1. Számtani műveletek 1. Összeadás

73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak az összeg nem változik. a+(b+c) = (a+b)+c Ellenőrzése:

- tagokat más sorrendben adom össze - az összegből kivonjuk az egyik összeadandó tagot

2. Kivonás

32 – 8 = 24 kisebbítendő kivonandó különbség Ellenőrzése:

- különbséghez hozzáadjuk a kivonandót, így kisebbítendőt kapjuk eredményül - kisebbítendőből kivonjuk a különbséget, így a kivonandót kapjuk eredményül

3. Szorzás

15 * 3 = 45 tényezők szorzat

Szorzáskor a szorzat nem változik, ha a tényezőket felcseréljük. Szorzáskor a szorzat nem változik, ha a tényezőket átcsoportosítjuk. Ellenőrzése:

- felcseréljük a tényezőket és elvégezzük a szorzást - szorzatot elosztjuk a szorzóval és a szorzandót kapjuk

4. Osztás 35 : 7 = 5

osztandó osztó hányados Ellenőrzése:

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 2. Műveletek sorrendje

Ha nincs zárójel a műveletsorban: 1. Ha csak összeadás és kivonás szerepel, akkor balról jobbra haladva végezzük el a műveleteket. 2. Ha csak szorzás és osztás szerepel, akkor balról jobbra haladva végezzük el a műveleteket. 3. Ha mind a négy alapművelet szerepel, akkor először a szorzást, osztást végezzük el, majd az összeadást,

kivonást.

Ha zárójel is szerepel a műveletsorban: 1. Zárójelben lévő műveleteket végezzük el először a már tanult sorrendiség szerint, majd ezután következik a

többi művelet. 2. Több egymásba lévő zárójel esetén a legbelső zárójelben lévő műveleteket végezzük el, és haladunk kifelé.

Zárójelek: - kerek ( ) - szögletes [ ] - kapcsos { }

3. Nulla

Értelmezése: két egyenlő szám különbsége. A pozitív és negatív számokat választja szét (ő egyikbe se tartozik bele).

Műveletek a nullával: Bármely számhoz nullát adunk, akkor az összeg maga a szám. Pl.: 3 + 0 = 3 Nullához bármilyen számot adunk, akkor az összeg maga a szám. Pl.: 0 + 3 = 3 Bármely számból nullát kivonunk, akkor a különbség maga a szám. Pl.: 3 - 0 = 3 Nullából bármilyen számot kivonunk, akkor a különbség a szám ellentettje. Pl.: 0 - 3 = - 3 A nullát egy tetszőleges számmal megszorozzuk, akkor a szorzat nulla. Pl.: 3 * 0 = 0 Nullát bármely számmal szorozzuk, akkor a szorzat nulla. Pl.: 0 *3 = 0 Nullát bármely számmal osztjuk, akkor a hányados nulla. Pl.: 0 : 3 = 0 Nullával való osztásnak nincs értelme!

4. Számhalmazok

Természetes számok: (naturális) N A számlálás tevékenységéből származó, végtelen sok számot tartalmazó számhalmaz. N={0,1,2,3…} előállítása: az egység ismételt hozzáadásával

Egész számok: (zahlen) Z Olyan számok melyek felírhatók 2 N szám különbségeként. Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4…}

Racionális számok: (quotiens) Q Azon számok, melyek felírhatók 2 Z szám hányadosaként, és ahol a nevező nem egyenlő O-val Ide tartoznak: + törtek, - törtek, véges tizedestörtek, végtelen szakaszos tizedestörtek.

5. Az előjeles számok

Értelmezése A matematikában az ellentétes mennyiségeket a + (plusz), - (mínusz) jelekkel különböztetjük meg. Azokat a számokat, amik előtt + jel áll pozitív számoknak, amik előtt – jel áll negatív számoknak nevezzük.

Fontos: - a + előjelet nem mindig írjuk ki, így ha egy 0-tól különböző szám előtt nincs előjel, akkor az pozitív szám - a 0 se nem pozitív, se nem negatív szám, páros szám! - az előjel azt is megmutatja, hogy a szám a számegyenesen a nullához képest hol helyezkedik el

Ellentett Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyhez a számot hozzáadva nullát kapunk. (példák!) A nulla ellentettje nulla.

Abszolútérték Megmutatja egy szám nullától való távolságát a számegyenesen. (példák!)

- nem negatív szám abszolútértéke maga a szám - negatív szám abszolútértéke a szám ellentettje

Összevonás Az összeadás és a kivonás műveletét közös néven összevonásnak nevezzük.

Előjeles számok szorzása, osztása a. két azonos előjelű számot úgy szorzunk vagy osztunk, hogy a tényezők abszolútértékének szorzatát vagy

hányadosát + előjellel látjuk el.

b. két különböző előjelű számot úgy szorzunk vagy osztunk, hogy a tényezők abszolútértékének szorzatát vagy hányadosát – előjellel látjuk el.

6. Törtek

Tört értelmezése: Egy egészet = részekre osztjuk

Egy tört… - kisebb, mint 1 ha a számláló < nevező - egyenlő, 1-gyel ha a számláló = nevező - nagyobb, mint 1 ha a számláló > nevező, ezeket a törteket áltörtnek nevezzük és felírhatók vegyes

szám alakba.

Törtek egyszerűsítése: A számlálót és a nevezőt, ugyanazzal a 0-tól különböző egész számmal elosztjuk.

Törtek bővítése: A számlálót és nevezőt ugyanazzal a 0-tól különböző egész számmal szorozzuk.

Törtek összehasonlítása: 1. Azonos nevezőjű törteknél az a nagyobb tört, amelyiknek a számlálója nagyobb (példa)

2. Azonos számlálójú törteknél az a nagyobb, amelynek a nevezője kisebb. (példa)

3. Különböző számlálójú és nevezőjű törtek esetén egyszerűsítéssel vagy bővítéssel, azonos nevezőjű törtekké alakítjuk azokat

7. Műveletek törtekkel (egy-egy példa segítségével kell elmondani, hogyan végzi el a műveletet, ha nem tud

magától példát írni, akkor adunk mi) Törtek összeadása és kivonása

• Közös nevezőjű törtek esetén a számlálókat összeadjuk vagy kivonjuk, a közös nevezőt változatlanul leírjuk. pl.:

59

57

52 =+

• Különböző nevezőjű törtek esetén a törteket általában bővítéssel közös nevezőre hozzuk (közös nevező : a legkisebb közös többszörös )

12

17

12

98

12

3*3

12

4*2

4

3

3

2 =+=+=+

• Tört szorzása egész számmal a tört számlálóját szorozzuk az egész számmal és a nevezőt változatlanul leírjuk, vagy a tört nevezőjét osztjuk az egész számmal (ha osztható) és a számlálót változatlanul leírjuk.

5

6

5

2*32*

5

3 == 3

23*

9

2 =

Számok reciproka

~ egy szám reciprokán azt a számot értjük, mellyel az eredeti számot megszorozva, a szorzat értéke 1.

pl.: 123

*32 = 1

51

*5 =

• Általában egy szám reciprokát úgy kapjuk meg, hogy az 1-et elosztjuk a számmal. • A 0-nak nincs reciproka.

Tört osztása egész számmal

• a tört nevezőjét szorozzuk az egész számmal, és a számlálót változatlanul leírjuk, vagy a tört számlálóját elosztjuk az egész számmal (ha osztható) és a nevezőt változatlanul leírjuk.

pl.: 5

2

5

3:63:

5

6 == 15

2

3*5

23:

5

2 ==

Tört, egész szám osztása törttel

• törttel úgy osztunk, hogy az osztandót az osztó reciprokával szorozzuk, majd a lehetséges egyszerűsítéseket elvégezzük. pl.:

8. Tizedestörtek

Olyan tört, melynek a nevezője 10 vagy annak valamely hatványa (10, 100, 1000, …) Közönséges törtből tizedes tört előállítása: - A számlálót elosztjuk a nevezővel - A törtet addig bővítjük, míg a nevező 10 vagy annak valamely hatványa nem lesz

Műveletek tizedestörtekkel • Tizedestörtek összeadása és kivonása a számban úgy írjuk

egymás alá, hogy a megfelelő helyiértékek egymás alá kerüljenek, s amikor a tizedes vesszőhöz érünk, az összegben és a különbségben is kitesszük a tizedesvesszőt.

Tizedestörtek szorzása • A szorzást úgy végezzük el mint egész számok esetén, majd a szorzatból annyi

tizedesjegyet vágunk le amennyi a két tényezőbe van együttvéve.

Tizedestörtek osztása • A kifejezést addig növeljük 10-zel , 100-zal …..stb. míg az osztó egész szám lesz, majd

elvégezzük az osztást, mint egész számok esetében. pl.: 52,56 : 4,5 = 525,6 : 45= 5256 : 450 = …

9. Oszthatóság

Egy szám osztója a másiknak, ha meg van benne maradéktalanul.

Oszthatósági Szabályok (a szabályok mellé elég, ha egy-egy példát mond, hogy érzékeltesse érti a szabályt)

1-gyel és önmagával minden egész szám osztható.

2-vel osztható a szám , ha az egyesek helyén álló szám osztható 2-vel(páros szám).

3-mal akkor osztható a szám, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal. 13: 3 1 + 3 = 4 --- 4 nem osztható 3-mal, így a 13 sem. 51: 3 5 + 1 = 6 -----6 osztható 3-mal, így az 51 is.

4-gyel akkor osztható szám, ha a 2 utolsó számjegyéből képzett szám osztható 4-gyel. 2728 : 4 28 osztható 4-gyel, így a szám is 514 : 4 14 nem osztható 4-gyel, így a szám sem

5-tel akkor osztható a szám, ha az utolsó számjegye 0 vagy 5.

8-cal akkor osztható szám, ha a 3utolsó jegyéből képzett szám osztható 8-cal. 27584 : 8 584 osztható 8-cal, így a szám is.

9-cel akkor osztható szám, ha számjegyeinek öszege osztható 9-cel . 783 : 9 7+8+3=18 --- 18 osztható 9-cel, így a 783 is. 2624 : 9 2+6+2+4=14 --- 14 nem osztható 9-cel, így a 2624 sem.

10-zel akkor osztható a szám, ha az utolsó számjegye 0. Összetett szabályok: (az előző szabályokból mindig két szabályra hivatkozunk)

6-tal akkor osztható egy szám, ha osztható 2-vel és 3-mal is. 12-vel akkor osztható egy szám, ha osztható 3-mal és 4-gyel is. 15-tel akkor osztható egy szám, ha osztható 3-mal és 5-tel is.

10. Prímek és a prímtényezős felbontás

Azokat az 1-nél nagyobb pozitív egész számokat, melyeknek 1-en és önmagukon kívül más pozitív osztójuk nincs PRÍMSZÁMOKNAK vagy törzsszámoknak nevezzük. Prímszámok: 2;3;5;7;11;13;17, 19, 23…

Azoknak az 1-nél nagyobb pozitív egész számoknak, melyeknek kettőnél több osztója van (vannak valódi osztóik) ÖSSZETETT számoknak nevezzük. Összetett számok: 4;6;8;9;10;12…Az 1 nem prím és nem is összetett szám

Közös osztók, legnagyobb közös osztó: - több szám közös osztói azok a számok amelyek az adott számok mindegyikének osztói.

Keressük meg a 60 és a 72 közös osztóit: 60 osztói: 1;2;3;4;5;6;10;|12|;15;20;30 72 osztói:1;2;3;4;6;|12|;18;24;36;72 közös osztók: 1;2;3;4;6; |12| a legnagyobb közös

- két vagy több szám legnagyobb közös osztója (lnko): az adott számok mindegyikének osztója, az összes közös osztó közül a legnagyobb * kiszámíthatjuk,

hogy a prímtényezős felbontásból az azonos alapú hatványokat a legkisebb kitevővel véve összeszorozzuk.

ha két számnak nincs közös prímtényezője, akkor a legnagyobb közös osztójuk 1 – relatív prím. pl.: (5;9) = 1

* használata a törtek egyszerűsítésénél

Közös többszörösök, legkisebb közös többszörös - két számnak(vagy többnek) végtelen sok közös többszöröse van .

Pl.: a 6 többszörösei: 0;6;12;18;24;30;36;42;48;… A 8 többszörösei: 0;8;16;24;32;40;48;… A 6 és a 8 pozitív közös többszörösei: 24;48;72;… A legkisebb közös többszörös a |24|

- két vagy több szám legkisebb közös többszöröse [lkkt]: az adott számok mindegyikének többszöröse, a közös többszörösök közül a legkisebb

* kiszámíthatjuk, hogy a prímtényezős felbontásból az összes előforduló prímtényezőt a legnagyobb kitevővel véve összeszorozzuk.

* használata törtek összevonásakor

11. Geometriai fogalmak

Pont – két egyenes találkozása, ábécé nagybetűivel jelöljük

Egyenes – végtelen ponthalmaz (egyenes vonal), ábécé kisbetűivel jelöljük

Félegyenes – az egyenest bármely pontja két félegyenesre bontja, a tetszőleges pont mindkét félegyenes kezdőpontja, iránya ismert

Szakasz – az egyenes két pontja által határolt véges rész (irány és nagyság)

Konvex – domború, egy vágással pontosan két darabra esik a síkidom, bármely két pontját összekötő szakasz teljes egészében a síkidomban van.

Konkáv – homorú, egy vágással kettőnél több darabra eshet, létezik két olyan pont melyet, ha összekötünk, akkor a szakasz egy része a síkidomon kívülre esik.

Két egyenes kölcsönös helyzete Merőleges – merőleges két egyenes, ha a síkot négy egybevágó síknegyedre darabolja, azaz derékszöget zárnak be

Metsző – metszi egymást két egyenes, ha csak egy közös pontjuk van

Párhuzamos – párhuzamos két egyenes, ha nincs közös pontjuk vagy végtelen közös pontjuk van

12. Szögek Szög:

- a síkot egy pontból kiinduló 2 félegyenes 2 szögtartományra bontja. - ha másként nem rendelkezünk a 2 szögtartomány közül mindig a

kisebbet tekintjük.

Szögfajták:

Nullszög

Hegyesszög

Derékszög

Tompaszög

Egyenes szög

Homorú szög

Teljes szög

Adott szög jelölése:

- görög ábécé betűivel - szög csúcsának megadásával - három nagybetűvel

13. Síkidomok

Síkidom: a sík záródó vonallal határolt része Konvex:

- domború - egy síkidom bármely két pontját összekötő szakasz minden pontja a síkidomban van. - minden háromszög konvex, - sokszög esetén minden szöge egyenesszögnél kisebb, - egy vágással két darabra esik a síkidom.

Konkáv: homorú, ami nem konvex. Sokszög: olyan síkidom, melyet szakaszok határolnak Csúcs: két szomszédos oldal találkozása Oldal: két szomszédos csúcsot összekötő szakasz Átló: két nem szomszédos csúcsot összekötő szakasz

14. Háromszög Olyan síkidom, amelynek 3 csúcs, 3 oldala, 3 szöge van.

- belső szögeinek összege 180o - külső szögeinek összege 360o

Csoportosításuk: 1. Oldalai szerint

a. általános háromszög b. egyenlő szárú háromszög c. egyenlő oldalú vagy szabályos háromszög

2. Szögei szerint a. hegyesszögű háromszög b. derékszögű háromszög c. tompaszögű háromszög

Elnevezések a háromszögre vonatkozólag: magasság: csúcsból a szemközti oldalra bocsátott merőleges szakasz hossza

15. Négyszögek Olyan síkidom, amelynek 4 oldala, 4 csúcsa, 4 szöge, 2 átlója van.

- belső szögeinek összege 360o - külső szögeinek összege 360o

Trapéz

Olyan négyszög, melynek van párhuzamos oldalpárja. derékszögű trapéz – amelynek van derékszöge egyenlőszárú trapéz (húrtrapéz) – amelynek szárai egyenlő hosszúak - van két egyenlő oldala, ezeket szárnak hívjuk - a párhuzamos oldalakat alapnak hívjuk - az alapon fekvő szögek egyenlőek - az átlói egyenlő hosszúak

Paralelogramma

Olyan négyszög, melynek két-két szemközti oldala párhuzamos. - két-két szemközti oldala egyenlő - szemközti szögei egyenlőek - szomszédos szögeinek összege 180o - átlói felezik egymást - középpontosan szimmetrikus alakzat

Deltoid

Olyan négyszög, melynek van olyan átlója, amely a négyszög szimmetriatengelye. - két-két szomszédos oldala egyenlő - átlói merőlegesek egymásra - szimmetria átlója felezi a másik átlót - van két szemközti szöge, ami egyenlő

Rombusz

Olyan négyszög, melyek minden oldala egyenlő - átlói merőlegesen felezik egymást - szemközti szögei egyenlőek - szomszédos szögeinek összege 180o - tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus

16. Négyszögek

Olyan síkidom, amelynek 4 oldala, 4 csúcsa, 4 szöge, 2 átlója van. - egy átló két háromszögre bontja a négyszöget - belső szögeinek összege 360o - külső szögeinek összege 360o

Kerület: a síkidom oldalainak együttes hosszúsága. Terület: hány egységnégyzettel fedhető le a síkidom. Téglalap

Olyan négyszög, amelynek minden szöge egyenlő - két-két szemközti oldala egyenlő és párhuzamos - átlói felezik egymást és egyenlő hosszúak - tengelyesen szimmetrikus K = 2*(a+b) T = a*b

Négyzet

Olyan négyszög, amelynek minden oldala és minden szöge egyenlő - átlói merőlegesek egymásra - átlói felezik egymást - átlói egyenlő hosszúak - tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus K = 4*a T = a*a

17. Kör (ábra alapján el tudja mondani a definíciókat)

Kör (körvonal): egy adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban. Körlemez (körlap): körvonal által határolt sík rész. Sugár: a kör középpontját a körvonal bármely pontjával összekötő szakasz. Jele: r (rádiusz) Húr: a körvonal bármely két pontját összekötő szakasz. Átmérő: a leghosszabb húr, amely átmegy a körközépponton. Jele: d Szelő: a körvonal két pontján átmenő egyenes. Érintő: olyan egyenes, amelynek egy közös pontja van a körvonallal.

18. Mérés, Mértékegységek, Mennyiségek.

Mérés összehasonlítást jelent, méréskor egységet választunk és meghatározzuk, hogy ennek hányszorosa a mérendő mennyiség. A mérés eredményét mennyiségnek nevezzük, amely mérőszámból és mértékegységből áll. Alapegységek:

hosszúság – méter – m tömeg – kilogramm – kg

idő – másodperc – s űrtartalom – liter – l

A mértékegységek többszöröseit és törtrészeit előtaggal fejezzük ki.

tízszeres – deka tized – deci – d százszoros – hekto század – centi – c ezerszeres – kilo ezred – milli – m

Hosszúság

Tömeg Idő

Terület

Térfogat

Űrtartalom

19. Tengelyes tükrözés tulajdonságai

1. Pont képe pont. Tengely felezi a pont és képét összekötő szakaszt.

2. Tengelyen lévő pontok képe önmaga.

3. Pont és képe egyenlő távolságra van a tengelytől – távolságtartás

4. Egyenes képe egyenes. Párhuzamos egyenes képe párhuzamos az egyenessel és a tengellyel is.

5. Tengelyt metsző egyenes és képe ugyanabban a pontban metszi a tengelyt, egyenes és tükörképe ugyanakkora szöget zár be a tengellyel - szögtartás

6. Tengellyel párhuzamos egyenes képe párhuzamos a tengellyel és az egyenessel is – párhuzamosság tartás

7. Tengelyre merőleges egyenes képe is merőleges a tengelyre és a két egyenes egybeesik – merőlegesség tartás

8. Kör képe kör.

9. Tengelyes tükrözés során a körüljárás iránya ellentétesre változik.