1. lekcija. ievads kosmoloģijā -...

K.Bērziņš 2007, Dabas vēsture: Kosmiskā evolūcija 1 1

DABAS VĒSTUREI daļa (5 lekcijas) Kosmiskā evolūcija

Kārlis Bērziņš[email protected]

1. lekcija. Ievads kosmoloģijā.

2007.09.06.

DABAS VĒSTUREI daļa (5 lekcijas) Kosmiskā evolūcija

Kārlis Bērziņš[email protected]

1. Ievads kosmoloģijā.2. Visuma evolūcijas pamati.3. Reliktais mikroviļņu fona starojums.4. Visuma struktūras veidošanās un attīstība.

Alternatīvās kosmoloģiskās teorijas.5. Zvaigžņu fizikas pamati.

Saules sistēmas kosmogonija.

2007.09.06.

Kursa I daļas temati:


Ieteicamā lasāmviela• Bērziņš, K. 1999-2004, “Ar kosmoloģiju uz tu” (rakstu sērija)

“Zvaigžņotā debess” (žurnāls iznāk 4 reizes gadā)• Hokings, S. 1997, Īsi par laika vēsturi, Rīga: “Madris” • Weinberg, S. 1993, The First Three Minutes, London: Flamingo • Bērziņš, K. 2007, Dabas vēsture: kosmioskā evolūcija (lekciju materiāli)

www.lanet.lv/~kberzins/astrolekcijas• J. Žagars, I. Vilks 2005, Astronomija augstskolām, LU Akadēmiskais apgāds• P. Coles, F. Lucchin 1995, Cosmology: The Origin and Evolution of Cosmic Structure,

John Wiley & Sons• Jones, B.T. 2001, The Large Scale Structure of the Universe,

http://nedwww.ipac.caltech.edu/level5/Sept01/Jones/frames.html• Karttunen, H. et al. 1996, Fundamental Astronomy, Berlin: Springer• Peebles, P.J.E. 1993, Principles of Physical Cosmology, Princeton: Princeton Univ. Press • Weinberg, S. 1972, Gravitation and Cosmology: New York: John Wiley & Sons• Mazā enciklopēdija 1986, Физика космоса, Maskava• Wright, E.L. 1996-2005, Cosmology Tutorial,

http://www.astro.ucla.edu/~wright/cosmolog.htm• Ārpusgalaktikas astronomijas un kosmoloģijas zināšanu datubāze:

http://nedwww.ipac.caltech.edu/level5/• Preprintu serveris: http://arxiv.org• NASA Astrofizikas datu sistēmas tēžu datubāze:

http://adsabs.harvard.edu/abstract_service.html

Popu

lāri

Prof

esio

nāla

lite

ratū

ra

Šie lekciju materiāli atrodami: www.lanet.lv/~kberzins/astrolekcijas

Rak

sti

DABAS VĒSTURE1. lekcija

• Cilvēka pasaules priekšstatu attīstība un vēsture. • No mitoloģijas līdz modernajai kosmoloģijai. • Astronomijas nozares. Astronomiskie instrumenti. • Galvenās astronomiskās izpētes metodes. • Relativitātes teorijas pamati. • Neeiklīda ģeometrijas pamati.

2007.09.06.

Lekcijas temati:

Ievads kosmoloģijā.


Kosmiskie mērogi

Zeme

Saules sistēma

Kosmiskie mērogi

Tuvākā zvaigžņu sistēma Tuvākās zvaigznes


Kosmiskie mērogiGalaktika

Tuvākās galaktikas: LMC, SGC

Lokālā galaktiku grupa

Kosmiskie mērogi


Mērogi

13 000 km

2 m

1010 km

10 ly

150 000 ly

3 000 000 ly

13 300 000 000 ly

Mikrokosmosa mērogi

Atomi ~ 10-8 cmAtomu kodoli ~ 10-10 cmProtoni/neitroni ~ 10-13 cmKvarki ~ ?Stīgas ? ~ ?Planka garums ~ 10-33 cm

3cGLPh=

Makroskopiskā un mikroskopiskā daba ir cieši saistītas!


Astronomiskās attāluma mērvienībasFizikālā pamatmērvienība: m metrs (cm, km)Astrononomiskā vienība astronomical unit : 1 au = 149 597 870 kmGaismas gads light year: 1 ly = 365.25·24·60·60·c = 9.461×1015 mParseks: 1 pc = 360·60·60/(2π)·1au = 648000/π au = 3.085 678×1016 m

= 3.261 633 ly

Pakāpes:Centi cm = 10-2

Kilo k = 103

Mega M = 106

Giga G = 109

1 au

1 pc 1"

c = 299 792 458 m s-1

Saule

Zeme

π = 3.14...

Attāluma mērīšanaTriangulācija un radari

Planētu periodu–attāluma sakarība (Keplera III likums)

Zvaigžņu paralakses = triangulācija no dažādiem Zemes orbītas punktiem

Zvaigžņu kopu dinamiskā paralakse

Zvaigžņu kopu krāsu–spožuma diagrammas

Cefeīdu perioda–spožuma sakarība

Galaktiku spožākās zvaigznes, HII reģionu izmēri

Galaktiku spožumi

Galaktiku kopu spožākās galaktikas

Habla likums

Pēc Harttunen et al. Fundamental Astronomy


Daži ļoti svarīgi lielumi

• Kosmoloģijā dažādu mainīgo mūsdienu vērtību parasti apzīmē ar indeksu 0, piem. H0, Ω0, λ0 utt.

Gaismas ātrums: c = 2.997 924 58 ×105 km s-1

Parseks: 1 pc = 3.085 678 ×1018 cm = 3.26 lySaules masa: M = 1.989 × 1033 gSaules starjauda: L = 3.846 × 1033 erg s-1

Visuma evolūcija

KOSMOLOĢIJA –astronomijas nozare, kas pēta Visuma izcelšanos, īpašības un evolūciju.


No mitoloģiskiem priekšstatiem...

...līdz modernajai kosmoloģijai• 1916. g. A. Einšteins publicē

vispārīgo relativitātes teoriju. 1917.g. viņš izveido stacionāru visuma modeli.

• 1917.g. V. de Siters atrod atrisinājumu relatīvistiskamdinamiskam tukšam visumam.


Ārpusgalaktikas astronomijas pirmsākumi• 1912.-1925.g. Vesto Melvin

Slipher ieguva spektrālos uzņēmumus 45 galaktikām, un atklāja sarkano nobīdi.

• 1920.g. Knut Emil Lundmarkizveido pirmo galaktiku attālumu – ātrumu diagrammu. Viņš uzkatīja, ka Andromedasmiglājs atrodas ārpus mūsu Galaktikas.

• 1923.-1924.g. E.P.HablaAndromedas miglāja uzņēmumi apstiprina, ka tā ir tāla zvaigžņu pasaule.

• 1929.g. Habls publicē lineāru galaktiku attālumu – ātrumu (Habla) diagrammu.

E.P.Hubble

Lundmark 1924

Andromedas galaktika M31

(2.52 ly)d = 772 ± 44 kpc (2.52 Mly)Ribas et al. 2006


Teorētiskās kosmoloģijas radītāji• 1920. gados A.A. Friedmann un neatkarīgi G.E. Lemaître

attīstīja tālāk nestacionāro visuma modeļus, ņemot vērā masu, gravitāciju un telpas liekumu.

• 1940. gados G.Gamow izveido karsta Lielā Sprādzienateoriju. Paredzēja ~5K relikto starojumu. (R.Alpher un R.Herman).

A.A.Friedmann G.E.Lemaître G.Gamow

Astrofizika

pēta kosmosa fizikālo dabu –

• gan visam Visumam (kosmoloģija);

• gan atsevišķiem objektiem (piem. galaktika, zvaigzne, planēta) un to grupām (piem. zvaigžņu astronomija);

• gan arī telpu starp debess ķermeņiem (piem. starpzvaigžņu vide)


Galvenās astronomijas nozares

Astrofizika

Astrometrijapēta debess ķermeņu pozīcijas, paralakses, īpaškustības.

Debess mehānikapēta debess ķermeņu dinamiku.Galvenie faktori: gravitācija; berze un starojuma spiediens

AstrofizikaTiho Brahe

1546-1601Hipparcos1989-1993

Hiparhs190-120 p.m.ē.


(1) asteroīds (3939) Huruhata 16.1m

(2) asteroīds 1999 TK 5 17.3m

(3) asteroīds (13425) 1999 VG 24 16.9m

(4) Jupitera pavadonis J-8, Pasiphaé 17m

(5) asteroīds (377) Campania 12.5m

Galvenās astronomijas nozarespēc iegūtās informācijas nesēja veida

• Radioastronomija (kopš ~1930) ~ 1 mm – 30 m• Submilimetra astronomija ~ 300 µm – 1 mm• Infrasarkanā astronomija ~ 760 nm–300µm• Optiskā astronomija (arī pirms 1609) ~ 390 – 760 nm• Ultravioletā astronomija (~1968) ~ 10 – 390 nm• Rentgenstaru astronomija (kopš 1949) ~ 0.01–10 nm• Gamma staru astronomija (kopš ~1960) <0.01 nm• Lielu enerģiju astrofizika (piem. kosmiskie stari)• Neitrīno astronomija• Gravitācijas viļņu astronomija (šobrīd attīstības stadijā)


Elektromagnētiskie viļņi

c ≡ 299 792 458 m s-1

≈ 3×105 km s-1

λ⋅f = c

Elektriskā lauka vektors:E = E0 sin [(2π/λ)(z-ct)]

z

Magnētiskā lauka vektors:B = B0 sin [(2π/λ)(z-ct)]

E ⊥ B



Ex = Ex0 sin [kz – ωt – δ1]

Ey = Ey0 sin [kz – ωt – δ2]z

Leņķiskā frekvence: ω = 2 π fViļņu skaitlis: k = 2 π / λFāzu nobīde: δ

x

y

δ2-δ1=const => PolarizācijaLineāra Eliptiskaδ2-δ1=0 Cirkulāra


Ole Rømer1644–1710

c ≈ 2×105 km s-1

1676.g. novēroja Jupitera pavadoņa aptumsuma aizkavēšanos → c

c = 3×105 km s-1



E=h fPlanka const: h = 6.626 076 × 10-34 J⋅s

Elektromagnētiskie viļņiAtomiem ir pozitīvi kodoli (protoni p + neitroni n) un negatīvs elektronu e- mākonis.



Mijiedarbības rezultātā e- pāriet no viena enerģētiskā līmeņa uz otru.


nm

Ūdeņradis H

Hēlijs He

Nātrijs Na

Dzīvsudrabs Hg


Optiskie teleskopikopš 1609. gada

Galileja tālskatu kopijas

Galileo Galilejs(1564–1642)

Gal

ileo

byJu

stus

Sus

term

ansi

n16

36

Oriģinālā objektīva lēca, ar kuru tika atklāti Jupitera pavadoņi


Optiskie teleskopiRefraktorilēcu teleskopi

Reflektorispoguļu teleskopi

Katadioptriskiejaukta tipa teleskopi

RefraktoriLielākais pasaules refraktors

D=102 cm 1897.g.Jerkīza observatorijā (ASV)

Refraktoru trūkumi:* Hromatiskā aberācija;* Lielas deformācijas lielu

lēcu svara dēļ;* Lieli izmēri (fokusa attālums).


Teleskopu galvenie raksturlielumi

Objektīva diametrs: D

Fokusa attālums: f

Fokākālā attiecība: f/D

Izšķiršanas spēja: θmin= λ/D [rad]θmin = 1.22⋅θmin – opt. difrakcijas dēļ

Palielinājums: k = f / fokulars

Atmosfēras turbulences dēļ θmin > 0.5...1"Dažkārt redzamība sasniedz 0.2"

Teleskopa montējums

Azimutālais Ekvatoriālais

– teleskopa mehāniskā daļa, kas nodrošina uzvadīšanu un sekošanu debess objektam.


Ekvatoriālais montējums

Pēc uzvadīšanas kustība ap vienu asi nodrošina sekošanu debess spīdekļiem.

Lielākais optiskais teleskops Latvijā

Baldones Šmita sistēmas 1.2 m teleskops(kopš 1966.g)


Lielākais optiskais teleskops pasaulē

Keka 10 m dubultteleskops Havaju salās(kopš 1991.g)

Very Large Telescope


Very Large Telescope


Aktīvā un adaptīvā optika

Aktīva datorizēta deformāciju korekcija primārajam un sekundārajam spogulim

Pretdarbojoties:* gravitācijai;* izgatavošanas kļūdām;* konstrukcijas ieliekumam u.c.

Viļņu frontes korekcija atmosfēras turbulences dēļ vairākas reizes sekundē.

Lokans spogulis detektora priekšā + lineāra sekundārā spoguļa korekcija


Pirms 1609. gada...


Galvenie mūsdienu astronoma instrumentiŅūt

ona

tele

skop

s

Dators* novērojumu sagatavošana;* kontrolē teleskopu;* datu apstrāde;* rezultātu publikācija

Teleskops* informācijas iegūšana

Fotometrs Spektrometrs u.c.

Uztvērējs (piem. CCD)

Pulkstenis* laiks

Astronomisko novērošanasinstrumentu - teleskopu - uzdevums

• savākt pēc iespējas lielāku noteiktas enerģijasvai daļiņu plūsmu (lielāks signāls/troksnis),

• pēc iespējas mazākā noteiktā telpas leņķī(t.i. ar lielu izšķiršanas spēju),

• pēc iespējas lielākā redzes laukā(t.i. cenšoties pārklāt visas debesis),

• pēc iespējas īsākā laika intervālā (t.i. lai būtuiespējams izsekot straujām objekta izmaiņām) un

• darīt to pēc iespējas ilgstošāk(t.i. novērot objekta evolūciju).


Astrofizikas metodes

Fotometrijapēta debess ķermeņu spožumus noteiktā ∆λ.

Spektroskopijapēta debess ķermeņu spektrus.

Spektrogrāfs

Spraugu plāksnīte

Optiskās šķiedras

Prizmavai

Difrakcijas režģis


SpektrsSniedz informāciju par

• vielas ķīmisko sastāvu;

• vielisko stāvokli (piem. T)

• ķermeņu dinamiku;

• magnētiskajiem laukiem;

• u.c.

Fotometrija

Gaismas filtri – krāsasU – ultravioletais;B – zilais (blue);

V – vizuālais;R – sarkanais (red);

I - infrasarkanais


Lielākais radioteleskops Latvijā

Irbenes 32 m radioteleskops RT-32(kopš ~1996.g)

Lielākie radioteleskopi pasaulē

Grīnbenkas 100-110 m RT(2000.g)

NRAO/AUI

Aresibo 300 m RT(1963.g)


InterferometrijaInterference – koherentu viļņu pārklāšanās un mijiedarbības process.

ii bāze

Radio VLBI novēro supernovu SN 1993J VLA

Interferometrija

VLBI Very Long Baseline Interferometry

SN 1993J


Kosmiskās observatorijasChandra rentgenstaru observatorija

Kosmiskās observatorijasCGRO Komptona gamma staru observatorija

CGRO instrumenta 9 dzīves gadu laikā novērotie gamma staru uzliesmojumi. Krāsu skalā sarkanie punkti apzīmē enerģētiskākos (ilgstošākos un/vai spožākos), bet zilie – vismazāk enerģētiskos (īsākos un/vai vājākos) gamma uzliesmojumus.


HST – Habla kosmiskais teleskops

D=2.4 m 2 miljardi $

Neitrīno teleskopi

Izlasiet vairāk:http://www.liis.lv/astron/IE_version/Uzzinrob/Neitrino.htmhttp://en.wikipedia.org/wiki/Neutrino

Līdz pusei piepildīta Super-Kamiokande smagā H2O tvertne.

Vairāk kā 50×1012 Saules neitrīnoizskrien cauri cilvēka ķermenim ik sekundi!


Londonā

Laiks un telpaMūsu priekšstati par laiku un telpu nav pilnīgi,

tomēr cilvēces sakrātais zināšanu materiāls ir pietiekams, lai mēs to varētu izmantot praktiski.

Katra fizikāla teorija darbojas savā, bieži labi zināmā, pielietojamības apgabalā.


Laiks un telpaKosmoloģijas vajadzībām uzskatam, ka mēs

dzīvojam 4 dimensionālā laik-telpā.

Jebkura punkta atrašanās vietu raksturo 4 neatkarīgas koordinātes:

• 1 laika koordināte (t) un• 3 telpas koordinātes (x,y,z).

Laiks

Telpa

Minkovska 4D telpas koordinātes: (ct,x,y,z)

Fizikālā teorija• Spēkā ir vispārīgā relativitātes teorija VRT.• Mūsu ikdienas pieredzē (v<<c) VRT tuvinājumā

pārvēršas klasiskajā Ņūtona fizikā.Piemērs no ikdienas dzīves, mobilo telefonu bāzes stacijas sinhronizē pulksteņus ar speciālās relativitātes teorijas precizitāti. Ja tā nebūtu...


Relativitātes teorijas pamatiSpeciālā relativitātes teorija SRT (1905)darbojas makroskopiskos mērogos (bez kvantu fluktuāciju ietekmes) un

vāja lauka gadījumos, t.i. gravitācijas potenciāls Gm/r << c2 .

Vispārīgā relativitātes teorija VRT (1915)

Gravitācija nav spēks, bet laik-telpas īpašība

SRTAnnalen der Physik, 17, 891-921 (1905)Par kustīgu ķermeņu elektrodinamiku

1. Relativitātes princips:Inerciālās atskaites sistēmās fizikas likumi ir invarianti.

2. Lielākais ātrums ir constNeatkarīgi no kustības visiem novērotājiem gaismas ātrums vakuumā c ir nemainīgs.

c + c = c !c c


nesasniedzamais apgabals

Laik-telpas diagramma

Telpa

Laik

s

Telpa

Laiks

Ņūtona fizikaGalileja transformācijas

x

y

x'

y' v

t' = tx' = x – vty' = yz' = z

O O'


Lorenca transformācijasO' kustas x ass virzienā no O.

x

y

x'

y' v

t' = γ (t – vx/c2)x' = γ (x – vt)y' = yz' = z

•Laika palēnināšanās∆t' = γ (∆t – v ∆x/c2) → Ja ∆x = 0, tad ∆t'= γ ∆t∆t = γ (∆t'+ v ∆x'/c2) → Ja ∆x'= 0, tad ∆t = γ ∆t'

O O'

211

βγ

−≡

cv

≡βkur un

•Telpas saīsināšanās∆x' = γ (∆x – v ∆t) → Ja ∆t = 0, tad ∆x = ∆x' / γ∆x = γ (∆x'+ v ∆t') → Ja ∆t'= 0, tad ∆x'= ∆x / γ

Lorenca transformācijas• Matricas formā

Vispārīgā gadījumā:

×

−

−

=

''''

100001000000

''''

zyxct

zyxct

γβγβγγ

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

×

−+−−−

−−+−−

−−−+−

−−−

=

''''

1111

1111

1111

''''

2

2

22

22

2

2

222

2

zyxct

zyxct

zyzxzz

zyyxyy

zxyxxx

zyx

ββγ

βββ

γβ

ββγγβ

βββ

γββ

γβ

ββγγβ

βββγ

βββ

γββγγβ

γβγβγβγ

x

y

x'

y' v

O O'


ct – x = eφ (ct'– x')ct + x = e-φ (ct'+ x')y' = yz' = z

Lorenca transformācijas• Eksponensiālā formā

x

y

x'

y' v

O O'

( )cvcv

cve

/1/111

−+=

+=+≡ γβγφ

( )[ ]βγφ += 1ln

No hiperboliskajām trigonometriskajām f-lām:

2)cosh(

φφ

φγ−+== ee

φφ

φφ

φβ −

−

+−==

eeee)tanh(

2)sinh(

φφ

φβγ−−== ee

×

−

−

=

''''

1000010000)cosh()sinh(00)sinh()cosh(

''''

zyxct

zyxct

φφφφ

Hiperboliska koordinātu rotācija:

• Oriģinālais raksts

VRT 1915-1916


Relativitātes teorijas testi• Maikelsona-Morlija eksperiments;• Gaismas stara noliekšanās ap gravitatīviem ķermeņiem;• Merkura (u.c. kosmisko ķermeņu) orbītas precesija;• Laika ritējuma mērījumi kustībā esošos objektos; • Neitronu zvaigžņu orbītas samazināšanās;• Relativistisko efektu praktiskie pielietojumi.• Un daudzi citi eksperimenti

GAMS4 instruments E=mc2 testam

Gravitācijas lēcas

rcG 1 4~

2

M=αNoliekšanās leņķis:

ir gaismas stara noliekšanās ap gravitatīviem ķermeņiem - fotona kustība pa ģeodēzisko līniju

relatīvistiski ieliektā laiktelpā

Einšteina gredzens2237+0305



rcG 1 4~

2

M=α

Viens no 1919.g. Edidingtona (Sir Arthur Eddington) Saules aptumsuma ekspedīcijas fotouzņēmumiem

Dyson, Eddington & Davidson 1920


Einšteina gredzens1938+666

IR radio


Gravitācijas lēcasgalaktiku kopā A2218

Gravitācijas lēcasgalaktiku kopā CL 0024+1654


Gaismas stara noliekšanāsSpēcīgāka gravitācijas lauka gadījumā iespējama

singularitāte – Melnais caurums.

Pulsārs PSR B1913+16 Weisberg & Taylor 2004

Dubults neitronu zvaigžņu pulsārs

Taylor 1993

mp =1.4414±0.0002 Mmc =1.3867±0.0002 M

Peters & Matthews 1963:


Gravitācijas viļņu eksperimenti

VIRGO (3km)

AIGO

LIGO Hanford WA(4km & 2km)

LIGO Livingston LA(4km)

TAMA (300m)

GEO (600m)

LIGO

Courtesy of this and the previous slide images:

Jolien Creighton 2003 www.ligo.org

Laser Interferometer Gravitational wave Observatory

Ieplānots mērīt 4 km attāluma novirzes ar 10-18 m (0.0001 ūdeņraža atoma diametra!) precizitāti !!!


Pārējo par relativitātes teorijuLasiet jebkurā RELATIVITĀTES mācību grāmatā,

piem. Veinberga Gravitatācija un kosmoloģija (ENG, RUS)

Ja jūtiet, ka iepriekšējās studijās, tomēr neesiet izpratuši RELATIVITĀTES būtību, tad noderīgas var būt arī daudzas populārzinātniskas (vieglas lasāmvielas) grāmatas!

Pamatus var skat. arī piem. Wikipedia: http://en.wikipedia.org

Liekta telpaVispārīgā gadījumā reālajai pasaules telpai nav

noteikti jābūt plakanai, kā to saka mūsu ikdienas pieredze, tā var būt liekta, t.i. ieliekta (uz iekšu) vai izliekta (uz āru).

Ja Visums ir homogēns, kā liecina mūsu novērojumi, tad telpai jābūt ģeometriski simetriskai, tas izslēdz lielu daudzumu topoloģisko modeļu saimes. Ja tas ir globāli patiesi, tad spēkā ir tikai 3 simetriskas topoloģijas modeļu saimes –eliptiska, Eiklīda un hiperboliska telpa.


Neeiklīda ģeometrija

2D (N D) gadījumāEiklīda telpā

katrai taisnei (N-1 D nepārtrauktam bezgalīgam objektam) caur punktu, kas nepieder šai taisnei (objektam)

var izvilkt tieši vienu taisni (objektu), kas nekrustos doto.Eliptiskā telpā


jebkura izvilktā taisne (objekts) krustosies ar doto.Hiperboliskā telpā


var izvilkt bezgalīgi daudz taišņu (objektu), kas nekrustos doto.

Eliptiska Eiklīda Hiperboliska

Ģeodēziskās līnijas

Trijstūru leņķu summa ne vienēr

ir 180°!


Ģeodēziskās līnijasLeņķiskais attālums

ir f-ja no attāluma

w

Neeiklīda ģeometrija2D

r

Perimetrs p = 2 π rPerimetrs p = 2 π R sinθθ = r/R

θθπ

θθπ sin

2sin2

2==≡Π

RR

rp

r

R

θ

< π ≡3.14 15926 535 897 932...


Telpas liekumsk ≡ R-2 ,

kur R – liekuma rādiuss.

Uz virsmas k var noteikt, piem. mērot p un r.p = 2π R sin(r/R)Ja r << R, tad izvirzot Teilora rindā sin(x)=x–x3/3!+...p ≈ 2π r [1– 1/6 r2R-2 + ...]un

Var definēt arī kā: k ≡ R-1, k ≡ |R|/R u.tml.

( )

−≈ 3

23r

rprk ππ

Telpas koordinātes un metrikaUz plakanas virsmas dažādās koordinātu sistēmās:

ds2 = dx12 + dx2

2

ds2 = du2 + dv2 + 2·du·dv·cosβ

x1

x2

v

uβ

r θ

ds2 = dr2 + r2·dθ

ds

ds

ds


Telpas ģeometrijaPlakanā Eiklīda telpā:ds2 = (dx1)2 + (dx2)2

Uz sfēriskas virsmas:ds2 = (r·dθ)2 + (r·sinθ·dφ)2 = r2 (dθ2 + sin2θ·dφ2)Vispārīgi:

Un Einšteina summēšanas pierakstā: ds2 = gµυdxµ dxυgµυ=gµυ(xµ,xυ)

g – metrikas tenzors – satur visu informāciju par telpas ģeometriju.

( ) 22222112

2111

2 , dxgdxdxgdxgdxdxxxgds ++≡⋅⋅=∑∑µ

µµυ

υµµυ

Telpas koordinātes un metrikaVisās koordinātu sistēmās:

=

2221

1211

gggg

g

ds2 = dx12 + dx2

2

ds2 = du2 + dv2 + 2·du·dv·cosβ

x1

x2

v

uβ

r θds2 = dr2 + r2·dθ2

ds

ds

ds

=

θ22

2

sin00

rr

g

=

1cossin1

ββ

g

υµµυ dxdxgds =2

=

1001


Visuma ģeometrijaPlakanai Eiklīda (t.i. Rīmana) telpai:ds2 = (c dt)2 – [(dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2]

K – telpas liekums

⇒ Robertsona-Volkera metrika:

( ) ( )

++

−−= 2222

2

222 sin

1φθθ ddr

Krdrcdtds

2

1R

K ≡

RR

K ≡

+

−=

101

K

K= –1 vaļēja telpa∆ α+β+γ < 180˚

K= 0 plakana telpa∆ α+β+γ = 180˚

K= +1 slēgta telpa∆ α+β+γ > 180˚

Telpas liekums


Visuma ģeometrija

?

3D Kleina pudele

2D Mēbiusa lente

1. lekcija. ievads kosmoloģijā -...

Documents