1 solvay business school – université libre de bruxelles 1 microéconomie et finance - cours 3...

11Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles

Microéconomie et Finance-

Cours 3 & 4-

Théorie du consommateur :– Choix en incertitude– Application à l ’assurance


Choix en incertitude

Points à aborder:

– Définition du risque

– Préférences face au risque

– Réductions du risque

– Assurance

• à termes fixes

• à termes flexibles

– Information


Définition du risque - Probabilité

• Pour mesurer un risque on doit connaître:

– Tous les résultats possibles

– La probabilité d’occurrence de chaque résultat

• Probabilité : Possibilité d’occurence d’un événement– Probabilité Objective

• Basée sur une fréquence observée d’événements passés (ex. jours de pluie).

– Probabilité Subjective

• Basée sur la perception ou sur l’expérience avec, ou non, une fréquence passée observée.

• Différentes informations ou différentes capacités à traiter la même information peuvent influencer la probabilité subjective (ex. cours boursiers).


Définition du risque - Espérance• Espérance mathématique : Moyenne pondérée

des payoffs ou des valeurs résultant de tous les résultats possibles– Les probabilités de chaque résultat sont les

coefficients de pondérations– L’espérance mathématique mesure la tendance

centrale; la valeur moyenne.

• Généralisation:

– Soit n résultats possibles avec des payoffs de X1 à Xn

– Les probabilités de chaque résultat s’écrivent Pr1 à

Prn

– L’expérance mathématique s’écrit :

nn2211 XPr...XPrXPr E(X)


• Déviation : Difference entre le payoff attendu (la moyenne) et le payoff observé

• Ecart-type : Racine carrée des carrés des déviations des payoffs associés à chaque résultat, par rapport à la moyenne.

• Expression mathématique, pour 2 états possibles :

Définition du risque - Variance

222

211 )(Pr)(Pr XEXXEX


Définition du risque - Exemple

• Choix entre 2 travails:– Soit 2 jobs ayant le même revenu moyen

attendu (€1,500)– Le premier paie à la commission: 1,000 € si

mauvaises ventes (50% proba), 2,000 € si bonnes ventes (50% proba)

– Le second est salarié : 1,510 € en principe (99%) ou 510 en cas de faillite de l’entreprise (1% proba)

– Ecarts-types (“risques”) des deux options : • Job 1 : salaire à la commission :

• Job 2 : salaire fixe

1500$ .5($1000).5($2000))E(X1

$1500.01($510).99($1510) )E(X2



• Caractéristiques des deux options : – Espérance mathématique

• Job 1 : salaire à la commission :


– Ecart-type (“risque”)• Job 1 : salaire à la commission :


1500$ .5($1000).5($2000))E(X1

$1500.01($510).99($1510) )E(X2

500000,2505.0000,2505.01

50.99100,01980.010099.02


Amendes de stationnement• Imaginez une ville voulant éviter les stationnements

interdits.

• Hypothèses:

– Le parking sauvage “rapporte” 5 € au conducteur en gain de temps.

– Le conducteur est neutre au risque.

– La crainte de l’amende est nulle.

• Dans ce cas, une amende certaine de 5.01 € suffit à éviter l’infraction.



Amendes de stationnement

• Accroître l’amende peut réduire le coût de la prévention. La pénalité moyenne de 5 € est la même dans :

– 50 € avec une probabilité de 0.1

– 500 € avec une probabilité de 0.01

• Plus les conducteurs sont averses au risque, moins l’amende doit être élevée pour être efficace.



Préférences face au risque

Choix parmi plusieurs alternatives risquées:– Hypothèses

• Consommation d’un seul bien

• Le consommateur connaît toutes les probabilités

• Les payoffs sont mesurés en termes d’utilité

• La fonction d’utilité est donnée

– Exemple :

• Une personne gagne $15,000, ce qui lui rapporte 13 unités d’utilité.

• Elle envisage un autre job, plus risqué, où elle a : – 50% de chance d’accroître son revenu à

$30,000,– et 50% de chance de le diminuer à $10,000.


Préférences face au risque• Elle déterminera son choix en fonction de

l’espérance de l’utilité (E(u)) apportée par le résultat.

• A savoir:

– E(u) = (1/2).u($10,000) + (1/2).u($30,000)

= 0.5(10) + 0.5(18) = 14

– E(u) du nouveau job est 14, supérieur à 13, l’utilité actuelle 13. Elle choisira donc le nouveau job.

• L’ espérance de l’utilité est la somme des utilités associées à chaque état; pondérées par les probabilités de chaque état.

• S’écrit E(U) . ! A ne pas confondre avec U (E), qui est l’utilité associé à l’espérance mathématique du résultat, qui néglige l’aspect “risque”.



• Les préférences sont différentes face au risque :– Les gens peuvent être averses, neutres, ou

favorables au risque. – Averse au risque : préférer un revenu

certain à un revenu risqué, de la même expérance mathématique.

– L’utilité marginale du revenu est décroissante chez les personnes averses au risque.

• Mesure de l’aversion au risque :RA (w) = - u’’ (w)

u’ (w)où w est la fortune u la fonction d’utilité concave


Revenu ($1,000)

UtilitéE

10

10 15 20

1314

16

18

0 16 30

AB

C

D

Aversion au risqueAversion au risque


U(E) : courbe des revenus certains

E(U) : courbe des gains moyens



Une personne est neutre au risque si elle ne montre pas de préférence entre un revenu certain, et un revenu incertain de même espérance mathématique. Dans ce cas : E(u)=U(E).

• Une personne est dite aimer le risque si elle montre une préférence pour un revenu incertain, par rapport à un revenu certain de même espérance mathématique. Dans ce cas : E(u)>U(E).

– Exemples: Jeu, certains délits


Revenu ($1,000)10 20

Utilité

0 30

6A

E

C

12

18


Neutralité au risqueNeutralité au risque


Revenu ($1,000)

Utilité

0

3

10 20 30

A

E

C8

18


“L’amour du risque”“L’amour du risque”


Prime de risque

• La prime de risque est le montant qu’une personne averse au risque est prête à payer pour éviter de prendre un risque.

• Elle est égale à la différence entre l’espérance mathématique du loterie et son équivalent certain.

• Le revenu certain apportant la même utilité qu’une loterie est son “équivalent certain”.

• La concavité des courbes d’utilité indique le trade-off entre risque et espérance mathématique, et donc l’aversion au risque.

• Plus une courbe est concave, plus la prime de risque est grande.


Prime de risque - Exemple

• Soit l’exemple du job risqué :– $30,000 à 50% et probabilité et $10,000 à

50% (revenu moyen = $20,000).– L’espérance de l’utilité de cette distribution

de revenus vaut:

•E(u) = .5(18) + .5(10) = 14

– Combien l’individu est-il prêt à payer pour éviter le risque?


Revenu ($1,000)

Utilité

0 10 16

Prime de risque ici de $4,000 parce qu’un revenu certain de 16,000 donne à l’individu la même utilité qu’un revenu incertain d’espérance mathématique de 20,000

10

18

30 40

20

14

A

CE

G

20

F

Prime de risque




• La variabilité des payoffs potentiels accroit la prime de risque.

• Exemple:

– Un job à 50% de probabilité de rapporter $40,000 (u=20) et 50% de probabilité de rapporter 0 (u=0).

– L’espérance du revenu reste à $20,000, mais l’espérance de l’utilité (E(u)) tombe à 10.

– E(u) = 0.5 u(0$) + 0.5 u($40,000)= 0 +0 .5(20) = 10


Revenu ($1,000)

Utilité

0 10 16

Prime de risque ici de $10,000 parce qu’un revenu certain de 10,000 donne à l’individu la même utilité qu’un revenu incertain d’espérance mathématique de 20,000

10

18

30 40

20

14

A

CE

G

20

Prime de risque


F

Equivalent certain


Préférences face au risque - Exemple

Managers et choix du risque

• Etudes sur 464 managers exécutifs:– 20% sont neutres au risque– 40% sont favorables au risque– 20% sont averses au risque– 20% n’ont pas répondu

• Si les gains espérés sont les mêmes, ils optent pour les situations moins risquées.

• Font des efforts importants pour réduire le risque en reportant des décisions et en rassemblant plus d’informations.


Réduction du risque

• Les trois façons pour les individus de réduire le risque sont:

1) La diversification

2) L’obtention de plus d’information

3) L’assurance



• Une firme peut réduire son risque en diversifiant ses activités dans des domaines peu liés entre eux.

• Exemple :

– Ventes de produits économiquement opposés

– Activités dans des zones géographiques et des devises différentes

• Application : le marché des actions - voir chapitre suivant.

DiversificationDiversification


Réduction du risque - Information

• Valeur de l’information complète : Difference entre la valeur attendue d’un choix avec information complète, et la valeur attendue avec information incomplète.

• Exemple : Soit le patron de Zara. Combien de costumes d’automne commander ?– Commande 100 costumes 180 €/pièce– Commande 50 costumes 200 €/pièce – Le prix de vente est de 300 €.– Invendus remboursables à 1/2 prix.– Probabilité subjective de vente de chaque quantité

: 50%.



• Achat de 50 : Coût = 10,000• Achat de 100 : Coût = 18,000• Vente de 50 : C.A. = 15,000• Vente de 100: C.A = 30,000

Matrices des profits:

Vente de 50 Vente de 100

Achat de 50

Achat de 100

5,000 5,000

1,500 12,000



• En information incomplète :

– Neutralité au risque : achat de 100 costumes (profit max. supérieur)

– Aversion au risque : achat de 50 costumes

– Espérance mathématique du profit en incertitude = 0.5*12,000 + 0.5*1,500 = 6,750

• En information complète (certitude)

– Profit = 0.5*5,000 + 0.5*12,000 = 8,500

– Valeur de l’information complète = 1,750



• Des individus averses au risque sont prêts à payer pour éviter un risque.

• Si le coût de l’assurance égale la perte attendue, alors les individus averses ou neutres au risque :

– s’assureront, en cas d’assurance à termes fixes;

– achèteront suffisamment d’assurance pour couvrir totalement leur perte potentielle, en cas d’assurance à termes flexibles.

AssuranceAssurance


Assurance - Termes fixes

• Eléments de choix d’une assurance à termes fixes: – probabilité du sinistre : – en cas de sinistre : perte de : l– valeur actuarielle du sinistre : l– prime d’assurance : L– sans assurance : perte de “l” avec une

probabilité , et conservation de la fortune sans sinistre :

en 2de période : w1 = w0.(1- ) + (w0-l). = w0- l

– avec assurance : paiement de la prime dans tous les cas et pas de perte en cas de sinistre :

en 2de période : w1 = w0-L, avec certitude


Assurance - Termes fixes

Revenu ($1,000)

Utilité

0 W0 - l W0-L

U(W0 - l)

U(w0)

W0

U (W0-.l) = U(W0-L)

A

CE

W0-.l

F

L = Prime d’assurance max. pour une couverture complète

On voit que, plus l ’aversion au risque croît, plus l’individu est prêt à payer pour une assurance, au-delà de l’espérance mathématique du sinistre.


Assurance - Termes fixesE (prendre une assurance) = E (ne pas prendre une assurance)

SSI: p = .l (càd prime = valeur actuarielle des risques)– Ainsi, les individus neutres au risque seront indifférents

à contracter ou non une assurance à terme fixe si p = .l– et les individus averse au risque préféreront contracter

une assurance si p = .l et même si p > .l jusqu'à une certain prix, appelé pmax.

• De la même manière que les individus averses au risque préfèrent un revenu certain même s'il est inférieur à l'espérance mathématique d'une loterie, ils vont, ici, préférer le revenu certain [W0 - p] = [Richesse initiale - prime d'assurance] que la loterie : W0

à proba (1 - ) ou (W0 - l) à proba .

• Ainsi, on peut voir [W0 - pmax] comme l'équivalent certain de la loterie constituée par le fait de ne pas s'assurer. La prime de risque vaut donc : [pmax - .l] , appelée aussi "prime de réservation".


U2

U1

X^

Transposition dans le plan x1, x2

X2+

x1

x2

O X^ X1+

• x1 = revenu si état s = 1 : proba (1- )• x2 = revenu si état s = 2 : proba • points de l’espace = paire de revenus conditionnels• bissectrice = lieu des revenus certains• (x1+, x2+) = dotation initiale (sans assurance)• point B, U2-U1 : utilité accrue avec assurance

• pente de la droite = rapport des probabilités des états

x1 = x2

(1- )

A

Bx*

x*

(1- )


U2

U1

W0-pmax

Transposition x1, x2 - Assurance

W0-l

x1

x2

O W0-pmax w0

• x1, pas de sinistre : proba (1- )• x2 , sinistre: proba • (w0, w0-l) = C2 = fortune sans assurance• (W0- l, W0- l) = C1 = fortune avec assurance• E = utilité équivalente sans assurance ->

détermine la prime max

x1 = x2

(1- )

E

C1

W0- l

(1- )

W0- l

C2


Assurance - Termes flexibles

• Eléments de choix d’une assurance à termes fixes: – probabilité du sinistre : – en cas de sinistre : perte de l– prime par franc couvert = p– indemnité choisie par l'assuré = L– P = pL : prime totale

• Dans ce cas, l'individu n'a plus le choix entre un jeu et une certitude (ne pas s'assurer / s'assurer) , mais il fait face à deux jeux. En effet, même s'il s'assure, à moins qu'il ne s'assure entièrement, sa richesse va varier selon l'état de la nature.



• L’individu fait face à l’aléa suivant: Sans sinistre : il aura renoncé à pL de son revenu :

w1 = w0-pL En cas de sinistre : il recevra L en compensation de

son sinistre, après avoir payé la prime : w1 = w0-pL - l + L

L'individu ne peut pas intervenir sur p, le prix de la couverture, mais il peut intervenir sur L. Quel est donc sa décision optimale?

Cas 1 : p = => E (assurance) = E (sans assurance) L ’individu neutre au risque est indifférent L ’individu averse au risque s ’assurera

complètement : L*=l



• Cas 2 : p > => E(assurance) < E (sans assurance) Le prix de l ’assurance est supérieure à la

probabilité d ’occurrence du sinistre (1- )/ > (1-p)/p => modification de l’optimum L ’individu neutre ne souscrira pas d ’assurance L ’individu averse au risque s ’assurera

partiellement : L*<l

Plus généralement, le prix d ’une assurance dépend étroitement de la probabilité d ’occurrence de l ’événement.


U2 U1

Assurance à termes flexibles

W0-l

x1

x2

O W0-pmax w0

• x1, pas de sinistre : proba (1- )• x2 , sinistre: proba • 1- / = rapport des proba d’occurrences• 1-p/p = rapport des prix des créances conditionnelles• la courbure des courbures d’indifférences déterminera

l’aversion au risque et le degré de protection.

x1 = x2

(1- )

E

W0- pL

(1- p) p

W0 - l + (1-p) LC2


Nature de l’assurance

• La prise d’une assurance transfère de la richesse et accroît l’utilité attendue.

• La décision d’assurance dépend du risque perçu par l’assuré, en fonction du prix de l’assureur.

• Soit un assureur incapable de discriminer entre les “bons” risques : f et les “mauvais” risques : h ; applique une moyenne p = à tous les assurés. Résultats :

– les mauvais risques observent h < p => s’assurent

– les bons risques observent f > p => ne s’assurent pas

= phénomène de sélection adverse des risques : seuls les individus à haut risque s’assurent.



• Face aux pertes encourrues, les assureurs haussent p tel que p = h et P = h.l

– -> allocation inefficiente des risques

• Pour contrer les problèmes de sélection adverse : réduction de l’asymétrie d’information entre assureurs et assurés :– prévision des bons et mauvais risques : historique

(assurance décès), variables socio-économiques (assurance crédit), critères objectifs (ex. assurance habitation, vol)

– signalling : comportement identifiant de l’assuré (bonus-malus) . Signalling sur le marché de l’emploi : éducation comme signal de valeur (Spence, 1973). Aussi : garanties, labels de qualité, normes ISO...



• Autre problème en assurance : l’aléa moral : le comportement de l’assuré, débarassé du risque, peut se modifier et accroître la probabilité de sinistre.

-> Mesures incitatives à la prudence, visant à faire supporter à l’assurer une partie du risque :– Franchises– Coassurance ou assurances partielles

• Problèmatique générale des problèmes d’agence ou modèle Principal - Agent. Où celui qui conçoit le contrat (Principal) n’est pas celui qui l’exécute (Agent).

• Exemples : actionnaire -gestionnaire ; patron - employé, entrepreneur - chefs de chantier, etc, etc.

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