Lista de Exercícios de Teoria dos números

1. Utilizando indução matemática para mostrar que:

a)

11

1...3

11

2

11

1

11 +≤

+

+

+

+ n

n ,∀��ℕ.

b) 2n� > 3n� + 3n + 1, ∀n ≥ 3.

c) 3�� − 2� é divisível por 7, ∀��ℕ.

c) 3|n� + 2n,∀n ∈ ℕ

d) Se a > 1, mostrar que a� > a, n ≥ 2

3. Achar, em cada caso, o quociente � e o resto � da divisão de � por �, satisfazendo o algoritmo da divisão.

a) � = −74e b=13 b) � = 37 e b=-4 c)� = 27e b=5 d)� = 38e b=7

4. Mostre como obter, usando uma calculadora que realize apenas as quatro operações, pode-se efetuar a divisão

euclidiana de dois números naturais em apenas três passos, aplique o seu método para calcular o quociente e o resto

da divisão de 3721056 por 18735.

5. Quais são os números que, quando divididos por 5, deixam resto igual

a) à metade do quociente? c) ao dobro do quociente?

b) ao quociente? d) ao triplo do quociente?

6. O resto da divisão do inteiro N por 20 é 8. Qual é o resto da divisão de N por 5?

7. Mostre que, se um inteiro é, ao mesmo tempo, um cubo e qum quadrado, então ele é da forma 5n, 5n+1, ou 5n+4.

8. Mostre que

a) se � é ímpar, então �� − 1 é divisível por 8.

b) se � não é divisível por 2, nem por 3, então �� − 1 é divisível po 24.

9. sejam �, �, � inteiros com� ≠ 0. Mostre que ��|�� ↔ �|�.

10. Mostre que 13|2#$ + 3#$.

11. Mostre que, para to inteiro �

a)2|�� − � b)3|�� − � c)5|�& − � d)7|�# − �

12. a) Ache o menor inteiro positivo � tal que o número 4�� + 1 seja divisível por 65.

b) Mostre que existem infinitos múltiplos de 65 da forma 4�� + 1.

c) Mostre que se um dado número divide um número da forma 4�� + 1, ele dividirá uma infinidade desses

números.

13. Mostre que o algarismo das unidades de um quadrado só pode ser um dos seguintes: 0, 1, 4, 5, 6, e 9.

(obs.: Utilizar divisibilidade)

14. Mostre que (�, �� + �� + �)|�, quaisquer que sejam �, �*� naturais.

15. a) Sejam dados os dois números � = 10� + �*� = � − 2�, com �*� inteiros. Mostre que �é divisível por 7se, e

somente se � é divisível por 7.

b) deduza o seguinte critério de divisibilidade por 7: O número � = �+ …�-�$ é divisível por 7 se, e somente se, o

número �+ …�- − 2�$ é divisível por 7

c) Utilize repetidas vezes o critério acima para verificar se 2368 é ou não divisível por 7.

16. Seja � ∈ ℕ. Mostre que

a) (�, 2� + 1) = 1 b) (�! + 1, (� + 1)! + 1) = 1

17. Um prédio possui duas escadarias, uma delas com 780 degraus e a outra com 700 degraus. Sabendo que os

degraus das duas escadas só estão no mesmo nível quando conduzem a um andar, descubra quantos andares tem o

prédio.

18. a) Mostre que um quadrado perfeito ímpar é da forma 4� + 1.

b) mostre que nenhum elemento da sequência 11, 111, 1111, .... é um quadrado perfeito.