1. operaciones con números enteros
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Unidad didácticaTRANSCRIPT
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UNIDAD DIDÁCTICA
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
Presentado por
David Andrés Bello López
Presentado a
Alberto Suárez Olarte
UNIVERSIDAD PEDAGOGICA NACIONAL
FACULTAD DE CIENCIA Y TEGNOLOGIA
LICENCIATURA EN MATEMATICAS
PROYECTO DE AULA
BOGOTÁ 2013
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ÍNDICE
Introducción 3 Respecto al producto 15
Análisis de contexto 4 Elemento neutro 15
Misión 4 Respecto a la suma 15
Visión 5 Respecto al producto 15
Enfoque pedagógico 5 Propiedad Cancelativa 15
La educación 5 Respecto a la suma 15
El trabajo 5 Respecto al producto 15
Sentido institucional 5 Propiedad simétrica o inverso 16
Perfil del estudiante 6 Respecto a la suma 16
Contexto de aula 6 Elemento cero en el producto 16
Análisis de contenido 7 Dominio de integridad 16
Números enteros 8 Propiedad distributiva 16
Historia 8 Ubicación del concepto en el currículo 16
La noción de cantidad 8 Análisis cognitivo 17
Los números
negativos 9 Cuando se trabaja en el plano concreto 18
Concepto 11 Cuando se trabaja en el plano formal 19
Número relativo 12 Propuesta 20
Relación de orden 12
Proposición 1 12 ¿Cómo será el pro. de ens? 21
Proposición 2 12 Teoría de las
situaciones 21 Valor absoluto 13
Propiedades del valor
absoluto 13
Los juegos matemáticos como
herramienta de enseñanza 21
Opuesto 13 Aplicaciones 22
Operaciones con números enteros 13 Análisis de instrucción 22
Suma de números enteros 13 Actividad 1 22
Multiplicación de números
enteros 14 Actividad 2 24
Propiedades de las operaciones con
los números enteros 14 Actividad 3 26
Propiedad conmutativa 14 Actividad 4 32
Respecto a la suma 15 Actividad 5 33
Respecto al producto 15 Análisis de actuación 35
Propiedad asociativa 15 Conclusiones y sugerencias 41
Respecto a la suma 15 Bibliografía 43
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INTRODUCCIÓN
Entre las necesidades de cálculo del pastor cavernícola que descubrió los números naturales
y las del hombre actual hay diferencias radicales. El hombre rupestre vivía sometido a la
naturaleza; sus necesidades eran elementales, mientras que el hombre de hoy vive en un
mundo dominado por las creaciones del propio hombre; su mundo está gobernado por
conceptos y abstracciones. No es difícil imaginar cómo, en algún momento del transcurrir
de la historia, el hombre descubrió que para medir ciertas magnitudes es conveniente
considerar su variación en un sentido y otro, por encima y por debajo de un origen
prefijado.
Esta unidad didáctica presenta una propuesta cuyo tema se centra en las operaciones con
números enteros en estudiantes de grado séptimo. Esta labor consta de una serie de
actividades diseñadas con base en los diferentes análisis previos. El análisis de contexto
que realiza un estudio de la población a la que se aplica la unidad didáctica; en ella se
encuentra la descripción del entorno en el que se encuentran los estudiantes; el análisis de
contenido donde se describen los propósitos tanto del estudiante como del profesor los
cuales serán la guía para adelantar un proceso coherente y secuencial, teniendo en cuenta el
objetivo propuesto al comenzar la secuencia; el análisis de contenidos, donde se describen
los propósitos tanto del estudiante como del profesor los cuales serán la guía para adelantar
un proceso coherente y secuencial, teniendo en cuenta el objetivo propuesto al comenzar la
secuencia; el análisis cognitivo donde se tendrá en cuenta el proceso enseñanza-aprendizaje
del curso, las propuestas en las que se basará la unidad didáctica, los elementos o
herramientas que se van a utilizar, posibles errores que demuestren los niños durante el
periodo de observación, y los obstáculos que podrían encontrarse; el análisis de instrucción
que estará compuesto por las actividades que se plantearán para llevar a cabo el análisis de
actuación que tendrá los resultados, evidencias y conclusiones obtenidas.
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ANÁLISIS DE CONTEXTO
La institución educativa en la cual se aplicarán algunas actividades de la unidad didáctica es
EL COLEGIO KENNEDY I.E.D. ubicado en la localidad de Kennedy en la calle 5 SUR
N° 79ª 69 de Bogotá.
(Tomado de google maps)
MISIÓN
Formar integralmente hacia la excelencia, en los niveles prescolar, básica y media,
desarrollando competencias laborales generales y específicas en la modalidad de Gestión
Ambiental y Empresarial; con la educación superior y el mundo del trabajo. (Tomado de la
página del colegio)
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VISIÓN
Ser en el 2015 una Institución Educativa con los niveles de prescolar, básica media
académica; técnica y tecnológica, articulada con el SENA, formando en competencias
laborales, para la vinculación a la vida productiva y a la educación profesional. (Tomado de
la página del colegio)
ENFOQUE PEDAGÓGICO
La institución cuenta con un proyecto educativo institucional nombrado EDUCACIÓN Y
TRABAJO en él nos presentan la EDUCACIÓN Y EL TRABAJO por separado.
LA EDUCACIÓN
Es el patrimonio universal de todas las culturas y será el estandarte que dimensione
todos los conjuntos de la acción de las naciones del futuro. Educación es el haber
personal que podrá dirimir cada individuo ante las exigencias de idoneidad para
ejercer cualquier actividad, oficio o profesión en todo medio; es la mejor
preparación para aprender no solo a vivir sino a convivir, en la integración lógica y
perfecta entre hombre y vida.
EL TRABAJO
Es una institución que educa para el trabajo como acto individual y social que
dignifica, es una institución que siembra los valores que harán más grande y digno
al hombre en toda época.
(Tomado de la página del colegio)
SENTIDO INSTITUCIONAL
Esta institución es brindar una educación de CALIDAD abriendo nuevos espacios y
oportunidades a cada niño y joven desde una propuesta pedagógica, ofreciendo medios que
permitan:
La humanización de los saberes. Autogestión. Interés institucional prima sobre el
personal.
Los derechos de los niños prevalecen sobre los de los adultos. Una sana
convivencia.
(Tomado de la página del colegio)
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PERFIL DEL ESTUDIANTE
Con respecto al perfil del estudiante dicen que los estudiantes KENNEDIANOS serán:
Competentes, autónomos, críticos, analíticos y reflexivos con un proyecto de vida enfocado
hacia la excelencia personal, laboral y profesional evidenciando una conciencia social y
ambiental, e inquietos por su mejoramiento continuo. (Tomado de la página del colegio)
CONTEXTO DEL AULA
En el aula se encuentran 36 estudiantes entre niños y niñas; sus edades se encuentran entre
10 y 15 años, los cuales corresponden al curso 702 de la jornada de la tarde, donde se
puede observar que son pocos los estudiantes presentan trabajos y cumplen con
compromisos previos, como el traer material para una clase por ejemplo. El trabajo en el
aula se basa en la pedagogía activa que por lo general se torna a un modelo conductista,
siendo el colegio fundamentado en el constructivismo, por esto se notan dos momentos para
destacar en la clase; el primero, radica en que el profesor dicta el título de la temática del
día, y durante ello ejemplifica con ejercicios y los resuelve. El segundo momento, se basa
en la solución de problemas cotidianos relacionados con la temática, donde los estudiantes
los resuelven de manera individual, y el profesor revisa varios de ellos elegidos al azar.
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ANÁLISIS DE CONTENIDO
El desarrollo del concepto de número entero abarca una gran riqueza de contenidos, los
cuales se establecerán empezando por el concepto de relación de orden, pasando por
número relativo y valor absoluto, y finalizando por sus operaciones y propiedades, como se
muestra a continuación:
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NÚMEROS ENTEROS
HISTORIA
El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para facilitar su
relación con el medio que lo rodea. Es consecuencia de ese proceso la redacción de este
artículo.
En las siguientes líneas daremos una breve y sustancial descripción acerca de los números
enteros en la historia.
LA NOCIÓN DE CANTIDAD, NÚMERO Y SISTEMA NUMÉRICO
Desde la era primitiva el hombre buscó respuestas a sus interrogantes. Su inquietud
permitió el nacimiento de conceptos abstractos en su mente ya evolucionada. Cuando el
hombre desarrolló la capacidad de darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de
cantidad.
Inicialmente no se utilizaba la notación indo – arábiga, sino, que se representaban las
cantidades con marcas en los árboles, con un montón de piedras, nudos en sogas, etc. Los
recursos que se utilizaban dependían de la cultura donde estaban ubicados.
Distintas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitiera.
Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana, babilónica,
griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de
contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el
complejo mundo de las matemáticas. Desde luego el significado que cada grupo social
asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida. Por
ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números.
Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le
otorgaba:
“𝐸𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑒 𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜. 𝑆𝑖𝑛 é𝑙 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎𝑟 𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑖
𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒𝑟 𝑛𝑎𝑑𝑎. ”
La facultad de contar está implícita en la aparición del número. Se mencionó que el hombre
hacía marcas, aunque a veces se sigue haciendo en la actualidad, para representar ciertas
cantidades, pues esta actividad, que perdura desde tiempos inmemoriales, se formalizó en
cada cultura con el número.
El hombre advirtió que todos los conjuntos de objetos o de seres tienen una cualidad en
común, con independencia de la naturaleza de los objetos o de los seres que lo componen.
La cualidad se denomina número. Un ejemplo práctico reside en que el hombre al realizar
tantas marcas, juntar tantas piedras, hacer tantos nudos deduce racionalmente, según la
contabilidad de cada objeto, que dichas contabilidades conllevan a “representaciones”, que
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no depende de qué estuviese contando, sino más bien del número de marcas, de piedras, de
nudos, etc. Entonces se estableció un símbolo para cada contabilidad respectiva. La
contabilidad de una oveja se simbolizaría con 𝐼, 1, etc., según cada cultura establezca como
universal. El nacimiento de los sistemas numéricos tiene como precedente esta
sistematización de universalidad.
De ahí que la notación que se utiliza hoy en día, que en general, fueron traídos de la India a
Europa, por los árabes en el siglo 𝑋.
Hasta esta línea se ha presentado la aparición del número. Sin embargo todo aquello se
debe a la necesidad por la cual evolucionan las matemáticas, pues bien, se tiene que
ingresar con esto a la aparición de dos grandes ideas en la matemática: El número natural y
entero.
La matemática evoluciona o cambia, según el contexto lo permita para dar solución a
problemas.
LOS NÚMEROS NEGATIVOS
Los números negativos antiguamente conocidos como “números deudos” o “números
absurdos”, datan de una época donde el interés central era la de convivir con los problemas
cotidianos a la naturaleza.
Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo 𝑉, en oriente, y no llega hasta
occidente hasta el siglo 𝑋𝑉𝐼. En oriente se manipulaban números positivos y negativos,
estrictamente se utilizaban los ábacos, usando tablillas o bolas de diferentes colores.
Ábacos Antiguos.
Sin embargo, los chinos no aceptaron la idea de que un número negativo pudiera ser
solución de una ecuación. Corresponde a los Indios la diferenciación entre números
positivos y negativos, que interpretaban como créditos y débitos, respectivamente,
distinguiéndolos simbólicamente. Además el cero también es atribuido a esta cultura, hacia
el año 650 d.c.
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Los griegos utilizaban magnitudes negativas en sus teoremas del álgebra geométrica, pero
este siempre referido a las propiedades de la operación de restar, tales como, por ejemplo,
(𝑎 – 𝑏). (𝑐 – 𝑑) = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 – 𝑎𝑑 – 𝑏𝑐; dejándolos como restas indicadas. Sin embargo
fueron los indios los encargados en mostrar reglas numéricas para ello, esto en positivos y
negativos. Es así que Brahmagupta, matemático indio, contribuye al álgebra con
presentación de soluciones negativas para ecuaciones cuadráticas. La primera vez que
aparece sistematizada de los números negativos y del cero es en la obra de Brahmagupta.
La notación muy difundida para los números positivos y negativos fue gracias a Stifel. La
difusión de los símbolos germánicos (+) y (−), se popularizó con el matemático alemán
Stifel (1487 – 1567) en el siglo 𝑋𝑉, antes de ello se utilizaba la abreviatura de p para los
positivos y m para los negativos.
Hasta fines del siglo 𝑋𝑉𝐼𝐼𝐼 los números negativos no eran aceptados universalmente.
Gerolamo Cardano, en el siglo 𝑋𝑉𝐼, llamaba a los números negativos “falsos”, pero en su
Ars Magna (1545) los estudió exhaustivamente. Jhon Wallis (1616 − 1703), en su
Aritmética Infinitoum (1655), “demuestra” la imposibilidad de su existencia diciendo que
“esos entes tendrían que ser a la vez mayores que el infinito y menores que cero”. Leonardo
Euler es el primero en darles estatuto legal, en su Anteitung Zur Algebra (1770) trata de
“demostrar” que (−1) · (−1) = +1; argumentaba que el producto tiene que ser +1 ó −1
y que, sabiendo que se cumple (1). (−1) = −1, tendrá que ser: (−1) · (−1) = +1.
Los números negativos, además complementan o extienden el conjunto de los números
naturales, generado por un defecto de los números naturales: la generalidad para la
operación de resta y división. Por ejemplo 5 − 9 resulta −4, que no es natural, no se
cumple entonces la propiedad de clausura o cerradura en los naturales.
El hombre, visto en la imposibilidad de realizar, en general, la operación de resta crea otro
conjunto, que viene hacer el conjunto de los números negativos. Los números naturales
junto con los negativos formarán luego el conjunto de los números enteros; es decir los
números naturales complementados con los naturales. Observemos el siguiente gráfico:
Donde:
Los enteros positivos (positivos en el gráfico), se denota con ℤ+.
Los enteros negativos (negativos en el gráfico), se denota con ℤ−.
El cero no tiene signo, es neutro.
La distancia del cero a un número entero positivo +𝑎, será la misma que la de un
negativo – 𝑎; ambos entonces de igual magnitud. Así esto es denominado como
valor absoluto.
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El cero es aquel número entero que no posee ningún signo respectivo, vale decir no
es positivo ni negativo; más aún es el nexo entre estos dos.
Esquemáticamente:
Entonces los números enteros se representan por ℤ y está formado por los números
naturales y sus “opuestos” (los números negativos). Esto es:
𝛧 = {. . . , −3, −2, −1,0,1,2,3, . . . }
Nota: La notación +5 = 5; por ejemplo. Podemos prescindir del signo (+) de manera
práctica.
CONCEPTO
El conjunto de los números enteros surge para resolver problemas que en los números
naturales (ℕ) no tienen solución, por ejemplo, la ecuación 𝑥 + 𝑏 = 𝑎 cuando 𝑎 < 𝑏 no
tiene solución en los ℕ ya que 𝑎 – 𝑏 no tiene sentido en dicho conjunto.
La construcción del conjunto de los números enteros se basa en hallar un conjunto dotado
de una operación interna, (+) basada en la correspondiente operación interna suma en
los ℕ, y en el que todo elemento tenga simétrico respecto de esa operación. De esta manera
la ecuación 𝑥 + 𝑏 = 𝑎 siempre tendrá una solución en el nuevo conjunto de números. Tal
simétrico se notará por – 𝑎 para todo 𝑎 ∈ ℕ. Se define el conjunto de los números enteros
como:
ℤ = {. . . , −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, . . . }
Se debe tener claro que los números enteros, se definen formalmente como clases de
equivalencia resultantes de una partición inducida en el conjunto 𝑁 × 𝑁 y por una
relación definida generalmente de la siguiente manera:
Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, elementos de 𝑁, entonces.
(𝒂, 𝒃) 𝑹 (𝒄, 𝒅) ⟺ 𝒂 + 𝒅 = 𝒄 + 𝒃 (∗)
Si se tiene en cuenta la teoría de los pares, dicha relación quedaría de la siguiente manera:
(𝒂, 𝒃) ~ (𝒄, 𝒅) ⟺ 𝒂 − 𝒃 = 𝒄 − 𝒅
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Pero como no se puede utilizar la resta para definir tal relación de equivalencia porque lo
que se quiere es precisamente construir los enteros, entonces se recurre a la siguiente
relación:
𝒂 − 𝒃 = 𝒄 − 𝒅 ⟺ 𝒂 + 𝒅 = 𝒃 + 𝒄
Por lo tanto (𝑎, 𝑏) ~ (𝑐, 𝑑) ⟺ 𝑎 + 𝑑 = 𝑏 + 𝑐, es decir la relación (𝑎, 𝑏) ~ (𝑐, 𝑑), se
cumple si y solo si la suma de los extremos es igual a la suma de los medios. Luego se
demuestra que esta relación es de equivalencia.
NÚMERO RELATIVO
La noción de número relativo nace desde la ubicación de un punto respecto a otro de
referencia, dicho de otra manera, es un número acompañado por un símbolo que indica una
cantidad respecto a un punto de referencia, lo que les permite sintetizar el uso de
expresiones como:
Antes, después, menos que, por debajo de, por encima de, a la izquierda de a la derecha de,
deudas, ganancias, etc.
Lo que se ve reflejado en la representación en la recta numérica, donde lo referente a antes,
a la izquierda de, deudas, etc., se ve reflejado en la representación de los números
negativos, y sus contrarios en representaciones de números positivos.
RELACIÓN DE ORDEN
Inducida por la relación de orden en el conjunto de los números naturales, podemos definir
una relación de orden en ℤ mediante 𝑎 ≤ 𝑏 si y solo si 𝑏 − 𝑎 ∈ ℕ.
PROPOSICIÓN 1
ℤ respecto al orden anterior es un conjunto totalmente ordenado, pero no es un conjunto
bien ordenado.
PROPOSICIÓN 2
El orden anterior en el conjunto ℤ se caracteriza por:
I. Es compatible con la suma de números enteros:
𝑎 ≤ 𝑏 ⇔ 𝑎 + 𝑧 ≤ 𝑏 + 𝑧, ∀𝑧 ∈ ℤ.
II. Es compatible con el producto de números enteros positivos y se invierte si
multiplicamos por un número entero negativo:
𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ {𝑎 · 𝑧 ≤ 𝑏 · 𝑧, ∀ 𝑧 ∈ ℕ − {0} , 𝑎 · 𝑧 ≥ 𝑏 · 𝑧, ∀ 𝑧 ∈ 𝑍 − 𝑁.
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VALOR ABSOLUTO
La aplicación |-|: ℤ → ℕ definida por
|𝑎| = { 𝑎 … 𝑎 > 0,0 . . . 𝑎 = 0,
−𝑎 . . . 𝑎 < 0.
Recibe el nombre de valor absoluto de un número entero.
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
1. ∀𝑎 ∈ ℤ, |𝑎| ≥ 0 𝑦 |𝑎| = 0 ⇔ 𝑎 = 0.
2. ∀𝑎 ∈ ℤ, 𝑎 ≤ |𝑎|.
3. |𝑎| = | − 𝑎|, ∀𝑎 ∈ ℤ.
4. |𝑎| ≤ 𝑏 ⇔ −𝑏 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏.
5. ||𝑎| − |𝑏|| ≤ |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℤ
6. |𝑎 . 𝑏| = |𝑎| . |𝑏|, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℤ
OPUESTO
Para todo 𝑎 ∈ ℤ , existes −𝑎, tal que se cumple:
𝑎 + (−𝑎) = 0
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
SUMA DE NÚMEROS ENTEROS
Inducida por la suma de números naturales podemos definir la suma de números enteros
como la operación interna dada por
+∶ ℤ × ℤ → ℤ
de manera que para cada par de números enteros 𝑎, 𝑏 existe un único número entero 𝑎 + 𝑏.
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MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
La multiplicación de números enteros es una aplicación
. ∶ ℤ × ℤ → ℤ
de manera que para cada par de números enteros 𝑎, 𝑏 existe un único número entero 𝑎 · 𝑏.
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
Para la fácil utilización de las operaciones, y la simplificación de situaciones que se pueden
presentar durante el trabajo con éstas, se dispone de una serie de propiedades. Dichas
propiedades se enuncian a continuación.
PROPIEDAD CONMUTATIVA
Al igual que en los números naturales, esta propiedad radica en que sin importar el orden en
que se ubiquen los factores en el producto y los sumandos en la suma, el resultado siempre
será el mismo, dicho de una manera más sencilla, el orden de los factores no alterará el
resultado.
Esta propiedad se cumple tanto para la suma como para el producto, siendo explicado de la
siguiente manera:
RESPECTO A LA SUMA
Si a y b son números enteros, se cumple
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
RESPECTO AL PRODUCTO
Si a y b son números enteros, se cumple
𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎
PROPIEDAD ASOCIATIVA
De la misma manera que la propiedad conmutativa como en los números naturales, la
propiedad asociativa se basa en que sin importar cómo agrupes los factores en el producto y
los sumandos en la suma, el resultado siempre será el mismo, dicho de una manera más
sencilla, la manera de agrupar los factores no alterará el resultado.
Como en la anterior propiedad ésta se cumple tanto para la suma como para el producto,
más concretamente:
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RESPECTO A LA SUMA
Si a, b y c son números enteros, se cumple
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
RESPECTO AL PRODUCTO
Si a, b y c son números enteros, se cumple
(𝑎 × 𝑏) × 𝑐 = 𝑎 × (𝑏 × 𝑐)
ELEMENTO NEUTRO
Tal como sucede en los números naturales, los números enteros poseen el denominado
elemento neutro el cual varía según la operación, cuya función es la de no alterar la
expresión dada. Para esta propiedad se tiene
RESPECTO A LA SUMA
Existe 0 ∈ ℤ tal que
0 + 𝑎 = 𝑎 = 𝑎 + 0, ∀𝑎 ∈ ℤ
RESPECTO AL PRODUCTO
Existe 1 ∈ ℤ tal que
1 · 𝑎 = 𝑎 = 𝑎 · 1, ∀ 𝑎 ∈ ℤ
PROPIEDAD CANCELATIVA
Algorítmicamente se puede definir esta propiedad de la siguiente manera:
RESPECTO A LA SUMA
Dados 𝑎, 𝑏, 𝑝 ∈ ℤ,
𝑠𝑖 𝑎 + 𝑝 = 𝑏 + 𝑝, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝑏
RESPECTO AL PRODUCTO
Dados 𝑎, 𝑏, 𝑝 ∈ ℤ,
𝑠𝑖 𝑎 . 𝑝 = 𝑏 . 𝑝 𝑦 𝑝 ≠ 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝑏
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PROPIEDAD SIMETRICA O INVERSO
Esta propiedad se sintetiza en encontrar los valores para los que, al aplicarle la operación
correspondiente, se obtiene el elemento neutro.
RESPECTO A LA SUMA
∀𝑎 ∈ ℤ, existe −𝑎 ∈ ℤ tal que
(−𝑎) + 𝑎 = 0 = 𝑎 + (−𝑎)
ELEMENTO CERO EN EL PRODUCTO
Existe 0 ∈ ℤ tal que
0 . 𝑎 = 0 = 𝑎 . 0, ∀𝑎 ∈ ℤ
DOMINIO DE INTEGRIDAD RESPECTO AL PRODUCTO
Si 𝑎 · 𝑏 = 0 entonces 𝑎 = 0 ∧ 𝑏 = 0
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO A LA SUMA
Esta propiedad hace referencia a situaciones donde un número entero pretende multiplicar
la suma de otros dos enteros, dicho de una manera más simple se tiene que:
Si a, b y c son números enteros, se cumple
𝑎 × (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 × 𝑏) + (𝑎 × 𝑐)
UBICACIÓN DEL CONCEPTO EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS
Para que los niños desarrollen sus habilidades al trabajar las operaciones con los números
enteros los niños deben haber alcanzado determinados estándares básicos de calidad para
matemáticas, los cuales se basan en una serie de conocimientos previos regidos de la
siguiente manera:
Basados en el pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos los niños de 6 a 8
años, es decir de grados 1º a 3º deben describir cualitativamente situaciones de cambio y
variación utilizando el lenguaje natural, dibujos y gráficas. Los niños de 8 a 10 años, de 4º a
5º grado, deben representar y relacionar patrones numéricos con tablas y reglas verbales, y,
analizar y explicar relaciones de dependencia entre cantidades que varían en el tiempo con
cierta regularidad en situaciones económicas, sociales y de las ciencias naturales. Y en
nuestro caso los niños de 10 a 12 años, es decir niños de 6º grado, deben analizar las
propiedades de correlación positiva y negativa entre variables, de variación lineal o de
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proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversa en contextos aritméticos y
geométricos.
Teniendo en cuenta un segundo pensamiento, el pensamiento numérico y sistemas
numéricos, los niños de 1º a 3º deben describir, comparar y cuantificar situaciones con
números, en diferentes contextos y con diversas representaciones, y, describir situaciones
que requieren el uso de medidas relativas. Los niños de 4º a 5º deben estar en la capacidad
de resolver y formular problemas cuya estrategia de solución requiera de las relaciones y
propiedades de los números naturales y sus operaciones, además de resolver y formular
problemas en situaciones aditivas de composición, transformación, comparación e
igualación, y, resolver y formular problemas en situaciones de proporcionalidad directa,
inversa y producto de medidas. Y por último, los niños de 6º grado deben formular y
resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y
dominios numéricos.
ANÁLISIS DE COGNITIVO
La propuesta de operaciones con los números enteros se basa en utilizar diferentes
materiales concretos y didácticos, más concretamente el juego, para hacer más agradable,
interesante y facilitar el aprendizaje cognitivo en los estudiantes, dicho de otra manera, se
implementará la enseñanza de las operaciones con números enteros a través del juego. La
profusión de modelos concretos propuestos para enseñar los números enteros es tanta que
cualquier descripción de los mismos obliga a recurrir a algún tipo de clasificación que
simplifique la tarea.
En este sentido, la clasificación que realizó Janvier (1983), en la que resaltan tres tipos de
modelo: el equilibrio, la recta numérica y el híbrido, es un gran punto de inicio.
Modelo del equilibrio según Janvier:
“El trasfondo del modelo del equilibrio es la construcción de los números enteros como
pares ordenados de números positivos, aunque, en realidad, su uso no implica escribir los
números negativos como pares ordenados. Los números enteros (positivos y negativos) se
representan con fichas de dos colores diferentes, por ejemplo blancas y negras. Si las
fichas negras representan lo negativo y las blancas lo positivo, el número −1 puede
representarse como cualquier combinación de fichas en las que las negras superen a las
blancas en una.”
Modelo de la recta según Janvier:
“Cuando se usa el modelo de la recta los números son, al mismo tiempo, posiciones sobre
la recta y desplazamientos sobre ella. La adición en este modelo puede ser la combinación
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de dos desplazamientos o el desplazamiento de una posición a otra. En la resta “sumar el
opuesto” puede ser “hacer el desplazamiento en sentido opuesto” o bien la diferencia
entre dos posiciones. La multiplicación se define como suma repetida de movimientos.”
Esta clasificación es levemente modificada por Cid (2002), ya que no incluye el modelo
híbrido por considerar que está directamente relacionado con las otras dos clases, es decir,
sus ejemplos pueden ser ubicados en las otras dos, y renombra como “modelo de
neutralización” al modelo definido por Janvier como equilibrio, ya que entiende que ese
nombre refleja mucho mejor la idea central de esta clase de modelos. También Utiliza el
término de “modelo del desplazamiento”, para reemplazar el nombre propuesto por Janvier:
“modelo de la recta numérica”, ya que considera a este último como un caso particular del
primero, aunque muy importante.
Al trabajar con números enteros se identifican principalmente dos inconvenientes en la
adquisición del conocimiento, ya que a través de la historia, la enseñanza de los números
enteros se visualiza de una forma muy marcada en dos tendencias la enseñanza y el
aprendizaje. Por un lado, la enseñanza de los números enteros no debería ser tratada
enteramente de forma creíble en un plano concreto, es decir, el buscar situaciones reales
para todas las propiedades de los números enteros está impidiendo el acceso a lo abstracto,
ya que el estudiante necesitará ver en los números representaciones de cosas reales o
concretas. Por otro lado, cuando únicamente se trabaja formalmente, la imposición de la
abstracción resulta ser estéril, ya que resulta ser esto un formalismo vacío porque es difícil
encontrar en situaciones reales el número la representación de un número negativo. Por
ende, cuando se trabaja con los números enteros se deben tener en cuenta actividades que
permitan aplicar el concepto a situaciones explícitas, de forma tal que estas permitan los
planteamientos y formalismos de situaciones abstractas.
Cuando se habla de los errores generados por estos dos obstáculos se pueden identificar una
serie de errores que se presentan durante la introducción a los números enteros o
previamente al estudio de estos, los cuales se presentan a continuación, según Iriarte
(1991):
CUANDO SE TRABAJA EN EL PLANO CONCRETO
1. El número como expresión de cantidad.
Existen situaciones donde resulta imposible encontrar los números negativos, porque
simplemente no son necesarios, por ejemplo “nadie dice tengo −7000 pesos”, sino, que
culturalmente se usa la expresión “debo 7000 pesos”, por lo tanto el hablar de usar
números negativos en la cotidianidad por lo general no tiene sentido.
2. La suma como aumento.
Tradicionalmente en la escuela se habla que la suma es un aumento en una cantidad al
añadirle otra, esto cuando se introduce el concepto de suma en los naturales, lo que
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presenta un gran obstáculo al abordar al estudiante con interrogantes como “¿Puedo
encontrar un número que sumado con 23 me dé 11?”, debido a que el resultado es una
cantidad menor, lo que por lo general “ciñe” a los estudiantes.
3. La sustracción como disminución.
Gran parte de los estudiantes presentan dificultades en realizar sumas entre números
negativos ya que la concepción que manejan radica en que el resultado de hacer una
resta es un número menor que el inicial.
4. La multiplicación como multiplicación natural.
En muchos casos preguntas como “¿Es posible encontrar un múltiplo de 8 menor que 1
y distinto de cero?”, llevan a que los estudiantes den respuestas como, no existe,
confundiendo de esta manera conceptos como múltiplos y divisores.
5. El orden entre los negativos es el inverso que el orden los naturales.
En los números naturales los números van aumentando a medida que se alejan del
origen, al trasladar esta secuencia para los números negativos los estudiantes al
responder preguntas como “¿Cuál es el número menor en una unidad a −8?”, se
pueden obtener respuestas como −7, ya que en muchos casos se considera que el orden
de los enteros negativos es el mismo de los naturales.
6. Ignorar el signo.
Consiste en ignorar los signos que acompañan a los números, y al presentar problemas
como “Oslo tiene una temperatura de −5 grados y Berlín −2 grados, si alguien
hubiera viajado de Moscú a Budapest, ¿habría notado una subida o una bajada de
temperatura?”, algunos estudiantes, olvidando el signo contestan “una bajada porque
5 − 2 = 3”.
7. Identificación de los símbolos literales con números positivos.
Muchos de los estudiantes caen en el error de decir que: “𝑎 no puede ser negativo ya
que si fuese negativo seria – 𝑎”, dando a entender que los números negativos son solo
los que se acompañan por el signo (−).
CUANDO SE TRABAJA EN EL PLANO FORMAL
1. En el manejo del orden lineal.
Al trasladar el orden de los números naturales a otras situaciones se generan muchos de
errores ya que se copia una serie de procedimientos y la interpretación varía
dependiendo del problema, por ejemplo si se plantea el siguiente ejercicio “Carlos
tiene 9 lápices más que Andrés y Jhon tiene 5 lápices más que César, sabiendo que
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Carlos tiene 26 lápices, ¿cuántos marcadores tiene César?”, se identifica un error
causado por no realizar la inversión de las relaciones “mayor que” y “menor que”.
2. Las reglas del cálculo como formalismo vacío.
Son las reglas que resultan fáciles de olvidar y de confundir, un caso general es en el
que intervienen la regla de los signos que son funcionales en la multiplicación, pero que
en la adición y sustracción depende del orden de los números, ya que si a un valor le
resto uno más grande el resultado será negativo, y viceversa.
3. Los enteros estudiados y olvidados.
Se han encontrado casos en los cuales los estudiantes olvidan a los números negativos,
ya que en problemas donde se involucran, los estudiantes responden de manera errónea
o simplemente no responden.
A partir de la observación en el aula se evidencia la presencia de alguno de estos errores, en
una pequeña población del aula, ya que no se incentiva la construcción del conocimiento, y
se dedica un tiempo relativamente corto al formalismo, lo cual permite que se evidencien
ciertos errores citados en el plano formal, y suele excederse en la práctica de la temática, es
decir, la recurrencia constante y continua a la ejemplificación, y a la relación de problemas
cotidianos con el tema abordado sin tener claro el concepto ni la forma de proceder, lo que
hace que en varios estudiantes precisamente se evidencien varios errores del tipo de los
establecidos en el plano cotidiano.
Para evitar estos errores se sugiere que un docente debe en primer lugar, ser consciente que
sus estudiantes los evidencian durante su aprendizaje; identificar estos errores;
individualizarlos y tratar de guiar su clase evitando separar la parte algorítmica de la
relación con su entorno e intentar relacionar estos aspectos netamente cotidianos con ideas
un poco más abstractas, para que el estudiante se desligue de la relación directa con
entornos netamente reales, y desarrolle procesos de abstracción al momento de trabajar la
temática.
PROPUESTA
La propuesta que se planteara a continuación es una vía de acceso didáctica a las
operaciones con los números enteros. Según Bell, A. (1.982), se deja en claro que la
importancia del tema, no es únicamente en el hecho aislado de enseñar, aprender nuevos
números, sino, en las ideas que se han de manejar en su proceso. (Orden, doble signo,
relativo, referencia,...) las cuales constituyen un soporte fundamental para el desarrollo de
otras cuestiones matemáticas tales como la resolución de ecuaciones, funciones, etc. El
modelo que se propondrá a continuación, será el de las situaciones didácticas.
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¿CÓMO SERÁ EL PROCESO DE ENSEÑANZA?
El proceso de enseñanza que se tendrá en cuenta, se verá influenciado por la teoría de las
situaciones didácticas de G Brousseau y la ya mencionada clasificación hecha por Janvier
(1983). Esto se debe a la identificación de las condiciones de las situaciones de enseñanza y
el análisis de las acciones del estudiante y el profesor en relación al aprendizaje que se
produce (construcción del conocimiento).
TEORÍA DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS. BROUSSEAU G
Para G Brousseau el análisis de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas debe centrarse
en la naturaleza de las interacciones de los alumnos con una situaciones problemática
(interacciones del alumno con el medio en términos de juego). Este análisis permitirá
desarrollar una ingeniería didáctica particular de situaciones para el conocimiento que debe
aprenderse, en este caso las operaciones con el número entero, es decir, se caracterizarán
situaciones didácticas para los contenidos matemáticos.
De acuerdo con esto, las producciones de los alumnos serán fruto entonces, como lo llama
Brousseau, de una reflexión continua entre la situación y el conocimiento previo que genera
las primeras estrategias de resolución, para que de esta forma, este proceso permita que los
alumnos modifiquen, completen o rechacen el conocimiento relativo del número entero.
Según esto, G Brousseau define una situación didáctica de la siguiente manera: “...el
conjunto de las relaciones establecidas explicita y / o implícitamente entre el alumno o un
grupo de alumnos un cierto medio – que comprende instrumentos y objetos – y el profesor
con el fin de hacer que los alumnos se apropien de un saber constituido o en vía de
constitución” (Brousseau, 1.986, citado en J centeno, 1.988). Siguiendo este aporte teórico,
el proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas viene entonces caracterizado por la
forma de organizar las interacciones de los alumnos con la situación de una manera efectiva
(desde el punto de vista del objeto de la interacción: que los alumnos se apropien de un
determinado conocimiento).
LOS JUEGOS MATEMÁTICOS COMO HERRAMIENTA DE ENSEÑANZA
En la enseñanza de las matemáticas los juegos matemáticos constituyen una herramienta de
ayuda para el tratamiento de diversos contenidos del currículo de matemáticas
(CONTRERAS, 2004). Los juegos resultan de gran utilidad en el tratamiento de la
diversidad, como un recurso motivador para los alumnos con mayores dificultades y
también como origen de posibles investigaciones para alumnos destacados. También se ha
apreciado la relación intrínseca de muchos juegos con los procesos típicamente
matemáticos y con las estrategias de resolución de problemas.
El empleo de juegos como herramienta educativa permite plantear la cooperación como
práctica pedagógica en una situación como la actual, de fuerte individualismo, lo que
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resulta un acto valeroso y necesario para recuperar un valor formativo que la sociedad y la
escuela han arrinconado u olvidado” (Mario Lodi, 1997).
En particular los juegos permiten potenciar el uso de diversas estrategias como ensayo y
error, empezar por lo fácil, resolviendo un problema más sencillo, manipular y
experimentar, descomponer el problema en subproblemas, experimentar y extraer pautas
(inducir), resolver problemas análogos, seguir un método, hacer esquemas, tablas, dibujos;
hacer un recuento, utilizar un método de expresión adecuado, analizar cambios de estado,
sacar partido de la simetría, deducir y sacar conclusiones, conjeturar, analizar casos límite,
reformular el problema, empezar por el final (CONTRERAS, 2004).
Este documento basará su análisis en las posibilidades de los juegos como herramienta para
tratar de forma motivadora los contenidos en lo referente a las operaciones con números
enteros.
APLICACIONES
Para desarrollar este análisis se tendrán en cuenta las aplicaciones que tienen los números
enteros y sus operaciones con el entorno real del estudiante, es decir, la comparación entre
objetos, juegos, situaciones de la vida cotidiana, personas, etc., temperaturas, nivel del mar,
ganancias y pérdidas, puntuaciones negativas y positivas. En estas diversas circunstancias
deben utilizar los números enteros y sus operaciones dándoles una relación con su entorno,
y en determinadas circunstancias evidenciar procesos que ejecutan sin darse cuenta.
ANÁLISIS DE INSTRUCCIÓN
UNIVERSIDAD PEGAGÓGICA NACIONAL
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
DAVID ANDRÉS BELLO LÓPEZ
Actividad 1
Objetivo
Sumar puntuaciones con números enteros en una determinada situación.
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Descripción
ESCALANDO LA MONTAÑA
MATERIAL
Se presentará un tablero como el siguiente:
Con 40 casillas, en la cual se diferenciará a cada lado de estas el color que representa el
opuesto y el color que representa a su valor natural, al lado derecho estará el color azul y al
lado izquierdo estará el de color rojo, y a estos los separa una casilla que será de color
negro. Se jugará en grupos de 4.
Un par de dados, uno, el dado blanco numerado común, y dos, un dado sin numeración con
tres caras rojas y tres caras azules.
Y fichas de parqués, una para cada jugador.
INSTRUCCIÓN
Se le dará a cada estudiante la posición inicial, que será la casilla negra. Se jugará con dos
dados, uno normal, y otro con tres caras rojas y tres caras azules el dado normal significa el
número de casillas a correr y el dado de dos colores indica hacia donde correr. Luego de
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esto según lo que salga en los dados los estudiantes tendrán que registrar sus movimientos
en una tabla. Estos datos deben anotarse en una hoja guía, de tal forma que cuando obtenga
un valor rojo, sumará el opuesto del valor obtenido en el dado blanco al valor que se lleva,
y cuando se obtenga uno azul se sumará el valor positivo.
Gana el primero en llegar a la cima de la montaña y cuyas cuentas coincidan con el valor
final.
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Actividad 2
Objetivo
Comprobar la relación de orden entre números enteros a través de operaciones
matemáticas.
Descripción
SALTO DE CABALLO
MATERIAL
Se entregará la siguiente guía:
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Donde la actividad basará en el siguiente gráfico:
19 -9 13 15 14 -18 17 9 20
9 -1 10 5 12 8 15 2 6
7 14 11 0 4 16 -10 18 -16
-3 8 13 15 1 2 6 19 -1
-17 -4 -5 -2 -1 8 17 3 -14
7 -18 -10 -13 -8 -12 12 4 -11
-14 9 6 -15 -19 11 4 -11 1
-20 8 -16 4 5 -9 2 -8 -5
INSTRUCCIÓN
Siguiendo los movimientos del caballo de ajedrez se debe avanzar desde el −20 al +20 de
forma tal, que la casilla a la que se salte siempre contenga un número mayor que el de la
que se encuentra. En cada paso deberá comprobar a través de la operación que considere
apropiada si efectivamente es mayor o no el número.
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Actividad 3
Objetivos
Sumar fracciones para obtener números enteros.
Operar enteros y comprobar las mismas operaciones con las fracciones que los formaron.
Descripción
COMPLETANDO ENTEROS CON FRACCIONES
MATERIAL
Para el juego se utilizará la siguiente baraja:
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28
29
30
31
INSTRUCCIÓN
Se necesitará una baraja para cada grupo. Cada grupo estará compuesto de 4 alumnos.
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Se trata de completar enteros (1, 2, 3, …) usando las fracciones que contienen varias cartas.
Se reparten todas las cartas. Cada jugador roba una carta al anterior e intenta completar un
número entero. Si lo consigue, deja las cartas que use sobre la mesa. Debe escribir la suma
de las fracciones con las que obtenga un entero.
Gana el primer jugador que se queda sin cartas.
Seguido esto cada jugador propondrá una composición de operaciones con cada uno de los
números enteros que formó y la solucionará, y el compañero de la derecha hará lo mismo,
pero esta vez será con las fracciones que obtuvo el anterior jugador, y deberá corroborar si
es o no ese el resultado.
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Actividad 4
Objetivos
Operar enteros y comprobar las mismas operaciones con las fracciones que los formaron.
Descripción
AJEDREZ OPERACIONAL
MATERIAL
Para el juego se utilizarán tres tableros de ajedrez a escala humana:
Tomado como referencia de eeudi0910-013.blogspot.com
INSTRUCCIÓN
Se formarán grupos de 6 estudiantes, y se distribuirán de a dos grupos por tablero, donde
elegirán entre el movimiento del caballo y el del peón. En cada casilla habrá una operación
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de números enteros compuesta por productos de los mismos. El juego consistirá en que una
vez los dos grupos se hallan puesto de acuerdo con el movimiento a seguir, deberán elegir a
un jugador, quien se moverá en el tablero y deberá resolver la operación de la casilla
destino en un tiempo límite de un minuto, si no lo hace deberá devolverse a la casilla
anterior y deberá ser reemplazado por otro estudiante del grupo, el jugador que salga no
podrá entrar de nuevo; el primer grupo en llegar al otro lado del tablero gana la partida, ó
quien no resuelva el ejercicio, y no tenga más cambios perderá inmediatamente.
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Actividad 5
Objetivos
Aplicar conocimientos de operaciones con números enteros (suma, resta, multiplicación y
división) en la resolución de problemas
Descripción
LABERINTO OPERACIONAL
MATERIAL
Para el juego se utilizarán el siguiente laberinto:
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INSTRUCCIÓN
El laberinto se jugará en grupos de 4 estudiantes, quienes deberán enumerarse para jugarlo.
Durante el desarrollo del juego el estudiante se encontrará con una serie de números los
cuales corresponderán a una operación con números enteros, si no la resuelve deberá volver
al anterior número encontrado y cederá el turno, en caso de que sea el primer número
deberá volver al inicio. Quien termine primero el laberinto ganará el juego.
35
ANÁLISIS DE ACTUACIÓN
El ejercicio se llevó a cabo el 10 de mayo de 2013, donde el profesor dejó a mi cargo el
curso. Para éste análisis se aplicaron las actividades 2 y 4, salto de caballo y ajedrez
operacional respectivamente, donde se observó una actitud menos evasiva e indiferente y
más participativa durante el desarrollo de las diversas operaciones que se plantearon, pero
salieron a flote diversas complicaciones que se sospechaban durante el periodo de
observación que en el caso de la actividad individual afectó el proceso de varios
estudiantes, y en la actividad en grupo retrasó un poco o erró la respuesta. Cabe aclarar que
todo el ejercicio se llevó a cabo bajo una condición evaluativa, es decir, el trabajo que
produjeron tendría una nota apreciativa referente el proceso que llevó cada uno de ellos.
La primera actividad en llevarse a cabo fue la del salto de caballo, donde se evidenció en
gran parte de los estudiantes un erróneo proceder al momento de hacer el movimiento en
“L” ya que unos partían del número en que quedaron al momento de hacer el primer
movimiento, y otros partían desde una casilla adyacente a esta, por lo que se omitieron
estos aspectos siempre y cuando se relacionaran los últimos números de cada “L”; también
se observó que hubo problemas desde la forma de la misma “L”, es decir, la “L” tendría la
siguientes formas:
Pero varios niños las construían con cuatro cuadros y dos en la que debía ser la parte más
larga, e incluso no mantenían este diseño, sino, que los tomaban a conveniencia; se decidió
no ignorar esto porque la explicación fue demasiado clara.
36
Teniendo en cuenta esto se deduce que el imponer una calificación pudo influenciar en el
desarrollo de la actividad, por lo que se intuye que muchos de los estudiantes realizaron
esta actividad bajo presión. Pero todo esto no fue mayor obstáculo para hallar las falencias
de los estudiantes las cuales se remontan al concepto mismo de número entero, pasando por
la relación de orden, el valor absoluto hasta llegar a la implementación de varias
operaciones matemáticas, como la suma, en casos absurdos donde la misma no justifica el
problema trabajado.
Dichos errores radican esencialmente en la justificación de por qué el siguiente número
elegido es mayor, ya que se observan justificaciones con la recta numérica Janvier (1983)
como la siguiente:
Donde el niño ignora cuál es la condición para que un número entero sea mayor que otro
utilizando la recta numérica. También se evidencian errores como el siguiente:
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Donde el niño no es consciente que un número negativo siempre es menor que uno positivo
sin importar cuál sea su valor.
La relación de orden también tuvo sus traspiés no solo entre un número negativo y uno
positivo, también tuvo lugar entre números del mismo signo:
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Y se observaron situaciones donde los niños querían justificar que un número es mayor que
otro a través de una suma:
39
Y se presentaron varias respuestas inesperadas como estas:
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Hubo niños que justificaron de manera muy acertada:
41
Al final se puede concluir para esta actividad que a pesar de la motivación expresada por
los niños, el hecho de evaluar el ejercicio pudo influir negativamente en el desarrollo de las
misma condicionando un poco de esta manera los resultados obtenidos.
La segunda actividad, se llevó a cabo en el patio de la institución, el cual tiene tres
ajedreces a escala humana de los cuales utilizamos dos, donde se evidenció un excelente
trabajo en equipo, ya que presentaban el resultado de las operaciones compuestas de forma
muy rápida, y los errores que presentaban eran “minúsculos”, es decir, erraban algún
símbolo o en una multiplicación sencilla, pero no se presentaron errores con frecuencia ni
del tipo de relación de orden, todo parecía indicar que el trabajo en equipo potenciaba la
rapidez y la certeza en los cálculos. Además la actitud de los estudiantes hacia la actividad.
CONCLUSIONES Y SUGERENCIAS
En conclusión los resultados obtenidos se pueden clasificar en dos partes, los pros y los
contras descritos a continuación:
PROS
El trabajo en grupo aumenta la participación de los estudiantes, ya que al trabajar en equipo
ciertos estudiantes suplen las deficiencias que pueden presentar otros niños, es decir, se
pone a prueba la fusión de varias perspectivas para resolver determinados ejercicios donde
la actitud juega un importantes rol (Mario Lodi, 1997), y precisamente la utilización de
juegos como recursos didáctizables cambia la perspectiva que tienen los niños (aunque sea
42
durante la actividad) sobre el aprender matemáticas, y en estas edades resulta muy útil y
práctico el enseñar matemáticas ya que el estudiante va a querer aprenderlas y no será
completamente una obligación, desarrollando de esta manera potenciar el uso de diversas
estrategias como ensayo y error (evidenciado cuando los niños erran en sus respuestas e
insisten hasta encontrar la respuesta correcta durante la actividad), empezar por lo fácil (un
factor común que se observó fue el hecho de empezar por las operaciones más fáciles en las
compuestas), descomponer el problema en subproblemas (se evidenció en el desarrollo de
las operaciones del ajedrez), seguir un método (el método radica en la algoritmización
planteada por el docente la cual se ve reforzado por la acción en grupo), deducir y sacar
conclusiones, conjeturar, analizar casos límite, reformular el problema, empezar por el final
(CONTRERAS, 2004).
Durante el desarrollo de estas actividades se evidencia que si bien se encontraron falencias,
no fueron muchas lo que permite concluir que son fácilmente manejables y se pueden
superar sin mayor complejidad.
CONTRAS
Se presentaron varias falencias de las cuales se pueden identificar los siguientes errores
(Iriarte 1991):
La suma como aumento y la sustracción como disminución.
Los estudiantes aún tienen dificultades al interpretar expresiones como “¿Puedo
encontrar un número que sumado con 32 me dé 5?” y muchos aún no tienen claro
el proceso que sucede al adicionar números negativos y al encontrar expresiones
como “(-3)-(-8)”.
El orden entre los negativos es el inverso que el orden los naturales.
Algunos de los estudiantes aún no tienen clara esta “propiedad” y se encuentran
errores como este:
De esta manera termino este trabajo de investigación anexando las pruebas recogidas en un
archivo PDF de nombre “Anexos” y bibliografía digital en carpeta “Bibliografía Digital”.
43
BIBLIOGRAFÍA
VARGAS, JIMENO, IRIARTE. INMACULADA, MANUELA, MARÍA. “Números
enteros”. síntesis 1990.
CID. EVA. “La investigación didáctica sobre los números negativos: estado de la
cuestión”. www.unizar.es/galdeano/preprints/2003/preprint25.pdf . Documento PDF.
Visto por última vez el 09 de abril de 2013.
BRUNO, ALICIA. “La enseñanza de los números negativos: formalismo y significado”
dmle.cindoc.csic.es/pdf/GACETARSME_2001_04_2_05.pdf . Documento PDF. Visto
por última vez el 09 de Abril de 2013.
LUQUE, MORA, TORRES. CARLOS, LYDA, JOHANA. “Una presentación de los
números negativos”. Documento PDF.
MEN. “Estándares básicos de competencias en matemáticas”.
http://www.mineducacion.gov.co/cvn/1665/articles-116042_archivo_pdf2.pdf .
Documento PDF. Visto por última vez el 09 de abril de 2013.
RAMOS, EDUARDO. “Matemáticas Proyecto Épica”.
ocw.innova.uned.es/epica/matematicas/EPICA%20Matematicas.pdf . Documento
PDF. Visto por última vez el 09 de abril de 2013.
GODINO. JUAN. “Investigación sobre fundamentos teóricos y metodológicos de la
educación matemática”.
www.ugr.es/~jgodino/fundamentos_teoricos/fundamentos_tem.pdf . Documento PDF.
Visto por última vez el 09 de abril de 2013.
BERENGUER, COBO, FLORES, MORENO, NAVAS, TOQUERO. LUIS, BELÉN,
PABLO, ANTONIO, JUANA, MANUEL. “Trabajo cooperativo en clase de
matemáticas”.
http://www.google.com.co/url?sa=t&rct=j&q=trabajo%20en%20equipo%20en%20la
s%20matem%C3%A1ticas&source=web&cd=4&ved=0CEAQFjAD&url=http%3A
%2F%2Fwww.ugr.es%2F~pflores%2Ftextos%2Fotros%2FLaXSanFernando.pdf&ei
=czilUc_AGvHp0QGA9oGQAg&usg=AFQjCNHPvbSYRquWKC_6922GUOBMCEu
CSA&bvm=bv.47008514,d.dmQ . Documento PDF. Visto por última vez el 09 de abril
de 2013.