CRISTALOGRAFÍAPrimer capítulo de curso

FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDOFC UNI

Marzo 2009Lima, Perú

ARTURO TALLEDODoctor en Física

Introducción• Sólidos cristalinos (ordenados) y sólidos

amorfos (desordenados)

• Lo que actualmente se conoce como FES es básicamente la física de los cristales o sólidos cristalinos. La Física de sólidos amorfos se explica en base a los conceptos de la Física de cristales.

• Los cristales son una disposición periódica de átomos en el espacio real tridimensional (longitudes).

CRISTAL = RED + BASE

Un sólido cristalino se puede describir definiendo un conjunto ordenado de puntos y asignando a cada punto un

conjunto de (1,2, 3...n) átomos en posiciones bien definidas

Definición de red cristalina

ntesindependieelinealment

vectoressondonde 321 ,, aaa

1 1 2 2 3 3 1 2 3/ ; , ,RED P P n n n n n n a a a

Conjunto de puntos descrito por tres vectores linealmente independientes y todo el conjunto de ternas de enteros Z3

Vectores Primitivos y celdas primitivas

• Se dice que una terna de vectores L.I es una terna de vectores primitivos si junto con el conjunto Z define dicha red cristalina.

• El paralepípedo definido por la terna primitiva se llama celda primitiva

• La terna primitiva no es única

• Todas las celdas primitivas tienen el mismo volumen

Red cristalina y vectores primitivos

a2a1

La terna (dupla) primitiva no es única

a2a1

b1b2 c1

c2

d1

d2

u1

u2

Diferentes celdas primitivas de una red. Todas tienen igual área (volumen)

a2a1

b1b2 c1

c2

d1

d2

CLASIFICACIÓN DE LAS REDES CRISTALINAS

• Se clasifican por sus propiedades de simetría

• Hay 5 tipos de redes bidimensionales

• Hay 14 tipos de redes 3D (redes de Bravais)

CELDA UNITARIA

• Cada tipo de red cristalina se identifica con una celda convencional o celda unitaria, no necesariamente celda primitiva.

• Los tres vectores l.i. que definen la celda unitaria se llaman ejes cristalinos o vectores convencionales.

Redes Bidimensionales

• Oblicua

• Rectangular

• Rectangular centrada

• Cuadrada

• Hexagonal

Redes de Bravais 3D (1)

Redes de Bravais 3D (2)

Cúbico

Hexagonal

Trigonal

Redes de Bravais 3D (3)

Vectores primitivos y ejes cristalinos en una red sc

a

b

c

Ejes cristalinos

a = a ib = a jc = a k

Vectores Primitivos

a1 = a

a2 = b

a3 = c

Vectores primitivos y ejes cristalinos en una red bcc

• Ejes cristalinos

• a = a i

• b = a j

• c = a k

• Vectores Primitivos

• a1 = 1/2 a (i + j - k)

• a2 = 1/2 a (- i + j + k)

• a3 = 1/2 a (i - j + k)

ab

c

a1

a2

a3

Vectores primitivos y ejes cristalinos en una red bcc

• Ejes cristalinos

• a = a i

• b = a j

• c = a k

• Vectores Primitivos

• a1 = a’ = 1/2 a (i + j - k)

• a2 = b’ = 1/2 a (- i + j + k)

• a3 = c’ = 1/2 a (i - j + k)

Vectores primitivos y ejes cristalinos en una red fcc

• Ejes cristalinos• a = a i• b = a j• c = a k• Vectores Primitivos• a1 = 1/2 a (i + j)• a2 = 1/2 a ( j + k)• a3 = 1/2 a ( k + i)

b

c

aa1

a3

a2

Vectores primitivos y ejes cristalinos en una red fcc

• Ejes cristalinos• a = a i• b = a j• c = a k• Vectores Primitivos• a1 = a’ = 1/2 a (i + j)• a2 = b’ = 1/2 a ( j + k)• a3 = c’ = 1/2 a ( k + i)

Ejercicio

• Demostrar que el volumen de una celda primitiva de una red bcc es la mitad del volumen de la correspondiente celda unitaria

• Demostrar que el volumen de una celda primitiva de una red fcc es un cuarto del volumen de la correspondiente celda unitaria

El volumen de una celda primitiva es la cuarta parte de una celda unitaria fcc

El volumen de una celda primitiva es la mitad de una celda unitaria bcc

PLANOS CRISTALINOS Un plano cristalino puede ser definido por:

• Tres puntos no colineales de una red cristalina

• los vectores que van de uno de los puntos a los otros dos.

• la normal al plano• En FES se usa una convención especial para

designar a los planos: Los índices de Miller

Índices de Miller

• Desde cualquier punto de la red no contenido en el plano se trazan los ejes cristalinos.

• Se observan las intersecciones del plano con los ejes cristalinos.

• Se invierten los coeficientes

• Se multiplican por el entero que los convierte en la terna de enteros más pequeña, (hkl) , en esa proporción

Índices de Miller

El entero por el que hay que multiplicar a los interceptos invertidos para obtener los índices de Miller es 1 si se

toma origen en el plano paralelo vecino inmediato

X

y

x

y

a

2 bO

O'

(1/2) a

b

Algunos planos cristalinos de redes cúbicas

Familias de planos paralelos

• Dado un plano cristalino (hkl) por cualquier punto de la red se puede trazar un plano paralelo.

• Un cristal puede considerarse como la superposición de una familia de planos paralelos (cualquier punto de un cristal está contenido en una familia de planos)

• Planos equivalentes por operaciones de simetría {hkl}

Algunos planos en redes cúbicas

ALGUNOS ÍNDICES DE MILLER VÁLIDOS

• Cúbico simple • (100), (110), (111), (120), (121), (221), (130)• BCC• (110), (200), (121), • (h+k+l) = entero par• FCC• (111), (200), (220)• (hkl) todos pares o todos impares

Distancia interplanar en redes ortorrómbicas

xadcos

x

y

z

d

plano (hkl)

a

dhcos

yb

dcos

zcdcos

222

1

c

l

b

k

a

hd

cúbicas redes para , 222 lkh

ad

b

dkcos

c

dlcos

Estructuras cristalinas (sc monoatómica)

• Cristal = Red + base

• Red: cúbico simple

• base: un átomo• en origen (cualquier

punto de red)• Polonio

Estructuras cristalinas (bcc monoatómica)

• Cristal = Red + base

• Red: bcc

• base: un átomo

• en origen (cualquier punto de red)

• Li, Na, K, Rb, Cs, Ba, Ta, W, Nb, Mo, Fe, Eu

Estructuras cristalinas (fcc monoatómica)

• Cristal = Red + base

• Red: fcc

• base: un átomo

• en origen (cualquier punto de red)

• Ca, Sr, Ni, Cu, Al, Ag, Au, Pd, Pt, Ir, Ne, Ar, Kr, Xe, Pb

Estructuras cristalinas (CsCl)

• Cristal = Red + base• Red: cúbico simple• base: dos átomos• Cs en origen (cualquier

punto de red)

• Cl en (1/2, 1/2, 1/2)a

• TlBr, TlI, CuPd,

CuZn (bronce beta), AgMg, LiHg, AlNi, BeCu

Estructuras cristalinas (CsCl)

Perovskita

Estructuras Cristalinas (NaCl)

• Cristal = Red + base• Red: fcc• base: dos átomos• Cl en origen (cualquier

punto de red)

• Na en (1/2, 0, 0)a

• LiH, NaCl, KCl, PbS, AgBr, MgO, MnO, KBr.

Estructuras Cristalinas (NaCl)

Estructuras Cristalinas (NaCl)

• Cristal = Red + base• Red: fcc• base: dos átomos• C en origen (cualquier

punto de red)• C en (1/4, 1/4, 1/4)a• C, Si, Ge, estaño gris.

Estructuras cristalinas (diamante)

Estructuras cristalinas (diamante)

Estructuras cristalinas (Blenda, ZnS)

• Cristal = Red + base• Red: fcc• base: dos átomos• Zn en origen (cualquier

punto de red)

• S en (1/4, 1/4, 1/4)a• ZnS, ZnSe, CuF, CuCl,

AgI.

Estructuras cristalinas (Blenda, ZnS)

Estructuras cristalinas (hexagonal compacta)

• Cristal = Red + base• Red: Hexagonal

simple• base: dos átomos• Uno en origen (cualquier

punto de red)• otro en (2/3) a + 1/3 b + (1/2) c

• He, Be, Mg, Tl, Zn, Cd, Co,Y.

8

Cubic StructuresCubic Structures

The face-centred (fcc) or cubic-F lattice

This is the ABCABC.. cubicclose packed structure.

DISTANCIA ENTRE VECINOS MÁS CERCANOS

SC

6

a

BCC

8

2/3 a

FCC

12

2/2 a

HCP

12

¿?

DIAMANTE

4

4/3 a

Factor de empaquetamiento de una estructura fcc monoatómica

aR

Ra 42

3

3

)3

4(4

a

R

f

6

2f

74,0f

Encontrar la relación c/a en una estructura hcp ideal

ac38

h

a

c/2

a

43

222 caa

2

3

3

2ah

CELDA WIGNER SEITZ

• Desde cualquier punto de la red

• Se trazan segmentos a los puntos vecinos más cercanos, segundos más cercanos, y así...

• Se bisecan dichos segmentos con planos perpendiculares.

• La celda WS es el sólido más pequeño formado por las intersecciones de los planos.

Construcción de una celda WS

Una red cristalina como una superposición de celdas WS

(Hay una celda WS por punto de red)

Celda Wigner Seitz

Celda Wigner-Seitz de una red cuadrada

Celda Wigner-Seitz de una red cúbica cuerpo centrado (octaedro truncado)

Celda Wigner-Seitz de una red cúbica cara centrada (dodecaedro regular)

Imperfecciones de un cristal

• Efectos de superficie

• Impurezas

• Vacancias

• fracturas

OPERACIONES DE SIMETRÍA DE REDES CRISTALINAS

• Operaciones de simetría de un objeto son aquellas que lo dejan invariante.

• Cualquier rotación respecto a un eje que pasa por su centro es una operación de simetría de una esfera.

• Una operación de simetría de una red cristalina es cualquier traslación de una red cristalina por un vector:

• Otras operaciones de simetría son la inversión, reflexiones y rotaciones

332211 aaaT nnn

n/2

TEORÍA DE GRUPOS

• Grupo es un conjunto con una operación (producto) que :

• es cerrado

• es asociativo

• hay un elemento identidad

• hay un elemento inverso para cada elemento

• conmutativo = abeliano

Operaciones de simetría de un triángulo equilátero

• E, identidad

• A, B, C, rotaciones de 180 respecto a los ejes A, B y C, respectivamente

• D, rotación de 120 en sentido horario respecto a eje perpendicular por el centro del triángulo

• F, rotación de 120 en sentido antihorario respecto a eje perpendicular por el cenro del triángulo A

BC

1

2 3

Tabla de multiplicación del triángulo equilátero

E A B C D F

E E A B C D F

A A E F D C B

B B D E F A C

C C F D E B A

D D B C A F E

F F C A B E D

Operaciones de simetría de un tetraedro regular ( T )

• Identidad

• C 2x, C 2y, C 2z

• 8 rotaciones de 120 (C3) alrededor de las diagonales de un cubo.

a

b

c

d

Algunos grupos de simetría

R E D E S C R I S T A L I N A S Y G R U P O S D E S I M E T R Í A

S i s t e m a C e l d a u n i t a r i a G r u p o s N ú m e r o d eo p e r a c i o n e s d e

s i m e t r í aT r i c l í n i c o

cba C 1 ,

S 2 ( C i )12

M o n o c l í n i c o

2/

cba C 1 h

C 2

C 2 h

224

O r t o r r ó m b i c o2/

cba C 2 v

D 2 ( V )D 2 h ( V h )

448

T e t r a g o n a l

2

cba C 4

S 4

C 4 h

D 2 d

C 4 v

D 4

D 4 h

448888

1 6R o m b o e d r a l

23

2

cba C 3

S 6

C 3 v

D 3

D 3 d

3666

1 2H e x a g o n a l

3

2,

2

cba C 3 h

C 6

C 6 h

D 3 h

C 6 v

D 6

D 6 h

66

1 21 21 21 22 4

C ú b i c o

2

cba TT h

T d

OO h

1 22 42 42 44 8

Redes imposibles (Simetría de orden5 )

Un eje de simetría de orden 5 es incompatible con el concepto de red. Considere que T es el vector de

traslación de longitud más pequeño

T

T´

T´´

Nótese que T`+ T`` es de menor longitud que T

Redes imposibles (Simetría de orden 7 o mayor)

Un eje de simetría de orden n, donde n es 7 o mayor que 7, es incompatible con el concepto de red.

T

T´

Supongamos que T es el vector de traslaciónMás pequeño.

7 n si , T /n)(Sen T 2 ̀ TT

Ejercicio: Estructura cristalina del grafito

Ejercicio: Estructura cristalina del grafito

Ejercicio: Estructura cristalina del grafito

Ejercicio: Estructura cristalina del grafito

altura c/2

altura c y 0

12 atomos por celda unitaria o celda primitiva

esfera negra altura c/2 esfera roja altura 0 y c 4 átomos por celda unitaria

A1 : (0,0,0)A2: 1/3 a +1/3 bA3: 2/3 a +2/3 b +1/2 cA4: (0,0,c/2)