1 resuelve aplicando la definición de logaritmo: 1 3x 9 a) · pdf file1 resuelve...
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1 Resuelve aplicando la definición de logaritmo:
a) 93 x
1
=
b) 162x
=
c) x10201log101 =
Solución:
a)
2
1x29log
x
13 =⇒==
b) 416logx 2 ==
c) 2x10201101x
=⇒=
2 Racionaliza:
a)
3 76
5
b)
5 76
4
c)
4 5
6
Solución:
a)
216
365
6636
65
66
5
6
5 3
3 23
3 2
323 7===
b)
9
6
36
64
666
64
66
4
6
45 35 3
5 35 2
5 3
5 25 7====
c)
5
56
55
56
5
64 3
4 34
4 3
4==
3 Resuelve utilizando la definición de logaritmo:
a) 24loga =
b) 5243loga =
c) 01loga =
Solución: a) a = 2 b) a = 3 c) a puede ser cualquier número real positivo.
4
a)
7
3
b)
7 5
4
c)
23
6
−
Solución:
a)
7
73
77
73=
b)
5
54
55
547 6
7 67
7 6
=
c)
( )( )( )
( ) ( )23623
236
2323
236+=
−
+=
+−
+
5 Calcula los siguientes logaritmos:
a) 9log3
b) 1024log2
c) 1log2
Solución: a) 2 b) 10 c) 0
6
Si
( )2logdlogc3
13logbloga
2
1logx +−+=
, expresa x en función de dc,b,a,
. Solución:
( )3 2
3
3 2
33 2323
c·d
·bax
c·d
·balogc·dlog·baloglogc·d
3
1logbaloglogx =⇒=−=−+=
7 Racionaliza:
a)
3
235 +
b)
37
32
+
+
c)
ba
a
+
Solución:
a)
( )3
6335
33
3235 +=
+
b)
( )( )( )( ) 4
3373614
37
3373614
3737
3732 −+−=
−
−+−=
−+
−+
c)
( )( )( )
( )ba
baa
baba
baa
−
−=
−+
−
8 Calcula:
a) 2log4
b)
9
1log
3
1
c) 3log9
Solución:
a)
4
1
b) 2
c)
2
1
9
Si a y b son números enteros, calcula
b
1logalog b
a
1 +
. Solución: -1+ (-1) = -2
10 Racionaliza:
a)
x - 3
x3 +
b)
x-5
1x5 ++
c)
3
23 +
Solución:
a)
x3
x9
x - 3 x - 3
x - 3x3 2
−
−=
+
b)
( ) ( )x5
x-51x5
x-5x-5
x-51x5
−
++=
++
c)
( )3
63
33
323 +=
+
11 Calcula a
utilizando la definición de logaritmo:
a) 8256loga =
b) 30,125loga =
c) 30,001loga −=
Solución: a) a = 2
b) a =
2
1
c) a = 10
12 Si
0,301log2 =, halla:
a) 0,01log2
b) 10log4
Solución:
a)
6,6450,301
2
2log
0,01log−=
−=
b)
1,6612·0,301
1
4log
10log==
13 Sabiendo que
0,301log2 =, halla:
a) 1024 log
b) 0,25 log
c)
3 16
1 log
Solución:
a) 3,0110·0,3012log10 ==
b)
0,6022·0,3012log24
1log −=−=−=
c)
0,401·0,3013
42log
3
4−=−=−
14 Sabiendo que
0,301log2 =, halla:
a) log5
b)
4 0,08log
c)
3 0,02log
Solución:
a)
0,6990,30112log12
10log =−=−=
b)
0,2744
23·0,3012)2log(3
4
1
100
8log
4
1−=
−=−=
c)
( ) 0,5663
20,30122log
3
1
100
2log
3
1−=
−=−=
15 Calcula:
a) 256log243log625log 435 +−
b) 49log9log64log1log 7323 +++
c)
0,5log36
1log0,2log
9
1log 2653 −+−
Solución: a) 4 - 5 + 4 = 3 b) 0 + 6 + 2 + 2 = 10 c) -2 - (-1) + (-2) - (-1) = -2
16 Sabiendo que
0,301log2 = y
0,477log3 =, halla:
a) 6 log
b) 30 log
c)
3
1 log
Solución:
a) 0,7782log3log =+
b) 1,47710log3log =+
c) 0,4773log −=−
17 Racionaliza:
a)
31
21
−
+
b)
75
9
+
c)
62
65
+
+
Solución:
a)
( )( )( )( ) 2
6231
31
6231
3131
3121 +++−=
−
+++=
+−
++
b)
( )( )( )
( ) ( )2
759
75
759
7575
759 −−=
−
−=
−+
−
c)
( )( )( )( ) 4
6123010
62
6123010
6262
6265 −+−−=
−
−+−=
−+
−+
18 Calcula:
a)
9
1log3
b)
8log
2
1
c)
4log2
Solución: a) -2 b) -3 c) 4
19 Calcula a
utilizando la definición de logaritmo:
a) 2
3125loga =
b) a2log 4
8 =
c)
a16
81log
3
2 =
Solución: a) a = 25
b) a =
4
3
c) a = -4
20 Racionaliza:
a)
4 6
352 −
b)
3 16
24
c)
3 6
35 −
Solución:
a)
( ) ( )6
6352
66
63524 3
4 34
4 3−
=−
b)
332
3 23
3 2
4·216
4·224
1616
1624==
c)
( ) ( )6
635
66
6353 2
3 23
3 2−
=−
21 Racionaliza:
a)
2
32 +
b)
35
26
c)
72
3523 +
Solución:
a)
( )2
622
22
232 +=
+
b)
5
62
15
66
335
326==
c)
( ) ( )14
73523
772
73523 +=
+
22 Si
2alogx = y
416alogx =, deduce el valor de x.
Solución:
a16xa,x 42==
. Dividiendo obtenemos
16a
a16x2
==
, con lo que 4x = (descartamos la solución negativa, pues la base debe ser positiva).
23 Si
xalog3 =, expresa como función de x:
a) 27alog3
b)
81
alog3
c) alog9
d)
a
27log3
Solución:
a) x3alog27log 33 +=+
b) 4x81logalog 33 −=−
c)
4
x
2
2
x
9log
alog
3
3==
d) x3alog27log 33 −=−
24 Calcula:
.b3
7a
5
2b
3
7a
5
2c)
5b);5b)(aa(b)
2y);2y)(7x(7xa)
−
+
++−
−+
Solución:
.b9
49a
25
4c)
;b25ab)
;y4x49a)
22
22
22
−
+−
−
25 Calcula:
.4h)1(c)
;2y)(3xb)
;2b)(aa)
3
3
3
+−
+
−
Solución:
.h64h48h121c)
;y8xy36yx54x27b)
;b8ab12ba6aa)
32
3223
3223
+−+−
+++
−+−
26 Calcula:
( )( )
( ) .3z2hc)
;3b10ab)
;yx3a)
2
2
2
−−
−
+
Solución:
.z9hz12h4c)
;b9ab60a100b)
;yxy32x3a)
22
22
22
++
+−
++
27 Calcula:
( )
( ) .8h2c)
;8y)5x(b)
;6b4aa)
2
2
2
+
+−
−
Solución:
.h64h324c)
;y64xy80x25b)
;b36ab48a16a)
2
22
22
++
+−
+−
28 Calcula:
( )( )( )( )
.z7
1h
3
4z
7
1h
3
4c)
;3b10a3b10ab)
;yx3yx3a)
−−
−
−+
+−
Solución:
.z49
1h
9
16c)
;b9a100b)
;yx3a)
22
22
22
+−
−
−
29 Calcula:
( )
( ).3h53)h5(c)
8y);5x8y)(5x(b)
;6b4a6b)(4aa)
+−
−−+−
−+
Solución:
9.h5c)
;y64x25b)
;b36a16a)
2
22
22
−
−
−
30 Calcula:
( )
( )
( ) .2
2
2
12m3hc)
;7b2ab)
;4y3xa)
+−
−
−−
Solución:
.m144hm72h9c)
;b49ab28a4b)
;y16xy24x9a)
22
22
22
+−
+−
++
31 Calcula:
( )( ).h5m17h5m17c)
;m2
1h
4
1b)
;b3
5a
5
3a)
2
3
+−
+−
+
Solución:
.h5m17c)
;m4
1hm
4
1h
16
1b)
;b27
125ab5ba
5
9a
125
27a)
22
22
3223
−
+−
+++
32 Calcula las siguientes potencias de polinomios:
a) ( )3
2yx +
b) ( )3
5y4x −
c) ( )3
xy1−
Solución:
a)
3223 y8xy12yx6x +++
b)
3223 y125xy300yx240x64 −+−
c)
3322 yxyx3xy31 −+−
33 Calcula el cuadrado del siguiente trinomio utilizando las identidades notables y con la definición de
potencia y comprueba que se obtiene el mismo resultado:
( )2zyx +−
Solución:
( )( ) ( ) ( ) yz2xz2xy2zyxzyz2xz2yxy2xzzyx2yxzyx 222222222−+−++=+−++−=+−+−=+−
( )( ) yz2xz2xy2zyxzzyzxyzyyxxzxyxzyxzyx 222222−+−++=+−+−+−+−=+−+−
34 Calcula:
( )( )
.zh3
4c)
;y6
7x
7
6b)
;z155z155a)
2
2
−
+
−−−
Solución:
.zhz3
8h
9
16c)
;y36
49xy2x
49
36b)
;z1525a)
22
22
2
+−
++
+−
35 Calcula:
( ) .8y7xc)
;b2a3
1b2a
3
1b)
;5hm5
2a)
2
3
+−
+−
+
+
Solución:
.y64xy112x49c)
;b2a9
1b)
;h125mh30hm5
12m
125
8a)
22
22
3223
+−
+−
+++
36 Calcula:
( )( )
.m3
1h
4
3c)
;y3
2x
5
1b)
;z7hz7ha)
2
2
+−
+
−+
Solución:
.m9
1hm
2
1h
16
9c)
;y9
4xy
15
4x
25
1b)
;z7ha)
22
22
22
+−
++
−
37 Calcula:
( )
( )( ).7h9m7h9mc)
;y3
1x
2
1b)
;4m3ha)
3
3
+−
+
−
Solución:
.h49m81c)
;y27
1xy
6
1yx
4
1x
8
1b)
;m64hm144mh108h27a)
22
3222
3223
−
+++
−+−
38 Calcula el cuadrado del siguiente trinomio utilizando las identidades notables y con la definición de potencia y comprueba que se obtiene el mismo resultado:
( )2zyx ++
Solución:
( )( ) ( ) ( ) yz2xz2xy2zyxzyz2xz2yxy2xzzyx2yxzyx 222222222+++++=+++++=++++=++
( )( ) yz2xz2xy2zyxzzyzxyzyyxxzxyxzyxzyx 222222+++++=++++++++=++++
39 Calcula:
( )
( )
( ) .y3xc)
;2z3hb)
;3b10aa)
3
3
3
−−
−
+
Solución:
.yxy9yx27x27c)
;z8hz36zh54h27b)
;b27ab270ba900a1000a)
3223
3223
3223
−−−−
−+−
+++
40 Calcula:
( ) .2z5hc)
;y5
4x
7
3b)
;5hm2
35hm
2
3a)
3
2
+
−
+
−
Solución:
.z8hz60zh150h125c)
;y25
16xy
35
24x
49
9b)
;h25m4
3a)
3223
22
22
+++
+−
−
41 Calcula las siguientes potencias de polinomios utilizando las identidades notables:
a) ( )4
y3x −
b) ( )4
5yx +−
Solución:
a) ( )( ) ( ) =−+−++=+−=−
3223422422222xy12yx18yx108yyx36x81yxy6x9yx3
334224 xy12yx108yyx54x81 −−++=
b) ( )( ) ( ) =−+−++=+−=+−
3223422422222xy500yx50yx20y625yx100xy25xy10xy5x
334224 xy500yx20y625yx150x −−++=
42 Calcula:
( )( )
( ) .3yx5c)
;y5
25xb)
;y73xy73xa)
2
3
+
+
−−−
Solución:
.y9xy56x5c)
;y125
8xy
5
12yx30x125b)
;y7x9a)
22
3223
22
++
+++
+−
43 Calcula:
.7hz7
127hz
7
12c)
;y3
11x
7
3b)
;b3
23aa)
2
3
−−
−
+
−
Solución:
.h49z49
144c)
;y9
121xy
7
22x
49
9b)
;b27
8ab2ba18a27a)
22
22
3223
+−
++
−+−
44
Calcula y simplifica: ( ) ( )322 y3xtzy2x −+−+−
Solución:
=−+−+−+−−+−+++32232222224 yxy9yx27x27zt2yt2yz2tx4zx4yx4tzyx4
3232222224 yxy9x27zt2yt2yz2tx4zx4yx31tzyx4 −++−+−−+−+++=
45 Calcula:
( )
( )( )
.3yx3
7c)
;8hz158hz15b)
;7h6za)
3
2
+
+−
+
Solución:
.y27xy63yx7x27
243c)
;h64z15b)
;h49zh84z36a)
3223
22
22
+++
−
++
46 Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
9x.xc)
15;3x15x3xb)
42;50x6x2xa)
3
23
23
−
+−−
+−+
Solución:
3).3)(xx(xc);5)1)(x1)(x3(xb);7)1)(x3)(x2(xa) +−−+−+−−
Raíces: a) -7, 1, 3 b) -1, 1, 5 c) -3, 0, 3
47 Obtén un polinomio que tenga únicamente las siguientes raíces: a) -5, -4, 1, 2 b) -1, 0, 1 Solución:
a) ( )( )( )( ) 40x42x5x6x2x1x4x5x 234
+−−+=−−++
b) ( )( ) xx1x1xx 3
−=+−
48 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
126.45x2xxc)
33;5x9xxb)
36;31x6xxa)
23
23
23
+−−
+−−
−−+
Solución:
3).6)(x7)(x(xc);1)11)(x3)(x(xb);4)9)(x1)(x(xa) −−+−−+−++
Raíces: a) -9, -1, 4 b) -3, 1, 11 c) -7, 3, 6
49 Obtén dos polinomios diferentes cuyas únicas raíces sean -6, 0, 1. Solución:
Por ejemplo: x6x5x1)6)(xx(x 23
−+=−+ y
x6x5x1)6)(xx(x 23+−−=−+−
50 Obtén un polinomio que tenga únicamente las siguientes raíces: a) -5, 3, 8 b) 0, 3, 6 Solución:
a) ( )( )( ) 120x79x16x8x3x5x 23
−+−=−−+
b) ( )( ) x18x9x6x3xx 23
+−=−−
51 Al descomponer factorialmente un polinomio se obtiene (x - 13)(x + 1)(x - 7)(x + 6).
a) ¿De qué grado es el polinomio? b) ¿Cuánto vale el término independiente? Solución: a) El grado es 4. b) El término independiente vale -13·1·(-7)·6 = 546.
52 Obtén un polinomio que tenga únicamente las siguientes raíces: a) 0, 4, 5 b) 3, 4 Solución:
a) ( )( ) x20x9x5x4xx 23
+−=−−
b) ( )( ) 12x7x94x3x 2
+−=−−
53 Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
15.7x7xxc)
42x;13xxb)
40;37x4xxa)
23
23
23
++−
++
+−−
Solución:
3).1)(x5)(x(xc);6)7)(xx(xb);1)8)(x5)(x(xa) −+−++−−+
Raíces: a) -5, 1, 8 b) -7, -6, 0 c) -1, 3, 5
54 Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
240.88x3xxc)
168;4x32x4xb)
42x;13xxa)
23
23
23
−−−
++−
+−
Solución:
4).12)(x5)(x(xc);3)7)(x2)(x4(xb);6)7)(xx(xa) +−+−−+−−
Raíces: a) 0, 6, 7 b) -2, 3, 7 c) -5, -4, 12
55 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
210.61x6xxc)
99;97x3xxb)
196;84x9xxa)
23
23
23
−−+
+−−
+−−
Solución:
10).7)(x3)(x(xc);11)9)(x1)(x(xb);14)7)(x2)(x(xa) +−+−+−−+−
Raíces: a) -7, 2, 14 b) -9, 1, 11 c) -10, -3, 7
56 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
196.84x9xxc)
99;97x3xxb)
54;321x19x6xa)
23
23
23
−−+
−−+
−−+
Solución:
14).7)(x2)(x(xc);11)9)(x1)(x(xb);9)6)(x1)(xx(6a) +−++−++−+
Raíces: a) -9, -
6
1
, 6 b) -11, -1, 9 c) -14, -2, 7
57 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
48.44x12xxc)
165;191x27xxb)
252;55x6xxa)
23
23
23
−+−
+++
−−+
Solución:
6).4)(x2)(x(xc);15)11)(x1)(x(xb);4)7)(x9)(x(xa) −−−++++−+
Raíces: a) -9, -4, 7 b) -15, -11, -1 c) 2, 4, 6
58 Al descomponer factorialmente un polinomio se obtiene (5x + 1)(3x - 1)(x + 6)(x - 2). a) ¿De qué grado es el polinomio? b) ¿Cuánto vale el término independiente? Solución: El grado es 4. El término independiente vale 1·(-1)·6·(-2) = 12.
59 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
8.7x7xxc)
105;29x5xxb)
15;28x5x2xa)
23
23
23
+−−
−−+
−−+
Solución:
1).x8)(x(xc);3)5)(x7)(x(xb);5)3)(x1)(xx(2a) 2+−++−++−+
Raíces: a) -5,
2
1−
, 3 b) -7, -3, 5 c) -8
60 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
34.19x16xxc)
;5
18x
5
93x
5
14xb)
28;74x32x6xa)
23
23
23
+−−
+−+
−−+
Solución:
2).1)(x17)(x(xc);3)6)(x(x5
1xb);7)2)(x(x
3
1x6a) +−−−+
−+−
+
Raíces: a) -7, -
3
1
, 2 b) -6,
5
1
, 3 c) -2, 1, 17
61 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
18.47x22x3xc)
14x;37x16x3xb)
28;11x5xxa)
23
234
23
+−−
−−+
−+−
Solución:
2).9)(x1)(xx(3c);7)2)(x1)(xxx(3b);7)x4)(x(xa) 2+−−+−++−−
Raíces: a) 4 b) -7,
3
1−
, 0, 2 c) -2,
3
1
, 9
62 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
225x.25x9xxc)
231;89xxxb)
7;6x6xxa)
234
23
23
−−+
−−−
−−−
Solución:
9).5)(x5)(xx(xc);7)11)(x3)(x(xb);1)x7)(x(xa) 2++−+−+++−
Raíces: a) 7 b) -7, -3, 11 c) -9, -5, 0, 5
63 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
225.135x23xxc)
3;35x21x11xb)
384;80x8xxa)
23
23
23
−+−
+−+
−−+
Solución:
15).5)(x3)(x(xc);3)1)(x1)(xx(11b);12)8)(x4)(x(xa) −−−+−−+−+
Raíces: a) -12, -4, 8 b) -3,
11
1
, 1 c) 3, 5, 15
64 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
60.64x3xxc)
30;301x9x10xb)
18;83x36x5xa)
23
23
23
+−+
+−+
−−+
Solución:
6).10)(x1)(x(xc);5)6)(x1)(xx(10b);2)9)(x1)(xx(5a) −+−−+−−++
Raíces: a) -9,
5
1−
, 2 b) -6,
10
1
, 5 c) -10, 1, 6
65 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
10.9x4xxc)
112;16x7xxb)
182;103x4xxa)
23
23
23
−+−
+−−
−−−
Solución:
5).x22)(x(xc);7)4)(x4)(x(xb);13)2)(x7)(x(xa) 2+−−−+−−++
Raíces: a) -7, -2, 13 b) -4, 4, 7 c) 2
66 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
70.73x2xxc)
792;138x5xxb)
30;271x8x9xa)
23
23
23
−−−
+−−
−−−
Solución:
7).10)(x1)(x(xc);6)12)(x11)(x(xb);5)6)(x1)(xx(9a) +−+−+−+−+
Raíces: a) -5,
9
1−
, 6 b) -12, 6, 11 c) -7, -1, 10
67 Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces:
a) 4x3xx 234
++−
b) 13x4x4x3xx 2345
+++++
c) 412x17x18x14x6xx 23456
++++++
Solución:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2223222 2x1x1x c) 1x1x b) 2x1xx a) +++++−++
Raíces: a) 2 (doble) b) -1 (triple) c) -1 (doble), -2 (doble)
68 Obtén un polinomio cuyas raíces sean: a) 0 (raíz doble), -1 (raíz triple) b) 0 (raíz simple), 1 (raíz triple), 2 (raíz doble) Solución:
a) ( ) 234532 xx3x3x1xx +++=+
b) ( ) ( ) x4x16x25x19x7x2x1xx 2345623
−+−+−=−−
69 Obtén un polinomio de cuarto grado que no tenga raíces reales.
Solución:
Por ejemplo: 1x 4+
70 Obtén un polinomio cuyas raíces sean:
a) 1 (raíz doble), -1 (raíz triple) b) -3 (raíz simple), 0 (raíz triple), 1 (raíz doble) Solución:
a) ( ) ( ) 1xx2x2xx1x1x 234532
++−−+=+−
b) ( )( ) 345623 x3x5xx1x3xx +−+=−+
71 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
a) 03613xx 24
=+−
b) 02526xx 24
=+−
Solución: a) Realizando el cambio de variable: x
2 = z queda la ecuación:
z2 - 13z + 36 = 0; cuyas soluciones son: z = 4 y z = 9.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = -3 y x = 3 b) Realizando el cambio de variable: x
2 = z queda la ecuación:
z2 - 26z + 25 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 25.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -1; x = 1; x = - 5 y x = 5
72 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 106x2 =+
b) 167x4 =+
Solución:
a) Se aísla el radical: 4x2 =
Se simplifica: 2x =
Se eleva al cuadrado: x = 2
b) Se simplifica: 47x =+
Se eleva al cuadrado: x + 7 = 16 Se opera: x = 9
73 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 16105x22x =++
b) 6xx =−
Solución:
a) Simplificando: x810x5 −=+
Elevando al cuadrado: 5x + 10 = 64 - 16x + x
2
Operando: x2 - 21x + 54 = 0; ⇒ x = 3 y x = 18; Solución válida: x = 3
b) Aislando el radical: x6x −=−
Elevando al cuadrado: x = 36 - 12x + x
2
Operando: x2 - 13x + 36 = 0 ⇒ x = 9 y x = 4; Solución válida. x = 9
74 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) 5x + 10 = 12x - 4 b) 4x + 2 - 2x = 8x c) 6x - 9x = 18 - 27 d) 2 + 4x - 15 = - 13x + 4 Solución: a) x = 2; b) x = 1/3; c) x = 3; d) x = 1
75 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 045xx2
=++
b) 065xx2
=++
c) 065xx2
=+−
d) 076xx2
=−+
Solución: a) x = -1 y x = -4; b) x = -2 y x = -3; c) x = 2 y x = 3; d) x = -7 y x = 1
76 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a) 2(x - 3) + 3(x - 1) = 1 b) 4x + 2(x - 1) - 3(x - 2) = 13 c) (1 - x) + 2(2x + 3) = 4 d) x + 2x + 3x = 5(1 - x) + 6 Solución: a) x = 2; b) x = 3; c) x = -1; d) x = 1.
77 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a) 2x + 4 = x + 6 b)x + 2x + 3x = 5x + 1 c) x + 51 = 15x + 9 d) -x + 1 = 2x + 4 Solución: a) x = 2; b) x = 1; c) x = 3; d) x = -1
78 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 01x2
=−
b) 06xx2
=−+
c) 0209xx2
=+−
d) 076xx2
=−−
Solución: a) x = 1 y x = -1; b) x = -3 y x = 2; c) x = 4 y x = 5 d) x = -1 y x = 7
79 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
a) 045xx 24
=+−
b) 014425xx 24
=+−
Solución:
a) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:
z2 - 5z + 4 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 4.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = 1; x = - 1; x = - 2 y x = 2 b) Realizando el cambio de variable: x
2 = z queda la ecuación:
z2 - 25z + 144 = 0; cuyas soluciones son: z = 9 y z = 16.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = - 3; x = 3; x = - 4 y x = 4
80 Preguntado un padre por la edad de su hijo contesta: “el producto de su edad hace 6 años por el de su edad hace 4 años es mi edad actual que son 48 años. Calcula la edad del hijo. Solución: Se plantea la ecuación, “x” es la edad del hijo: (x - 6) · (x - 4) = 48 Operando: x
2 - 10x - 24 = 0
Soluciones: x = 12 y x = -1. La solución válida es 12 años.
81 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 24x4x2482x72 −=+−++
b) 167x4 =+
c)
128
xx212 −=−
Solución:
a) Se simplifica: 41x4x12 −=+−
Se eleva al cuadrado: 144(x + 4) = x
2 - 82x + 1681
Operando: x2 - 226x + 1105 = 0 ⇒ x = 5 y x = 221; Solución válida, x = 5
b) Se simplifica: 47x =+
Se eleva al cuadrado: x + 7 = 16 Se opera: x = 9
c) Se simplifica: 192xx16 −=−
Se eleva al cuadrado: 256x = x
2 + 36864 - 384x
Operando: x2 - 640x + 36864 = 0; ⇒ x = 64 y x = 576; Solución válida, x = 64
82 Irene pregunta a Enrique: ¿cuántos litros de combustible caben en el depósito de tu coche? A lo que
Enrique contesta: Si a la mitad del contenido de mi depósito le echas 25 litros queda igual de lleno que si a la quinta parte del depósito le echas 40 litros. Solución:
Se plantea la ecuación:
405
x25
2
x+=+
Operando: x = 50 litros.
83 Un alumno pregunta al profesor: “¡Profe!, ¿cuántos alumnos se presentan a la recuperación de matemáticas?” A lo que el profesor responde: “Si restamos 72 al producto del número de alumnos que se presentan menos 6 por el numero de alumnos que se presentan menos 7, obtendríamos el número de alumnos que se debería presentar que es cero”. Solución: Se plantea el problema, “x” es el número de alumnos que se presenta a la recuperación: (x - 6) · (x - 7) - 72 = 0 Operando: x
2 - 13x - 30 = 0
Las soluciones son: x = -2 y x = 15. La solución válida es 15 alumnos.
84 Preguntado un padre por la edad de sus tres hijos contesta: mis hijos se llevan cada uno un año con el siguiente, si sumamos sus edades se obtienen 9 años más que si sumamos las edades de los dos más pequeños.
Solución: Se plantea la ecuación: edad del más pequeño “x” entonces x + (x + 1) + (x + 2) = 9 + x + (x + 1) Operando: x = 7 años, x + 1 = 8 años y x + 2 = 9 años.
85 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 4x32x 22
+=+
b) 33xx2
=−+
c) 32xx33x2x 22
−+=+−
d) 3x73xx2
−=−+
Solución: a) x = -1 y x = 1; b) x = -3 y x = 2; c) x = 2 y x = 3; d) x = -7 y x = 1
86 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 106x2 =+
b) 167x4 =+
c) xx5x −=−
Solución:
a) Se aísla el radical: 4x2 =
Se simplifica: 2x =
Se eleva al cuadrado: x = 2
b) Se simplifica: 47x =+
Se eleva al cuadrado: x + 7 = 16 Se opera: x = 9
c) Se opera: xx4 −=−
Se eleva al cuadrado: 16x = x
2
Se opera: x2 - 16x = 0 ⇒ x = 0 y x = 16
87 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) 10(20 - x) = 8(2x - 1)
b)
76
5x
4
3x
3
21
2
x=+−−
c)
20
53x
5
4x
2
53x +=−
−
d)
5
155x
3
2x114x40 +−=
−−+
Solución: a) x = 8 b) Multiplicando por 12 queda: 6x - 84 - 9x + 10x = 84; x = 24 c) Multiplicando por 20 queda: 30x - 50 - 16x = 3x - 5; x = 5 d) Multiplicando por 15 queda: 200 + 70x - 5 - 10x = - 15x + 45; x = - 2
88 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 01617xx 24
=+−
b) 022534xx 24
=+−
c) 024x10xx 234
=+−
Solución: a) Realizando el cambio de variable: x
2 = z queda la ecuación:
z2 - 17z + 16 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 16.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -1; x = 1; x = -4 y x = 4 b) Realizando el cambio de variable: x
2 = z queda la ecuación:
z2 - 34z + 225 = 0; cuyas soluciones son: z = 9 y z = 25.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -3; x = 3; x = -5 y x = 5 c) Sacando factor común, queda la ecuación: x
2 ·(x
2 - 10x + 24) = 0; cuyas soluciones son: x = 0, x = 0, x = 4 y x = 6.
89 La raíz cuadrada de un número al que hemos añadido 6 unidades es igual a ese mismo número si le
restamos 6 unidades. Averigua de que número se trata. Solución:
Se plantea el problema: 6x6x −=+
Elevando al cuadrado: x + 6 = x
2 + 36 - 12x
Operando: x2 - 13x + 30 = 0; ⇒ x = 10 y x = 3; Solución válida, x = 10
90 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 109x10x2
+=+
b) 01412x2x2
=+−
c) 125xx125x2x 22
−+=+−
d) 6x32x 22
−=−
Solución: a) x = 4 y x = 5; b) x = -1 y x = 7; c) x = 4 y x = 6; d) x = -3 y x = 3
91 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 0910xx 24
=+−
b) 010029xx 24
=+−
c) 048x20x2x 23
=+−
Solución: a) Realizando el cambio de variable: x
2 = z queda la ecuación:
z2 - 10z + 9 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 9.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -1; x = 1; x = -3 y x = 3 b) Realizando el cambio de variable: x
2 = z queda la ecuación:
z2 -29z + 100 = 0; cuyas soluciones son: z = 4 y z = 25.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = -5 y x = 5 c) Sacando factor común, queda la ecuación: x·(2x
2 -20x + 48) = 0; cuyas soluciones son: x = 0, x = 4 y x = 6.
92 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
a) 03613xx 24
=+−
b) 02526xx 24
=+−
c) 0209xx 24
=+−
Solución: a) Realizando el cambio de variable: x
2 = z queda la ecuación:
z2 - 13z + 36 = 0; cuyas soluciones son: z = 4 y z = 9.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = -3 y x = 3
b) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:
z2 - 26z + 25 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 25.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -1; x = 1; x = - 5 y x = 5 c) Realizando el cambio de variable: x
2 = z queda la ecuación:
z2 - 9z + 20 = 0; cuyas soluciones son: z = 4 y z = 5.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = -5
y x = 5
93 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a)
34
x
6
4x
3
2x=+−
b)
20
53x
5
4x
2
53x +=−
−
c)
21
1210x
6
142x
14
210x
3
226x −−
−=
−−
−
d)
53
x)2(1
4
1)2(x=
−−−
−
Solución: a) Multiplicando por 12 queda: 8x - 8x + 3x = 36; x = 12 b) Multiplicando por 20 queda: 30x - 50 - 16x = 3x - 5; x = 5 c) Multiplicando por 42 queda: 84x - 308 - 30x + 6 = 14x - 98 - 20x + 24; x = 19/5 d) Multiplicando por 12 queda: 6x - 6 + 8 - 8x = 60; x = - 29
94 En una tienda se venden pantalones originales de la marca Jorge's a 85 Euros y los de imitación a 32 Euros. En el transcurso de la semana se han vendido 43 pantalones, recaudando 2860 Euros. ¿Cuántos pantalones de cada clase se vendieron? Solución: Planteamos el problema: x = pantalones auténticos; y = pantalones de imitación
=+
=+
2860y32x85
43yx
Soluciones x = 28; y = 15
95 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras.
a)
=+
=+
7y2x
104y2x
b)
=+
=+
1yx
13y4x
Solución: a) x = 3; y = 1 b) x = -2; y = 3
96 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras.
a)
=+
=−
32y3
x24y2x
b)
=+
=+
1yx
13y4x
Solución: a) x = 3; y = 1 b) x = -2; y = 3
97 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras.
a)
=+
=+
142y4x
104y2x
b)
−=−−
=+
1yx
53y2x
Solución: a) x = 3; y = 1 b) x = -2; y = 3
98 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras.
a)
=+−
=+
24y2x
52yx
b)
=+−
−=−
82yx
122y3x
Solución: a) x = 3; y = 1 b) x = -2; y = 3
99 En una frutería se venden peras de 1ª a 1,9 Euros/kg y de 2ª a 1,2 Euros/kg. Si en el transcurso del día se han vendido 140 kg de peras con una recaudación total de 227,5 Euros. ¿Cuántos kilogramos de cada clase se han vendido? Solución: Planteamos el problema: x= kg de primera; y = kg de segunda
=+
=+
227,5y1,2x1,9
140yx
Soluciones x = 85; y = 55
100
Resuelve los siguientes sistemas no lineales:
a)
=+
−=
4y
x
x
3
2xy
b)
=
=
3
5
y
x
15xy
Solución:
a) x = 3, y = 1; x =
3
2
, y =
3
4−
b) x = -5, y = -3; x = 5, y = 3
101
Resuelve los siguientes sistemas no lineales:
a)
=+
=+
5yx
1x
y-yx
b)
=−
=−
72yx
305y3x
22
22
Solución: a) x = 1, y = 4 b) x = -5, y = -3; x = -5, y = 3; x = 5, y = -3; x = 5, y = 3
102
Con dos clases de café de 9 Euros/kg y 12 Euros/kg se quiere obtener una mezcla de 10 Euros/kg. Halla la cantidad que hay que mezclar de cada clase para obtener 30 kg de mezcla. Solución: Planteamos el problema: x = kilo de la clase más barata; y = kg de la clase más cara.
30yx
300y12x9
=+
=+
Soluciones: x = 20; y = 10
103
Resuelve el siguiente sistema no lineal:
−=−−
=++
4
1xyyx
4
3xyyx
22
22
Solución:
2
1 y,
2
1 x1; y,
2
1 x1; y,
2
1 x;
2
1 y,
2
1x ==−===−=−=−=
104
Resuelve los siguientes sistemas por igualación y reducción.
a)
=+
=+
7y2x
52yx
b)
=+
=+
9y10x
18yx
Solución: a) Igualación:
3 x1; y y;y4710
;2
y7y25
2
y7x
y25x
==⇒−=−
−=−
−
=
−=
Reducción:
( )
3 x1; y 3- y 3-
7yx2
-10y4x-2-
7yx2
5y2x2
==⇒=
=+
=
=+
=+⋅−
b) Igualación:
19 y-1; x 18;-9 xx-10
x10-9x-18 x109y
x18y
==⇒=
=
−=
−=
Reducción:
( )
19 y-1; x -9x 9
9yx10
18yx
9yx10
18yx
==⇒=
=+
−=−−
=+
=+−
105
Resuelve los siguientes sistemas por igualación y reducción.
a)
=+
=+
9y10x
18yx
b)
=−
=+
6
5y4x
3
52y2x
Solución: a) Igualación:
19 y-1; x 18;-9 xx-10
x10-9x-18 x109y
x18y
==⇒=
=
−=
−=
Reducción:
( )
19 y -1 x-9;x 9
9yx10
-18yx--
9yx10
18yx
=⇒==
=+
=
=+
=+−
b) Igualación:
2
1 y;
3
1 x10;x30
6
x245
6
x6-5
x46
5y
2
x23
5
y
===
+−=
+−=
−
=
Reducción:
2
1 y ;
3
1
60
20 x;
6
20x 10
6
10y2x-8
6
10y2x2
6
5yx42
3
5y2x2
====
=
=+
=−⋅
=+
106
Resuelve los siguientes sistemas no lineales:
a)
=−
+=
0y
x
x
1
2xy
b)
( )( )
=−
=−+
04y3x
7yxyx
Solución: a) x = -1, y = 1; x = 2, y = 4 b) x = -4, y = -3; x = 4, y = 3
107
Una calculadora y un reloj cuestan 115 Euros. En las calculadoras se está haciendo un descuento del 20% y en los relojes del 10%. Pagando de este modo solo101,5 Euros. ¿Cuál es el precio de cada objeto? Solución: Planteamos el problema: x = precio de la calculadora; y = precio del reloj
101,5y0,9x0,8
115yx
=+
=+
Soluciones: x = 20; y = 95
108
Enrique invierte sus 30000 Euros en 2 bancos. En el banco del Teide le dan el 7% de beneficios y en Caja Europa el 3%.Teniendo en cuenta que recibió por su dinero 1780 Euros de beneficios. ¿Cuánto dinero colocó en cada banco?
Solución: Plantemos el problema: x = dinero en Banco del Teide, y = dinero en Caja Europa
=+
=+
1780y0,03x0,07
30000yx
Soluciones, x = 22000; y = 8000
109
Resuelve los siguientes sistemas por sustitución y reducción.
a)
=+
=+
7y2x
52yx
b)
=+
=+
7y2x
104y2x
Solución: a) Sustitución:
3x 1 y-3;y3- 7;yy410
7yy)2-2(5
y2-5x
7yx2
5y2x
=⇒===+−
=+
=
=+
=+
Reducción
( )
3 x1; y 3- y 3-
7yx2
-10y4x-2-
7yx2
5y2x2
==⇒=
=+
=
=+
=+⋅−
b) Sustitución
1 y 3 x-18;x6- 10;x828x2
10x)2-4(7x2
x2-7y
7yx2
10y4x2
=⇒===−+
=+
=
=+
=+
Reducción:
( )
3 x1; y -3y3-
7yx2
-10y4x-2-
7yx2
10y4x2
==⇒=
=+
=
=+
=+−
110
Resuelve el siguiente sistema no lineal:
( ) ( )
−=−
=+
++
+
−
y1y2xx
31y
3y
1x
12x
Solución:
13
3 y,
13
2 x1; y2,x −====
111
Resuelve los siguientes sistemas por sustitución e igualación.
a)
=+
=+
142y4x
104y2x
b)
=+
=+
1yx
13y4x
Solución: a) Sustitución:
3 x 1 y-6;y6- 14;y2y820
14y22
y4-104
2
y4-10x
14y2x4
10y4x2
=⇒===+−
=+
⋅
=
=+
=+
Igualación:
3 x 1 y-6;y6- y;214y820
4
y214
2
y410
4
y214x
2
y410x
=⇒==−=−
−=
−
−=
−=
b) Sustitución:
-2 x 3 y-3;y- 1;y3y44
1y3y)-4(1
y-1 x
1yx
1y3x4
=⇒===+−
=+
=
=+
=+
Igualación:
-23-1 x 3 yy;44y31
y14
y3-1
y1x4
y31x
==⇒=−=−
−=
−=
−=