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Minicurso – Cristalografia e Difração de Raios-XMinicurso – Cristalografia e Difração de Raios-X
Segunda aula: Segunda aula: Interações de Raios-x com a MatériaInterações de Raios-x com a Matéria
Laudo BarbosaLaudo Barbosa
(07 de Novembro, 2006)(07 de Novembro, 2006)
Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF)Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF)
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Plano de apresentaçãoPlano de apresentação
• Espalhamento Thomson, Efeito Compton, Efeito Fotoelétrico
• Espalhamento de raios-x por uma, duas e n partículas
• Difração de raios-x por um arranjo linear de partículas (Condições de Laue, Lei de Bragg)
• Difração por um cristal
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EspalhamentoEspalhamento
p1p2
Uma possibilidade
p1 p2
Outra possibilidade
• Há diversas possibilidades de interação entre partículas (colisão elástica, colisão inelástica, fusão, fissão, desintegração... )
• Cada interação tem uma probabilidade de ocorrência
• A probabilidade depende, em geral, da energia e das características de cada partícula envolvida na interação
• A probabilidade específica para uma interação é chamada Seção de Choque
• O resultado efetivo das interações é naturalmente relacionado com a Seção de Choque
NOTA: na descrição física mais rigorosa, não se fala mais em campos, pois o próprio campo é composto por partículas. Também não se calculam
valores exatos, somente probabilidades
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Raios-X Raios-X (interação de fóton com elétron)(interação de fóton com elétron)
Ef E
Espalhamento Thomson ( = “clássico”)
Ef E
• O campo elétromagnético (fóton) leva o elétron a oscilar em sua órbita
• A oscilação implica aceleração/desaceleração
• Elétrons acelerados emitem radiação
• A radiação emitida tem a mesma frequência da incidente (coerente)
Processo análogo
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Raios-X Raios-X (interação de fóton com elétron)(interação de fóton com elétron)
Ef E
Espalhamento Compton
Ef >> E
• A energia do fóton é muito maior que a energia de ligação do elétron
• Portanto, é como se o elétron estivesse “livre”
• Ocorre colisão inelástica
• O elétron adquire energia, o fóton perde energia
λ1
λ2 > λ1
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Raios-X Raios-X (interação de fóton com elétron)(interação de fóton com elétron)
Ef E
Efeito fotoelétrico
Ef > E
• A energia do fóton é apenas maior que a energia de ligação do elétron
• O elétron adquire (absorve) a energia do fóton
• Com o excesso de energia, o elétron se desprende do átomo
• O fóton desaparece
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Produção de paresProdução de pares
Ef
Produção de Par elétron-pósitron
Ef > mec2 (512keV)
• A energia do fóton é suficiente para “materializar” um elétron e um pósitron
• O núcleo do átomo adquire momento de recuo
• O fóton desaparece (aniquilação)
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Interação de fótons com a matériaInteração de fótons com a matéria
100 101 102 103 104 105 106 107 108
10-10
10-9
10-8
10-7
10-6
1x10-5
1x10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
(c
m2 /g
)
Energia (keV)
Espalhamento Compton Efeito fotoelétrico Produção de pares Total
Resumo Compartivo das seções de choque
Para a difração de raios-x, o efeito relevante é o espalhamento coerente (Thomson)
http://physics.nist.gov/PhysRefData/Xcom/Text/XCOM.html
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Espalhamento (coerente) por uma partícula
Conforme já foi mostrado, o campo elétrico se exprime como uma soma infinita (integral) de termos:
dekFkdtxE txki ).(
21 ),(),(
Cada um dos termos se refere a um comprimento de onda específico, e contribui com amplitude F = F(k,)
Consideremos o caso de uma onda monocromática, de amplitude constante
vekFA
YAeeekFekFdekFkdtxE
xki
oivttixkitxkitxki
2 ; ),(
),(),(),(),(
.21
2.21).(
21).(
21
Podemos calcular o espalhamento da onda Yo por uma partícula carregada (elétron)
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Espalhamento (coerente) por uma partícula
Pergunta-se: qual é a amplitude Y da onda espalhada devido à incidência de Yo sobre um elétron ?
sDsc
D iiivtitiv
DA eefY D
22)(2
2 ),2(
Encontra-se:
2So
^
S^
D
O
P
• A amplitude da onda espalhada depende do ângulo e cai com 1/D
• A intensidade [ |Y|2 ] da onda espalhada cai com 1/D2
• A onda espalhada chega ao ponto P depois de um intervalo de tempo D/c
• A onda espalhada é defasada por um fator αs relativamente à onda incidente
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Espalhamento (coerente) por duas partículas
Pergunta-se: qual é a amplitude Y da onda espalhada devido à incidência de Yo sobre dois elétrons ?
iiiivtiiivt sD
sD
eeYYY DD22222
21 ),2(),2(
Encontra-se:
2
So
^
S^
D
O2
P
O1
So
^
S^
O2
O1
O2
O1
So
^
r^
S^
SrSr oˆ.ˆ. Diferença de caminho óptico:
o
sD
sD
SSsriDAi
DA
iiivtiiiivt
sefefD
eeeY DD
ˆˆˆ.ˆ2
2
2
22
22
2
222
ˆ ; 11),2(
1
onde
),2(),2(
Como r << D
O ângulo de espalhamento é o mesmo
para as duas partículas
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Espalhamento (coerente) por n partículas
Por extensão deste raciocínio, podemos calcular o espalhamento devido a várias partículas, não necessariamente idênticas. O único que muda é o termo referente à amplitude de espalhamento para cada partícula, . As contribuições individuais de
cada partícula se somam:
2
)22(.21
02
.21
02
.21
0
||
)(),,2(
)(),2(),2(
n
iiivtsrinj
jjD
An
srinj
jjD
Asrinj
jj
Y
eeftDY
efeDD
eIntensidad
sD
j
jj
• A intensidade do espalhamento é o que efetivamente se mede.
• Nesta medida estão “embutidas” as informações sobre estrutura rj.
• Idealmente, uma medida complementar deveria prover a informação sobre a fase, para se chegar à disposição espacial das partículas (“problema da fase”)
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Difração por um arranjo linear de partículas
Porquê “Difração” ?
• Como o espalhamento é coerente, cada centro espalhador (elétron, partícula) atua como re-emissor da onda incidente.
• Num dado ponto de observação, as contribuições de cada centro re-emissor se somam (interferem)
• A interferência pode ser construtiva ou destrutiva
• O fenômeno é chamado de difração, em alusão ao que ocorre com as ondas.
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n partículas regularmente espaçadas
Tomamos a expressão genérica, para o espalhamento de n partículas, com rj = j.a
a
1 n2
So
S
1
0
.22
.21
02
n
q
saiqDAsaiq
n
qqD
An efefA
n.a << D
Os termos do somatório estão em progressão geométrica, de razão e2ias
saxfA
AAaS
DA
o
ee
onqq
on ix
inxn
. ;
2
11
11
2
2
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n partículas regularmente espaçadas
A intensidade do espalhamento numa dada direção é dada por:
)(
)(
2
)(
)(2*2
2
2
2
2
)(
)(
:ondexsen
nxsenn
noxsen
nxsenonnnn
xf
xfAAAAAI
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
0
20
40
60
80
100
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
0
5
10
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
0
10
20
30
n=10
f(x
)
x
n=3
f(x
)
n=5
f(x
)
Para um número muito grande de
partículas, fn(x) só é significativa
quando x é um número inteiro
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Condição de Laue
A condição para que a intensidade difratada seja significativa é:
msenψ
msensena
msax
ao
aSS o
m
2 )0 (
)2(.
.
para
inteiro) (
Inte
nsid
ade
x
(*) Lembra a Lei de Bragg
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Difração por um cristal
Um cristal é, por definição, uma rede de centros espalhadores, distribuídos regularmente num arranjo periódico sobre as três direções espaciais
Portanto, a posição de cada um dos centros espalhadores de um cristal pode ser especificada por:
)( wvu inteiros w v,u,cbar
A mesma análise usada no caso unidimensional se aplica, estendida a três dimensões. Chegamos a uma expressão que envolve o produto de três somatórios:
wvu
srin
scbainn
nnn eeA,,
.21
0w
).wvu(21
0n
1
0u
321
321
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Difração por um cristal
Em vez de apenas uma, temos, para o cristal, três “Condições de Laue”:
Existe um vetor que, substituindo s, satisfaz simultaneamente as três condições
lsc
h,k,lksb
hsa
.
) ( .
.
inteiros
*rs
recíproca) rede de(vetor
||.||.||
)()()(*
cba
balackcbhr
Portanto, as condições de Laue se reduzem a:
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Difração por um cristal
• Verifica-se que o vetor de rede recíproca é normal ao plano hu+kv+lw=1
• Verifica-se que o módulo deste vetor é 1/dhkl, onde dhkl é a distância entre o plano e a origem
• dhkl é também a distância entre planos paralelos a este e adjacentes: hu+kv+lw=n, n inteiro
u
w
v
1/w
1/u
1/v
dhkl
Tomando o valor absoluto dos dois vetores, obtemos:
hkldsen 12
Lei de Bragg2S/λ So /λ
s
20
Outra maneira de se deduzir a Lei de Bragg
Família de planosd
A diferença de caminho óptico para o feixe refletido é: 2dsen
Nas direções em que a diferença de caminho óptico é múltiplo de λ tem-se interferência construtiva
ndsen 2