Janvier 2005 EXAMEN DE SYSTEMES ASSERVIS

La fonction de transfert en boucle ouverte d’un processus a été identifiée comme étant de la forme :

!

T(p) =S(p)

E(p)=

30(1" 0,1p)

(p2+6p + 25)(1+ 0,1p)

S(p) et E(p) étant respectivement les transformées de Laplace des signaux s(t) de sortie et e(t) d’entrée. 1°) Quels sont :

• le gain statique K du processus ? • son ordre n ? • sa classe α ?

2°) Ecrire la transmittance complexe T(jω) et en déduire :

• l’équation du module de T(jω) (exprimé en dB), en fonction de ω, • l’équation de l’argument de T(jω), (noté ϕ et exprimé en degrés), en fonction de ω.

3°) On donne ci-joint le tracé sur un abaque de Black de la réponse harmonique du système en boucle ouverte. Déduire de cette courbe les grandeurs suivantes relatives à un asservissement par retour unitaire du système.

• � la marge de gain M (en dB) • � la marge de phase ΦM (en degrés) • � l’erreur statique de position (en % ) • � connaissant ces valeurs, conclure quant aux performances du système asservi.

4°) Afin d’asservir la sortie s(t) à une consigne x(t) par un bouclage à retour unitaire du système, on insère dans le montage, entre le comparateur et le processus, un amplificateur de gain A réglable.

• � Dessiner le schéma fonctionnel du système asservi en indiquant toutes les grandeurs utiles. • � Déterminer graphiquement la valeur du gain A pour que le système asservi possède une

marge de gain M = 10 dB. • � Quelle est alors la nouvelle valeur du gain statique K du processus ? • � Quelle est alors la nouvelle valeur de l’erreur statique de position du système asservi? • � Connaissant ces valeurs, conclure quant aux performances du système asservi.

5°) Afin d’améliorer les performances de l’asservissement, on introduit dans la chaîne directe un correcteur de fonction de transfert :

p

ppC

1015,01

)(+

+=

• � Dessiner le nouveau schéma fonctionnel du système asservi corrigé. • � De quel type de correcteur s’agit-il ? Quels sont ses paramètres ? • � Avec A = 1, tracer sur l’abaque précédent le lieu de Black du système corrigé en boucle

ouverte. • � Déterminer la valeur du gain A nécessaire pour retrouver une marge de gain de 10 dB. • � Quel est alors la nouvelle valeur du gain statique du processus. • � Quelle est alors la nouvelle valeur de la marge de phase du système asservi corrigé ? • � Quelle est alors la nouvelle valeur de l’erreur statique de position du système asservi

corrigé ?

6°) En comparant les résultats des questions 3°), 4°) et 5°), expliquer en 3 à 5 lignes l’action de l’ensemble (gain réglable A + correcteur) sur le système asservi et justifiez l’utilisation de ce type de correcteur. Proposez ensuite, en justifiant vos choix, d’autres correcteurs permettant d’obtenir des résultats comparables (ou meilleurs).