1 détection et isolation de défauts dans les procédés industriels génération de résidus

1

Détection et isolation de défauts dans les procédés industriels

Génération de résidus

2

Génération de résidus - Méthodes

Générateur de résidu

Relation de parité Observateur Identification

3

Génération de résidus - Modèles

Modèle analytique

Temps continu Temps discret

Deterministe Stochastique Deterministe Stochastique

Linéaire

Non linéaire

Linéaire

Non linéaire

Linéaire

Non linéaire

Linéaire

Non linéaire

4

Modèle déterministe (1)

Représentation en variables d’état

),,,(

),,,(

FDUXhY

FDUXgX

Comportement au voisinage d’un état d’équilibre Introduire écarts:

0X

0XXx

0UUu …

5

Modèle déterministe (2)

)()()()()( tfEtdEtButAxtx fd )()()()()( tfGtdGtDutCxty fd

0fE

Système linéaire permanent

Défauts additifs

Défaut de capteur: IG f

BE f 0fG

et

Défaut d’actionneur: et

Défauts multiplicatifs

6

Exemple: conduite d’un navire (1)

Vitesse de rotation:

7


8


Equations d’état

)()()()(

)()()(

)()()(

)()()(

tfttt

tftt

ttt

Htbt

wm

m

w

)(H Relation à l’équilibre entre angle du gouvernail et vitesse de rotation

21)( H

9


Modèle linéarisé pour faible vitesse de rotation

f

f

b

wm

m

w

0

1

1

0

001

01

10

Discrétisation du modèle (1)

Contexte de la régulation numérique

Système régléRégulateur CNA

CAN

11

Discrétisation du modèle (2) CNA=bloqueur d’ordre zéro Relations entre les grandeurs aux instants d’échantillonnage

Choisir t=(k+1)T; ;

))()()(())(exp()()(exp()(0

00 fEdEButAtxttAtx fd

t

t

kTt 0

)()( kTuu TkkT )1( pour

))()()(()))1((exp(

)()exp())1(()1(

kTfEkTdEkTBudTkA

kTxATTkx

fd

Tk

kT

Hypothèse , pour )()( kTdd )()( kTff TkkT )1(

12

Discrétisation du modèle (3)

)()()()()(

)()()()()1(

kfGkdGkDukCxky

kfEkdEkuBkxAkx

fd

fTdTTT

Soit

Dans la suite omission de l’indice T dans les matrices. On distingue système en temps continu et système en temps discret par le contexte

13

Génération de résidus – Conception de relations de parité (1)

)()()()()( kFTkDTkUTskxkY sfss

dss

usss

)(

)(

)(

ky

sky

kYs

s

s

CA

CA

C

Calcul de la sortie entre l’instant k-s et l’instant k

avec

DCBBCA

DCB

D

T

s

us

1

0

00

14

Génération de résidus – Conception de relations de parité (2)Pour s suffisamment grand ( si suffisamment petit),

il existe tel que

Multiplication à gauche de

par donne

= Relation de parité

dn

sw

0ssw et 0dssTw

)()()()()( kFTkDTkUTskxkY sfss

dss

usss

sw

)())()(( tFTwkUTkYw sfsss

usss

15


)())()(()( kFTwkUTkYwkr sfsss

ussss

s

Résidu

Vecteur et espace de parité

base du noyau à gauche de dss T

))()(()( kUTkYkr sussss Vecteur de parité

Espace de parité: espace engendré par les vecteurs de parité(cf infinité de bases)

16


Condition nécessaire et suffisante pour que le défaut i (se manifestant par composante i non nulle dans f) soit détectable:

))(())()(( zHrangzHzHrang ydiyfyd

ddyd GEAzICzH 1)()(

if

if

iyf GEAzICzH 1)()(

))(((max))(( zPrangzPrangCz

(rang normal)

17

Génération de résidus – Conception de relations de parité – Isolation (1) Détermination du défaut qui s’est produit Résidus structurés Ensemble de codage Matrice d’incidence

0 1 1

1 0 1

1 1 0

1f 2f 3f

1r

2r

3r

18

Génération de résidus – Conception de relations de parité – Isolation (2)

)(

)()(

tf

tftf

na

a

)()( tftf a

Méthode de conception

)(

)()(

td

tftd na

Faisabilité : utiliser CNS précédente

19

Génération de résidus – Conception de relations de parité – Isolation (3)

Ensembles de codage assurant isolation forte: éviter que le manque de réaction d’un résidu ne provoque une fausse isolation

code dégradé code normal

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 0 0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0 1 1

1r

2r

3r

4r

1f 1f2f 3f 4f 2f 3f 4f

Isolation faible isolation forte

20

Génération de résidus – Mise en oeuvre

Soustraire les valeurs nominales aux grandeurs mesurées

Soit valeurs fournies par modèle non-linéaire

Soit valeurs obtenues par moyenne glissante

(attention dynamique du filtre plus lente que la plus petite dérive que l’on souhaite déceler)

21

Génération de résidus – Effet des bruits (1)

)()()()()()(

)()()()()()1(

kkfGkdGkDukCxky

kkfEkdEkuBkxAkx

fd

fTdTTT

)(Gaussiens blancs bruits )(, k(k)

Modèle en variables d’état

kmTT

R0

0Q)m()m(

)k(

)k(E

22


)k()k(T

)k(FT)k(DT)k(UT)sk(x)k(Y

sss

sfss

dss

usss

Relation entrées – sorties sur un horizon s

)k(w)k(Tw)k(FTw

))k(UT)k(Y(w)k(r

ssssssfss

sussss

Résidu

23


). et r( et r entre

nnéeéchantillo ncetransmitta la ))z(H( )z(H Soient rr

Tjr

jr

Tjr

jr

Tjr

jrrr

)e(H)e(H

)e(RH)e(H)e(QH)e(H)(S

r de spectrale Densité

)(zHr )(zHrr

unitaire variance deblanc bruit

24

Génération de résidus – Effet des bruits (4) « Blanchiment » du résidu

Besoin pour compatibilité théorique avec les algorithmes classiques de détection de changements (résidu blanc);

Peut induire en pratique une perte de sensibilité au défaut Distribution du résidu filtré si les suites aléatoires sont de distribution

gaussienne- En l’absence de défaut:

L (r(k))=N (0,I)- En présence de défaut

L (r(k))=N ( où

1r )z(H

rfr

)I),k(

échelon type de défaut si

)z(H )z(H de indicielle réponse la est )k( rf1

r

25

Génération de résidus – Isolation et bruits (1) Approche alternative pour l’isolation

intérêt: approche systématique Résidu vectoriel

Covariance des bruits

)k()k(T)k(FT

))k(UT)k(Y()k(r

ssssssfss

sussss

QI))k(H )k(H(E

RI)k( )k(E

1sT

ss

1sT

s

26

Génération de résidus – Isolation et bruits (2) Défaut caractérisé par composante de f(k)

constante et non nulle:

Espérance mathématique du résidu

ei

ie f

0

01

0

0

f)k(f

Tiiii

iifss

i

eeeEavec

rEfT))k(r(E

27

Génération de résidus – Isolation et bruits (3) Variance du vecteur résidu

Résidu transformé

N ( en présence du défaut i

moyenne nulle en l’absence de défaut

Ts s

Ts1s

T

s1sssTiiii

S

)RI(T)QI(T)r)k(r)(r)k(r(E

1 2T / us s s s s sr(k) ( S ) (Y (k) T U (k))

1 2T / fi i s s s s i f ,I) avec ( S ) T E

28

Génération de résidus – Isolation et bruits (4) Test d’hypothèse

Test basé sur table donnant, pour un taux de fausses alarmes fixé , un seuil h tel que

nulle non moyenne de (k)r~ :H

nulle moyenne de (k)r~ :H

1

0

défaut de absencel' en

)n( ondistributi de (k)r~(k)r~)k( Variable r2T

1)h)k((obPr

10 H accepter sinon h; (k) si H Accepter

29

Génération de résidus – Isolation et bruits (5) Isolation:

défaut i le plus probable si

mesure de l’angle:

minimal est , i, défaut du

présence en résidu du direction la et )k(r~ entre anglel’

i

i

2

i

ii

i

iT

i

)k(r~)k(r~

ou

)k(r~)k(r~

cos

30

Génération de résidus – Isolation et bruits (6) Analyse hors ligne de l’algorithme

Matrice de diagnostic

x

2/x

ij2

ij

ijTj

jj

dxe2

1 2)x(erfc avec

)()(

ferfc2

1)ef défaut | i défaut décision(obPr

2

ji

)j,i(j)(j,

j)j,i(

P1P

ji ),e défaut | i défaut décision(obPrP

Ajustement de l’horizon s

31

Génération de résidus – Capteurs redondants Modèle discret

pnrang(C)avec

)k()k(f)k(Cx)k(y

)k()k(f)k(y)k(r

)0C( C de gauche à noyau du base une Soit

1 2T / TNormalisation r(k) ( R ) r(k) avec R E( (k) (k) )

32

Analyse structurelle – Motivation

Limitations de l’approche analytique systématique par calcul symbolique pour les système non linéaires

- non linéarité polynomiale

- expressions lourdes

- impossibilité de traitement pour certains modèles même d’ordre peu élevé (5 à 10) (taille mémoire)

Analyse structurelle plus « transparente » et permet traitement non linéarités plus générales (et même tables)

33

Analyse structurelle – modèles non linéaires Modèle algébro-différentiel non linéaire

),,(

),,(0

),,(

uxxhy

uxxm

uxxgx

ad

ad

add

Introduction de comme variables contraintes supplémentaires

dx

0dt

dxx dd

34

Analyse structurelle – Graphe bipartite(1) Ensemble des variables:

},,,,{ yuxxxZ dda

Ensemble des contraintes (algébriques)

},,,{dt

dmhgC

Graphe bipartite•Sommets : éléments de Z et C•Arcs : il existe un arc entre le sommet et le sommet si et seulement si la variable apparaît dans la contrainte .

Cci

jz

icZz j

35

Analyse structurelle – Graphe bipartite(2)Schéma du système « réservoir »

36

Analyse structurelle – Graphe bipartite(3)

Exemple du système « réservoir »

Réservoir :

Vanne :

Tuyau de sortie:

Mesure de niveau:

Loi de réglage:

1c )()()( tqtqth oi

2c )()( tutqi

3c )()( thktqo

4c )()( thty

5c

sinon 0

)( si 1)( 0 rhty

tu

dtdh

(t)h 6 c

37

Analyse structurelle – Graphe bipartite(4) Matrice d’incidence

Contraintes Entrées/

Sorties

Variables internes

u(t) y(t) h(t)

1 1 1 1

2 1 1

3 1 1

4 1 1

5 1 1

)t(h )t(qi )t(qo

38


Graphe bipartite pour le réservoir sans régulateur

39

Analyse structurelle – Graphe bipartite(6) Notion de couplage

Sous-ensemble d’arcs tel que aucun arc ne possède un ou plusieurs nœuds en commun

arcs couplés représentés en gras dans le graphe bipartite et par un 1 entouré d’un cercle dans la matrice d’incidence

40

Analyse structurelle – Graphe bipartite(7)Matrice d’incidence pour le 2e couplage


Sorties

Variables internes

u(t) y(t) h(t)

1 1 1 1

2 1 1

3 1 1

4 1 1

5 1 1

6 1 1

)(th )(tqi )(tqo

41

Analyse structurelle – Graphe bipartite(7) Couplage maximal M tel que aucun arc ne peut être

ajouté sans violer la définition du couplage

Couplage complet par rapport à C: nombre d’arcs de M = nombre d’éléments de C

Couplage complet par rapport à Z: nombre d’arcs de M = nombre d’éléments de Z

42

Analyse structurelle – Graphe bipartite(8) Graphe orienté associé à une contrainte

- Contrainte couplée arc orienté de la variable non couplée (entrée) vers la

contrainte et de la contrainte vers la variable couplée (sortie)- Contrainte non couplée Considérer toutes les variables comme des entrées

43

Analyse structurelle – Graphe bipartite(9) Causalité

Orientation calcul sortie à partir entrées supposées connues

Contraintes algébrique :

hypothèse 1: Une contrainte algébrique c définit une surface de dimension dans l’espace des variables Q(c).

c par scontrainte variables des ensemble )( , cQCc)(cQnc

1cn

44

Analyse structurelle – Graphe bipartite(10) Hypothèse Au moins

une variable peut être couplée dans une contrainte

45

Analyse structurelle – Graphe bipartite(11) Contraintes différentielles

-Causalité différentielle:

-Causalité intégrale:

-

0)(

)( : 12

dt

tdxtxd

d dans couplé )( connu; )( 21 txtx

d dans couplé )( connus, )0( et )( 112 txxtx

univoque façon de défini pas )(

vérifiée non 1 hypothèse connu )( Seul

1

2

tx

tx

46

Analyse structurelle – Graphe bipartite(12)Exemple du « réservoir »; couplage inutilisable pour

le calcul des variables inconnues


Sorties

Variables internes

u(t) y(t) h(t)

1 1 1 1

2 1 1

3 1 1

4 1 1

5 1 1

6 1 1

)(th )(tqi )(tqo

47

Analyse structurelle – Graphe bipartite(13)Imposition de la causalité différentielle


Sorties

Variables internes

u(t) y(t) h(t)

1 1 1 1

2 1 1

3 1 1

4 1 1

5 1 1

6 x 1

)(th )(tqi )(tqo

48

Analyse structurelle – Graphe bipartite(14) Boucles

- Boucles dans un graphe traiter l’ensemble des contraintes simultanément pour extraire variables inconnues à partir de variables connues

- Exemple: 2 contraintes

algébriques à 2 inconnues

Contraintes

1 1 1

2 1 1

1x 2x

49


c

1 1 1 1

2 1 1 1

1x

Boucle représentée par un seul noeud

2x 1y 2y

0 :

0 :

2122

2111

xxyc

cxbxayc

connues

50

Analyse structurelle – Couplage(1)

Algorithme de propagation des contraintes ou de classement (ranking algorithm)Donnée: Matrice d’incidence ou graphe structuréEtapes:- 1: marquer les variables connues; i=0- 2: Déterminer toutes les contraintes renfermant exactement une variable non marquée; associer la classe (le rang) i à ces contraintes, marquer ces contraintes et les variables correspondantes

51


- 3: S’il existe des contraintes non marquées dont toutes les variables sont marquées, leur associer le rang i, les marquer et les connecter avec la pseudo-variable ZERO- 4: Assigner i:=i+1- 5: S’il existe des variables non marquées reprendre à l’étape 2Résultat : contraintes ordonnées

52


rang = nombre de pas requis pour calculer une variable inconnue à partir des variables connues

algorithme n’engendre que des graphes sans boucle peut ne pas trouver un couplage complet même si il existe

53


Exemple du « réservoir »- 1: variables connues: u et y

i=0- 2: - 3: néant- 4: i=1- 2: - 3: rang de ;

42 avec et avec coupler chcqi

63 avec et avec coupler chcqo

11 c ZERO à connecté 1c

54


c rang h u y1 1 1 1 1

2 0 1 1

3 1 1 1

4 0 1 1

5 1 1

6 1 1 1

h iq oq

55

Analyse structurelle- Relations de parité (1)Détermination d’un couplage maximal pour le

graphe structurel, en assurant la causalité différentielle

Relations de parité = contraintes ne faisant pas partie du couplage dans lesquelles toutes les inconnues ont été couplées

56

Analyse structurelle- Relations de parité (2)

c h u y ZERO rang1 1 1 1 1 1

2 1 1 0

3 1 1 1

4 1 1 0

6 x 1 1

h iq oq

Graphe bipartite résultant

57

Analyse structurelle- Relations de parité (3)

Elimination successive des inconnues entre

relation de parité

(t)q(t)q(t)hc

dt

dh(t)(t)h c

h(t)k(t) qc

tythc

tutqc

io

o

i

0 :

:

:

)()( :

)()( :

1

6

3

4

2

)()()(

0 tutykdt

tdy

1 détection et isolation de défauts dans les procédés industriels génération de résidus

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