1 Flujo subterraneo en medios porosos

1.1 Introduccion

El flujo subterraneo de agua es un componente importante de todos los sis-temas hidraulicos. Tiene un papel central en el presupuesto de agua parauso domestico, industrial y en agricultura. La administracion del recursoimplica tomar decisiones sobre donde perforar para extraer o inyectar y so-bre las estrategias de control. Tambien implica decisiones sobre la calidaddel agua producida, lo que a su vez se relaciona con la disponibilidad delrecurso. Estas cuestiones son de importancia capital considerando el he-cho que con reservas de agua en disminucion –las disponibles disminuyen yse deterioran–, la disponibilidad y las exigencias de calidad del recurso soncuestiones centrales de debate en la agenda internacional. En relacion di-recta con lo expuesto, existe una preocupacion creciente por los niveles decontaminacion y los mecanismos de transporte de las substancias peligrosas–infiltracion por efecto de la lluvia de substancias en depositos, derrames, eluso de pesticidas o fertilizantes y de los depositorios nucleares ubicados enformaciones geololgicas profundas.

En todos estos casos, la administracion del recurso implica resolver un pro-blema de optimizacion: satisfacer una funcion objetivo sin violar una can-tidad de restricciones. Esta tarea requere de un conjunto de herramientasque permitan predecir la respuesta del sistema bajo diversas condiciones.La remediacion de sistema acuıferos –subterraneos o superficiales– requiereconocer la evolucion de trazadores y la respuesta del sistema a las distintasestrategias que pueden ser adoptadas. De igual modo, la planificacion de lasactividades de monitoreo y alerta requieren un conocimiento detallado de larespuesta del sistema. El empleo de modelos puede dar acceso a todo esteconjunto de informacion.

El uso de modelos implica dos etapas: la de formulacion y la de solucion.En estas notas se hara foco en la primera. Los objetivos seran:

§ describir los mecanismos de gobierno del flujo en medios porosos y deltransporte de contaminantes,

§ construir modelos matematicos para estos mecanismos,

§ escribir los problemas de optimizacion para la administracion del re-curso.

En lo concerniente a la resolucion de estos modelos, se discutiran algunoscasos que admiten solucion analıtica (Cfr. Seccion 2).

1

Para describir los distintos sistemas hidraulicos que se trataran en lo quesigue, se dan a continuacion algunas definiciones: un acuıfero es una for-macion geologica que i) contiene agua y que ii) permite una gran movilidadde esta bajo condiciones normales. Por el contrario, un acuicludio es una for-macion que, si bien contiene agua, la retiene, no permitiendo su movimiento:es el caso, por ejemplo, de una capa de arcilla. Para cualquier uso practico,estos se consideran como fronteras impermeables. Un acuitardo es una capamucho menos permeable aun y es mucho mas delgada: en general apareceseparando dos acuıferos, entre los que permite cierto intercambio de fluido,por lo que a veces tambien se denomina como una formacion semi-permeable.

La porcion del suelo constituida por sustancias solidas, recibe el nombre dematriz solida o simplemente, matriz. El resto del volumen es el espacio ovolumen de poro, que sera ocupado por una (agua) o dos fases (agua y aire)de fluido. Esta claro que solo aquellos intersticios interconectados podranactuar como conductos de flujo; estos van desde grandes cavernas en las for-maciones de calcitas (un tipo de rocas carbonaticas) hasta pequenos espacioscapilares en las que el agua se mantiene retenida mediante fuerzas adhesivas.Los intersticios se dividen basicamente en dos grandes grupos: los originales,propios del proceso geologico de la formacion y los secundarios que compren-den fisuras, junturas, etc, producto del trabajo experimentado por todas lasformaciones.

La formaciones subterraneas que contienen agua se clasifican en funcion dela proporcion relativa de volumen de poro. Se distinguiran dos regiones: laszonas saturada y de aireacion o no saturada. En la primera solo hay pre-sente una fase de fluido –la lıquida– mientras que en la segunda coexistendos fases. En la Figura 1 se muestra esquematicamente la situacion El agua,

SISTEMA SUPERIOR

SISTEMA MEDIO

SISTEMA CAPILAR

RIO

Z

ON

AS

AT

UR

AD

A

ZO

NA

DE

AIR

EA

CIO

N

FRONTERA IMPERMEABLE

Figure 1: Zonas del flujo subteraneo

por irrigacion o precipitacion se infiltra en el suelo, moviendose hacia abajoy acumulandose, mientras llena los intersticios de la matriz solida. En laFigura, se distingue entre una zona saturada, confinada por debajo por unabarrera impermeable y por encima por una superficie freatica. Esta es una

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superficie imaginaria que se encuentra a presion atmosferica. La zona satu-rada se extiende un poco por encima de esta superficie, en una zona que sedenomina capilar, determinando un sistema capilar de agua que dependeradel tipo de suelo. Como regla, cerca de la superficie freatica, casi todo el vol-umen de poro esta ocupado por agua, mientras que a medida que se desplazael observador hacia la superficie, solo los poros mas pequenos –en los cualeslas fuerzas capilares son mayores– contendran lıquido. Queda claro entoncesque la superficie superior del sistema capilar puede ser sumamente irregular,dependiendo del tipo de suelo. Tambien, en la zona de aireacion se distinguenotros dos sistemas: el superior adyacente a la superficie del terreno es el quelas plantas de la superficien utilizan. En esta region, el movimiento del aguaes escencialmente vertical: descendente por la infiltracion, ascendente por laevapo-transpiracion y luego de que ocurren precipitaciones, esta zona puedeestar saturada. Si no se agrega agua al sistema –por ejemplo lo que ocurredespues de un periodo de sequıa– parte del agua queda atrapada en estaregion, la que es indicadora de la capacidad del campo.

1.2 Aproximacion continua del medio poroso

De lo expuesto antes, es facil imaginarse que la descripcion detallada delsuelo no es una tarea sencilla. El acuıfero ocupa un dominio constituido porun medio poroso: tierra, arena, basaltos, granitos –usualmente fisurados– sontodos ejemplos de medios porosos, que como ya dijimos, exhiben en comunel estar contituidos por una matriz solida y poros. Otra caracterıstica comunes que la matriz solida esta distribuida en todo el dominio del acuıfero, loque implica que, si se toman distintos volumenes en distintos lugares deldominio, todos tendran una fase solida, a condicion de que estos volumenessean lo suficientemente grandes: por ahora basta pensar en que deben sermas grandes que los poros mas grandes. Uno de estos volumenes arbitrariosrecibe el nombre de volumen elemental arbitrario o AEV.

El agua del acuıfero fluye por una compleja red de canales y poros. Esteflujo es limitado por la interface (microscopica) solido–lıquido: en principioes posible describir el flujo a este nivel microscopico, considerando al flu-ido como un continuo, y utilizando las ecuaciones de continuidad y Navier-Stokes e imponiendo condiciones apropiadas en la interfase solido–lıquido.Este tipo de enfoque resulta impractico por una variedad de motivos que vandesde la complejidad de la geometrıa involucrada hasta la dificultad pararepresentar apropiadamente las condiciones de contorno. Para evitar esto,se prefiere recurrir a una descripcion macroscopica: se describe el problemapero a una escala mayor, en la que el problema matematico es formula-

3

ble y las cantidades fısicas involucradas son medibles. Conceptualmente,es el mismo proceso por el cual el lıquido y el gas de las fases fluidas sontratadas como continuos: en esta aproximacion, el medio poroso, en el quecoexisten solido, lıquido y gas ocupando cada fase una porcion del AEVes reemplazado por un medio ficticio, en el que cada fase es consideradacomo un continuo que ocupa, simultaneamente con las demas, la totalidaddel AEV. Ası, en cada AEV tenemos superpuestos tres medios conti-nuos,que incluso pueden interactuar entre si: en este contexto, podran calcularsevalores promedio (valores macroscopicos como a veces se denominan) paracada AEV y asignarlos a cualquier punto del espacio, independientementeque en el medio real se trate de un punto en la matriz solida o en el poro.Cubriendo el dominio de una sucesion de AEVs, obtendremos campos asoci-ados a las variables macroscopicas, que resultaran funciones diferenciables delas coordenadas. Todo el detalle asociado a la configuracion de la interfacesolido–fluido, mas el asociado a la interaccion entre las tres fases, entrara enel modelo macroscopico en forma de coeficientes, los que deberan ser deter-minados experimentalmente.

Uno de los problemas que se introducen al utilizar AEVs es que los promediosmacroscopicos que se calculen estaran asociados a ellos, resultando en un tipode descripcion lagrangiana. Esto impone limitaciones a la determinacion ex-perimental de los coeficientes. Para evitar esto se recurre a otro concepto, elde volumen elemental representativo o REV: Los REVs son tales que asegu-ran un valor constante –dentro de los errores admisibles– de los coeficientespara un conjunto de AEVs, permitiendo tambien la mensurabilidad practicade los coeficientes.

Si se indica por l la longitud caracterıstica del REV y con d la longitudcaracterıstica del poro, una condicion que debe satisfacerse es que l >> d.Asimismo, si D es la longitud caracterıstica del dominio de interes, otracondicion que debe satisfacerse es que l << D. Estas dos condiciones tienenun sentido estadıstico y aseguran que los valores que se adopten para loscoeficientes no sufriran de la aleatoriedad de la distribucion de la fase solida:son las condiciones necesarias para que el modelo continuo del medio porososatisfaga la hipotesis ergodica. Como ejemplo de como se puede estimar elvalor del REV, consideremos una caracterıstica geometrica del medio, comola relacion entre el volumen de poro y el volumen total (Uv(x)/U(x)) enun REV centrado en x. Si vamos probando con distintos REVs de tamanocreciente, observaremos un comportamiento como en la Figura 2:La Figura ilustra la siguiente situacion: si el REV es muy pequeno, el valorque adoptara el cociente dependera si el mismo esta incluido en un poro o enla matriz solida, tomando ası los valores 0 o 1. A medida que se emplea un

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U

DOMINIO DE EFECTOS MICROSCOÓPICOS

DOMINIO DE MEDIO POROSO

POSIBLES INHOMOGENIDADES DE GRAN ESCALA

U

RANGO DE U

min max

0

ε

Figure 2: Definicion de porosidad y del REV

REV de mayor tamano, el valor comienza a fluctuar, debido a la distribucionaleatoria de la matriz solida. Sin embargo, a partir de cierto valor de tamano,las fluctuaciones se amortiguan y desaparecen virtualmente para cierto valorUmin; si se sigue incrementando el tamano del REV, y por encima de otrovalor, digamos Umax, podra observarse algun tipo de tendencia en el valordebido a inhomogeneidades de gran escala. El tamano del REV, U0 deberaadoptarse tal que Umin < U0 < Umax. Para un REV con dicha longitudcaracterıstica, el cociente representara la porosidad, ε, en x.

Una vez determinado U0, se lo utiliza para calcular los promedios macroscopicos:dada una variable de estado φα para una fase α

< φαα(x, t) >=

1

U0α

∫

U0α

φα(x′, t;x)dUα(x′) (1)

donde U0α es el volumen de la fase α dentro de U0 y x′ es un punto del REVcentrado en x. Este tipo de promedio se denomina promedio intrınseco defase. En una forma analoga se define y determina el area elemental repre-sentativa o REA. En lo que sigue, asumimos que es posible la representaciondel medio poroso como continuo, en el sentido expuesto.

1.3 Fenomenos de transporte

Los estados de equilibrio de la materia estan caracterizados por la distribucionespacial uniforme de cada una de las variables de estado del sistema con-tinuo, de modo que cada elemento de la materia se encuentra en equilibriotermodinamico y mecanico con los elementos vecinos. Si alguna de estasvariables de estado estuviera fuera de equilibrio, se podrıa observar un in-tercambio de las cantidades mecanicas y termicas entre elementos contiguosque siempre tenderıa a llevar al continuo al estado de equilibrio, es decir, auniformizar la distribucion de dicha variable de estado.

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Esta tendencia a la uniformidad, postulada como principio rector de la ter-modinamica (y asentada en el Segundo Principio), solo requiere que las por-ciones de continuo vecinas puedan interactuar. La naturaleza de esta inter-accion depende de la estructura molecular y su efecto es el parametro que seesta observando. Sin embargo desde la perspectiva de los medios continuos,interesa que esta tendencia existe y que se puede modelar en forma indepen-diente de la estructura microscopica.

De la observacion de estos procesos de interaccion, se puede descubrir unintercambio o transporte de cierta cantidad, de manera que esta aumenta enalgunos elementos de continuo y disminuye en otros. El conjunto de estosprocesos de intercambio es conocido como fenomenos de transporte. Parael modelado del flujo subterraneo, nos interesara el transporte de tres can-tidades: masa, energıa y cantidad de movimiento. Independientemente decual sea la cantidad que se transporte, el mecanismo de intercambio presentaalgunas caracterısticas de orden general:

§ el transporte neto de cierta cantidad P es nulo si una cierta cantidadasociada p(x, t), que representa la intensidad local, esta distribuidaespacialmente en forma uniforme, y

§ la direccion del transporte neto no-nulo a traves de una superficie el-emental en el continuo es tal que tiende a igualar el valor de p(x, t) aambos lados de dicha superficie elemental.

De estas observaciones, queda claro que existe una relacion entre el transporteneto y la distribucion no uniforme de la intensidad asociada, representadapor el gradiente de la intensidad gradp(x, t).

Sea p(x, t) continua en <3, de modo que el transporte de la cantidad asociadaa P , a traves del area elemental δa orientada segun n, en el instante t, puedaescribirse como

f(x, t) · nδa (2)

donde f es el vector de flujo de la cantidad P . La idea es encontrar unarelacion f = f(gradp(x, t)). Para esto se haran dos hipotesis que permitiransimplificar el tratamiento, reduciendolo a un transporte lineal:

§ Para una variacion de la intensidad p(x, t) lo suficientemente gradual,no existen correlaciones de largo alcance, es decir, que p(x, t) solo de-pendera de las propiedades locales en el medio continuo y de los valoreslocales de las demas variables de estado.

§ Para valores de la intensidad p(x, t) lo suficientemente pequenos, elflujo depende linealmente de las componentes de gradp(x, t).

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Estas son las denominadas hipotesis de linealidad de Ficks; de ellas, si laintensidad p(x, t) es un campo escalar, la ultima induce una afinidad entref(x, t) y gradp(x, t) de la forma

fi = kijpj(x, t), (3)

donde kij sera un tensor de segundo orden. Si p(x, t) fuese un campo vecto-rial, entonces la dependencia lineal serıa de un tensor de cuarto orden, de laforma

fij = Cijklpkl(x, t). (4)

La prueba de validez de estas hipotesis es un asunto puramente experimentaly depende de que cantidad se este transportando y del rango de valoresque adopta gradp(x, t). Las distintas relaciones que se obtienen a partirde estas hipotesis para los distintos transportes son las llamadas relacionesconstitutivas y son las que contienen las propiedades fısicas del medio.

1.4 Modelos regionales de flujo

Los modelos regionales de flujo describen el comportamiento de acuıferoscuya extension horizontal es mucho mayor que su profundidad. Como yaindicamos en la introduccion, podemos distinguir dos tipos de regiones dondetiene lugar el flujo subterraneo: una no saturada y otra saturada. El flujo enla primera es escencialmente vertical, mientras que en la segunda es dondese realiza la mayor parte del flujo a escala regional. Restringiremos entonces,nuestra discucion a la zona saturada. Entenderemos ademas que el flujo serealiza en un medio poroso, dejando de lado el flujo en lechos fracturados.En la aproximacion regional, el flujo se asume horizontal, lo que implicala incorporacion de la hipotesis de Dupuit que indica que el operador ∂/∂zpuede considerarse nulo.

1.4.1 Ecuaciones de gobierno para el flujo

Las ecuaciones de flujo subterr´aneo se obtienen a partir de la ecuacion decontinuidad y de la ley de Darcy. La primera es la expresion diferencialpara la conservacion de la masa: a partir del Teorema del transporte deReynolds,para N = M y en consecuencia η = 1, e indicando los cambios enla masa del sistema por medio de una fuente de la forma

∫

ΩρQρd

3x resulta:

∂

∂t

∫

Ω

ρd3x +

∫

∂Ω

ρV · nda =

∫

Ω

ρQρd3x. (5)

7

Usando el Teorema de la divergencia y recordando que el volumen de controles invariante, se obtiene la ecuacion de continuidad:

∂ρ

∂t+ div(ρV) = ρQρ (6)

Es posible aun, transformar esta forma en otra, expandiendo la divergenciadel producto y obteniendo:

∂ρ

∂t+ V · gradρ + ρdiv(V) = ρQρ. (7)

Los dos primeros terminos son la variacion total de la densidad DρDt

: en estepunto debe quedar claro que si bien el agua es incompresible, el flujo deagua en el REV no lo es. Piensese que es posible acomodar mas agua en elvolumen mismo elemental simplemente desplazando el aire contenido en elmismo: el efecto neto es un aumento en la densidad, pero por el incrementode la masa de agua en el mismo volumen. Para dar una expresion de estecambio, recurriremos al coeficiente de almacenamiento S0 que por definiciones el volumen de agua que provoca un cambio unitario en la unidad de tiempoen la altura piezometrica. De este modo:

Dρ

Dt= ρS0

∂h

∂t. (8)

La expresion resultante es:

S0

∂h

∂t+ divV = Qρ. (9)

La ley de Darcy establece que, en un medio poroso isotropico, la velocidaddel flujo es proporcional al gradiente de la altura piezometrica, cambiada designo:

V = −kfgradh. (10)

La constante kf es la denominada permeabilidad. Para medios no isotropicos,la ley de Darcy puede generalizarse introduciendo el tensor de permeabilidad

V = −Kgradh. (11)

donde K es ahora un tensor de orden dos, representado por una matrizde d × d en <d. Esta formulacion permite incorporar el hecho de que ladireccion del flujo dependera de la estructura del medio. La ecuacion 9 esuna restriccion cinematica sobre el campo de altura piezometrica; la Ley deDarcy es la condicion dinamica. Si se reunen las dos, se obtiene la ecuacionde gobierno del flujo en un medio poroso:

8

S0

∂h

∂t= div(Kgradh) + Qρ (12)

Esta expresion es valida para flujos tridimensionales. Pero en el caso dedes-cribir flujos regionales, basta con una descripcion bidimensional de losmismos: introduciendo m, el espesor del acuıfero, se puede desde la inte-gral de volumen realizar un proceso de regularizacion, el que dara lugar aun campo de velocidades, bidimensional, equivalente en su dinamica al tridi-mensional, obteniendose la siguiente ecuacion para la altura piezometrica delflujo bidimensional:

S∂h

∂t= div(mKgradh) + q. (13)

En esta indicamos por S, la version regularizada del coeficiente de almace-namiento. Otra forma de expresar la misma es introduciendo el tensor detransmisividad T = mK. La misma ecuacion se extiende al caso del acuıferofreatico, si hacemos explıcita la dependencia de T no solo con la posicionsino tambien con h = b + m, donde b es la superficie inferior impermeabledel acuıfero:

S∂h

∂t= div[(h − b)Kgradh] + q. (14)

Del mismo modo, en el caso de que el acuıfero este conectado con otro sistemade agua subterranea o superficial con el que intercambia masa, habra queincorporar el intercambio a la ecuacion de balance. Utilizando la ley deDarcy, postularemos que el flujo entre el acuıfero y el otro cuerpo de agua esproporcional a la diferencia de altura piezometrica hj − h. Para n sistemasinteractuando, el flujo total intercambiado sera

∑

j lk(hj − h): el factor lj esel factor de filtrado del j − esimo cuerpo con el acuıfero, definido, para elcaso isotropico como lj = kfj

/dj, resultando:

S∂h

∂t= div(mKgradh) +

∑

j

lj(hj − h) + q. (15)

Las ecuaciones del flujo definen un sistema de ecuaciones diferenciales enderivadas parciales de tipo parabolico. En general seran necesarias condi-ciones iniciales y de contorno para cerrar el problema y asegurar la existenciade la solucion. Existen tres tipos de condiciones de contorno:

las de primer tipo o tipo Dirichlet, que prescribe los valores de la al-tura piezometrica en la frontera. Puede demostrarse que para asegurarla unicidad de la solucion, la altura piezometrica debe especificarse enal menos un punto del dominio, ya que de lo contrario y debido al tipode relacion que define la ley de Darcy h solo podra ser determinada amenos de una constante aditiva.

9

las de segundo tipo o tipo Neumann, que especifica el flujo a traves dela frontera mediante la componente normal del gradiente de h. Si lafrontera es impermeable, la situacion queda representada especificandocondiciones homogeneas de Neumann para dicha porcion de la frontera.

las de tercer tipo o tipo Robin, que especifican una combinacion linealpara la altura piezometrica y el flujo en la frontera. Tıpicamente seutilizan cuando hay intercambio de masa a traves de la frontera conun cuerpo de agua superficial del que se conoce la altura piezometrica:por ejemplo, en el caso de un rıo, adopta la forma T∂h/∂n = l(hr −h),donde hr es la altura piezometrica del rıo y n la normal exterior positivaa la frontera, en el rıo.

1.4.2 Estimacion de parametros

Un problema a la hora de escribir el modelo para un caso particular es laestimacion de parametros. Nos referimos con esto a la etapa de determinacionde los valores de permeabilidad, transmisibidad, porosidad, etc., necesarioscomo datos. En el Cuadro 1 se da una lista tentativa, aunque no completa,en la que se indican ademas, en que tipo de modelos es necesario el parametroy posibles fuentes.Existen muchas tecnicas para la estimacion de los parametros que se in-troduciran en los modelos. En lo que sigue y en virtud de ser operacionesimpres-cindibles, nos detendremos en la estimacion de la recarga y en laidentificacion de parametros y calibracion a partir de los ensayos de bombeo.

1.4.3 Estimacion de la recarga

Cuando se preparan los datos que definen el modelo, es desable poder hacerloa priori, es decir, independientemente del modelo. Un parametro que puedeestimarse de este modo es la denominada recarga, que es la cantidad de aguaque resulta de balancear dos procesos: el de precipitacion y el de evapo-trans-piracion. Los modelos y los metodos para realizar esta estimacion pueden sermuy sofisticados; sin embargo, en esta seccion presentaremos un modelo sim-ple que da buenos resultados. Consideremos para ello una columna de suelo,la que consideraremos dividida en tres partes: una superior no saturada, unamedia, tambien no saturada y la inferior, saturada (se desprecia el espesorde la region de capilar). La porcion superior se caracteriza por el hecho depoder perder humedad por evaporacion, mientras que la caracterıstica de lazona media es que cualquier aporte de agua sera cedido a la porcion saturadacomo regarga. El espesor tıpico de la zona superior es de aproximadamente

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Item Modelo Fuentep: freatico

c: acuıfero confinados: distribucion espacialt: distribucion temporal

Distribuciones dentro

del dominio

elevacion de la del s, p perfil geologicosuperficie inferiordel acuıfero bpermeabilidad K s, p ensayos de bombeotransmisividad T s, c ensayos de bombeocoeficiente de s, c ensayos de bombeoalmacenamiento Sporosidad efectiva εe s, p ensayos de bombeorecarga s, t datos meteorologicosproduccion s, tFiltrado de y hacia

cuerpos de agua

vecinos

elevacion del lecho s mapas topograficoselevacion de la s, t datos hidrologicossuperficie librefactores de filtrado lj sCondiciones de

contorno

altura piezometrica s, t datos de campoflujos s, t datos de campo

y meteorologicos

Table 1: Parametros necesarios para modelos de flujo subterraneo

un metro y en ella se realiza el siguiente balance entre dos instantes t y t+∆t:

B(t + ∆t) = B(t) + (N − V − R − SL)∆t∆a (16)

donde N es la precipitacion por unidad de tiempo, V la velocidad de evapo-racion, R es el resbalamiento o runoff, es decir el agua que no llega a penetrarel suelo sino que resbala o desliza sobre la superficie del suelo y SL es la ve-locidad de percolacion por unidad de area (Ref. figura 3).B(t) es el contenido de humedad de la porcion superior y tiene magnitud delongitud. Para que haya una recarga positiva, es decir para que exista un

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B

SL

percolacion profunda

evapotranspiracionRrunoff

recarga

zona saturada

no saturadazona superior

V

no saturada

contenido de humedad

precipitacionN

zona inferior

Figure 3: Estimacion de la recarga: balance en la zona no saturada

filtrado efectivo a las porcion media, el valor de la cantidad N − V −R−SL

debe superar la capacidad de campo F . En nuestro modelo, hemos asumidoque, si este exeso se produce, percolara hacia la porcion saturada:

SLδt =

0 si B(t) + (N − V − R)∆t∆A < 0.7B(t) + (N − V − R)∆t∆A − F en cualquier otro caso

(17)el valor de 0.7 que aparece en la formula anterior viene del hecho empıricoque el agua comienza a percolar antes de que el contenido de humedad al-cance el valor F , alrededor del 70% de dicho valor.

La determinacion de V tiene importantes consecuencias, no solo para el mod-elado del flujo subterraneo sino tambien consecuencias economicas, ya queeste volumen de agua forma parte de la utilizada por las plantas. Existenfundamentalmente cuatro metodologıas para su determinacion:

experimental: basada en mediciones de campo o en laboratorio, medianteel uso de bateas de evaporacion y lisimetros

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metodos de correlacion climatica como los de Penman, de Bowen y laco-rrelacion de torbellinos

modelos hidrologicos basados en el balance de agua en un volumen desuelo

sensores remotos: estos tienen ventajas y desventajas: son muy aptospara estimar la evapotranspiracion sobre dominios extendidos y poveenademas registros historicos. Entre sus limitaciones esta el volumende datos y el costo computacional de procesamiento. Un ejemplo deestrategia para estimar la evapotranspiracion es la denominada SE-BAL(Surface Energy Balance Algorithm for Land). Toma como datosla informacion provista por el satelite –basicamente la radiacion endistintas bandas– y la velocidad del viento y realiza un balance ter-modinamico, obteniendose de este la evapotranspiracion. El sistemade ecuaciones a resolver viene dado por:

Rn = (RS − αRS) + (RL − (1 − ε0)RL) − EL (18)

λE = Rn − G − H (19)

H = H(∆T, cp, ρah, rah) (20)

donde Rn es la radiacion neta en la superficie, RL y RS son respectiva-mente la radiacion incidente en la parte baja del espectro –infrarrojo,(L)ong wave– y alta del espectro –visual y ultravioleta cercano, (S)hortwave– mientras que EL es la radiacion de onda larga –termica– delsuelo. α es la fraccion de la radiacion UV incidente que es reflejada yε0 es la emisividad termica de la superficie. λE es el flujo resultante decalor latente, es decir la energıa disponible para el mecanismo de evapo-transpiracion, G es una cantidad que se determina empıricamente, yes el calor absorbido por el suelo. La funcion H es el calor sensible oalbedo, para la que se debe usar una expresion –la ecuacion de estado(20)– termodinamica.

Para determinar el runoff R, considerese que R = RP +RN donde RP esla precipitacion por lluvia y RN la correspondiente a nevadas. Existennumerosas tecnicas para determinar RP : presentaremos una, a modode ejemplo, la denominada del ındice de infiltracion. Data de 1946 yfue propuesta por Cook: en este metodo se determina un ındice o nivelφ que divide el diagrama de intesidad de precipitacion de manera queel area sobre la curva, representa exactamente el runoff. La situaciones la que se describe en la Figura 4.

Este ındice se determina a partir de una tormenta, midiendose la can-tidad de agua caıda y el runoff, siendo φ la diferencia. El valor de

13

30 60 90 120 240210180150

inte

nsid

ad d

e la

pre

cipi

taci

on (

mm

/h)

tiempo (min)

φ indice

Figure 4: Representacion del ındice φ

φ aumenta con la intensidad de la precipitacion, pero luego de ciertoumbral se mantiene mas o menos constante.

Las nevadas son la segunda forma de precipitacion despues de la lluviay en algunas regiones, como en las montanosas, son la principal. Esparticularmente importante en aquellas locaciones en que puede acu-mularse, funcionando entonces como reservorio, que actua infiltrandoseen el suelo y resbalando con la llegada de la primavera. La acumulacionde nieve es relevada con bastante facilidad, aunque requiere ser relevadaen muchos puntos para tener una idea detallada de la distribucion de losespesores acumulados. Cuando la temperatura sube, la nieve comienzaa derretirse, aunque para que el agua derretida alcance el suelo y puedainfiltrarse, es necesario un tiempo, ya que debe saturarse la capacitanciade la masa de nieve. Este proceso ocurre a varios niveles: por intercam-bio termico con el medio ambiente –proceso termo-fluidodinamico–, porabsorcion de radiacion solar, por calentamiento del suelo y por accionde la radiacion de gran logintud de onda presente en la atmosfera. Laforma mas simple de evaluar el flujo de nieve desde la superficie es me-diante el empleo de un coeficiente de fusion, Cf y una expresion lineal,del tipo:

RN = Cf(T − TB) [LT−1] (21)

siendo TB la temperatura de referencia por sobre la cual se verifica lafusion. Para Cf , los valores usualmente adoptados van de 0.015 a 0.2,adoptandose un valor medio de 0.08, para temperaturas medidas en F.

14

1.4.4 Identificacion y calibracion mediante ensayos de bombeo

Si se consideran las ecuaciones de flujo en el acuıfero, S0 (o S) y K (oT ), son parametros que describen la respuesta intrınseca del sistema. Estosparametros deben determinarse experimentalmente y los ensayos de bombeoson la forma mas simple de hacerlo. En este tipo de ensayos, se bombeaun caudal constante Q, registrandose por ejemplo, la altura piezometricaa lo largo del ensayo en distintos puntos del dominio. Al final del ensayose dispone de n m−uplas de datos, del tipo (ti,xi, h

obsi ). A partir de estos

datos y mediante el empleo de la ecuacion de gobierno, se busca determinarun valor de S0 y K –o de S y T– que minimice el error entre los valoresde altura piezometrica calculados hcalc en los puntos x donde se tomaronlas mediciones y los medidos. En sentido estadıstico se busca minimizar elerror cuadratico medio: si denominamos por J (S0, K) la funcion objetivo,el problema puede escribirse como:

minimizar J (S0, K)donde J (S0, K) =

∑nk=1

(hobsk − hcalc

k )2

Si se dispusiera de los valores hcalck este serıa un problema de cuadrados

mınimos. Pero hcalck resulta de resolver el problema diferencial dado en la

ecuacion 12. Se hace necesario entonces implementar un procedimineto it-erativo que permita a partir de un valor semilla o de prueba, determinaruna sucesion de aproximaciones a la solucion del problema, convergente a lasolucion.Una posible estrategia es el metodo de Newton-Raphson: si se expande J (S0, K)en series de potencia hasta el segundo orden,

J (S0 + ∆S0, K + ∆K) = J (S0, K) + (∆S0, ∆K) · gradJ (S0, K) +

+1

2(∆S0, ∆K) · H(S0, K) · (∆S0, ∆K)T (22)

donde gradJ es el vector gradiente de J y H es la matriz hessiana de J .Como se busca minimizar J la condicion de extremo indica que gradJ = 0cuando el argumento es el extremo, de modo que, al diferenciar la anteriorobtendremos:

0 = gradJ (S0, K) + H(S0, K) · (∆S0, ∆K)T (23)

el que constituye un sistema de lineal de ecuaciones algebraicas. Habra queresolver este problema lineal, para obtener el vector (∆S0, ∆K)T , con el quese corrige el valor de prueba mediante la relacion (Snew

0 , Knew) = (S0, K) +(∆S0, ∆K). El procedimiento se repite hasta que se obtiene un error pordebajo de una tolerancia prescripta.

15

1.5 Modelos regionales de

transporte de contaminantes

La polucion del agua subterranea debida a actividades humanas tiene di-versos orıgenes: por infiltracion de aguas contaminadas desde un cuerpo deagua superficial, desde tuberıas con perdidas o desde aguas estancadas. Otrafuente de polucion es la lluvia que arrastra e infiltra sustancias originalmentedepositadas en la superficie, como es el caso de pesticidas o fertilizantes. Lomismo ocurre con la filtracion desde terrenos de relleno y depositos de resid-uos. Los contami-nantes pueden entrar en el suelo disueltos en el agua quelos infiltra o no y el flujo de agua, ya sea la de infiltracion o la subterraneaprovoca el transporte de estos. Mientras que en la zona no saturada, eltransporte es escencialmente vertical entre la superficie del terreno y la zonasaturada, el transporte horizontal y de largo alcance ocurre solo en la zonasaturada, donde el transporte es dominado por el flujo horizontal, que deter-mina las distancias caracterısticas y alcances de la contaminacion.

En lo que sigue, consideraremos el transporte de la zona no saturada comouna fuente para el transporte en la zona saturada, limitando la discucion a losprocesos en esta zona. Dependiendo de la concentracion de contaminantes,estos pueden influenciar el campo de flujo, en cuyo caso se dice que loscontaminantes son hidrodinamicamente activos; en nuestra discucion, solotendremos en cuenta contaminantes hidrodinamicamente pasivos, es decirconcentraciones para las cuales el flujo inducido por densidad es totalmentedespreciable. Ademas, restringiremos la discucion a modelos regionales, loque nuevamente implica que la escala del transporte horizontal es muchomayor que la del vertical, en cuyo caso podremos considerar el flujo como es-cencialmente bidimensional. Mostraremos que el transporte tambien podraconsiderarse un proceso bidimensional median-te la integracion vertical delas concentraciones. Cualquier modelo de transporte requiere como entradael campo de velocidades del flujo. Entenderemos que, o bien este es conocidoo que se calcula a partir de algun modelo como los de la Seccion 1.4: estosmodelos daran la funcion h y mediante la ecuacion de Darcy las correspon-dientes velocidades que seran transformadas a velocidad de poro utilizandocomo factor de regularizacion apropiado la porosidad efectiva.

1.5.1 Modelos regionales de transporte

Comenzaremos por estudiar el comportamiento de un trazador: esto es, unasustancia hidrodinamicamente inactiva, que no es absorbida ni sufre trans-formaciones quımicas. Si recurrimos al Teorema del Transporte de Reynolds,podremos escribir para la masa de contaminante N = MC y su concentracion

16

especıfica η = c:

DMC

Dt=

∂

∂t

(∫

Ω

ρcdx3

)

+

∮

∂Ω

ρcV · nda (24)

Es necesario encontrar una expresion para el cambio total en la masa decontaminante: para ello, observemos que existen dos mecanismos que con-tribuyen al cambio en la masa: el aporte o consumo desde una fuente, o sudifusion. Con esto en mente, podremos escribir que:

DMC

Dt=

∫

Ω

Sd3x −

∮

∂Ω

j · nda. (25)

El flujo difusivo de contaminantes a traves de un area elemental puede mod-elarse mediante un modelo de Ficks, proporcional al gradiente de la concen-tracion, cambiado de signo [Cfr. § 1.3]

j · nda = −Dmgradc · nda (26)

Reuniendo todas las expresiones parciales, obtenemos una expresion para elbalance de la masa de contaminante:

∂

∂t

(∫

Ω

ρcdx3

)

+

∮

∂Ω

ρcV · nda =

∫

Ω

Sd3x +

∮

∂Ω

Dmgradc · nda (27)

A los efectos practicos, los balances que se efectuen deberan realizarse aescala macroscopica, es decir para el caso del flujo de contaminantes, sedeberan calcular promedios sobre REVs, que contendran un gran numerode poros: convendra recordar que el factor para convertir entre el volumende control -geometrico- elegido y el volumen efectivamente ocupado por elfluido es la porosidad efectiva. Para tomar estos promedios se descomponenla concentracion y la velocidad como suma de un valor medio macroscopicoy una variacion local. Ası

V = V + δV (28)

c = c + δc (29)

Introduciendo las ecuaciones 28 y 29 en la 27, y tomando valores mediossobre todas las integrales, se obtiene

∂

∂t

∫

Ω

ρcd3x +

∮

∂Ω

ρcV · nda +

∮

∂Ω

ρδcδV · nda =

∫

Ω

Sd3x +

∮

∂Ω

Dmgradc · nda (30)

17

Vale aclarar que si se expande la expresion, aparecen en las integrales, fac-

tores de la forma Vδc, cδV, δV y δc respectivamente. Estos se anulan enel proceso de calcular los valores medios, en virtud que el promedio de lavariacion local es nulo, segun surge de la misma definicion de variacion localy de la hipotesis de ergodicidad.

El segundo termino del primer miembro es el termino que representa el trans-porte convectivo (o advectivo) debido al flujo medio y el tercero es el que tieneen cuenta la dispersion del contaminante: representa la parte del flujo debidaa las irregularidades del campo de velocidades, las que son provocadas porel perfil de velocidades dentro del poro, el curvado de las lıneas de corri-entes alrededor de los granos y la seccion variable de los poros; en el segundomiembro estan representados los mecanismos de difusion del contaminantedebida al flujo medio y el termino fuente.

Si el volumen de control fuera muy grande, las inhomogeneidades en lapermea-bilidad del suelo provocarıan variaciones. Y en el caso de mode-los regionales bidimensionales, la integracion vertical en zonas que incluyanbolsones de arcilla, por ejemplo, contribuiran a estas mismas variaciones.Estos tipos de dispersiones, que aparecen por efecto de utilizar grandes vol-umenes que incluyen inhomogeneidades de la matriz solida se clasifican comomacro-dispersiones.

El proceso de dispersion es bastante parecido en sus efectos a la difusion, demodo que es practica representarlo por un termino difusivo, de la forma

δVδc = −Dgradc (31)

donde D es analogo al tensor de difusion y recibe el nombre de tensor dedispersion. Notese que la dispersion es siempre anisotropica y de un orden demagnitud mayor en la direccion del flujo. Otra cuestion que no debe perdersede vista, es que la ecuacion 31 tendra validez siempre que las variaciones develocidad dentro del volumen de control sean aleatorias, en el sentido queun trazador que lo atraviese, experimente todo el espectro de velocidades.Finalmente, con esta representacion de la dispersion, es posible escribir lasiguiente relacion –en la que hemos descartado las barras que indican valoresmedios–:

∂

∂t

∫

Ω

ρcεd3x +

∮

∂Ω

ρcV · nda =

=

∫

Ω

Sd3x +

∫

∂Ω

(Dm + D)gradc · nda (32)

Se puede obtener ahora una ecuacion diferencial en derivadas parciales medi-ante el teorema de Gauss: transformando la integral de superficie en una de

18

volumen -recordando que el volumen encerrado por ∂Ω no esta totalmenteocupado por el fluido, de modo que se debera integrar sobre εΩ y no sobre∀-, pasando todo al primer miembro, igualando a cero y exigiendo que laintegral sea nula para todo volumen que se elija, resulta

∂εc

∂t+ divcV − (Dm + D)gradc = S. (33)

Equivalentemente, se expresan las formas conservativa y convectiva de laecuacion de transporte:

∂εc

∂t+ div(cV) = div(Dm + D)grad c + S (34)

∂εc

∂t+ V · grad c = div(Dm + D)grad c + S (35)

en la expresion 35 se utiliza el hecho de que el campo de velocidad del flujodebe ser solenoidal en el medios porosos: divV = 0.

Como hemos indicado mas arriba, estamos interesados en la formulacionde modelos regionales de transporte. Estos son escencialmente bidimension-ales, para lo cual es necesario escribir un modelo integrado en profundidad.Para comenzar, designemos por m = a−b el espesor del acuıfero y evaluemosla cantidad de contaminante transportado dentro o fuera del mismo a travesde su superficie superior e inferior:

∫ a

b

j · ndA =

∫ a

b

jzdA = jzm = −Qcin (36)

Este termino debera incorporarse al termino fuente, S. cin es el valor de laconcentracion que se incorpora por filtraciones o una concentracion promedioen el caso de que se bombee agua fuera del acuıfero: esto es lo mismo quepostular que la concentracion en la superficie superior del acuıfero es aproxi-madamente igual al promedio o que la extraccion se hace desde un pozo per-fecto. Para obtener las ecuaciones bidimensionales, procedemos como antes,pero escri-biendo el elemento de volumen como dx3 = mdA, obteniendose ladenominada ecuacion de Bear:

∂mεc

∂t+ mdiv(cV) = mdiv(Dm + D)gradc + mS + Qcin (37)

En lo sucesivo, reuniremos bajo el signo S todos los terminos fuente, es de-cir, escribiremos mS + Qcin → S para resumir la escritura. Si en vez derepresentar el espesor del acuıfero por m, se define como m = h − b, estaexpresion es valida tambien para un acuıfero freatico.

19

1.5.2 Interaccion del contaminante con el medio:

contaminates activos

Hasta aquı hemos considerado un trazador. No todos los contaminantesse comportan como trazadores, puediendo sufrir dos tipos de procesos: ouna reaccion que en general involucra un decaimiento o una absorcion. Lareaccion puede modelarse de diversos modos, siendo la reaccion de primerorden la mas simple y que servira para nuestro proposito: en este modelo, seasume que la tasa de decaimiento en un instante dado es proporcional a laconcentracion en dicho instante:

dc

dt= −λc (38)

donde λ es la tasa de decaimiento, constante. Este tipo de modelo representauna gran variedad de reacciones, incluso el decaimiento radiactivo.

En el caso en que el contaminante es absorbido (o desorbido de la matrizsolida), el balance de concentracion debe incluir no solo la masa disueltao transportada por el flujo sino ademas la que es absorbida y liberada. Engeneral la concentracion de contaminantes en el flujo se mide como la masa decontaminante por unidad de volumen de lıquido, la concentracion absorbidaca se mide como masa de contaminante por unidad de masa de la matrizsolida, seca. De modo que para comparar ambos sobre un volumen de controlsera necesario un factor de renormalizacion: ası en un volumen de control,la masa de contaminante sera

∆M = εc + (1 − ε)ρca (39)

donde ρ es la densidad de la matirz solida. Incluyendo 38 y 39 en 37 y des-preciando el efecto de la difusion molecular frente a la dispersion, obtenemos

∂mεc + m(1 − ε)ρca

∂t+mdiv(cV) = mdivDgradc−λmεc+m(1−ε)ρca+S

(40)Es necesario proveer una ecuacion de clausura para ca, es decir necesitamosmodelar de algun modo el proceso de absorcion. Para ello hay que tener encuenta dos posibles condiciones del proceso: la primera es si las concentra-ciones en la matriz solida y en el fluido estan en equilibrio, en cuyo caso esposible utilizar la ley de Henry

ca = κc (41)

que indica que la concentracion absorbida es proporcional a la del fluido, oque las concentraciones no esten en equilibrio. Si no lo estan, una posible

20

forma de representar esta evolucion es mediante la siguiente relacion

∂m(1 − ε)ρca

∂t= mα

c − ca(1 − ε)ρ

ε

(42)

en la que nuevamente la tasa de cambio local de la concentracion en la ma-triz solida es proporcional a la diferencia respecto de la concentracion en ellıquido.

Para finalizar, debemos hacer incapie en una cuestion: hasta ahora, no hemosdistinguido demasiado precisamente entre la porosidad y la porosidad efec-tiva. Pero el agua inmobilizada en la fraccion de volumen representada porε − ε tambien recibe y atrapa contaminantes por difusion: el efecto de re-tencion puede contemplarse como una absorcion suplementaria fuera de equi-librio. Escri-biendo el balance para las concentraciones en el lıquido inmovily en el movil e incluyendo un termino de intercambio, resulta:

∂mε1c1

∂t+mdiv(c1V) − mdivDgradc1 = mε1λc1 − α(c1 − c2) (43)

∂mε2c2

∂t= mε2λc2 + α(c1 − c2) (44)

donde c1 y c2 son las concentraciones en el lıquido movil e inmobil y ε1 y ε2

son las fracciones de espacio vacıo ocupadas por las fases lıquidas movil e in-movil respectivamente. El intercambio fuera de equilibrio de contaminantesprovoca el reflujo en las plumas de polucion que se observa en el campo: sinembargo en lo que sigue lo despreciaremos por no ser un efecto dominante.Justifica esto, ademas que es indistinguible del efecto propio de la dispersion.

Asumiendo que solo habra absorcion en equilibrio, introducimos la ecuacion 41en la ecuacion 40

∂mεRc

∂t+ mdiv(cV) = mdiv(Dgradc) − λmεRc + S (45)

donde R = 1 + ρκ(1 − ε)/ε. Notemos que incluir la absorcion lineal produceun retardo en el proceso de transporte: esto se ve mas facilmente si se divideambos miembros de la ecuacion anterior por mεR. Siendo R adimensional,la velocidad efectiva en el poro es V/R, con R > 1, actuando tanto sobre elme-ca-nismo convectivo cuanto sobre el dispersivo. El coeficiente R recibe elnombre de coeficiente de retardo.

21

2 Una aplicacion:

solucion analıtica y numerica del transporte

inestacionario unidmensional

Como ejemplo de aplicacion de lo expuesto, vamos a resolver el problema dela inyeccion instantanea de un contaminante en un dominio unidimensional.Este problema puede servir de modelo para estudiar el transporte en unacuıfero de extension infinita y con un campo de velocidades constante, enel cual se ubica un sistema de coordenadas, cuyo eje x − x coincide con ladireccion del vector velocidad, de modo que ~u = uı. En este caso, estamosaceptando que

∂c

∂y=

∂c

∂z= 0 (46)

de modo que la ecuacion de transporte toma la forma:

∂c

∂t+

u

R

∂c

∂x=

D

R

∂2c

∂x2− λc en <. (47)

2.1 Solucion analıtica

La inyeccion del contaminante sera incorporada al modelo como una condicioninicial. Para simularla, recurriremos a la distribucion de Dirac o funcion im-pulso como se la denomina indistintamente y que se indica con el sımbolo δ.Esta distribucion es tal que:

∫ ∞

−∞

δ(x)dx = 1

∫ ∞

−∞

δ(x − x0)f(x)dx = f(x0) (48)

y pude ser empleada en la construccion de la condicion inicial c(x, 0): si lamasa total de contaminante que se inyecta en el origen es ∆Mc, la correspon-diente concentracion sera ∆M

εmwRy la condicion inicial:

c(x, 0) =∆M

εmwRδ(x). (49)

Ademas de una condicion inicial, este problema requiere dos condiciones decontorno. Estas se obtienen de exigir que la solucion en todo instante debepermanecer acotada. La forma de lograr esto, es exigir que asintoticamente,la distribucion de contaminante tienda a cero:

c(±∞, t) = 0 ∀t. (50)

22

Por sustitucion es posible verificar que la solucion del anterior problema vienedada por:

c(x, t) =∆M

2wmε√

παLutR

exp

−(x − ut/R)2

4αLut/R

exp(−λt) (51)

donde αL esta relacionada con D. Esta solucion tiene la propiedad de satis-facer en todo instante la conservacion de la masa de contaminante: si tenemosen cuenta que la masa total de contaminante disminuye debido al efecto deldecaimiento, en el instante t, la masa de contaminante es ∆Mexp(−λt): enefecto puede verse que:

∫ ∞

−∞

wmεc(x, t)dx = ∆Mexp(−λt). (52)

Todas las expresiones anteriores pueden obtenerse mediante el uso de un pa-quete de algebra simbolica, como por ejemplo Mathematica. Sin embargo, engeneral no es posible realizar esta integracion en forma analıtica debiendoserecurrir a metodos numericos. En lo que sigue, daremos una guıa elementalsobre como resolver numericamente este problema. De ningun modo discu-tiremos en profundidad este tipo de esquemas de solucion, algo que esta fuerade los alcances de la monografıa: mejor, deseamos mostrar la importancia delos esquemas numericos en el proceso de simulacion.

2.2 Guıa para la solucion mumerica

En lo que sigue, presentaremos una estrategia para la solucion de este tipo deecuaciones, que consiste en reemplazar los operadores diferenciales por ope-radores en diferencias: esualmente este metodo se denomina de diferenciasfinitas aunque tambien puede pensarse como un metodo de colocacion, en elmarco de la formulacion en residuos ponderados.

Para realizar esta aproximacion, consideremos que cni es una aproximacion

de c(xi, tn):∂c

∂t(xi, tn) ∼

cn+1i − cn

i

∆t∂c

∂x(xi, tn) ∼

cni+1 − cn

i−1

2∆x(53)

∂2c

∂x2(xi, tn) ∼

cni+1 − 2cn

i + ci−1

∆x2

que al ser reemplazadas en la ecuacion diferencial 46 resulta:

cn+1i − cn

i

∆t=

D

R

cni+1 − 2cn

i + ci−1

∆x2−

u

R

cni+1 − cn

i−1

2∆x− λcn

i (54)

23

Operando algebraicamente, es posible reducir la anterior a la siguiente:

cn+1i = (γ1 + γ2)c

ni−1 + (γ3 − 2γ1)c

ni + (γ1 − γ2)c

ni+1

γ1 = D∆tR∆x2 γ2 = u∆t

2R∆xγ3 = 1 − λ∆t

(55)

Esta es una expresion en diferencias, centrada en el espacio y hacia adelanteen el tiempo, que aproxima el problema diferencial. Nos permite ademasmostrar una propiedad de este tipo de esquemas:

Consideremos el caso en que no existe decaimiento, esto es λ = 0. Sisumamos los coeficientes de la ecuacion en diferencias, esta suma es launidad. En efecto, si hacemos (γ1 + γ2) + (γ3 − 2γ1) + (γ1 − γ2) = γ3 =1 − λ∆t, que con λ = 0 da la unidad.

Este esquema se implementa muy facilmente en un programa. Por ejemplo,en C, resulta:

// sample program: 1-D INJECTION SIMULATION

//

#include <stdio.h>

#include <math.h>

main()

int i, n;

FILE *salida;

// data

const float D = 0.005, R = 1,

const float u = 0.05,l = 0.005

// grid definition

const int N = 100, M = 520;

const float DeltaX = 0.01;

const float DeltaT = 0.001;

float c[N][M]; // variables

float g1, g2, g3, A1, A2, A3

// initial condition

for(i = 0; i < N; i++)

c[i][1] = 0.0;

c[10][1] = 1;

// pre-processing

g1 = (D * DeltaT) / (R * DeltaX*DeltaX);

g2 = (u * DeltaT) / (2 * R * DeltaX);

g3 = 1 - l * DeltaT;

A1 = g1 + g2;

24

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Concentration

x-x coordinate

Concetration distribution

t = 0.05

t = 0.10

t = 0.20

t = 0.30

t = 0.40

Figure 5: Distribucion de la concentracion para distintos instantes, R = 1

A2 = g3 - 2 * g1;

A3 = g1 - g2;

// main loop

for(n = 1; n < M-1; n++)

c[0][n+1] = 0;

c[N-1][n+1] = c[0][n+1];

for(i = 1; i < N-1; i++)

c[i][n+1] = A1*c[i-1][n] + A2*c[i][n] + A3*c[i+1][n];

Hemos fijado para el ejemplo anterior, un coeficiente de difusividad D de 0.05,un coeficiente de retardo R de 1, un campo de velocidades cuyo modulo vale0.05 y un coeficiente de decaimiento λ, representado por la variable l de0.005. El resultado de la simulacion para distintos instantes se representa enla Figura 5: podemos ver el efecto de la difusion que ensancha la distrbucionoriginal, tanto aguas arriba como aguas abajo, el efecto de la conveccionque desplaza la posicion del maximo de la distribucion en la direccion de lacorriente, y el efecto del decaimineto, que disminuye el area bajo la curva.Luego hemos cambiado el valor de R, el coeficiente de retardo de 1 a 1.5, parapoder apreciar el efecto: el resultado se muestra en la Figura 6, junto con elresultado anterior para comparar el efecto. Vemos que la distribucion es casi

25

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Concentration

Concentration distribution

R = 1.5

R = 1

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Concentration

Concentration distribution

R = 1.5

R = 1

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Concentration

Concentration distribution

R = 1.5, t = 0.3

R = 1, t = 0.2

Figure 6: Comparacion del efecto del retardo en el transporte

identica si se toman las distribuciones para un instante 1.5 veces menor parael caso retardado que para el sin retardo.

2.3 Otras cuestiones

Existen, por cierto otras cuestiones referentes a la eleccion e implementacionde los esquemas numericos. Algunas son verdaderamente especializadas y re-quieren de un espacio fuera de nuestras posibilidades. Sin embargo y siendolas cuestiones mas importantes, discutiremos en esta seccion cuatro cues-tiones:

Up–Winding: esta es una modificacion que suele resultar necesaria y queconsiste en descentrar la formulacion de la aproximacion espacial. Con-ceptualmente, el valor de concentracion en un punto de la particion deldominio, se expresa como promedio pesado de los valores en puntosvecinos de la particion. Ası, eligiendo -por ejemplo- los valores de c enxi−1, en xi y en xi+1 para construir una aproximacion centrada de laecuacion de transporte, resulta en una expresion que pesa los valores deci−1, ci y ci+1 con los factores γ1+γ2, γ3−2γ1 y γ1−γ2, respectivamente[Cfr. Ec. 55 ].

Cuando se calcula la masa de contaminantes transportada por la con-veccion, la concentracion aparece combinada con la velocidad: estoindica una direccion preferencial en el transporte, dada por la de lavelocidad [notese que esta asimetrıa no aparece en el caso difusivo-dispersivo]. Y una forma de introducir esta influencia desigual de losnodos vecinos es pesarlos de manera diferente.

Consideremos entonces, las tres absisas xi−1, xi y xi+1, rodeadas de tressubintervalos que no se superponen, dados por:

[xi−3/2, xi−1/2] [xi−1/2, xi+1/2] [xi+1/2, xi+3/2]. (56)

26

Considerando -sin perdida de generalidad- un acuıfero de espesor con-stante m, ancho w y porosidad ε, la masa de contaminante que entra ala caja centrada en xi en el intervalo [tn, tn+1] vendra dada por:

ui−1(αci−1 + (1 − α)ci)wmε∆t − ui(βci + (1 − β)ci+1)wmε∆t (57)

donde α = 1

2(1 + signo(ui−1)) y β = 1

2(1 + signo(ui)). Si α = β = 0.5

recuperamos la formulacion anterior, centrada.

Como regla, indiquemos que:

Si el transporte esta dominado por conveccion, sera ven-

tajoso utilizar Up-Winding. Si por el contrario, esta dom-

inado por efectos difusivo-dispersivos, sera preferible la

apro-ximacion centrada.

Consistencia y Estabilidad: de los esquemas numericos se esperan basicamentedos propiedades: consistencia y estabilidad. La primera es la quenos asegura que, si se hace tender el tamano de la grilla a cero, lasolucion aproximada del esquema tendera a la solucion exacta del prob-lema diferencial. La segunda, asegura la robustez del esquema: estoes, que si se introducen perturbaciones -podemos pensar en pequenasoscilaciones- estas se amortiguen hasta desaparecer. Para asegurar laestabilidad en los esquemas vinculados al transporte de contaminantes,existen diversas condiciones. Las mas importantes son:

• el criterio de Courant, que exige que el numero de Courant Co seamenor que la unidad. Siendo:

Co =

∣

∣

∣

∣

∆tu

∆x

∣

∣

∣

∣

< 1, (58)

la condicion asegura que la cantidad de contaminante que aban-dona cada subintervalo en el intervalo [t, t+∆t] no excede la can-tidad de contaminante allı presente,

• el criterio de Neumann, que exige que el numero de Neumann, Nsea menor que 0.5,

N =

∣

∣

∣

∣

D∆t

∆x2

∣

∣

∣

∣

≤1

2(59)

y asegura que los gradientes de concentracion no puedan ser re-vertidos solo por efectos difusivos-dispersivos.

Formulaciones implıcitas: Una cuestion conectada a la estabilidad es elhecho de que nuestro esquema es explıto: esto resulta de nuestra eleccion

27

de la aproximacion del operador ∂∂t

con una diferencia hacia adelante.En general y siguiendo la idea del promedio pesado, es posible aproxi-mar c(xi, τ), con tn ≤ τ ≤ tn+1 como:

c(xi, τ) = θcn+1i + (1 − θ)cn

i . (60)

Si θ = 0, se tratara de nuestro esquema explıcito, mientras que si θ = 1,se trata de un esquema implıcito como resultarıa de tomar diferenciashacia atras. Si, por ejemplo, adoptaramos el valor θ = 0.5, el esquemaes implıcito y se denominara de Crank-Nicholson.

Dispersion numerica: este es un efecto indeseado, pero a la vez inevitablepara el esquema planteado como hasta ahora. Para entender de que setrata, expandamos en series la concentracion c(x, t) alrededor de xi ya instante fijo (t = ctte):

c(xi−1) = c(xi) −∂c

∂x∆x +

1

2

∂2c

∂x2∆x2 + · · · (61)

de modo que, reordenando podemos obtener

u∂c

∂x∼ u

c(xi) − c(xi−1)

∆x+

u

2

∂2c

∂x2∆x2. (62)

Esto quiere decir que en nuestra formulacion estamos aproximando dosterminos:

uc(xi) − c(xi−1)

∆x→ u

∂c

∂x−

u

2

∂2c

∂x2∆x2 (63)

El termino de la derivada segunda, es un termino dispersivo que puedesumarse a los efectos difusivo-dispersivos, con una dispersividad DN =u∆x2/2, de origen numerico, denominada dispersividad numerica y queaparece debido al tipo de aproximacion elegida. La forma de hacerladespreciable es eligiendo el tamano de la grilla de modo que la dis-persion numerica sea despreciable frente a la del sistema. La condicionse expresa en terminos del numero de Peclet de la grilla, exigiendo quetienda a cero:

Pe =u∆x

D→ 0. (64)

28