1 numeros reales 8

1. NUMEROS REALES1.1. NÚMEROS NATURALES.1.1.1. Definición.1.1.2. Operaciones.

1.2. NÚMEROS ENTEROS.1.2.1. Definición.1.2.2. Orden.1.2.3. Operaciones

1.3. NÚMEROS RACIONALES.1.3.1. Definición.1.3.2. Orden.1.3.3. Expresión decimal.1.3.4. Equivalencias.1.3.5. Operaciones fundamentales.1.3.6. Razones y proporciones.

1.4. NÚMEROS IRRACIONALES.1.4.1. Definición.

1.5. NÚMEROS REALES.1.5.1. Definición.1.5.2. Representación geométrica.1.5.3. Definición de igualdad y sus propiedades.

1.6. APLICACIONES.1.6.1. Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.)1.6.2. Máximo Común Divisor. (M.C.D.)1.6.3. Potencia y radicación.1.6.4. Notación científica.

Tras la primera Revolución del Hombre, la del Neolítico, cuando en tierras del Próximo Oriente surgían las primeras civilizaciones de agricultores y las primeras ciudades, también hizo su aparición una ciencia trascendental para el hombre: la Aritmética.

Efectivamente, el hombre tuvo enseguida necesidad de contar, medir y calcular sus pertenencias, ya fueran cosechas, campos, o el tiempo. Ahí empezaron en forma rudimentaria los números y los usos de las cuatro reglas que más tarde se estudiarían bien y teorizarían. El desarrollo de esta ciencia, la base primera de las matemáticas, ya alcanzó notable desarrollo en la antigüedad, pero ha continuado su evolución hasta nuestros días. De hecho la estadística, tan utilizada en la actualidad se comenzó a usar masivamente a partir de la tercera década del Siglo XX.

La Aritmética es, con seguridad, la parte de las matemáticas de empleo más generalizado e inmediato para el hombre; es obvio el uso universal de las cuatro

NÚMEROS REALESCapitulo 1

N Ú M E R O S R E A L E S

reglas o de los sistemas de medición. Sin embargo, la aparente sencillez y conocimiento de la aritmética entra también en campos más complejos como la radicación, la teoría de los números (reales, complejos, etc.), los logaritmos o las derivadas, hasta alcanzar niveles de cálculo de la matemática superior.

Los conocimientos de las matemáticas han tenido una influencia determinante en la Ciencia y Sociedad y en los avances científicos y tecnológicos; cuando el ser humano se hizo sedentario, surgió la necesidad de contar sus bienes (pieles, flechas, cosechas, etc.) para esto pudo utilizar “piedritas” o “rayitas” para simbolizar alguna cosa u objeto de su propiedad.

Griegos y romanos no tuvieron no tuvieron una adecuada manera de representar los números, lo que les impidió hacer mayores progresos en el cálculo matemático. Los hindúes, en cambio, habían desarrollado un práctico sistema de notación numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de las cifras. Los árabes dieron a conocer el sistema en Europa a partir del Siglo VII d.C. Por eso, nuestras cifras se llaman indo arábigas.

1.1 NÚMEROS NATURALESEn el desarrollo de las culturas fue evolucionando esta forma primitiva de representar objetos o cosas reales a través de símbolos naciendo así el primer conjunto de números llamados números naturales, estos números son utilizados para contar, se representan mediante una “N”.

1.1.1 DefiniciónNúmero natural es aquello que tienen en común los conjuntos coordinables entre sí. Así, por ejemplo los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y B = {1, 2, 3, 4, 5}; tienen en común la propiedad de estar constituidos por cinco elementos. Diremos en este caso, que las conjuntos A y B son representantes del número natural 5, o bien representan la cantidad cinco.

De modo similar, todos los conjuntos que poseen un solo elemento, es decir, los conjuntos unitarios, representarían al número 1, los conjuntos con dos elementos representarán al número 2 y así sucesivamente. El conjunto vacío, o sea, los que no poseen ningún elemento, representará al número 0 (cero).

De este modo obtenemos la sucesión de números la sucesión de número naturales. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, … que es una sucesión con infinitos términos.

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6…}

El matemático Richard de Dekind, decía que el hombre solo necesitaba los número naturales, los demás eran creación del mismo hombre; obligados por la necesidad el ser humano tuvo que ir introduciendo otros conjuntos de números.

1.1.2 Operaciones

1 - 2


Las operaciones aritméticas son siete: suma o adición, resta o substracción, multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación.

Las operaciones aritméticas se clasifican en operaciones de composición o directas y operaciones de descomposición o inversas.

La suma, la multiplicación y la potenciación son operaciones directas porque en ellas, conociendo ciertos datos, se halla un resultado.

La resta, la división, la radicación y la logaritmación son operaciones inversas.

La resta es inversa a de la suma; la división es inversa a la multiplicación; la radicación y la logaritmación son inversas de la potenciación. Estas operaciones se llaman inversas porque en ellas, conociendo el resultado de la operación directa correspondiente y uno de sus datos, se halla el otro dato.

1.2 NÚMEROS ENTEROS

1.2.1 DefiniciónSi efectuamos la unión del conjunto que contiene {0} con el conjunto N de los números naturales, obtenemos el conjunto de los “números enteros positivos”.

Al incluir un elemento aditivo inverso por cada número natural, obtenemos el conjunto de los “números enteros negativos”.

La unión de los dos conjuntos anteriores, da como resultando el conjunto de los “números enteros”, denotados por:

Z = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}

1.2.2 OrdenEl abecedario numérico cuenta con sólo diez números a los que también llamamos dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. La posición en la cual los colocamos al combinarlos hace posible crear un número ilimitado de cantidades. El lugar que ocupa un dígito al formar un número lo nombramos según la cantidad que representa. Al dígito que ésta más a la derecha le llamamos la unidad, al que le sigue a la izquierda, decena, al siguiente centena, etc. En la siguiente tabla se muestra la posición de los dígitos y la cantidad que representan.

Cente

na

de m

illón

Dece

nas

de m

illón

Unid

ad

es

de m

illón

Cente

nas

de m

illar

Dece

nas

de m

illar

Unid

ad

es

de m

illar

Cente

nas

Dece

nas

unid

ades

5 Cinco

5 Cincuenta

5 Quinientos

5 Cinco mil

5 Cincuenta mil

5 Quinientos mil

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5 Cinco millones

5 Cincuenta millones

5 Quinientos millones

Una de las funciones del 0 es ayudarnos a identificar la posición que un dígito tiene ya que cuando un número no viene acompañado de otro número para conocer la posición que ocupa y así saber la cantidad que representa, añadimos ceros.

Unidades 5 CincoDecenas 50 CincuentaCentenas 500 QuinientosUnidades de millar 5,000 Cinco milDecenas de millar 50,000 Cincuenta milCentenas de millar 500,000 Quinientos milUnidades de millón 5,000,000 Cinco millonesDecenas de millón 50,000,000 Cincuenta millonesCentena de millón 500,000,000 Quinientos millones

ORDEN DE LAS OPERACIONES

1. Se simplifica primero el contenido de los símbolos de agrupamiento más internos; luego los siguientes y así sucesivamente.

2. La multiplicación y la división se efectúan antes de la adición y sustracción. (en ambos casos, se procede de izquierda a derecha)

Evaluar cada expresión:

No se resta el 2 del 10, primero se efectúa la multiplicación.

Simplifica primero lo que está entre paréntesis.

1 - 4


1.2.3 OperacionesLa primera operación aritmética que efectuaron civilizaciones primitivas fue la adición, utilizando objetos concretos que estuvieran al alcance de la mano. Así, o bien se efectuaban las sumas, o bien formaban nudos en una cuerda, como hacían los Incas.

Unir o sumar varios conjuntos consiste en reunir en un solo conjunto todos los elementos de todos los conjuntos.

Los signos aritméticos de sumar y restar se cree son debidos a los antiguos comerciantes que marcaban con ello las mercancías que compraban y vendían para indicar de este modo contenían mayor o menor cantidad de la pactada en el intercambio.

ADICIÓN O SUMA DE NÚMEROS NATURALES.Para sumar dos cantidades existen un algoritmo (es un procedimiento o una receta, que si seguimos cuidadosamente nos dará la solución del problema) que nos permite hacerlo en forma rápida

Diremos que el número natural a, que representa el número de elementos del conjunto unión A y B es la suma de los números naturales a y b y lo representaremos con la notación:

c = a + b

Así, por ejemplo, la suma de 2 y 5 es 2 + 5 = 7 y la suma de 4, 6 y 3 es 4 + 6 + 3 = 13. En el caso particular de que los números naturales que se sumen sean todos ellos iguales a 1, el número de sumandos coincidirá con la suma.

Si sumamos cualquier número natural x con el número cero, el resultado que se obtendrá será también x, es decir que cualquier número natural permanece inalterado si se le suma el número cero. 0 sea x + 0 = x

SUSTRACCIÓN O RESTA DE NÚMEROS NATURALES

La sustracción es la operación aritmética opuesta a la adición y consiste en obtener uno de los sumandos, que recibe el nombre de resta o diferencia, conocida la suma que recibe el nombre de minuendo y el otro sumando, que recibe el nombre de sustraendo.

Si representamos el minuendo con la letra m, el sustraendo con la letra s y la resta con la letra r tendremos que:

m-s=r

donde el signo menos (-) entre el minuendo y el sustraendo indica que ambos deben de restarse. Para poder realizar esta operación en los números naturales el minuendo debe ser mayor que el sustraendo. Obviamente, de acuerdo con la definición que se acaba de dar, el minuendo coincidirá siempre con la suma del sustraendo y la diferencia. Es decir r=m-s.

MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO DE NÚMEROS NATURALES

1 - 5


La multiplicación resulto una operación aritmética muy compleja para las civilizaciones antiguas debido a sobre todo a las limitaciones impuestas por el uso de sistemas de numeración poco prácticos. Para efectuar multiplicaciones los pueblos mesopotámicos utilizaron tablas cuadradas de los números naturales que fueron imitadas por los griegos.

La multiplicación es una operación aritmética que consiste en hallar un número llamado producto a partir de dos números llamados multiplicando y multiplicador que indican el número que hay que multiplicar y el número de veces que multiplicarlo, respectivamente.

Si representamos el multiplicando con la letra m, el multiplicador con la letra n y el producto con la letra p.

m x n = p o bien m n = p

donde los signos por (x o ) situados entre el multiplicando y el multiplicador indican que ambos números deben multiplicarse. El multiplicando y el multiplicador reciben también el nombre de factores.

Por ejemplo, se suele escribir xy para indicar que debe multiplicarse x por y. Análogamente se escribe 12mn para indicar que se debe multiplicar 12xmxn.

Así pues, la multiplicación de números naturales puede considerarse como una suma de tantos sumandos iguales al multiplicando como indique el multiplicador.

En el caso de que alguno de los factores se cero, el producto también será cero, y en el caso de que alguno de los factores sea igual a la unidad del producto coincidirá con el otro factor, puesto que al multiplicarlo una sola vez permanecerá invariable.

Ahora bien, en el caso en que tanto el multiplicando como el multiplicador sean ambos mayores que la unidad, el producto obtenido será siempre mayor que cualquiera de los factores.

DIVISIÓN O COCIENTE DE NÚMEROS NATURALES

De las operaciones elementales de la aritmética, sin duda la división es la más complicada. Por tanto no es de extrañar que el proceso seguido desde las primeras representaciones dadas por los babilonios e hindúes hasta las modernas notaciones de la división haya sido largo y complejo. El uso de la raya horizontal para indicar la división entre dos números lo divulgó Fibonacci en el Siglo XIII, que lo tomó de manuscritos árabes.

La división es la operación aritmética inversa de la multiplicación y su objeto consiste en hallar uno de los factores, que recibe el nombre de divisor, y el producto, que recibe el nombre de dividendo.

Si representamos el dividendo con la letra D, el divisor con la letra d y el cociente con la letra c tendremos:

D : d = c D / d = c D d = c

1 - 6


Donde los signos (:, / o ) situados entre el dividendo y el divisor indican que ambos deben de dividirse.

Se dice que la división es exacta cuando el dividendo es número exacto de veces del divisor.

Por ejemplo, la división 20:5=4 es exacta puesto que 20 es múltiplo de 5, ya que lo contiene un número exacto de veces.

Por el contrario, se dice que la división no es exacta cuando el dividendo no es múltiplo del divisor. Así, por ejemplo, la división 19:5, no es exacta puesto que 19 no es múltiplo de 5, ya que no los contiene un número exacto de veces.

Resto por defecto de una división no exacta es la diferencia entre el dividendo y el producto de divisor por el cociente por defecto.

Si consideramos la división 19:5, habíamos visto que el cociente por defecto era 3. Por consiguiente, el resto por defecto será 19 - (5 x 3) = 4.

En general, si n es el cociente por defecto y r el resto por defecto tendremos que:r = D – dn

y por tantoD = dn + r

Para dividir un número por la unidad seguida de ceros se separan de su derecha son un punto tantas cifras como ceros acompañen a la unidad.Así, por ejemplo, si dividimos 843:100 el resultado será 8.43, donde puede observarse que el punto se ha corrido dos lugares. Análogamente tendremos que 8000:10 = 800.

Obviamente en el caso de que el divisor se igual a la unidad el cociente coincidirá con el dividendo y en el caso de que el dividendo sea cero el cociente también será cero.

En cambio, si el divisor es mayor que la unidad el cociente será menor que el dividendo. Así, por ejemplo, si dividimos 24:2 = 12 podemos comprobar que 12<24.

Por el contrario, si el divisor es menor que la unidad, en cuyo caso no trabajaríamos con números naturales, el cociente obtenido será mayor que el dividendo. Así, por ejemplo, si dividimos 6:0.5 = 12 podemos comprobar que 12>6.

1.3 NÚMEROS RACIONALES.Las civilizaciones antiguas (egipcios, babilonios, griegos,… ) conocieron las fracciones desde tiempos muy remotos. Al descifrar los jeroglíficos egipcios los egiptólogos encontraron resueltos muchísimos problemas con fracciones sobre cuestiones de la vida cotidiana en el antiguo Egipto, tales como la agrimensura o la construcción de pirámides.

1 - 7


1.3.1 DefiniciónTal como vimos, la división exacta de números naturales no resulta siempre posible puesto que no siempre existe un número natural que al ser multiplicado por divisor coincida con el dividendo.

Por lo tanto, nos vemos obligados a ampliar el campo numérico introduciendo las fracciones o quebrados. Algunos, también dan el nombre de números racionales. Un número racional es aquel que puede expresarse como cociente de dos enteros. En el conjunto de los racionales están incluidos los enteros positivos y negativos, el cero y las fracciones positivas y negativas.

Una fracción o quebrado es un número representado por dos números naturales

(a, b) que se acostumbra a escribirse como . El número a se llama numerador y

el número b se llama denominador. El denominador no puede ser nunca cero.

Toda fracción representa el cociente de una división en la cual el numerador representa el dividendo y el denominador representa al divisor. Así por ejemplo,

son fracciones:

Uno de los aspectos más significativos de la noción de fracción es la llamada “parte de unidad”. El denominador de una fracción indica el número de partes en que se ha divido la unidad y el numerador el numero de partes que se toman.

Por ejemplo, en la fracción , el denominador 8 indica que la unidad se ha

dividido en ocho partes iguales y el numerador 5 indica que se han tomado 5 de esas 8 partes iguales.

Si la unidad la dividimos en dos partes iguales esas partes se llaman medios, si la dividimos en tres partes iguales las partes reciben el nombre de tercios, si la dividimos en cuatro partes iguales las llamamos cuartos, si la dividimos en cinco partes iguales las llamamos quintos, si la dividimos en seis partes iguales las llamamos sextos, si la dividimos en siete partes iguales las llamamos séptimos, si la dividimos en ocho partes las llamamos octavos, si la dividimos en nueve partes las llamamos novenos, en diez décimos, en once onceavos, si la dividimos en doce partes iguales las llamamos doceavos, y así sucesivamente.

Así por ejemplo, son fracciones: , se leerán del modo siguiente:

cuatro séptimos, seis octavos, tres onceavos y siete décimos.

CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES

Comunes, son aquellas cuyo denominador no es la unidad seguida de ceros. Así,

por ejemplo , son fracciones comunes.

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Decimales, son aquellas cuyo denominador es la unidad seguida de ceros. Así

por ejemplo , son fracciones decimales.

Propias, son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Así por

ejemplo , son fracciones propias.

Impropias, son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Así por

ejemplo , son fracciones impropias.

Iguales a la unidad, son aquellas cuyo numerador es igual al denominador. Así

por ejemplo , son fracciones iguales a la unidad.

Números mixtos, son aquellas que constan de una parte entera y una parte

fraccionaria. Así por ejemplo , son números mixtos. Los

números mixtos son otra forma de representar las fracciones impropias.

1.3.2 OrdenLos números fraccionarios gozan de una serie de importantes propiedades que vamos a detallar a continuación:

a) Si varias fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tenga mayor numerador.

Consideremos las fracciones , y . Como se ha dicho anteriormente,

toda fracción representa una división en la cual el denominador es el divisor. Por consiguiente, si el divisor, es decir, el numerador, es el mismo será mayor aquella en que el dividendo es decir, el numerador, sea mayor.

En el caso que nos ocupa tendríamos: > >

b) Si varias fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador.

Consideremos por ejemplo las fracciones , y . Puesto que toda

fracción representa una división entre numerador y denominador, si el numerador es el mismo será mayor el cociente cuanto menor sea el divisor.

Por lo tanto, en el caso que nos ocupa tendremos > > .

c) Si los dos términos de una fracción se multiplican o se dividen por un mismo número, el valor de la fracción no varía.

1 - 9


Consideremos la fracción . Si multiplicamos ambos términos por 5 la

nueva fracción será y puede observarse que el cociente

20:40=0.5 es el mismo que el cociente 4:8=0.5

Si en vez de multiplicar ambos términos los dividiéramos, por ejemplo por

2, la nueva fracción sería: y puede observarse que el cociente

2:4=0.5es el mismo que el cociente 4:8=0.5

Al comparar cada par de números racionales, se establece un orden que se indica con los símbolos mayor que (>) y menor que (<).

1.3.3 Expresión decimalLos números con decimales los obtuvimos al dividir dos números enteros cuyo resultado no es otro entero. La forma exacta, y por tanto, más profesional de manejar un número fraccionario es dejándolo como fraccionario, es decir, no efectuando la división para obtener un número con decimales.

Para escribir un quebrado en notación decimal se sigue el principio fundamental de la numeración decimal, según el cual toda cifra escrita a la derecha de otra representa unidades diez veces menores que las que representa la anterior.

se escribirá 0.3 se escribirá 0.17 se escribirá 0.031

Regla para escribir un decimalSe escribe la parte entera si la hay, y si no la hay, un cero y en seguida el punto decimal. Después se escriben las cifras decimales teniendo cuidado de cada una ocupe el lugar que le corresponde.

E j e m p l o

Escribir setenta y cinco milésimas:

Escribimos la parte entera cero y en seguida el punto decimal. Hecho esto, ponemos un cero en el lugar de las décimas, porque no hay décimas en el número dado, a continuación las centésimas que hay en 75 milésimas que son 7, y después, las cinco milésimas y quedará: 0.75

E j e m p l o

Escribir 6 unidades 817 diezmilésimas:

Escribimos la parte entera 6 y en seguida el punto decimal. Ponemos cero en el lugar de las décimas; 8 en el lugar de las centésimas 1 en el lugar de las milésimas y 7 en el lugar de las diezmilésimas y tendremos: 6.0817

1 - 10


NomenclaturaPara leer un decimal se enuncia primero la parte entera si la hay y a continuación la parte decimal, dándoles el nombre de las unidades inferiores.

3.18 se lee: Tres unidades, dieciocho centésimas.4.0019 se lee: Cuatro unidades, diecinueve diezmilésimas.0.08769 se lee: Ocho mil setecientos sesenta y nueve cienmilésimas

1.3.4 EquivalenciasDos fracciones son equivalentes cuando el producto obtenido al multiplicar el numerador de la primera por el denominador de la segunda coincide con el producto obtenido al multiplicar el numerador de la segunda por el denominador de la primera.

E j e m p l o

Comprobar que las fracciones son equivalentes de y .

y como puede observarse ambos productos son iguales.

La equivalencia de fracciones constituye una relación de equivalencia. En efecto, vamos a comprobar que se cumplen las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

Propiedad reflexiva: Toda fracción es equivalente a sí misma. En efecto ,

donde el signo significa “es equivalente a”, puesto que

Propiedad simétrica: Si una fracción es equivalente a otra, ésta es equivalente

a la primera. En efecto, , debe cumplirse que . Por lo

tanto también se cumplirá que , puesto que esto significa que

, que es la misma igualdad que hemos descrito anteriormente.

Propiedad transitiva: Si una fracción es equivalente a otra y ésta es equivalente a una tercera, la primera fracción es equivalente a la

tercera. En efecto, si , debe cumplirse que . Si además

, debe cumplirse que . Se trata de demostrar que

Multiplicando miembro a miembro las igualdades, obtendremos:

Dividiendo ambos miembros por dc resultará: , por lo cual

pone de manifiesto que , tal como queríamos demostrar.

1 - 11


Por lo tanto la equivalencia de fracciones constituye una relación de equivalencia, de modo que el conjunto de las fracciones queda dividido en subconjuntos o clases de equivalencia formadas por todas las fracciones equivalentes entre sí.

Cada una de las clases de equivalencia constituye un número fraccionario, puesto

que todas ellas son equivalentes. Damos como ejemplo: .

En cambio las fracciones , son representantes de distintos números

fraccionarios, puesto que no son equivalentes.

REDUCCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

Basándose en las propiedades de las fracciones, vamos a comentar diversos procedimientos para reducir y simplificar fracciones.

a) Para convertir un número mixto en fracción impropia se multiplica la parte entera por el denominador y al producto resultante se le añade el numerador. El resultado obtenido es el numerador de la fracción impropia. El denominador de la fracción impropia es el mismo denominador del número mixto.

Convertir el número mixto en fracción impropia:

b) Para convertir una fracción impropia en número mixto se divide el numerador entre el denominador. Si la división es exacta sólo hay parte entera y esta coincide con el cociente de la división. Si la división no es exacta, el cociente coincide con la parte entera del número mixto, el resto coincide con el numerador y el divisor con el denominador.

Convertir en número mixto la fracción impropia . Efectuemos la división

30:6=5, como la división es exacta =5

Convertir en número mixto la fracción impropia . Efectuemos la

operación 17= 9x1+8, como la división no es exacta tendremos

c) Para convertir un número entero en una fracción de denominador determinado. Se multiplica el entero por el denominador. El producto obtenido es el numerador de la fracción y el denominador es el indicado “a priori”.Convertir el número 5 en fracción de nominador 9. Se trata de escribir 5

como . Para ello hacemos a = 5 x 9 = 45 y tendremos que

d) Para convertir un fracción en otra fracción equivalente cuyos términos sean mayores, se pone como denominador el indicado y como numerador el

1 - 12


producto del numerador inicial por el cociente obtenido al dividir los denominadores.

Convertir en otra equivalente de denominador 28. Se trata de escribir

como . Para ello hacemos a = 5 x 28:7 = 20, o sea:

e) Para convertir una fracción en otra fracción equivalente cuyos términos sean menores, se pone como denominador el indicador y como numerador el cociente entre el numerador inicial y el cociente obtenido al dividir los denominadores.

Convertir la fracción en otra fracción equivalente cuyo denominador sea

8. Se trata de escribir como . Para ello hacemos a=15:

(40:8=)=15:5=3. O sea

Se dice que una fracción es irreductible cuando el numerador y el

denominador son números primos entre sí. La fracción es irreductible,

puesto que 7y 8 son números primos entre sí.

1.3.5 Operaciones fundamentalesLas reglas que usamos en la actualidad para efectuar operaciones con fracciones son debidas a los matemáticos hindúes y datan de los Siglos VI y VII (d.C.). En Europa fueron introducidas por los árabes a través de España.

SumaEn la suma de fracciones pueden presentarse diversos casos que vamos a explicar a continuación:

a) Para sumar fracciones que tengan igual denominador se suman los numeradores y el resultado obtenido es el numerador de la suma. El denominador de la suma es el mismo que el de los sumandos.

E J E M P L O

Sumar las fracciones

SOLUCIÓN: Tendremos

Simplificando por 2 numerador y denominador, obtendremos:

Podemos, convertir la fracción impropia en número mixto , que es el

resultado final de la suma.

E J E M P L O

1 - 13



SOLUCIÓN:

b) Para sumar fracciones que tengan distinto denominador se reducen a un común denominador y a continuación se opera tal como se ha indicado en el inciso anterior.

E J E M P L O


SOLUCIÓN: Vamos a encontrar, en primer lugar, el mínimo común denominador

12 2 16 2 18 26 2 8 2 9 33 3 4 2 3 31 2 2 1

112 = 223 16 = 24 18 = 232

Por lo tanto el mínimo común múltiplo de 12, 16 y 18 será 2432 = 144, y éste será el mínimo común denominador.

Así pues:

Convirtiendo la fracción impropia obtenida en número mixto tendremos:

, que es el resultado final de la suma.

E J E M P L O


SOLUCIÓN:

c) Para sumar números mixtos se suman por separa las partes enteras y las partes fraccionarias y los resultados obtenidos se suman para dar la suma total. Otro procedimiento consiste en convertir las partes enteras en fracciones impropias y sumar todas las fracciones así obtenidas.

E J E M P L O


SOLUCIÓN: En el primer procedimiento tendremos:

1 - 14


La suma de las partes enteras es: 3 + 5 + 7 = 15

La suma de las partes fraccionarias

Encontremos primero el mínimo común denominador:

4 2 6 2 8 22 2 3 3 4 21 1 2 2

14 = 22 6 = 23 8 = 23

Por lo tanto el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8 será 233 = 24

Así pues:

Convirtiendo la fracción impropia en número mixto: ,

Por lo tanto, se trata de efectuar la suma , que es el

resultado final de la suma.

Por el segundo procedimiento tenemos:

Por lo tanto se trata de sumar

Como hemos visto anteriormente el mínimo común denominador es 24. Es decir, que:

Así pues:

Convirtiendo la fracción impropia obtenida en número mixto tendremos:

, que es la suma total buscada.

Y coincide con la obtenida por el primer procedimiento.

1 - 15


E J E M P L O


SOLUCIÓN por el primer procedimiento:Suma de los enteros 5+6+3=14

Suma de los quebrados:

La suma de los enteros 14, se suma con los quebrados

SOLUCIÓN por el segundo procedimiento:

d) Para sumar combinaciones de números enteros, números mixtos y fracciones; se suman los números con las partes enteras de los números mixtos y la suma obtenida se añade a la suma obtenida al efectuar la adición de las fracciones y las partes fraccionarias de los números mixtos.

E J E M P L O


SOLUCIÓN: Sumamos en primer lugar las partes enteras: 7+5+4+3=19

A continuación sumamos las partes fraccionarias

Encontremos primero el mínimo común denominador:

32 2 64 2 16 216 2 32 2 8 28 2 16 2 4 24 2 8 2 2 22 2 4 2 11 2 2

132 = 25 64 = 26 16 = 24

Por lo tanto el mínimo común denominador será 26 = 64. Es decir que:

Así pues:

1 - 16


Por lo tanto, se trata de efectuar la suma

, que es la suma total buscada.

E J E M P L O


SOLUCIÓN: Sumamos en primer lugar las partes enteras: 5+4+4=13

A continuación sumamos las partes fraccionarias

RestaAl igual que sucedía en el caso de la suma, al restar fracciones también pueden presentarse diversos casos que coinciden con los señalados anteriormente, debemos de considerar que al operar consideremos para estos casos efectuar la diferencia indicada por el signo de operación.

MultiplicaciónEn la multiplicación de fracciones pueden presentarse diversos casos que seguidamente vamos a exponer:

a) Para multiplicar varias fracciones se multiplican los numeradores y el resultado obtenido es el numerador de la fracción producto. El denominador de la fracción producto se obtiene análogamente multiplicando todos los denominadores.

E J E M P L O

Multiplicar:

SOLUCIÓN:

Tendremos

Simplificando por 240 la fracción , que es el resultado final.

1 - 17


E J E M P L O

Multiplicar:

SOLUCIÓN:

Efectuar la multiplicación cancelandoEl procedimiento de eliminar uno a uno los numeradores y denominadores, cuando existe un factor común, se llama cancelación. Debe emplearse siempre que sea posible, puesto que es más rápido y seguro. Al cancelar iremos tachando los numeradores y denominadores que tienen factor común. Cuando operamos en esta forma, la fracción producto viene dada en su mínima expresión.

E J E M P L O

Multiplicar:

SOLUCIÓN:

b) Para multiplicar números mixtos se convierte en fracciones impropias y a continuación se opera como en el caso anterior:

E J E M P L O

Multiplicar:

SOLUCIÓN: Convertimos los números mixtos en fracciones impropias.

Así pues:

Simplificando la fracción obtenida

Convirtiendo la fracción impropia obtenida en número mixto, tendremos:

, que es el resultado final.

E J E M P L O

Multiplicar:

SOLUCIÓN:

1 - 18


c) Para multiplicar combinaciones de números enteros, números mixtos y fracciones; se convierten todos los números en fracciones y a continuación se opera como en el caso del inciso a.

E J E M P L O

Multiplicar:

SOLUCIÓN: Convertimos los enteros y los números mixtos en fracciones:

Así pues:

Simplificando la fracción obtenida por 60, tendremos:



E J E M P L O

Multiplicar:

SOLUCIÓN:

DivisiónLa división de fracciones presenta también una serie de casos interesantes que pasamos a explicar a continuación:

a) Para dividir dos fracciones se multiplica la fracción dividiendo por el inverso de la fracción divisor.

E J E M P L O

Dividir:

SOLUCIÓN: Tendremos:

Simplificando: . Y luego , que es resultado final.

E J E M P L O

Efectuar la división:

1 - 19



b) Para dividir números enteros y fracciones, al número entero se le pone como denominador de la unidad y a continuación se efectúa la división como en el caso a:

E J E M P L O

Dividir:


Simplificando y convirtiendo en número mixto la fracción impropia,

tendremos:

E J E M P L O


SOLUCIÓN:

c) Para dividir números mixtos y fracciones o números mixtos entre sí; se convierten previamente en fracciones y a continuación se operan éstas como en el caso a.

E J E M P L O

Dividir:

SOLUCIÓN: Convertimos el número mixto en fracción impropia

Tendremos:

Simplificando numerador y denominador de la fracción obtenida por 15,

tendremos:



E J E M P L O


1 - 20


SOLUCIÓN:

d) Para convertir fracciones complejas, es decir, fracciones en cuyo denominador o numerador o en ambos términos aparecen otras fracciones, en fracciones simples; se divide el numerador entre el denominador.

E J E M P L O

Simplificar al máximo la expresión:

SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Simplificar:

SOLUCIÓN:

1 - 21


E J E M P L O

Simplificar al máximo la expresión:

SOLUCIÓN: Empezamos efectuando las operaciones de numerador

Por lo tanto en el numerador tenemos:

Del numerador de la fracción compleja, debemos encontrar el mínimo común denominador.

3 3 5 5 18 21 1 9 3

3 31

3 = 3 5 = 5 18 = 232

Es decir, que el mínimo común denominador es 2325=90

Simplificando numerador y denominador de la fracción obtenida por 2, tendremos:

, que es el valor del numerador de la fracción compleja.

1 - 22


Operando de modo análogo en el denominador, tendremos:

Por lo tanto en tenemos:

Del numerador de la fracción compleja, debemos encontrar el mínimo común denominador.

6 2 20 2 3 33 3 10 2 11 5 5

1

6 = 23 20 = 225 3 = 3

Es decir, que el mínimo común denominador es 2235=60


tendremos: , que es el valor del denominador de la fracción

compleja.

Por lo tanto, se trata de efectuar la división . Es decir:

1 - 23



tendremos:

Convirtiendo la fracción impropia anterior en número mixto, tendremos:


E J E M P L O

Simplificar

SOLUCIÓN: Empezamos efectuando las operaciones de numerador

E J E M P L O

Simplificar

1 - 24


SOLUCIÓN: Efectuando el numerador

Efectuando el denominador:

Efectuando el paréntesis:

Tendremos:

1.3.6 Razones y proporciones

RAZÓNRazón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede un a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o por diferencia y razón geométrica o por cociente.

Razón aritmética o por diferencia de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades.Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: Separándolas dos cantidades con el signo ― o con un punto (.). Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6―4 ó 6.4 y se lee seis es a cuatro.Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 6―4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.

Razón geométrica o por cociente de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades.Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: En forma de quebrado, separados numerador y denominador por una raya horizontal o separadas las cantidades por el signo de división (). Así, la razón geométrica de

8 a 4 se escribe u 84 y se lee ocho es a cuatro.

Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 84, el antecedente es 8 y el consecuente 4.

1 - 25


Propiedades de las razones

a) El valor de una razón no se altera cuando se suman o restan, se multiplican o dividen respectivamente sus términos, por un mismo número.

b) En toda razón, si al antecedente se le suma o se le resta, se le multiplica o se le divide por una cantidad, la razón aumenta o disminuye, queda multiplicada o dividida respectivamente por esa cantidad.

c) En toda razón, si al consecuente se le suma o se le resta, se le multiplica o se le divide por una cantidad, la razón aumenta o disminuye, queda multiplicada o dividida respectivamente por esa cantidad.

E J E M P L O

Hallar la relación entre las edades de dos niños de 10 y 14 años

SOLUCIÓN:

1 - 26


E J E M P L O

Hallar la razón geométrica entre 60 y 12

SOLUCIÓN: , 60 es 5 veces el valor de 12

E J E M P L O

Hallar la razón geométrica entre 12 y 60

SOLUCIÓN: , 12 es parte de 60

E J E M P L O

El mayor de dos números es 63 y su razón es 7 a 5 Hallar el número menor

SOLUCIÓN: . El número menor es 45

E J E M P L O

Dos números son entre sí como 3 es 19. Sí el menor es 12, ¿Cuál es el mayor?

SOLUCIÓN: . . El número mayor es 76

PROPORCIÓNSe define como la igualdad entre dos razones geométricas o por cociente. Una proporción geométrica se escribe de los dos modos siguientes:

Proporción aritmética o equidiferencia, se define como la igualdad entre dos razones aritméticas o diferencias.

En una proporción aritmética se llaman extremos al primero y cuartos términos, y medios al segundo y tercero términos. También reciben el nombre de antecedentes al primero y tercer términos, y consecuentes al segundo y cuarto términos.

En la equidiferencia 20-5=21-6, 20 y 6 son los extremos, 5 y 21 son los medios, 20 y 21 son los antecedentes, 5 y 6 son los consecuentes.

1 - 27


Proporción aritmética discreta o no continua, es aquélla que tiene sus cuatro términos diferentes o sus medios no son iguales.

Proporción aritmética continua, es aquélla que tiene sus términos medios iguales.

Propiedad fundamental de la proporción aritmética, en toda proporción aritmética la suma de los extremos es igual a la suma de los medios

Proporción geométrica o equicociente, se define como la igualdad entre dos razones geométricas o cocientes.

En una proporción geométrica se llaman extremos al primero y cuarto términos, y medios al segundo y tercer términos.

También reciben el nombre de antecedentes al primero y tercer términos, y consecuentes al segundo y cuarto términos.

Proporción geométrica discreta o no continua, es aquélla que tiene sus cuatro términos diferentes o sus medios no son iguales.

Proporción geométrica continua, es aquélla que tiene sus términos medios iguales.

Propiedad fundamental de la proporción geométrica, en toda proporción geométrica la suma de los extremos es igual a la suma de los medios

E J E M P L O

1 - 28


Hallar el término desconocido en

SOLUCIÓN: Cómo el término desconocido es en un extremo y un extremo es igual al producto de los medios dividido por el extremo conocido, tendremos:

.

Sustituyendo el valor a la x en la proporción dada, queda:

E J E M P L O

Hallar el término desconocido en

SOLUCIÓN: Cómo el término desconocido es un medio y el medio es igual al producto de los extremos dividido por el medio conocido, tendremos:

Sustituyendo el valor a la x en la proporción dada, queda:

1.4 NÚMEROS IRRACIONALES

1.4.1 DefiniciónNúmero irracional, número no racional, es decir, que no se puede poner como cociente de dos números enteros.

La necesidad de los números irracionales surge de medir longitudes sobre algunas figuras geométricas: la longitud de la diagonal de un cuadrado tomando como unidad el lado del mismo es ; la longitud de la diagonal de un pentágono tomando como unidad su lado es el número irracional φ llamado número áureo (φ es aproximadamente igual a 1,6818); la longitud de la circunferencia, tomando como unidad su diámetro es el número irracional (pi).

La expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas cifras no periódicas. Existen infinitos números irracionales. Todos ellos, junto con los racionales, forman el conjunto de los números reales.

El filósofo griego Pitágoras de Samos (540 a.C.) descubrió estos números al establecer la relación entre el lado de un cuadrado y la diagonal del mismo.

1 - 29


Por el teorema de Pitágoras, sí l=1, entonces:

Donde es un número irracional.

Tenemos entonces que un número irracional, es aquel que no puede expresarse como el cociente de dos enteros, y pueden ser positivos o negativos.

Números irracionales (con decimales infinitos, no repetitivos)

1.5 NÚMEROS REALES

1.5.1 DefiniciónNúmero real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALESNúmero Naturales (N): números con los que contamos (también se les llama

enteros positivos. )

Enteros (E): conjunto de todos los números naturales con sus opuestos

(negativos) y el cero. .

Racionales: conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en

la forma , donde m y n son enteros .

Número Reales (R): todos los racionales y los irracionales. Los números racionales tienen representaciones decimales repetitivas (periódicas), en tanto que los irracionales tienen representaciones no repetitivas infinitas.

1.5.2 Representación geométricaSe pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros.

Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante

1 - 30

0-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

Unidad (u)


aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en la recta (correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se la denomina recta real.

1.5.3 Definición de igualdad y sus propiedadesEl signo de igualdad (=) se emplea para unir dos expresiones, cuando ambas son los nombres o descripciones del mismo objeto.

significa que a y b son dos nombres del mismo objeto. Naturalmente , significa a no es igual a b.

Si dos expresiones algebraicas con una o más variables se unen mediante el signo igual, la forma así obtenida recibe el nombre de ecuación algebraica.

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD

Si a, b y c son nombres de objetos, tenemos:

Propiedad reflexiva:

Propiedad simétrica: Si , entonces:

Propiedad transitiva: Si y , entonces:

Principio de sustitución: Si , cualquiera de las dos puede reemplazar a la otra en una proposición, sin alterar la verdad o falsedad de dicha proposición.

1.6 APLICACIONESNÚMEROS MÚLTIPLOS, COMPUESTOS Y PRIMOS

MÚLTIPLO DE UN NÚMERO: un número A es múltiplo de un número B, si al efectuar la división A/B ésta es exacta, es decir el residuo es cero.

Criterio de divisibilidad por 2. Un entero a es divisible por 2 si y sólo a termina en 0, 2, 4, 6 u 8. Por ejemplo, 38 es divisible por 2 pero 35 no lo es.

Criterio de divisibilidad por 3. Un entero a es divisible por 3 si y sólo la suma de las cifras de a es divisible por 3. Por ejemplo, 228 es divisible por 3 pues 2+2+8=12, que es múltiplo de 3; sin embargo 343 no lo es puesto que , 3+4+3=10, que no es no es múltiplo de 3.

Criterio de divisibilidad por 4. Un entero a es divisible por 4 si y sólo si el número formado por las dos ultimas cifras de a lo es. Por ejemplo, 3128 es divisible por 4 pues 28 lo es; si embargo 411 no lo es pues 11 no es múltiplo de 4.

Criterio de divisibilidad por 5. Un entero a es divisible por 5 si y sólo si termina en 0 o 5. Por ejemplo, 2515 es divisible por 5 pero 217 no.

1 - 31


Criterio de divisibilidad por 6. Un entero a es divisible por 6 si y sólo si a es divisible por 2 y por 3. Por ejemplo, 43,644 sí es divisible por 6 pues es múltiplo de 2 y de 3; sin embargo, 364 no lo es pues múltiplo de 2 pero no de 3.

Criterio de divisibilidad por 8. Un entero a es divisible por 8 si y sólo si el número formado por las tres ultimas de a lo es. Por ejemplo 27,256 es divisible por 8 pues 256 lo es; sin embargo 23,420 no es divisible por 8 pues tampoco lo es 420.

Criterio de divisibilidad por 9. Un entero a es divisible por 9 si y sólo si la suma de las cifras de a es divisible por 9. Por ejemplo 23,985 sí es divisible por 9 pues 2+3+9+8+5=27, que es múltiplo de 9; sin embargo 386,754 no es 3+8+6+7+5+4=33, que no es no es múltiplo de 9.

Criterio de divisibilidad por 10. Un entero a es divisible por 10 si y sólo a termina en 0. Por ejemplo 29,853,780 es divisible por 10 pero 38,475 no lo es.

Criterio de divisibilidad por 11. Un entero a es divisible por 11 si y sólo la diferencia de la suma de las cifras en posición impar de a menos la suma de las cifras en posición par de a es divisible por 11. Por ejemplo, 82,817,053 sí es divisible por 11 pues (2+1+0+3)-(8+8+7+5)=6-28=-22, que es divisible por 11; sin embargo 2,759 no lo es pues (7+9)-(2+5)=9, que no es no es divisible por 11.

Criterio de divisibilidad por 12. Un entero a es divisible por 12 si y sólo si a es divisible por 4 y por 3. Por ejemplo 771,084 sí es divisible por 12 pues es múltiplo de 4 y de 3; sin embargo, 438 no lo es pues múltiplo de 3 pero no de 4.

NÚMEROS COMPUESTOS: es todo número natural distinto de la unidad y que puede ser expresado como el producto de dos o más enteros positivos diferentes de sí mismo, los cuales son sus factores y en algunos casos puede repetirse

4 se puede factorizar en: 22 o 416 se puede factorizar en: 32 o 618 se puede factorizar en: 42 o 81 o 222

26 se puede factorizar en: 132 o 261

Todo entero par mayor que dos es un número compuesto.

NÚMEROS PRIMOS: es todo número natural que solo tiene como factores a la unidad y así mismo.

Fue el matemático griego Euclides el primero en descubrir que los números primos constituyen una serie infinita. Las investigaciones de los matemáticos griegos les condujeron rápidamente al número primo, basándose en el cual Eratostenes construye su famosa “criba” para encontrar los números primos en la serie de números naturales.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1 - 32


31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

El cuadro anterior es la criba de Eratostenes del 1 al 100

Eratostenes escribió los números naturales hasta un número dado y fue agujereando en un pergamino en primer lugar a todos los múltiplos de 2 excepto al 2. A continuación hizo lo mismo con los múltiplos de 3. Después procedió de modo análogo con los múltiplos de 5, de 7 de 11 y así sucesivamente. Los números que no resultaron agujereados constituyen la serie de los números primos hasta el número dado.

MANERA DE CONOCER SI UN NÚMERO DADO ES PRIMO O NO.Se divide dicho número por todos los números primos menores que él y si se llega, sin obtener cociente exacto, a una división inexacta en que el cociente sea igual o menor que el divisor, el número dado es primo. Si alguna división es exacta, el número dado no es primo.

E J E M P L O

Tenemos el número 179 que queremos averiguarse es o no primo.

SOLUCIÓN: Lo dividimos por 2, 3, 5, 7, 11 y 13 sin obtener cociente exacto y al dividirlo por 13 nos da 13 de cociente. Vamos a demostrar que 179 es primo, para lo cual bastará demostrar que no es divisible por ningún número primo mayor que 13.

Se llama “criba” porque al tachar los números se van formando como agujeros.

1 - 33


E J E M P L O

Averiguar si 191 es o no primo

SOLUCIÓN:

En esta última división el cociente 11 es menor que el divisor 17 y la división es inexacta, luego 191 es primo

E J E M P L O

Averiguar si 853 es o no primo

SOLUCIÓN:En la práctica no vamos a hacer la división por 2, 3, 5, 7 ni 11 (siempre que se vea que el cociente ha de ser mayor que el divisor) sino que aplicaremos los caracteres de divisibilidad que conocemos para ver si el número dado es o no divisible por estos números.

En este caso, 853 no divisible entre 2, porque no termina en cifra par; no es divisible entre 3 porque 8+5+3=16 no es múltiplo de 3; tampoco los es por 5 porque no termina ni en cero ni en 5.

1 - 34


E J E M P L O

Averiguar si 391 es primo

SOLUCIÓN: Aplicando los caracteres de divisibilidad, vemos que no es divisble por 2, 3, 5, 7 ni 11. Tendremos:

Esta última división es exacta, luego 391 es compuesto.

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS.Una propiedad interesante y útil de los factores de los números enteros es que puede expresarse como producto de números primos.

Para determinar los factores primos de un número natural, se va dividiendo dicho número en forma progresiva, empleando únicamente números primos hasta terminar en elemento unitario.

E J E M P L O

Hallar la factorización prima para 72

72 236 218 2 72 = 22233 = 2332

9 33 31

E J E M P L O


375 3125 5

25 5 375 = 3555= 353

5 51

E J E M P L O


1960 2980 2490 2 1960 = 222577 = 23572

245 549 77 71

1.6.1 Mínimo Común MúltiploMínimo Común Múltiplo: un entero es un múltiplo común de dos o más enteros si es múltiplo de cada uno de ellos. Es frecuente tener que usar el menor entero positivo que sea común múltiplo de dos o más enteros, al cual se le llama mínimo común múltiplo y se simboliza por m.c.m. o M.C.M.

1 - 35


Mínimo Común Múltiplo por inspecciónCuando se trata de hallar el m.c.m. de números pequeños éste puede hallarse muy fácilmente por simple inspección, de este modo:

Como el m.c.m. de varios números tiene que ser múltiplo de varios del mayor de ellos, se mira a ver si el mayor de los números dados contiene exactamente a los demás. Si es así, el mayor es el m.c.m. Si no los contiene, se busca cuál es el menor múltiplo del número mayor que los contiene exactamente y éste será el m.c.m. buscado.

E J E M P L O

Hallar el m.c.m. de 8 y 4

SOLUCIÓN: Como el mayor 8 contiene exactamente a 4, 8 es el m.c.m. de 8 y 4

E J E M P L O

Hallar el m.c.m. de 8, 6 y 4

SOLUCIÓN: 8 contiene exactamente a 4, pero no a 6. De los múltiplos de 8, 8×2=16 no contiene exactamente a 6, 8×3=24, contiene exactamente a 6 y 4. 24 es el m.c.m. de 8, 6 y 4

E J E M P L O


SOLUCIÓN: 15 no contiene a los demás, 15×2=30 no contiene a 12; 15×3=45 tampoco; 15×4=60 contiene cinco veces a 12 y seis veces a 10. 60 es el m.c.m. de 10, 12 y 15

Pasos para determinar el m.c.m.a) Se halla la factorización prima de cada número.b) El m.c.m. se forma con el producto de los factores primos comunes y no

comunes afectados por su mayor exponente.

E J E M P L O


18 2 24 2 15 39 3 232 12 2 233 5 5 353 3 6 3 11 2 2

1

El m.c.m. de 18, 24 y 15 es (23)(32)(5) = 895 = 360

También se puede determinar la factorización prima de todos los números a la vez.

E J E M P L O

Hallar el M.C.M. de 200, 300 y 225

1 - 36


200 300 225 2

100 150 225 2 23

50 75 225 2

25 75 225 332

25 25 75 3

25 25 25 552

5 5 5 5

1 1 1

1.6.2 Máximo Común DivisorEl Máximo Común Divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de dichos números; se simboliza por m.c.d. o M.C.D., cuando los números son pequeños el MCD puede calcularse fácilmente; por el contrario si los números son grandes seguimos algunas reglas adecuadas.

M.C.D. por inspecciónComo el M.C.D. de vario números tiene que ser divisor del menor de ellos, procederemos así:

Nos fijamos en el número menor de los dados. Si éste divide a todos los demás será el M.C.D. Si no los divide, buscamos cuál es el mayor de los divisores del menor que los divide a todos y éste será el M.C.D. buscado.

E J E M P L O

Hallar el M.C.D. de 18 12 y 6

SOLUCIÓN: El número 6 divide a 18 y a 12 luego 6 es el M.C.D. de 18, 12 y 6

E J E M P L O

Hallar el M.C.D. de 20, 90 y 70

SOLUCIÓN: 20 no divide a 70, 10 es el mayor divisor de 20 que divide a 90 y a 70.

E J E M P L O


SOLUCIÓN: 48 no divide a los demás. De los divisores de 48, 24 no divide a 84; 12 divide a 72 y a 84. 12 es el M.C.D. de 48, 72 y 84.

1 - 37


M.C.D. por descomposición en factores primosa) Se anotan los números en un simple renglón.b) Se dividen todos los números entre factores primos comunes.c) El MCD es producto de los factores primos comunes tomados con su menor

exponente.

E J E M P L O

Hallar el M.C.D. de 48 y 72

48 72 2

24 36 2

12 18 2

6 9 3 El MCD = 233 = 83= 24

2 3 2

1 3 3

1

E J E M P L O


464 812 870 2

232 406 435 2

116 203 435 2

58 203 435 2 El MCD = 229 = 58

29 203 435 3

29 203 145 7

29 29 145 5

29 29 29 29

1 1 1

E J E M P L O

Hallar el M.C.D. de 60, 150, 40 y 850

60 150 40 850 2

30 75 20 425 2

15 75 10 425 2

15 75 5 425 3 El MCD = 25 = 10

5 25 5 425 5

1 5 1 85 5

1 17 17

1

1.6.3 Potencia y radicaciónLos babilonios utilizaban la elevación a potencia como auxiliar de la multiplicación, y los griegos sentían especial predilección por los cuadrados y los cubos. Diofanto (III d.C.) ideó la yuxtaposición adhesiva para la notación de las

1 - 38


potencias. Así x, xx¸xxx, etc. para expresar la primera, segunda, tercera potencias de x. Renato Descartes (1596-1650) introdujo la notación x, x2, x3, x4, etc.

Aunque la palabra raíz proviene del latín radix, la radicación fue conocida por los hindúes y por los árabes mucho antes que por los romanos. Las reglas para extraer raíces cuadradazas y cúbicas aparecieron por primera vez en textos hindúes.

POTENCIACIÓNEs la operación aritmética que tiene por objeto multiplicar por sí mismo un número llamado base tantas veces como indica otro número llamado exponente.

Si escribimos 53, 5 será la base y 3 será el exponente, con lo cual tendremos que:

Cuando el exponente es 2, o sea, cuando estamos hallando la segunda potencia de la base, se acostumbra decir que estamos hallando el cuadrado de la base. Por ejemplo . El término cuadrado viene de la nomenclatura geométrica, puesto que el cuadrado de un número equivale en las unidades correspondientes de superficie al área de un cuadrado. El área de un cuadrado con un lado de 5m. será m2.

Cuando el exponente es 3, es cuando estamos hallando la tercera potencia de la base se acostumbra decir que estamos hallando el cubo de la base.

, es el resultado de hallar el cubo de 5. El término cubo también viene de la nomenclatura geométrica, ya que el cubo de un número equivale en unidades correspondientes de volumen al volumen del cubo cuya arista es dicho número.

Cuando los exponentes son 4, 5, 6, 7, 8, etc. se dice que estamos elevando la base a la cuarta, quinta, sexta, séptima u octava potencia, respectivamente:

La potencia enésima de un número a equivaldrá a multiplicar n veces a por sí mismo: veces.

Ley de uniformidadCualquier potencia de un número tiene un valor único o siempre igual.

E J E M P L O

22=4 Siempre 53=125 Siempre

1 - 39


Potencia de un productoPara elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a dicha potencia y se multiplican esa potencias.

Si tenemos el producto abc, Vamos a probar que (abc)n=an·bn·cn

Elevar el producto abc a la enésima potencia equivale a tomar este producto como factor n veces; luego:

Esta propiedad constituye la ley distributiva de la potenciación respecto de la multiplicación.

E J E M P L O

Resolver (3×4×5)2 SOLUCIÓN: (3×4×5)2 = 32·42·52 = 9×16×25 = 3600

Potencia de un número fraccionarioPara elevar un cociente exacto o una fracción a una potencia cualquiera se elevan su numerador y denominador a dicha potencia.

Si tenemos la fracción ; Según la definición de potencia elevar a la

potencia n será tomarlo como factor n veces; luego:

Esta propiedad constituye la ley distributiva de la potenciación respecto de la división exacta.

E J E M P L O

Elevar SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Elevar SOLUCIÓN:

1 - 40


E J E M P L O

Desarrollar

SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Desarrollar

SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Desarrollar

SOLUCIÓN:

RADICACIÓNLa radicación es la operación inversa de la potenciación y consiste en hallar la base conocidos el exponente y la potencia.

Si tenemos que , podemos escribir que , donde el signo

recibe el nombre de signo radical, 49 es la cantidad subradical, 7 es la raíz cuadrada y el número 2 es el índice de la raíz. En este caso como el índice de la raíz es 2 se trata de una raíz cuadrada.

1 - 41


Cuando el índice es 3 diremos que la raíz es cúbica, cuando es 4 se trata de una raíz cuarta, cuando es 5 se trata de una raíz quinta, cuando es 6 se trata de una raíz sexta, y así sucesivamente.

Cuando la raíz es cuadrada, cuando el índice es 2, generalmente se omite dicho índice:

Una raíz es exacta cuando al elevarla a la potencia que indica el índice coincide con la cantidad subradical. 5 es la raíz cúbica exacta de 125 puesto que .

Una raíz es inexacta cuando no existe ningún número entero que al elevarlo a la potencia que indica el índice coincida con la cantidad subradical. La raíz cuadrada de 63 es inexacta, puesto que no existe ningún número entero que elevado al cuadrado dé 63.

Los únicos números naturales que tienen raíz cuadrada exacta son los cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25… etc. Análogamente, los únicos número que tienen raíz cúbica exacta son los cubos perfectos: 1, 8, 27, 64, 125… etc.

Ley de uniformidadLa raíz de un grado dado de un número tiene un valor único o siempre es igual. Así únicamente, porque 7 es el único número que elevado al cuadrado da 49.

Ley distributivaLa radicación no es distributiva con relación a la suma. Así no es igual a

porque y

Igualmente no es igual a porque y

La radicación no es distributiva con relación a la multiplicación y a la división.

Raíz de un producto indicadoLa raíz de cualquier grado de un producto indicado de varios factores es igual al producto de las raíces del mismo grado de cada uno de los factores.Tenemos el producto . Vamos a demostrar que:

Según la definición de raíz, será la raíz enésima de si elevada a la potencia n reproduce el producto .

Elevando la raíz a la enésima potencia, tendremos:

, luego queda demostrado lo que nos

proponíamos.

Esta propiedad es la ley distributiva de la radicación con relación a la multiplicación.

E J E M P L O

1 - 42


Efectuar SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Efectuar SOLUCIÓN:

Raíz de un número fraccionarioLa raíz de cualquier grado de un cociente exacto o un número fraccionario es igual a la raíz de dicho grado del numerador partida por la raíz del mismo grado del denominador.

Sea la fracción . Vamos a demostrar que

Según la definición de raíz, será la raíz enésima de , si elevada a la potencia

n reproduce el quebrado

Esta propiedad es la ley distributiva de la radicación con relación a la división exacta.

E J E M P L O

Efectuar SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Efectuar SOLUCIÓN:

Raíz de una potenciaLa raíz de cualquier grado de una potencia se obtiene dividiendo el exponente de la potencia por el índice de la raíz.

Sea la potencia . Vamos a demostrar que

Según la definición de raíz, será la raíz enésima de si elevada a la potencia

n reproduce la cantidad subradical .

Elevando a la potencia n, tendremos. , luego queda demostrado

lo que nos proponíamos.

1 - 43


E J E M P L O

Efectuar SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Efectuar SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Efectuar

SOLUCIÓN:

Exponente fraccionarioHemos visto en el punto anterior que para extraer una raíz a una potencia, se divide el exponente de la potencia por el índice de la raíz. Si el exponente no es divisible por el índice, hay que dejar indicada la división, originándose de este modo el modo el exponente fraccionario.

E J E M P L O

Efectuar SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Efectuar SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Efectuar SOLUCIÓN:

Raíz de una raízLa raíz de cualquier grado de una raíz se obtiene multiplicando los índices de ambas raíces.

Se trata de extraer la raíz cúbica de Vamos a demostrar que

Según la definición de raíz, será la raíz cúbica de si elevada al cubo reproduce la cantidad subradical , y en efecto:

Esta propiedad a la inversa, nos permite extraer la raíz cuarta extrayendo dos veces la raíz cuadrada; la raíz sexta extrayendo la raíz cuadrada y la cúbica, etc.

1 - 44


E J E M P L O

Efectuar SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Efectuar SOLUCIÓN:

Algoritmo para encontrar la raíz cuadrada1. Tantear una raíz aproximada.2. Dividir el número entre la raíz aproximada.3. Obtener el promedio del resultado de la división y el divisor. El promedio es

la siguiente raíz aproximada.

E J E M P L O

Calculara la raíz cuadrada de 5

SOLUCIÓN:Paso 1. Tanteamos una raíz aproximada de 5: 2

Paso 2. Dividimos el número entre la raíz aproximada:

Paso 3. Obtenemos el promedio del resultado y el divisor y lo tomamos como

nuestra siguiente raíz aproximada:

Repetimos los pasos con el nuevo valor de la raíz aproximada:Paso 1. Tanteamos una raíz aproximada de 5: 2.25




Repetimos nuevamente los tres pasos con el nuevo valor de la raíz aproximadaPaso 1. Tanteamos una raíz aproximada de 5: 2.2361




El nuevo valor de la raíz aproximada es igual que el anterior, por lo que hemos obtenido la raíz cuadrada que buscamos.

El primer tanteo puede ser cualquier número, el algoritmo siempre funciona, sin embargo entre más cercano al valor de la raíz sea nuestro primer tanteo más rápido llegaremos al número buscado.

1 - 45


E J E M P L O

Calculara la raíz cuadrada de 20

SOLUCIÓN:Para hacer nuestro primer tanteo nos acordamos que y por lo que tomamos 4.5 como primera raíz aproximada. Siguiendo los pasos tenemos que:

Paso 1. Tanteamos una raíz aproximada de 20: 4.5




Repetimos nuevamente los tres pasos con el nuevo valor de la raíz aproximadaPaso 1. Tanteamos una raíz aproximada de 20: 4.4722




En este ejemplo encontramos la raíz cuadrada buscada con tres decimales de precisión en la primera vez que hicimos los tres pasos.

1 - 46


1.6.4 Notación científicaEn las ciencias encontramos con mucha frecuencia cantidades muy grandes y muy chicas. Por ejemplo, la velocidad de la luz es, aproximadamente, de 29,980,000,000 centímetros por segundo, y la masa aproximada de un átomo de hidrógeno es 0.00000000000000000000001673 gramo. Podemos expresar estos números en forma más compacta utilizando la notación científica. Un número esta escrito en notación científica cuando tiene la forma

E J E M P L O

Convierte 29 980 000 000, a la notación científica.

SOLUCIÓN: El número 2.998 está entre el 1 y 10. Para obtener 29 980 000 000, se debe recorrer el punto decimal de 2.998 10 lugares hacia la derecha. Esto se hace multiplicando 2.998 por 1010

29 980 000 000 es igual a 2.998x1010

E J E M P L O

Convierte 0.00000000000000000000001673, a la notación científica.

SOLUCIÓN: El número 1.673 está entre el 1 y 10. Para obtener 0.00000000000000000000001673, debemos recorrer el punto decimal de 1.673 24 lugares hacia la izquierda. Esto lo podemos hacer si multiplicamos 1.673 por 10-24

0.00000000000000000000001673es igual a 1.673 x 10-24

E J E M P L O

Convierte -0.0013, a la notación científica.

SOLUCIÓN: El número -1.3 está entre el 1 y 10. Para obtener -0.0013 recorremos el punto decimal de -1.3 tres lugares hacia la izquierda, multiplicando por 10 -3

-0.0013 = -1.3x10-3

E J E M P L O

Convertir 3.7x105 a la notación normal.

SOLUCIÓN: Ya que la multiplicación por 105 recorre el punto decimal 5 lugares hacia la derecha, 3.7x105= 370,000

E J E M P L O

Convertir 1.1x10-3 a la notación normal.

SOLUCIÓN: Ya que la multiplicación por 10-3 recorre el punto decimal 3 lugares hacia la izquierda, 1.1x10-3= 0.0011

1 - 47


E J E R C I C I O 1 . 1 :Descomponer en sus factores primos los números siguientes:

a) 64 b) 341 c) 2401 d) 13690e) 91 f) 377 g) 2093 h) 15700i) 96 j) 408 k) 2890 l) 20677m) 121 n) 441 o) 3249 p) 21901q) 160 r) 507 s) 3703 t) 47601u) 169 v) 529 w) 3887 x) 48763y) 182 z) 686 aa) 5753 bb) 208537cc) 289 dd) 861 ee) 5887 ff) 327701gg) 306 hh) 906 ii) 9410 jj) 496947kk) 385 ll) 1188 mm) 12740 nn) 512353

E J E R C I C I O 1 . 2 :Hallar los factores comunes a:

1 - 48

1. 18 y 722. 40 y 2003. 48 y 724. 60 y 2105. 90 y 2256. 147 y 2457. 320 y 800

8. 315 y 5259. 450 y 150010. 56, 84 y 14011. 120, 300 y 36012. 204, 510 y 45913. 400, 500, 350 y 25014. 243, 1215, 2130 y 8100

E J E R C I C I O 1 . 3 :Hallar por descomposición en factores primos, el m.c.m. de:

1. 32 y 802. 46 y 693. 18, 24 y 404. 32, 48 y 1085. 5, 7, 10 y 146. 2, 3, 6, 12 y 507. 100, 500, 700 y 10008. 14, 38, 56 y 1149. 13, 19, 39 y 34210. 15, 16, 48 y 150

11. 14, 28, 30 y 12012. 96, 102, 192 y 30613. 108, 216, 432 y 50014. 21, 39, 60 y 20015. 81, 100, 300, 350 y 40016. 98, 490, 2401 y 490017. 91, 845, 1690 y 219718. 529, 1058, 1587 y 529019. 841, 1682, 2523 y 588720. 5476, 6845, 13690, 16428 y 20535

E J E R C I C I O 1 . 4 :Reducir al mínimo común denominador:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

E J E R C I C I O 1 . 5 :


Simplificar:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

E J E R C I C I O 1 . 6 :Simplificar:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

E J E R C I C I O 1 . 7 :

1 - 50


Simplificar:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)


1)

2)

3)

4)

5)

1 - 51


6)

7)

8)

9) 10)


1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

1 - 52


10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

E J E R C I C I O 1 . 1 0 :Simplificar:

1)

2)

3)

4)

1 - 53


5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

1 - 54


21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)


1)

2)

3)

4)

1 - 55


5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

1 - 56


20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)


1)

2)

3)

4)

5)

6)

1 - 57


7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)


1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

1 - 58


12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)


1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

1 - 59


13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)


1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

1 - 60


11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)


1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

1 - 61


9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)


1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

1 - 62


19) 20)


1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

1 - 63


23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)


1)

2)

3)

4)

1 - 64


5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

1 - 65


13)

14)

15)

16)

17)

18)

1 - 66


19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

1 - 67


26)

E J E R C I C I O 1 . 2 0 :Desarrollar, aplicando la regla de potencia de un producto:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

E J E R C I C I O 1 . 2 1 :Desarrollar:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

1 - 68


11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

E J E R C I C I O 1 . 2 2 :

1)

2)

3)

4)

5)

6)

1 - 69


7)

8)

9)

10)

11)

12)

E J E R C I C I O 1 . 2 3 :

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

E J E R C I C I O 1 . 2 4 :

1)

2)

3)

4)

5)

1 - 70


6)

E J E R C I C I O 1 . 2 5 :

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

E J E R C I C I O 1 . 2 6 :

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

E J E R C I C I O 1 . 2 7 :Expresar con exponente fraccionario

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

1 - 71


9)

10)

11)

12)

E J E R C I C I O 1 . 2 8 :Expresar con signo radical

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

E J E R C I C I O 1 . 2 9 :

Efectuar:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Hallar

9.

10.

11.

12.

13.

14.

1 - 72


1 - 73


R E S U L T A D O S D E L E J E R C I C I O 1 . 2 :Hallar los factores comunes a:1. 18 y 72 R. 1, 2, 3, 6, 9 y 182. 40 y 200 R. 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 403. 48 y 72 R. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 484. 60 y 210 R. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 305. 90 y 225 R. 1, 3, 5, 9, 15 y 456. 147 y 245 R. 1, 7 y 497. 320 y 800 R. 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80 y 1608. 315 y 525 R. 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35 y 1059. 450 y 1500 R. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75 y 15010. 56, 84 y 140 R. 1, 2, 4, 7, 14 y 2811. 120, 300 y 360 R. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 6012. 204, 510 y 459 R. 1, 3, 17 y 5113. 400, 500, 350 y 250 R. 1, 2, 5, 10, 25 y 5014. 243, 1215, 2130 y 8100 R. 1, 3, 9, 27 y 81

R E S U L T A D O S D E L E J E R C I C I O 1 . 3 :Hallar por descomposición en factores primos, el m.c.m. de:1. 32 y 80 R. 1602. 46 y 69 R. 1383. 18, 24 y 40 R. 3604. 32, 48 y 108 R. 864 5. 5, 7, 10 y 14 R. 70 6. 2, 3, 6, 12 y 50 R. 3007. 100, 500, 700 y 1000 R. 70008. 14, 38, 56 y 114 R. 31929. 13, 19, 39 y 342 R. 444610. 15, 16, 48 y 150 R. 120011. 14, 28, 30 y 120 R. 84012. 96, 102, 192 y 306 R. 979213. 108, 216, 432 y 500 R. 5400014. 21, 39, 60 y 200 R. 5460015. 81, 100, 300, 350 y 400 R. 22680016. 98, 490, 2401 y 4900 R. 24010017. 91, 845, 1690 y 2197 R. 15379018. 529, 1058, 1587 y 5290 R. 1587019. 841, 1682, 2523 y 5887 R. 3532220. 5476, 6845, 13690, 16428 y 20535 R. 82140

R E S U L T A D O S D E L E J E R C I C I O 1 . 4 :

1 - 74


Reducir al mínimo común denominador:

1) R.

2) R.

3) R.

4) R.

5) R.

6) R.

7) R.

8) R.

9) R.

10) R.

11) R.

12) R.

13) R.

14) R.

15) R.

16) R.

R E S U L T A D O S D E L E J E R C I C I O 1 . 5 :Simplificar:

1) 2)

1 - 75


3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

R E S U L T A D O S D E L E J E R C I C I O 1 . 6 :

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)


1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

1 - 76


11)

12)

13)

14)

15)


1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)


1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

1 - 77


9)

10)

11)

12)

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19)

20)

R E S U L T A D O S D E L E J E R C I C I O 1 . 1 0 :Simplificar:

1)

2)

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1 - 78


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1 - 79


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R E S U L T A D O S D E L E J E R C I C I O 1 . 1 4 :

1 - 80


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1 - 83


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26)

R E S U L T A D O S D E L E J E R C I C I O 1 . 2 0 :Desarrollar, aplicando la regla de potencia de un producto:

1)

2)

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4)

5)

6)

7)

8)

9)

1 - 85


10) 11)

1 - 86


R E S U L T A D O S D E L E J E R C I C I O 1 . 2 1 :Desarrollar, aplicando la regla de potencia de un producto:

1)

2)

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7)

8)

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1 - 87


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12)

R E S U L T A D O S D E L E J E R C I C I O 1 . 2 7 :Expresar con exponente fraccionario

1)

2)

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4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

1 - 89


R E S U L T A D O S D E L E J E R C I C I O 1 . 2 8 :Expresar con signo radical

1)

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5)

6)

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8)

9)

10)

11)

12)

E J E R C I C I O 1 . 2 9 :

1)

2)

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4)

5)

6)

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9)

10)

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14)

1 - 90

1 numeros reales 8

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