1

MTE3105: Statistik

Topik 1 : Kebarangkalian1.1Pengenalan Kepada KebarangkalianKEBARANGKALIAN PERISTIWA

Ruang sampel dan peristiwaTinjauan utama kebarangkalian adalah berkenaan dengan sesuatu kejadian. Kejadian dalam statistik adalah sangat luas. Contoh kejadian dalam statistik ialah

Hasil melambung sekeping duit syiling atau dadu;

Hujan turun pada suatu hari di suatu tempat;

Keputusan menduduki peperiksaan SPM;

Berlakunya gempa bumi di suatu tempat.

Setiap kejadian biasanya memberikan hasil yang berlainan. Misalnya, apabila sebiji dadu dilambungkan, terdapat enam hasil yang mungkin, iaitu sama ada nombor 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 akan muncul. Setiap hasil yang berlainan dalam suatu kejadian dikenal sebagai kesudahan dan set yang menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin bagi suatu kejadian dikenal sebagai ruang sampel.Kita boleh menyatakan ruang sampel dengan cara memberikan semua unsurnya secara terus atau dengan keterangan yang lengkap untuk membayangkan semua unsur dalam ruang sampel. Misalnya, apabila sebiji dadu dilambungkan, maka ruang sampelnya ialah set semua kesudahan yang mungkin bagi lambungan dadu atau {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Peristiwa ialah set kesudahan yang memenuhi syarat tertentu dan merupakan suatu subset bagi ruang sampel. Misalnya, dalam lambungan dadu tadi, peristiwa nombor genap muncul ialah {2, 4, 6} dan peristiwa nombor yang kurang daripada 4 muncul ialah {1, 2, 3}.

Contoh:Dua duit syiling adil dilambung. Tuliskan ruang sampel.

Penyelesaian:

Katakan K ialah mendapat kepala dan B mendapat bunga.

Ruang sampel S yang diberikan oleh S = {KK, KB, BK, BB}

Bilangan unsur dalam ruang sampel ialah 4 dan ditulis sebagai n (S) = 4

The number of elements in the sample space is 4 and is written as n(S) = 4

Contoh:

Sebiji dadu adil dilambung. Ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan n {S} = 6.Jika E1 adalah peristiwa mendapat 'nombor genap', maka E1 = {2, 4, 6} dan n (E1) = 3. Jika E2 adalah peristiwa mendapat 'nombor lebih besar daripada 4', maka E2 = {5, 6} dan n (E2) = 2.

Kebarangkalian ialah satu ukuran kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa dalam ruang sampel yang diberikan. Secara amnya, kebarangkalian mengukur betapa kerapnya sesuatu peristiwa itu berlaku.

Jika S mewakili ruang sampel (iaitu ser semesta) dan A ialah satu peristiwa (iaitu satu subset bagi set S), maka kebarangkalian bahawa peristiwa A berlaku, P(A), ditakrifkan sebagai P(A) = =

Cara sesuatu peristiwa berlaku bergantung kepada cara unsurnya dipilih. Misalnya, dalam suatu pertandingan yang terdiri daripada 5 orang peserta, jika kita menganggap bahawa setiap peserta mempunyai peluang yang sama untuk menang. Maka kebarangkalian bahawa seseorang peserta akan menang dalam pertandingan itu ialah .

Biasanya, kita menganggap semua unsur yang terlibat mempunyai peluang yang sama untuk dipilih. Dalam istilah statistik, kita mengatakan bahawa pemilihan setiap unsur adalah secara rawak. Sifat rawak memastikan keadilan kesudahannya.

Apa yang anda tahu tentang kebarangkalian?Kajian kebarangkalian membantu kita memikirkan kemungkinan berlakunya sesuatu. Sebagai contoh, apabila anda melambungkan duit syiling, anda mungkin bertanya bagaimana kemungkinan anda mendapatkan kepala. Dalam bidang matematik, kita panggil "berlaku" sebagai "peristiwa" (even).

Kebarangkalian merupakan nombor 0 hingga1 yang memberitahu kita bagaimana mungkin sesuatu yang akan berlaku. Peristiwa-peristiwa yang akan berlaku akan mempunyai kebarangkalian yang dekat dengan 1 dan peristiwa-peristiwa yang mustahil berlaku akan mempunyai kebarangkalian yang menhampiri 0.Kebarangkalian boleh mempunyai dua pendekatan iaitu kebarangkalian ujikaji (experimental probability) dan kebarangkalian berteori (theoretical probability).

Nilai kebarangkalian boleh berbentuk pecahan, nombor perpuluhan atau sebagai peratusan.

Satu peristiwa dengan kebarangkalian sifar dipanggil mustahil, manakala satu peristiwa dengan kebarangkalian 1 atau 100% dipanggil pasti/tentu (certain).Jenis Kebarangkalian1. Teori (Theoretical)Dalam sesetengah situasi, kita tidak perlu untuk mengumpul data untuk membuat anggaran kebarangkalian.Contoh: Seorang pengurus jualan boleh menganggarkan bahawa kemungkinan jualan tertinggi bagi produk tertentu ialah 60%. Angka itu boleh berdasarkan penyelidikan pasaran atau pengalaman terhadap produk yang sama, tetapi ia tidak melibatkan mana-mana pengiraan.

2. Empirikal (Empirical)Kebarangkalian empirikal, juga dikenali sebagai kekerapan relatif atau kebarangkalian eksperimen/ujikaji merupakan nisbah jumlah kesudahan dengan jumlah cubaan, bukan dalam ruang sampel tetapi dalam urutan ujikaji sebenar. Dalam erti kata yang lebih umum, kebarangkalian empirik menganggarkan kebarangkalian dari pengalaman dan pemerhatian. Kaedah ini digunakan untuk pengukuran penganggaran kebarangkalian.Contoh: Anda memilih kad dari daun terup bahawa ia adalah kad gambar. Kad-kad gambar adalah Jack, Queen, King dan Ace. Dan terdapat 16 cara di mana peristiwa boleh berlaku. Oleh itu, kebarangkalian kad gambar adalah 16/52 = 0.3077.Empirikal vs. Berteori (Theoretical)Kebarangkalian empirikal: P(peristiwa) =

Kebarangkalian teori: P(E) = =

Bagaimana anda boleh memberitahu yang mana ialah kebarangkalian empirikal dan kebarangkalian teori?Empirikal: Anda dilambung duit syiling 10 kali dan mencatatkan kepala 3 kali, bunga 7 kaliP(kepala)= 3/10

P(bunga) = 7/10

Kebarangkalian Teori: Lambungkan duit syiling dan mendapat kepala atau bungsa ialah 1/2.

P(kepala) = 1/2

P(bunga) = 1/2

Kebarangkalian empirikal didapati dengan mengulangi ujikaji dan memerhatikan kesudahannya.P(kepala)= 3/10 : dapat 3 kali kepala daripada 10 cubaan,

P(bunga) = 7/10 : dapat 7 kali bunga daripada 10 cubaanKebarangkalian berteoriP(kepala) = 1/2

P(bunga) = 1/2

Memadangkan hanya 2 kesudahan, anda mempunyai peluang 50/50 mendapat kepala atau bunga.

Perbandingan kebarangkalian empirikal dan Kebarangkalian teoriKebarangkalian empirikal/ujikaji adalah hasil daripada satu kesudahan suatu ujikaji

Kebarangkalian teori adalah apa yang dijangka akan berlaku.ContohTiga pelajar melambung satu keping duit syiling individul sebanyak 50 kali.

Lisa mendapat kepala 20 kali. ( 20/50 = 0.4)

Tom mendapat kepala 26 kali. ( 26/50 = 0.52)

Al mendapat kepala 28 kali. (28/50 = 0.56)

Sila bandingkan keputusan mereka dengan kebarangkalian teori.

Ia patut adalah 25 kepala. (25/50 = 0.5)

Contoh:Sebiji dadu adil dilambungkan. Cari kebarangkalian untuk mendapat satu nombor yang lebih besar daripada 4?

Penyelesaian:

Ruang sampel, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Maka n(S) = 6

Katakan A = Peristiwa mendapat satu nombor yang lebih besar daripada 4

= {5, 6}

Maka n(A) = 2

Jadi, P(A) = Contoh:

Sebuah beg mengandungi 20 biji guli seiras. 7 daripada guli-guli itu berwarna kuning dan yang lainnya berwarna merah. Sebiji guli dipilih secara rawak dari beg itu. Apakah kebarangkalian bahawa guli yang berwarna kuning akan terpilih?

Penyelesaian:

Ruang sampel, S, mempunyai 20 unsur, iaitu n(S) = 20.

Katakan K = Peristiwa sebiji guli kuning terpilih.

Maka n(K) = 7

Jadi, P(K) = .

Contoh

Sekeping kad dikeluarkan secara rawak daripada pak daun terup 52 kad. Cari kebarangkalian ahawa

a ia adalah lapan

b ia adalah kad merah.Penyelesaian:

Katakan A ialah peristiwa mendapat kad lapan dan

B ialah perisitwa mnedapat kad merah. Satu pak daun terup mengandungi 4 kad bernombor 8 dan 26 kad warna merah. Oleh itu,

Hukum asas kebarangkalian

Berdasarkan takrif kebarangkalian,

P(A) = Oleh kerana A ialah satu subset bagi S, maka

0 n(A) n(S).

Dengan itu, 0 1

Iaitu, 0 P(A) 1Jika P(A) = 0, maka peristiwa A pasti tidak berlaku.

Jika P(A) = 1, maka peristiwa A pasti berlaku.

Misalnya, seorang pelajar dipilih secara rawak daripada 3 orang pelajar lelaki, maka

P(pelajar perempuan dipilih) = 0

P(pelajar lelaki dipilih) = 1

Jika A ialah suatu peristiwa dalam ruang sampel, S, peristiwa pelengkap A, yang ditandakan oleh A ialah suatu peristiwa yang mengandungi semua kesudahan dalam S tetapi bukan dalam A.

Daripada gambar rajah Venn di atas,

n(A) + n(A) = n(S)

P(A) + P(A) = 1atau P(A) = 1 P(A)P(A) dikenal sebagai kebarangkalian peristiwa pelengkap A.

Contoh:

Cari kebarangkalian bahawa nombor bukan 2 akan muncul apabila sebiji dadu dilambungkan.

Penyelesaian:

Katakan A = Peristiwa mendapat nombor 2

Maka n(A) = 1 dan n(S) = 6

P(A) = P(A) = 1 = Oleh itu, kebarangkalian bahawa nombor bukan 2 muncul apabila sebiji dadu dilambungkan ialah .

1.2 Peristiwa Majmuk (Compound Events)Satu peristiwa majmuk mengandungi dua atau lebih peristiwa ringkas. Melambungkan satu dadu adalah satu peristiwa ringkas Melambungkan dua dadu ialah peristiwa majmuk. Kebarangkalian peristiwa majmuk yang boleh dikira jika kesudahannya adalah sama.

Peristiwa Mederka atau Peristiwa tak Bersandar (Independent events) Dua (atau lebih) peristiwa dikatakan tak bersandar jika kejadian satu tidak menjejaskan kejadian yang lain. Dua peristiwa P dan Q dikatakantak bersandar antara satu sama lain jika dan hanya jika kejadian P tidak menjejaskan kejadian Q dan sebaliknya. Contoh: Sebuah pesawat mempunyai banyak kawalan supaya jika satu kawalan gagal berfungsi, yang lain masih lagi berfungsi.

Peristiwa Saling Eksklusif (Mutually exclusive Events) Dua (atau lebih) peristiwa saling eksklusif sekiranya kejadian sama ada boleh berlaku, tetapi tidak kedua-duanya. Contoh: Satu kad diambil dari pek daun terup tidak boleh menjadi Jack dan Ace. Walau bagaimanapun, Jack dan Diamond tidak saling eksklusif memandangkan kad yang dipilih boleh menjadi kedua-dua.(a) Melibatkan Dua PeristiwaMana-mana dua peristiwa yang ditakrifkan dari ruang sampel yang sama dikatakan saling eksklusif jika kedua-dua mereka tidak boleh berlaku pada masa yang sama. Ini bermakna bahawa set algebra mereka tidak bertindih, atau pertindihan mereka adalah set sifar.

Contoh:Katakan S ialah ruang sampel melambungkan sebiji dadu sekali. Takrifkan peristiwa berikut daripada ruang sampel ini. Ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Katakan takrifan bagi peristiwa berikut:A : mendapat nombor kurang daripada 4B : mendapat nombor lebih daripada 3C : mendapat nombor ganjilD : mendapat nombor genapE : mendapat nombor lebih daripada 4F : mendapat nombor kurang daripada 2G : mendapat sebarang nomborH : tidak mendapat nombor.

Kita boleh menggunakan algebra untuk mengenalpasti setiap peristiwa seperti berikut:

A = {1, 2, 3}

B = {4, 5, 6}

C = {1, 3, 5}

D = {2, 4, 6}

E = {5, 6}

F = {1}

G = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

H = ( , set kosong.Untuk penjelasan lanjutan, gambar rajah Venn dalam Rajah 1 di bawah juga membolehkan kita dapat melihat hubungan antara mereka.

Rajah 1: Gambarajah Venn A, B, ...., H bagi peristiwa yang dinyatakanDalm contoh di atas, A dan B adalah peristiwa saling eksklusif, begitu juga peristiwa C dan D.

(b) Melibatkan Tiga PeristiwaTiga peristiwa P, Q dan R dikatakan saling eksklusif jika dan hanya jika tiga pasangan P dan Q, P dan R, Q dan R adalah semua saling eksklusif. Merujuk kepada ruang sampel melambung sebiji dadu, katakan P = {1, 3}, Q = {2, 4}, dan R = {5, 6} di mana P Q = P R = Q R = (, set kosong. Oleh itu peristiwa P, Q dan R ialah tiga peristiwa saling eksklusif.1.3 Hukum Penambahan (The Addition Rule) / Kebarangkalian peristiwa bergabungJika diberi dua peristiwa A dan B, kita boleh mentakrifkan dua jenis gabungan asas tentang kedua-dua peristiwa itu, iaitu gabungan dan dan gabungan atau. Gabungan A dan B bererti kedua-dua peristiwa A dan B berlaku. Gabungan A atau B bererti peristiwa A berlaku, atau peistiwa B berlaku, atau kedua-dua peristiwa A dan B berlaku.Misalnya, jika A ialah peristiwa menjadi johan dalam perbahasan dan B ialah peristiwa menjadi pembahas terbaik, maka A dan B bererti peristiwa menjadi johan dan menjadi pembahas terbaik. Manakala A atau B bererti peristiwa menjadi johan sahaja, atau peristiwa menjadi pembahas terbaik sahaja, atau kedua-duanya.Peristiwa A dan B dan peristiwa A atau B masing-masing dikenal sebagai peristiwa bergabung. Dalam bentuk set, peristiwa A dan B adalah sama dengan A B manakala peristiwa A atau B adalah sama dengan A U B.

Persilangan dua peristiwa A dan B,

Kesatuan dua peristiwa A dan B,

iaitu A B.

iaitu A U B.

(a)Bukan Saling Eksklusif (Non-Mutually Exclusive) P(A) ialah kebarangkalian peristiwa A dan P(B) ialah kebarangkalian peristiwa B. Memandangkan persilangan mereka bukan sifar, maka mereka bukan saling eksklusif.

Tiga peristiwa A, B, C.

Contoh:

Satu kad diambil dari daun terup. Cari kebarangkalian bahawa mendapat jack atau diamond.Penyelesaian:

(Jack atau diamond) =(jack) + (diamond)- (Jack dan diamond)

=+-

===

Contoh:

Sebiji dadu dan sekeping duit syiling dilambungkan secara serentak. Cari kebarangkalian untuk mendapat

a. satu gambar,

b. satu nombor yang lebih besar daripada 2,

c. satu gambar dan satu nombor yang lebih besar daripada 2,

d. satu gambar atau satu nombor yang lebih besar daripada 2.

Penyelesaian:

Ruang sampel S adalah seperti yang ditunjukkan di bawah.

Katakan A = Peristiwa mendapat satu gambar.

B = Peristiwa mendapat satu nombor yang lebih besar daripada 2.

n(A) = 6

n(B) = 8

a. Kebarangkalian untuk mendapat satu gambar ialah .

b. Kebarangkalian untuk mendapat satu nombor yang lebih besar daripada 2 ialah .

c. P(satu gambar dan satu nombor yang lebih besar daripada 2)

= P(A B)

= = = Kebarangkalian untuk mendapat satu gambar dan satu nombor yang lebih besar daripada 2 ialah .

d. P(satu gambar atau satu nombor yang lebih besar daripada 2)

= P(A U B)

= = = Kebarangkalian untuk mendapat satu gambar atau satu nombor yang lebih besar daripada 2 ialah .

Sekarang kita boleh semak keputusan di atas dengan menggunakan

P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B)

Sebelah kiri = P(A U B) = Sebelah kanan = P(A) + P(B) P(A B)

= = Oleh itu, sebelah kiri = sebelah kanan dan P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B)

Contoh:

Perstiwa A dan B adalah berkeadaan bahawa P(A) = , P(B) = , dan P(A U B) = . Cari

a. P(A B),

b. P(A B ).

Penyelesaian:

a. P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B)

P(A B) = = .

Oleh itu, P(A B) = .

b. Peristiwa A B dilorekkan dalam gambar rajah Venn di bawah.

Daripada gambar rajah,

n(A) = n(A B ) + n(A B)

P(A) = P(A B ) + P(A B)

P(A B ) = P(A) P(A B)

= = = Oleh itu, P(A B ) = .

Contoh:

Di dalam sebuah kelas yang mengandungi 40 orang pelajar, 5 daripada 15 orang pelajar perempuan dan 7 daripada 25 orang pelajar lelaki adalah ahli persatuan Matematik. Seorang pelajar dipilih secara rawak. Apakah kebarangkalian bahawa pelajar yang terpilih itu ialah seorang perempuan atau ahli persatuan Matematik?

Penyelesaian:

Katakan A = Peristiwa pelajar yang terpilih itu ialah perempuan, dan

B = Peristiwa pelajar yang terpilih itu ialah ahli persatuan Matematik.

P(A) = P(B) = P(A dan B) = P(A B)

= P(A atau B) = P(A U B)

= P(A) + P(B) P(A B)

= = = .

Contoh:

Andaikan kita mempunyai dua biji dadu, 1 merah dan 1 biru, dan anda melambungkan kedua-dua dadu serentak. Kita akan menulis nombor pada dadu biru pertama dan nombor pada dadu merah kedua sebagai pasangan, contohnya (2, 4) bererti '2' pada dadu biru dan '4' pada dadu merah. Berapa banyakkah pasangan yang berbeza yang ada?Jika pasangan (2, 4) akan memberi jumlah skor 6. Apakah kemungkinan jumlah skor yang boleh dapat dengan melambungkan dua dadu serentak? Untuk membantu anda, plotkan pasangan yang diperoleh seperti berikut:

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

(i) Jika set A ialah set kesudahan mendapat jumlah skor 10.

A = ( (4,6), (5,5), (6,4)(

Apakah n(A)?

Pakah kebarangkalian mendapat jumlah skor 10?(ii) Jika ingin melihat peristiwa mendapat dua nombor yang sama, katakan set B.

Apakah n(B)?

Apakah kebarangkalian mendapat dua nombor yang sama?(iii) Senaraikan set kesudahan C yang memberikan sama ada jumlah skor ialah 10 atau dua nombor yang sama.

Senaraikan set A ( B, apa yang anda perhatikan?

Kirakan n(A ( B).

Adakah n(A ( B) tidak sama dengan n(A) + n(B)?

Apakah kebarangkalian mendapat sama ada jumlah skor ialah 10 atau dua nombor yang sama?(iv) Senaraikan unsur bagi set A ( B. Apakah yang dimaksudkan set ini? Apakah nilai bagi n (A ( B )?Apakah kebarangkalian mendapat jumlah skor 10 dan dua nombor yang sama?(b)Saling Eksklusif (Mutually Exclusive) P(A) bermaksud kebarangkalian bagi peristiwa A dan P(B) bermaksud kebarangkalian bagi peristiwa B. Tidak terdapat persilangan dan P(A dan B) ialah sifar. Peristiwa saling eksklusif ialah peristiwa-peristiwa yang tidak boleh berlaku secara serentak, tetapi hanya satu peristiwa yang boleh berlaku pada suatu ketika.

Contoh-contoh peristiwa saling eksklusif:

i. Dalam suatu perlawanan ping pong, Johari dan Seng Keong bertanding untuk menjadi johan. Jika A ialah peristiwa Johari menjadi johan dan B ialah peristiwa Seng Keong menjadi johan, maka A dan B ialah peristiwa-peristiwa saling eksklusif kerana kedua-dua peserta itu tidak boleh menjadi johan secara serentak.ii. Sekeping kad dipilih daripada 5 keping kad yang masing-masing ditulis dengan huruf-huruf R, A, J, I, N. Jika X ialah peristiwa huruf konsonan terpilih dan Y ialah peristiwa huruf vokal terpilih, maka X dan Y ialah peristiwa-peristiwa saling eksklusif kerana kepingan kad yang terpilih itu tidak boleh mengandungi kedua-dua sifat konsonan dan vokal secara serentak.Secara amnya, jika A1, A2, A3, ..., An ialah peristiwa-peristiwa saling eksklusif dalam ruang sampel S, maka

P(A1 ( A2 ( A3 ... ( An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An)

Contoh:

Sebuah beg mengandungi 2 bola merah, 3 bola biru, dan 4 bola putih. sebiji bola dipilih daripada begsecara rawak. Apakah kebarangkalian bahawa bola yang terpilih itu bola biru atau bola merah?Penyelesaian:Katakan A = peristiwa bola biru terpilih

B = peristiwa bola merah terpilihMemadangkan peristiwa A dan B tidak mungkin berlaku serentak (saling eksklusif), maka P(A ( B) = P(A) + P(B)

=

=

Contoh:

Sebuah beg mengadungi 4 biji guli merah, 2 biji guli putih dan 8 biji guli hitam. Sebiji guli dipilih secara rawak dari beg itu. Apakah kebarangkalian bahawa guli yang terpilih itu berwarna merah atau putih?

Penyelesaian:

Ruang sampel, S = {4 biji guli merah, 2 biji guli putih, 8 biji guli hitam}

Maka n(S) = 14

Katakan A = Peristiwa guli merah terpilih, dan

B = Peristiwa guli putih terpilih.

P(A) = P(B) = Oleh kerana peristiwa A dan B adalah saling eksklusif kerana kedua-duanya tidak boleh berlaku secara serentak, iaitu sebiji guli tidak boleh berwarna merah dan putih.

Jadi, P(A atau B) = P(A ( B)

= P(A) + P(B)

= = Contoh:

Puan Halimah menjemput 10 orang untuk menghadiri suatu jamuan. Antara 10 orang itu, 3 orang ialah adiknya, 2 orang ialah kakaknya, seorang ialah abangnya, dan 4 orang ialah rakannya. Jika tetamu pertamanya mungkin adalah mana-mana satu daripada 10 orang itu, cari kebarangkalian bahawa

a. Tetamu pertama ialah kakaknya atau adiknya,

b. Tetamu pertama ialah adiknya atau rakannya,

c. Tetamu pertama ialah adiknya atau abangnya.

Penyelesaian:

Ruang sampel, S = {10 orang tetamu itu}

Katakan A = Peristiwa tetamu pertama ialah adiknya,

K = Peristiwa tetamu pertama ialah kakaknya,

B = Peristiwa tetamu pertama ialah abangnya, dan

R = Peristiwa tetamu pertama ialah rakannya.

P(A) = , P(K) = , P(B) = , dan P(R) = Peristiwa-peristiwa A, K, B, dan R adalah saling eksklusif.

a. P(K atau A) = P(K ( A)

= P(K) + P(A)

= = b. P(A atau R) = P(A ( R)

= P(A) + P(R)

= = c. P(A atau B) = P(A ( B)

= P(A) + P(B)

= = 1.4 Hukum Pendaraban (The Multiplication Rule)Peristiwa Merdeka / Peristiwa Tak Bersandaran (Independent Event) Apabila dua peristiwa A dan B adalah tak bersandar / merdeka / bebas, kebarangkalian bahawa kedua-dua peristiwa berlaku boleh didapati menggunakan keputusan berikut.P(A B) = P(A) ( P(B) atau P(A B) = P(A) . P(B) Dua peristiwa A dan B adalah merdeka jika kebarangkalian A berlaku tidak bergantung kepada B berlaku atau tidak berlaku dan sebaliknya. Secara amnya, jika A1, A2, A3, ..., An ialah peristiwa-peristiwa tak bersandaran, makaP(A1 ( A2 ( A3 ... ( An) = P(A1) ( P(A2) ( P(A3) ( ... ( P(An)

Contoh:Jika terdapat 4 manik merah dan 6 manik biru di dalam sebuah bekas. Semua manik bersaiz sama dan dibuat daripada bahan yang sama. Pertama saya memilih 1 manik dari 10 manik, dan kemudian memilih 1 manik dari baki sembilan manik. Apakah kebarangkalian bahawa mendapat manik merah dulu? Apakah kebarangkalian bahawa mendapat manik merah pada pemilihan kedua?

Apabila saya mengeluarkan manik pertama, terdapat 10 manik di dalam bekas iaitu 4 berwarna merah, jadi kebarangkalian mendapat satu manik merah. Jadik kebarangkalian mendapat manik pertama merah ialah Apabila sudah memilih satu manik, maka saiz ruang sampel telah berubah iaitu hanya mempunyai baki 9 manik, 3 manik daripadanya ialah merah. Jadi kebarangkalian mendapat satu manik merah ialah .Tetapi jika kita ingin tahu kebarangkalian bahawa saya mendapat 1 manik merah dan anda juga juga mendapat 1 manik merah. Ini kelihatan seperti soalan yang sama, tetapi ia tidak sama kerana ianya adalah lebih daripada satu peristiwa. Berikut merupakan kemungkinan yang membentuk ruang sampel

A. Saya mendapat manik biru dan anda mendapat manik biruB. Saya mendapat manik biru dan anda mendapat manik merahC. Saya mendapat manik merah dan anda mendapat manik biruD. Saya mendapat manik merah dan anda mendapat manik merah

Ini adalah empat kemungkinan tetapi mereka tidak mungkin sama. Apabila kita mempunyai peristiwa yang terdiri daripada dua peristiwa berasingan dan kesudahan peristiwa kedua adalah bergantung kepada peristiwa pertama, maka kita darab dua kebarangkalian ini untuk mendapatkan jawapan.Merujuk kepada pengiraan di atas, maka kebarangkalian kedua-dua kita mendapat manik merah ialah

Contoh

Apakah kebarangkalian mendapat satu pasangan 6 apabila sebiji dadu dilambungkan dua kali? Penyelesaian:

KatakanA= peristiwa mendapat 6 pada lambungan pertama

B= peristiwa mendapat 6 pada lambungan kedua

Maka P (A) = dan P (B) =

P (mendapat pasangan 6 dari dua lambungan)= (A ( B)

= P (A) ( P (B)

= (

=

Contoh:

Katakan H1 dan H2 adalah dua peristiwa mendapat kepala dalam lambungan pertama dan kedua sekeping duit syiling yang adil. Apakah kebarangkalian mendapat kedua-dua kepala pada dua kali lambungan?

Penyelesaian:Kesudahan lambungan kedua tidak bersandar dengan lambungan pertama.

P (H1 H2) = P (H1) X P (H2)

ContohDua biji bola merah dan 3 bola diletakkan di dalam beg. Sebiji bola dikeluarkan dari beg dan dikembalikan. Jika proses ini berulang sebanyak empat kali, apakah kebarangkalian bahawa empat bola diambil adalah merah?PenyelesaianKatakan R ialah peristiwa mendapat bola merah

Peristiwa adalah merdeka kerana bola digantikan selepas setiap ambilan.Kebarangkalian bahawa empat bola adalah merah

Contoh:

Jika peristiwa A dan peristiwa B adalah merdeka dan P(A) = 0.3, P(B) = 0.5. Cari

a. P(A B),

b. P(A U B).

Penyelesaian:

a. A dan B ialah peristiwa-peristiwa merdeka.

Maka P(A B) = P(A) . P(B)

= 0.3 x 0.5

= 0.15

b. P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B)

= 0.3 + 0.5 0.15

= 0.65

Contoh :

Sebiji dadu dilambungkan sebanyak 6 kali. Apakah kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu nombor 6 diperoleh?

Penyelesaian:

Enam lambungan dadu itu adalah sama dengan enam percubaan merdeka. Katakan A ialah peristiwa nombor 6 diperoleh.

Maka P(A) = dan P(A ) = .

P(nombor 6 tidak diperoleh dalam 6 lambungan = {P(A )}6

= Jadi P(sekurang-kurangnya satu nombor 6 diperoleh)

= 1 P(nombor 6 tidak diperoleh dalam 6 lamungan)

= 1 = 0.665.

Contoh:

Dua orang budak, Alwi dan Borhan, masing-masing menembak suatu sasaran. Kebarangkalian bahawa damak Alwi mengena sasaran ialah dan kebarangkalian bahawa damak Borhan tidak mengena sasaran ialah . Alwi menembak sasaran diikuti dengan Borhan. Cari kebarangkalian bahawa

a. Damak Alwi dan Borhan mengena sasaran,

b. Seorang sahaja yang mengena sasaran,

c. Tidak seorang pun yang mengena sasaran.

Penyelesaian:

Katakan A = Peristiwa damak Alwi mengena sasaran, dan

B = Peristiwa damak Borhan mengena sasaran.

P(A) = , P(B) = 1 P(B ) = Peristiwa A dan peristiwa B adalah merdeka.

a. P(A B) = P(A) . P(B)

= = b. P(peristiwa hanya seorang budak mengena sasaran)

= P[(A B ) U (A B)]

= P(A B ) + P(A B)

= P(A) . P(B ) + P(A ) . P(B)

= = c. P(tidak seorang pun yang mengena sasaran)

= P(A B )

= P(A ) . P(B )

= = 1.5 Kebarangkalian Pokok (Probability Tree)Gambar rajah pokok ialah suatu kaedah yang berguna dalam menyelesaikan masalah yang berhubung dengan cubaan berulang, sama ada kebarangkalian pada setiap peringkat bergantung kepada kesudahan percubaan yang lebih awal atau tidak.

Gambar rajah pokok ialah gambar rajah urutan peristiwa-peristiwa dan kebarangkaliannya. Ia memberikan gambaran yang jelas tentang situasi kebarangkalian. Ia boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah kebarangkalian. Langkah-langkah berikut digunakan untuk membina satu gambar rajah pokok.1.Menentukan keadaan pertama dalam turutan dan mewujudkan cabang bagi setiap peristiwa dari titik yang sama. Tulis kebarangkalian di atas garisan cabang.2.Tentukan keadaan kedua dalam urutan dan mewujudkan cabang bagi setiap akahir cabang pertama dan tuliskan kebarangkalian di atas garisan cabang tersebut.

3.Terus proses untuk langkah-langkah seterusnya jika perlu.Ia harus diperhatikan bahawa semua cabang yang bermula dari titik mestilah(a) peristiwa saling eksklusif dan(b) peristiwa habisan (exhaustive events),

yang jumlah kebarangkalian kesemua peristiwa ialah 1. Kaedah ini ditunjukkan dalam contoh berikut.Contoh :

Duit syiling dilambungkan dan kebarnagkalian mendapat kepala dan kebarangkalian mendapat bunga adalah:

P(Kepala) = dan P(Bunga) =

Duit syiling dilambungkan tiga kali.

(a) Senaraikan semua kesudahan yang mungkin dengan menggunakan gambar rajah pokok,

(b) Cari kebarangkalian bahawa(i) 3 kepala diperoleh,

(ii) 2 kepala dan 1 bunga diperoleh,

(iii) Tiada kepala diperoleh.

Penyelesaian:

Katakan H: peristiwa mendapat kepala

T: peristiwa mendapat bungaHHH: peristiwa mendapat 3 kepala dalam 3 kali lambungan iaitu H ( H ( H.(a)P(H ( H ( H) = P(HHH)

=

=

(b)P(2 kepala 1 bunga) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH)

= + +

= + +

=

(c)P(tiada kepala) = P(TTT)

=

=

Contoh:

Andaikan bahawa kebarangkalian melahirkan anak lelaki dan perempuan adalah 0,60 dan 0.40 masing-masing. Bagi keluarga tiga orang anak, senaraikan semua kesudahan yang mungkin menggunakan gambar rajah pokok. Cari kebarangkalian bahawa anak adalah

(a) semua lelaki atau semua perempuan(b) dua lelaki dan seorang perempuan(c) tiada lelaki

(a)P(B ( B ( B) + P(G ( G ( G) = P(BBB) + P(GGG)

= 0.6 0.6 0.6 + 0.4 0.4 0.4

= 0.28

(b)P(2 lelaki dan 1 perempuan) = P(BBG) + P(BGB) + P(GBB)

= 0.6 0.6 0.4 + 0.6 0.4 0.6 + 0.4 0.6 0.6

= 0.432

(c)P(tiada lelaki) = P(GGG)

= 0.4 0.4 0.4

= 0.064

Contoh:

Sebuah beg mengandungi 5 biji guli kuning dan 3 biji guli merah. Dua biji guli dipilih secara rawak satu demi satu tanpa pengembalian. Cari kebarangkalian bahawa guli itu

a. mempunyai warna yang berlainan,

b. mempunyai warna yang sama.

Penyelesaian:

Katakan K1 = Peristiwa guli pertama berwarna kuning,

K2 = Peristiwa guli kedua berwarna kuning,

M1 = Peristiwa guli pertama berwarna merah, dan

M2 = Peristiwa guli kedua berwarna merah.

Oleh kerana guli pertama tidak dimasukkan semula ke dalam beg, maka peristiwa di setiap cabang dalam gambar rajah pokok adalah bersandaran.

P(XA) =

P(X A) =

P(A) =

P(XA) =

P(X A) =

P(XB) =

P(X B) =

P(B) = P(XB) =

P(X B) = a. P(guli itu mempunyai warna yang berlainan)

= P(K1 M2) + P(M1 K2)

= = b. P(guli itu mempunyai warna yang sama)

= = 1.6 Kebarangkalian Bersyarat (Conditional Probabilities)Kejadian satu peristiwa biasanya bergantung kepada kejadian peristiwa lain.Misalnya, seorang pelajar dipilih secara rawak dari sebuah kelas. Jika A = Peristiwa pelajar itu bercermin mata dan B = Peristiwa pelajar itu adalah perempuan.Maka kebarangkalian bahawa pelajar yang terpilih itu adalah perempuan jika diberi pelajar itu bercermin mata ialah satu kebarangkalian bersyarat dan ditandakan oleh P(B A).Secara amnya, jika diberi dua peristiwa A dan B, maka terdapat dua kebarangkalian bersyarat, iaitu P(A B) dan P(B A).Pertimbangkan gambar rajah Venn yang berikut.

P(A B) ialah kebarangkalian bahawa peristiwa A berlaku jika peristiwa B telah berlaku. Maka ruang sampel ialah B dan bukan S dan kesudahan peristiwa A yang dikehendaki bukanlah set A yang bersilang dengan set B, iaitu A B.

Jadi P(A B) = = P(A B) = Begitu juga, P(B A) = Secara amnya, kedua-dua kebarangkalian bersyarat itu adalah tidak sama.Apabila didarab silang, didapatiP(A B) = P(A B) . P(B) dan P(B A) = P(B A) . P(A)

Oleh kerana P(A B) = P(B A), maka P(A B) . P(B) = P(B A) . P(A)Jika A dan B ialah dua peristiwa yang saling eksklusif, iaitu P(A B) = 0, maka

P(A B) = P(B A) = 0 Jika kebarangkalian peristiwa B berlaku adalah bergantung kepada persitiwa A berlaku, maka dikatakan bahawa peristiwa B adalah bersyarat pada peristiwa A, dan ditulis sebagai P (B | A), yang bermaksud kebarangkalian B diberikan A telah berlaku.

Persampelan tanpa penggantian adalah contoh yang baik kebarangkalian bersyarat. Jika dua orang pelajar dipilih secara rawak daripada kumpulan 5 orang perempuan dan 4 orang lelaki, maka kebarangkalian bahawa orang pertama yang dipilih adalah seorang perempuan adalah 5/9 atau 0.5556, dan kebarangkalian bahawa seorang budak lelaki dipilih ialah 1 0.5556 = 0.4444. kebarangkalian bahawa orang kedua ialah seorang perempuan adalah bergantung kepada kesudahan pilihan pertama. Kebarangkalian orang kedua ialah seorang perempuan, [boleh gunakan gambar rajah pokok] Jika orang pertama lelaki = 5/8 atau 0.625

Jika orang pertama perempuan = 4/8 or 0.5

Jika kebarangkalian pelajar pertama perempuan dan pelajar kedua perempuan, bermakna peristiwa-peristiwa adalah bersandar, jadi P(A dan B) = P(A) ( P(B|A)

P(perempuan dan perempuan) = 0.5556 0.5 = 0.2778

Jika dua (atau lebih) peristiwa adalah tak bersandaran:

P(A dan B) = P(A ( B)=P(A) P(B)

Contoh:Sebiji dadu adil dilambungkan. Jika diketahui nombor yang diperoleh ialah nombor ganjil, apakah kebarangkalian bahawa nombor itu ialah 5?Penyelesaian

Ruang sampel ialah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dengan syarat bahawa nombor ganjil diperoleh, jadi ruang sampel baru, S = {1, 3, 5}.

Jika A ialah mendapat nombor 5 dan B ialah peristiwa mendapat nombor ganjil, maka A = {5}, dan B = {1, 3, 5}, n(A) = 1, n(B) = 3 dan n(A ( B) = 1.

P(A diberi B telah berlaku) = . P(A given B has occurred) = .Secara umum, jika A dan B adalah dua peristiwa dengan P (A) 0 dan P (B) 0, maka kebarangkalian B diberi A telah berlaku ditulis sebagai P(A(B) dan

Dalam cara yang sama, ia dapat menunjukkan bahawa:

Maka, boleh dituliskan sebagai:

Jika A dan B adalah persitiwa saling eksklusif, maka P(A) 0, P(B) 0 dan P(A ( B) = 0, iaitu diikuti bahawa P(B(A ) = = 0

Contoh :

Suatu dadu adil dilambung dan mendapat nombor genap. Apakah kebarangkalian bahawa nombor itu adalah lebih besar daripada atau sama dengan 4?Penyelesaian:Katakan A ialah perisitwa mendapat nombor genap dan

B ialah peristiwa mendapat 'nombor lebih besar atau bersamaan dengan 4

P(B(A ) =

Contoh:

Sebiji dadu tidak adil dilambung. Nombor 1, 2, dan 3 dikatakan berlaku dua kali lebih kerap dari nombor 4, 5, dan 6. Jika kesudahannya adalah 1, 2, atau 3, maka duit syiling dengan kebarangkalian mendapat kepala P (H) = dan kebarangkalian mendapatkan bunga P (T) =, akan dilambung. Jika hasil melambung dadu ialah nombor 4, 5, dan 6, maka duit syiling adil akan dilambung.(a) Lukiskan gambar rajah pokok untuk menunjukkan peristiwa di atas.(b) Kirakan kebarangkalian bahawa nombor ganjil diperolehi.

(c) Jika nombor ganjil diperoleh, cari kebarangkalian bahawa kepala diperolehi apabila salah satu duit syiling yang dilambung.Penyelesaian :

(a)(b)P(Nombor ganjil) = P(1) + P(3) + P(4)

=

(c)

Contoh:

Satu kajian dilakukan ke atas 50 pelanggan sebuah pasar raya. Hasil kajian menunjukkan bahawa 30 daripada 50 pelanggan mengatakan bahawa mereka melawat pasar raya itu kerana mereka telah membaca iklan di akhbar tempatan, manakala selebihnya (20 orang) tidak membaca iklan. Daripada 28 responden yang membuat pembelian, 20 daripada mereka mengatakan bahawa mereka telah membaca iklan.(a) Paparan maklumat dalam jadual 2 2.(b) Seorang pelanggan dipilih secara rawak daripada 50 orang responden. Apakah kebarangkalian bahawa(i) pelanggan membuat pembelian walaupun dia tidak membaca iklan?(ii) pelanggan membuat pembelian selepas membaca iklan?Penyelesaian:

(a)

Membaca iklan (B)Tidak Membaca iklan (B)Jumlah

Pembelian (A)20828

Tidak membeli (A)101222

Jumlah302050

(b)Jika A ialah peristiwa pelanggan membuat pembelian dan

B ialah peristiwa pelanggan membaca iklan

(i)P(A(B ) =

(ii)P(A(B ) =

Contoh

Jika P(A) = , P(B) = , dan P(A ( B) = , tentukan P(B(A).Penyelesaian:

P(A ( B) = P(A) + p(B) P(A ( B)

P(A ( B) =

P(B(A ) =

Contoh:Sebuah syarikat mempunyai 100 jurujual, 40% daripada mereka adalah lelaki dan selebihnya adalah perempuan. Enam belas daripada jurujual lelaki bujang. Dari semua jurujual perempuan, 36 daripada mereka telah berkahwin. Seorang jurujual dipilih secara rawak daripada syarikat. Jika diketahui bahawa jurujual yang dipilih adalah bujang, apakah kebarangkalian bahawa jurujual itu ialah lelaki?PenyelesaianlelakiPerempuanJumlah

Bujang162440

Kahwin243660

Jumlah4060100

P(lelaki(bujang ) =

Contoh:

Analisis ke atas 80 permohonan untuk jawatan kosong menunjukkan pemohon adalah lelaki, dan dari semua pemohon lelaki, mempunyai ijazah. Dari semua pemohon perempuan, separuh mempunyai ijazah. Dengan menganggap bahawa setiap pemohon mempunyai peluang yang sama untuk mendapatkan pekerjaan.(a) Cari kebarangkalian bahawa pemohon yang berjaya adalah seorang lelaki yang mempunyai ijazah.(b) Jika diketahui bahawa pemohon yang berjaya mempunyai ijazah, apakah kebarangkalian bahawa pemohon itu adalah seorang perempuan?Penyelesaian:

(a)Katakan S : ruang sampel yang mengandungi semua pemohon

L : pemohon lelaki W: pemohon perempuan

J : pemohon mempunyai ijazah.

n(S) = 80, n(L) = 80 = 60n(W) = 20

n(L ( J) = 60 = 20

n(W ( J) = 20 = 10

P(L ( J) = = =

(b)P(W(J ) =

Contoh:

Satu nombor dipilih secara rawak daripada set integer {1, 2, ..., 30} dan diberi nombor yang terpilih itu adalah ganjil. Apakah kebarangkalian bahawa nombor yang terpilih itu merupakan suatu nombor kuasa dua?Penyelesaian:

Katakan A = Peristiwa nombor terpilih adalah ganjil, dan

B = Peristiwa nombor terpilih adalah nombor kuasa dua.Maka P(B A) = =

= Contoh:

Kebarangkalian bahawa seorang pekerja di syarikat X mendapat kenaikan gaji ialah 0.7, kebarangkalian bahawa dia mendapat kenaikan pangkat ialah 0.5, dan kebarangkalian bahawa dia mendapat kedua-duanya ialah 0.3.

a. Encik Yong telah mendapat kenaikan gaji, apakah kebarangkalian bahawa dia juga mendapat kenaikan pangkat?

b. Encik Ravi telah mendapat kenaikan pangkat, apakah kebarangkalian bahawa dia juga mendapat kenaikan gaji?

Penyelesian:

Katakan G = Peristiwa mendapat kenaikan gaji, dan

H = Peristiwa mendapat kenaikan pangkat.

P(G) = 0.7

P(H) = 0.5

P(G H) = 0.3

a. P(H G) = b. P(G H) = Contoh 33:

Jinghong menaiki bas ke sekolah setiap pagi sama ada mengikut jalan A atau jalan B. Kebarangkalian bahawa dia memilih jalan A ialah . Kebarangkalian bahawa dia akan lewat sampai ke sekolah dengan mengikut jalan A dan jalan B masing-masing ialah dan .

a. Apakah kebarangkalian bahawa dia akan lewat pada hari Isnin?

b. Diberi dia terlewat ke sekolah. Apakah kebarangkalian bahawa dia mengikut jalan B?

Penyelesaian:

Katakan A = Peristiwa Jinghong menggunakan jalan A,

B = Peristiwa Jinghong menggunakan jalan B, dan

X = Peristiwa Jinghong akan lewat sampai ke sekolah.

P(B) = 1 P(A) = .

Gambar rajah pokok berikut diperolehi.

P(XA) = P(X A) = P(A) =

P(XA) = P(X A) = P(XB) = P(X B) =

P(B) = P(XB) = P(X B) = a. P(Jinghong lewat sampai ke sekolah pada hari Isnin)

= P(A X) + P(B X)

= =b. P(B X) = = = = = Maka kebarangkalian dia menggunakan jalan B diberi dia terlewat ke sekolah ialah .

Contoh :

Sebiji dadu dilambung dua kali. Cari kebarangkalian bahawa nombor 1 diperoleh pada lambungan pertama dan nombor genap pada lambungan kedua.

Penyelesaian:

Katakan A ialah peristiwa mendapat nombor 1 pada lambungan pertama

B ialah peristiwa mendapat nombor genap pada lambungan kedua

P (A) =

Kesudahan lambungan kedua tidak dipengaruhi oleh kesudahan lambungan pertama, maka peristiwa A dan B adalah bebas, danA die is tossed twice. Find the probability that 1 occurs on the first toss and an even number occurs on the second toss.

P(B) = =

P(A ( B) = P(A) P(B)

= =

Contoh

Sebuah kotak mengandungi 3 biji guli hijau dan 4 guli kuning. Satu guli dipilih secara rawak daripada kotak itu, warnanya direkod dan diganti. Guli yang kedua kemudian dipilih dari kotak itu. Cari kebarangkalian bahawa guli pertama yang dipilih adalah hijau dan guli kedua ialah kuningPenyelesaian:KatakanG1 ialah guli pertama hijau

Y2 ialah guli kedua kuningMemandangkan guli pertama digantikan sebelum guli yang kedua dipilih, maka G1 dan Y2 adalah tak bersandaran / bebas.

P(G1) =

P(Y2) =

P(G1 ( Y2) = P(G1) P(Y2)

=

=

Contoh:

Barangan yang dikeluarkan oleh sebuah syarikat boleh mempunyai dua jenis kecatatan, A dan B. Kebarangkalian bahawa barangan yang dihasilkan mempunyai kecacatan A ialah dan mempunyai kecacatan B adalah . Kecacatan A dan B adalah merdeka. Apakah kebarangkalian bahawa barangan yang dipilih secara rawak akan mempunyai(a) kedua-dua kecacatan A dan B?(b) kecacatan A atau B kecacatan?(c) tiada kecacatan?Penyelesaian :

(a)A dan B adalah peristiwa merdeka

P(A) = ,

P(B) =

P(A ( B) = P(A) P(B)

=

=

(a) P(A ( B) = P(A) + P(B) P(A ( B)

= + -

= 0.145

(c)P(A ( B) = 1 - P(A ( B)

= 1 0.145

= 0.855

Contoh:

Dua peristiwa E dan F dengan P(E) = dan P(E ( F) = . Jika peristiwa E dan F adalah merdeka, cari:(a)P(E ( F)(b)P(E ( F)(c)P(F(E)(d)P(E(F)Penyelesaian

(a)E dan F adalah merdeka,

P(E ( F) = P(E)P(F)

=P(F)

P(F) =

(b)P(E ( F) = P(E) + P(F) P(E ( F)

= + -

=

(c)P(F(E) = P(E)

(kerana E dan F merdeka)

=

(d)P(E(F) = P(E)

(kerana E dan F merdeka)

= 1 P(E)

= 1 -

=

Contoh:

Adan B adalah dua peristiwa dengan P(B) = , P(B(A) = , dan P(A(B) = .

(a)Adakah A dan B adalah peristiwa merdeka?

(b)Adakah A dan B peristiwa saling eksklusif?

(c)Cari P(A ( B).

(d)Cari P(A ( B).

Penyelesaian :

(a)Jika A dan B adalah peristiwa merdeka, maka P(B(A) = P(B).

Diberi P(B(A) = , P(B) =

Jadi, P(B(A) P(B)

Maka, A dan B adalah bukan peristiwa merdeka.(b)Jika A dan B peristiwa saling eksklusif, maka P(B(A) = 0.

Diberi P(B(A) = 0,

Maka, A dan B adalah bukan saling eksklusif.(c)P(A ( B) = P(A(B)P(B)

=

=

(d)sekarang P(A ( B) = P(B(A)P(A)

= P(A)

P(A) =

danP(A ( B) = P(A) + P(B) - P(A ( B)

= + -

=

S

A

S

A

A

S

A

B

S

A

B

Jika dua perisitwa A dan B bukan saling eksklusif, maka A ( B ( ( dan kebarangkalian perisitwa A atau peristiwa B berlaku ialah

P (A ( B) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ( B )

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 B

B

G

1

2

3

4

5

6

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

Nombor pada dadu

n(S) = 12

Duit syiling

S

A

B

A B

A B

6

5

6

5

4

4

3

2

1

1

3

2

Jika peristiwa A dan B saling eksklusif, maka A ( B = ( dan kebarangkalian peristiwa A atau peristiwa B berlaku ialah

P (A ( B) = P ( A ) + P ( B )

Hubungan ini juga dikenali sebagai hukum hasil tamabh bagi dua peristiwa saling eksklusif

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 B

Kesudahan

P(H) = EMBED Equation.3

H

T

H

H

H

H

H

H

T

T

T

T

P(T) = EMBED Equation.3

P(T) = EMBED Equation.3

P(T) = EMBED Equation.3

P(T) = EMBED Equation.3

P(T) = EMBED Equation.3

P(T) = EMBED Equation.3

P(H) = EMBED Equation.3

P(H) = EMBED Equation.3

P(H) = EMBED Equation.3

P(H) = EMBED Equation.3

P(H) = EMBED Equation.3

HHH

HHT

HTH

T

HTT

THH

P(T) = EMBED Equation.3

P(H) = EMBED Equation.3

THT

TTH

TTT

Lambungan 1

Lambungan 2

Lambungan 3

T

kesudahan

0.6

B

G

B

B

B

B

B

G

G

G

G

0.4

BBB

BBG

G

GGB

GGG

Anak pertama

Anak kedua

Anak ketiga

B

G

GBG

GBB

BGG

BGB

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

S

A

B

A B

Jika dua peristiwa A dan B adalah merdeka, maka

P(A(B) = P(A)

P(B(A) = P(B)

P(A ( B) = P(A)P(B)

P(A(B) = EMBED Equation.3

P(A ( B) = P(A(B) P(B)

P(B(A) = EMBED Equation.3

P(B ( A) = P(B(A) P(A)

P(A ( B) = P(B(A) P(A)

kerana P(A ( B) = P(B ( A)

P(A ( B) = P(A(B) P(B) = P(B(A) P(A)

kerana A ( B = {4, 6}

kerana P(W ( J) = EMBED Equation.3 dan

P(J) = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3

1, 9, 25 ialah nombor kuasa dua yang ganjil.

PAGE 1Dr Hu Laey Nee, IPG Kampus Sarawak

_1407909701.unknown

_1407909735.unknown

_1407909754.unknown

_1407909770.unknown

_1407909779.unknown

_1407909787.unknown

_1407909791.unknown

_1407909795.unknown

_1407909797.unknown

_1407909798.unknown

_1407909799.unknown

_1407909796.unknown

_1407909793.unknown

_1407909794.unknown

_1407909792.unknown

_1407909789.unknown

_1407909790.unknown

_1407909788.unknown

_1407909783.unknown

_1407909785.unknown

_1407909786.unknown

_1407909784.unknown

_1407909781.unknown

_1407909782.unknown

_1407909780.unknown

_1407909775.unknown

_1407909777.unknown

_1407909778.unknown

_1407909776.unknown

_1407909772.unknown

_1407909774.unknown

_1407909771.unknown

_1407909762.unknown

_1407909766.unknown

_1407909768.unknown

_1407909769.unknown

_1407909767.unknown

_1407909764.unknown

_1407909765.unknown

_1407909763.unknown

_1407909758.unknown

_1407909760.unknown

_1407909761.unknown

_1407909759.unknown

_1407909756.unknown

_1407909757.unknown

_1407909755.unknown

_1407909743.unknown

_1407909750.unknown

_1407909752.unknown

_1407909753.unknown

_1407909751.unknown

_1407909745.unknown

_1407909747.unknown

_1407909748.unknown

_1407909749.unknown

_1407909746.unknown

_1407909744.unknown

_1407909739.unknown

_1407909741.unknown

_1407909742.unknown

_1407909740.unknown

_1407909737.unknown

_1407909738.unknown

_1407909736.unknown

_1407909719.unknown

_1407909727.unknown

_1407909731.unknown

_1407909733.unknown

_1407909734.unknown

_1407909732.unknown

_1407909729.unknown

_1407909730.unknown

_1407909728.unknown

_1407909723.unknown

_1407909725.unknown

_1407909726.unknown

_1407909724.unknown

_1407909721.unknown

_1407909722.unknown

_1407909720.unknown

_1407909709.unknown

_1407909713.unknown

_1407909715.unknown

_1407909717.unknown

_1407909718.unknown

_1407909716.unknown

_1407909714.unknown

_1407909711.unknown

_1407909712.unknown

_1407909710.unknown

_1407909705.unknown

_1407909707.unknown

_1407909708.unknown

_1407909706.unknown

_1407909703.unknown

_1407909704.unknown

_1407909702.unknown

_1407909671.unknown

_1407909679.unknown

_1407909687.unknown

_1407909697.unknown

_1407909699.unknown

_1407909700.unknown

_1407909698.unknown

_1407909691.unknown

_1407909695.unknown

_1407909696.unknown

_1407909693.unknown

_1407909694.unknown

_1407909692.unknown

_1407909689.unknown

_1407909690.unknown

_1407909688.unknown

_1407909683.unknown

_1407909685.unknown

_1407909686.unknown

_1407909684.unknown

_1407909681.unknown

_1407909682.unknown

_1407909680.unknown

_1407909675.unknown

_1407909677.unknown

_1407909678.unknown

_1407909676.unknown

_1407909673.unknown

_1407909674.unknown

_1407909672.unknown

_1407909661.unknown

_1407909665.unknown

_1407909669.unknown

_1407909670.unknown

_1407909667.unknown

_1407909668.unknown

_1407909666.unknown

_1407909663.unknown

_1407909664.unknown

_1407909662.unknown

_1407909657.unknown

_1407909659.unknown

_1407909660.unknown

_1407909658.unknown

_1407909653.unknown

_1407909655.unknown

_1407909656.unknown

_1407909654.unknown

_1407909652.unknown