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$: 1 Apports des méthodes dhomogénéisation numériques à la classification des massifs rocheux fracturés 22 juin 2006 Centre de Géosciences$
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Apports des méthodes Apports des méthodes d’homogénéisation d’homogénéisation

numériques à la classification des numériques à la classification des massifs rocheux fracturésmassifs rocheux fracturés

22 juin 2006

Centre de Géosciences de l’École des Mines de Paris

En collaboration avec le Laboratoire Central des Ponts et Chaussées

Michel Y. Michel Y. CHALHOUBCHALHOUB


A- Objectif de l’étude

B- Méthodes de classification des massifs rocheux

C- Homogénéisation numérique des milieux fracturés

D- Méthode de modélisation numérique

E- Classification numérique

F- Conclusions et perspectives

Plan de l’exposé


A. Objectif de l’étude

Roche Fracture

Essai au Laboratoire:

Possible

Massif Rocheux

Essai au Laboratoire: Impossible

Solution Possible: Homogénéisation numérique

● Détermination des propriétés élastoplastiques des massifs rocheux fracturés par des méthodes d’homogénéisation numériques (éléments finis).

● Présenter une classification numérique des massifs rocheux.

’

A.A. Objectif de Objectif de l’étudel’étude

B.Méthodes de classification des massifs rocheux

C.Homogénéis-ation numérique des milieux fracturés

D.Méthode de modélisation numérique

E- Classificati-on numérique





B.1 Méthodes empiriques

B.2 Méthodes analytiques






B.2 Méthodes Analytiques

B.1 Méthodes empiriques: RMR, Q, RMI, GSI…


B.B.Méthodes de Méthodes de classification classification des massifs des massifs rocheuxrocheux





Avantages Inconvénients

Utilisation simple et rapide

Estimation indirecte des propriétés mécaniques

Approche empirique

Taille du VER : absente

Anisotropie : non prévue

Avantages Inconvénients

Calcul rigoureux des propriétés mécaniques

Nombre limité de familles de fractures

Extension infinie des fractures

Espacement périodique



B- Méthodes de classification des massifs

rocheux

C- Homogénéisation numérique des milieux

fracturés

C.1 Principe d’homogénéisation

C.2 Choix des massifs homogénéisables

C.3 Modèles de comportement mécaniques

C.4 Homogénéisation en élasticité linéaire

C.5 Élasticité ellipsoïdale

C.6 Homogénéisation en élastoplasticité





EquivalentMilieu Homogène

Tunnel

Sollic itations Sollic itations

Tunnel

dt > D

VER

VER

DD > lD > t

Roche : E, , C, Joints : Kn , Kt , Knt , c ,

Massif Homogénéisé :Sm(), Cm(), m() ?



C.C.Homogénéis-Homogénéis-ation ation numérique numérique des milieux des milieux fracturésfracturés




C.1 Principe d’homogénéisation

Remplacer un milieu hétérogène par un milieu homogène équivalent

Milieu HétérogèneMilieu Hétérogène Milieu Homogène Équivalent Milieu Homogène Équivalent


Méthode de calcul des propriétés équivalentes:

Calcul des moy. et moy.à partir des forces et des déplacements nodaux sur le contour

(Pouya et Ghoreychi [2001])







1

2

3 4

F

u

Forcenodale

Déplacement nodal

moyenne moyenne

(Moyennes Volumiques)


C.2 Choix des massifs homogénéisables

● Massifs sédimentaires :

Famille horizontale: plan stratigraphiques. Famille verticale: fractures d’extension (l2) verticale.

1- Deux familles de fractures

● Surfaces de foliation de gneiss, fluidité de granite, …

2- Une famille de fractures : extension (l2) finie





E- E- Classificati-Classificati-on on numériquenumérique


Massifs typesCFMR-MMR [2000]

Analytique possible

Analytique impuissanteNumérique prometteuse

Solution Empirique


2C cos

(MPatraction

(MPacompression

(%)

E1-sin

2C cos1+sin

21 3

(MPa)

(MPa)

Plasticité

t=

Elasticité

C (MPa)

(MPa)

1+sin2C costraction

compression




D.D.Méthode de Méthode de modélisation modélisation numériquenumérique



C.3 Modèles de comportement mécaniques

Matrice rocheuse● Milieu homogène isotrope. ● Comportement élastique linéaire (E et )● Comportement plastique parfait (C et )

< C + n tan

’


n(MPa)

c

Plasticité

Elasticité

t

n(MPa)

c

c/tan

compressiontraction

tannc

pas de plastification

en compression

MPa

dh (mm)

Ktc

c

Kn

Vj (mm)

(MPa compression

(MPa traction

c/tan()

Critère de résistanceRelation contrainte déformation

traction

4

3

1

2

u 4x4yu´

3xu´

u 3y

1yu´

u 2y

u 1x

2xu´

Y'

X'

L/2

L/2

X'

Y'

Y

e00

e

L/2

L/2

X'

Y'

1F

2F

F 3

4F

2

1

3

4

2 degrés de liberté en déplacement : Ux et Uy

Discontinuités

● Joints de Goodman et al. [1968] d’épaisseur nulle. ● Comportement élastoplastique parfait (Kn, Kt, Knt = Ktn, c et ).







n


2.2 Milieux fracturés plans

Fractures infinies ┴ au plan de calcul : Plan d’homogénéisation plan de calcul

r r r r33 13 23 631/ E, / E, 0s s s s

11 1r13

r23

r r r r31 32 3

2 16

3 36

11 11

21 22 2622 22

33 33

12 1261 62 66

r63

2

s

s

s s s

s s s

s s s

s s s

s

s

Roche isotrope:

11 12 16

22 26

66

s s s

s s

Sym s

6 Inconnues

Comment les calculer??

2.1 Loi de Hooke= SS : = CC :

11 12 13 14 15 1611 11

22 23 24 25 2622 22

33 34 35 3633 33

44 45 4623 23

55 5613 13

6612 12

2

2

2

s s s s s s

s s s s s

s s s s

s s s

s s

Sym s

C.4 Homogénéisation en élasticité linéaire

Forme matricielleMilieu 3D :

But : Recherche du tenseur d’élasticité du massif

sij : 21 termes indépendants








2.3 Différents modes de chargement

Chargementhybride

Contrainteimposée

Déplacementimposé







Compression X Compression Y Cisaillement XY


Méthode de calcul des termes d’élasticité cij

2.4 VER homogène

x

y

x

y

x

y Uy=-U.y/D Ux=-U.x/D Ux=U.y et Uy=U.x

11 12 13 1611 11

22 23 2622 22

33 3633 33

6612 122

c c c c

c c c

c c

Sym c

10 Inconnues

Comment les calculer??

Calcul plus simple de C que de S

Essai, direction Déf. imposée Cont. calculées cij déduits

Extension, 1 11=1

11 0, 22

0, 12 0 c11=11, c21=22 , c31=33 , c61=12/2

Extension, 2 22=1

11 0,22

0, 12 0 c12=11, c22=22 , c32=33 , c62=12/2

Cisaillement 12=1

11 0,22

0, 12 0 c16=11 , c26=22 , c36=33 , c66=12/2

Reste à calculer c33 ?

r1311 12 16

r r r r33 13 23 36 22 26 232

33 33 r66 36

1 1

( )r r

sc c c

c s s s c c ss s

c s

1311 12 13 16

22 23 26 23

36 33

66

11 12 16

22 26

36

66

33

1 0

1

1

1

r

r

r

s s s

s s

ssym

sc c c c

c c c s

c sc symsym

c

s

C:S=IC:S=I







Résultat indépendant du mode de chargement


3.2 Avantages du modèle ellipsoïdal

1- Nombre réduit de paramètres

2- Transformation de certains milieux fracturés anisotropes à des milieux isotrope de

géométrie modifiée (Pouya & Zaoui [2005]).

4- Calcul du tenseur d’élasticité 3D à partir des résultats d’un calcul 2D.

Anisotropie ellipsoïdaleIsotropie : Sphère

C.4 Élasticité ellipsoïdale (Saint Venant [1863], Pouya [2006] )

3.1 Hypothèse

La surface indicatrice d’un paramètremonodirectionnel (module d’Young)définit un ellipsoïde

1'

2'2

1

1 2 : 'direction d orthotropie

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

10

E

4 E

2

1

2´

1

oθ

1'

2'2

1

1 2 : 'direction d orthotropie

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

10

E

4 E

2

1

2´

1

oθ







● Hypothèse représentative de certains types de sols et de roches

anisotropes (Pouya & Reiffsteck [2003]).

● Approximation acceptable à nos résultats.


3.3 Choix du modèle ellipsoïdal (de Saint Venant):

varient suivant un ellipsoïde

41/ ( )ic n 4iE&

1

(1 )(1 2 )

1E c

=1,2,3







1 1 2 1 3

21 2 2 3

31 3 2 3

2 3

1 3

1 2

1

1

1

2(1 )

2(1 )

2(1 )

E E E E E

EE E E E

EE E E E

E E

E E

E E

eS

s55

s44

4 paramètresE1, E2, E3,

11 11 22 11 33

11 22 22 22 33

11 33 22 33 33

22 33

11 33

11 22

1 2

1

21

2

e

c c c c c

c c c c c

c c c c c

c c

c c

c c

C

c55

c44

4 paramètresc11, c22, c33,


3.4 Méthode de calcul des paramètres ellipsoïdaux

Minimisation de la distance entre Cellipsoidal et CnumériqueA. Objectif de l’étude






ellipsoïdal

calculé


C.5 Homogénéisation en élastoplasticité

But: Recherche d’un critère de résistance Ultime







ou

confinement

confinement '

m

msin tanmCmmcosm

m

m

Cm

m

msin tanmCmmcosm

m

m

Cm

ou

confinement

confinement '

(1)

Variation linéaire!! Mohr-Coulomb

m

Cm

Critère adopté: Mohr-Coulomb (Cm et m) dans le plan 1-2

< Cm+n tan m




rocheux


fracturés


D.1 Méthodologie de travail

D.2 Choix du mode de chargement

D.3 Outil de calcul numérique (HELEN)

D.4 Exemple d’illustration d’un massif granitique




45

01530

7560

1 2

3

D.3 Méthodologie pratique de travail (1)

ParamètreLoi de distribution

Coordonnées des centres des disques

Uniforme

Pendage (a) Normale

Azimut (f) Normale

Extension (l)Exponentielle décroissante

Épaisseur (e)Exponentielle décroissante

Recherche des traces des fractures dans un plan

Génération des disques dans l’espace: modèle de Baecher et al. [1977]

Recherche de la taille du VER

Carré centrée de taille croissante

Carré amovible detaille constante

Et/ou

VérificationGrandeurs calculées par rotation de base équivalentes aux grandeurs calculées par rotation du VER

x

y l/2

l/2

e

2

1

Paramètres: x,y,l,,e








D.3 Méthodologie pratique de travail (2)

1

3 4

21

3 4

21

3 4

2

4 5

6 7

Ajustement de la géométrie des fracturesapplication des filtres numériques

Maillage du massif rocheux création des éléments triangulaires

Dédoublement des nœudscréation des éléments joints

Chargement numérique (direction: X,Y,XY)calcul de la matrice d’élasticité S et des paramètres de résistance Cm et m

1

T3

3

2

Frontière Frontière

fracture

fracture

fracture

Avantfiltrage

Aprèsfiltrage







QuelMode?


Conclusion Dép. imp. borne sup. de Em. Cont. Imp. borne inf. de Em. Résultat compatible avec les travaux théoriques de : Huet [1999] Choix du mode de contrainte imposée

1

1'

2 3 4 5

2' 3' 4' 5'51

1' 5'

2' 3' 4'

432 54321

2'1' 3' 4' 5'

(b)(a) (c)

Dép

lace

men

t im

pos

é

Con

trai

nte

imp

osée

1 1 1

m nE E K d

D.4 Choix du mode de chargement (VER fini)

Raisonnement

Comparaison de Em (dép. imp.) et de Em (cont. Imp.) 1 famille de fractures d’extension infinie

Analyse de la déformée dans un domaine fini.







Continuité de la rocheRaideur K réalité

KKnn<<E<<EDéplacement relatif K 0Raideur réelle


D.5 Outil de calcul numérique (HELEN)

Travail de classification nombre de simulations (>5000) besoin d’un outil numérique

5.1 Travail de développement numérique

Phase de pré-traitement

Basée sur un travail de base MASFRA écrit par A. Pouya (Pouya et Ghoreychi [2001]).

Modules: GeDisc, GeFrac, GeGraph, Polish, GeDraw, GeMesh, Gejoint.

Phase de post-traitement Modules: Homogen, Verif, AjustEllips

Développement spécialModules: GeoREV

Run







Automatise le travail d’homogénéisation

Facile à manipulerInterfaces graphiques

Lien avec d’autres logicielsAutoCAD, Robot, MS Excel

HELEN Homogénéisation Élémentaire Numérique


12.5

50.0

25.0

50.0

25.0

10.0

14.1

2=45°

1=0°

20.0

40.0

l

n

de la matrice rocheusedirections d'anisotropie

1 2

3 4

1- Massif sans fractures2- Une fracture inclinée d’extension infinie 3- Une famille de fractures horizontale d’extension finie

Validation en élastoplasticité

Validation en élasticité

1- Une famille de fractures 2- Deux familles orthogonales d’extension infinie3- Deux familles inclinées d’extension infinie4- Fractures vides d’extension finie

5.2 Test et validation de l’outil numérique

Validation du joint de Goodman et al. [1968] (code ANTHYC G.3S, École Polytechnique): Comparaison avec des solutions analytiques

4.0

1 2 3








6.1 Présentation du massif de la Vienne

● Massif granitique dans le Sud Ouest de la France (Pouya et Ghoreychi [2001])

D.6 Exemple d’illustration d’un massif granitique

6.2 Calcul du VER géométrique

12m

2m

20m

2m

12m

20m

2m <D<20m







0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

D (m)

d (m)

vert hor 45 deg

Espacement: 3 directions d’échantillonnage

VERVERgéo.géo.≈15m≈15m


Conclusion VER géo. ≈ VER méca. (Attention! pas de dispersion de Kn et Kt dans le domaine). Allure de la courbe du Module d’Young : comparable à celle de l’espacement moyen dans la même direction.

6.3 Calcul du VER mécanique et des propriétés élastiques (Chalhoub et Pouya [2006])







Module d'Young

62000

63000

64000

65000

66000

67000

68000

69000

70000

0 5 10 15 20 25

D (m)

E (MPa)

E2 vertical E1 horizontal

Module de cisaillement

26600

26800

27000

27200

27400

27600

27800

28000

0 5 10 15 20 25

D (m)

G (Mpa)

G12

Coefficient de Poisson

0.18

0.19

0.2

0.21

0.22

0.23

0 5 10 15 20 25

D (m)

E1≈65.3GPa E2≈63.1GPa

21≈0.187 12≈0.193

G12≈26.8GPa

VERVERméca.méca.≈15m≈15m

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

d (m)

vert hor 45 deg

Espacement


Compression 2 confinement 0.5MPa

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008

(MPa)

Compression Y, sx=0.5MPa Compression Y, sx=1MPa

Compression X, sy=0MPa Compression X, sy=0.5MPaCisaillement+ Cisaillement -

Compression 2 confinement 1MPaCompression 1 confinement 0.5MPaCompression 1 confinement 0MPa

1

Cisaillement de gauche à droite

Cisaillement de droite à gauche

Courbes contraintes déformations numériques

2 Cm et m (anisotrope)

Compression 1 Compression 2







6.4 Calcul dés propriétés de résistance




rocheux


fracturés



E.1 Étude paramétrique

E.2 Recherche et ajustement de la taille des VER (D)

E.3 Illustrations du maillage et des déformées

E.4 Classification numérique: Résultats de calcul

E.5 Classification numérique: Ajustement des

résultats

E.6 Exemple d’illustration d’un massif sédimentaire



E.1 Étude paramétrique







E

extension (l)

espacement (d)

E

Kn,Kt

Roche: Module d’Young ECoefficient de Poisson

Variation de 5 paramètres:

● Classification élastique linéaire

Joint: raideur normale Kn

raideur normale Kt

espacement dextension l


FRACTURES

Paramètres mécaniques en élasticité

Kn(MPa/m) 2 000 100 000 200 000

Description géologique

Joints humides ou remplis d’argile

Joints sec remplis de matériau autre que l’argile

Joints colmatés très minces dans un granite ou un basalte

Classification Faible Moyenne Forte

Kt/Kn 0.01 0.25 0.50

Classification Faible Moyenne Forte

Paramètres Géométriques

d2(m) 0.27 0.55 1.00

Classification Faible-moyenne Moyenne-forte Forte

l2(m) 0.50 1.50 5.20

Classification Très faible Faible Moyenne

d1(m) 0.25 0.75 2.60

l1(m) infinie infinie infinie

ROCHE


E(MPa) 2 000 50 000 100 000

0.25 0.25 0.25

Description géologique

Un grès argileux ou une craie

Calcaire de dureté moyenne, grès bien cimenté

Un granite sain

Classification Très faible Moyenne Forte

1.1 Étude paramétrique (plage de variation des paramètres)

Plage de variation 2000<E(MPa)<100000

=0.25

2000<Kn(MPa/m)<200000

0.01<Kt /Kn<0.5

0.27<d(m)<1

0.5<l(m)<5.2








ROCHE


Numéro du paramètre 1 2 3

E(MPa) 2 000 50 000 100 000

0.25 0.25 0.25

FRACTURES



Kn(MPa/m) 2 000 100 000 200 000


Kt/Kn 0.01 0.25 0.50

Paramètres Géométriques


d2(m) 0.27 0.55 1.00


l2(m) 0.50 1.50 5.20

d1(m) 0.25 0.75 2.60

l1(m) infinie infinie infinie

2-3-2-3-2

d2=0.55m: 2l2=5.20m: 3E=50000MPa: 2Kn=200000MPa/m: 3Kt/Kn=0.25: 2

Écriture indicielleexemple d’emploi:

géométrie Propriétésmécaniques

● Classification numérique: Nombre de cas: 2*35 = 486 Nombre de simulations numériques: 5292

1.1 Étude paramétrique (écriture indicielle compacte)








1-1 2-1 3-1

15m

1-2 2-2 3-2

1-3 2-3 3-3

30m

50m

1.2 Domaine de génération des fractures: 1 famille

dcroît

lcroît








15m 30m 50m

lcroît

dcroît

1.2 Domaine de génération des fractures: 2 familles







1-1

2-1

3-1

1-2

2-2

3-2

1-3

2-3

Massif sédimentaire

15m 30m 50m

3-3


0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

1.7

0 5 10 15 20 25 30

D[m]

d,l [m]

VER sur 4d VER sur l (-3%)VER sur l (+3%) VER sur 4d (+3%)VER sur 4d (-3%) VER sur l

VER

géométrique

10m

7m

1 famille: cas 1-2

E.2 Recherche et ajustement de la taille des VER (D)

. .méca géoVER VERHypothèse :

Taille du VER : . .max ;d l

VER VERgéo géoD D D

2.1 Recherche de la taille des VER








11VERD dl

Résultat compatible avec VER hydraulique Wei et al. [1995]: 10d<D<50d

2.2 Ajustement de la taille des VER (1 famille)







D VER = 11.622(dl 0.5 ) 0.9263

R 2 = 0.9513

D VER =11(dl) 0.5

0

5

10

15

20

25

30

0 0.5 1 1.5 2 2.5

(d.l) 0.5 [m]

D VER [m]

calculée

ajustée

régression


2 familles de fracturescas 1-2

1 famille de fractures

Après maillage

Avant maillage

cas 3-3









2 familles de fractures, cas 2-2, D=12m

1 famille de fractures, cas 1-1, D=4m


Compression 1 Compression 2 Cisaillement

Déformée: Chargement à contrainte imposéeA. Objectif de l’étude







● Symétrie remarquable de SS: La moyenne des contraintes et des déformations est effectuée sur tous les nœuds.

Symétrie non atteinte par d’autres auteurs comme Min et Jing [2003]

0.000543380 -0.000134094 -0.000001014

-0.000134088 0.000541062 -0.00

-0.000125

-0.000125

-0.000125 -0.000125 0.0005

0000038

-0.000001422 -0.0000000041 0.001363 09

0

0 9

S







4.1 Remarques générales

Taille du VERméca atteinte● s16 et s26 tendent vers zéro

r13

r23

r r r

11 12 16

21 22 26

61 6

r31 32

2 66

33 36

r63

s

s

s s s s

s s s

s

s s

s s

s s

S

. .méca géoVER VER Hypothèse confirmée

Orthotropie vérifiée par calcul

Conclusion:

E.4 Classification numérique: Résultats de calcul


Cas déduits d’autres cas

12

4.3 Résultats de calcul (1 famille de fractures)

Numéro des cas

Données:Écriture indicielle

Données:Valeur des paramètres géométriques et mécaniques

Résultat exact

G12

r31=32=12=13=r

Résultat ellipsoïdal

1 famille

23e rE

E

´M Mij ijS S








12

4.4 Résultats de calcul (2 familles de fractures)

Numéro des cas

Données:Écriture indicielle

Données:Valeur des paramètres géométriques et mécaniques

Résultat exact

G12

3132r

rr

2 familles

Résultat ellipsoïdalModèle 1:

Modèle 2:C11,C22,C33,

2 132e r

E E

E








5.1 Raisonnement d’ajustement

E.5 Classification numérique: Ajustement des résultats

1- Analyse d’un massif à 1 famille de fractures d’extension infinie2- Analyse d’un massif ayant une famille périodique d’extension finie

2

1

d 1 1 1

nE E K d

Amadei et Goodman [1981]

1 1 1nE

K dEP

E E

1EP

1






F- Conclusions et perspectives l

d

d/di j i

1

2

/EP l L/1 1 nE l

dP

E EL

KE

2


-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

(1+Kn*d/E)-1

1-E/E1-1

1-2

1-3

2-1

2-2

2-3

3-1

3-2

3-3

Linear (1-1)

Linear (2-1)

Linear (3-2)

Linear (2-3)

Linear (3-1)

Linear (2-2)

Linear (1-2)

Linear (1-3)

Linear (3-3)

1 /E E

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

(1+Kn*d/E)-1

1-E/E1-1

1-2

1-3

2-1

2-2

2-3

3-1

3-2

3-3

Linear (1-1)

Linear (2-1)

Linear (3-2)

Linear (2-3)

Linear (3-1)

Linear (2-2)

Linear (1-2)

Linear (1-3)

Linear (3-3)

1 /E E

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

(1+Kt*d/G)-1

1-G/G 1-1

1-2

1-3

2-1

2-2

2-3

3-1

3-2

3-3

Linear (1-1)

Linear (2-1)

Linear (3-2)

Linear (2-3)

Linear (3-1)

Linear (2-2)

Linear (1-2)

Linear (1-3)

Linear (3-3)

1 /G G

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

(1+Kt*d/G)-1

1-G/G 1-1

1-2

1-3

2-1

2-2

2-3

3-1

3-2

3-3

Linear (1-1)

Linear (2-1)

Linear (3-2)

Linear (2-3)

Linear (3-1)

Linear (2-2)

Linear (1-2)

Linear (1-3)

Linear (3-3)

1 /G G

5.2 Ajustement des résultats (1 famille)

Conclusion:Pour chaque configuration géométrique (1-1, 1-2…), la variation est linéaire:PE et PG sont des constantes








Cas l(m) d(m) d/l PE calculée PG calculée

1-1 0.5 0.27 0.54 0.78 0.58

1-2 1.5 0.27 0.18 0.92 0.80

1-3 5.2 0.27 0.05 0.97 0.96

2-1 0.5 0.50 1.00 0.53 0.36

2-2 1.5 0.50 0.33 0.8 0.65

2-3 5.2 0.50 0.10 0.93 0.93

3-1 0.5 1.00 2.00 0.28 0.15

3-2 1.5 1.00 0.67 0.62 0.46

3-3 5.2 1.00 0.19 0.91 0.89

l augmente PE et PG augmentent

d augmente PE et PG diminuent

Proposition d’ajustement : = f((d/l))PE

PG

: constante

Choix de la fonction d’ajustement

Analyse de la variation de PE et PG en fonction des paramètres mécaniques et

géométriques des composantes du massif rocheux

5.3 Ajustement des résultats (1 famille)








PE régression = 1.0129e -0.6444d/l

R 2 = 0.9895

P E = e -2d/3l

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5

d/l

PE

calculé

ajusté

régression

231 1

; 1

dl

ne

E E E K d

2

3

d

lEP e

Forme généralisée de l’expression d’Amadei et Goodman [1981]

5.3 Ajustement des résultats (1 famille: Module d’Young E2)








PG régression = e -0.9871d/l

R 2 = 0.9862

P G =e -d/l

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5

d/l

PG

calculé

ajusté

régression

1 1

; 1

d

l

te

G G G K d

Forme généralisée de l’expression d’Amadei et Goodman [1981]

5.3 Ajustement des résultats (1 famille: Module de cisaillement G12)







d

lGP e


y = 0.9586x

R2 = 0.9912

yajusté=x

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200

(1+Kn*d/E)-1

1-E/E calculé

ajusté

régression

1 /E E y = 0.9586x

R2 = 0.9912

yajusté=x

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200

(1+Kn*d/E)-1

1-E/E calculé

ajusté

régression

1 /E E

1 1 1

nE E K d

Même formule d’Amadei et Goodman [1981]

1EP

??

Conclusion:Quelque soit la configuration géométrique, la variation est linéaire:PE ne varie pas.

5.4 Ajustement des résultats (2 familles: Module d’Young E2)








22 2 2E E

Les fractures horizontales : découpage et translation aléatoire dans la direction verticale.

Attention! Résultat valable:● S’il n’y a pas de dispersion de Kn et Kt dans le domaine. ● Si (Kn , Kt ) famille 1 identiques à (Kn , Kt ) famille 2.

Interprétation du résultat

Équivalence entre les deux configurations géométriques

5.4 Ajustement des résultats (2 familles: Module d’Young E2)








Même formule d’Amadei et Goodman [1981]

1 1 2 2

1 1 1 1

t tG G K d K d

y = 1.0257x

R2 = 0.9934

yajusté=x

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

1+Ktd1d2G-1(d1+d2)

-1

(1-G/G) calculé

ajusté

régression

1 /G G

y = 1.0257x

R2 = 0.9934

yajusté=x

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

1+Ktd1d2G-1(d1+d2)

-1

(1-G/G) calculé

ajusté

régression

1 /G G

5.4 Ajustement des résultats (2 familles: Module de cisaillement G12)







1GP


6.1 Présentation du massif Massif rocheux sédimentaire de calcaire existant à Kousba, Liban Nord. Ce massif représente une pente de hauteur moyenne 10m

E.6 Exemple d’illustration d’un massif sédimentaire








Existence de deux familles de fractures. d2=0.39m et l2=0.45m, e 10mm, Kn=2 000, Kt=500, E=20 000MPa

Écriture indicielle:

Nécessité d’interpolation sur E et d2

6.2 Estimation des paramètres géométriques et mécaniques






F- Conclusions et perspectives ?-1-?-1-2


340.49 46.91 230.77

46.91 830.04 360.32

230.77 360.32 20082.26

1861.23

1132.07

242.35

e

C

0.00298 -0.00015 -0.00003

-0.00015 0.00122 -0.00002

-0.00003 -0.00002 0.00005

0.00054

0.00084

0.00413

e

S Inversion

1.1.1.1.2

x =0.375I

1.1.2.1.2

1.1.6.1.2 2.1.6.1.2

2.1.1.1.2 2.1.2.1.2

x =0.52I

I =0.375x

6.1.6.1.2

Interpolation 3

Interpolation 2

Résultat ellipsoïdal

?-1-?-1-2

Interpolation linéaire

6.3 Calcul des propriétés élastiques







Interpolation 1

Résultats exacts Résultat ellipsoïdal


2'

2

1'

1

Modèle 3D: Variation de E et de

0

1

2

3

4

5

61

2 34

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516

171819

202122

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

3334

35 36

ellips.:E 0.25 ellips:E/200

exact.:E 0.25 exact:E/200

-68

2’

1’0

1

2

3

4

5

61

2 34

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516

171819

202122

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

3334

35 36


exact.:E 0.25 exact:E/200

-68

2’

1’

0

2

4

6

8

10

121

2 34

56

7

8

9

10

11

12

13

1415

161718

192021

2223

24

25

26

27

28

29

30

31

3233

3435 36


exact:E 0.25 exact:E/2000

1’

3’

0

2

4

6

8

10

121

2 34

56

7

8

9

10

11

12

13

1415

161718

192021

2223

24

25

26

27

28

29

30

31

3233

3435 36



1’

3’

0

2

4

6

8

10

121

2 34

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516

171819

202122

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

3334

35 36



2’

3’

0

2

4

6

8

10

121

2 34

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516

171819

202122

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

3334

35 36



2’

3’

Plan 1-2 Plan 1-3 Plan 2-3

' 6 8,ij ij mi njS S q q Rotation de base:

6.3 Calcul des propriétés élastiques

2 2

2 2

2 2

cos sin 0 0 0 2sin cos

sin cos 0 0 0 2sin cos

0 0 1 0 0 0

0 0 0 cos sin 0

0 0 0 sin cos 0

sin cos sin cos 0 0 0 cos sin

4 E




rocheux


fracturés





1-Classification des certains massifs fracturés par des méthodes d’homogénéisation numériques: solution possible et prometteuse.

● Développement et validation d’un outil numérique (HELEN)

● Proposition d’une méthodologie de calcul des propriétés mécanique

● Discussion de la notion du VER (géo. et méca.)

● Discussion du mode de chargement (VER fini)

● Discussion de l’élasticité ellipsoïdale

Conclusions






F- F- Conclusions Conclusions et et perspectivesperspectives

2-Proposition de formules analytiques dans le cas d’extension finie de fractures (généralisation des cas d’Amadei et Goodman [1981])


1- Étendre la classification numérique à d’autres configurations de massifs rocheux.

2- Intégrer les éléments joints 3D dans les codes de calcul numériques

3- Valoriser l’outil de calcul numérique (HELEN)

Perspectives






F- F- Conclusions Conclusions et et perspectivesperspectives

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1 apports des méthodes dhomogénéisation numériques à la classification des massifs rocheux...

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