1. 條件機率的乘法原理: 設 a 、 b 、 c 為三個事件,則:
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一、條件機率的乘法原理:. 1. 條件機率的乘法原理: 設 A 、 B 、 C 為三個事件,則:. 證明:. To be continued 範 例. 範例: 籤筒的 10 支籤中 3 支有獎, AB 兩人先後各抽 1 支籤,. 抽完後不放回,兩人都中獎的機率為多少?. 解: A 中 , B 也中. Let’s do an exercise !. 馬上練習 . 承上例,求只有 B 中獎的機率。. 解: A 不中 , B 中. #. 2. 範例: 設袋中有 3 紅球, 2 白球。. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
(1) ( ) ( )A BP AP
(2) ( ) ( )B AP CA P
( )(1) ( )
( )
P A BP B A
AP
( ) ( ) ( )P A B P P BA A 。
( )(2) ( )
( )
P C A BAP C
PB
A B
( ) ( ) ( )AP A BB P PB AC C
( ) 0 ( ) 0P A P A B 其中 , 。
( ) ( ) ( )A A A BP P B P C
( )P B A ( )P BC A
( ) ( ) 0P A P AB ,其中 。
1. 條件機率的乘法原理:設 A 、 B 、 C 為三個事件,則:一、條件機率的乘法原理:一、條件機率的乘法原理:
證明:
To be continued To be continued 範 例範 例
3
10 1
15 。
37
10 9 7
30 。
範例:籤筒的 10 支籤中 3 支有獎, AB 兩人先後各抽 1 支籤,抽完後不放回,兩人都中獎的機率為多少?
解: A 中, B 也中
2
9
馬上練習 . 承上例,求只有 B 中獎的機率。
解: A 不中, B 中
##
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
3
5 所求
1
5 。
2. 範例:設袋中有 3 紅球, 2 白球。
(1) 若取出的球「不」放回,求依次取出紅、白、紅球的機率。(2) 若取出的球放回,求依次取出紅、白、紅球的機率。
解: (1) 不放回:紅、白、紅 2
4 2
3
3
5 所求 18
125 。(2) 放回放回:紅、白、紅 2
53
5
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
今從袋中每次取一球連取 3 次,求
2
3
1
2
紅去白回
馬上練習 . 設 A 袋內有紅球 1 個,白球 1 個;B 袋內有白球 2 個。
今從 A 袋中取出一球放入 B 袋,再從 B 袋中取出一球放回 A 袋。求操作完後 A 袋恰有 2 白球的機率。
解:1
3 。
##
3
5 所求 3
10 。
範例:設袋中有 3 紅球, 2 白球。求: (1) 若取出的球「不」放回,求依次取出紅、白機率。
(2) 若取出的球放回,求依次取出紅、白的機率。
解: (1) 不放回:紅、白 2
4
今從袋中每次取一球連取兩次,
( ) ( ) ( )P P P 白 紅 白紅 紅
3
5 所求
6
25 。(2) 放回放回:紅、白 2
5
( ) ( ) ( )P P P 白 紅 白紅 紅 ( ) ( )P P 白紅
獨立事件獨立事件
A P AB P BP 當 時,稱 A 與 B 為 獨立事件獨立事件。
To be continued To be continued 圖 解圖 解
<< << 獨立事件 獨立事件 >>>>
( ) ( ) ( )P PA BAB P
2(
1)P A
3(
1)P B
( )P A B
1
2
若 A 、 B 獨立獨立
1
3
( ) ( ) ( ) ( )A AB BP P A BP P
( ) ( ) ( ) ( )A AB BP P A BP P
2(
1)P A
3(
1)P B
( )P A B
1
32)
1(A BP
若 A 、 B 不獨立
本段結束本段結束
二、二獨立事件二、二獨立事件1. 兩事件的獨立:
A P AB P BP 時,
(1) BA 、 為獨立事件
(2) A 、 必為獨立事件。
|
|
P B P
P AB BP
A A 。
0P A AP P P 。
0P PA B AP P B 。
當兩事件 A 與 B 滿足
稱 A 與 B 為 獨立事件獨立事件,否則稱為相關事件。
(3) 若 A 與 B 均為非空事件,且 A 、 B 為互斥事件 ( AB = ) ,
則 A 、 B 為相關事件。
本段結束本段結束
1 1( ) ( ) ( )
2 3P A P B P A B 已知 , ,求 。
( ) ( ) ( ) ( )P P PA B A B BAP
( ) ( ) ( ) ( )P P PA BAB P
1 1
3 3
1 1
2 2
2. 範例:設 A , B 為樣本空間 S 中的兩獨立事件,
解:
2
3 。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
(1) ( ) 1P A B (2) ( ) 0.2P A B (3) ( | ) 1P A B
(4) ( | ) ( | )P A B P B A
(1)(2) ( )) ( )(A P AP P AB P B B
( ) 0.2BP A
( )(3) (
()
)
P BB
B
AP
PA
( )(4) (
()
)
P BB
B
AP
PA
解:
(5) A , B 是獨立事件
馬上練習 . 符號 P(C) 代表事件 C 發生的機率,符號 P(CD) 代表在事件 D 發生的條件下,事件 C 發生的機率。
已知 P(A) = P(B) = 0.6 。請選出正確的選項。今設 A , B 為樣本空間中的兩個事件,
0.66 )0. (P BA
1P A B 。
( )
0.6
P BA 。
( )
( )
BP
AP
A
( )
0.6
BP A ( )P B A 。
(5) , BA 為獨立事件
故選 故選 (4)(4) 。。(( ) ( ))A PP AB P B
= 0.36 。
<100 數乙 >
= 0.6 0.6
##
A AA BB
( )P A P A BP A B
( ) P AA B BP P A
( )( )) (P AP A P B
( ) 1 ( )P A P B
( ) ( )P A P B
AB
BA
AB
3. 獨立事件的性質:當事件 A 與 B 為獨立事件時,則事件 A 與 BB'' 也是獨立事件。
證明:
以及事件 A' 與 BB'' 也都是獨立事件。
同理,事件 A' 與 B ,A
A'
B'Ba
b
1yx
ay
bybx
ax
To be continued To be continued 範 例範 例
1 1
4 3
各為 , ,
(1) ( ) ( ) ( )P P P 甲 乙 甲 乙 1(1 )
4
1(1 )
3
(2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P P P P P P 乙 乙 甲乙甲甲 甲 乙
2
3
1 1
4 3
3
4
1 ( ) 1 ( ) ( )P P P 甲 乙所 甲 乙求3
123
4
1 11
2 2 。
2
3
1
2
3
4 。
5
12 。
範例:甲,乙二人射擊同一靶,設甲,乙射擊的命中率
且兩人命中靶面的事件為獨立事件。今兩人各射擊 1 發,求
(1) 兩人都沒打中的機率。 (2) 靶面恰中 1 發的機率。
解:
馬上練習 . 承上例,靶面至少中一發的機率是多少?
解:##
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
都沒有命中都沒有命中
2
3全公司有 為男性員工,
1
4 全公司的 ,
1
6 全公司的 。
1
6
2
3
1
4To be continued To be continued 詳 解詳 解
合計乙甲
男
女
1合計
4. 範例:某公司分成甲、乙兩部門,主管查閱兩部門人事資料
得知:甲部門的員工占
且甲部門的男性員工占
(1) 甲部門聘用的員工
(2) 乙部門的女員工
是否與性別有關 ?
占全公司的幾分之幾 ?
1
61
22
3
1
121
41
3
1
4
3
4
((1) ( )
( )
PP
P甲部門 )男生
甲男 甲
4
16
1
2( )
3P 男 又 ,
(2) 獨立事件
1( )
4P 故 女 乙 。
1 1 1
6 2 2( )
1P 乙 女
(1) 甲部門聘用的員工是否與性別有關 ?
(2) 乙部門的女員工占全公司的幾分之幾 ?
解:
所以聘用與性別為獨立事件。
合計乙甲
1合計
女
男2
3 ,
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
A
A'
B'Ba
b
1yx
ay
bybx
ax
4 18 40
4 18
x
x
y
y
18
72
x
x
y
y
12
6 2
6
1
y y
x x
或 2
6
1
x
y
男 (因 生較少)。
馬上練習 . 學校某社團社員共 40 人,年級別與性別的雙向表如下,
已知年級別與性別獨立,而且二年級女生人數比一年級發現其中部分汙損,以致於不知道人數。
男生人數多,求一年級男生與二年級女生各有多少人 ?
故男生有 6 人,女生有 12 人。
解:二年級一年級
男
女 y
18x
4
##
三、三獨立事件三、三獨立事件
(1) AP PAB BP ,
(2) B C P CP BP A P A 。
A P AC P CP 。
B P BC P CP ,
1. 三事件的獨立:對任意三事件 A , B , C ,當下列條件均成立時,稱 A , B , C 事件獨立。
注意:當 A 、 B 、 C 為獨立事件時,
則 A 、 B 、 C 為獨立事件 ;
A 、 B 、 C 為獨立事件。
A 、 B 、 C 為獨立事件。本段結束本段結束
(1) ( ) ( ) ( ) ( )P P P P 乙 乙甲丙甲 丙
(2) 1 ( )P 甲 乙 求 丙所
00.4 0.61 .5
0.50. 0.6 4
2. 範例:設甲、乙、丙三人獨立解出某問題的機率分為
0.6 , 0.5 與 0.4 。且各人解題互不影響。則 (1) 三人都解出此問題的機率為多少?(2) 至少有一人解出此問題的機率為多少?
解:= 0.12 。
= 0.88 。
1 ( ) ( ) ( )P P P 乙 丙甲
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
都沒有解出都沒有解出
(1) 1 ( )P 甲 乙 求 丙所
00.8 0.81 .8
(2) 21 人有副作用 另 人, 無副作用
223 (0.2)(0.8)C 所求
馬上練習 . 已知病人對某種藥物會有副作用的機率為 0.2 。
今有 3 病人服用此藥,設 3 人是否有副作用為獨立事件,求 (1) 至少有一位病人有副作用的機率。
(2) 恰 1 人有副作用的機率。
解:
= 0.488 。
= 0.384 。
1 ( ) ( ) ( )P P P 乙 丙甲
##
都沒有副作用都沒有副作用
2( ) ( ) ( ) 0.05 0.1 0.125BP P PA C
( ) ( ) ( ) 0.025P P P CA B
(2) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )B BC CPA AP P P 所求
0.75 0.0.8 051 .7 。
( ) ( ) ( ) 0.05P P PB BA A ( ) ( ) ( ) 0.1P P PCA CA ( ) ( ) ( ) 0.125P P PC CB B
( ) 0.2P A ( ) 0.25BP ( ) 0.5P C
解: (1)
(2) 此小時內至少有一台儀器需要照顧的機率 ?
(1) ABC 每台儀器在這小時內需要照顧的機率分別是多少 ?
的機率為 0.125 ,設 3 儀器是否須要照顧為獨立事件,求的機率為 0.05 , AC 都需要照顧的機率為 0.1 , BC 都需要照顧
3. 範例:某人操作 ABC 三台儀器,已知一小時內, AB 都需要照顧
##
1 3 7
2 5 10分別為 , , ,
1 3 7 1 3 7
2 5 10 2 5 10
79
100 。
L R
A
C
B
4. 範例:右圖的電路圖中, A , B , C 三個電子開關接通的機率
= P(A)P(B) + P(C) P(A)P(B)P(C)
= P(AB) + P(C) P[ (AB) C ]
求 L 與 R 之間電路接通的機率。且各開關的操作獨立,
解: P( 電路接通 )
= P[ (AB) C ]
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
2( )5
5
1000n
log 2 log5 log5 log1000n
log 2 1 log 2 1 log 2 3n
2.301
0.398n 5. 。
(0.4)1 0.995n
5. 範例:設某陣地發射高射砲射擊飛機時,每門砲的命中率都是 0.6 ,現在要同時獨立的發射 n 門砲彈射擊陣地附近的飛機,欲使命中的機率超過 0.995 ,至少要發射幾門砲彈 ?
解:有命中 = 全 均沒中
故所求為 6 。
本 節 結 束本 節 結 束
To be continued To be continued 注 意注 意
(1) 0f
(2) 0f
總複習 第九章 結束總複習 第九章 結束
To be continued To be continued 範 例範 例
結 束結 束
離 開離 開
##
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !本段結束本段結束
23