1 hidrolika perpipaan
TRANSCRIPT
1
HIDROLIKA PERPIPAAN
1. Dasar dasar hidrolika perpipaan
Hidrolika adalah ilmu yang mepelajari perilaku air secara fisik dalam
arti perilaku perilaku yang ditelaah harus terukur secara fisik.
Perilaku yang dipelajari peliputi hubungan antara debit air yang
mengalir dalam pipa dikaitkan dengan diameter pipanya sehingga
dapat diketahui gejala gejala yang tibul tekanan, kehilangan energi
dan gaya gaya lainnya yang timbul. Hubungan gejala gejala akan
dijelaskan dalam formulasi empiris yang lazim dipakai dalam praktek.
Dalam buku ini akan dicoba untuk di jelaskan kembali prisnsip
hidrolika aliran tertutup dan dikaitkan dengan realita di lapangan.
Pada dasarnya dalam menelaah aspek hidrolika dalam pipa kita
selalu beranggapan atau berasumsi bahwa:
Air adalah fluida yang mempunyai sifat “incompresible” atau
diasumsikan tidak mengalami perubahan volume/isi apabila terjadi
tekanan. Secara matematika dapat dinyatakan dengan :
Fulida yang bergerak di dalam pipa dianggap dalam kondisi “steady
state” atau air dianggap mempunyai kecepatan yang konstan dari
waktu ke waktu apabila melalui suatu pipa dengan diameter yang
sama. Secara matematika dapat dinyatakan dengan:
δ δ δ δ Vol --------= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. δδδδp
dimana : δ δ δ δ Vol= perubahan Vol yang kecil
δδδδ p = perubahan tekanan yang kecil
2
Fulida yang bergerak di dalam pipa juga dianggap dalam kondisi
“uniform flow” atau air dianggap mempunyai kecepatan yang konstan
sepanjang apabila melalui suatu pipa dengan diameter yang sama .
Secara matematika dapat dinyatakan dengan:
Pada kenyataannya dilapangan kondisi yang dijelaskan dalam
asumsi ini tidak selalu tercapai terutama kondisi steady flow dan
uniform flow. Penyimpangan keadaan tersebut disebut keadaan
transient yang umum terjadi pada saat awal pembukaan dan
penutupan valve. Efek yang timbul disebut sebagai water hammer
yang terefleksi dengan kejadian pengempisan pipa, pecahnya pipa
atau dalam keadaan yang ringan adalah terdengarnya suara ketukan
ketukan palu dipipa besi.
Setiap aliran air dalam pipa juga harus memenuhi azas kontinuitas
dimana debit aliran yang masuk dalam sisi 1 akan keluar dengan
pada sisi 2 dengan debit yang sama atau
δ δ δ δ v --------= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. δδδδ t
dimana : δ δ δ δ v= perubahan kecepatan yang kecil
δ δ δ δ t = selang waktu yang kecil
δ δ δ δ v --------= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. δδδδs
dimana : δ δ δ δ v= perubahan kecepatan yang kecil
δ δ δ δ s = selang jarak yang kecil
3
Debit air adalah volume air per satuan waktu. Debit air adalah luas
penampang pipa dikalikan dengan kecepatannya (lihat persamaan
5). Debit air yang masuk ke dalam pipa mempunyai kecepatan aliran
yang berbeda beda tergantung dari diameter pipanya. Kalau luas
penampang pipa adalah sebanding kuadrat dengan diamaternya
(lihat persamaan 6) maka semakin besar diameter pipanya semakin
kecil kecepatan alirannya.
Secara umum hubungan antara debit dengan diameter pipa dan
kecepatan dapat dinyatakan dengan persamaan 7. tetapi untuk
perhitungan yang lebih sederhana dapat dinyatakan pula seperti
persamaan 8. dibawah ini :
Q1-= Q2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.
dimana :
Q1-= Debit masuk di sisi 1 (m3/dt)
Q2- = Debit keluar di sisi 2 (m3/dt)
Q1-= A1.v1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. A1 = ππππ/4.d1
2. . . .. . . . . . . . . . . . .....6. Pers 6. ���� Pers 5. ���� Q1-= ππππ./4d1
2.v1. . .. . . . . . . . . . . . . .7. dimana :
v1= kecepatan aliran air pipa di sisi 1 (m/dt)
A1-= Luas penampang pipa di sisi 1 m2
d1- = diameter pipa di sisi 1 (m)
ππππ. = konstanta phi atau 22/7=3.14
ππππ./4 = 3.14/4 = 0,785 atau bila dibulatkan 0.8
Q1-= 0.8 d12 .v1 .. . . . . . . . .. . . . . . .8.
4
Lebih jauh lagi aspek hidrolika dari air yang bergerak dalam pipa
dapat dijelaskan dalam model seperti pada gambar 1. :
hL
z2
muka laut
v2
2
v1
z1
1
H1 H2
gambar 1. Model hidrolika pipa
Air masuk pipa bergerak dari sisi 1 dan keluar di sisi 2 sesuai
dengan azas kontiuitas energi yang ada di sisi 1 juga harus sama di
sisi 2 . Maka Energi total 1 sama dengan Energi total 2 atau
Etot1=Etot2.
Energi yang ada di sisi 1 apabila diuraikan lagi terdiri dari :
1. Energi Potensial
2. Energi Kinetik
3. Kehilangan Energi
Energi secara formal mempunyai satuan joule tetapi untuk
sederhananya kajian dinyatakan dengan tinggi kolom air.
Energi Potensial disini terdiri dari
• z =muka tanah terhadap muka laut (m).
• H=beda tinggi dari muka air ke muka tanah(m) .
5
Energi kinetik air yang mengalir dipipa dinyatakan dengan =
• V = v2/2g
dimana v adalah kecepatan aliran air (m/dt) dan g adalah percepatan
gravitasi (m/dt2).
Dengan demikian pada sisi 1 Total energi adalah:
Pada sisi 2 karena sepanjang pipa terjadi gesekan antara badan
pipa dengan air maka terjadi kehilangan enerig sebanyak hL.
Akibatnya total energi yang ada di sisi 2 adalah sebagai berikut :
Dengan adanya azas kekekalan energi maka :
Persamaan ini lazim disebut sebagai persamaan Bernaulli.
Misalnya ada sebuah pipa diletakkan di sisi 1 sampai sisi 2.
Contoh Soal :
Di sisi 1
• Elevasi tanah adalah 100 m (z1=100m)
• Dibangun menara air dengan ketinggian 20 m (h1=30m)
• Kecepatan air dipipa adalah 1 m/dt (v1=1m/dt)
Etot1 = z1+H1+ v12/2g. . . . . . . . . . . . . . .9.
Etot2 = z2+H2+ v22/2g+hL. . . . . . . . . . . . .10.
Etot1 = Etot2
z1+H1+ v12/2g =z2+H2+ v2
2/2g+hL . . . . . . . .11.
6
Di sisi 2
• Kehilangan Energi dari sisi 1 ke 2 adalah 5 m (hL= 5m)
• Kecepatan air tetap 1 m/dt (v2=1m/dt)
• Ketinggian tanah adalah 110 m (z2=110m)
Setinggi apa air di sisi 2 dapat mencapai?
Atau dengan kata lain berapa h2?
Maka dengan demikian apabila di sisi 2 pipa di buat lubang maka air
yang keluar dapat mencapai ketinggian 5 m atau sisa tekanan
adalah 5 m.
Berdasarkan pengertian ini maka apabila kecepatan air sama maka
energi kinetik dapat diabaikan, dalam praktek perbedaan kecepatan
yang kecil di sisi 1 dan 2 menyebabkan energi kinetik dapat pula
diabaikan.
Di sini dapat disimpulkan untuk menghitung sisa tekanan dalam
realita, faktor faktor penting untuk diketahui adalah:
• Elevasi tanah dimana pipa diletakkan (z)
• Tenaga pendorong awal seperti menara air atau pompa (h1)
• Kehilangan Energi atau Kehilangan Tekanan (hL)
Elevasi tanah didapat hari hasil pengukuran tanah yang baik.
Tenaga pendorong adalah kondisi menara atau per pompa an yang
z1+H1+ v12/2g =z2+H2+ v2
2/2g+hL . . . . . . . .11.
1001+20+ 12/(2.9,81) =110+h2+ 12/2(2.9,81)+5
maka h2 = 5 m
7
diperkirakan ketinggian tekannya dengan baik sedangkan head loss
dihitung berdasarkan rumusan rumusan empiris.
2. Kehilangan Tekanan
Salah satu fakto yang penting dalam perhitungan hidrolis perpipaan
adalah perhitungan kehilangan tekanan. Ada beberapa rumusan
yang dapat dipakai dalam menghitung kehilangan tekanan yaitu :
• Hazen Willian
• Darcy Weisbach
2.1. Persamaan Hazen William
Persamaan Hazen william adalah yang paling umum dipakai,
persamaan ini lebih cocok untuk menghitung kehilangan tekanan
untuk pipa dengan diameter besar yaitu diatas 100 mm. Selain itu
rumus ini sering dipakai karena mudah dipakai.
Persamaan Hazen William secara empiris menyatakan bahwa debit
yang mengalir didalam pipa adalah sebanding dengan diameter pipa
dan kemiringan hidrolis (S) yang di nyatakan sebagai Kehilangan
tekanan (hL) dibagi dengan panjang pipa (L) atau S = (hL/L)
Disamping itu ada faktor C yang menggambarkan kodisi fisik dari
pipa seperti kehalusan dinding dalam pipa yang menggambarkan
jenis pipa dan umur.
Secara umum rumus Hazen William adalah sebagai berikut:
8
Apabila kehilangan tekanan atau hL yang akan dihitung maka
C (koefisien Hazen William) berbeda untuk berbagai jenis pipa di
tabel 1. dapat dilihat koefiesien tersebut.
Tabel 1. Koefisien Hazen William
No Jenis (Material)Pipa Nilai C
Perenccanaan
1 Asbes Cement 120
2 Poly Vinil Chloride (PVC) 120-140
3 High Density Poly Ethylene (HDPE) 130
4 Medium Density Poly Ethylene (MDPE) 130
5 Ductile Cast Iron Pipe (DCIP) 110
6 Besi Tuang, cast Iron (CIP) 110
7 Galvinized Iron Pipe (GIP) 110
8 Steel Pipe (Pipa Baja) 110
2.2. Persamaan Darcy Weisbach
Persamaan Darcy secara diturunkan secara matematis dan
menyatakan
Q=0.2785.C.d2.63.S054 . . . . . . . . . . . .12.
Dimana
S = (hL/L)
Dimana
L=adalah panjang pipa dari 1 ke 2
hL =(Q/0.2785.C.d2.63) 1.85 .L. . . . . . . .13.
9
kehilangan tekanan sebanding dengan kecepatan kuadrat dari
aliran air, panjang pipa dan berbanding terbalik dengan diameter.
Kemudian secara empiris di tentukan suatu faktor f.
Perumusan koefisien f yang paling lazim dipakai adalah dengan
metoda Colebrook .
Tabel 2. Nilai ε ε ε ε untuk koefisien Colebrook
Nilai dalam mm No Lapisan Dalam Pipa Nilai Ancar ancar Angka Perencanaan 1 Kuningan 0,0015 0,0015 2 Tembaga 0,0015 0,0015 3 Beton 0,3 – 3,0 1,2 4 Besi Tuang-tanpa pelapisan 0,12-0,61 0,24 5 Besi Tuang-pelapisan aspal 0,061-0,183 0,12 6 Besi Tuang-pelapisan semen 0,0024 0,0024 7 Galvanized Iron Pipe 0,061-0,24 0,150 8 Pipa Besi 0,030-0,024 0,061 9 Welded steel pipe 0,020-0,091 0,061 10 Riveted steel pipe 0,020-0,091 1,81 11 PVC 0,0015 0,0015 12 HDPE 0,007 0,007
Perumusan ini dipakai untuk aliran yang lebih laminer sehingga lebih
cocok untuk pipa dengan diameter kecil (<50mm). Tetapi untuk
diamater yang lebih besar biasa dipakai perumusan Hazen Wlliam.
hL =f.(L/d) (v12/2g). . . . . . .14.
1/Sf =-2 log[ε/(3,7.d)+2.51/(RE.Sf)] . . . . . .15.
dimana :
RE=Bilangan Reynold = v.d/ν = v.d.ρ/ν ε= ketidak sempurnaan permukaan lihat tabel 2. d = diameter nominal
10
2.3. Persamaan De Chezy dengan koefisien Manning
Persamaan ini umum dipakai di saluran terbuka, tetapi dapat pula
dipakai di jaringan perpipaan.
Secara umum persamaan de Chezy adalah sebagai beribut
Koefisien Manning adalah sebagai berikut
Tabel 3. Nilai C untuk koefisien Manning
No Lapisan Dalam Pipa Angka Perencanaan 1 Asbestos Cement Pipe (ACP) 0,011 2 Tembaga 0,011 3 PipaBeton 0.011 4 Besi Tuang 0.012
V = C SSSSRS. . . . . . . . . . . . . . . . . . .16.
Dimana :
V= kecepatan (m/dt)
R= radius hirolis untuk pipa = d/4 (m)
S= Slope hidrolis (h/L) dengan h adalah kehilangan tekan dan L
adalah panjang pipa.
C = adalah koefisien yang menurut Manning adalah C = R1/6/n
V = R1/6/n SSSSRS= R2/3S1/2/n . . . . . . . . .17.
Apabila Q=v.A atau Q=v.ππππ/4.d2. . . . . . . . .18.
Maka persamaan 16 menjadi
Q= (d/4)2/3S1/2/n. π π π π/4.d2
Q= d8/3(h/L)1/2/n. π π π π/45/3 . . . . . . . .19
.h= Q2410/3.n2 .L
d16/3. π π π π 2
11
5 Galvanized Iron Pipe 0,012 6 Pipa Besi 0,012 7 Welded steel pipe 0,010 8 Riveted steel pipe 0.019 9 PVC 0,010 10 HDPE 0,010
2.4. Kehilangan Tekanan Diperlengkapan (Accessories) Pipa
Perlengkapan pipa secara umum terdiri dari;
1. Fitting fitting pipa seperti:
• Penyempitan
• Belokkan atau bend
• Tee atau percabangan
2. Valve (Katup)
Kehilangan tekanan berbanding kuadrat dengan kecepatan aliran
pipa yang secara matematika di nyatakan dengan:
atau bila persamaan 18 dimasukan ke persamaan 20 maka
hL =K. (8.Q2/( π π π π2.g. D4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.
Dalam jaringan perpipaan kehilanan tekannan iniadalah jauh lebih
kecil dari pada kehilangan akibat gesekan didalam pipa, oleh sebab
itu Kehilangan tekanan ini lazim disebut sebagai Kehilangan Minor
atau Minor loss. Tetapi didalam suatu rangkaian perpipaan sistem
perpompaan dimana kecepatan air tinggi akan terjadi kehilangan
tekanan yang cukup berarti.
Khilangan minor juga bisa dinyatakan sebagai :
hm =KM. Q2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22.
hL =K. (v12/2g). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20.
12
Tabel 4. Koefisien Kehilangan Tekanan Minor
No Perlengkapan Pipa KL No Perlengkapan Pipa KL 1 Ujung Pipa Masuk 9 Radius Bend 90o Bentuk lonceng
Ujung bulat Ujung tajam Kerucut
0,03-0,05 0,12-0,25 0,50 0,78
Radius /D=4 Radius /D=2 Radius /D=1
0,16-018 0,19-025 0,35-0,40
2 Kontraksi-tajam 10 Bend D2/D1 = 0,80
D2/D1 = 0,50 D2/D1 = 0,20
0,18 0,37 0,49
θ = 15o
θ = 30o
θ = 45o
θ = 60o
θ = 90o
0,05 0,10 0,20 0,35 0,80
3 Kontraksi-kerucut 11 Tee D2/D1 = 0,80
D2/D1 = 0,50 D2/D1 = 0,20
0,05 0,07 0,08
Tee-y Tajam
0,35 0,80
4 Pembesaran-tajam 12 Cross D2/D1 = 0,80
D2/D1 = 0,50 D2/D1 = 0,20
0,16 0,57 0,92
mulus Tajam
0,50 0,75
5 Pembesaran- kerucut
14 Check Valve
D2/D1 = 0,80 D2/D1 = 0,50 D2/D1 = 0,20
0,03 0,08 0,13
Konensional Mulus (clearway) bola
4,0 1,5 4,5
6 Gate Valve-terbuka 15 Butterfly Valve-terbuka 1,2 2/3 terbuka
½ terbuka 1/4 terbuka
1,1 4,8 27
Foot Valve-hinged Foot Valve-topet
2,25 12,5
7 Globe Valve-terbuka 10 8 Angle Valve-terbuka 4,3
13
2.5. Kehilangan Tekanan dinyatakan dengan Pipa Eqivalen
Dalam perhitungan jaringan pipa, untuk menyederhanakan
perhitungan, kehilanan minor dapat juga dinyatakan dalam panjang
pipa atau dalam pipa eqivalen. Panjang ekivalen bisa didapatkan
dengan mensubstitusi persamaan 20 dengan persamaan Darcy
Weibach (persamaan 14) sehingga menghasil kan persamaan 23
K. (v12/2g) =f.(Le/d) (v1
2/2g)
Le= K.d/f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..23.
atau dengan persamaan Hazen William (persamaan 14) sehingga
menghasil kan persamaan 24
K. (v12/2g) =(Q/0.2785.C.d2.63) 1.85 .Le
Le= K. (v12/2g)/ (Q/0.2785.C.d2.63) 1.85. . . . . . ..24.
Atau
Le= K.320. Q0,15/(g.C 1.85 d6.8655) . . . . . . . . . . ..25.
14
2.5.1. Kehilangan Tekanan dinyatakan dengan Diamater
Eqivalen
Apabila kita berhadapan dengan sejumlah pipa yang dipasang
secara seri (lihat gambar 2a) ataupun sejumlah pipa yang dipasang
secara paralel (lihat gambar 2b), maka kita akan mengalami
kesulitan dalam mengalisan sisa tekanannya.
Gambar 2.2.a. Pipa terhubung secara seri
Gambar 2.2.b. Pipa terhubung secara paralel
A
L1A
d 1
B
B
L 2
d 2
C
1
2
• Perhitungan diameter ekivalen terpasang seri
hAC = hAB + hAC
menurut Rumus hazen william (rumus 13) KAC .deq
-2.63= KAB .dAB-2.63 + KBC .dBC
-2.63
apabila panjang pipa dan jenis pipa sama maka : KAC =KAB =KBC maka KAC .deq
-2.63= KAB .dAB-2.63 + KBC .dBC
-2.63
Atau
deq=[[[[ dAB-2.63 + dBC
-2.63]]]] -1/2.63. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.
15
• Perhitungan diameter ekivalen terpasang seri
QAB = QAB1 + QAB2
Maka menurut Hazen William (rumus 12)
KAB .deq2.63= KAB1 .d1
2.63 +KAB2 .d22.63
apabila panjang pipa dan jenis pipa sama maka :
KAB =KAB1 =KAB2
atau
KAB .deq2.63= KAB1 .d1
2.63 +KAB2 .d22.63
Dengan demikian diameter eqivalen menjadi:
deq= [[[[d12.63 + d2
2.63]]]] 1/2.63. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28.
3. Tekanan Penggerak Air
Tekanan penggerak air yang ada dialam adalah gaya gravitasi
sehingga air yang diletakkan didalam suatu penampung atau
reservoir pada suatu ketinggian tertentu, tentunya akan mengalir ke
bawah searah dengan gaya gravitasi. Pada kasus ini tekanan awal
penggerak yang biasa disebut sebagai head awal (initial head) atau
tekanan awal akan selalu sama walaupun debit yang dialirkan
berubah ubah.
Selain mengunaka gaya gravitasi air dalam pipa juga dapat
digerakkan oleh mesin penggerak air atau pompa. Karakteristik
pengaliran air oleh pompa sangat berbeda dengan pengaliran
dengan gravitasi. Tekanan pompa akan tidak sama dengan debit air
yang dihasilkan.
16
Misalnya kita tinjau suatu sistem perpipaan yang pada sisi 1 di
pasang pompa dan disisi 2 dipasang valve. Pada suatu Debit
rencana (Qr) tekanan pompa akan tertentu (h1r).
h L
z2
m uk a la u t
v 2
v 1
z1
E to t1 E to t2
p om p aQ rv a lv e
H 2H 1
gambar 3. Model hidrolika pipa dengan tekanan pompa
Pada saat valve di putar kecil atau di cekek tekanan pompa akan
naik terus sampai bila valve tertutup dan pompa tetap hidup makan
tekanan pompa akan berhenti pada tekanan h10.
Tetapi sebaliknya pada saat pompa diputar lebih besar dari debit
rencana (Q>Qr) maka tekanan pompa akan turun (h1< h10).
Pada gambar 4. ditunjukkan grafik tekanan pompa vs Debit yang
dihasilkan
17
pom pa
va lve d ip u ta r k ec il
h 10
va lve d ip u ta r b e sa r
Q
H 10
gambar 4. Kurva Debit Air (Q) VS tekanan pompa (h)
Bandingkan kondisi ini dengan apabila menggunakan menara air,
yang menggunakan beda tinggi sebagai pendorong aliran air dalam
pipa (lihat gambar 5.). Dari gambar ini dapat dilihat bahwa
walaupun valve dibuka lebih besar hingga debit air yang keluar besar
atau maupun diperkecil hingga debit yang keluar kecil, tekanan awal
akan tetap sama.
v a lv e d ip u ta r k e c il
v a lv e d ip u ta r b e s a r
Q
re s e rv o ir
H 1 0
gambar 5. Kurva Debit Air(Q) VS Tekanan air (h) di Menara Air
18
Dalam praktek kedua sistem penggerak aliran ini mempunyai
kelebihan dan kekurangan. Untuk dapat memehami perbedaan ini
maka pengertian tentang hidrolika jaringan pipa perlu di telaah.
4. Hidrolika Jaringan Perpipaan
Jaringan perpipaan merupakan suatu rangkaian pipa yang saling
terhubung satu sama lain secara hidrolis, sehingga apabila di satu
pipa mengalami perubahan debit aliran maka akan terjadi
penyebaran pengaruh ke pipa pipa yang lain. Pengaruh ini dapat di
deteksi dari segi perubahan tekanan yang ada di pipa.
Pipa yang tergabung dalam suatu jaringan pipa dapat dibedakan
satu dengan yang lain dari segi :
• Panjang Pipa
• Diamater Pipa
• Jenis Pipa
• Kedudukan pipa dalam jaringan
Kedudukan pipa dalam suatu jaringan dapat dinyatakan dengan
• nomor pipa
• simpul atau node yang dihubungkan oleh pipa tersebut
Pada gambar 6. berikut ini adalah contoh suatu jaringan dan
penotasi-annya.
19
gambar 6. Contoh Sebuah Jaringan Pipa
Aspek yang penting dalam mengkonstruksi sebuah jaringan pipa
adalah keterangan dari node dan pipa itu sendiri . Dari gambar 5
dapat ditunjukkan keterangan keterangan yang umumnya diperlukan
dalam mengidentifikasikan suatu jaringan pipa. Keterangan dalam
jaringan pipa terdiri dari dua jenis yaitu keterangan yang dapat
diidentifikasikan langsung umumnya aspek aspek fisik, dan
keterangan yang bersifat hidrolis yang mana dapat di identifikasikan
secara langsung maupun secara tidak langsung. Untuk lebih
jelasnya hal ini dapat diuraikan sebagai berikut:
4.1. Karaketristik Hidrolis Node
Keterangan fisik berupa kedudukan node dalam kerangka vertikal
dan horizontal suatu bidang tanah, yaitu meyangkut elevasi node,
20
posisi/koordinat node dalam wilayah sehingga mudah dipetakan.
Keterangan ini bermanfaat sebagai dasar dalam pengidentifikasian
kondisi hidrolis langsung maupun tak lansung.
Aspek hidrolis yang perlu di identifikasi adalah sebagai berikut :
• Debit tapping
• Tekanan air
Debit tapping dalam suatu jaringan pipa air minum sangat tergantung
dari pemakaian air si pemakai air yang terhubung dengan tapping itu
umumnya 1 l/dt debit air rata rata yang keluar dari tapping dapat
melayani 50 sampai 70 sambungan rumah.
Hubungan antara debit tapping yang keluar dari node dengan
tekanan node adalah sebagai berikut:
• Apabila debit tapping adalah 0 (nol) maka tekanan yang ada
di tapping adalah maksimal.
• Apabila debit tapping membesar maka tekanan air turun
Secara umum akan mengikuti grafik sebagai berikut :
21
tekanan di node turun
tekanan di node naikdebit tapping turun
node
tappingh
debit tapping naik
Q
gambar 7. Karakteristik tekanan VS debit disuatu node
Tekanan suatu node tergantung pula oleh sisa tekanan yang
diberikan oleh pipa pipa yang terhubung ke dan dari node tersebut,
oleh sebab itu pemahaman terhadap karakteristik hidrolis pipa dalam
suatu jaringan perlu sekali.
4.2. Karaketristik Hidrolis Pipa dalam suatu jaringan
Seperti telah di jelaskan dalam bab sebelumnya kehilangan tekanan
dipipa sebanding dengan debit air yang mengalir didalamnya.
Semakin besar debit semakin besar kehilangan tekanan, secara
matematis dapat ungkapkan sebagai berikut :
hL seperti pada gambar 3 adalah kehilangan tekanan yang secara
fisik merupakan beda tinggi permukaan air dari sumber pengaliran.
Dengan demikian apabila kecepatan dianggap hampir sama maka
tekanan dari muka laut disisi 2 adalah
hL =F(Q). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29.
22
(H2 +Z2 ) = (H1 + Z1)- hL
atau tekanan dari atas permukaan tanah Z2
H2= (H1 -hL )+ (Z1- Z2 ).
Apabila aliran air melewati beberapa pipa pada jalur 1 seperti di
gambar 8 maka kehilangan tekanan total tentunya adalah
hj114= h12 +h23 +h34 .
Air yang melewati jalur 2 kehilangan tekanannya
hj214= h15 +h56 +h64 .
Karena tekanan yang terjadi di node 4 adalah sama
dari jalur 1 maupun dari jalur 2 maka kehilangan tekanan dari jalur 1
dan 2 juga sama atau
hj114= h j214 atau
h12 +h23 +h34= h15 +h56 +h64 atau
h12 +h23 +h34- h15 -h56 -h64 = 0.
Dengan kata lain jumlah kehilangan tekanan dalam suatu rangkaian
pipa berbentuk lingkaran atau loop pada arah yang sama adalah nol.
Tekanan suatu node tergantung pula oleh sisa tekanan yang
diberikan oleh pipa pipa yang terhubung ke dan dari node tersebut,
oleh sebab itu pemahaman terhadap karakteristik hidrolis pipa dalam
suatu jaringan perlu sekali.
23
4.3. Karaketristik Hidrolis Pipa dalam suatu jaringan
Seperti telah di jelaskan dalam bab sebelumnya kehilangan tekanan
dipipa sebanding dengan debit air yang mengalir didalamnya.
Semakin besar debit semakin besar kehilangan tekanan, secara
matematis dapat ungkapkan sebagai berikut :
hL seperti pada gambar 3 adalah kehilangan tekanan yang secara
fisik merupakan beda tinggi permukaan air dari sumber pengaliran.
Dengan demikian apabila kecepatan dianggap hampir sama maka
tekanan dari muka laut disisi 2 adalah
(H2 +Z2 ) = (H1 + Z1)- hL
atau tekanan dari atas permukaan tanah Z2
h2= (h1 -hL )+ (Z1- Z2 ).
gambar 8. Perpipaan dalam Suatu Jaringan
hL =F(Q). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29.
24
Apabila aliran air melewati beberapa pipa pada jalur 1 seperti di
gambar 8.a.
gambar 8.a. kehilangan tekanan h12 ,h23 ,h34 .
Maka kehilangan tekanan total tentunya adalah hj114= h12 +h23 +h34 .
Air yang melewati jalur 2 kehilangan tekanannya hj214= h15 +h56 +h64 .
gambar 8.b. kehilangan tekanan h15 ,h56 ,h64 .
Karena tekanan yang terjadi di node 4 adalah sama
25
maka kehilangan tekanan dari jalur 1 dan 2 juga sama
gambar 8.c. kehilangan tekanan h12 ,h23 ,h34 dan h15 ,h56 ,h64 .
atau
hj114= h j214 atau
h12 +h23 +h34= h15 +h56 +h64 atau
h12 +h23 +h34- h15 -h56 -h64 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30.
Dengan kata lain jumlah kehilangan tekanan dalam suatu rangkaian
pipa berbentuk lingkaran atau loop pada arah yang sama adalah nol.
Berdasarkan azas kontinuitas (lihat persamaan 4.) air yang masuk
sama dengan air yang keluar atau :
Q1 = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5 + Q6 . . . . . . . . . . . . . . . .31.
Atau dengan kata lain air yang masuk dalam suatu jaringan akan
sama dengan yang keluar dimasing masing tapping atau node.
Dalam suatu sistem jaringan air yang keluar dari node dikendalikan
oleh sebuah vale yang menghubungkan anatara satu bagian jaring
26
dengan bagian lainnya. Sedangkan secara kolektif air yang keluar
dari satu node jaringan tergantung dari perilaku konsumen atau
pemakai air memakai air. Pemakaian air sendiri secara hidrolis
tergantung dari sisa tekanan pada node tersebut sedangkan faktor
lain yang mempengaruhi adalah tingkat kebutuhan konsumen
akan air.
Misalnya 1 orang per hari memakai air 200 L/org/hari, bila sebuah
node melayani 500 orang maka satu node itu mengeluarkan air
sebanyak 200 L/org/hari x 500 org = 100.000 L/hari atau 100
m3/hari atau atau rata rata dalam 1 detik adalah
100.000/3600/24=1,1574 L atau Q= 1,1574 L/dt. Hal ini berarti debit
air yang keluar dari node tersebut adalah 1,1574 L/dt.
4.4. Model Matematika Suatu Jaringan Pipa
Secara matematis apabila kita mengetahui Q (debit air yang keluar
dari masing masing node) maka kita dapat menghitung penyebaran
aliran air di setiap pipa dijaringan dengan tentunya memperhatikan
karakteristik hidrolis dari pipa (dimana selalu ada hubungan antara Q
dan hL ). Pada prinsipnya dengan terhitungnya hL maka H atau
tekanan di setiap node dapat dicari. Masalahnya adalah dari jalur
manapun hL dihitung maka tekanan disuatu node harus mempunyai
hasil perhitungan yang sama.
A. Hardy Cross
Pada tahun 1936 Hardy Cross menemukan suatu metoda
perhitungan jaringan pipa yang pada akhir perhitungannya dapat
27
ditemukan penyebaran debit air di pipa yang menghasilkan tinggi
tekanan dipipa yang konsisten. Metoda ini dikenal dengan metoda
perataan (adjustent) satu arah atau dengan metoda relaksasi. Aliran
disetiap pipa diratakan secara iteratif sampai persamaan hidrolis
terpenuhi. Metoda ini didasari pada dua kaidah fisika, yaitu:
1. Jumlah debit air dipipa yang masuk dan keluar dari suatu node
sama dengan jumlah debit air yang masuk dan keluar dari node
tersebut.
2. Tekanan di suatu node adalah tungal dalam arti di dhitung dari
segala arah hasilnya sama.
Aliran air dipipa di hitung dan diratakan secara iteratif dengan
menggunakan persamaan sebagai berikut
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.
Dimana :
n=2.0 untuk Darcy Weisbach
n=1.85 untuk Hazen Williams
Iterasi ini berlanjut sampai ∆Qi memenuhi suatu kriteria konvergensi.
Contoh soal :
Pemecahan persoalan jaringan pipa dengan Metoda Hardy Cross
dapat dilakukan dengan menggunakan Microsoft Excell. Sebagai
contoh jaringan pada gambar
28
Q=45 L/dt
2
4
Ø 200 mm L=2500m
Q=40 L/dt
Q=25L/dt
6
Ø 200 mm L=3000m
1
3
Ø 250 mm L=2000m
Q=170 L/dt
Q=35L/dt
5
Ø 150 mm L=2000m
Q=25 L/dt
Ø 300 mm L=2000m
Ø 200 mm L=2000m
Ø 150 mm L=3000m
Gambar 9 Contoh jaringan Pipa
Circuit Pipa Koef HW panj (m) Ǿ (mm) Q0 (L/dt) S m/1000m H (m) H/Q q0
iterasi o C L D
Q=asumsi
(Q/1000/0,2785/C/(D/1000)^2.63
)^1.85 SxLx1000 -
ΣΣΣΣH/ΣΣΣΣQ/1.85
1-2 100 2000 300 95 9.548 19.097 0.201 -8.9974
2-4 100 2500 200 50 20.941 52.354 1.047 -8.9974
4-3 100 2000 200 -20 -3.844 -7.689 0.384 -8.2924 1
3-1 100 2000 250 -75 -14.971 -29.943 0.399 -8.9974
33.819 2.032
3-4 100 2000 200 20 3.844 7.689 0.384 8.2924
4-6 100 3000 200 30 8.139 24.418 0.814 -0.7050
6-5 100 3000 150 5 1.199 3.598 0.720 -0.7050 2
5-3 100 2000 150 -20 -15.585 -31.170 1.559 -0.7050
4.534 3.476
Circuit Pipa Koef HW panj (m) Ǿ (mm) Q (L/dt) S m/1000m H (m) H/Q q0
iterasi 1 C L D
Q=Qo+qo
(Q/1000/0,2785/C/(D/1000)^2.63
)^1.85 SxLx1000 -
ΣΣΣΣH/ΣΣΣΣQ/1.85
1-2 100 2000 300 86.003 7.943 15.886 0.185 -0.1670
2-4 100 2500 200 41.003 14.508 36.270 0.885 -0.1670
4-3 100 2000 200 -28.292 -7.303 -14.606 0.516 0.9678 1
3-1 100 2000 250 -83.997 -18.462 -36.925 0.440 -0.1670
0.626 2.025
3-4 100 2000 200 28.292 7.303 14.606 0.516 -0.9678
4-6 100 3000 200 29.295 7.789 23.367 0.798 -1.1348
6-5 100 3000 150 4.295 0.905 2.716 0.632 -1.1348 2
5-3 100 2000 150 -20.705 -16.617 -33.233 1.605 -1.1348
7.456 3.551
29
Circuit Pipa Koef HW panj (m) Ǿ (mm) Q (L/dt) S m/1000m H (m) H/Q q0
iterasi 2 C L D
Q=Qo+q1
(Q/1000/0,2785/C/(D/1000)^2.63
)^1.85 SxLx1000 -
ΣΣΣΣH/ΣΣΣΣQ/1.85
1-2 100 2000 300 85.836 7.915 15.829 0.184 -0.2883
2-4 100 2500 200 40.836 14.399 35.998 0.882 -0.2883
4-3 100 2000 200 -27.325 -6.848 -13.695 0.501 -0.2453 1
3-1 100 2000 250 -84.164 -18.530 -37.061 0.440 -0.2883
1.071 2.007
3-4 100 2000 200 27.325 6.848 13.695 0.501 0.2453
4-6 100 3000 200 28.160 7.240 21.720 0.771 -0.0430
6-5 100 3000 150 3.160 0.513 1.540 0.487 -0.0430 2
5-3 100 2000 150 -21.840 -18.341 -36.681 1.680 -0.0430
0.273 3.439
Circuit Pipa Koef HW panj (m) Ǿ (mm) Q (L/dt) S m/1000m H (m) H/Q q0
iterasi 3 C L D
Q=Qo+q2
(Q/1000/0,2785/C/(D/1000)^2.63
)^1.85 SxLx1000 -
ΣΣΣΣH/ΣΣΣΣQ/1.85
1-2 100 2000 300 85.547 7.865 15.731 0.184 -0.0108
2-4 100 2500 200 40.547 14.212 35.529 0.876 -0.0108
4-3 100 2000 200 -27.570 -6.962 -13.923 0.505 0.0313 1
3-1 100 2000 250 -84.453 -18.648 -37.296 0.442 -0.0108
0.040 2.007
3-4 100 2000 200 27.570 6.962 13.923 0.505 -0.0313
4-6 100 3000 200 28.117 7.220 21.659 0.770 -0.0422
6-5 100 3000 150 3.117 0.500 1.501 0.482 -0.0422 2
5-3 100 2000 150 -21.883 -18.407 -36.815 1.682 -0.0422
0.268 3.439
Circuit Pipa Koef HW panj (m) Ǿ (mm) Q (L/dt) S m/1000m H (m) H/Q q0
iterasi 4 C L D
Q=Qo+q3
(Q/1000/0,2785/C/(D/1000)^2.63
)^1.85 SxLx1000 -
ΣΣΣΣH/ΣΣΣΣQ/1.85
1-2 100 2000 300 85.536 7.864 15.727 0.184 -0.0106
2-4 100 2500 200 40.536 14.205 35.511 0.876 -0.0106
4-3 100 2000 200 -27.539 -6.947 -13.894 0.505 -0.0090 1
3-1 100 2000 250 -84.464 -18.652 -37.305 0.442 -0.0106
0.039 2.006
3-4 100 2000 200 27.539 6.947 13.894 0.505 0.0090
4-6 100 3000 200 28.075 7.200 21.599 0.769 -0.0016
6-5 100 3000 150 3.075 0.488 1.464 0.476 -0.0016 2
5-3 100 2000 150 -21.925 -18.473 -36.946 1.685 -0.0016
0.010 3.435
30
Circuit Pipa Koef HW panj (m) Ǿ (mm) Q (L/dt) S m/1000m H (m) H/Q q0
iterasi 5 C L D
Q=Qo+q4
(Q/1000/0,2785/C/(D/1000)^2.63
)^1.85 SxLx1000 -
ΣΣΣΣH/ΣΣΣΣQ/1.85
1-2 100 2000 300 85.526 7.862 15.724 0.184 -0.0004
2-4 100 2500 200 40.526 14.198 35.494 0.876 -0.0004
4-3 100 2000 200 -27.548 -6.951 -13.903 0.505 0.0012 1
3-1 100 2000 250 -84.474 -18.657 -37.313 0.442 -0.0004
0.002 2.006
3-4 100 2000 200 27.548 6.951 13.903 0.505 -0.0012
4-6 100 3000 200 28.073 7.199 21.596 0.769 -0.0016
6-5 100 3000 150 3.073 0.487 1.462 0.476 -0.0016 2
5-3 100 2000 150 -21.927 -18.476 -36.951 1.685 -0.0016
0.010 3.435
Circuit Pipa Koef HW panj (m) Ǿ (mm) Q (L/dt) S m/1000m H (m) H/Q q0
iterasi 6 C L D
Q=Qo+q5
(Q/1000/0,2785/C/(D/1000)^2.63
)^1.85 SxLx1000 -
ΣΣΣΣH/ΣΣΣΣQ/1.85
1-2 100 2000 300 85.525 7.862 15.723 0.184 -0.0004
2-4 100 2500 200 40.525 14.197 35.493 0.876 -0.0004
4-3 100 2000 200 -27.546 -6.951 -13.902 0.505 -0.0003 1
3-1 100 2000 250 -84.475 -18.657 -37.314 0.442 -0.0004
0.001 2.006
3-4 100 2000 200 27.546 6.951 13.902 0.505 0.0003
4-6 100 3000 200 28.072 7.198 21.594 0.769 -0.0001
6-5 100 3000 150 3.072 0.487 1.461 0.476 -0.0001 2
5-3 100 2000 150 -21.928 -18.478 -36.956 1.685 -0.0001
0.000 3.435
Circuit Pipa Koef HW panj (m) Ǿ (mm) Q (L/dt) S m/1000m H (m) H/Q q0
iterasi 7 C L D
Q=Qo+q6
(Q/1000/0,2785/C/(D/1000)^2.63
)^1.85 SxLx1000 -
ΣΣΣΣH/ΣΣΣΣQ/1.85
1-2 100 2000 300 86 7.862 15.723 0.184 0.0000
2-4 100 2500 200 41 14.197 35.493 0.876 0.0000
4-3 100 2000 200 -28 -6.951 -13.902 0.505 0.0000 1
3-1 100 2000 250 -84 -18.657 -37.314 0.442 0.0000
0.000 2.006
3-4 100 2000 200 28 6.951 13.902 0.505 0.0000
4-6 100 3000 200 28 7.198 21.594 0.769 -0.0001
6-5 100 3000 150 3 0.487 1.461 0.476 -0.0001 2
5-3 100 2000 150 -22 -18.478 -36.956 1.685 -0.0001
0.000 3.435
Dapat dilihat pada iterasi yang ke 6 dan ke 7 debit pipa sudah
hampir sama hanya terpaut dibawah 0,005 L/dt.
31
Sejalan dengan meningkatnya kemampuan komputasi, metoda
iterasi ini kemudian disempurnakan dengan dengan melakukan
komputasi terhadap matriks jaringan pipa secara simultan.
B. Penyelesaian perhitungan secara simultan
Pada persamaan 29 ditunjukkan bahwa kehilangan tekanan
disebuah sebanding dengan dengan debit yang dialirinya. Apabila
dua buah node i dan j dihubungkan dengan sebuah pipa L maka
hubungan tersebut dapat dinyatakan dengan kaidah hazen william
sebagai:
QL =G(hL)=0.2785.C.D2,63. ((Hi- Hj)/L)0,54 . . . . . .32.
Apabila kL =0.2785.C.D2,63. L-0,54.(Hi- Hi) -0,46 . . . . . .33.
dan apabila persamaan 32. dinyatakan secara linear maka debit
dipipa dapat dinyatakan sebagai berikut:
QL =kLhL= kL(Hi- Hj)
Apabila QL dinyatakan secara semultan untuk semua pipa di jaringan
maka salah satu cara adalah persamaan jaringan dinyatakan dalam
bentuk matriks:
Lihatlah satu ruas pipa seperti di gambar 10.
i
k
j
Hj
Hi
hij
gambar 10. Ruas Satu Pipa
32
Air yang mengalir dari node i ke node j tergantung dari beda tinggi
tekanan di node i dan node j atau hij atau hubgungan ini secara
matematis dapat dinyatakan sebagai:
Qkij =kk
ij(Hi- Hj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.
Sedangkan apabila aliran ini bila dinyatakan dalam bentuk
kebalikannya yaitu dari node j ke node i maka akan menghasilkan
debit (Q) yang negatif atau :
Qkji =-kk
ji(Hi- Hj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35.
Apabila kkji=kk
ij=kk Maka dalam bentuk tabulasi dapat disusun
Qij= +kk .Hi - kk .Hj
Qji= -kk .H i +kk .Hj
Dalam bentuk matriks adalah
+1 -1 Hi Qij kk [ -1 +1 ].[ Hj ] = [ Qji ]
Dimana:
Qij Qk= [ Qji ] Menyatakan vektor arah debit aliran air
Hi Hk= [ Hj ] Menyatakan Ketinggian tekanan pada node
+1 -1 kk [ -1 +1 ] Menyatakan Karakteristik dari matriks
33
Apabila yang ditinjau adalah sebuah jaringan pipa maka Jumlah
debit air dipipa yang masuk dan keluar dari suatu node i sama
dengan jumlah debit air yang masuk dan keluar dari node i tersebut.
Atau secara matematis dapat dinyatakan dengan:
ΣQij = qi
i j3
j2
j1
qi
Qij2
Qij1
Qij3
Apabila kita tinjau seluruh node dalam jaringan seperti dalam
gambar 9. maka dapat disusun matriks sebagai berikut:
Q12 + Q13+ = q1
Q21+ Q24+ = q2
Q31+ Q34+ Q35 = q3
Q42+ Q43+ Q46 = q4
Q53+ Q56+ = q5
Q65+ Q64+ = q6
Apabila kita melihat persamaan 34 maka dapat diturunkan lagi
k2(H1-H2)+ k1(H1-H3)+ = q1
k2(H2-H1)+ k4(H2-H4)+ = q2
k1(H3-H1)+ k3(H3-H4)+ k5(H3-H5) = q3
k4(H4-H2)+ k3(H4-H3)+ k7(H4-H6) = q4
k5(H5-H3)+ k6(H5-H6)+ = q5
k6(H6-H5)+ k7(H6-H4)+ = q6
Dan apabila persamaan tersebut kita bentuk dalam suatu perkalian
matriks maka
34
k1+k2 -k2 -k1 H1 q1 -k2 k2+k4 -k4 H2 q2 -k1 k1+k3+k5 -k3 -k5 H3 = q3
-k4 -k3 k4+k3+k7 -k7 H4 q4 -k5 k5+k6 -k6 H5 q5
-k7 -k6 k6+k7 H6 q6
Bila q (m3/dt) diketahui dan dengan mengasumsikan Ketinggian
tekanan awal Hi maka nilai kk dapat dicari. Kemudian dengan
mengeliminasi matriks diatas maka akan didapat nilai Hi yang baru
dan seterusnya sampai nilai Hi retatif tidak berubah.
Contoh Soal :
Lihat gambar 9. dengan input awal H seperti ditunjukkan dibawah
maka akan didapat nilai k dapat dihitung dengan menggunakan
persamaan 33. dan dapat ditunjukkan pada Tabel 6
H1 = 100.0 m H2 = 90.0 m H3 = 80.0 m H4 = 70.0 m H5 = 60.0 m H6 = 40.0 m
Tabel 6. Nilai k untuk masing masing pipa
Dari Node
Ke Node
No Pipa D(mm) L(m) k
1 3 1 250 2000 0.003 1 2 2 300 2000 0.0067 3 4 3 200 2000 0.0023 2 4 4 200 2500 0.0015 3 5 5 150 2000 0.0008 5 6 6 150 3000 0.0006 4 6 7 200 3000 0.0011
Dengan demikian dapat disusun matriks sebagai berikut :
0.01 -0.01 -0.00302 H1 0.17
35
-0.01 0.008 -0.00149 H2 -0.045
-0 0.00612 -0.00231 -0.0008 H3 = -0.035
-0 -0.00231 0.00492 -0 H4 -0.04
-0.00079 0.00142 -0 H5 -0.025
-0.00112 -0.0006 0.002
H6
-0.025
MATRIKS k
MATRIKS H(m)
MATRIKS q(m3/dt)
Dengan eleminasi Gauss kita dapat mencari nilai H yang baru, pada
perhitungan iterasi 1 nilai H di dapat seperti pada tabel 7.
Tabel 7 Proses perhitungan nilai H
H awal H iterasi I H iterasi II H iterasi III H iterasi IV H iterasi V H iterasi VI
H1 = 100.0 m 61.08 66.69 70.77 71.21 73.10 72.22
H2 = 90.0 m 48.50 52.54 55.78 55.89 57.55 56.64
H3 = 80.0 m 32.81 33.91 35.79 35.02 36.52 35.27
H4 = 70.0 m 21.96 21.59 22.32 21.52 22.40 21.50
H5 = 60.0 m 0.62 (0.93) 1.58 (1.29) 1.90 (1.36)
H6 = 40.0 m (0.00) 0.00 0.00 0.00 (0.00) (0.00)
H iterasi VII
H iterasi VIII
H iterasi IX
H iterasi X
H iterasi XI
H iterasi XII
H iterasi XIII
H iterasiXIV
H1 = 73.60 72.43 73.71 72.48 73.73 72.49 73.74 72.49
H2 = 57.93 56.80 58.01 56.83 58.03 56.84 58.03 56.84
H3 = 36.67 35.32 36.70 35.33 36.71 35.33 36.71 35.33
H4 = 22.42 21.50 22.42 21.49 22.42 21.49 22.42 21.49
H5 = 1.96 (1.38) 1.98 (1.38) 1.98 (1.38) 1.98 (1.38)
H6 = (0.00) (0.00) (0.00) 0.00 (0.00) 0.00 (0.00) (0.00)
Karena H sudah relatif sama maka perhitungan di hentikan pada
iterasi ke 14. Setelah itu Debit permasing masing pipa dihitung
kembali, dengan hasil seperti pada tabel 8.
Tabel 8. Besar debit setelah perhitungan
Dari Ke No Pipa
D (mm)
L (m)
Q (L/dt)
1 3 1 250 2000 84.5 1 2 2 300 2000 85.5 3 4 3 200 2000 27.6
36
2 4 4 200 2500 40.5 3 5 5 150 2000 21.9 5 6 6 150 3000 -3.0 4 6 7 200 3000 28.1
Syarat Batas
Pada kondisi tertentu misalnya Ketinggian tekanan di 1 tidak
berubah ubah maka matriks harus disesuaikan dengan memasukkan
syarat batas.
Misalnya ketinggian tekan di titik 1 adalah 100 m. Maka matriks perlu
disesuaikan sebagai berikut :
1 0 0 0 0 0 H1 100
-k2 k2+k4 0 -k4 0 0 H2 q2
-k1 0 k1+k3+k5 -k3 -k5 0 H3 = q3
0 -k4 -k3 k4+k3+k7 -k7 H4 q4
0 0 -k5 k5+k6 -k6 H5 q5
0 0 0 -k7 -k6 k6+k7 H6 q6
Untuk dapat dicari solusi matematisnya nya maka matriks harus di
ubah menjadi
1 0 0 0 0 0 H1 100
0 k2+k4 0 -k4 0 0 H2 q2-(-k2).H1
0 0 k1+k3+k5 -k3 -k5 0 H3 = q3-(-k1).H1
0 -k4 -k3 k4+k3+k7 -k7 H4 q4
0 0 -k5 k5+k6 -k6 H5 q5
0 0 0 -k7 -k6 k6+k7 H6 q6
Dengan prosedur diatas akan didapat nilai q yang sama.