) c)

a) Trapecio rectángulo b) Trapecio isósceles c) Trapecio escaleno26 Observa estas figuras. ¿Son iguales? Explica por qué.

Son dos cuadrados exactamente iguales. Tienen las mismas características aunque están colocados en distinta posición.

10 Polígonos


27 Piensa y contesta. Argumenta tus respuestas.

a) ¿Puede un paralelogramo ser un trapezoide?

b) ¿Es un cuadrado siempre un paralelogramo?

c) ¿Y un paralelogramo es siempre un cuadrado?

a) No, porque un paralelogramo tiene lados paralelos dos a dos y un trapezoide no tiene lados paralelos.

b) Sí, porque tiene sus lados son paralelos dos a dos.

c) No, solo será un cuadrado cuando sus 4 lados y sus 4 ángulos sean iguales.

Desafío28 Sabemos que un cuadrilátero tiene una diagonal de 6 cm y otra de 3 cm.

a) ¿Cuántos tipos de cuadriláteros que cumplan esta condición puedes dibujar?

b) Dibuja dos cuadriláteros posibles con estas diagonales.

a) Se pueden dibujar infinitos cuadriláteros con estas características.

b) Comprobar que los alumnos dibujan dos segmentos secantes de 6 cm y 3 cm, y unen sus extremos. Para dibujar otro cuadrilátero, modificar el ángulo de corte de los segmentos.

309

10Polígonos


5. Suma de los ángulos de un polígono

207


206

Averigua el ángulo que falta en los siguientes triángulos.a) b) c)

50º 70º

x

85º25º

x

80º

69º

x

Calcula el valor del ángulo que falta en estos triángulos rectángulos.a) b) c)

23º

x

72º

x

51º

x

¿Cuánto mide el ángulo desconocido en los cuadriláteros propuestos?a) b) c)

50º

80º

85ºx

65º

44º

224º

x

60º

115º

x

Averigua los tres ángulos de un triángulo a partir de estas condiciones:a) Es rectángulo y tiene un ángulo agudo que mide 48º.b) Es isósceles y su ángulo desigual mide 20º.

Calcula los ángulos que faltan en los siguientes paralelogramos.a) b) c)

115º

36º

138º

En estas figuras falta el valor de un ángulo. Calcúlalo. a) b)

110º

107º

126º78º

47º

x

122º

154º

163º

37º

41º

x

¿Cuánto mide cada ángulo interior de un dodecágono regular? Explica cómo lo has averiguado.

29

30

2931

32

33

34

35

5. SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN POLÍGONO

Suma de los ángulos interiores de un triángulo

Dibuja un triángulo en una hoja. Recorta y pinta cada cara de un color. A continuación, realiza los siguientes pasos:

1 Pliega el vértice B por la recta r, paralela al lado opuesto, de forma que el vértice toque al lado opuesto.

A

B

r

C A B C

2 Pliega el vértice Apor la recta s, perpendicular al lado opuesto, hasta B.

s

3 Pliega el vértice Cpor la recta t, perpendicular al lado opuesto, de nuevo hasta B. t

Observa que los tres ángulos del triángulo forman un ángulo llano.

Los ángulos interiores de un triángulo suman 180º.

Suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero

Si dibujas una de las diagonales de un cuadrilátero, obtienes dos triángulos.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º, la suma de los ángulos interiores de los dos triángulos será 2 ⋅ 180º = 360º.

Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.

Suma de los ángulos interiores de cualquier polígono

Al igual que con los cuadriláteros, podemos dividir cualquier polígono en varios triángulos. Para ello, trazamos las diagonales que hay desde un único vértice y calculamos la suma total de los ángulos de los triángulos.

Pentágono3 ⋅ 180º = 540º

Hexágono4 ⋅ 180º = 720º

Heptágono5 ⋅ 180º = 900º

Octógono6 ⋅ 180º = 1 080º

Aprenderás a… ● Conocer la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.

● Calcular la medida de un ángulo interior de un polígono conociendo el resto de ángulos.

DESAFÍOAverigua si existen los siguientes polígonos.a) Un polígono regular cuyo ángulo interior es 144º.b) Un cuadrilátero con tres ángulos de 120º.c) Un polígono regular con un ángulo de 100º.Justifica tus respuestas.

36

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es:

(n − 2) ⋅ 180°

Lenguaje matemático

Soluciones de las actividades29 Averigua el ángulo que falta en los siguientes triángulos.

a) b) c)

50º 70º

x

85º25º

x

80º

69º

x

a) 180º − (50º + 70º) = 60º b) 180º − (85º + 25º) = 70º c) 180º − (80º + 69º) = 31º30 Calcula el valor del ángulo que falta en estos triángulos rectángulos.

a) b) c)

23º

x

72º

x

51º

x

a) 90º − 23º = 67º b) 90º − 72º = 18º c) 90º − 51º = 39º


Resulta muy útil la experiencia propuesta en el epígrafe. Los alumnos pueden colorear una de las dos caras de un folio y realizarla. Al poder manipular y ver el resultado suelen comprenderlo y memorizarlo con mayor facilidad.

Es importante trabajar que no es posible dibujar el mismo número de triángulos que lados tiene un polígono, y ha-cerles ver que si se hiciera esto resultarían triángulos unos sobre otros. Solventado este error, los alumnos recuerdan que los ángulos interiores de un polígono no suman 180º por el número de lados, y aplican la fórmula correcta.

10 Polígonos


31 ¿Cuánto mide el ángulo desconocido en los cuadriláteros propuestos?

a) b) c)

50º

80º

85ºx

65º

44º

224º

x

60º

115º

x

a) 360º − (50º + 80º + 85º) = 145º b) 360º − (65º + 44º + 224º) = 27º c) 360º − (115º + 90º + 60º) = 95º32 Averigua los tres ángulos de un triángulo a partir de estas condiciones:

a) Es rectángulo y tiene un ángulo agudo que mide 48º.

b) Es isósceles y su ángulo desigual mide 20º.

a) Como es un triángulo rectángulo, uno de los ángulos mide 90º, el otro 48º, y el tercero, 90º − 48º = 42º.b) Si es un triángulo isósceles, los otros dos ángulos miden lo mismo.

(180º − 20º) : 2 = 160º : 2 = 80º Los otros dos ángulos miden 80º cada uno.

33 Calcula los ángulos que faltan en los siguientes paralelogramos.

a) b) c)

115º

36º

138º

a) Un romboide tiene sus ángulos iguales dos a dos.

Los dos ángulos obtusos miden 115º, y los dos agudos, (360º − 2 ⋅ 115º) : 2 = (360º − 230º) : 2 = 130º : 2 = 65º cada uno.

b) Un romboide tiene sus ángulos iguales dos a dos.

Los dos ángulos agudos miden 36,º y los dos obtusos, (360º − 2 ⋅ 36º) : 2 = (360º − 72º) : 2 = 288º : 2 = 144º cada uno.

c) Un romboide tiene sus ángulos iguales dos a dos.

Los dos ángulos obtusos miden 138º, y los dos agudos, (360º − 2 ⋅ 138º) : 2 = (360º − 276º) : 2 = 84º : 2 = 42º cada uno.

34 En estas figuras falta el valor de un ángulo. Calcúlalo.

a) b)

110º

107º

126º78º

47º

x

122º

154º

163º

37º

41º

x

a) La suma de los ángulos interiores de un hexágono es:

(6 − 2) ⋅ 180º = 720º Entonces, el ángulo que falta mide:

720º − (78º + 126º + 107º + 110º + 47º) = 252ºb) La suma de los ángulos interiores de un heptágono es:

(7 − 2) ⋅ 180º = 900º Entonces, el ángulo que falta mide:

900º − (37º + 154º + 122º + 90º + 163º + 41º) = 293º

311

10Polígonos


35 ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un dodecágono regular? Explica cómo lo has averiguado.

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: (n − 2) ⋅ 180º

Un dodecágono regular tiene 12 lados iguales y 12 ángulos iguales.

(12 − 2) ⋅ 180 = 1 800º 1 800º : 12 = 150ºCada ángulo mide 150º

Desafío36 Averigua si existen los siguientes polígonos.

a) Un polígono regular cuyo ángulo interior es 144º.

b) Un cuadrilátero con tres ángulos de 120º.

c) Un polígono regular con un ángulo de 100º.

Justifica tus respuestas.

a) La suma de los ángulos de interiores de un polígono de n lados es: (n − 2) ⋅ 180º

[(n − 2) ⋅ 180] : n = 144 → (n − 2) ⋅ 180 = 144n → 180n − 360 = 144n → 36n = 360 → n = 10 En un decágono regular los ángulos miden 144º.

b) La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.

3 ⋅ 120º = 360º La amplitud del ángulo que queda sería 0º.

No existe un cuadrilátero con tres ángulos de 120º.

c) La suma de los ángulos de interiores de un polígono de n lados es: (n − 2) ⋅ 180º

Los ángulos interiores de un cuadrado miden 90º y los de un pentágono regular [(5 − 2) ⋅ 180º] : 5 = 108º. No hay ningún polígono regular con un ángulo de 100º.

10 Polígonos



En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Clasificar triángulos y cuadriláteros.

❚❚ Hallar y reconocer los puntos notables de un triángulo.

❚❚ Calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono.

Actividades finalesSoluciones de las actividades37 Dibuja en tu cuaderno.

a) Una línea poligonal abierta formada por tres segmentos.

b) Una línea poligonal cerrada formada por cuatro segmentos.

c) ¿Cuál de los anteriores dibujos es un polígono? Razona tu respuesta.

a) Comprobar que los alumnos dibujan una línea poligonal abierta formada por tres segmentos.

b) Comprobar que los alumnos dibujan una línea poligonal cerrada formada por cuatro segmentos.

c) Es un polígono el dibujo del apartado b) porque es una región del plano limitada por una línea poligonal cerrada.

¿Qué tienes que saber?

208 209

¿QUÉ10 tienes que saber? Actividades Finales 10

Clasifica estos triángulos según la medida de sus lados y de sus ángulos.

a) b)

a) Los tres lados tienen medidas distintas y uno de los ángulos es obtuso. Por tanto, es un triángulo escaleno obtusángulo.

b) Los tres lados miden lo mismo y los tres ángulos son agudos. Por tanto, es un triángulo equilátero acutángulo.

Clasificación de los triángulosTen en cuenta

Los triángulos se pueden clasificar:

Según sus lados.

❚ Equilátero: 3 lados iguales.

❚ Isósceles: 2 lados iguales.

❚ Escaleno: ningún lado igual.

Según sus ángulos.

❚ Rectángulo: un ángulo recto.

❚ Acutángulo: 3 ángulos agudos.

❚ Obtusángulo: un ángulo obtuso.

Clasifica estos cuadriláteros.

a) b) c)

a) Tiene los lados paralelos dos a dos, por tanto, es un paralelogramo. Como tiene los lados y los ángulos iguales dos a dos, es un romboide.

b) Tiene solo dos lados paralelos, por consiguiente, es un trapecio. Como tiene un ángulo recto, es un trapecio rectángulo.

c) No tiene lados paralelos, por tanto, es un trapezoide.

Clasificación de los cuadriláterosTen en cuenta

Paralelogramos: lados paralelos dos a dos.

❚ Cuadrado ❚ Rombo

❚ Rectángulo ❚ Romboide

Trapecios: solo 2 lados paralelos.

❚ Trapecio rectángulo

❚ Trapecio isósceles

❚ Trapecio escaleno

Trapezoides: ningún lado paralelo.

Dibuja un triángulo, y traza sus rectas y puntos notables.

•

•

• •

AlturasOrtocentro

MediatricesCircuncentro

MedianasBaricentro

BisectricesIncentro

Rectas y puntos notables de un triánguloTen en cuenta

Rectas notables

❚ Altura ❚ Mediana

❚ Mediatriz ❚ Bisectriz

Puntos notables

❚ Ortocentro ❚ Baricentro

❚ Circuncentro ❚ Incentro

Calcula el ángulo que falta en este polígono.

Es un cuadrilátero, por tanto, la suma de los cuatro ángulos interiores es:

(4 − 2) ⋅ 180º = 2 ⋅ 180º = 360º

Calculamos el ángulo que falta:

360º − 105º − 110º − 72º = 73º

Suma de los ángulos de un polígonoTen en cuenta

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es:

(n − 2) ⋅ 180º

105º110º

72º

x

Clasificación de polígonos

Dibuja en tu cuaderno.

a) Una línea poligonal abierta formada por tres segmentos.

b) Una línea poligonal cerrada formada por cuatro segmentos.

c) ¿Cuál de los anteriores dibujos es un polígono? Razona tu respuesta.

Escribe el nombre de los elementos destacados en naranja en el siguiente dibujo.

•

Indica cuáles de estas letras tienen forma de polígono.

Explica por qué el resto de letras no son polígonos.

Clasifica las letras que son polígonos según su número de lados.

Clasifica estos polígonos según sus ángulos interiores.

a) c)

b) d)

Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones.

a) Todo polígono regular es cóncavo.

b) Todos los triángulos son convexos.

c) Un polígono cóncavo no puede ser convexo.

37

38

39

40

41

Triángulos

Dibuja los siguientes triángulos.

a) Un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 5 cm y 7 cm, respectivamente.

b) Un triángulo con dos lados de 4 cm y 7 cm que forman entre sí un ángulo de 30º.

c) Un triángulo con dos ángulos que miden 60º y 80º, y cuyo lado común mide 4 cm.

Copia la figura en tu cuaderno y marca:

a) Un triángulo rectángulo.

b) Un triángulo obtusángulo.

c) Un triángulo acutángulo.

Copia en tu cuaderno esta tabla y complétala con dibujos siempre que sea posible.

Equilátero Isósceles Escaleno

Acu

tán

gu

lo

O O O

Ob

tusá

ng

ulo

O O O

Rec

tán

gu

lo

O O O

Utiliza el transportador de ángulos y una regla para medir estos triángulos y clasificarlos.

a) c)

b) d)

42

43

44

45

313

10Polígonos


38 Escribe el nombre de los elementos destacados en naranja en el siguiente dibujo.

•

39 Indica cuáles de estas letras tienen forma de polígono.

Explica por qué el resto de letras no son polígonos.

Clasifica las letras que son polígonos según su número de lados.

Son polígonos las letras I, L y V.

La A no es un polígono porque no está limitada por una línea poligonal cerrada sino por dos.

La C no es un polígono porque no está limitada por una línea poligonal cerrada sino por líneas curvas y rectas.

La letra I es un cuadrilátero y las letras L y la V son hexágonos.40 Clasifica estos polígonos según sus ángulos interiores.

a) b) c) d)

a) Cóncavo b) Cóncavo c) Convexo d) Cóncavo41 Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones.

a) Todo polígono regular es cóncavo.

b) Todos los triángulos son convexos.

c) Un polígono cóncavo no puede ser convexo.

a) Falsa. Para que sea cóncavo alguno de los ángulos tiene que ser mayor que 180º, y como en un polígono regular todos los ángulos miden lo mismo, todos los ángulos deberían ser mayores que 180º.

b) Verdadera. Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, todos ellos son menores que 180º. Entonces, los triángulos son convexos.

c) Verdadera. Si tiene algún ángulo mayor que 180º no pueden ser todos menores que 180º.42 Dibuja los siguientes triángulos.

a) Un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 5 cm y 7 cm, respectivamente.

b) Un triángulo con dos lados de 4 cm y 7 cm que forman entre sí un ángulo de 30º.

c) Un triángulo con dos ángulos que miden 60º y 80º, y cuyo lado común tiene 4 cm.

a) Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de esta forma: trazan uno de los lados como base y desde cada ex-tremo de este, dibujan un arco con longitud cada uno de los otros dos lados. La intersección de los arcos es el tercer vértice del triángulo. Después, unen puntos.

b) Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de esta forma: toman uno de los lados como base, miden sobre él un ángulo de 30º y trazan una semirrecta. Sobre ella miden el otro lado conocido. Después, unen los puntos.

c) Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de esta forma: dibujan el lado de 4 cm, en cada extremo miden un ángulo de 60º y 80º, respectivamente, y dibujan las dos semirrectas. El punto de intersección de estas es el tercer vértice del ángulo. Después, unen los puntos.

diagonal

ángulo

vértice

lado

10 Polígonos


43 Copia la figura en tu cuaderno y marca:

a) Un triángulo rectángulo.

b) Un triángulo obtusángulo.

c) Un triángulo acutángulo.

a) b) c)

44 Copia en tu cuaderno esta tabla y complétala con dibujos siempre que sea posible.

Equilátero Isósceles Escaleno Comprobar que los alumnos dibujan en las celdas correctamente estos triángulos:

❚❚ equilátero acutángulo

❚❚ isósceles acutángulo

❚❚ escaleno acutángulo

❚❚ isósceles obtusángulo

❚❚ escaleno obtusángulo

❚❚ isósceles rectángulo

❚❚ escaleno rectángulo

Acu

táng

ulo

Obt

usán

gulo

O

Rect

ángu

lo

O

45 Utiliza el transportador de ángulos y una regla para medir estos triángulos y clasificarlos.

a) b) c) d)

a) Isósceles rectángulo c) Isósceles obtusángulo

b) Equilátero acutángulo d) Escaleno rectángulo

315

10Polígonos


46 Celia asegura que ha dibujado un triángulo cuyos lados miden 2 cm, 3 cm y 5 cm, respectivamente.

a) ¿Es posible construir este triángulo?

b) Cambia la medida de uno de los lados y construye un triángulo con esas dimensiones.

a) No es posible porque para poder construir un triángulo, la medida de un lado tiene que sea menor que la suma de los otro dos lados, pero 2 cm + 3 cm = 5 cm.

b) Comprobar que los alumnos modifican la medida de uno de los lados para que uno de ellos sea menor que la suma de los otros dos, y dibujan el triángulo de esta forma: trazan uno de los lados como base y desde cada extremo de este, dibujan un arco con longitud cada uno de los otros dos lados. La intersección de los arcos es el tercer vértice del triángulo. Después, unen puntos.

47 Escribe el nombre de las rectas dibujadas en estos triángulos.

a) b)

a) Mediana b) Bisectriz

211

Actividades Finales 10

210

10 Polígonos

Clasifica estos paralelogramos.a) c)

b) d)

Traza dos rectas paralelas con una separación de 3 cm. Utiliza estas rectas para dibujar:a) Un trapecio isósceles.b) Un trapecio rectángulo.c) Un trapecio escaleno.

Suma de los ángulos de un polígono

Halla los ángulos que faltan en los siguientes triángulos isósceles.a) b)

98º

x y

70º

x

y

Halla la medida de los tres ángulos de estos triángulos.a) b)

2x

x

x

2x

6x

Halla el valor de los ángulos que faltan en los siguientes polígonos.a) c)

85º

135º

115º 125º

x

140º

140º

105º 135º

135ºx

b) d)

125º125º

85º 150ºx

85º

170º

70º

x

55

56

57

58

59

Celia asegura que ha dibujado un triángulo cuyos lados miden 2 cm, 3 cm y 5 cm, respectivamente.a) ¿Es posible construir este triángulo?b) Cambia la medida de uno de los lados y

construye un triángulo con esas dimensiones.

Rectas y puntos notables en un triángulo

Escribe el nombre de las rectas dibujadas en estos triángulos.a) b)

Construye en tu cuaderno un triángulo obtusángulo como el siguiente.

A

B

C

a) Traza la altura respecto al lado BC.b) Dibuja la mediana del lado AC.c) Construye la mediatriz del segmento AB.

d) Traza la bisectriz del ángulo C .

¿Puede un triángulo ser rectángulo y obtusángulo a la vez? Razona tu respuesta.

Copia y completa esta tabla. Indica si los puntos notables son interiores, exteriores o si se encuentran sobre algún lado del triángulo.

Acutángulo Rectángulo Obtusángulo

Baricentro O O O

Ortocentro O O O

Circuncentro O O O

Incentro O O O

Dibuja estos triángulos en tu cuaderno y marca los puntos notables en ellos.a) b)

46

47

48

49

50

51

¿Cuál es la medida del ángulo interior de estos polígonos regulares?

En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos mide el cuádruple que el otro. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos?

Calcula el valor de los ángulos desconocidos de este polígono.

A

B

A

B

125º

55º

125º

55º

85o

La suma de los ángulos interiores de un polígono regular es 1 080°. ¿De qué polígono se trata?

Calcula los ángulos interiores de un pentágono sabiendo que el segundo mide el doble que el primero, el tercero mide el triple que el primero, el cuarto mide el doble que el segundo y el quinto mide el quíntuple que el primero.

Piensa y contesta.a) ¿Puede tener un heptágono regular un número

natural como medida de sus ángulos interiores?b) ¿Existe un polígono regular cuyo ángulo interior

mida 162º? ¿Cuántos lados tiene?c) ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo

ángulo interior mide 179º?d) ¿Puede existir un polígono regular con un

ángulo interior de 180º?Razona tus respuestas.

60

61

62

63

64

65

Este mapa muestra tres carreteras que forman un triángulo. Se quiere colocar una gasolinera en un punto del triángulo cuya distancia a las tres vías sea la menor posible. ¿Cuál es ese punto? Dibújalo en tu cuaderno.

Decide que provincia se encuentra a la misma distancia de las siguientes capitales de provincia: León, Huelva y Cuenca.

Cuadriláteros

Copia en tu cuaderno y señala en estos cuadriláteros los lados que son paralelos. Clasifícalos según sean paralelogramos, trapecios y trapezoides.

a) d)

b) e)

c) f)

52

53

54

10 Polígonos


48 Construye en tu cuaderno un triángulo obtusángulo como el siguiente.

A

B

C

a) Traza la altura respecto al lado BC.

b) Dibuja la mediana del lado AC.

c) Construye la mediatriz del segmento AB.

d) Traza la bisectriz del ángulo C .

A

B

C

49 ¿Puede un triángulo ser rectángulo y obtusángulo a la vez? Razona tu respuesta.

Los ángulos de un triángulo suman 180º. Si el triángulo es rectángulo, uno de los ángulos mide 90º y la suma de los otros dos, 90º. Por lo tanto, un triángulo no puede ser rectángulo y obtusángulo a la vez.

50 Copia y completa esta tabla. Indica si los puntos notables son interiores, exteriores o si se encuentran sobre algún lado del triángulo.

Acutángulo Rectángulo Obtusángulo Acutángulo Rectángulo Obtusángulo

Baricentro O O O Baricentro Interior Interior Interior

Ortocentro O O O Ortocentro Interior Sobre el vértice del ángulo rectoExterior

Circuncentro O O O Circuncentro Interior Sobre el lado mayor Exterior

Incentro O O O Incentro Interior Interior Interior

51 Dibuja estos triángulos en tu cuaderno y marca los puntos notables en ellos.

a) b)

a)

•

•

•

•

•

•

•

••

• •

•

• •

•

C

B I

O

b)

• •

• •• •

•

•

••

•

CB I

O

317

10Polígonos


52 Este mapa muestra tres carreteras que forman un triángulo. Se quiere colocar una gasolinera en un punto del triángulo cuya distancia a las tres vías sea la menor posible. ¿Cuál es ese punto? Dibújalo en tu cuaderno.

•I

El punto que está a la misma distancia de los lados es el incentro.53 Decide qué provincia se encuentra a la misma distancia de las siguientes capitales de provincia: León, Huelva y Cuenca.

•C

El punto que se encuentra a la misma distancia de los vértices del triangulo es el circuncentro. La provincia puede ser Toledo.

54 Copia en tu cuaderno y señala en estos cuadriláteros los lados que son paralelos. Clasifícalos según sean paralelogramos, trapecios y trapezoides.

a) c) e)

b) d) f)

a) c) e)

b) No tiene lados paralelos. d) f)

10 Polígonos


a) Tiene los lados paralelos dos a dos → Paralelogramob) No tiene lados paralelos → Trapezoidec) Tiene un par de lados paralelos → Trapeciod) Tiene los lados paralelos dos a dos → Paralelogramoe) Tiene los lados paralelos dos a dos → Paralelogramof) Tiene un par de lados paralelos → Trapecio

55 Clasifica estos paralelogramos.

a) b) c) d)

a) Cuadrado b) Romboide c) Rectángulo d) Rombo56 Traza dos rectas paralelas con una separación de 3 cm. Utiliza estas rectas para dibujar:

a) Un trapecio isósceles. b) Un trapecio rectángulo. c) Un trapecio escaleno.

Respuesta abierta, por ejemplo:

a) b) c)

3 cm

3 cm

3 cm

57 Halla los ángulos que faltan en los siguientes triángulos isósceles.

a) b)

98º

x y

70º

x

y

a) Los dos ángulos que faltan tienen la misma amplitud. Cada uno de ellos mide (180º − 98º) : 2 = 82º : 2 = 41º.b) y = 70º. El ángulo desigual mide: 180º − 2 ⋅ 70º = 180º − 140º = 40º

58 Halla la medida de los tres ángulos de estos triángulos.

a) b)

2x

x

x

2x

6x

a) 2x + x + 90 = 180 → 3x = 90 → x = 30. Sus ángulos miden 90º, 60º y 30º.b) 2x + 6x + x = 180 → 9x = 180 → x = 20. Sus ángulos miden 20º, 40º y 120º.

59 Halla el valor de los ángulos que faltan en los siguientes polígonos.

a) b) c) d)

85º

135º

115º 125º

x

125º125º

85º 150ºx

140º

140º

105º 135º

135ºx

85º

170º

70º

x

a) La suma de sus ángulos interiores de un pentágono es (5 − 2) ⋅ 180º = 540º. El ángulo que falta mide: 540º − (125º + 115º + 135º + 85º) = 80º

319

10Polígonos


b) La suma de sus ángulos interiores de un hexágono es (6 − 2) ⋅ 180º = 720º. El ángulo que falta mide: 720º − (90º + 125º + 125º + 85º + 150º) = 145ºc) La suma de sus ángulos interiores de un heptágono es (7 − 2) ⋅ 180º = 900º. El ángulo que falta mide: 900º − (140º + 140º + 90º + 135º + 135º + 105º) = 155º.d) La suma de sus ángulos interiores de un cuadrilátero es (4 − 2) ⋅ 180º = 360º. El ángulo que falta mide: 360º − (70º + 170º + 85º) = 35º

60 ¿Cuál es la media del ángulo interior de estos polígonos regulares?

❚❚ En un pentágono, la suma de sus ángulos interiores es (5 − 2) ⋅ 180º = 540º. Como es regular, todos los ángulos interiores son iguales y cada uno mide 540º : 5 = 108º.

❚❚ En un hexágono, la suma de sus ángulos interiores es (6 − 2) ⋅ 180º = 720º. Como es regular, todos los ángulos interiores son iguales y cada uno mide 720º : 6 = 120º.

❚❚ En un heptágono, la suma de sus ángulos interiores es (7 − 2) ⋅ 180º = 900º. Como es regular, todos los ángulos interiores son iguales y miden 900º : 7 ≈ 129º.

61 En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos mide el cuádruple que el otro. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos?

En un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos suman 90º.

x + 4x = 90 → 5x = 90 → x = 18 90 − 18 = 72Los ángulos agudos miden 72º y 18º.

62 Calcula el valor de los ángulos desconocidos de este polígono.

A

B

A

B

125º

55º

125º

55º

85o

A = 180º − (55º + 90º) = 35ºCalculamos el ángulo suplementario a 125º:

180º − 125º = 55ºB = 180º − (55º + 85º) = 40º

63 La suma de los ángulos interiores de un polígono regular es 1 080º. ¿De qué polígono se trata?

(n − 2) ⋅ 180 = 1 080 → 180n − 360 = 1 080 → 180n = 1 440 → n = 8. Se trata de un octógono.64 Calcula los ángulos interiores de un pentágono sabiendo que el segundo mide el doble que el primero, el tercero mide el

triple del primero, el cuarto mide el doble que el segundo y el quito mide el quíntuple que el primero.

Primer ángulo: x; segundo ángulo: 2x; tercer ángulo: 3x; cuarto ángulo: 2 ⋅ 2x = 4x; quinto ángulo: 5xLos ángulos interiores de un pentágono suman (5 − 2) ⋅ 180º = 540º.x + 2x + 3x + 4x + 5x = 540 → 15x = 540 → x = 36De menor a mayor, los ángulos del pentágono miden: 36º, 72º, 108º, 144º y 180º.

65 Piensa y contesta.

a) ¿Puede tener un heptágono regular un número natural como medida de sus ángulos interiores?

b) ¿Existe un polígono regular cuyo ángulo interior mida 162º? ¿Cuántos lados tiene?

c) ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior mide 179º?

d) ¿Puede existir un polígono regular con un ángulo interior de 180º?

Razona tus respuestas.

a) No, porque (7 − 2) ⋅ 180º = 900º que no es múltiplo de 7.b) [(n − 2) ⋅ 180] : n = 162 → (n − 2) ⋅ 180 = 162n → 180n − 360 = 162n → 18n = 360 → n = 20. Tiene 20 lados.c) [(n − 2) ⋅ 180] : n = 179 → (n − 2) ⋅ 180 = 179n → 180n − 360 = 179n → n = 360. Tiene 360 lados.d) No, porque si sus ángulos interiores midiesen 180º, todos serían llanos. Sería una recta.

10 Polígonos


Matemáticas vivas

BaldosasSugerencias didácticas

En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana, los patrones repetitivos de figuras geométricas, en la que intervienen las propiedades de los polígonos.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Resuelve, Utiliza el lenguaje matemático, Piensa y razona, Argumenta o Representa.

Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Imagen mural, adaptación del Laboratorio de Innovación Educativa del colegio Ártica a partir de Ferreiro Gravié.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos crearán una baldosa con la que se pueda rellenar el plano siguiendo la técnica de construcción de polígonos nazaríes. Además, realizarán una investigación sobre los teselados que existen en la Alhambra.

Soluciones de las actividades

Un teselado es un patrón repetitivo de figuras geométricas que encajan y cubren el plano sin superponerse y sin dejar huecos.

Un ejemplo de teselado lo forman las baldosas que recubren el suelo que pisamos, ni dejan huecos ni se superponen. La figura que se emplea con más frecuencia para ello es el cuadrado, porque resulta más fácil de manejar: sin embargo, también es posible recubrir el plano con otros polígonos, como el triángulo rectángulo e isósceles.

10 MATEMÁTICAS VIVAS

212 213

Habitualmente los suelos están formados por baldosas iguales, pero esto no siempre es así. Se puede recubrir el plano mezclando polígonos regulares.

Por ejemplo, el suelo que muestra esta imagen está formado por cuadrados y octógonos.

a. ¿Cuántos polígonos concurren en cada vértice?

b. ¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de estos polígonos?

¿Cuáles de las siguientes parejas de polígonos recubren el plano?

a. c.

b. d.

Dibuja una superficie teselada con varios de los polígonos que sí pueden rellenar el plano.

Con tres polígonos regulares, solo puedes constuir dos modelos de teselado. ¿Cuáles son?

REPRESENTA

4

5

6

7

10Baldosas

Un teselado es un patrón repetitivo de figuras geométricas que encajan y cubren el plano sin superponerse y sin dejar huecos.

Un ejemplo de teselado lo forman las baldosas que recubren el suelo que pisamos, ni dejan huecos ni se superponen. La figura que se emplea con más frecuencia para ello es el cuadrado, porque resulta más fácil de manejar: sin embargo, también es posible recubrir el plano con otros polígonos, como el triángulo rectángulo e isósceles.

COMPRENDE

Observa los siguientes triángulos que recubren el plano:

a. ¿Cuántos triángulos equiláteros comparten un solo vértice?

b. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de estos triángulos?

c. ¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de estos triángulos?

Copia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla.

Triángulo equilátero Cuadrado

Pentágono regular

Hexágono regular

Heptágono regular

Octógono regular

Número de lados O O O O O O

Suma de la medida de los ángulos interiores

O O O O O O

Medida de los ángulos interiores O O O O O O

1

2

RELACIONA

A la hora de recubrir el plano, no pueden quedar espacios en blanco entre las figuras.

a. Observa los polígonos de la tabla anterior. ¿Con cuáles se puede recubrir el plano? Explica por qué.

b. Supón que se recubre el plano con una figura plana: ¿qué debe ocurrir con la suma de los ángulos cuando se unen varias de esas figuras compartiendo un vértice?

PIENSA Y RAZONA

3

UTILIZA EL LENGUAJEMATEMÁTICO

RESUELVE

REFLEXIONA

RESUELVE

ARGUMENTA

TRABAJO

COOPERATIVO

321

10Polígonos


Comprende1 Observa los siguientes triángulos que recubren el plano:

a) ¿Cuántos triángulos equiláteros comparten un solo vértice?

b) ¿Cuánto mide cada ángulo interior de estos triángulos?

c) ¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de estos triángulos?

a) En un vértice concurren 6 triángulos.

b) Como son triángulos equiláteros todos sus ángulos miden lo mismo, 180º : 3 = 60º.c) La suma de los ángulos concurrentes es 60º ⋅ 6 = 360º, es decir, un ángulo completo.

2 Copia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla.


Pentágono regular

Hexágono regular

Heptágono regular

Octógono regular

Número de lados O O O O O O

Suma de la medida de los ángulos interiores O O O O O O

Medida de los ángu-los interiores O O O O O O


Pentágono regular

Hexágono regular

Heptágono regular

Octógono regular

Número de lados 3 4 5 6 7 8

Suma de la medida de los ángulos interiores

180º 360º 540º 720º 900º 1 080º

Medida de los ángulos interiores 60º 90º 108º 120º ≈129º 135º

Relaciona3 A la hora de recubrir el plano, no pueden quedar espacios en blanco entre las figuras.

a) Observa los polígonos de la tabla anterior. ¿Con cuáles se puede recubrir el plano? Explica por qué.

b) Supón que se recubre el plano con una figura plana: ¿qué debe ocurrir con la suma de los ángulos cuando se unen varias de esas figuras compartiendo un vértice?

a) Para que se pueda recubrir el plano, la suma de los ángulos interiores de los vértices coincidentes de los polígonos debe ser un ángulo completo, es decir, 360º.

❚❚ Triángulos equiláteros: 360 : 60 = 6 → Con 6 triángulos equiláteros se recubre el plano.❚❚ Cuadrados: 360 : 90 = 4 → Con 4 cuadrados se recubre el plano.❚❚ Pentágonos regulares: 360 : 108 = 3,333… → No se puede recubrie el plano con pentágonos regulares.❚❚ Hexágonos regulares: 360 : 120 = 6 → Con 3 hexágonos regulares se puede recubrir el plano❚❚ Heptágonos regulares: 360 : 128,57 ≈ 2,8 → No se puede recubrie el plano con heptágonos regulares.❚❚ Octógonos regulares: 360 : 135 = 2,66… → No se puede recubrie el plano con octógonos regulares.❚❚ No se podría recubrir el plano ni con pentágonos, ni con heptágonos, ni con octógonos regulares porque 360 no

es múltiplo de la medida de sus ángulos interiores. No se podrían ajustar un número entero de baldosas sin dejar huecos o superponerlas.

b) La suma de los ángulos debe ser 360º, un ángulo completo.

10 Polígonos


Reflexiona4 Habitualmente los suelos están formados por baldosas iguales, pero esto no siempre

es así. Se puede recubrir el plano mezclando polígonos regulares.

Por ejemplo, el suelo que muestra esta imagen está formado por cuadrados y octó-gonos.

a) ¿Cuántos polígonos concurren en cada vértice?

b) ¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de estos polígonos?

a) En cada vértice concurren tres polígonos: un cuadrado y dos octógonos.

b) La suma de los ángulos que concurren es 90º + 135º + 135º = 360º, un ángulo completo.5 ¿Cuáles de las siguientes parejas de polígonos recubren el plano?

a) b) c) d)

a) Si unimos un cuadrado y un pentágono regular, la suma de los ángulos coincidentes es 90º + 108º = 198º. Para que se recubra el plano, los ángulos coincidentes deben sumar 360º.

360º − 198º = 162º → 162 no es divisible por 90 ni por 108, luego no se puede completar el hueco con un cuadrado ni con un pentágono regular.

b) Si unimos un hexágono regular con un triángulo, la suma de los ángulos coincidentes es 120º + 60º = 180º. 360º − 180º = 180º → 180º se puede formar con 3 triángulos equiláteros (60º ⋅ 3 = 180º) o con un hexágono regular

y un triángulo quilátero (120º + 60º = 180º). Luego, se puede recubrir el plano con 4 triángulos equiláteros y un hexágono regular, o con 2 triángulos equiláteros y

2 hexágonos regulares en cada vértice.

c) Si unimos un cuadrado y un triángulo equilátero, la suma de los ángulos coincidentes es 90º + 60º = 150º. 360º − 150º = 210º; 210 no es divisible por 90 ni por 60, pero 210 − 90 = 120 y 120 : 60 = 2. Luego se puede recubrir el plano con 2 cuadrados y 3 triángulos equiláteros en cada vértice.

d) Si unimos un pentágono regular y un hexágono regular, la suma de los ángulos coincidentes es 108º + 120º = 228º. 360º − 228º = 132º → 132 no es múltiplo de 108 ni de 120, luego no se puede completar el hueco con un hexágono

regular ni con un pentágono regular.6 Dibuja una superficie teselada con varios de los polígonos que sí pueden rellenar el plano.

Comprobar que los alumnos dibujan una superficie teselada con polígonos que sí pueden rellenar el plano. Por ejemplo, con hexágonos regulares y triángulos equiláteros, cuadrados y triángulos equiláteros, octógonos y cuadrados…

7 Con tres polígonos regulares, solo puedes constuir dos modelos de teselado. ¿Cuáles son?

Podemos construir un teselado con un triángulo equilátero, dos cuadrados y un hexágono regular:

60º + 90º + 90º + 120º = 360ºEl otro modelo de teselado podríamos construirlo con un cuadrado, un hexágono regular y un dodecágono regular:

90º + 120º + 150º = 360º

Trabajo cooperativo

Respuesta abierta.

323

10Polígonos


214

10 Polígonos

El desarrollo plano de un cuerpo geométrico es la fi gura plana formada por todas sus caras.

Copia este desarrollo plano y, después, amplíalo. Recórtalo y dóblalo por las líneas. Utiliza pegamento en las pestañas para conseguir que se mantenga fi jo el cuerpo geométrico que se forma.

AVANZA Cuerpos geométricos a partir de desarrollos planos

A1. Identifi ca entre las siguientes fi guras las que sean el desarrollo plano de un cubo.

1 2

3 4 5

A2. Dibuja el desarrollo de los siguientes cuerpos geométricos.

a) b)

a) b)

PERCEPCIÓN VISUAL El tangramEl tangram, de origen chino, es uno de los rompecabezas más antiguos que se conoce. Se utiliza desde hace más de dos mil años.

Está formado por siete polígonos: cinco triángulos, un cuadrado y un romboide. Con ellos, podemos construir figuras que representan animales, objetos, personas, polígonos…

PV1. Utiliza todas las piezas del tangram para construir estos polígonos.

a)

b)

PV2. Construye con el tangram las siguientes figuras.


En la sección Avanza de esta unidad se introduce la cons-trucción de cuerpos de geométricos a partir de su desarrollo plano.

Este concepto será ampliado en cursos superiores al definir y estudiar los cuerpos geométricos y cuerpos de revolución así como sus propiedades.


A1. Identifica entre las siguientes figuras las que sean el de-sarrollo plano de un cubo.

1 2

3 4 5

Todas son desarrollos planos de un cubo excepto la de la esquina inferior derecha.

A2. Dibuja el desarrollo de los siguientes cuerpos geométricos.

a) b)

a) b)

Percepción visual. El tangramSugerencias didácticas

Para finalizar la unidad se trabaja la construcción de figuras planas utilizando el tangram.


PV1. Utiliza varias piezas del tangram para construir estos polígonos.

Comprobar que los alumnos construyen las figuras con piezas del tangram.

PV2. Construye con el tangram las siguientes figuras.

Comprobar que los alumnos construyen las figuras con piezas del tangram.

Avanza. Cuerpos geométricos a partir de desarrollos planos

10 Polígonos


1. Completa la siguiente tabla.

Número de lados 4 5 6

Medida de sus ángulos interiores Cóncavo Cóncavo Convexo

2. Construye un triángulo cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 6 cm.

Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de esta forma: trazan uno de los lados como base y desde cada extremo de este, dibujan un arco con longitud cada uno de los otros dos lados. La intersección de los arcos es el tercer vértice del triángulo. Después, unen puntos.

3. Dibuja un triángulo equilátero de 3 cm de lado y traza sus medianas.

Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de esta forma: trazan un lado de 3 cm y desde cada extremo de este, dibujan un arco con longitud 3 cm. La intersección de los arcos es el tercer vértice del triángulo.

Después, trazan las rectas perpendiculares a los lados que pasan por su punto medio.

4. Clasifica los siguientes trapecios.

a) b) c)

a) Trapecio escaleno b) Trapecio isósceles c) Trapecio rectángulo

5. Calcula los ángulos que faltan en los siguientes polígonos.

a) b)

80º

50º

x

35º85º

70º

x

a) Los ángulos de un triángulo miden 180º.

180º − (80º + 50º) = 180º − 130º = 50º

El ángulo que falta mide 50º.

b) Los ángulos de un cuadrilátero miden 360º.

360º − (35º + 70º + 85º) = 360º − 190º = 170º


PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

325

10Polígonos


1. Dibuja estos polígonos.

a) Un pentágono convexo.

b) Un cuadrilátero cóncavo.

a) Comprobar que los alumnos dibujan un polígono de 5 lados que tenga todos los ángulos menores que 180º.

b) Comprobar que los alumnos dibujan un polígono de 4 lados con algún ángulo mayor que 180º.

2. Construye un triángulo rectángulo isósceles que tenga dos lados de 2 cm.

Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de esta forma: trazan un lado de 2 cm, miden sobre él un ángulo de 90º y trazan una semirrecta. Miden sobre ella 2 cm y, después, unen los puntos.

3. Halla el ortocentro de este triángulo.

Comprobar que los alumnos trazan las alturas del triángulo y marcan el punto de intersección.

•

• •

•O

4. Halla la medida de los tres ángulos de estos triángulos.

3x

2xx

x + 2x + 3x = 180

6x = 180

x = 30

Los ángulos del triángulo miden 30º, 60º y 90º.

5. Averigua la medida del ángulo que falta en el siguiente polígono.

30º

x

30º

Los ángulos de un pentágono miden:

(5 − 2) ⋅ 180º = 3 ⋅ 180º = 540º

540 − (30 + 90 + 90 + 30) = 540 − 240 = 300


PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

10 ns 10 - matemáticas en el instituto295 ns 10 unidades didácticas matemáticas 1.º eso...

Documents