1 elaborazione numerica del suono la convoluzione e piu efficente se effettuata nel dominio della...
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1Elaborazione numerica del suono
La convoluzione e’ piu’ efficente se effettuata nel dominio della frequenza:
Problemi • Occorre acquisire l’intero segnale prima di poterlo filtrare• se n è grande occorre una FFT che occupa molta memoria.
x(n) X(k)FFT
X(k) H(k)
Y(k)y(n) IFFT
x(n) h(n)
y(n)
Soluzione • Algoritmo “Overlap & Save”
Filtraggio FIR veloce mediante FFTFiltraggio FIR veloce mediante FFT
2Elaborazione numerica del suono
1. Effettuo una FFT del filtro h(n), zero-padded a N campioni e memorizzo:
2. Seleziono il blocco m-esimo di N punti dalla sequenza di ingresso x(n) :
in cui: n = 0,1,2,…,N-1
m = 1,2,3,…
N = FFT length
Q = IR length
1,...,1,0
1,...,1,0)()(
NQQn
Qnnhnh
111)( QQNmnxnxm
3N - 2Q + 12N - 2Q + 2
2N - Q + 1N - Q
N - 10
L’algoritmo “Overlap & Save”L’algoritmo “Overlap & Save”
FFT H(f)
3Elaborazione numerica del suono
3. Moltiplico lo spettro del filtro H(f) per lo spettro FFT del blocco m.
4. Effettuo la trasformata inversa IFFT dello spettro risultante dal prodotto.
5. Butto via i primi (Q-1) punti del blocco ottenuto allo step 4
e appendo gli (N-Q+1) punti rimanenti alla sequenza di uscita y(n): y(n) = y1(n), y2(n),…, ym(n),…
y1 (n) n = Q – 1,…,N - 1y2 [n – (N – Q + 1)] n = N,…,2N - Q
. .
. .ym [n – (m – 1)(N – Q + 1)] n = (m – 1)(N – Q + 1) + (Q – 1), …,(m – 1)(N – Q + 1) + (N – 1)
. .
. .
L’algoritmo “Overlap & Save”L’algoritmo “Overlap & Save”
4Elaborazione numerica del suono
FFTN-point
FFTN-point
xIFFT
Xm(k)H(k)
Select lastN – Q + 1samples
Append to y(n)
xm(n)
h(n)
Convoluzione veloce FFT con Overlap & Save (Oppenheim & Shafer, 1975):
Problemi • Eccessiva latenza di processamento fra input ed output• Se N è grande, continua a servire molta memoria
Soluzione • Algoritmo “uniformly-partitioned Overlap & Save”
Schema a blocchi Overlap & SaveSchema a blocchi Overlap & Save
5Elaborazione numerica del suono
La risposta all’impulso del filtro h(n) e’ anch’essa partizionata in blocchi di uguale dimensione (K punti)
1st block 2nd block 3rd block 4th block
Uniformly Partitioned Overlap & Save
6Elaborazione numerica del suono
Ciascun filtro S e' convoluto, mediante Overlap & Save, ad un blocco di dati in ingresso lungo L punti. Ciascun blocco di input comincia L-K punti dopo il precedente.
Ciascun blocco della IR e' trattato come se fosse un filtro indipendente, esso viene zero-padded alla lunghezza di L campioni e trasformato FFT in modo da ottenere una collezione di P filtri spettrali S (nell'esempio P=3)
3rd seg.
1st seg. 2nd seg.
S1
Input stream (subdivided in partially overlapped blocks)
T-th (last) block of L points
FFT
T-th spectrum
X
(T-1)-th block of L points
Sum at index 0
1-st block of L points
FFT
1-st spectrum
X
IFFT
Select last L-K points
S1
Sum at index K
X S2
Sum at index 2K
X S3
2-nd block of L points
Sum at index i-L
3rd seg.
lth seg.
1st seg. 2nd seg.
1st data block
2nd data block
1st seg. 2nd seg. (T-1)-th data block
T-th data block
IFFT
Select last L-K points
IFFT
Select last L-K points
IFFT
Select last L-K points
Output stream
I risultati delle moltiplicazioni dei P filtri con le FFT degli ultimi P blocchi overlappati della sequenza di ingresso sono sommati in P accumulatori spettrali.
Uniformly Partitioned Overlap & Save
Alla fine si fa una IFFT del primo accumulatore, che fornisce un blocco di dati in uscita. Solo gli ultimi L-K punti di questo blocco vanno tenuti buoni.
7Elaborazione numerica del suono
Sistema “lineare”, distorsioneSistema “lineare”, distorsione Occorre chiarire cosa si intende con un sistema “lineare”:
Per linearità si intende il fatto che sia valida la sovrapponibilità degli effetti: un sistema è lineare se, per qualsiasi coppia di segnali arbitrari A e B, l’uscita del sistema alimentato con il segnale somma A+B è identica alla somma delle uscite ottenute quando il sistema era alimentato rispettivamente con il solo segnale A o B
Quindi una eventuale alterazione della risposta in frequenza, o la presenza di ritardi, eco e riverbero, di per se non inficiano l’ipotesi di linearità. Tali effetti non sono dunque da considerare “distorsione” del segnale.
Per distorsione si intende infine una alterazione del segnale tale da non rispettare l’ipotesi di linearità – quindi ad esempio un sistema la cui risposta dipenda dall’ampiezza del segnale in ingresso (ad esempio un compressore o un espansore di dinamica, oppure un limiter) – La distorsione appare evidente allorchè si utilizza un segnale sinusoidale in ingresso, in quanto in uscita appaiono anche frequenze multiple di quella di partenza.
8Elaborazione numerica del suono
Un sistema lineare con filtro di correzioneUn sistema lineare con filtro di correzione
Lettore CD Amplificatore Altoparlante Microfono
Sistema fisico (un ingresso, una uscita)
Filtro
Schema a blocchi
f() h() x’()
Filtering coefficients
System’s Impulse Response
(Transfer function)
Output signal
x()
Input signal
9Elaborazione numerica del suono
Effetto combinato filtro+sistemaEffetto combinato filtro+sistema
Trattandosi di operatori lineari, si può scrivere:
lhjfix)i(y
Sovente lo scopo del filtro è quello di “equalizzare” la risposta del sistema, cosicchè il segnale in uscita y(t) sia identico al segnale in ingresso x(t). Affinchè ciò accada, deve risultare che:
ilhjf In cui (i) + la funzione Delta di Dirac (un solo campione di valore unitario preceduto e seguito da tanti zeri) – in tale modo il passaggio attraverso filtro+sistema si traduce in semplice ritardo nel tempo, senza altra alterazione del segnale
10Elaborazione numerica del suono
Possibili strategie di progettazione Possibili strategie di progettazione di un filtro equalizzatoredi un filtro equalizzatore
Mourjopoulos – ricerca con il metodo dei minimi quadrati di una risposta all’impulso che, convoluta con quella del segnale di partenza, renda il risultato massimamente simile ad una Delta di Dirac (metodo molto lento ed ormai obsoleto)
Neely & Allen – si passa nel dominio della frequenza, e si crea un filtro tale che il modulo della sua risposta in frequenza compensi perfettamente la risposta in frequenza del sistema. Tale filtro viene generato con uno spettro fatto di soli valori reali (si dice che è “a fase lineare”), cosa che dà luogo, tornando nel dominio del tempo, ad una risposta all’impulso simmetrica.
Nelson & Kirkeby – si opera ancora nel dominio della frequenza, ma a ciascuna frequenza si prende il reciproco del valore complesso della funzione di trasferimento del sistema, aggiungendo a denominatore una piccola quantità positiva (parametro di regolarizzazione) onde limitare eventuali picchi troppo alti.
11Elaborazione numerica del suono
Teoria del filtraggio inverso di KirkebyTeoria del filtraggio inverso di Kirkeby
Step 1 – si trasforma la risposta all’impulso del sistema tramite una operazione di FFT:
Step 2 – si fa il reciproco (complesso) a ciascuna frequenza:
HHConj
HConjF
hFFTH
Step 3 – si antitrasforma e si torna nel dominio del tempo:
FIFFTf
Parametro di regolarizzazione
12Elaborazione numerica del suono
Parametro di regolarizzazione Parametro di regolarizzazione variabile con la frequenzavariabile con la frequenza
est
int
flow fhigh
f f
Il parametro di regolarizzazione variabile consente di avere un filtraggio inverso molto accurato nel campo di frequenze intermedie, evitando di sprecare potenza di calcolo e range dinamico per cercare di equalizzare le bande estreme a frequenza molto bassa e molto alta, ove comunque i trasduttori non rispondono.
13Elaborazione numerica del suono
h()x()
Che differenza c’è fra un segnale, Che differenza c’è fra un segnale, un sistema ed un filtro?un sistema ed un filtro?
Nel dominio dei segnali campionati,
NON C’E’ NESSUNA DIFFERENZA! Infatti si tratta sempre di “files WAV”, che possiamo
ascoltare allo stesso modo.
y()
Input signal Impulse response (Transfer function)
Output signal
14Elaborazione numerica del suono
h()x()
AuralizzazioneAuralizzazione
L’auralizzazione consiste nel riprodurre la sensazione sonora di un ambiente, mediante creazione di suoni udibili
La tecnica piu’ comunemente impiegata consiste nella convoluzione della risposta all’impulso dell’ambiente (misurata o calcolata a computer) con un brano di musica o di parlato anecoico
y()
Anecoic signal Room’s Impulse Response
Auralized signal
Ovviamente onde operare efficacemente la convoluzione con filtri che possono essere lunghi anche 300.000 campioni occorre impiegare il moderno algoritmo Uniformly Partitioned Overlap & Save
15Elaborazione numerica del suono
Esempio di sistema con filtro equalizzatoreEsempio di sistema con filtro equalizzatore
Risposta all’impulso del sistema
Filtro inverso
16Elaborazione numerica del suono
Esempio di sistema con filtro equalizzatoreEsempio di sistema con filtro equalizzatore Convoluzione del filtro inverso con la risposta del sistema
Effetto del filtraggio equalizzatore
f() h() x’()
Filtering coefficients
System Output signal
x()
Input signal
z()
Filtered signal
Sistema non filtrato
System
x() h() y()
Input signal Output signal
f()
Filtering coefficients