ELETRODINÂMICA CLÁSSICA I

Luiz E. Oliveira, Instituto de FísicaUniversidade Estadual de Campinas - Unicamp

Campinas, São Paulo

oliveira@ifi.unicamp.br

Notas de Curso10 semestre de 2014

1

TÓPICOS1. Introdução (2 aulas)

2. Campos dependentes do tempo. Equações de Maxwell. Leis de

conservação (2.5 aulas)3. Ondas eletromagnéticas planas e propagação de ondas (3.5 aulas)4. Guias de onda e cavidades ressonantes (3 aulas + 2 exerc. + P1)5. Teoria da relatividade restrita. Transformações de Lorentz. Covariância

da eletrodinâmica. Transformações de campos eletromagnéticos (3.5 aulas + 1 exerc.)

6. Radiação de cargas em movimento. Potenciais de Liénard-Wiechert (1.5 aulas + 2 exerc. + P2)

7. Radiação de sistemas simples. Radiação de dipolo elétrico, dipolo magnético, quadrupolo elétrico. (2 aulas)

8. Dinâmica de partículas relativísticas. Lagrangeana e Hamiltoniana para uma partícula carregada relativística em um campo eletromagnético. Lagrangeana para o campo eletromagnético. (3 aulas + P3 + Exame)

2

3

Eletrodinâmica Clássica IITópicos

1. Introdução à Eletrostática Lei de Coulomb. Massa do fóton. Campos vetoriais. Lei de Gauss. Teorema de Green. Problemas de Contorno. Capacitancia.2. Problemas de contorno em eletrostática: métodos para solucionar problemas com potenciais Método das imagens. Funções de Green. Método de separação de variáveis. Equação de Laplace. 3. Problemas de contorno em eletrostática: 3 D Equação de Laplace. Polinomios de Legendre. Funções de Bessel.4. Meios macroscópicos e dielétricos Expansão em multipolos. Problemas de contorno com dielétricos. Polarizabilidade molecular e susceptibilidade elétrica.5. Magnetostática6. Função resposta dielétrica7. Propriedades ópticas de sólidos Interação da radiação com a matéria. Constantes ópticas. Relações de Kramers-Kronig e regras de soma. Análise de Fourier das eqs. de Maxwell.8. A taste of photonics, metamaterials, and plasmonics.

BIBLIOGRAFIA• Classical electrodynamics, J.D. Jackson, 1st

ed. (1962), 2nd ed. (1975), 3rd ed. (1999)

• The classical theory of fields, L. Landau and E. Lifshitz, 2nd ed. (2004)• Classical electromagnetic radiation, M. A. Heald and J. B. Marion, 3rd ed. (1995)• Classical electricity and magnetism, W. K. H. Panofsky and M. Phillips , 2nd ed.

(1962) • Foundations of electromagnetic theory, J.R. Reitz, F. J. Milford, and R. W.

Christy, 4th ed. (1993)• Introduction to electrodynamics, D. J. Griffiths, 3rd ed. (1999)• The Feynman Lectures on Physics, R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M.

Sands• Electricity and Magnetism, E.M. Purcell (Berkeley Physics Course, vol. 2)

• From falling bodies to radio waves : classical physicists and their discoveries, E. Segré (W.H. Freeman and Company, NY, 1984)

• QED (Quantum electrodynamics) – The strange theory of light and matter, R. P. Feynman

• Ondas eletromagnéticas I : Propagação em meios homogêneos e isotrópicos. Reflexão e refração, H. M. Nussenzweig, CBPF (1963)

• Notas de eletromagnetismo, H. S. Brandi, PUC/RJ (1983)

4

5

ELETRODINAMICA CLÁSSICA I – PÓS-GRADUAÇÃO, Prof. Luiz E. Oliveira – 2014-I, oliveira@ifi.unicamp.br, tel: 3521 5459(30 aulas duplas, aulas: 2ª e 4a, 8-10 hs, IF-15) Total: 31 aulas duplas

AULAS:Fevereiro (1 aula) seg quarta 24 xMarço (6 aulas) seg quarta - - 10 12 17 X viagem IF-UFAL a trabalho (de 18 a 22 Março) 24 26 31 Abril (8 aulas) seg quarta 2 7 9 14 16 X 23-P1 28 30 Maio (8 aulas) seg quarta 5 7 12 14 19 21 26 28 – P2Junho (8 aulas): seg quarta 2 4 9 11 16 18 X 25 - P3 30-Exame

AVALIAÇÃO: 3 PROVAS (P1, P2, P3) MÉDIA M = (P1 + P2 + P3)/3 CONCEITOS: A (M ≥ 8.0), B (6.0 ≤ M < 8.0), C (5.0 ≤ M <6.0), D (M < 5.0) NO CASO DO ESTUDANTE TIRAR C ou D, PODERÁ SOLICITAR FAZER UM EXAME E O CONCEITO FINAL SERÁ M-FINAL = (M + EXAME)/2

1. Introdução• Um pouco de história

• Equações de Maxwell (no vácuo e macroscópicas): formas diferencial e integral

• Equação da continuidade

• Equação da força de Lorentz

• A lei do inverso dos quadrados ou a massa do fóton

• Superposição linear

• Limites de validade da eletrodinâmica clássica

• Equações constitutivas do meio

• Condições de contorno

• Sistemas de unidades 6

• Um pouco de história

“From falling bodies to radio waves: classical physicists and their discoveries”,Emílio Segré (W.H. Freeman and Company, NY, 1984) Em 1959, Segré e Owen Chamberlain dividiram o Nobel em Física pela descobertado antipróton (Segré: 1905-1989 ; Chamberlain: 1920-2006).

“eletromagnetismo”gregos (antiguidade): friccionando um pedaço de âmbar (fóssil de resina de árvore)

atraía pequenos pedaços de palha

palavra grega elektron: âmbar

Tales de Mileto (c. 625 - c. 546 A.C.) : alguns minérios de ferro tinham a propriedadede atrair pequenos pedaços de ferro (segundo o grego Aristóteles, 384-322 A.C.).

“magnetita” (Fe3O4): imã permanente que se encontra em forma natural, capaz deatrair fragmentos de ferro, niquel, cobalto, suas ligas e compostos.

“magnetismo”: o nome origina-se de Magnésia, distrito da Ásia menor onde sesituava a cidade de Mileto. 7

Navegadores chineses (sécs. 7 e 8): invenção da bússola com o mineral descoberto por Tales; a descoberta pelos chineses é provàvelmente lendária,mas há na literatura européia referencias à bússola já no século XII.

1820: Hans Christian Oersted (U. of Copenhagen, 1777-1851)corrente elétrica num fio causava a deflexão da agulha imantada de uma bússola ↓ nascimento do eletromagnetismo

1861: James Clerk Maxwell (1831-1879) luz é uma onda eletromagnética (óptica, eletricidade, magnetismo)

“Treatise on electricity and magnetism”1st ed. 18732nd ed. 1881 editado por W.D. Niven/revisado em parte por Maxwell3rd ed. 1891 editado por J.J. Thomson

Joseph John Thomson (1856-1940); 1897: descoberta do elétron e medida de e/mNobel 1906 : investigações teóricas e experimentais na condução de eletricidade por gases

8

Interações:• Gravitacional (≈ 10-38)• Eletromagnética-EM (≈ 10-2) • Forte ou nuclear – ligação entre nucleons (protons, neutrons) (≈1)• Fraca – responsável pelo decaimento β (≈ 10 -5)No processo de decaimento β, um núcleo instável de n0 atomico Z setransforma espontaneamente em outro núcleo de n0 atomico (Z ± 1) eemite um elétron (ou pósitron) e um neutrino:

Z (Z ± 1) + e – (ou e+) +

• unificação entre interações EM e fraca 1967: Weinberg e Salam independentemente (teoria originalmente desenvolvida por Glashow) “Glashow-Weinberg-Salam theory of the electroweak interaction” Sheldon Lee Glashow (1932- ) Abdus Salam (1926-1994) Nobel 1979 Steven Weinberg (1933-)

• descoberta das “field particles W and Z”, communicators of the weak interaction Nobel 1984 Carlo Rubbia (1934- ) Simon van der Meer (1925-2011)

9

• H. A. Lorentz (1853-1928), holandês 1895 e 1904 – introduced “Lorentz transformation” Nobel 1902 com Pieter Zeeman (1865-1943) “for their researches into the influence of magnetism upon radiation phenomena”

• A. Einstein (1879-1955): special relativity 1905 : “On the electrodynamics of moving bodies” Nobel 1921 : “for his services to Theoretical Physics and specially for his discovery of the law of the photoelectric effect”

• Heinrich Hertz (1857-1894) 1889: discovery of electromagnetic waves (radio waves)

•Nobel 1909: G. Marconi (1874-1937) + Carl F. Braun (1850-1918) “for their contributions to the development of wireless telegraphy”

10

“QUANTUM ELECTRODYNAMICS” ou QED

QED – The strange theory of Light and Matter”Richard P. Feynman (1918-1988) Princeton U. Press (1985)Sin-Itiro Tomonaga (1906-1979)Julian Schwinger (1918-1994)Nobel 1965 – “for their fundamental work in QED” (1948)QED desenvolvida por vários físicos em 1929Paul A. M. Dirac (1902-1984) Nobel 1933 com Erwin Schrödinger (1887-1961)Dirac, usando a teoria da relatividade, fêz uma teoria relativística do elétronque não levava em conta os efeitos da interação do elétron com a luz

elétron com momento magnético = 1 (em certas unidades) experiência : 1.00118 (incerteza de 3 no último dígito) (1948)

“old” QED : resultado: ∞ J. Schwinger : (primeiro a calcular correção)

exp: 1.00115965221 (incerteza de 4 no último dígito)QED: 1.00115965246 (incerteza 5 vêzes maior)Feynman: “At the present time I can proudly say that there is NO SIGNIFICANT DIFFERENCE between experiment and theory!(1/100 núcleo 100 tamanho Terra) 10-15 cm 1011 cm 11

137

1constant) structure-(fine

211.00116

2

c

e

Joseph Priestly (1733-1804) : 1767 1/r2 1766: found that there was no electric force on a charge placed anywhere within a hollow, charged conductor (expt suggested by Benjamin Franklin)Priestley reported in 1767: “May we not infer from this experiment that the attraction of electricity is subject to the same laws that of gravitation, and is therefore according to the square of the distances”

John Robison (1739-1805), escocês 1769 prova experimental : F α 1/r2

(não publicou seus resultados por muitos anos...)

Charles Augustin Coulomb (1736-1806), engenheiro francês 1785 : F α 1/r2 (balança de torção)

Henry Cavendish (1731-1810), inglês (nascido em Nice) 1771 demonstrou F α 1/r2 pela ausência do campo elétrico no interior de um condutor carregado (não publicou) (Lord Kelvin publicou, em 1879, os manuscritos de Cavendish) Luigi Galvani (1737-1798), Bologna1791: “Commentary on the Forces of Electricity in Muscular Motions” 12

Alessandro Volta (1745-1827), “pilha voltaica” (1801)Dominique François Arago (1786-1853) 1831: “...the most marvelous instrument ever invented by mankind.”corrente ~ 10 A! power 10 kw! (aprox. 104 x power-potencia maq. eletrostática)

André Marie Ampère (1775-1836) the “Newton of electricity” (Maxwell)

Michael Faraday (1791-1867) The story is told that when a politician asked him what good were his discoveries, he answered : “At present I do not know, but one day you will be able to tax them”.

James Clerk Maxwell (1831-1879)(1864): “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field”“Treatise on electricity and magnetism”1st ed. 18732nd ed. 1881 editado por W.D. Niven/revisado em parte por Maxwell3rd ed. 1891 editado por J.J. Thomson

13

EQUAÇÕES DE MAXWELL (1873)Oliver Heaviside (1850-1925) apontou a simetria entre nas equações e as escreveu na forma em que as conhecemos (1884)

BeE

14

VÁCUO MACROSCOPIC MAXWELLou MICROSCOPIC EQUATIONS

MAXWELL equations

0/.

0.

t /

tJ

000

MKSASI /

D

.

0.

t /

tDJH /

com sendo as fontes totais, ouJe

xvqqf

PD

0

MH

0/

:e J

carga e densidade de corrente livres, ou

micromicro JJ

;

condextext JJJ

; i i

iiiimicro rrerrqr )()()()()( *

15

i

iiimicro trrvqtrJ ))((),(

[ver Sec. (6.7) Jackson, 2nd ed.]

4.

0.

tc

/1

tcJ

c

14

vc

qqF

4. D

0.

tc

/1

t

D

cJ

cH

14

GAUSSIAN

PED

4

MBH

4

VÁCUO MACROSCOPIC MAXWELLou MICROSCOPIC EQUATIONS

MAXWELL equations

As equações de Maxwell são encontradas com algumas mudanças no “Tratado” de 1873

com sendo as fontes totais, ouJe

micromicro JJ

; :e J

carga e densidade de corrente LIVRES,

ou condextext JJJ

;16

MBHPED

McJt

PJ

JJJJJ

magpol

magpolcondexttot

4;4

,with

,

- with P.polpolexttot

17

F. Wooten, Optical properties of solids Academic Press (1972)

Ludwig Boltzmann (1844-1906)

Johan Wolfgang von Goethe (1749-1833)

Boltzman, citando Goethe (Faust):

“WAR ES EIN GOTT DER DIESE ZEICHEN SCHIEB?”

(WAS IT A GOD THAT WROTE THESE SIGNS?)Faust is Goethe's most famous work and considered by many to be one of the greatest works of German literature.

18

Fausto é o protagonista de uma popular lenda alemã de um pacto com o demônio, baseada no médico, mágico e alquimista alemão Dr. Johannes Georg Faust (1480-1540). O nome Fausto tem sido usado como base de diversos romances de ficção, o mais famoso deles do autor Goethe, produzido em duas partes, tendo sido escrito e reescrito ao longo de quase sessenta anos. A primeira parte - mais famosa - foi publicada em 1806 e a segunda, em 1832 - às vésperas da morte do autor.Considerado símbolo cultural da modernidade, Fausto é um poema de proporções épicas que relata a tragédia do Dr. Fausto, homem das ciências que, desiludido com o conhecimento de seu tempo, faz um pacto com o demônio Mefistófeles, que o enche com a energia satânica insufladora da paixão pela técnica e pelo progresso.

TEOREMA DA DIVERGÊNCIA

TEOREMA DO ROTACIONAL (STOKES)

SV

dSnFdVFdiv

.

S

cldFdSnFrot

..

19

EQUAÇÕES DE MAXWELL NA FORMA INTEGRAL

SI/MKSA

S

vqdSnD

.

S

dSnB 0.

C

B

tldE

.

dSnt

DildH

SC

v

..

vi é a intensidade da corrente verdadeira através de S S

v dSnJi

.

vq é a carga verdadeira contida dentro de V V

v dVq

S

BdSnB

.

B é o fluxo de indução magnética através de S

20

GAUSSIAN

S

vqdSnD 4.

S

dSnB 0.

C

B

tcldE

1.

dSnt

D

ci

cldH

SC

v

.14

.

21

EmVolt

)/( campo elétrico ou intensidade elétrica (statvolt/cm)

)/( 2mC

BTesla

)(

HmA

)/(

campo de deslocamento elétrico ou dielétrico (statvolt/cm)

campo magnético ou indução magnética ou densidade de fluxo magnético (1 Gauss = 10-4 T)

Intensidade magnética ou campo magnético (1 Oersted)

D

tE

t

4.:)1.1(

t

E

cJ

cB

.

1.

4.:)2.1(

0

0.

Jt

equação da continuidade

S

v

dt

dqdSnJ

.

equação da força de Lorentz: Bc

vqEqF

22

4. E

t

E

cJ

cB

14

t

B

cE

1

0. B

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

MICROSCOPIC

MAXWELL equations

smc /299792458 (exatamente)

(vácuo) (1983)def

Experimentalmente, com uma precisão muito grande, a velocidade da luzno vácuo é INDEPENDENTE da frequencia!

radiofrequency

visible light

14208 101010

c

cHzHz

52414 101010

c

cHzHz

)(~ eV )(~ MeV

)(~ eV )10(~ GeV

23

• carga é quantizada!

Ce 191060217733.1 (incerteza experimental de 3 partes em 107)

(precisão experimental – melhor que 1 parte em 1020 – com que se sabe que os múltiplos são inteiros)

QUARKS: não há evidências de quarks livres

UP +2/3DOWN -1/3STRANGE -1/3CHARM +2/3BOTTOM -1/3TOP +2/3

carga (e)

• carga é conservada! experimentalmente, sem exceções

24

• ausência experimental de cargas magnéticas e correntes magnéticas

note a falta de simetria das eqs. de Maxwell

com relação às fontes ρ e !J

1931: Paul Dirac

monopolo magnético “carga magnética”

teorias recentes: m ~1016 mpróton

“Superheavy magnetic monopoles”, R.A. Carrigan, Jr. e W.P. Trower Scientific American, April 82, p.106Even though P. A. M. Dirac showed in 1931 that the existence of magnetic monopoles could explain certain properties of electrically charged particles, monopoles have never been detected. However, recent gauge theories of elementary particles not only predict the existence of monopoles but determine some of their properties. 25

P. A. M. Dirac, Phys. Rev. 74, 817 (1948)

P A M Dirac, Phys. Rev. 74, 817 (1948)

See Jackson, 2nd ed., Sects. 6.12 e 6.13;J. J. Sakurai, “Modern Quantum Mechanics”, Sect. 2.6

26

27

Some condensed matter systems propose a structure superficially similar to a magnetic monopole, known as a flux tube. The ends of a flux tube form a magnetic dipole, but since they move independently, they can be treated for many purposes as independent magnetic monopole quasiparticles. Since 2009, numerous news reports from the popular media have incorrectly described these systems as the long-awaited discovery of the magnetic monopoles, but the two phenomena are only superficially related to one another. These condensed-matter systems continue to be an area of active research.

Magnetic monopoles in spin ice, C. Castelnovo, R. Moessner, and S. L. Sondhi, Nature 451, 42–45 (2008)

(ver Wikipedia: magnetic monopoles)

A LEI DO INVERSO DOS QUADRADOS OU A MASSA DO FÓTON

2

1

rF

__________________________________________________________Experimental Data__________________________________________________________PriestleyRobinsonCavendishCoulombMaxwellPlimpton and LawtonBartlett, Goldhagen, PhillipsWilliams, Faller, Hill__________________________________________________________

176717691772-7317851873193619701971

1/r2

0.060.020.024.9X10-5

2X10-9

1.3X10-13

<~1.0X10-16

E.R. Williams, J.E. Faller and H.A. Hill, Phys. Rev. Lett. 26, 721 (1971)

28

29

E.R. Williams, J.E. Faller and H.A. Hill, Phys. Rev. Lett. 26, 721 (1971)

• Assuma que o potencial eletrostático tem a forma proposta por Yukawa

r

e r

e encontre um valor ou limite para μ ou μ-1

(Lagrangeana de Proca do campo eletromagnético)

cap. 12, Jackson, 2nd ed.

/cm

m = massa do fóton

geofísica : medidas do campo magnético da Terra

gm 48104

gme28101.9

Williams, Faller and Hill (1971): gm 47106.1 30

Testes de laboratório e geofísicos :

:1

2rF válido para distâncias da ordem de 1 a 109 cm

QED/QUANTUM ELECTRODYNAMICS:

(teoria relativística de elétrons pontuais interagindo com fótons sem massa) válida para distâncias até 10-15cm

Conclusão : a massa do fóton pode ser tomada como zero

para distâncias clássicas e no domínio quântico

Feynman (1985): QED : 10-15 cm a 1011 cm

Terradatamanhonúcleodo 100~a100

1~

“The theory of quantum electrodynamics has now lasted for more than fifty years, and has been tested more and more accurately over a wider and wider range of conditions. At the present time I can proudly say that there is

NO SIGNIFICANT DIFFERENCE between experiment and theory!”

valer 2

1

31

Classical electrodynamics x

Quantum electrodynamics (QED)

Quantum electrodynamics (QED) is the relativistic quantum field theory of electrodynamics. In essence, it describes how light and matter interact and is the first theory where full agreement between quantum mechanics and special relativity is achieved. QED mathematically describes all phenomena involving electrically charged particles interacting by means of exchange of photons and represents the quantum counterpart of classical electromagnetism giving a complete account of matter and light interaction. One of the founding fathers of QED, Richard Feynman, has called it "the jewel of physics" for its extremely accurate predictions of quantities like the anomalous magnetic moment of the electron, and the Lamb shift of the energy levels of hydrogen.

“photons”Wave-particle duality postulates that light exhibits both wave and particle properties 32

33

The Lamb shift, named after Willis Lamb (1913–2008), is a small difference in energy between two energy levels and (in term symbol notation) of the hydrogen atom in quantum electrodynamics (QED). According to Dirac, the and orbitals should have the same energies. However, the interaction between the electron and the vacuum causes a tiny energy shift on . Lamb and Robert Retherford measured this shift in 1947, and this measurement provided the stimulus for renormalization theory to handle the divergences. It was the harbinger of modern quantum electrodynamics developed by Julian Schwinger, Richard Feynman, and Shinichiro Tomonaga. Lamb won the Nobel Prize in Physics in 1955 for his discoveries related to the Lamb shift (for more details, see Nobel Prize lecture by Lamb).

The Lamb shift currently provides a measurement of the fine-structure constant α to better than one part in a million, allowing a precision test of quantum electrodynamics.

SUPERPOSIÇÃO LINEAR:

As equações de Maxwell no vácuo são LINEARES nos campos .e BE

superposição linear

efeitos NÃO LINEARES ocorrem em materiais magnéticos, cristais sob lasers intensos, etc

Para campos no vácuo ou campos microscópicos dentro de átomos e núcleos:

nível macroscópico e mesmo atômico: superposição linear é remarcavelmente válida(diferenças de níveis de energia em átomos leves como o hélio, calculados com base em superposição linear de interações eletromagnéticas, estão em acordo com a experiência com precisão de 1 parte em 106)

nível subatômico: quando partículas carregadas se aproximam entre si, campos elétricos podem ser ENORMES “QUANTUM-MECHANICAL NONLINEARITY” [no limite clássico êstes efeitos não lineares são zero]No vácuo, domínio clássico de tamanhos e valores de campos validade da SUPERPOSIÇÃO LINEAR 34

)0(

LIMITES DE VALIDADE DA ELETRODINÂMICA CLÁSSICA

Em eletrodinâmica clássica (não quântica), a única coisa que conhecemos do elétron é o valor de sua carga. Podemos imaginá-lo como uma pequena esfera de raio r0, com a carga simétricamente distribuida em torno do centro.

A energia própria (energia potencial própria ou auto-energia) do elétron será assim da ordem de

0

2

0 r

eU

2

1;0 UU( se a carga é superficial,

se volumétrica uniforme)5

3

Se identificarmos a energia própria do elétron com sua energia de repouso

022 / remc

cmmc

er 13

2

2

0 1082.2

este comprimento é conhecido como “raio clássico do elétron”. 35

elétron: clàssicamente como partícula elementar:

duas possibilidades:1. O elétron é puntiforme2. O elétron tem dimensões finitas

vr

,

No segundo caso, o elétron NÃO poderá se deformar, porque DEFORMAÇÃO significa movimento independente das diversas partes, o que impediria sua descrição por um único par .,vr

Logo, se seu raio é finito, o elétron é indeformável.

Mas a Relatividade proíbe a existência de corpos rígidos absolutos. De fato, suponha que uma fôrça externa atua sobre um ponto de um corpo sólido, num instante t . Se o corpo fosse absolutamente rígido, todos os seus pontos entrariam em movimento no mesmo instante t (caso contrário, o corpo se deformaria). Mas isso NÃO é permitido segundo a Relatividade, porque implicaria na propagação instantânea de uma ação.

Conclusão: no contexto da teoria clássica, não quântica, o elétron deve ser tratado como puntiforme!

36

Mas, nesse caso, r0=0 e chegaríamos ao absurdo físico

de que a massa do elétron tem de ser infinita!

2

2

0 mc

er

OS PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA ELETRODINÂMICA CLÁSSICA (NÃO QUÂNTICA) TORNAM-SE AUTO-CONTRADITÓRIOS QUANDO ATINGIMOS DISTÂNCIAS MENORES DO QUE UMA CERTA DISTÂNCIA LIMITE.

0rr

Portanto a eletrodinamica clássica certamente falha a distâncias da ordem de

cmmc

er 13

2

2

0 108.2~

37

Efeitos relacionados com o campo de radiação produzido por um elétronacelerado implicam em falha da eletrodinâmica clássica para tempos daordem de:

smc

ee

243

2

103.6~3

2 (forças)(pulsos externos de duração T)

eT Considerações quânticas restringem o limite de validade:

eQ mc

e

mc

137

2

313

2

2

137

1~

2

c

ecom

eletrodinâmica clássica: mchr c /

2/mcT Q

electron theofvelength Compton wacm10x43.2/ 10 mchc

38

EQUAÇÕES DE MAXWELL EM MEIOS MACROSCÓPICOS

campos macroscópicosfontes de carga e corrente macroscópicas

média do campo ou fonte num volume grande comparado ao volume ocupado por um átomo ou molécula

4. D

t

D

cJ

cH

14

t

B

cE

1

0. B

PED

4

MBH

4:e J

carga e densidade de corrente LIVRES,

ou condextext JJJ

;39

,...´

44

x

QPED

...4 MBH

:, J

densidade de carga e corrente LIVRES

The first two terms are the familiar result . The third and higher terms are present in principle, but are “almost invariably” negligible.

(see Jackson, 2nd ed., Chapt. 6, Sect. 6.7, p. 232)

Sòmente importam “normalmente”...MP

e

PED

4

MBH

4

density quadrupolecmacroscopitheisQ

PED

4

40

EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS DO MEIO

transformada de Fourier:

tirkietrFdtrdkF

.3 ,,

(soluções MONOCROMÁTICAS, i.e., que oscilam harmônicamente no tempo, com frequência angular ω )

Vamos nos limitar também a materiais não FERROELÉTRICOS e não FERROMAGNÉTICOS; assumimos ainda que os meios estão em repouso relativamente uns aos outros.

campos fracos (RESPOSTA DO MEIO É LINEAR)

EDouED�

.

BHouBH�

´.´

:�

dielectric tensor ou electric permittivity

:´�inverse magnetic permeability tensor 41

materiais isotrópicos (exclui materiais que não pertençam ao sistema cristalino cúbico)

“cristais”

ED�� 1

/´1´´ BBH��

em geral:

´´,´´,,´´, 3 ttrEttrrdtrdtrD

,,, kkkD

[òbviamente, uma equação semelhante pode ser escrita ligando

,, kcomkH

]

42

luz visívelnum sólido cristalino

0

k (isotrópico homogêneo)

em geral ,

0,00 k

!,;,´,

koukGG

�

Hz65

~1010

sólido periódico

constante dielétrica

diamagnetismo : muito pequena e oposta ao campo magnético aplicadoM

Bismuto :

1´4108.1~1´

43

paramagnetismo : dipolos magnéticos do material se alinham ao campo aplicado à temperatura ambiente

1´

52 1010~´1

• ferroeletricidade• ferromagnetismo• ferrimagnetismo• antiferromagnetismo

• comportamento não linear (i.e., ótica não linear, por exemplo)

...,

)2()1(

EEED

44

CONDIÇÕES DE CONTÔRNO:

4. 1212 nDD

0. 1212 nBB

• componente normal de é CONTÍNUA

• descontinuidade da componente normal de

B

4D

S

vqdSnD 4.

S

dSnB 0.

(veja Sec. I.5, p.17-22, Jackson, 2nd edition)

45

01212 EEn

Kc

HHn 4

1212

• componente tangencial de é contínua

• descontinuidade da componente tangencial de nos dá a densidade de corrente superficial

E

H

C

B

tcldE

1.

dSnt

D

ci

cldH

SC

v

.14

.

46

equações de Maxwell

equações constitutivas

condições de contôrno

teoria de Maxwell

47

(ver Jackson, Chap. 1, 2nd ed.)

Heald/Marion

48

Heald/Marion

49

50