1. exemples
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1. EXEMPLES
Exemple 1 : système électrique : circuit RC
R
e(t) s(t) C
i(t) e(t) – s(t) = R i(t)
soit
Conclusion:
L’entrée et la sortie sont reliées par une équation différentielle
(linéaire d’ordre 1)
i(t) = C ds(t)
dt
RC + s(t) = e(t) ds(t)
dt
s(t) = i(t) 1
C
D’où
But :
Trouver une relation mathématique entre
l’entrée et la sortie (loi entrée – sortie).
e(t) s(t)
Exemple 2 : système mécanique : suspension automobile
Masse M
ressort amortisseur
Simplification géométrique
Caractéristique ressort :
Caractéristique amortisseur :
x(t)
y(t)
Exerce un effort proportionnel à son allongement depuis sa
position d’équilibre, s’opposant au déplacement.
Fress = - K (y-x)
x(t) y(t) ?
Position référence roue
Exerce un effort proportionnel à la vitesse d’enfoncement,
s’opposant à celle-ci.
Famort = - f d(y-x)
dt
Position référence châssis
1. EXEMPLES
Exemple 2 : système mécanique : suspension automobile
Masse M
Principe Fondamental de la
Dynamique à la masse M :
x(t)
y(t) x(t) y(t) ?
Position référence
roue
Position référence
châssis
d(x-y)
dt M = K (x-y) + f
d2 y
dt2
M M/0 = Fress + Famort
(2éme année)
dx
dt M + f + K y = f + K x
d2 y
dt2
dy
dt
L’entrée et la sortie sont reliées par une équation différentielle
(linéaire d’ordre 2)
1. EXEMPLES
Généralisation :
2. SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS
e(t) s(t)
Si e(t) est continue en fonction du temps, le système sera dit Système Continu .
On s’intéressera aux systèmes dont la loi de comportement physique
peut être décrite par une équation différentielle de type:
Système Continu :
Si cette équation est à coefficients constants (indépendants du temps), le
système sera dit Système Invariant.
Système Invariant :
Même réponse si même entrée à des moments différents
Définition d’un système linéaire :
e(t) s(t)
e1(t) s1(t)
e2(t) s2(t)
Si : Alors :
a.e1(t)+b.e2(t) a.s1(t)+b.s2(t)
Conséquence :
En régime permanent :
s()
e()
2. SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS
Exemples de non-linéarité :
E
S
0
S
E
N
N
0
caractéristiquelinéarisée autour
du point de fonctinnement
S
E0 0
0
Linéarisation autour d’un point de fonctionnement
courbure seuil saturation hystérésis
L’équation différentielle ne traduit la
réalité du système qu’autour d’une
certaine valeur de l’entrée appelée
point de fonctionnement.
2. SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS
Problèmes posés : e(t) connu, s(t)?
s(t) connu, e(t) ? (loi de pilotage)
Dans tous les cas, il faut résoudre l’équation
différentielle régissant le fonctionnement du système.
résolution des équations
différentielles Transformées de Laplace
Cas simples : Autres cas :
2. SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS
Bienvenue dans le monde imaginaire
des calculs faciles !!!
Merci Monsieur Laplace !!!!!
3. TRANSFORMEES DE LAPLACE
Soit f une fonction du temps t , définie pour t > 0
On appelle transformée de Laplace de f, la fonction F(p), définie par :
F(p) = e-pt f (t) dt 0
Notation: F(p) = L[ f (t) ]
avec p : variable complexe.
31. Définition :
Transformée inverse L-1 : f(t) = L-1 [ F(p) ]
Cela permet, connaissant F(p), d’en déduire f(t)
3. TRANSFORMEES DE LAPLACE
32. Propriétés:
•Unicité :
•Linéarité :
•Théorème du retard
F1(p) = L[ f1 (t) ]
F2(p) = L[ f2 (t) ] L[ f1 (t) + f2 (t) ] = F1(p) + F2(p)
a réel L[ a.f (t)] = a. F (p)
Passage unique
f(t) F(p)
domaine
temporel
domaine de
Laplace
L[ f ( t - ) ] = e- p F(p)
t
f(t) g(t) =f(t-)
3. TRANSFORMEES DE LAPLACE
On montre que :
•Transformée de Laplace d’une dérivée :
L [ —— ] = pF( p) - f (0+ )
d f(t)
dt
L [ —— ] = p2F( p) – p f (0+ ) – f ’(0+)
d2 f(t)
dt2
Si conditions initiales nulles : f (0+ ) = f ’(0+) = 0
( conditions de Heaviside )
L [ —— ] = pF( p) d f(t)
dt
L [ —— ] = p2F( p) d2 f(t)
dt2
L [ —— ] = pn F( p) dn f(t)
dtn
Dériver dans le domaine temporel revient à
multiplier par p dans le domaine de Laplace.
3. TRANSFORMEES DE LAPLACE
On montre que :
•Transformée de Laplace d’une intégrale :
Si conditions initiales nulles : g (0+) = 0 ( conditions de Heaviside )
Intégrer dans le domaine temporel revient à
diviser par p dans le domaine de Laplace.
Posons g(t) = f(t)dt
L [ f(t)dt ] = —— + ——
F(p)
p
g(0+)
p
L [ f(t)dt ] = —— F(p)
p
Application :
Transformation d’une équation différentielle en équation linéaire
Amortisseur voiture :
dx(t)
dt M + f + K y(t) = f + K x(t)
d2 y(t)
dt2
dy(t)
dt
Monde réel :
x(t)
y(t)
Transformées de Laplace :
X(p)
Y(p)
équation de fonctionnement (voir début) :
Transformées de Laplace :
M p2 Y(p) + f p Y(p) + K Y(p) = f p X(p) + K X(p)
K + f p
Y(p) = ────────── .X(p)
K + f p + M p2
Sortie = H(p) x Entrée
Dans le domaine de Laplace
Conditions initiales nulles :
x(0) = x’(0) = y(0) = y’(0) = 0
3. TRANSFORMEES DE LAPLACE
33. Transformées de Laplace de fonctions d’entrées usuelles:
L[ (t) ] = 1 L[ u(t) ] = —
Uo
p
•Fonction échelon :
u(t)
t
u(t) = 0 à t< 0
u(t) = Uo à t 0 (échelon Uo)
•Fonction de Dirac :
(t)
t
(t) = 0 à t0
(t) = 1 à t =0
( impulsion )
Si Uo = 1 :
échelon unitaire
3. TRANSFORMEES DE LAPLACE
33. Transformées de Laplace de fonctions d’entrées usuelles:
L[ f(t) ] = — a
p2
•Fonction rampe :
f(t)
t
f(t) = a.t
•Fonction sinus :
f(t)
t
f(t) = a.sin ωt
L[ f(t) ] = a ——— ω
p2 + ω2
3. TRANSFORMEES DE LAPLACE
34. Tableau de transformées usuelles
u(t)
u(t)
u(t)
u(t)
u(t) u(t)
u(t)
u(t)
u(t)
u(t)
( )u(t)
3. TRANSFORMEES DE LAPLACE
•Théorème de la valeur initiale : lim t 0 f(t) = lim p p F(p)
•Théorème de la valeur finale : lim t f(t) = lim p 0 p F(p)
( à condition que les limites existent )
Ces théorèmes permettent de prévoir les comportements initiaux et finaux
de f(t) connaissant F(p)
3. TRANSFORMEES DE LAPLACE
35. Utilisation des transformées de Laplace
e(t) s(t)
E(p) anpnS(p)+…+ a1pS(p)+ aoS(p) = bmpmE(p)+…+ b1pE(p)+ boE(p) S(p)
L-1 [ S(p) ] L [ e(t) ]
Domaine temporel
Domaine de Laplace
équation différentielle qui relie xcons(t) et x(t) ?
Exercice 5 : Asservissement de position d’un vérin hydraulique
Transformée de Laplace : X(p) = Xcons(p)
p +
Exercice 4 : Asservissement de position d’un vérin hydraulique
Transformée de Laplace : X(p) = Xcons(p)
p +
Si consigne échelon de 8mm :
Xcons(p) = 8
p Alors X(p) =
p +
8
p
Théorème valeur finale : lim t x(t) = lim p 0 p X(p)
= lim p 0 .8
p +
= 8 mm système bien réglé
4. FONCTION DE TRANSFERT
41. Définitions
e(t) s(t) système
On appelle fonction de transfert du système ( ou
transmittance ) le rapport noté H :
H(p) = —— S(p)
E(p)
Pour un système linéaire : H(p) = ——————— = —— bmpm+…+ b1p+ bo N(p)
anpn+…+ a1p+ ao D(p)
•Fonction de transfert :
•Zéros et pôles
Zéros : racines de N(p) = 0
Pôles : racines de D(p) = 0
4. FONCTION DE TRANSFERT
1. Définitions
Pôles : racines de D(p) = 0
Intérêt des poles :
On démontre qu’un système est stable lorsque les racines
de D(p) sont toutes à parties réelles négatives
Allure de la sortie en fonction des poles :
H(p) = ——————— = —— bmpm+…+ b1p+ bo N(p)
anpn+…+ a1p+ ao D(p)
4. FONCTION DE TRANSFERT
E(p) S(p) H(p)
•Forme canonique
On peut toujours mettre H(p) sous la forme :
Forme canonique de H
s’appelle la classe du système. ( peut être nul…)
K s’appelle le gain statique du système.
Unité de K = unité s(t) / unité e(t)
n s’appelle l’ ordre du système. (degré du dénominateur)
Intérêt : Coefficients grandeurs caractéristiques du mécanisme
(constantes de temps, pulsations propres, amortissements)
•Classe, gain, ordre d’un SLCI
H(p) = ——————— bmpm+…+ b1p+ bo
anpn+…+ a1p+ ao
Exemple moteur (voir TD) :
C(p) kc +
-
Um(p)
E(p)
Um(p) - E(p)
1 / (R+Lp)
I(p) 1/Jp
Ω(p)
ke
Fonction de transfert ?
H1(p) H2(p) H3(p)
H4(p)
4. FONCTION DE TRANSFERT
42. Modélisation par schéma blocs
( ) ( ). ( )S p G p E pRappel : Traduit l’équation
Blocs en cascade :
Addition soustraction :
Traduit l’équation 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )S p E p E p E p
4. FONCTION DE TRANSFERT
43. Fonction de transfert d’un système asservi
Chaîne Directe CD
Boucle Ouverte BO
Chaîne Directe CD
Boucle Ouverte BO
( ) ( ). ( ). ( ). ( )FTBO p C p A p H p B p
4. FONCTION DE TRANSFERT
Remarque :
Si retour unitaire ( B(p) =1 ) :
K(p) S(p)
+ -
E(p)
————— FTCD
1 + FTBO FTBF = = —————
K(p)
1 + K(p)
—————— FTCD(p)
1 + FTBO(p) FTBF(p) =
43. Fonction de transfert d’un système asservi
Fonction de Transfert en Boucle Fermée :
( Formule de Black )
Chaîne Directe CD
Boucle Ouverte BO
Exemple moteur (voir TD) :
C(p) kc +
-
Um(p)
E(p)
Um(p) - E(p)
1 / (R+Lp)
I(p) 1/Jp
Ω(p)
ke
Fonction de transfert : ————— FTCD
1 + FTBO FTBF =
H1(p) H2(p) H3(p)
H4(p)
4. FONCTION DE TRANSFERT
43. Cas particuliers
Gain pur
SYSTÈME PROPORTIONNEL H(p) = K
SYSTÈME DÉRIVATEUR H(p) = K.p
SYSTÈME INTEGRATEUR H(p) = K / p
t
e(t)
s(t)
cas K < 1
( ) ( )s t K e t
t
e(t)
s(t)
( )( )
d e ts t K
dt
( )( )
d s tK e t
dt
t
e(t)
s(t)
4. FONCTION DE TRANSFERT
H(p) = ———
43. Cas particuliers
K
1+ τ.p
SYSTÈME ORDRE 1
H(p) = ————— K
1+ a.p + b.p2
SYSTÈME ORDRE 2
4. FONCTION DE TRANSFERT
transformer tout système complexe en un système simple dont on
peut déterminer la FT par la formule de Black
H E S
44. Différentes méthodes de calcul d’une fonction de transfert
Par calcul Voir TD (four, moteur)
Par manipulation de blocs
ANNEXE 2 : MANIPULATION SCHEMAS BLOCS
44. Manipulation des schémas blocs
•Éléments en cascade
•Éléments en parallèle
4. FONCTION DE TRANSFERT
•Mise en retour unitaire
•Élimination d’une boucle de retour
ANNEXE 2 : MANIPULATION SCHEMAS BLOCS
4. FONCTION DE TRANSFERT
•Déplacement avant d’un point de sommation ou comparateur
•Déplacement arrière d’un point de sommation ou comparateur
ANNEXE 2 : MANIPULATION SCHEMAS BLOCS
α(p) = ??
β(p) = ??
α(p) = ??
β(p) = ??
déplacement d’un comparateur
4. FONCTION DE TRANSFERT
•Déplacement avant d’un point de dérivation
•Déplacement arrière d’un point de dérivation
ANNEXE 2 : MANIPULATION SCHEMAS BLOCS
Déplacement d’un point de prélévement
Exemple : 2 entrées : E(p) et P(p) 1 sortie : S(p)
H3(p)
H1(p) H2(p) + +
G(p)
+ -
E(p) S(p)
P(p)
P(p) = 0 perturbation nulle E(p) = 0 système perturbé, sans entrée
5. INTEGRATION DE PERTURBATIONS
H1(p) E(p) S1(p)
H2(p) P(p) S2(p)
Système total :
S(p) = S1(p) + S2(p)
EXEMPLE
H E S