Einstieg

13

1

Ausblick

Am Ende dieses Kapitels hast du gelernt, … ▪ wie man Zufallsexperimente beschreiben kann. ▪ auf welche Weise man aus den wiederholten Ergebnissen eines Zufallsexperimentes eine

Wahrscheinlichkeit schätzen kann. ▪ wie man Baumdiagramme als Hilfsmittel nutzen kann. ▪ was man unter einem Laplace-Experiment versteht und wie man Wahrscheinlichkeiten

bestimmen kann.

Zufall und Wahrscheinlichkeit

▪ Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Spielwürfel eine 6 zu würfeln? ▪ Würfle hintereinander möglichst oft mit einem Würfel. Bestätigt sich deine Vermutung? ▪ Wie lassen sich die Ergebnisse des Würfelwurfs mithilfe von Kennzahlen beschreiben und

darstellen?

Einstieg

Ausblick

Am Ende dieses Kapitels hast du gelernt, … ▪ Terme zu Sachverhalten aufzustellen. ▪ Terme durch äquivalente Umformungen zu vereinfachen. ▪ die binomischen Formeln anzuwenden. ▪ lineare Gleichungen durch inhaltliche Überlegungen und algebraische Verfahren zu lösen. ▪ Formeln aus der Mathematik und den Naturwissenschaften nach gesuchten Größen umzustellen. ▪ Verhältnisgleichungen zu lösen.

▪ Maria Montessori hat für Kinder einen besonderen Würfel entwickelt. Welche Mathematik steckt dahinter? Beschreibe die Seiten des großen Würfels, die du erkennen kannst, wenn du alle Holzwände entfernst. Woran erkennen die Kinder, dass der Würfel richtig zusammengesetzt ist?

▪ Zeichne eine Seitenfläche des Würfels und beschrifte die farbigen Flächen durch Terme. Ermittle damit einen alternativen Term für die Seitenfläche A = (a + b)² sowie das Volumen V = (a + b)³. Beschreibe dein Vorgehen.

k

43

2 Terme und Gleichungen

Mathematische Zeichen und Abkürzungen . . . . . . . . 6

Fit für Klasse 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 Zufall und Wahrscheinlichkeit

Das kann ich schon … . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Entdecken: Wahrscheinlichkeiten spielerisch

bestimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1 Zufallsexperimente durchführen und beschreiben 18

1.2 Mehrstufige Zufallsexperimente . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Begriff der Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Laplace-Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5 Erste Pfadregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6 Zweite Pfadregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Aufgaben zur Differenzierung . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Themenseite: Glück im Spiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Das kann ich ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Auf einen Blick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2 Terme und Gleichungen

Das kann ich schon … . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Entdecken: Rätselkönige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.1 Terme aufstellen und vereinfachen . . . . . . . . . . . 48

2.2 Terme umformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3 Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4 Gleichungen lösen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5 Besondere Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Aufgaben zur Differenzierung . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Themenseite: Mit allen Sinnen . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Das kann ich ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Auf einen Blick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3

Inhaltsverzeichnis

Einstieg

Merkur

Venus

Erde

Mars

Jupiter

Saturn

Uranus

Neptun

107

4

Ausblick

Am Ende dieses Kapitels hast du gelernt, … ▪ Figuren maßstäblich zu vergrößern und zu verkleinern. ▪ ähnliche Figuren zu erkennen sowie zugehörige Seitenlängen und Winkelgrößen

zu vergleichen. ▪ besondere Verhältnisse an ähnlichen Figuren zu nutzen.

Maßstäbliches Vergrößern und Verkleinern

▪ Informiere dich im Internet über Claudius Ptolemäus, Galileo Galilei und Nikolaus Kopernikus. Recherchiere über die Zeit, in der sie lebten.

▪ Welche Vorstellungen hatten sie von unserem Sonnensystem? ▪ Informiere dich über die Durchmesser der Planeten. In welchem

Verhältnis stehen sie zum Durchmesser der Sonne? Vergleiche.

Bei seinen astronomischen Beobachtungen, vor allem bei der Entdeckung der vier größ-ten Jupitermonde und bei der Beobachtung der Phasen der Venus, fand Galilei wichtige Indizien für die Richtigkeit des kopernikanischen Weltbilds, das er im Jahr 1632 öffentlich verteidigte.

„Eppur’ si muove“ („Und sie bewegt sich doch.“)(Galileo Galilei)

Heute wissen wir, dass alle Planeten kugelähnliche Himmelskörper sind und das Licht der Sonne reflektie-ren. Die Planeten umlaufen die Sonne auf elliptischen Bahnen.

77

3Einstieg

Lineare Funktionen

Ausblick

Am Ende dieses Kapitels hast du gelernt, … ▪ Rechenvorschriften linearer und direkt proportionaler Zuordnungen aufzustellen. ▪ für Zuordnungen zu entscheiden, ob es sich um Funktionen handelt. ▪ begründet zu entscheiden, ob eine lineare Funktion vorliegt. ▪ lineare Funktionen grafisch, tabellarisch und mit Worten darzustellen. ▪ Anstiege, Achsenschnittpunkte und Nullstellen anzugeben. ▪ Funktionsgleichungen grafisch und rechnerisch zu ermitteln.

▪ Die Entfernungen auf Straßenschildern werden in Deutschland in Kilometern angegeben. In den USA sind die Angaben in Meilen, dabei gilt: 1 Meile ≈ 1,61 Kilometer

▪ Die Entfernung zwischen Berlin und Cottbus beträgt ca. 100 km (Luftlinie).

Überprüfe an der Karte (Maßstab 1 : 2 000 000). Gib die Entfernung in Meilen an. ▪ Übertrage und vervollständige die Tabelle. ▪ Stelle die Zuordnung Länge in km ↦ Länge in Meilen

grafisch dar. Beschreibe den Verlauf

des Graphen.

Entfernung zwischen … in Kilometern in Meilen

Berlin – Cottbus 100

Rathenow – Frankfurt (Oder) 140

Neuruppin – Elsterwerda 160

Schwedt – Brandenburg

3 Lineare Funktionen

Das kann ich schon … . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Entdecken: Campingurlaub . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.1 Lineare Zuordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.2 Zuordnungen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . 84

3.3 Lineare Funktionen grafisch bestimmen . . . . . . . 86

3.4 Lineare Funktionen rechnerisch bestimmen . . . . . 90

3.5 Lineare Funktionen im Alltag . . . . . . . . . . . . . . 94

Aufgaben zur Differenzierung . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Werkzeug: Mathematisch modellieren . . . . . . . . . . . 102

Das kann ich ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Auf einen Blick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4 Maßstäbliches Vergrößern und Verkleinern

Das kann ich schon … . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Entdecken: Unser Sonnensystem . . . . . . . . . . . . . . 110

4.1 Verhältnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.2 Maßstäbliches Vergrößern und Verkleinern . . . . . 114

4.3 Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.4 Besondere Verhältnisse ähnlicher Figuren . . . . . . 120

Aufgaben zur Differenzierung . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Themenseite: Alles ähnlich beim Falten . . . . . . . . . . 130

Das kann ich ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Auf einen Blick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4

Inhaltsverzeichnis

Einstieg

AusblickAm Ende dieses Kapitels hast du gelernt, …

▪ was Quadratwurzeln sind. ▪ den Satz des Pythagoras für die Berechnung von Längen in verschiedenen Anwendungen zu nutzen. ▪ Pyramiden und Kegel in verschiedenen Darstellungen zu zeichnen. ▪ den Oberflächeninhalt und das Volumen von Pyramiden und Kegeln zu bestimmen.

▪ Pythagoras von Samos war ein griechischer Philosoph der Antike. Recherchiere, welcher mathematische Satz ihn bis heute berühmt gemacht hat. Erkläre, was man mit dem Satz berechnen kann.

▪ Kennst du noch weitere mathematische Sätze, die nach ihrem Erfinder benannt sind? Nenne mindestens drei Beispiele.

▪ Erstelle ein Plakat über das Leben und Wirken von Pythagoras.

135

5 Satz des Pythagoras und seine Anwendungen

Einstieg

171

6

Ausblick

Am Ende dieses Kapitels hast du gelernt, … ▪ lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen aufzustellen. ▪ lineare Gleichungssysteme auf verschiedene Arten zu lösen. ▪ die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems anzugeben.

Lineare Gleichungssysteme

Herkunftsland Teesorte Preis pro 100 g

Indien Grüner Tee – first cut 4,00 €

Sri Lanka Grüner Tee – fermentiert 2,80 €

Pakistan Grüner Tee – Hochlage 3,20 €

▪ Tee gibt es in verschiedenen Sorten. Stelle für jede Teesorte die Kosten in Abhängigkeit von der Teemenge grafisch dar. Gib die Art der Zuordnung an.

▪ Tee wird oft aus verschiedenen Sorten gemischt, damit sich die Aromen oder die gesunden Wirkungen der Teesorten ergänzen können. Ein Teehändler mischt grünen Tee aus Indien und Sri Lanka. Bestimme die Massen jeder Sorte, die er nehmen müsste, um 2 kg der Teemischung zum Preis von 3,25 € pro 100 g anbieten zu können.

5 Satz des Pythagoras und seine Anwendungen

Das kann ich schon … . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Entdecken: Pythagoras kennenlernen . . . . . . . . . . . 138

5.1 Quadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.2 Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.3 Pythagoras und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.4 Netze von Pyramide und Kegel . . . . . . . . . . . . . 152

5.5 Oberflächeninhalt von Pyramide und Kegel . . . . . 154

5.6 Schrägbild von Pyramide und Kegel . . . . . . . . . . 156

5.5 Volumen von Pyramide und Kegel . . . . . . . . . . . 158

Aufgaben zur Differenzierung . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Themenseite: Rund um Pythagoras . . . . . . . . . . . . 166

Das kann ich ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Auf einen Blick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6 Lineare Gleichungssysteme

Das kann ich schon … . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Entdecken: Gleichungssysteme um uns herum . . . . . 174

6.1 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen . . . . . . . 176

6.2 Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen . . . 178

6.3 Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen . . . . 182

6.4 Lineare Gleichungssysteme im Alltag . . . . . . . . . 188

Aufgaben zur Differenzierung . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Themenseite: Wirtschaftsabläufe . . . . . . . . . . . . . . 194

Das kann ich ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Auf einen Blick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Lösungen zu „Das kann ich schon…“ und

„Das kann ich !“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Bildnachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

5

Inhaltsverzeichnis